Autor: Piotr Wołowik (e-mail: piotrw@et.put.poznan.pl) jest doktorantem w Instytucie Elektroniki i Telekomunikacji Politechniki Poznańskiej.

Ruletka, Black Jack, zakłady bukmacherskie hazard widziany oczami matematyka. Matematyczna teoria informacji zastosowana do optymalnego zarządzania kapitałem w grach losowych. Autor: Piotr Wołowik (e-mail: piotrw@et.put.poznan.pl) jest doktorantem w Instytucie Elektroniki i Telekomunikacji Politechniki Poznańskiej. Popularność hazardu Hazard był dziedziną, która od zawsze towarzyszyła rozwojowi ludzkiej cywilizacji. Ślady hazardu w postaci wykopalisk archeologicznych znajdowano już w starożytnym Babilonie i ruinach budowli Cesarstwa Rzymskiego. Wiele źródeł historycznych również donosi o hazardzie jako sposobie rozrywki lub metodach rozstrzygania sporów. O ile hazard może być pewnego rodzaju zabawą to w przypadku, gdy w grę wchodzą duże pieniądze, może stać się źródłem wielu nieszczęść, a przed wszystkim uzależnienia psychicznego. Uzależnienie takie, podobnie jak alkoholizm czy narkomania, potrafi doprowadzić człowieka do ruiny zarówno zdrowotnej jak i finansowej. W Polsce współcześnie, hazard jest prawnie zalegalizowany. Istnieją kasyna i salony gier (najczęściej w hotelach), gdzie każdy pełnoletni obywatel może spędzić rozrywkowo czas grając w takie popularne gry jak: ruletka, Black Jack, poker itp. Z hazardem mamy również do czynienia w przypadku popularnych sportowych zakładów bukmacherskich tyle tylko, że w tym przypadku nie zdajemy się całkowicie na los szczęścia - ale liczymy na swoje trafne szacowanie umiejętności sportowych graczy. Kasyna nie są instytucjami charytatywnymi i jak każde formy działalności gospodarczej nastawione są na zysk. Stąd nie powinno dziwić nawet laika, że gry w nich oferowane, z matematycznego punktu widzenia są tak skonstruowane, aby stanowić dla kasyna źródło dochodu, nigdy straty. Sposobem, w jaki kasyno najefektywniej zarabia jest duży obrót pieniędzmi graczy stąd im więcej ludzi odwiedza salony gier tym interes lepszy. Część graczy grająca w daną grę wygrywa pewne kwoty pieniężne, część pewne kwoty przegrywa. Pieniądze z tych przegrywających przepływają do wygrywających, ale pewna ich cześć pozostaje w kasie kasyna. Część ta, zależy od rodzaju gry i stanowi pewien procent od przepływającego kapitału. W terminologii gier funkcjonuje to pod pojęciem przewagi kasyna (ang. house advantage). Matematycznie gry są tak skonstruowane, że przewaga kasyna zawsze istnieje. Tyle tylko, że pewne gry są bardziej zachłanne niż inne tzn. większy procent od przepływającego kapitału trafia do kasy kasyna. Statystycznie rzecz ujmując grając w tak zaprojektowane gry, w długofalowej perspektywie, po zbilansowaniu naszych wygranych i przegranych, zawsze będziemy do tyłu. I nie mają tutaj znaczenia żadne tzw. systemy gier rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna stoją jawnie w sprzeczności z ich cudownym przesłaniem. Jedynym wyjątkiem spośród wszystkich gier hazardowych jest słynny Black Jack. Tutaj grając odpowiednim systemem mnemoniczno-matematycznym (systemy takie można znaleźć w Internecie oraz różnej tematycznej literaturze [1,2,3]), my mamy statystyczną przewagę nad kasynem. Jest ona nieznaczna, a jej wysokość uzależniona jest od ilości dostępnych talii kart w grze. Oznacza to, że grając takimi systemami, oprócz dobrej zabawy, możemy zwiększyć swój kapitał początkowy netto o kilka procent. No dobrze - ale spyta ktoś skoro istnieją systemy, to dlaczego kasyno promuję tą grę, mogąc w niej stracić? Rzecz w tym, że systemy te wymagają odpowiednio wyćwiczonej pamięci. Przy stole do gry, pod żadnym pozorem, nie wolno robić notatek. Dobra pamięć wymaga zapamiętywania schodzących z talii kart i na ich podstawie podejmowania decyzji odnośnie aktualnych i przyszłych kwot obstawiania. Film, w którym przedstawiono graczy grających tą techniką był legendarny Rain Man ze znakomitą rolą Dustina Hoffmana. Tyle tylko, że główny bohater był człowiekiem autystycznym. Ludzie z cechami autystycznymi cechują się w pewnych przypadkach niezwykłymi zdolnościami matematycznymi lub pamięciowymi. Zdolności te właśnie zapewniły głównym bohaterom filmu szczęście w grze w Las Vegas. Wartość oczekiwana gry Każda gra losowa z określoną wypłatą posiada dla gracza swoją wartość oczekiwaną. Wartość ta, w przypadku rozgrywania danej gry nieskończoną ilość razy, charakteryzuje jego średni zysk przypadający na pojedynczą grę (bilans zysków i strat podzielony przez ilość rozegranych partii). Matematyczny wzór ją definiujący wyraża formuła: [ X ] = p [ zysk] + ( 1 p) [ strata] E p określa prawdopodobieństwo osiągnięcia sukcesu w grze (a tym samym określonego zysku), wartość (1-p) odpowiednio prawdopodobieństwo porażki i straty obstawienia. 1

