Zbiór zadań z geometrii przestrzennej. Michał Kieza

Zbiór zadań z geometrii przestrzennej Michał Kieza

Zbiór zadań z geometrii przestrzennej Michał Kieza Wydawca: Netina Sp. z o.o. ISN 978-83-7521-522-9 c 2015, Wszelkie Prawa Zastrzeżone Zabrania się modyfikowania struktury pliku, zmiany jego formatu, dystrybuowania go oraz odtwarzania publicznie. Zbiór zadań z geometrii przestrzennej c 2015 opyright for Polish edition by Netina.pl & Michał Kieza

Przedmowa Niniejszy zbiór zadań z geometrii przestrzennej przeznaczony jest dla uczniów startujących w Olimpiadzie Matematycznej Gimnazjalistów, zarówno tych początkujących, jak i bardziej zaawansowanych, także sięgających wzrokiem w kierunku Olimpiady Matematycznej. Polecam go też tym, którzy próbują swoich sił w Olimpiadzie Matematycznej, jednak zadania z Kącików Przestrzennych w elcie są dla nich zbyt zaawansowane. Zbiór może też okazać się dobrą pomocą dla nauczycieli przygotowujących uczniów do olimpiad. Zadania, które zebrałem, pochodzą z Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów lub są zbliżone do nich poziomem. Nie wahałem się jednak dać trochę nieco trudniejszych zadań, które starałem się rozbić na podpunkty lub dać je obok zadań z tego samego tematu żywiąc nadzieję, że nawet mniej zaawansowany uczeń poradzi sobie z nimi. Pozwoliłem sobie także na omówienie niektórych bardziej zaawansowanych zagadnień jak np. równoległościan opisany na czworościanie czy metoda objętości, ilustrując je odpowiednio dobranymi trudnościowo przykładami. Zbiór zawiera ponad 120 zadań. o każdego z nich jest rozwiązanie (czasem nawet kilkoma sposobami) niemal we wszystkich przypadkach opatrzone rysunkiem. Większość rozdziałów zawiera krótki wstęp wraz z omówionymi przykładami. Michał Kieza 3

4 Michał Kieza Spis treści 1. Proste i płaszczyzny str. 5 2. zworościan dowolny podstawowe własności str. 12 3. Twierdzenia o krawędziach bocznych i apotemach str. 16 4. Metoda siatek str. 20 5. Najmocniejsze twierdzenie stereometrii str. 24 6. Objętość str. 28 7. zworościan foremny str. 32 8. zworościany mające szczególne własności str. 36 9. Zadania różne str. 38 10. Rozwiązania zadań str. 41 Proste i płaszczyzny str. 41 zworościan dowolny podstawowe własności str. 58 Twierdzenia o krawędziach bocznych i apotemach str. 70 Metoda siatek str. 78 Najmocniejsze twierdzenie stereometrii str. 83 Objętość str. 94 zworościan foremny str. 104 zworościany mające szczególne własności str. 114 Zadania różne str. 126

1. Proste i płaszczyzny 5 1. Proste i płaszczyzny Prostopadłość efinicje. Proste prostopadłe proste k i l znajdujące się w przestrzeni są prostopadłe, gdy albo leżą w jednej płaszczyźnie i są prostopadłe albo istnieje prosta m równoległa do l współpłaszczyznowa z k i do niej prostopadła. Prosta prostopadła do płaszczyzny prosta k jest prostopadła do płaszczyzny π, gdy jest prostopadła do każdej z prostych zawartych w tej płaszczyźnie. Płaszczyzny prostopadłe płaszczyzny π 1 i π 2 są prostopadłe, gdy istnieje prosta k zawarta w płaszczyźnie π 1 prostopadła do płaszczyzny π 2. Twierdzenie 1.1. Prosta k jest prostopadła do płaszczyzny π wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do pewnych dwóch nierównoległych prostych leżących w tej płaszczyźnie. owód Wystarczy oczywiście dowieść implikację w lewo. Niech M będzie punktem przecięcia się prostej k z płaszczyzną π (rys. 1). Załóżmy, że prosta k jest prostopadła do pewnych dwóch prostych l i m oraz że obie one przechodzą przez punkt M (możemy tak zrobić, bowiem przesunięcie równoległe prostych l i m nie wpływa na ich prostopadłość do prostej k). Wystarczy jeśli udowodnimy, że prosta k jest prostopadła do dowolnej prostej n przechodzącej przez punkt M (z tego samego, co wcześniej powodu). k m n M N l π rys. 1 Niech i będą dwoma punktami leżącymi na prostej k po przeciwnych stronach punktu M, takimi, że M =M. Na prostych l i m wybierzmy w dowolny sposób odpowiednio punkty i (różne od M) oraz niech prosta przecina prostą n w punkcie N. Z prostopadłości prostej k do prostych l i m oraz równości M =M wnosimy, że = oraz =. W takim razie

