Optymalizacja obserwatora momentu obciążenia przy kwadratowym wskaźniku jakości

Grzegorz SIEKLUCKI, Tadeusz ORZECHOWSKI, Maciej TONDOS, Rajmund SYKULSKI Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie Optymalizacja obserwatora momentu obciążenia przy kwadratowym wskaźniku jakości Streszczenie. Przedstawiono dyskretyzację problemu LQ. Omówiono zagadnienie obserwacji momentu obciążenia. Wykorzystano dualizm do przekształcenia zadania obserwacji do zadania sterowania. Zaproponowano strukturę obserwatora uniezależnioną od rodzaju silnika. Zamieszczono badania symulacyjne obserwatora przy różnych macierzach wag wskaźnika jakości. Przedstawiono wyniki badań doświadczalnych na stanowisku z 18kW silnikiem obcowzbudnym. Abstract. LQ problem discretization is presented. The problem of load torque observation is discussed. Transformation form observation task to control task based on duality. Type motor independent observer structure is proposed. Simulation research for different matrices of performance index are inserted. Experimental results from laboratory position with 18kW separately excited motor are presented. (Optimization of load torque observer at quadratic performance index). Słowa kluczowe: napęd prądu stałego, napęd z silnikiem indukcyjnym, obserwator zmiennych stanu, problem LQ, algebraiczne równanie Riccatiego (ARE). Keywords: DC drive, induction motor drive, state variables observer, LQ problem, Algebraic Riccatti Equation (ARE). Wprowadzenie W wielu zadaniach regulacji z zastosowaniem statycznych sprzężeń zwrotnych systemu istotnym problemem wymagającym rozwiązania jest pomiar wszystkich zmiennych stanu. Bezpośredni pomiar może być w praktyce niemożliwy ze względów technicznych i (lub) ograniczony z przyczyn ekonomicznych. Z tego względu w wielu przypadkach konieczne staje się zastosowanie zastępczej metody pomiaru poprzez odtwarzanie wybranych zmiennych stanu z wykorzystaniem dostępnych pomiarowo sygnałów i zastosowanym sterowaniem obiektu. W ten sposób powstaje system zwany obserwatorem zmiennych stanu. Zastosowanie obserwatora staje się również niezbędne w tych przypadkach, w których konieczne staje się wyznaczenie zakłócenia trudnego do pomiaru w sposób bezpośredni. Problem taki pojawia się w estymacji momentu obciążenia w napędach elektrycznych sterowanych optymalnie wg kryterium minimalnoczasowego [1, 2] lub optymalnej stabilizacji prędkości kątowej [3, 4]. W zadaniach tych do wyznaczenia sterowania konieczna jest znajomość momentu obciążenia. Problem ten można rozwiązać drogą sprzętową lub przez zastosowanie obserwatora momentu obciążenia. Pierwszy sposób wymaga zastosowania 8 tensometrów umieszczonych na wale silnika, które wyznaczają stopień skręcenia wału i na podstawie znajomości materiału z którego wykonany jest wał silnika oraz jego średnicy wyznacza się moment obciążenia. Metoda ta jest zdecydowanie dokładniejsza od zastosowania obserwatora, ale wymaga dużej precyzji w zamontowaniu tensometrów i dodatkowo układ pomiarowy jest bardzo czuły na wszelkiego rodzaju uszkodzenia mechaniczne. Tak więc bezpośredni pomiar momentu obciążenia w warunkach przemysłowych nie jest realizowany. Metoda wyznaczenia momentu obciążenia z wykorzystaniem obserwatora wymaga dokonywania tylko tych samych pomiarów (M e, ω) co w przypadku klasycznej regulacji kaskadowej i cały ciężar wyznaczenia momentu jest położony na system komputerowy. Sterowalność i obserwowalność dyskretnego systemu dynamicznego Pierwszym etapem syntezy regulatora bądź obserwatora dla obiektu opisanego liniowym stacjonarnym dyskretnym równaniem stanu (ang. discrete linear time invariant state space equation) jest analiza takich podstawowych właściwości jak sterowalność, obserwowalność, stabilizowalność, wykrywalność. Definicje i twierdzenia pozwalające badać te właściwości można znaleźć m.in. w [5, 6, 7, 8]. W dyskusji nad sterowalnością i obserwowalnością można zauważyć bezpośrednią symetrię miedzy tymi właściwościami. Symetria ta wynika z wprowadzenia idei (zasady) dualizmu [7]. W tym celu rozważa się system dualny do (1) w postaci Problem dualizmu dotyczy zarówno systemów ciągłych jak i dyskretnych. Twierdzenie 1 Dualizm. Dla systemów (1) i (2) można stwierdzić: 1. System (1) jest sterowalny jeśli system dualny (2) jest obserwowalny. 2. System (1) jest obserwowalny jeśli system dualny (2)jest sterowalny. 3. System (1) jest stabilizowalny jeśli system dualny (2) jest wykrywalny. 4. System (1) jest wykrywalny jeśli system dualny (2) jest stabilizowany. Wynika stąd, że do sprawdzania obserwowalności systemu (1) można stosować kryteria sterowalności, natomiast do sprawdzenia sterowalności kryteria obserwowalności. Wykorzystując dualizm można również zadanie syntezy obserwatora zmiennych stanu zamienić na zadanie regulacji z wykorzystaniem statycznego sprzężenia zwrotnego i odwrotnie. Właśnie ten problem będzie rozważany w dalszej części artykułu. PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 0033-2097, R. 84 NR 7/2008 29

Dyskretny obserwator zmiennych stanu pełnego rzędu Obserwatory są dzielone na obserwatory pełnego rzędu i obserwatory zredukowane [9, 10, 7]. Z obserwatorów pełnego rzędu otrzymuje się przebiegi estymacji wszystkich zmiennych stanu obiektu, natomiast z obserwatorów zredukowanych tylko niektóre ze zmiennych stanu. W niniejszym punkcie zamieszczono tylko najistotniejsze wiadomości dotyczące obserwatorów pełnego rzędu. Zadaniem obserwatora jest wyznaczenie estymaty zmiennych stanu i w tym celu wykorzystuje się dyskretny model matematyczny obiektu (1). Z powodu błędów identyfikacji parametrów modelu jest praktycznie niemożliwe spełnienie warunku z wykorzystaniem jedynie równania stanu (1). Z tego powodu w obserwatorze proponuje się wykorzystanie wektora błędu poprawiającego jego działania. W tym celu wykorzystuje się dostępny pomiarowo wektor wyjść systemu y(k) = C x(k) i wówczas sygnał błędu wynosi: błędu e(k) również zmierza do zera bez względu na błąd początkowy e(0). W wyniku takiego działania minimalizowane są błędy estymacji zmiennych stanu związane z różnymi warunkami początkowymi ( 0 i 0 oraz z zakłóceniami. Zmniejszanie wpływu błędów identyfikacji modelu matematycznego obiektu regulacji również jest minimalizowane gdy obserwator jest asymptotycznie stabilny. Do celów implementacji algorytmu obserwatora w systemie komputerowym dobrze jest przekształcić równanie (5) do następującej postaci (8) 1 i schemat blokowy pracy obserwatora dla tego przypadku został przedstawiony na rysunku 2. (3) Należy pamiętać, że sygnał błędu (3) może być równy 0 jeżeli. Taka sytuacja ma miejsce gdy wektor e(k) jest ortogonalny do wierszy macierzy C. Błąd estymacji e(k) wzmacnia się stosując macierz L. W ten sposób uzyskuje się sygnał korekcji błędów modelu, który jest dodawany do równania stanu (1). Dzięki takiemu podejściu powstaje obserwator w zamkniętej pętli sprzężenia zwrotnego (rys. 1). Rys. 2. Obserwator zmiennych stanu dla równania (8). Znając strukturę obserwatora należy przystąpić do doboru macierzy korekcji błędu obserwatora czyli macierzy L. Można tego dokonac stosując jedną z dwóch metod: 1. Postawienie i rozwiązanie dyskretnego problemu LQ z nieskończonym