Zobaczmy jak to wygląda w przypadku gry polegającej na pojedynczym rzucie sześcienną kostką. Gracz stawia pewną kwotę na określony wynik. Jeżeli trafi to dostaje od kasyna wypłatę k razy zwielokrotnioną względem tego co postawił, a jeżeli nie - traci swój zakład. Jaką wartość musi przyjąć k aby gra była sprawiedliwa dla obu stron? Prawdopodobieństwo trafienia obstawionej ścianki wynosi 1/6, zaś pozostałych ścianek jest ich pięć - czyli 5/6. Wartość oczekiwana gry dla gracza: 1 5 E ( 6 6 [ X ] = [ k ( stawka zakadu) ] + [( 1) stawka zakladu) ] Aby gra była sprawiedliwa, wartość oczekiwana powinna wynosić zero (nikt nic nie zyskuje czyimś kosztem). W takim przypadku wartość wypłaty k powinna wynosić 5 (tj. np. 5 złotych za każdą jedną postawioną złotówkę). Jeżeli kasyno ustaliłoby wypłatę k na poziomie np. 4, to wartość oczekiwana gry dla gracza byłaby ujemna i wynosiła minus 1/6. Byłaby to kwota, jaką gracz traciłby na rzecz kasyna średnio na każdy jeden postawiony zakład (tj. ok. 16%). Jeżeli wartość jego zakładów byłaby stała i wynosiła np. 1 zł, to w każdej grze traciłby on ok. 16 groszy. Natomiast jeżeli wyplata k wynosiłaby np. 6, to wartość oczekiwana tej gry byłaby dla niego dodatnia - co oznaczałoby, że w każdej grze średnio zyskiwałby 16 groszy netto - czyli dążyłby do tego, aby rozegrać jak największą ilość partii. Wszechobecna matematyka Spójrzmy teraz oczami matematyka na najpopularniejszą grę spotykaną w kasynach. Grą tą jest ruletka. Jak żadna spośród innych, nie obrosła tyloma mitami i legendami oraz cudownymi systemami, które miały przynieść ich właścicielom dużą, łatwą i szybką fortunę. Ruletka Amerykańska Koło podzielone jest na 37 części. Numeracja pól od 1 do 36 plus pole cyfry zero. Kwoty wypłat podane są w tabeli. Gra polega na odpowiednim obstawianiu stosownych pól, ich kombinacji lub całych wyszczególnionych grup. Pole zero gra na korzyść kasyna. Jeżeli wypadnie to wszystkie zakłady na inne numery, a także zakłady na tuziny i kolumny przegrywają. Pozostałe obstawienia na szansach: numery duże i małe, kolory czerwone i czarne, liczby parzyste i nieparzyste, przegrywają połowę stawki. Reguły ruletki uzależnione są od jej ustalonych przez kasyno odmian, np. niektóre posiadają podwójne pole zero. Tabela wypłat w ruletce. Zakład Wyplata Jeden numer 35:1 Dwa numery 17:1 Trzy numery 11:1 Cztery numery 8:1 Sześć numerów 5:1 Kolumna 2:1 Tuzin 2:1 Małe numery 1:1 Duże numery 1:1 Parzyste 1:1 Nieparzyste 1:1 Czerwone 1:1 Czarne 1:1 2

W grze w Black Jacka udział bierze krupier (po stronie kasyna), który gra przeciwko graczom. Zasada i przebieg gry w uproszczeniu odbywa się w następujący sposób. Na początku gracze stawiają swoje zakłady. Krupier rozdaje karty (jednocześnie je odkrywając) każdemu z uczestników po dwie, sobie tylko jedną. Zadaniem graczy jest dobór kart do wartości 21. Figury w kartach (króle, damy, walety) maja wartość 10, pozostałe zgodnie z ich wartością liczbową. Wyjątkiem jest AS, który może w zależności od kontekstu oznaczać 1 lub 11. Gracz może dobierać dowolną ilość kart, jakkolwiek przekroczenie limitu 21 oczek powoduje jego natychmiastowa porażkę i stratę całości obstawienia. Jeżeli zdecyduje się zatrzymać na jakiejś ilości oczek mniejszej od 21, karty zaczyna dobierać sobie krupier. Zasadą jest, że dobierać (za każdym razem) musi on tylko do wartości 17. Jeżeli posiada np. 18 lub więcej oczek musi na tym poprzestać. W przypadku, gdy krupier dobierając karty przekroczy limit 21, również natychmiastowo przegrywa. Gracz wygrywa jeżeli jego ilość oczek jest bliższa wartości 21 niż krupiera. W takim przypadku wygrywa wartość netto 100% swojego zakładu. Możliwa jest także większa wypłata, jeżeli otrzyma on w pierwszych dwóch kartach tak zwanego Black Jacka. Składa się on z asa i karty o wartości 10 (dowolna figura lub liczbowa dziesiątka). W takim przypadku wyplata wynosi 150% netto wartości postawionego zakładu (przy założeniu, że krupier Black Jacka nie posiada, bo wtedy jest sytuacja remisowa). W grze w Black Jacka możliwe są różne warianty, takie jak rozbijanie par, podwajanie w ciemno, rozbijanie i podwajanie, ubezpieczenie. Warianty te nie są omawiane ze względu na objętość artykułu. Ich różnorodność w znacznym stopniu wzbogaca tą grę w dodatkowe interesujące możliwości strategiczne. Na ich podstawie konstruowane są właśnie rozmaite systemy gry. Są one dość skomplikowane i zależą od ilości dostępnych talii kart w grze, jakkolwiek przede wszystkim znaczenie ma w nich odpowiednio wyćwiczona pamięć. Na początku gry, gdy zbiór talii kart liczy wiele sztuk, nie jest możliwe przewidzenie jakie karty pojawią się w najbliższym rozdaniu. Jeżeli gra trwa i w talii zostaje ich coraz mniejsza ilość, to pamięć o tych kartach co już zeszły, pomocna może być w przewidzeniu jakie jeszcze w niej zostały. Względem tego oceniając swój rozkład kart i karty krupiera, gdy jest korzystny, gracz może zacząć grać podwyższonymi stawkami lub stosować podwojenia. Najprostsze systemy proponują liczenie tylko kart dziesiątek, które zeszły i w zależności od tego podejmowanie stosownych rozbić i podwojeń. Gracz z dobrą pamięcią może zapamiętywać wszystkie schodzące karty, takie jak dziewiątki, ósemki itd. i względem tego trafniej podejmować decyzje odnośnie obstawień i dobierania kolejnych kart w grze. Należy wspomnieć również to, że może on grać na więcej niż jednym polu stosując różne wysokości obstawień. W takim przypadku pola o minimalnych kwotach gry może przeznaczyć na stratę, ale dzięki