Obwody elektryczne prądu stałego

Obwody elektryczne prądu stałego Dr inż. Andrzej Skiba Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Informatyki Politechniki Gdańskiej Gdańsk 12 grudnia 2015

Plan wykładu: 1. Rozwiązanie zadania z poprzedniego wykładu 2. Rezystancyjny dzielnik napięciowy 3. Rezystancyjny dzielnik prądowy 4. Układ połączeń w trójkąt i w gwiazdę 5. Twierdzenia pomocne w analizie obwodów z przykładami zastosowań 5.1. Twierdzenie o superpozycji 5.2. Twierdzenie o podobieństwie 5.3. Twierdzenie o wzajemności 5.4. Twierdzenie THEVENINA o zastępczym źródle napięciowym 6. Dopasowanie energetyczne odbiornika do źródła 7. Zadanie do samodzielnego rozwiązania

1. Zadanie do samodzielnego rozwiązania z poprzedniego wykładu Łódź, która względem wody może poruszać się tylko z prędkością o wartości v 1 = 6 km/h, ma przepłynąć przez rzekę, w której woda na całej szerokości płynie z prędkością v 0 = 2 m/s. Jaką największą wartość może przyjąć kąt pomiędzy linią brzegową rzeki, a kierunkiem wypadkowej prędkości łodzi, podczas przepływania na drugi brzeg? Jaką wartość wtedy będzie mieć wypadkowa prędkość łodzi względem brzegu rzeki?

Rozwiązanie Przede wszystkim należy przedstawić obie dane prędkości w tych samych jednostkach (np. w m/s) i zorientować się, że woda ma większą prędkość względem brzegu, niż łódź względem wody. W przypadku gdyby łódź skierowała swój wysiłek równolegle do brzegu pod prąd, to i tak łódź spływałaby z prądem w dół rzeki.

Można pokusić się o orientacyjny szkic zależności funkcyjnej wartości kąta b w zależności od wartości kąta a. Kąt b, to kąt pomiędzy linią brzegową, a wypadkową prędkością łodzi. Kąt a, to kąt pomiędzy linią brzegową, a prędkością, jaką względem wody rozwija łódź.

Analityczną postać tej funkcji wyraża wzór

Poszukiwanie ekstremum funkcji b = f(a) polega głównie na wyznaczeniu pochodnej, przyrównaniu jej do zera i rozwiązaniu tak powstałego równania. W ten sposób wyznaczona zostanie optymalna wartość kąta a opt, dla którego kąt b będzie miał największą wartość b max. Sposób taki, matematycznie poprawny, jest jednak niedostępny dla osób, którzy w niewystarczającym stopniu (albo wcale) nie opanowały rachunku różniczkowego. Jest sposób prostszy

Przedstawia to rysunek Jak widać, trójkąt zbudowany na trzech wektorach prędkości, jest trójkątem prostokątnym. Wektor prędkości wypadkowej, jako styczny do półokręgu, jest prostopadły do promienia, którym jest wektor prędkość łodzi względem wody.

2. Rezystancyjny dzielnik napięciowy Takie połączenie rezystorów nazywamy połączeniem szeregowym, bowiem przez oba rezystory przepływa ten sam prąd. Zapiszemy dla obwodu równania bazując na prawach Kirchhoffa i Ohma:

Gdy z pierwszego równania wyznaczymy np. U 2 i podstawimy do drugiego równania to okaże się, że oraz Prąd przepływający przez te rezystory jest równy

Taki wynik pozwala (przy okazji) wyznaczyć wzór na zastępczą rezystancję połączenia szeregowego rezystorów, którą zdefiniować można, na podstawie prawa Ohma, jako stosunek napięcia U do prądu I: W przypadku, gdy szeregowo połączonych będzie N rezystorów, wzór ten uogólnić można do postaci:

3. Rezystancyjny dzielnik prądowy Takie połączenie rezystorów nazywamy połączeniem równoległym, bowiem na obu rezystorach występuje to samo napięcie. Zapiszemy dla obwodu równania bazując na prawach Kirchhoffa i Ohma:

Gdy z pierwszego równania wyznaczymy np. I 2 i podstawimy do drugiego równania to okaże się, że oraz Napięcie U występujące na rezystorach jest równe

Taki wynik pozwala (przy okazji) wyznaczyć wzór na zastępczą rezystancję połączenia równoległego rezystorów, zdefiniowaną podobnie, jako stosunek napięcia U do prądu I: Uogólnienie tej postaci wzoru nie jest jednak tak oczywiste, jak było to w przypadku połączenia szeregowego rezystancji. Należy wzór ten przekształcić do postaci:

W przypadku, gdy równolegle połączonych będzie N rezystorów, zastępczą rezystancję można wyznaczyć ze wzoru: Warto zapamiętać, że w przypadku połączenia równoległego kilku rezystorów, zastępcza rezystancja będzie miała mniejszą wartość, niż każdy z rezystorów występujących w tym połączeniu.

4. Układy połączeń w trójkąt i w gwiazdę Są możliwe takie połączenia rezystorów, których nie można zakwalifikować ani do szeregowych, ani do równoległych. Dla przykładu: W tym schemacie żaden rezystor nie jest połączony z innym spełniając definicje połączeń szeregowych bądź równoległych.

Połączenie trzech rezystorów w trójkąt to takie połączenie, gdy każdy z nich włączony jest pomiędzy inną parę spośród trzech węzłów.