horyzontem sterownia dla systemu dualnego (2): Rys. 1. Obserwator zmiennych stanu pełnego rzędu. Proces doboru macierzy L obserwatora rozpoczyna się od zdefiniowania sygnału błędu (3) oraz założenia, że e(0) 0. Następnie zapisuje się równanie stanu obiektu (4) 1 oraz równanie obserwatora 2. Zastosowanie Formuły Ackermann a dla układów z wejściem skalarnym [5]. W niniejszym artykule rozważana jest pierwsza metoda doboru wektora L, będącego wzmocnieniem (macierzą korekcji błędu estymacji) obserwatora dyskretnego. Należy pamiętać, że jeśli wykorzystuje się system dualny do wyznaczenia obserwatora i wynikiem jest statyczne sprzężenie zwrotne o macierzy wzmocnień K, to macierz obserwatora można wyznaczyć z zależności: (10) Po podstawieniu (4) do (5) (za Bu(k)) otrzymuje się autonomiczny dyskretny układ liniowy (6) 1 którego rozwiązanie wynosi Dyskretyzacja ciągłego problemu LQ W niniejszym punkcie rozważany jest problem LQ z nieskończonym horyzontem sterowania. Dla liniowego stacjonarnego systemu ciągłego opisanego równaniem: (7) 0 W sytuacji gdy wartości własne macierzy A - LC leżą wewnątrz koła jednostkowego, wówczas (A - LC) k zmierza do macierzy zerowej ze wzrostem k. Oznacza to, że wektor gdzie, należy znaleźć dyskretne prawo sterowania (gdzie K jest macierzą wzmocnień regulatora dyskretnego) 30 PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 0033-2097, R. 84 NR 7/2008

(12) minimalizujące wskaźnik jakości lub zapisanego inaczej Rozwia zanie ww. problemu wymaga przyjęcia czasu próbkowania T s oraz założenia, że sterowanie jest stałe przez każdy okres próbkowania u(t) = u(kt s ), dla kt s t (k+1)t s. Wtedy stan systemu (11) jest dostępny w każdym kroku próbkowania kt s. Pierwszym etapem rozwiązania problemu jest dyskretyzacja równania stanu (11) [5, 11, 12, 13, 14, 10, 9] i zapisanie go w postaci (1) gdzie Drugim etapem jest dyskretyzacja drugiego wyrażenia we wskaźniku jakości (13) na przedziale okresu próbkowania [12, 15] jest macierz P = P T 0. Macierz K, zawartą w prawie sterowania (12) można natomiast wyrazić jako: Jednoznaczne rozwiązanie problemu LQ z nieskończonym horyzontem sterowania dla wskaźnika jakości, zawierającego wyraz sprzężony (19) [13], istnieje wtedy i tyko wtedy, jeżeli para (A;B) jest stabilizowalna, para, jest wykrywalna oraz Na podstawie metody całkowania macierzy ekspotencjalnych,podanej w [16], w sposób numeryczny można przeprowadzić jednoczesną dyskretyzację równania stanu (11) oraz wskaźnika jakości (13). Natomiast drugi etap obliczeń polega na wyznaczeniu poszukiwanych macierzy z równania: Wtedy wskaźnik jakości (13) można zapisać w postaci dyskretnej: które wykorzystując zależność (28) można przekształcić do następującej postaci: Wskaźnik J 1 nazywany jest wskaźnikiem jakości z dodanym wyrazem sprzężonym Następnie wskaźnik (19) przekształca się do postaci standardowej wprowadzając następujące podstawienia oraz nowe sterowanie Rozwia zaniem dyskretnego algebraicznego równania Riccatiego (ARE): W celu zapewnienia symetrii macierzy Q do algorytmu dyskretyzacji ciągłego wskaźnika jakości wprowadza się dodatkowo, że Q = (Q T + Q)/2. Powyższa metoda jest łatwa do zrealizowania w nowoczesnych programach obliczeń numerycznych takich jak MATLAB, MAPLE lub MATHEMATICA. Metody numeryczne wyznaczenia rozwiązania dyskretnego ARE Metody numeryczne rozwiązania ARE wykorzystuje się do obliczenia wskaźnika jakości w postaci (20), gdzie poszukiwaną jest macierz P. Takie rozwiązanie odpowiada wyznaczeniu macierzy wzmocnień regulatora, używanej w prawie sterowania (12). W uniwersalnym oprogramowaniu takim jak MATLAB wykorzystuje się najbardziej uniwersalny algorytm jakim jest metoda Schura rozwia zania ARE [17, 18, 19]. W przypadku rozwiązywania problemów LQ dla obiektów do PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 0033-2097, R. 84 NR 7/2008 31