6 Michał Kieza trójkąty i są przystające. To zaś oznacza, że przystające są także trójkąty N i N (bok-kąt-bok), skąd N = N. Trójkąt N jest więc równoramienny, zatem jego środkowa M N jest prostopadła do podstawy. To pociąga za sobą prostopadłość prostych n i k i kończy dowód twierdzenia. Zadania dotyczące prostopadłości rozwiązuje się w oparciu o następujący schemat. Załóżmy, że chcemy dowieść, że prosta a jest prostopadła do prostej b. W tym celu musimy najpierw znaleźć dwie nierównoległe proste p i q (leżące w tej samej płaszczyźnie, co prosta b), które są prostopadłe do prostej a. Następnie wystarczy zastosować twierdzenie 1.1. W rozwiązaniach niektórych zadań można zastosować twierdzenie o trzech prostych prostopadłych, które sformułujemy poniżej. Jest ono szczególnym przypadkiem opisanego schematu, choć być może nie widać tego na pierwszy rzut oka. Twierdzenie 1.2. (Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych) Prosta k przecina płaszczyznę π w punkcie P i nie jest do niej prostopadła. Prosta l należy do płaszczyzny π i przechodzi przez punkt P. Niech k będzie rzutem prostokątnym prostej k na płaszczyznę π. Wówczas prosta l jest prostopadła do prostej k wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do prostej k. owód Niech będzie dowolnym punktem na prostej k różnym od P, zaś jego rzutem prostokątnym na płaszczyznę π. Wówczas punkt należy do prostej k, a prosta jest prostopadła do płaszczyzny π, w szczególności także do prostej l. k l P k π rys. 2 Załóżmy najpierw, że prosta l jest prostopadła do prostej k. Stąd i z prostopadłości k oraz wynika, że prosta l jest prostopadła do płaszczyzny P wyznaczonej przez k i (twierdzenie 1.1). W takim razie dostajemy l k. Przyjmijmy teraz, że prosta l jest prostopadła do prostej k. Znów wykorzystując twierdzenie 1.1 dostajemy prostopadłość l do płaszczyzny P. To prowadzi do wniosku, że l k.

1. Proste i płaszczyzny 7 Powyższy dowód zaprezentował nam także wcześniej opisany schemat. Użyjmy go teraz do rozwiązania poniższego zadania. Przykład 1.1. Udowodnić, że jeśli w czworościanie wysokości poprowadzone z wierzchołków i przecinają się, to krawędzie i są prostopadłe. rys. 3 Załóżmy, że wysokości i danego czworościanu przecinają się (rys. 3). Skoro prosta jest prostopadła do płaszczyzny, to jest też prostopadła do krawędzi. nalogicznie dowodzimy, że prosta jest prostopadła do krawędzi. To zaś oznacza, że płaszczyzna wyznaczona przez proste i jest prostopadła do prostej (twierdzenie 1.1). W takim razie prosta jest prostopadła do dowolnej prostej leżącej w tej płaszczyźnie, a więc w szczególności do prostej. Uwaga. Można chcieć zredagować powyższe rozwiązanie wprowadzając punkt H przecięcia wysokości poprowadzonych z wierzchołków i i rozważać dalej proste H, H oraz płaszczyznę H. Jednakże punkt H może pokrywać się np. z punktem (czworościan z zadania 1.2 jest takim przykładem punkt należy do każdej jego wysokości) i wtedy ani prosta H ani płaszczyzna H nie są określone. Zadania. 1.1. any jest czworościan. Odcinek E jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie. Wykazać, że jeśli E jest wysokością tego czworościanu, to <) = <) = 90. 1.2. any jest czworościan, w którym wszystkie kąty przy wierzchołku są proste. owieść, że spodek wysokości tego czworościanu, opuszczonej z wierzchołka jest ortocentrum trójkąta.