nim mieć wpływ na przewidywanie i rozkład stosownych kart wpływających na pole o dużej stawce zakładu. Widać stąd jaka istnieje różnorodność wariantów gier, gdzie każdy zainteresowany (np. przy pomocy symulacji komputerowych) może sobie wypracować własny znany tylko jemu skuteczny system. Opis różnych wariantów Black Jacka jak i proponowanych względem nich systemów liczenia schodzących kart, a także wiele innych ciekawostek dotyczących tej gry, znaleźć można na stronach: http://www.kasyno.org/, http://www.blackjackinfo.com/ oraz http://www.bjmath.com/. Załóżmy, że decydujemy się na najprostszy i najpopularniejszy sposób gry. Obstawiamy kolor czarny albo czerwony. Prawdopodobieństwo ich wypadnięcia wynosi 18/37 - co jest bardzo bliskie 0,5. Stawiamy jeden żeton (załóżmy dla uproszczenia, że wart jedną złotówkę) na określony kolor. Jeżeli trafimy zyskujemy jeden żeton, a jeżeli nie - tracimy nasze obstawienie. Wartość oczekiwana naszej wygranej: 18 18 1 E [ X ] = ( + 1) + ( 1) + ( 0.5) = 0.0135 37 37 37 Widzimy, że gra jest dla nas niekorzystna (E[X]<0). Nasza strata to ok. 1.35%. Stanowi ona wspomnianą wcześniej przewagę kasyna. Kasyno uzyskuje w grze przewagę poprzez wprowadzenie pola zero (prawdopodobieństwo jego wypadnięcia wynosi 1/37), które gra na jego korzyść. Jeżeli nie było by zera to E[X]=0 i mielibyśmy do czynienia z grą sprawiedliwą. Jeżeli obstawialibyśmy tuziny lub kolumny to wartość oczekiwana naszej gry wynosiłaby: 3

12 24 1 E [ X ] = ( + 2) + ( 1) + ( 1) = 0.027 37 37 37 W takim przypadku, na każdy postawiony zakład, tracimy średnio na rzecz kasyna, aż ok. 2,7% naszych pieniędzy. Podobnie możemy wyliczyć pozostałe wartości oczekiwane uwzględniając tabelę wypłat. Zasada jest jednak taka - tracimy zawsze, bo statystycznie rzecz ujmując stracić musimy. Popatrzmy, jak próbowano oszukać kasyno i stworzyć system, który zamieniłby ujemną wartość oczekiwaną gry na dodatnią. System Martingale Ktoś kiedyś wymyślił tak: postawię na kolor czerwony 1 żeton, jak wygram - to w porządku zyskałem jeden żeton netto, a jak przegram to podwoję stawkę i postawie w następnej grze 2 żetony na ten sam kolor. Jeżeli wygram teraz - to mam 2 żetony zysku minus 1 żeton straty w poprzedniej grze, czyli netto i tak jestem 1 żeton do przodu. Jakkolwiek, jeżeli i w drugiej grze również nie dopisze mi szczęście, to w trzeciej grze znowu podwoję stawkę, czyli teraz postawię na ten sam kolor 4 żetony. Gdy wygram teraz - to mój zysk 4 żetony minus 3 żetony straty w poprzednich grach - zostaje na czysto 1 żeton. Rozumowanie takie, można prowadzić w nieskończoność - grając i za każdym razem podwajając stawkę. W nieskończoność raczej teoretycznie, gdyż w końcu jednak kolor czerwony wypadnie. Można wtedy zacząć nasze rozumowanie od początku, rozpoczynając tym samym nowy ciąg takich samych gier-obstawień będąc z jednym żetonem zysku netto w kieszeni. W rozpatrywanym schemacie, w celu uproszczenia przyjęto, że wypadniecie zera jest sytuacją przegrywającą. Takie założenie znacząco nic nie zmienia, więc możemy sobie na nie pozwolić (zresztą w niektórych odmianach ruletki tak faktycznie jest). Powyższe rozumowanie takiego systemu gry, wydaje się spójne logiczne. U podstaw jego leży ekonomicznomatematyczny termin tzw. martyngał. Sama zaś zasada takiego obstawiania w grze nosi nazwę zasady Martingale. Jej wariacje - to systemy potrajania lub innej specyficznej modyfikacji kwoty początkowej stawki. Reguły i prawa nimi rządzące są jednak identyczne do tych, jakie można wyprowadzić dla zasady Martingale. Gra tą metodą jest tylko z pozoru korzystna. Proszę zwrócić uwagę jak szybko rośnie kwota obstawiania, którą sukcesywnie podwajamy. Przy złym losie (a jak pokazują symulacje komputerowe nie jest to rzadki przypadek), nie trafić pod rząd możemy nawet 10 razy - co powoduje rząd obstawienia 1024 żetony na kolejną jedenastą w cyklu grę (przy dotychczas postawionej kwocie 1023 żetonów). Po prostu, może mam zabraknąć pieniędzy na następne obstawienie!!! Może się również zdarzyć, że nasza kwota, którą chcemy postawić przekroczy maksymalny limit stołu gry. Maksymalny limit stawki na pojedynczy zakład - jest pewnego rodzaju zabezpieczeniem się kasyna, aby ktoś przy nieskończonej kwocie pieniędzy - jednak nie miał opcji gry w nieskończoność. W przypadku osiągnięcia limitu, można jednak ten problem obejść w sposób polegający na zamianie stołu gry (w trakcie trwania naszego cyklu obstawień) na ten o wyższych limitach początkowym i końcowym. Rozpocząć należałoby wtedy podwajanie od odpowiednio wyznaczonej kwoty, na którą dany stół zezwala. Oczywiście, żeby taka zmiana stołu gry była możliwa, rozpoczynać należałoby na stole o najniższym dolnym limicie stawki na jeden zakład. Gra tym systemem ciągle posiada ujemna wartość oczekiwaną gry dla gracza, wobec czego korzystna jest dla kasyna. Interesujący jest jednak fakt, że systemy takiego obstawiania, oraz ich różne odmiany, cieszą się bardzo duża popularnością. Wynika ona jednak nie z obliczeń matematycznych, które nie każdy umie przeprowadzić, ale pozornie słusznego rozumowania dotyczącego zasad ich działania. Nie powinno wobec czego dziwić, że tego rodzaju systemy są również promowane przez kasyna. Mamy z nimi do czynienia również w innych grach losowych. Promowane są one do tego typu gier jak MultiLotek, także do zakładów bukmacherskich itp. 4