trzeciego rzędu metoda ta - pod względem czasu obliczeń - jest porównywalna z innymi, będąc przy tym najbardziej skomplikowana złożonością [2]. Metoda Schura nie jest iteracyjna (algorytm opiera się na twierdzeniu Schura o rozkładzie macierzy [17, 20, 21]) w odróżnieniu od pozostałych metod. W związku z tym, dla określonego rzędu systemu, wykonywana jest zawsze taka sama liczba obliczeń i np. dla układów rzędu drugiego wynosi ona około 800. Z tego wynika, że dla nieskomplikowanych systemów czasami wystarczy wykonać kilka iteracji inną metodą, aby uzyskać porównywalne wyniki. Wsród metod iteracyjnych na szczególną uwagę zasługuje zdwojony algorytm rozwiązywania ARE [22], który jest bezpośrednim algorytmem iteracyjnym, posiadającym kwadratową zbieżność. Złożoność obliczeniowa tej metody jest niewielka i można go stosunkowo szybko implementować w systemach docelowych. Algorytmem iteracyjnym znacznie różniącym się od poprzedniego jest metoda Newtona rozwiązania ARE [23, 24]. Opiera się on na rozwiązaniu ARE jako granicy ciągu rozwiązań dyskretnych równań Lapunowa o postaci: Metoda ta również wymaga zastosowania rozkładu Schura, co czyni ją znacznie trudniejszą w implementacji niż zdwojony algorytm, a zbieżność obu metod jest drugiego rzędu. Modele matematyczne napędów elektrycznych W artykule rozważa się problem estymacji momentu obciążenia dla: - napędów z silnikami obcowzbudnymi prądu stałego, - napędów z klatkowymi silnikami indukcyjnymi. Modele matematyczne tych dwóch rodzajów napędów zostały omówione w niniejszym punkcie. Napęd prądu stałego zwykle opisuje się jako ciągły liniowy stacjonarny układ dynamiczny [25, 26]: gdzie: i Sd ;i Sq podłużna i poprzeczna składowa wektora prądu stojana, zapisanego w ruchomym układzie współrzędnych związanym z polem, i mr prąd magnesujący, L S indukcyjność stojana, T R elektromagnetyczna stała czasowa wirnika, ρ kąt pomiędzy osią stojana a wektorem strumienia wirnika, σ całkowity współczynnik rozproszenia. Model matematyczny (31) obowiązuje przy następujących założeniach: - obwód magnetyczny jest liniowy, - straty w żelazie są minimalne (nie ma nasyceń), - maszyna posiada symetrię budowy i zasilania, - uzwojenia zapewniają sinusoidalny przestrzennie rozkład przepływu lub uwzględnia się tylko pierwszą harmoniczną. Zależność (30b) jest identyczna dla obydwu silników. Różnica polega jedynie na sposobie wytworzenia momentu elektrycznego M e. Z tego względu w przypadku obu napędów można stosować te same rodzaje obserwatorów momentu obciążenia. Model mechaniki napędu zapisuje się w postaci równania stanu, który jest zgodny z przedstawionym w [27] Postać dyskretna systemu (32), przy założeniu stałej wartości u pomiędzy kolejnymi krokami próbkowania (T s czas próbkowania) jest następująca: gdzie: U napięcie twornika, I prąd twornika, M e moment elektryczny silnika, M m moment obciążenia, ω - prędkość kątowa, ψ e N znamionowy strumień skojarzony, T m rozruchowa stała elektromechaniczna, T elektromagnetyczna stała czasowa, J moment bezwładności, R rezystancja uogólniona, L indukcyjność całkowita, K p wzmocnienie wzmacniacza mocy. Model matematyczny (30) obowiązuje przy następujących założeniach: - wzmacniacz mocy jest obiektem bezinercyjnym o stałym wzmocnieniu K p, - napęd pracuje w zakresie prądów ciągłych, - proces komutacji nie wpływa na zewnętrzne