8 Michał Kieza 1.3. any jest czworościan, w którym <) = <) = <) = 90. Udowodnić, że rzut prostokątny punktu na płaszczyznę jest punktem symetrycznym do punktu względem środka krawędzi. 1.4. Udowodnić, że jeśli w czworościanie krawędzie i są prostopadłe, to wysokości poprowadzone z wierzchołków i przecinają się. 1.5. Wykazać, że jeśli w czworościanie istnieje punkt wspólny wszystkich wysokości, to spodek każdej z nich pokrywa się z ortocentrum ściany, na którą została ta wysokość poprowadzona. 1.6. Wykazać, że jeśli w czworościanie spodek pewnej wysokości pokrywa się z ortocentrum ściany, do której została ta wysokość poprowadzona, to przeciwległe krawędzie są prostopadłe. 1.7. Rozstrzygnąć, czy istnieje czworościan, którego wszystkie ściany są trójkątami prostokątnymi? 1.8. Rozstrzygnąć, czy dla każdej liczby naturalnej n 3 istnieje ostrosłup 1 2... n S o podstawie 1 2... n, którego wszystkie ściany boczne są trójkątami prostokątnymi. 1.9. Rozstrzygnąć, czy istnieje taki ostrosłup czworokątny, którego każda krawędź boczna jest prostopadła do którejś krawędzi podstawy? Przecinanie się prostych i płaszczyzn w przestrzeni efinicje. Płaszczyzny równoległe dwie płaszczyzny są równoległe, gdy się pokrywają albo nie mają punktów wspólnych. Prosta równoległa do płaszczyzny prosta jest równoległa do płaszczyzny, gdy nie ma z nią żadnego punktu wspólnego. Prostą konsekwencją pierwszej definicji jest to, że płaszczyzny nierównoległe (takie, które mają punkt wspólny, ale nie pokrywają się) przecinają się wzdłuż pewnej prostej. odatkowo warto odnotować, że zarówno dwie proste równoległe, jak i dwie proste przecinające wyznaczają jednoznacznie płaszczyzny zawierające je. Odnotujmy na koniec następującą obserwację: Jeśli płaszczyzny π 1 i π 2 przecinają się wzdłuż prostej k, zaś prosta l leżąca w płaszczyźnie π 1 jest równoległa do płaszczyzny π 2, to k l. la uzasadnienia zauważmy, że gdyby proste k i l nie były równoległe, to miałyby punkt wspólny (bo obie leżą w płaszczyźnie π 1 ). Ten punkt należałby jednak także do płaszczyzny π 2, co przeczyłoby równoległości prostej l i płaszczyzny π 2.