Przykładowa gra systemem Martingale Rozważmy przykład statystycznego obywatela. Dysponuje on kwotą 2047 zł i zdecydował się kupić wymarzony telewizor w cenie równo posiadanej kwoty. Przed dokonaniem transakcji postanowił zjeść obiad. Żeby nie uszczuplać funduszy przeznaczonych na zakup, zdecydował się wstąpić do kasyna i grając systemem Martingale, zarobić ok. 30 zł na posiłek. Aby mu się to udało - musiałby wygrać 30 cykli gry zasadą podwajania obstawień. Z każdego cyklu zarobiłby netto jeden żeton (wart 1 zł) razem 30 zł. Jeżeli obstawia nieustannie kolor czerwony - to aby osiągnąć zysk 30 zł netto dysponując kwotą początkową 2047 zł - potrzebuje, aby w jego 30 cyklach gry ani razu pod rząd (w jednym cyklu) nie wypadł kolor czarny 11 razy. Taki przypadek skończyłby się dla niego całkowitym bankructwem (jego 11 zakład posiadałby wartość 1024 zł plus 1023 zł stracone w poprzednich 10 grach). Bezpieczeństwo tej strategii gry wynosi ok. 98% i jest to wartość bardzo duża - ale proszę pamiętać, że istnieje ok. 2% realnej szansy utraty wszystkich posiadanych pieniędzy. Przy możliwości zarobku 30 zł nie wszystkim może wydawać się taka opcja rozsądna. Wykres przedstawiający teoretyczne prawdopodobieństwo sukcesu oraz bankructwa metody Martingale (podwajanie obstawień) w przypadku chęci osiągnięcia określonego zysku netto. Wraz ze wzrostem tego zysku maleje prawdopodobieństwo jego osiągnięcia, a rośnie możliwość całkowitego bankructwa. Granie w praktyce Jeżeli już jednak ktoś postanowi stosować takie systemy (a sądzę, że niektórych czytelników może to zainteresować) istnieje system najbardziej optymalny. Ma on sens tylko w przypadku gry giełdowej lub zakładów sportowych (oprócz szczęścia decyduje również stosowna wiedza). W pozostałych przypadkach (gry hazardowe), jego powodzenie zależy od naszego dodatkowego systemu, który sami sobie wypracujemy, obserwując reguły rządzące konkretną grą, a raczej odchyleniami od niej. Przykładem takich zaobserwowanych odchyleń od normy jest choćby fakt zużywania się łożysk koła do gry oraz szacowanie prędkości kuli rzucanej mechanicznie przez tego samego krupiera. Na podstawie tego obstawiać można określone sektory koła (w ruletce obstawiać można, kiedy kulka krąży już po kole). O ile z pozoru mogłoby się to wydawać nierealne, autor książki [2] opisał taką metodę jako sposób, który właśnie zapewnił mu zysk w tej grze. Z całkowicie innej perspektywy pozycji krupiera autor pozycji [1], również zalecał taka analizę. Zainteresowane szczegółami osoby więcej informacji znajdą we wspomnianych pozycjach. Warto tutaj też jako ciekawostkę wspomnieć, że na początku zaistnienia w Polsce gry MultiLotek, kiedy kule oprócz cyfr pokolorowane były różnymi barwami, jeden z kolorów wypadał statystycznie nieznacznie rzadziej niż pozostałe, co zaowocowało ich stosownym przebarwieniem. 5

Wspomniany system optymalnego obstawiania, nosi nazwę tzw. kryterium Kelly, na cześć autora, który pierwszy na niego zwrócił uwagę [4]. Dotyczy on takiego zarządzania pieniędzmi, aby umiejętnie obstawiając osiągnąć optymalny zysk przy minimalnej możliwości bankructwa. Przykład gry z wypłatą 1:1 Aby zobrazować zjawisko, rozważmy następną, czysto teoretyczną grę z wypłatą 1:1. Grają gracze A i B monetą, która jest lekko niesymetryczna jedna strona wypada statystycznie 52%, druga 48%. Gracz A dysponuje kwotą 100 zł i obstawia korzystną dla siebie stronę monety (gracz B obstawia stronę przeciwną). Decyduje się na bezpieczna strategię gry. Stawia 1 zł na każdy zakład i w zależności od wyniku rzutu zyskuje lub traci 1 zł (odpowiednio na niekorzyść lub korzyść gracza B). Jeżeli rozegrają 1000 gier, to statystycznie rzecz biorąc, gracz A wygra średnio 520 razy a przegra 480. Czyli zarobi 40 zł. Gracz A, mógłby zagrać strategią ryzykowną - stawiać 100% tego co ma na każdą grę. Po 5 kolejnych korzystnych dla niego grach miałby 3200 zł. Zyskałby 3100 zł netto. Żeby tego dokonać, musiałby wygrać 5 gier pod rząd, co jest z punktu widzenia teoretycznej wartości prawdopodobieństwa tego zdarzenia nie jest łatwe jakkolwiek nie niemożliwe. Jeżeli choć raz wynik gry byłby dla niego niekorzystny, zakończyłby grę bankrutując. Gracz nasz, mógłby wybrać inny wariant obstawiania - polegający np. na przeznaczaniu na następny zakład, pewnego stałego procenta posiadanej kwoty. Jeżeli procent ten byłby wysoki (np. 60%), to jego zysk końcowy zdeterminowany byłby wynikami początkowych gier. Przy dominującym na początku ciągu przeważających w grze porażek, straciłby znaczącą część kapitału, której nie zdążyłby w dalszej części gry odrobić. Zakończyłby wtedy grę poniżej kwoty początkowej 100 zł mimo, iż gra była dla niego korzystna. Z kolei, przeznaczony na kolejne gry mały procent aktualnie posiadanego przez gracza kapitału (np. 2%) byłby strategią bezpieczną, jakkolwiek niekorzystną jeśli chodzi o optimum zysku, jakie mógłby w niej uzyskać. Powstaje pytanie: jak nasz gracz powinien obstawiać (jaki stały procent swojego posiadanego kapitału powinien przeznaczać na kolejne gry), aby zmaksymalizować swój zysk i jednocześnie zminimalizować ewentualna stratę? Kryterium Kelly Odpowiedź na to pytanie została po raz pierwszy udzielona przez J. L. Kelly'ego. Bazując na matematycznej teorii informacji i jej zastosowania w telekomunikacji podał on wzór definiujący optymalna wartość procenta aktualnie posiadanej kwoty przeznaczanej na kolejne gry. Pomijając dowód matematyczny, który można odnaleźć w [4], wartość zakładów gracza A powinna być równa odpowiedniemu stałemu procentowi aktualnie posiadanej kwoty pieniężnej. Procent ten określa formuła: * ( k + 1) p 1 f = k Oznaczenia: p - jest to prawdopodobieństwo sukcesu (gra musi być korzystna - czyli p>0.5) i w rozważanej grze wynosi 0,52. k - jest to wypłata netto w grze w przypadku sukcesu. W naszej grze wynosi ona 1 (na każdą postawiona złotówkę jest jedna złotówka wypłaty). W rozważanym przypadku ułamek ten wynosi 0,04. Strategia gracza A, z uwzględnieniem naszej formuły, wyglądałaby w ten sposób. Na każdą kolejna grę stawia 4% swojego aktualnego kapitału. Tak więc w pierwszej grze stawia 4 zł. Jeżeli wygra, dysponuje kwotą 104 zł. W drugiej stawia 4%*104 zł=4,16 zł. Jeżeli przegra, to jego kapitał wynosi 99,84 zł i w trzeciej grze stawia 4%*99,84 zł= 3,99 zł itd. Statystycznie kapitał gracza po rozegraniu przez niego 1000 gier wynosić będzie średnio 100 zł*2,226=222,6 zł. Na czysto zyskałby 122,6 zł - to jest 122,6% kwoty początkowej. Reasumując, przedstawiony system optymalnego obstawiania znajduje swoja użyteczność tylko w przypadkach posiadania w grze statystycznie niewielkiej przewagi (patrz sytuacje arbitrażowe w zakładach sportowych). W innych przypadkach jest on bezwartościowy. Nawet w grze sprawiedliwej równych szans i wypłat. Strategia taka może być stosowana w przypadku gry giełdowej (oczywiście po odpowiedniej modyfikacji). Przewaga, jaką mamy po naszej stronie to stosowna wiedza ekonomiczna. Drugą dziedziną może być możliwość jej wykorzystania w sportowych grach bukmacherskich. O ile tutaj, również proponowane stawki na określone zdarzenia sportowe wyliczone są w specyficzny korzystny dla bukmachera sposób (ramka poniżej) to po naszej stronie, mamy znajomość realiów sportowych rządzących dana dyscypliną (także sytuacji arbitrażowych). Zdarzenia sportowe tak rozpatrywane - można porównać do typowego rynku finansowego, w którym przedmiotem analizy technicznej są wyniki drużyn osiągane w aktualnie rozgrywanym sezonie. Autor mają nadzieję, że przedstawione rozważania stanowić będą dla czytelników dobry materiał wyjściowy do samodzielnego wniknięcia w przedstawioną problematykę. 6

W jaki sposób bukmacher ustala kursy na określone zdarzenia sportowe? Rozpatrzmy (w celu uproszczenia obliczeń) przypadki obstawień u bukmacherów internetowych. Proponują oni większe stawki ze względu na redukcje kosztów prowadzenia i utrzymania swojej działalności. Firmy te zarejestrowane są w krajach (np. Malta), w których ta forma działalności gospodarczej zwolniona jest z podatku, względem czego grający przy zawieraniu zakładu również jest niego zwolniony. Zwycięstwo Remis Zwycięstwo B Zdarzenie sportowe A (P3, W3) (P1, W1) (P2, W2) A versus B K1=1,95 K2=3,20 K3=3,55 Grają dwie drużyny A i B. Bukmacher szacuje większą szansę (większe prawdopodobieństwo P1) zwycięstwa drużyny A (wynik W1) - wobec czego proponuje zakład na jej zwycięstwo z kursem wypłaty K1=1,95 (za każdą postawiona złotówkę w przypadku zwycięstwa A wyplata wynosi 1,95 zł, czyli zysk netto 0,95 zł). W ten sam sposób szacuje szanse (prawdopodobieństwo P3) i kurs K3=3,55 na zwycięstwo drużyny B (wynik W3). Zdarzenie to bukmacher ocenia za mniej prawdopodobne dlatego proponowany kurs jest wyższy. Kurs wyznaczony na zdarzenie remisowe (prawdopodobieństwo zdarzenia P2, wynik W2) wynosi K2=3,20. Dokładne wartości prawdopodobieństw wyników na określone zdarzenia nie są oczywiście znane bukmacherowi ani jego klientom, są one szacowane i ustalane na podstawie analizy rynku zdarzeń sportowych. Brana jest pod uwagę przeważnie aktualna sportowa dyspozycja drużyny weryfikowana ostatnio osiąganymi przez nią wynikami. Jeżeli gra polegająca na postawieniu dowolnej stawki (S) na określony wynik (W1, W2, W3) przy ustalonych na nich kursach (K1, K2, K3) i oszacowanych prawdopodobieństwach ich zajścia (P1, P2, P3) ma być uczciwa, to wartość oczekiwana wygranej powinna wynosić zero: ( K1 1) S + ( P2 + P3) ( S) = 0; ( P2 + P3 = 1 P1) ; K1 1 1 ( K 2 1) S + ( P1 + P3) ( S) = 0; ( P1 + P3 = 1 P2) ; K 2 1 2 ( K3 1) S + ( P1 + P2) ( S) = 0; ( P1 + P2 = 1 P3) ; K3 1 3 E [ X ] = P1 = P E [ X ] = P2 = P E [ X ] = P3 = P Ustalony kurs K1, K2 oraz K3 - w przypadku gry sprawiedliwej - powinien być wyznaczony na podstawie odwrotności oszacowanych prawdopodobieństw wyników danego zdarzenia sportowego. W praktyce tak jednak nie jest. Bukmacher prowadzi swoją działalność aby zarobić i ustala kursy na poziomie nieznacznie niższym tzn. K1<1/P1, K2<1/P2 oraz K3<1/P3. Wartość Z=1/K1+1/K2+1/K3 jest w takim przypadku większa od jedynki i