WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE; RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI LINIOWE I KWADRATOWE 1. zna i stosuje zasady redukcji wyrazów podobnych 2. zna zasady przekształcania wyrażeń algebraicznych 3. zna i posługuje się wzorami skróconego mnożenia (w tym 3 3 3 a b ; a b ) 4. obliczy wartość liczbową wyrażenia algebraicznego 5. doprowadzi do najprostszej postaci proste wyrażenie algebraiczne stosując wzory skróconego mnożenia 1. doprowadzi do najprostszej postaci każde wyrażenie algebraiczne 2. zapisze obwód i pole figury za pomocą wyrażenia algebraicznego 3. zbuduje i nazwie wyrażenie algebraiczne o wielodziałaniowej konstrukcji 4. biegle stosuje wzory skróconego mnożenia w obie strony a b ; a b ) (w tym 3 3 3 6. *poprawnie wykona działania na wyrażeniach algebraicznych, 7. *poprawnie stosuje wzory skróconego mnożenia w obydwie n strony - w tym wzór a 1
CIĄGI LICZBOWE 1. zna i rozumie pojęcia: ciąg, ciąg liczbowy, wyraz ciągu, ciąg skończony, ciąg nieskończony, wzór ogólny ciągu 2. poda przykład ciągu, ciągu liczbowego 3. widzi związek między funkcją a ciągiem 4. obliczy dowolny wyraz ciągu korzystając ze wzoru ogólnego 5. sprawdzi czy podana liczba jest wyrazem ciągu 6. określi, którym wyrazem ciągu jest dana liczba 7. znając wzór na sumę n-początkowych wyrazów dowolnego ciągu obliczy dowolną sumę cząstkową oraz wyznaczy dowolny wyraz ciągu 8. rozwiąże równanie lub nierówność (liniową lub kwadratową) z wykorzystaniem wzoru ogólnego ciągu lub wzoru na sumę n- początkowych wyrazów danego ciągu 9. zna i rozumie pojęcia: ciąg arytmetyczny, różnica ciągu arytmetycznego, ciąg geometryczny, iloraz ciągu geometrycznego 10. poda przykład ciągu arytmetycznego 11. poda przykład ciągu geometrycznego 12. rozpozna ciąg arytmetyczny, odczyta jego różnicę 13. rozpozna ciąg geometryczny, odczyta jego iloraz 14. zna i stosuje wzór ogólny ciągu arytmetycznego 15. zna i stosuje wzór ogólny ciągu geometrycznego 16. zbada, na podstawie definicji, czy dany za pomocą wzoru ogólnego ciąg jest arytmetyczny (geometryczny) oraz wyznaczy różnicę ciągu arytmetycznego (iloraz ciągu geometrycznego) 1. zna pojęcie wzoru rekurencyjnego 2. obliczy początkowe wyrazy ciągu danego prostym wzorem rekurencyjnym 3. znając wzór na sumę n- początkowych wyrazów dowolnego ciągu wyznaczy wzór ogólny tego ciągu 4. wyznaczy pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego i jego różnicę mając podany układ warunków i stosując wzór na n-ty wyraz ciagu arytmetycznego oraz zwór na sumę n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego 5. wyznaczy pierwszy wyraz ciągu geometrycznego i jego iloraz mając podany układ warunków i stosując wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego oraz wzór na sumę n-początkowych wyrazów ciągu geometrycznego 6. rozwiąże każde zadanie tekstowe dotyczące ciągu arytmetycznego również w kontekście realistycznym 7. rozwiąże każde zadanie tekstowe dotyczące ciągu geometrycznego również w kontekście realistycznym 8. rozwiąże zadanie łączące wiadomości o ciągu arytmetycznym i geometrycznym 9. potrafi określić wartości parametrów, dla których podane wyrażenia są wyrazami ciągu arytmetycznego lub geometrycznego 10. *zapisze symbolami definicje monotoniczności ciągów 11. *znajdzie wzór ogólny ciągu danego wzorem rekurencyjnym i odwrotnie
FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO W TRÓJKĄCIE PROSTOKĄTNYM 1. wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych w trójkącie prostokątnym 2. oblicza długości boków trójkąta prostokątnego mając wśród danych wartość jednej z funkcji trygonometrycznych kąta 3. wykorzystuje definicje i związki między funkcjami trygonometrycznymi oraz twierdzenie Pitagorasa do rozwiązywania trójkątów prostokątnych 4. odczytuje z tablic wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego oraz miarę kąta, znając wartość jednej z funkcji trygonometrycznych 5. zna wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30 ; 45 ;60 6. zna i stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi m.in. 2 2 sin sin cos 1; tg ; cos sin 90 cos 7. oblicza wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego mając daną jedną z nich. 8. rozwiązuje równania typu sin a; dla 0,90 rozwiąże zadanie tekstowe z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych kąta ostrego (podręcznik i zbiory zadań do szkoły ponadgimnazjalnej)
FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE DOWOLNEGO KĄTA 1. zna definicje i własności funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym i potrafi je zastosować 2. *zna pojęcie miary łukowej kąta 3. *obliczy miarę łukową kąta 4. *zamieni miarę łukową kąta na miarę stopniową i odwrotnie 5. *narysuje w układzie współrzędnych kąt o podanej mierze dodatniej lub ujemnej 6. *zna definicje funkcji trygonometrycznych kąta w układzie współrzędnych 7. *obliczy wartość funkcji trygonometrycznych kąta, gdy dane są współrzędne punktu leżącego na końcowym ramieniu kąta 8. *ustali znaki funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta 9. *określi, w której ćwiartce leży drugie ramię kąta o podanej wartości funkcji trygonometrycznej 10. *zna i uzasadni zależności typu sin 2k sin 11. *zna wzory redukcyjne 12. *stosuje wzory redukcyjne do obliczania wartości funkcji trygonometrycznych i do przekształcania wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne 13. *zna wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów i stosuje je w dowodach tożsamości trygonometrycznych 14. *obliczy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta mając daną wartość jednej z nich 15. *przekształci wyrażenie stosując podstawowe tożsamości trygonometryczne 1. *poda wszystkie kąty spełniające podane warunki 2. *rozwiąże zadanie wykorzystujące okresowość i znaki funkcji trygonometrycznych 3. *uzasadni wzory redukcyjne 4. *rozwiąże każde zadanie z wykorzystaniem tożsamości trygonometrycznych 5. *zna wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów i stosuje je w dowodach tożsamości trygonometrycznych 6. *zna i stosuje wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów 7. *sporządzi wykres funkcji trygonometrycznej w złożeniu kilku przekształceń 8. *sporządzi wykres funkcji trygonometrycznej w powinowactwie prostokątnym 9. *zapisze wzór funkcji otrzymanej po przekształceniach 10. *omówi i zapisze własności otrzymanej po przekształceniach funkcji 11. *rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne 1 2 typu: sin 2x sin x cos x 1; 2 3 cos 2x ; sin 2x cos x 0 ; 2 sin x cos x 1
FUNKCJE 1. określa funkcje za pomocą wzoru, tabeli, wykresu, opisu słownego 2. zna i rozumie pojęcia: argument funkcji, wartość funkcji, dziedzina, zbiór wartości, miejsce zerowe, monotoniczność 3. odczyta wartość funkcji dla danego argumentu lub argument dla danej wartości z: grafu, tabelki, wykresu 4. przy pomocy tabeli narysuje wykresy podstawowych funkcji, również klamerkowych 5. odczyta z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne przedziały monotoniczności funkcji, znak funkcji 6. sporządzi wykres funkcji spełniające podane warunki 7. wyznaczy dziedzinę i obliczy miejsca zerowe funkcji danej prostym wzorem 8. potrafi na podstawie danego wykresu funkcji y f ( x) narysować wykres funkcji y f ( x p) q ; y f ( x) ; y f ( x) 9. znając wzór funkcji początkowej napisze wzór funkcji po danym przekształceniu 10. *szkicuje wykres funkcji określonej w różnych przedziałach różnymi wzorami, określa własności takiej funkcji 11. * na podstawie wykresu funkcji y f ( x) szkicuje wykresy funkcji y f ( x) ; y c f ( x) ; y f ( c x); y f ( x ) 12. *zna pojęcie funkcji: typu na zbiór; różnowartościowej, parzystej, nieparzystej, okresowej 13. *poda przykłady funkcji: typu na zbiór; różnowartościowej, 1. posługuje się właściwą symboliką do zapisywania własności funkcji 2. wyznaczy dziedzinę dowolnej funkcji 3. obliczy miejsca zerowe funkcji (również klamerkowej) 4. mając dany wykres funkcji klamerkowej (przedziałami liniowej) przedstawi jej wzór 5. odczyta z wykresu funkcji rozwiązania równań i nierówności typu: f ( x) a; f ( x) g( x); f ( x) a 6. odczyta, z zapisu wzoru funkcji, kolejno wykonywane przekształcenia i sporządzi wykres funkcji dokonując kilku przekształceń wykresu podstawowego 7. znając wzór funkcji początkowej, napisze