mierzalne parametry napędu. Model matematyczny silnika indukcyjnego, zasilanego z falownika z wymuszonym prądem, we współrzędnych polowych (model matematyczny w układzie współrzędnych (d; q)), zapisuje się w postaci [25]: Dla systemu (33) rank(wo) = rank(wc) = 2, więc system jest sterowalny i obserwowalny, czyli jest również stabilizowany i wykrywalny. Rozwiązanie problemu LQ dla obserwatora momentu obciążenia W przypadku obserwatora momentu obciążenia nie jest możliwe zastosowanie ciągłego wskaźnika jakości (13) dla ciągłego systemu dualnego do (32), ponieważ zależności (18) i (27) zależałyby od macierzy C systemu ciągłego, która nie podlega dyskretyzacji. Wynika stąd, że problem LQ zostałby rozwiązany dla nie istniejącego systemu i taki obserwator nie spełniałby swojego zadania, a w pewnych przypadkach mógłby być nawet układem niestabilnym. Z powyższego powodu problem optymalnej estymacji momentu obciążenia można rozważać tylko dla dyskretnego systemu dualnego do (1) i (33) w postaci (2), dla którego zapisuje się wskaźnik jakości: 32 PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 0033-2097, R. 84 NR 7/2008

I rozwiązuje dyskretne ARE np.: gdzie P = P T 0 jest rozwiązaniem ARE i macierz wzmocnień wynosi: Eksperymenty dotyczyły wpływu wartości macierzy Q i R wskaźnika jakości na odpowiedzi obserwatora. Wynik pokazał, że największy wpływ na czas odpowiedzi obserwatora ma współczynnik q 2 i im jego wartość jest większa, tym szybsze przebiegi estymowanego momentu uzyskuje się na wyjściu układu. W rozwiązaniu zagadnienia optymalizacji obserwatora wykorzystano następujący skrypt dla środowiska MATLAB, zawierający zależności (33), macierze wag wskaźnika (34) oraz procedurę numeryczną rozwiązania ARE (dlqr ): Następnie stosuje się zależność (10), otrzymując wektor i zapisując zależność (8) w postaci dwóch równań uzyskuje się: Zależności (37) w postaci schematu blokowego przedstawiono na rysunku 3. Na rysunku 4 przedstawiono znormalizowane przebiegi zmiennych stanu silnika i estymowanego momentu. Moment obciążenia miał charakter udarowy i pojawiał sie w czasie t = 1[s]. Początek przebiegów dotyczy natomiast rozruchu napędu. Współczynniki wskaźnika jakości (34) wynoszą: q 1 = 1; q 2 = 100; r = 1, a czas próbkowania T s = 0:001. Wówczas współczynniki macierzy korekcji wynoszą l 1 = 0:6324; l 2 = -6:1360. Rys. 3. Dyskretny obserwator momentu obciążenia dla napędu prądu stałego. Macierze wag Q T = Q 0 i R T = R > 0 wskaźnika (34) najlepiej jest przyjąć w postaci: Rys. 4. Symulacja pracy dyskretnego obserwatora momentu obciążenia q 2 = 100. gdzie q 1 > 0, q 2 > 0, r > 0. Jeśli q 2 = 0 to para (Q;A) nie jest wykrywalna i nie można rozwiązać problemu LQ. Badania symulacyjne obserwatora dla napędu prądu stałego Badania symulacyjne zostały przeprowadzone w środowisku MATLAB-SIMULINK i dotyczyły obserwacji momentu obciążenia w układzie kaskadowej regulacji. Zastosowano regulator (nadrzędny) prędkości typu P oraz regulator (podrzędny) prądu typu PI. W badaniach wykorzystano napęd, którego parametry podano w dodatku. Rys. 5. Symulacja pracy dyskretnego obserwatora momentu obciążenia q 2 = 1000. PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 0033-2097, R. 84 NR 7/2008 33