określa ile, niezależnie od wyniku zdarzenia, zarabia bukmacher. Im wartość Z jest większa od 1 - tym jest bardziej zachłanny. Ważne jest to, że porównując kursy u kilkunastu (a nawet kilkudziesięciu) bukmacherów, możemy znaleźć odpowiednią wartość Z mniejszą od jedynki (oczywiście nigdy nie u tego samego bukmachera). W takim przypadku umiejętne obstawienie przeciwnych zdarzeń tego samego zdarzenia sportowego u różnych bukmacherów, bez względu na wynik - przyniesie nam wymierny pewny zysk. Wyszukiwaniem takich kursów (tzw. sytuacji arbitrażowych), ich analizą i porównywaniem, zajmują się różne tematyczne serwisy internetowe (np. http://www.betbrain.com oraz http://www.noriskbetting.com ). Zobaczmy ile zarabia bukmacher naszym kosztem niezależnie od wyniku zdarzenia sportowego A vs B. Otrzymujemy Z=1/K1+1/K2+1/K3=1,107 wartość powyżej jedynki wynosi 0,107 - czyli około 10,7% (wartość ta stanowi odpowiednik przewagi kasyna). Weźmy teraz pod uwagę przykład porównywania kursów u różnych bukmacherów. Przykład jest całkowicie fikcyjny i wymyślony przez autora względem zobrazowania rozważanego zagadnienia. Andrzej Gołota spotyka się w finale meczu bokserskiego o mistrzostwo świata z Mikem Tysonem. Bukmacher Epekt wycenia kurs na zwycięstwo Gołoty jako K1a=2,50, a na zwycięstwo Tysona K2a=1,50. Otrzymujemy Za=1/K1a+1/K2a=1,066. Inny bukmacher Unibet daje większe szanse na zwycięstwo Gołoty i ustala kurs K1b=2,00 przy kursie K2b=1,73 na zwycięstwo Tysona. Otrzymujemy Zb=1/K1b+1/K2b=1,078. Obliczmy teraz wartość Zab w przypadku obstawiania zwycięstwa Andrzeja Gołoty w Epekt a zwycięstwa Mika Tysona w Unibet. Otrzymujemy Zab=1/K1a+1/K2b=0,978. Jest to wartość mniejsza od jedynki czyli gwarantująca nam pewny zysk. Jeżeli teraz gracz postawiłby np. 40 zł na zwycięstwo Gołoty w Epekt, a 57,80 zł na zwycięstwo Tysona w Unibet, to w obu przypadkach niezależnie od wyniku meczu zarobiłby 100 zł przy łącznej inwestycji 97,80. Jego zysk netto były pewny i wyniósłby 2,20 zł. Jeżeli zainwestowałby kwotę 10-krotnie większą to również 10-krotnie wzrósł by jego zysk netto do poziomu 22 zł. Sytuacje arbitrażowe jakie proponują odpłatnie rozważane serwisy (informacja jak wiadomo kosztuje) gwarantują zysk rzędu do ok. 10% (a czasami nawet większy). W żadnym banku czy funduszu takiego pewnego zysku tak szybko nie osiągniemy. Wadą i niedogodnością w stosowaniu takich rozwiązań jest to, że należałoby mieć pozakładane konta u różnych bukmacherów (a jest ich na całym świecie bardzo wielka ilość) z odpowiednią kwotą dostępnych funduszy 7

umożliwiających grę rozsądnymi stawkami. [1] Buczny A.: Wygrać w kasynie. Wyd. Prószyński i S-ka, Warszawa 1996. [2] Thorp E. O.: The Mathematics of Gambling, ( http://www.bjmath.com/ ). [3] Epstain R. A.: The Theory of Gambling and Statistical Logic. Academic Press, INC. 1977. [4] Kelly J. L.: A New Interpretation of Information Rate. Bell System Technical Journal, Vol. 35, pp 917-926, 1956. 1. System Martingale KONIEC Matematyczny dodatek Poniższa tabela przedstawia przebieg gry systemem Martingale. Ilość porażek pod rząd (N) Końcowy rezultat w (N+1) grze Najwyższy zakład Całkowita kwota postawiona (CKP) Zysk netto (ZN) Prawdopodobieństwo (P) 19 N 18 P = * 37 37 Oczekiwany zysk=ckp*p Oczekiwany zwrot= ZN*P 0 zwycięstwo 1 1 1 0.486486486 0.486486486 0.486486486 1 zwycięstwo 2 3 1 0.249817385 0.749452155 0.249817385 2 zwycięstwo 4 7 1 0.128284603 0.897992221 0.128284603 3 zwycięstwo 8 15 1 0.065875877 0.988138155 0.065875877 4 zwycięstwo 16 31 1 0.033828153 1.048672743 0.033828153 5 zwycięstwo 32 63 1 0.017371213 1.094386419 0.017371213 6 zwycięstwo 64 127 1 0.008920353 1.132884831 0.008920353 7 zwycięstwo 128 255 1 0.004580721 1.168083855 0.004580721 8 zwycięstwo 256 511 1 0.002352262 1.202005882 0.002352262 9 zwycięstwo 512 1023 1 0.001207918 1.235700114 0.001207918 10 zwycięstwo 1024 2047 1 0.000620282 1.269717254 0.000620282 10 porażka 1024 2047-2047 0.000654742 1.340256874-1.340256874 Bilans 1.00000000 12.61608886-0.340911621 Dzieląc wartość oczekiwaną zwrotu (w tym przypadku straty - bo jest ujemna) w jednym cyklu gry 0,340911621 przez wartość oczekiwaną (średnią) kwoty postawioną na jeden cykl 12,61608886 - otrzymujemy wartość 0,027021973. Dąży ona do naszej teoretycznej wartości oczekiwanej gry, czyli ze statystycznego punktu widzenia nic nie zyskujemy i jesteśmy w punkcie wyjścia pozycji straty już na samym początku gry. Przykładowa gra systemem Martingale Rozważmy przykład statystycznego obywatela. Dysponuje on kwotą 2047 zł i zdecydował się kupić wymarzony telewizor w cenie równo posiadanej kwoty. Przed dokonaniem transakcji postanowił zjeść obiad. Żeby nie uszczuplać funduszy przeznaczonych na zakup, zdecydował się wstąpić do kasyna i grając systemem Martingale, zarobić ok. 30 zł na posiłek. Aby się mu to udało - musiałby wygrać 30 cykli gry zasadą podwajania obstawień. Z każdego cyklu zarobiłby netto 1 zł razem 30 zł. Rozpoczyna grę decydując się obstawiać swój szczęśliwy kolor czerwony. Oszacujmy bezpieczeństwo jego strategii gry. Aby osiągnąć zysk 30 zł netto dysponując kwotą początkową 2047 zł, potrzebuje, aby w jego 30 cyklach gry ani razu pod rząd (w jednym cyklu) nie wypadł kolor czarny 11 razy. Taki przypadek skończyłby się dla niego całkowitym bankructwem (jego 11 zakład posiadałby wartość 1024 zł plus 1023 zł stracone w poprzednich 10 grach). Prawdopodobieństwo takiego pecha (z uwzględnieniem zera jako przegrywającego) w jednym cyklu wynosi: 11 19 37 = 0.000654 Wobec tego, prawdopodobieństwo zysku 1 zł netto w jednym cyklu (jest to zdarzenie przeciwne do powyższego): 8