wzór funkcji otrzymanej po złożeniu kilku przekształceń 8. poda przykłady funkcji spełniającej układ warunków 9. sporządzi wykres funkcji spełniającej układ warunków 10. poda argumenty, dla których wartości funkcji spełniają określony układ warunków 11. *zapisze symbolami definicję funkcji rosnącej, malejącej, parzystej, nieparzystej, okresowej 12. *na podstawie definicji wykaże, że funkcja rośnie (maleje) w danym zbiorze 13. *naszkicuje wykres funkcji parzystej (nieparzystej) lub okresowej o podanych dodatkowych własnościach 14. *na podstawie definicji zbada parzystość (nieparzystość), okresowość funkcji 15. * rozwiąże zadanie z parametrem dotyczące funkcji parzystej (nieparzystej), monotonicznej
GEOMETRIA ANALITYCZNA 1. rozpozna postać kierunkową i ogólną prostej 2. przekształci równanie prostej z postaci ogólnej do kierunkowej i odwrotnie 3. interpretuje współczynniki w kierunkowym równaniu prostej 4. wyznaczy równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty 5. wyznaczy równanie prostej nachylonej do osi OX pod danym kątem ostrym (*rozwartym) i przechodzącej przez dany punkt 6. zna warunki równoległości i prostopadłości prostych 7. bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych 8. wyznaczy równanie prostej równoległej do danej prostej i przechodzącej przez dany punkt 9. wyznaczy równanie prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez dany punkt 10. wyznaczy współrzędne punktu przecięcia się dwóch prostych 11. zbada wzajemne położenie dwóch prostych 12. wyznaczy odległość dwóch punktów 13. wyznaczy współrzędne środka odcinka 14. obliczy odległość punktu od prostej 15. obliczy odległość dwóch prostych równoległych 16. zaznaczy w układzie współrzędnych zbiór punktów określonych przez układ równań lub nierówności liniowych 17. opisze za pomocą nierówności półpłaszczyznę 18. przedstawi okrąg za pomocą równania z dwiema niewiadomymi w postaci kanonicznej 1. zaplanuje sposób rozwiązania prostego zadania z wykorzystaniem równania prostej, prostej równoległej, prostej prostopadłej i rozwiąże to zadanie 2. opisze za pomocą układu nierówności zbiory punktów na płaszczyźnie 3. przekształci równanie okręgu z postaci ogólnej do kanonicznej i odczyta współrzędne środka i promień tego okręgu 4. wyznaczy równanie stycznej do okręgu przechodzącej przez dany punkt należący do okręgu 5. zaplanuje sposób rozwiązania prostego zadania z wykorzystaniem równania prostej i okręgu i rozwiąże to zadanie 6. *opisze za pomocą układu nierówności zbiór punktów z nierównością koła i innych krzywych stopnia co najwyżej drugiego 7. *zaplanuje i rozwiąże dowolne zadanie z geometrii analitycznej (również z zastosowaniem działań na wektorach)
GEOMETRIA FIGUR PŁASKICH 1. zna pojęcie kąta, kąta wypukłego, kąta wklęsłego, kąta ostrego i rozwartego 2. zna i stosuje własności kątów wierzchołkowych, przyległych, naprzemianległych i odpowiadających 3. zna i potrafi zastosować nierówność trójkąta 4. zna i rozróżnia trójkąty (ze względu na boki i kąty 5. zna różne wzory na pole trójkąta (również równobocznego) 6. obliczy pole i obwód trójkąta 7. stosuje twierdzenie Pitagorasa 8. zna pojęcie trójkątów przystających 9. zna cechy przystawania trójkątów 10. bada przystawanie trójkątów 11. wykona podstawowe konstrukcje geometryczne: prostej równoległej i prostopadłej do danej podział odcinka na dwie części symetralnej odcinka trójkąta równoramiennego trójkąta równobocznego podział odcinka na n-części dwusiecznej kata wielokąta foremnego stycznej do okręgu przechodzącej przez dany punkt leżący na okręgu 12. zna rodzaje czworokątów 13. zna podstawowe własności czworokątów 14. zna i stosuje wzory na pola i obwody czworokątów 15. stosuje podstawowe własności czworokątów w zadaniach 16. wykorzysta własności trójkątów i czworokątów do rozwiązywania zadań umieszczonych również w 1. wykorzystuje nierówność trójkąta w zadaniach 2. rozwiąże dowolne zadanie dotyczące pola i obwodu każdego trójkąta 3. przeprowadzi analizę zadania konstrukcyjnego 4. *wykona inne, niż wymienione, konstrukcje geometryczne (np. konstrukcję stycznej do okręgu przechodzącej przez punkt nie należący do okręgu 