1. Proste i płaszczyzny 9 Przykład 1.2. any jest ostrosłup czworokątny S o podstawie czworokąta wypukłego. Pewna płaszczyzna przecina krawędzie S, S, S i S odpowiednio w punktach,, i. Odcinki i przecinają się w punkcie P, zaś odcinki i przecinają się w punkcie P. Wykazać, że punkty P, P i S leżą na jednej prostej. Płaszczyzna S zawiera odcinki i, a więc także punkty P i P (rys. 4). nalogicznie stwierdzamy, że płaszczyzna S również zawiera punkty P i P. W takim razie punkty P, P i S leżą na prostej, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny S i S. S P P Zadania. rys. 4 1.10. Punkty, i leżą wewnątrz odpowiednio ścian,, czworościanu. Wiadomo, że proste i przecinają się, proste i przecinają się oraz proste i przecinają się. Wykazać, że istnieje punkt wspólny prostych, i. 1.11. W czworościanie punkty K i L są środkami okręgów wpisanych w trójkąty i. Udowodnić, że proste L i K przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy =. 1.12. Ostrosłup prawidłowy sześciokątny przecięto płaszczyzną, która przecina wszystkie jego krawędzie boczne. W przekroju otrzymano sześciokąt wypukły EF. Wykazać, że proste, E i F przecinają się w jednym punkcie. 1.13. Rozważmy graniastosłup sześciokątny prawidłowy o podstawach 1 2 3 4 5 6 i 1 2 3 4 5 6 oraz płaszczyznę, która przecina krawędzie i i w punktach i dla i = 1,2,...,6. owieść, że a) przeciwległe boki sześciokąta 1 2 3 4 5 6 są równoległe, b) przekątne 1 4, 2 5 i 3 6 sześciokąta 1 2 3 4 5 6 mają punkt wspólny.

10 Michał Kieza 1.14. Pewna płaszczyzna przecina krawędzie,,, czworościanu odpowiednio w punktach K, L, M, N. owieść, że proste KN, LM i przecinają się lub są równoległe. 1.15. Na kartce papieru narysowany jest czworościan, punkty K, L, M leżące odpowiednio na jego krawędziach,, oraz punkt P, który należy do ściany. Wiadomo ponadto, że żadna z krawędzi, i nie jest równoległa do płaszczyzny KLM. Za pomocą linijki wyznaczyć a) prostą będącą częścią wspólną płaszczyzn i KLM, b) punkt przecięcia prostej P z płaszczyzną KLM. 1.16. any jest czworościan. Punkty, i leżą odpowiednio na krawędziach, i. Odcinki i przecinają się w punkcie K, odcinki i w punkcie L, natomiast odcinki i w punkcie M. Wykazać, że proste K, L i M mają punkt wspólny. Przekroje Przykład 1.3. Na kartce papieru narysowany jest ostrosłup czworokątny S o podstawie czworokąta wypukłego. Pewna płaszczyzna przecina wszystkie krawędzie boczne tego ostrosłupa. Mając dane punkty K, L i M przecięcia tej płaszczyzny odpowiednio z krawędziami S, S i S wyznaczyć przekrój ostrosłupa S tą płaszczyzną. Wyznaczymy najpierw punkt N przecięcia rozważanej płaszczyzny z krawędzią S ostrosłupa S. Na początku rysujemy odcinki i przecinające się w punkcie P (rys. 5). Punkt P oraz punkty K i M leżą na płaszczyźnie S. Następnie prowadzimy odcinki P S i KM przecinające się w punkcie Q, który należy do płaszczyzny zawierającej punkty K, L i M. Prowadząc prostą LQ do przecięcia z odcinkiem S otrzymujemy punkt N (z treści zadania wynika, że rozważana płaszczyzna przecina odcinek S, więc prosta LQ musi także jego przeciąć). S S K N Q M K N M L L P rys. 5 rys. 6