Połączenie trzech rezystorów w gwiazdę występuje wówczas, gdy każdy z nich włączony jest jednym biegunem do innego spośród trzech węzłów, a drugie bieguny rezystorów są zwarte, tworząc tzw. węzeł neutralny.

Wyznaczając zastępczą rezystancję układu rezystorów często należy zastąpić występujący w układzie trójkąt rezystorów odpowiadającą mu gwiazdą lub na odwrót - gwiazdę zastąpić trójkątem. Zamiana taka jest możliwa pod warunkiem, że z każdej pary węzłów (a - b, b - c, oraz c - a) w obu połączeniach widziana jest taka sama rezystancja.

Wzory przekształcania trójkąta na gwiazdę:

Wzory przekształcania gwiazdy na trójkąt:

Teraz można wrócić do wyznaczenia zastępczej rezystancji w naszym przykładzie:

5. Twierdzenia pomocne w analizie obwodów 5.1. Twierdzenie o superpozycji Jeżeli w obwodzie liniowym występuje więcej niż jedno źródło energii elektrycznej, to rozwiązanie takiego obwodu można przeprowadzić rozwiązując obwód dla każdego źródła oddzielnie i rozwiązania, tak otrzymane, dodać. Rozwiązując obwód dla wybranego źródła należy wszystkie inne źródła usunąć z obwodu. Pamiętać należy jednak, że każde źródło usuwane z obwodu, powinno zostawić po sobie rezystancję wewnętrzną (napięciowe zerową, prądowe nieskończenie wielką).

Najlepiej ilustruje to rysunek: Ostateczne rozwiązanie obwodu otrzymuje się sumując rozwiązania cząstkowe, np. U = U E + U I oraz I = I E + I I

5.2. Twierdzenie o podobieństwie Jeżeli w liniowym obwodzie zasilanym jednym źródłem napięciowym o SEM równej E wybrany prąd (napięcie) ma wartość I (U), to w przypadku zasilania tego obwodu źródłem o SEM k razy większą, ten sam prąd (napięcie) będzie miał (miało) wartość k razy większą.

W analogiczny sposób można sformułować to twierdzenie w przypadku, gdy jedynym źródłem energii elektrycznej w obwodzie jest źródło prądowe.

Przykład zastosowania twierdzeń o superpozycji oraz podobieństwie

Wynik superpozycji

Podczas naszego pierwszego spotkania pracowaliśmy nad podobnym obwodem prądu stałego. Zestawienie rozwiązań obu tych obwodów. Wymiana źródła napięciowego na źródło prądowe nie zmieniła rozpływu prądów w obwodzie pod warunkiem, że punkt pracy obu źródeł był określony tymi samymi wartościami prądu (0,3 A) i napięcia (22 V).

5.3. Twierdzenie o wzajemności Najłatwiej przedstawić treść tego twierdzenia na następujących rysunkach

Przykładowy obwód (czwórnik) do sprawdzenia twierdzenia o wzajemności

Sprawdzenie twierdzenia o wzajemności za pomocą źródła napięciowego

Sprawdzenie twierdzenia o wzajemności za pomocą źródła prądowego

5.4. Twierdzenie THEVENINA o zastępczym źródle napięciowym Każdy aktywny dwójnik liniowy (ADL) występujący w obwodzie elektrycznym można zastąpić nieidealnym źródłem napięciowym Thevenina, w skład którego wchodzi idealne źródło napięciowe E T oraz rezystor R T E T napięcie U ab stanu jałowego ADL, R T rezystancja widziana z zacisków a-b PDL (pasywnego dwójnika liniowego).

Wartość R T obliczyć można również jako iloraz napięcia stanu jałowego U ab do prądu zwarcia I z

Przykładowy obwód do zastosowania twierdzenia Thevenina

Rozwiązanie obwodu przykładowego

6. Dopasowanie energetyczne odbiornika do źródła W przypadku, gdy nieidealne źródło napięciowe o SEM równej E i rezystancji wewnętrznej R, obciążone jest rezystorem o zmiennej (w szerokich granicach) wartości R o, to moc wydzielana na R o jest funkcją, którą można przedstawić następująco:

Dopasowanie energetyczne odbiornika do źródła polega na znalezieniu takiej wartości rezystancji obciążenia R od, przy której moc wydzielająca się w tej rezystancji będzie największa z możliwych. Poszukiwanie ekstremum funkcji mocy, wykonane za pomocą rachunku różniczkowego, prowadzi do następującego wyniku:

Zadanie: Wyznaczyć taką wartość R x, by moc wydzielająca się w tej rezystancji była największa z możliwych. Obliczyć tę maksymalną moc. Obliczyć wszystkie pozostałe prądy płynące w obwodzie i sprawdzić bilans mocy. R x = R T = 28 W; E T = 15 V; P max = 2,009 W.

Rozwiązanie obwodu: Bilans mocy: P d = 306,5 W; P p = 306,482 W; d = 0,006 %.

7. Zadanie do samodzielnego rozwiązania Wyznaczyć taką wartość R x, by moc wydzielająca się w tej rezystancji była największa z możliwych. Obliczyć tę maksymalną moc. Obliczyć wszystkie pozostałe prądy płynące w obwodzie i sprawdzić bilans mocy.

Dziękuję za uwagę. Do zobaczenia w styczniu.