11 19 1 = 0.999345 37 Sukces ten powinien być powtórzony w 30 cyklach - czyli mamy jego prawdopodobieństwo: 30 11 19 1 = 0.980543 37 Jest to wartość bardzo duża - ale proszę pamiętać, że istnieje ok. 2% realnej szansy utraty wszystkich posiadanych pieniędzy. Przy możliwości zarobku 30 zł nie wszystkim może wydawać się taka opcja rozsądna. Wykres przedstawiający teoretyczne prawdopodobieństwo sukcesu oraz bankructwa metody Martingale (podwajanie obstawień) w przypadku chęci osiągnięcia określonego zysku netto. Wraz ze wzrostem tego zysku maleje prawdopodobieństwo jego osiągnięcia, a rośnie możliwość całkowitego bankructwa. 2. System określany jako stuprocentowy do MultiLotka Zasady gry. Grający wybiera stawkę, za którą chce grać: od 1 zł do 10 zł. Do każdej stawki doliczana jest 25% dopłaty na rozwój kultury fizycznej oraz wspieranie kultury narodowej. Następnie określa ile liczb będzie typował. Z zestaw ponumerowanych od 1 do 80 kul losowane jest 20. W przypadku poprawnego typowania - kwoty wypłat zawiera poniższa tabela. Przedstawiają one wielokrotność wypłaty jaką otrzyma gracz względem stawki przez niego postawionej. ILOŚĆ TYPOWANYCH LICZB ILOŚĆ TRAFIEŃ 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 100 000 9 5 24 000 000 8 1 10 260 000 000 9

7 70 150 300 2 500 6 6 20 30 100 60 0 5 2 4 10 10 60 33 0 4 1 1 2 2 4 10 3 1 1 2 4 2 1 System. Zasada działania tego systemu jest modyfikacją systemu Martingale przeniesioną i dostosowana do wymogów gry MultiLotek. Różnica polega nie na podwajaniu zakładów ale na ich potrajaniu. Potrajanie wynika z faktu doliczenia wspomnianego wyżej 25% podatku i względem tego stosownego skalkulowania wartości wypłat i obstawień aby gra była opłacalną. Grający wybiera sobie jakaś liczbę i codziennie dokonuje jej obstawienia. Prawdopodobieństwo wypadnięcia określonej pojedynczej liczby w jednym losowaniu wynosi 0,25 (25%). Wypłata w przypadku jej trafienia stanowi dwukrotność kwoty postawionej. Schemat gry wygląda następująco: Kolejne losowania Wysokość stawki za którą gramy Koszt losowania (pojedynczy zakład w ML kosztuje 1,00 zł +25% dopłaty) Koszt gry (suma kapitału wydana na dotychczasowe losowania) 4 0 1 2 6 1 8 2 Wygrana (w przypadku trafienia wypłacana jest podwójna wartość granej stawki) Zysk (wygrana minus koszt gry) 1 1 1,25 1,25 2,00 0,75 2 3 3,75 5,00 6,00 1,00 3 9 11,25 16,25 18,00 1,75 4 27 33,75 50,00 54,00 4,00 5 81 101,25 151,25 162,00 10,75 6 243 303,75 455,00 486,00 31,00 7 729 911,25 1366,25 1458,00 91,75 8 2187 2733,75 4100,00 4374,00 274,00.................. Zgodnie z powyższą tabela możemy zaobserwować, że w miarę wzrostu ilości losowań otrzymujemy coraz większe wygrane. Dzieje się to jednak kosztem coraz większego inwestowanego wkładu. Jeżeli prawdopodobieństwo wypadnięcia liczby wynosi 0,25 (25%) to statystycznie powinna ona wypadać średnio raz w przeciągu czterech losowań. W praktyce jednak tak nie jest i tutaj tkwi niebezpieczeństwo tego system, że grając nim możemy wyczerpać wszystkie swoje posiadane środki pieniężne. W związku z tym trzeba uważać jaką liczbę decydujemy się obstawiać. Można wybrać taką, która od bardzo długiego czasu nie została wylosowana - co tym samym mogłoby wskazywać, że wypadnie w najbliższym czasie. Nie jest to żadną regułą, bo numery nie pamiętają, że dawno nie wypadły, jakkolwiek na takich przesłankach opierają się sprzedawcy tego systemy próbujący zwiększyć jego użyteczność i wiarygodność. Poniższa tabela przedstawia prawdopodobieństwo oczekiwania na wypadnięcie danej obstawianej liczby w przeciągu określonej liczby losowań. Proszę zwrócić uwagę, że liczba tych losowań - aby uzyskać 99,99% pewności - może wynosić aż 34 razy. Przy takim oczekiwaniu (a nie jest powiedziane, że w 34 losowaniu na pewno miałaby już wypaść) kwota obstawień byłaby astronomiczna. Rozwiązaniem mogłoby być rozpoczęcie gry oczekując momentu kiedy dana liczba ma już stosowna długą przerwę niewypadnięcia np. 16. Takie podejście wcale jednak nie gwarantuje, że niebawem ona wystąpi, ponieważ do 34 (lub więcej) losowań pozostaje jeszcze 18, co przy potrajaniu stawki i tak było by kwotą astronomiczną. W przypadku gry w ruletkę można by było podobnie oczekiwać pewnego ustalonego ciągu kolejnych tych samych kolorów (np. czarnych) i zacząć obstawiać kolor przeciwny (czerwony) gdy wartość ta wynosić będzie np. 5. 10