1. Proste i płaszczyzny 11 Wystarczy teraz połączyć punkty K, L, M i N odcinkami i otrzymany czworokąt KLM N jest szukanym przekrojem (rys. 6). Zadania. 1.17. Na kartce papieru narysowany jest ostrosłup pięciokątny ES o podstawie pięciokąta wypukłego E. Pewna płaszczyzna przecina wszystkie krawędzie boczne tego ostrosłupa. Mając dane punkty K, L i M przecięcia tej płaszczyzny odpowiednio z krawędziami S, S i S wyznaczyć przekrój ostrosłupa ES tą płaszczyzną. 1.18. Na kartce papieru narysowany jest czworościan. Za pomocą linijki narysować przekrój tego czworościanu płaszczyzną przechodzącą przez punkty K, L, M, jeśli a) punkty K i L leżą odpowiednio na krawędziach i, zaś punkt M leży na półprostej poza krawędzią, b) punkty K, L, M leżą odpowiednio na krawędziach,,. 1.19. any jest sześcian o krawędzi długości 1. Wyznaczyć przekrój danego sześcianu płaszczyzną P QR, gdzie punkty P, Q i R leżą odpowiednio na krawędziach, i, przy czym a) P = Q = R = 1 3, b) P = Q = 1 3 oraz R = 1 2. 1.20. Wyznaczyć przekrój sześcianu płaszczyzną przechodzącą przez środki krawędzi, i. 1.21. Sześcian przecięto płaszczyzną otrzymując w przekroju pięciokąt. Rozstrzygnąć, czy pięciokąt ten może być foremny? 1.22. any jest ostrosłup czworokątny S o podstawie czworokąta wypukłego. Rozstrzygnąć, czy można tak przeciąć krawędzie boczne tego ostrosłupa płaszczyzną, aby w przekroju otrzymać równoległobok.

Strony 12-40 są niedostępne.

Rozwiązania zadań 41 10. Rozwiązania zadań Proste i płaszczyzny 1.1. any jest czworościan. Odcinek E jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie. Wykazać, że jeśli E jest wysokością tego czworościanu, to <) = <) = 90. E rys. 29 Udowodnimy, że <) = 90 (równość <) = 90 dostajemy analogicznie). Jeśli punkt E pokrywa się z punktem, to nie ma czego dowodzić. W przeciwnym razie, skoro E jest wysokością danego czworościanu, to E (rys. 29). Z treści zadania wnosimy dodatkowo, że <)E = 90. W takim razie płaszczyzna E jest prostopadła do prostej (twierdzenie 1.1), skąd otrzymujemy <) = 90. 1.2. any jest czworościan, w którym wszystkie kąty przy wierzchołku są proste. owieść, że spodek wysokości tego czworościanu, opuszczonej z wierzchołka jest ortocentrum trójkąta. H rys. 30 Niech będzie rzutem prostokątnym punktu na prostą, zaś H spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka trójkąta (rys. 30). Skoro kąty i są proste, to prosta jest prostopadła do płaszczyzny, a więc w szczególności do prostej. Stąd i z prostopadłości

42 Michał Kieza prostych i wnosimy, że płaszczyzna jest prostopadła do prostej (twierdzenie 1.1). Zatem H, co wraz z prostopadłością prostych H i oznacza, że prosta H jest prostopadła do płaszczyzny. W takim razie spodek wysokości czworościanu poprowadzonej z wierzchołka leży na wysokości trójkąta. nalogicznie dowodzimy, że leży on na pozostałych wysokościach tego trójkąta, co kończy dowód. 1.3. any jest czworościan, w którym <) = <) = <) = 90. Udowodnić, że rzut prostokątny punktu na płaszczyznę jest punktem symetrycznym do punktu względem środka krawędzi. Niech P będzie rzutem prostokątnym punktu na płaszczyznę. Udowodnimy, że czworokąt P jest prostokątem (rys. 31). Prosta P jest prostopadła do płaszczyzny, a więc też do prostej. Stąd i z prostopadłości prostych i wynika, że płaszczyzna P jest prostopadła do prostej (twierdzenie 1.1), zatem <)P = 90. nalogicznie dowodzimy, że <)P = 90. W takim razie czworokąt P jest prostokątem. Środki przekątnych i P prostokąta P pokrywają się, skąd bezpośrednio wynika teza zadania. P E rys. 31 rys. 32 1.4. Udowodnić, że jeśli w czworościanie krawędzie i są prostopadłe, to wysokości poprowadzone z wierzchołków i przecinają się. Niech E będzie takim punktem na prostej, że prosta E jest prostopada do prostej (rys. 32). Prosta jest prostopadła do prostych E i, zatem jest także prostopadła do płaszczyzny E. Niech i będą wysokościami trójkąta E. Proste te mają punkt wspólny i wystarczy wykazać, że są one wysokościami czworościanu. Prosta leży w płaszczyźnie E, która jest prostopadła do prostej, a więc. Stąd i z prostopadłości prostych i E wynika, że