Na rysunku 5 przedstawiono przebiegi dla przypadku q 2 = 1000, wówczas l 1 = 0:6625; l 2 = -19:1098. Porównując oba rysunki można zauważyć znaczne przyspieszenie odtwarzanego momentu w drugim przypadku. Dla q 2 = 1000 dokonano symulacji rozruchu i pracy napędu z biernym momentem obciążenia: momentu obciażenia. Innymi słowy zmiany momentu obciążenia (tutaj moment generatorowy) wpływają na przebieg prądu twornika (czyli momentu elektrycznego). Zjawisko to szczegółowo zostało omówione w [28]. (39) i wyniki zostały przedstawione na rysunku 6. Rys. 7. Estymacja momentu obciążenia dla q 2 = 100 i czasu próbkowania T s = 0:0005s Rys. 6. Symulacja rozruchu napędu i pracy dyskretnego obserwatora momentu obciążenia q 2 = 1000 przy obciążeniu biernym. Na przedstawionych przebiegach można zaobserwować równoczesne ze zmianą kierunku obrotów wirnika (dla około 1.25s symulacji) przełączenie sygnału estymowanego momentu z wartości M N do -M N. Wynika stąd, że estymacja przebiega zgodnie z zależnością (39). Na rysunku 6 można zauważyć, że szybkość narastania sygnału z obserwatora jest niewiele większa niż szybkość narastania prądu twornika, więc obserwator o takim działaniu może być czuły na zakłócenia sygnałów pomiarowych. Weryfikacja na stanowisku modelowym Badania doświadczalne zostały przeprowadzone dla napędu prądu stałego, którego układ regulacji był zrealizowany w oparciu o strukturę kaskadową. Sterowanie odbywało się z wykorzystaniem procesora sygnałowego TMS320F2812. Czas próbkowania regulatorów cyfrowych wynosił 0.0005s, a układ pomiarowy składał się z przetwornika prądu typu LEM oraz prądnicy tachometrycznej. Ograniczenie prądu rozruchowego, w porównaniu z badaniami symulacyjnymi, zostało obniżone do 50A, co wydłużyło stany przejściowe napędu i pozwoliło przeprowadzić dokładniejszą analizę. W tak zrealizowanym układzie dokonano akwizycji sygnałów ω oraz I. Rozruch silnika przeprowadzono z obciążeniem generatorowym (t = 2.5s), które wyłączono w chwili t = 7.5s i załączono ponownie w t = 11.9s. W estymacji momentu obciążenia wykorzystano parametry obserwatora wyznaczone dla wskaźnika jakości (34) o współczynnikach q 1 = 1; q 2 = 100; r = 1. Na rysunkach 8 i 9 przedstawiono kolejne etapy korekcji obserwatora dla różnych wartości czasu próbkowania T s i współczynnika q 2. Dodatkowo w przedstawionych w niniejszym punkcie przebiegach prądu jak również w wyniku symulacji z rysunku 6 widać brak stabilizacji prądu twornika podczas rozruchu. Oznacza to, że regulator prądu typu PI nie jest w stanie zapewnić astatyzmu układu regulacji (astatyzm zerowego rzędu czyli układ statyczny) w obecności Rys. 8. Estymacja momentu obciążenia dla q 2 = 100 i czasu próbkowania T s = 0:005s Rys. 9. Estymacja momentu obciążenia dla q 2 = 20 i czasu próbkowania T s = 0:005s Podsumowanie W pracy przedstawiono jedną z wielu możliwych metod do zastosowania przy projektowaniu obserwatorów momentu obciążenia. Metoda ta opiera sie o wykorzystanie dyskretnych kwadratowych wskaźników jakości i stosuje się w niej teorię liniowych stacjonarnych układów dyskretnych. Niestety nie ma możliwości używania tu całkowych wskaźników jakości do opisu pożądanego działania obserwatora. Przeprowadzenie pełnej procedury dyskretyzacji wskaźnika (13) bez częściowej dyskretyzacji ciągłego systemu dualnego (macierz C nie podlega dyskretyzacji) jest niemożliwe. Składamy serdeczne podziękowania Bogusławowi Szostakowi za wsparcie i szereg cennych uwag. 34 PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 0033-2097, R. 84 NR 7/2008