Prawdopodobieństwo P trafienia Ilość rozpatrywanych danej liczby w przeciągu tych losowań N losowań. 1 25,00% 2 43,75% 3 57,81% 4 68,35% 5 76,26% 6 82,20% 7 86,65% 8 89,98% 9 92,49% 10 94,36% 16 98,99% 22 99,82% 28 99,96% 34 99,99%...... Uniwersalna formuła hazardu Jeżeli p określa prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia to prawdopodobieństwo zdarzenia do niego przeciwnego - czyli jego braku wynosi 1-p. Prawdopodobieństwo wypadnięcia w pojedynczym losowaniu typowanego jednego numeru wynosi p=0,25 (25%). Prawdopodobieństwo, że dane zdarzenie nie wystąpi ani razu w przeciągu N doświadczeń (losowań) wynosi: ( 1 p) N Natomiast interesujące nas prawdopodobieństwo P, że choć raz to zdarzenie w tym ciągu N doświadczeń (losowań) wystąpi wynosi: P = 1 1 ( p) N Formuła ta jest jedną z podstawowych i uniwersalnych zależności stosowanych w celu uchwycenia jakiegokolwiek determinizmu w przypadku rozpatrywanych gier losowych. 3. Kryterium Kelly Przykład gry z wypłatą 1:1 Aby zobrazować zjawisko, rozważmy następną, czysto teoretyczną grę z wypłatą 1:1. Grają gracze A i B monetą, która jest lekko niesymetryczna jedna strona wypada statystycznie 52%, druga 48%. Gracz A dysponuje kwotą 100 zł i obstawia korzystną dla siebie stronę monety (gracz B obstawia stronę przeciwną). Decyduje się na bezpieczna strategię gry. Stawia 1 zł na każdy zakład i w zależności od wyniku rzutu zyskuje lub traci 1 zł (odpowiednio na niekorzyść lub korzyść gracza B). Jeżeli rozegrają 1000 gier, to statystycznie rzecz biorąc, gracz A wygra średnio 520 razy a przegra 480. Czyli zarobi 40 zł. Gracz A, mógłby zagrać strategią ryzykowną - stawiać 100% tego co ma na każdą grę. Po 5 kolejnych korzystnych dla niego grach miałby 3200 zł. Zyskałby 3100 zł netto. Żeby tego dokonać, musiałby wygrać 5 gier pod rząd, co jest z punktu widzenia teoretycznej wartości prawdopodobieństwa tego zdarzenia nie jest łatwe jakkolwiek nie niemożliwe. Jeżeli choć raz wynik gry byłby dla niego niekorzystny, zakończyłby grę bankrutując. Gracz nasz, mógłby wybrać inny wariant obstawiania - polegający np. na przeznaczaniu na następny zakład, pewnego stałego procenta posiadanej kwoty. Jeżeli procent ten byłby wysoki (np. 60%), to jego zysk końcowy zdeterminowany byłby wynikami początkowych gier. Przy dominującym na początku ciągu przeważających w grze porażek, straciłby znaczącą część kapitału, której nie zdążyłby w dalszej części gry odrobić. Zakończyłby wtedy grę poniżej kwoty początkowej 100 zł mimo, iż gra była dla niego korzystna. Z kolei, przeznaczony na kolejne gry mały procent aktualnie posiadanego przez gracza kapitału (np. 2%) byłby strategią bezpieczną, jakkolwiek niekorzystną jeśli chodzi o optimum zysku, jakie mógłby w niej uzyskać. Powstaje pytanie: jak nasz gracz powinien obstawiać (jaki stały procent swojego posiadanego kapitału powinien przeznaczać na kolejne gry), aby zmaksymalizować swój zysk i jednocześnie zminimalizować ewentualna stratę? Kryterium Kelly Odpowiedź na to pytanie została po raz pierwszy udzielona przez J. L. Kelly'ego. Bazując na matematycznej teorii informacji i jej zastosowania w telekomunikacji podał on wzór definiujący optymalna wartość procenta aktualnie posiadanej kwoty przeznaczanej na kolejne gry. Pomijając dowód matematyczny, który można odnaleźć w [4], wartość zakładów gracza A powinna być równa odpowiedniemu stałemu procentowi aktualnie posiadanej kwoty pieniężnej. Procent ten określa formuła: * ( k + 1) p 1 f = k Oznaczenia: p - jest to prawdopodobieństwo sukcesu (gra musi być korzystna - czyli p>0.5) i w rozważanej grze wynosi 0,52. k - jest to wypłata netto w grze w przypadku sukcesu. W naszej grze wynosi ona 1 (na każdą postawiona złotówkę jest złotówka wypłaty). W rozważanym przypadku ułamek ten wynosi 0,04. 11

Maksymalizuje to zysk gracza A po N grach [2] średnio w przybliżeniu o: gdzie: określa szybkość wzrostu naszej fortuny w grze [2,4]. * W = ep( N G( f )), G( f ) = p ln(1 + kf ) + (1 p) ln(1 f ) Strategia gracza A, z uwzględnieniem naszej formuły, wyglądałaby w ten sposób. Na każdą kolejna grę stawia 4% swojego aktualnego kapitału. Tak więc w pierwszej grze stawia 4 zł. Jeżeli wygra, dysponuje kwotą 104 zł. W drugiej stawia 4%*104 zł = 4,16 zł. Jeżeli przegra, to jego kapitał wynosi 99,84 zł i w trzeciej grze stawia 4% * 99,84 zł= 3,99 zł itd. Policzmy ile statystycznie wynosić będzie jego kapitał po rozegraniu 1000 gier. Mamy: oraz * G ( f ) = 0.52 ln(1 + 0.04) + 0.48 ln(1 0.04) = 0.0008 W = ep( 1000 (0.0008)) = 2.226 Jego kapitał po rozegraniu tysięcznej partii średnio wyniósłby 100 zł * 2.226= 222,6 zł. Na czysto zyskałby 122,6 zł - to jest 122,6% kwoty początkowej. Na powyższym wykresie oś odciętych wyraża współczynnik procentowego udziału aktualnie posiadanej kwoty pieniężnej w bieżącym zakładzie. Oś rzędnych reprezentuje wartości funkcji G(f). Na wykresie zaobserwować możemy, że każda z tych funkcji - dla określonych prawdopodobieństw (wypłata k=1) - posiada swoje maksimum, które jest przedmiotem naszego zainteresowania. Maksima te, występują zawsze w punktach: * ( k + 1) p 1 f = = 2 p 1 k [1] Buczny A.: Wygrać w kasynie. Wyd. Prószyński i S-ka, Warszawa 1996. [2] Thorp E. O.: The Mathematics of Gambling, ( http://www.bjmath.com/ ). [3] Epstain R. A.: The Theory of Gambling and Statistical Logic. Academic Press, INC. 1977. [4] Kelly J. L.: A New Interpretation of Information Rate. Bell System Technical Journal, Vol. 35, pp 917-926, 1956. 12