Rozwiązania zadań 43 prosta jest prostopadła do płaszczyzny wyznaczonej przez proste i E. W takim razie jest wysokością czworościanu. W analogiczny sposób uzasadniamy, że jest wysokością danego czworościanu. 1.5. Wykazać, że jeśli w czworościanie istnieje punkt wspólny wszystkich wysokości, to spodek każdej z nich pokrywa się z ortocentrum ściany, na którą została ta wysokość poprowadzona. Przyjmijmy, że mamy dany czworościan, którego wysokości,,, przecinają się w jednym punkcie (rys. 33). Wystarczy, jeśli wykażemy, że punkt jest ortocentrum trójkąta dla pozostałych punktów dowód przebiega analogicznie. Załóżmy także, bez straty dla ogólności, że punkt nie pokrywa się z żadnym z punktów i. Skoro prosta jest prostopadła do płaszczyzny, to jest też prostopadła do prostej. Podobnie dowodzimy, że prosta jest prostopadła do prostej. Proste i mają punkt wspólny, więc leżą w jednej płaszczyźnie, która z twierdzenia 1.1 również jest prostopadła do prostej. W takim razie prosta, leżąca w tej płaszczyźnie, także jest prostopadła do prostej. nalogicznie udowodnimy, że. To oznacza, że punkt jest ortocentrum trójkąta. rys. 33 rys. 34 1.6. Wykazać, że jeśli w czworościanie spodek pewnej wysokości pokrywa się z ortocentrum ściany, do której została ta wysokość poprowadzona, to przeciwległe krawędzie są prostopadłe. Przyjmijmy dla ustalenia uwagi, że spodek wysokości czworościanu jest ortocentrum trójkąta (rys. 34). Wykażemy, że krawędzie i są prostopadłe. Prosta jest jest prostopadła do płaszczyzny, a więc też do prostej. Jeśli punkt pokrywa się z punktem, to nie ma czego dowodzić. W przeciwnym razie prosta jest wysokością trójkąta, a więc

44 Michał Kieza. Stąd i z wcześniej udowodnionej prostopadłości prostych i mamy, że płaszczyzna jest prostopadła do prostej, czyli. nalogicznie dowodzimy, że oraz. 1.7. Rozstrzygnąć, czy istnieje czworościan, którego wszystkie ściany są trójkątami prostokątnymi? Odpowiedź: Tak. Rozważmy czworościan, w którym <) = 90, a krawędź jest jego wysokością (rys. 35). Wtedy <) = <) = 90. Skoro prosta jest prostopadła do płaszczyzny, to również. To wraz z zależnością dowodzi, że płaszczyzna wyznaczona przez proste i jest prostopadła do prostej. W takim razie proste i są prostopadłe, czyli <) = 90. Tym samym wszystkie ściany danego czworościanu są trójkątami prostokątnymi. S 1 4 5 rys. 35 2 3 rys. 36 1.8. Rozstrzygnąć, czy dla każdej liczby naturalnej n 3 istnieje ostrosłup 1 2... n S o podstawie 1 2... n, którego wszystkie ściany boczne są trójkątami prostokątnymi. Odpowiedź: Tak. Niech 1 2... n będzie wielokątem wypukłym, w którym <) 1 2 3 = <) 1 3 4 =... = <) 1 n 1 n = 90. Rozważmy ostrosłup 1 2... n S o podstawie 1 2... n, w którym krawędź 1 S jest wysokością (rys. 36). Wykażemy, że jego wszystkie ściany boczne są trójkątami prostokątnymi. Oczywiście mamy <) 2 1 S = <) n 1 S = 90, czyli trójkąty 2 1 S oraz n 1 S są prostokątne. Skoro krawędź 1 S jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, to <) 2 1 S = <) 3 1 S = 90. Wykorzystując dodatkowo równość <) 1 2 3 = 90 oraz korzystając z poprzedniego zadania wnosimy, że trójkąt 2 3 S jest prostokątny. nalogicznie dowodzimy, że prostokątne są trójkąty 3 4 S,..., n 1 n S. To kończy rozwiązanie zadania.