Dodatek Dane napędu prądu stałego wykorzystane w badaniach symulacyjnych: LITERATURA [1] T. Orzechowski and G. Sieklucki. Control of Dynamic System with State Variables Constraints, Applied to DC Drive. SAMS, 38:601 620, 1999. [2] G. Sieklucki. Problemy dyskretnego sterowania napędami prądu stałego z uwzględnieniem ograniczeń zmiennych stanu. PhD thesis, Akademia Górniczo-Hutnicza,Kraków, 2000. [3] A. Ciepiela. Zagadnienie optymalnej stabilizacji prędkości w napędach prądu stałego. Prace VI KKA, Wyd. NOT. Poznań, (T.3):x, 1974. [4] T. Orzechowski and G. Sieklucki. Zastosowanie metody spektralnej faktoryzacji w doborze regulatora lq dla napędu pradu stałego. Kraków, Kwart. AGH, Elektrotechnika, 17(2), 1998. [5] K.J. Astrom and B. Wittenmark. Computer-Controlled Systems. NJ: Prentice Hall, 1997. [6] F. M. Callier and Ch. A. Desoer. Linear System Theory. New York, Springer-Verlag, 1991. [7] H. Kwakernaak and R. Sivan. Linear Optimal Control Systems. New York: Wiley Interscience, 1972. [8] T. Kaczorek. Teoria sterowania. Tom 1. Warszawa, PWN, 1977. [9] J.R. Vaccaro. Digital Control. A State-Space Approach. McGraw-Hill, Inc., 1995. [10] K. Ogata. Discrete-Time Control Systems. Prentice Hall, 1995. [11] T. Chen and B Francis. Optimal Sampled-Data Control Systems. London, Springer-Verlag, 1995. [12] P. Dorato and A. H. Levis. Optimal Linear Regulators: The Discrete-Time Case. IEEE Transaction on Automatic Control, AC-16(6):613 320, 1971. [13] P. Dorato, Ch. Abdallah, and V. Cerone. Linear-Quadratic Control: An Introduction. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1995. [14] W. Mitkowski. Stabilizacja systemów dynamicznych. Warszawa, WNT, 1991. [15] A.H. Levis, R.A. Schlueter, and M. Athans. On the behavior of optimal linear sampled-data regulators. Int. J. Control, 13(2):343 361, 1971. [16] Ch.F. Van Loan. Computing Integrals Involving the Matrix Expotential. IEEE Transaction on Automatic Control, AC- 23(3):395 404, 1978. [17] A. J. Laub. A Schur Method for Solving Algebraic Riccati Equations.IEEE Transaction on Automatic Control, AC- 24(6):913 921, 1979. [18] T. Pappas, A.J. Laub, and N.R. Sandell. On the Numerical Solution of the Discrete-time Algebraic Riccati Equation. IEEE Transaction on Automatic Control, AC-25(4):631 641, 1980. [19] W. F. III Arnold and A. J. Laub. Generalized Eigenproblem Algoritms and Software for Algebraic Riccati Equation. Proceedings of the IEEE, 72(12):1746 1754, 1984. [20] V. Sima. Algorithms for Linear-Quadratic Optimization. Marcel Dekker, Inc., 1996. [21] A. Turowicz. Teoria macierzy, volume 895. Kraków,Skrypty uczelniane, Wydawnictwa AGH, 1998. [22] B. D. O Anderson. Second-order convergent algoritms for the stady-state Riccati equation. Int. J. Control, 28(2):295 306, 1978. [23] D. L. Kleinman. On an Iterative Technique for Riccati Equation Computations. IEEE Transaction on Automatic Control, AC- 13(1):114 115, 1968. [24] G. A. Hewer. An Iterative Technique for the Computation of the Stady State Gains for the Discrete Optimal Regulator. IEEE Transaction on Automatic Control, AC-16(4):382 383, 1971. [25] W. Leonhard. Control of Electrical Drives. Berlin, Springer- Verlag, 1990. [26] H. Tunia and M.P. Kaźmierkowski. Podstawy automatyki napędu elektrycznego. Warszawa, WNT, 1983. [27] M. Tondos. Odtwarzanie momentu obciążenia w napędach hutniczych. Kraków, Elektrotechnika, ZN AGH, Z. 17, 1990. [28] G. Sieklucki, T. Orzechowski, R. Sykulski, and B. Szostak. Start-up of DC drive under load. Archives of Control Sciences,17(3):283 293, 2007. Autorzy: dr inż. Grzegorz Sieklucki, dr hab. inż. Tadeusz Orzechowski, dr hab. inż. Maciej Tondos, mgr inż. Rajmund Sykulski Akademia Górniczo-Hutnicza, Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki; Katedra Automatyki Napędu i Urządzeń Przemysłowych al. Mickiewicza 30, 30-059 Kraków email: sieklo@kaniup.agh.edu.pl; orzech@uci.agh.edu.pl tondos@uci.agh.edu.pl, sykulski@kaniup.agh.edu.pl PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 0033-2097, R. 84 NR 7/2008 35