Rozwiązania zadań 45 1.9. Rozstrzygnąć, czy istnieje taki ostrosłup czworokątny, którego każda krawędź boczna jest prostopadła do którejś krawędzi podstawy? Odpowiedź: Tak. Przedstawimy dwa sposoby konstrukcji takiego ostrosłupa. Sposób I. Niech będzie takim czworokątem, że <) = <) = <) = 90. Niech ponadto S będzie takim punktem w przestrzeni, że prosta S jest prostopadła do płaszczyzny i rozważmy ostrosłup S (rys. 37). Wykażemy, że a) S, b) S, c) S, d) S. Skoro krawędź S jest prostopadła do płaszczyzny podstawy danego ostrosłupa, to jest też w szczególności prostopadła do krawędzi zawartej w tej płaszczyźnie. Krawędź S jest także prostopadła do prostej, co wraz z warunkiem <) = 90 oznacza, że płaszczyzna S i krawędź są prostopadłe. Zatem S. nalogicznie uzasadniamy, że S oraz S. S S rys. 37 P rys. 38 Sposób II. Niech będzie takim czworokątem wypukłym, że <) = <) = 90, zaś P punktem przecięcia jego przekątnych. Niech S będzie takim punktem w przestrzeni, że prosta SP jest prostopadła do płaszczyzny (rys. 38). Wykażemy, że ostrosłup S spełnia warunki zadania. Prosta SP jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, a więc także do krawędzi. Stąd i z równości <) = 90 wynika, że płaszczyzna S

46 Michał Kieza wyznaczona przez proste SP i jest prostopadła do krawędzi. W takim razie krawędź jest prostopadła do krawędzi S i S zawartych w tej płaszczyźnie. nalogicznie dowodzimy, że krawędź jest prostopadła do krawędzi S i S. 1.10. Punkty, i leżą wewnątrz odpowiednio ścian,, czworościanu. Wiadomo, że proste i przecinają się, proste i przecinają się oraz proste i przecinają się. Wykazać, że istnieje punkt wspólny prostych, i. Przypuśćmy, że teza nie jest prawdziwa. Wtedy, jeśli K jest punktem wspólnym prostych i, L punktem wspólnym prostych i, zaś M punktem wspólnym prostych i, to punkty K, L i M są parami różne. W takim razie płaszczyzna przez nie wyznaczona zawiera proste, i, a to nie jest możliwe. 1.11. W czworościanie punkty K i L są środkami okręgów wpisanych w trójkąty i. Udowodnić, że proste L i K przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy =. Jeśli proste L i K mają punkt wspólny, to punkty,, K, L leżą na jednej płaszczyźnie (rys. 39). Niech E będzie punktem przecięcia dwusiecznej K z prostą. Punkt E leży wówczas na płaszczyźnie zawierającej punkty,, K, L, skąd wniosek, że punkty, L, E leżą na jednej prostej. Innymi słowy prosta E jest dwusieczną w trójkącie. W takim razie z twierdzenia o dwusiecznej wynika, że = E E =, skąd =. L L K E K E rys. 39 rys. 40 Załóżmy teraz, że =. Niech E będzie takim punktem na prostej, że E jest dwusieczną w trójkącie (rys. 40). Wtedy E

Rozwiązania zadań 47 jest dwusieczną w trójkącie. Punkty K i L leżą więc odpowiednio na odcinkach E i E trójkąta E. W takim razie proste L i K mają punkt wspólny. 1.12. Ostrosłup prawidłowy sześciokątny przecięto płaszczyzną, która przecina wszystkie jego krawędzie boczne. W przekroju otrzymano sześciokąt wypukły EF. Wykazać, że proste, E i F przecinają się w jednym punkcie. S F E P rys. 41 Niech P będzie punktem przecięcia prostej zawierającej wysokość danego ostrosłupa z płaszczyzną sześciokąta EF (rys. 41). Wystarczy udowodnić, że punkt P leży na każdej z prostych, E, F. Niech S oznacza wierzchołek danego ostrosłupa. Ponieważ ostrosłup jest prawidłowy, to jego wysokość leży w płaszczyźnie S. Wobec tego prosta zawierająca wysokość ostrosłupa przecina prostą. Stąd wynika, że punkt P leży na prostej. nalogicznie dowodzimy, że punkt P leży na prostych E i F, co kończy rozwiązanie zadania. 1.13. Rozważmy graniastosłup sześciokątny prawidłowy o podstawach 1 2 3 4 5 6 i 1 2 3 4 5 6 oraz płaszczyznę, która przecina krawędzie i i w punktach i dla i = 1,2,...,6. owieść, że a) przeciwległe boki sześciokąta 1 2 3 4 5 6 są równoległe, b) przekątne 1 4, 2 5 i 3 6 sześciokąta 1 2 3 4 5 6 mają punkt wspólny. a) Wykażemy, że proste 1 2 i 4 5 są równoległe (dla pozostałych par postępujemy analogicznie). Ponieważ dany graniastosłup jest prawidłowy, to płaszczyzny 1 2 2 1 i 4 5 5 4 są równoległe, a więc nie mają punktów wspólnych (rys. 42). Prosta 1 2 należy do pierwszej z tych płaszczyzn, a prosta 4 5 do drugiej. Stąd wniosek, że również te dwie proste nie mają punktów wspólnych. Leżą one ponadto w jednej płaszczyźnie 1 2 3 4 5 6, a zatem muszą być równoległe.

48 Michał Kieza 5 4 5 l 4 6 1 2 3 5 4 6 1 2 5 4 3 3 3 6 2 6 1 2 4 6 1 5 4 3 6 5 3 1 2 rys. 42 1 2 rys. 43 b) Niech l będzie prostą łączącą środki podstaw graniastosłupa (rys. 43). Niech będzie punktem przecięcia tej prostej z płaszczyzną 1 2 3 4 5 6. Udowodnimy, że punkt jest punktem wspólnym przekątnych 1 4, 2 5 i 3 6. Prosta l leży w płaszczyźnie 1 4 4 1, a zatem punkt także leży w tej płaszczyźnie. Punkt leży więc na przecięciu płaszczyzn 1 4 4 1 i 1 2 3 4 5 6, a więc na prostej 1 4. Podobnie dowodzimy, że punkt należy do prostych 2 5 i 3 6, co kończy dowód. 1.14. Pewna płaszczyzna przecina krawędzie,,, czworościanu odpowiednio w punktach K, L, M, N. owieść, że proste KN, LM i przecinają się lub są równoległe. Załóżmy, że proste i KN przecinają się w punkcie P (rys. 44). Punkt ten należy do każdej z płaszczyzn i KLMN, a więc wraz z punktami L i M należy do wspólnej prostej tych dwóch płaszczyzn. To dowodzi, że w tym przypadku proste KN, LM i przecinają się w punkcie P. P M L M L N K N K rys. 44 rys. 45 Przyjmijmy teraz, że proste i KN są równoległe (rys. 45). Gdyby proste LM i miały punkt wspólny, to przeprowadzając analogiczne rozumowanie, jak w poprzednim akapicie, udowodnilibyśmy, że proste i KN mają punkt wspólny, co jest nieprawdą. W takim razie proste LM i także

Strony 49-139 są niedostępne.