5. zna i stosuje twierdzenie o odcinku łączącym środki dwóch boków trójkąta oraz o odcinku łączącym środki boków trapezu 6. rozwiąże dowolne zadanie dotyczące własności czworokątów (podręczniki i zbiory zadań) 7. zna definicję wielokąta wypukłego 8. uzasadni wzór na ilość przekątnych wielokąta wypukłego 9. uzasadni wzór na sumę kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego 10. rozwiąże dowolne zadanie dotyczące pól i obwodów wielokątów 11. rozwiąże dowolne zadanie dotyczące pól i obwodów wielokątów foremnych 12. rozwiąże dowolne zadanie z wykorzystaniem wzorów na ilość przekątnych oraz sumę kątów wewnętrznych wielokąta 13. rozwiąże dowolne zadanie z wykorzystaniem wzoru na miarę kąta wewnętrznego wielokąta foremnego 14. rozwiąże każde zadanie dotyczące kół i okręgów oraz kątów w kole (podręczniki i zbiory zadań do szkół ponadgimnazjalnych) 15. obliczy pole wycinka koła, długość łuku oraz pole odcinka koła 16. rozwiąże zadanie dotyczące wzajemnego położenia prostej i
GRANICA FUNKCJI, POCHODNA FUNKCJI 1. *zna i rozumie zapis granicy funkcji w nieskończoności i w punkcie oraz granicy jednostronnej 2. *zna i rozumie związek między granicami jednostronnymi a granicą funkcji 3. *zna i rozumie intuicyjne pojęcie granicy właściwej i niewłaściwej funkcji 4. *określi granice funkcji na podstawie jej wykresu 5. *szkicuje wykres funkcji mając dane jej granice 6. *szkicuje wykresy znanych funkcji i na ich podstawie określa granice funkcji 7. *obliczy granice funkcji (wielomianowych, wymiernych, wykładniczych, pierwiastkowych) w nieskończoności 8. *stosuje twierdzenia dotyczące granic 9. *obliczy granice funkcji w punkcie 10. *obliczy granice jednostronne funkcji 11. *zna i wykorzystuje symbole nieoznaczone 12. *zna pojęcie funkcji ciągłej 13. *poda przykłady wykresów i wzorów funkcji ciągłych i nieciągłych w punkcie 14. *wskaże punkty podejrzane o nieciągłość 15. *sprawdzi ciągłość funkcji w punkcie 16. *sprawdzi ciągłość funkcji w dziedzinie 17. *zna pojęcie asymptoty, asymptoty jednostronnej, asymptoty poziomej, asymptoty pionowej, asymptoty ukośnej 18. *na podstawie wykresu zapisze równania asymptot 19. *wyznaczy równania asymptot znając wzór funkcji 1. *określa wzór funkcji spełniającej podane warunki 2. * oblicza granice funkcji w nieskończoności 3. *zna twierdzenia stosowane podczas obliczania granic 4. *zna i stosuje twierdzenie de Hospitala 5. *wykaże, że funkcja w danym punkcie nie ma granicy 6. *sprawdzi ciągłość nietypowych funkcji w punkcie 7. *sprawdzi ciągłość nietypowych funkcji w dziedzinie 8. *rozwiąże zadanie z parametrem dotyczące funkcji ciągłych 9. *wyznaczy równania asymptot dowolnej funkcji 10. *znając równania asymptot naszkicuje wykres funkcji 11. *zna definicję ilorazu różnicowego funkcji i pochodne funkcji w punkcie 12. *obliczy przy pomocy definicji pochodną dowolnej funkcji w punkcie 13. *sprawdzi czy funkcja ma pochodną w danym punkcie 14. *udowodni twierdzenia o pochodnej 15. *obliczy pochodną funkcji złożonej 16. *rozwiąże zadanie w którym należy wykorzystać równanie stycznej do krzywej 17. *zna pojęcie punktu przegięcia 18. *wyznaczy (przy poprawnym zapisie) przedziały monotoniczności i ekstrema dowolnej funkcji 19. * rozwiąże zadanie z parametrem dotyczące wykorzystujące warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum funkcji w punkcie 20. *zbada przebieg zmienności dowolnej funkcji i narysuje jej wykres, uwzględni w wykresie
HIPERBOLA I JEJ WŁASNOŚCI *FUNKCJA WYMIERNA 1. zna pojęcie hiperboli, jej osi symetrii, wierzchołków 2. zna pojęcie asymptoty pionowej i poziomej 3. sporządzi wykres i określi własności a hiperboli y x 4. ustali i wykona odpowiednie przekształcenie aby z wykresu funkcji a y otrzymać wykres funkcji x a y q x p 5. określi własności funkcji a y q x p 6. poda przykład wykresu lub wzoru hiperboli znając jej asymptoty i monotoniczność 7. wyznaczy współrzędne punktów przecięcia się hiperboli z osiami układu współrzędnych 8. wyznaczy równania asymptot 9. przeprowadzi analizę zadania tekstowego związanego z proporcjonalnością odwrotną 10. zna i rozumie pojęcia: wyrażenie wymierne, dziedzina wyrażenia wymiernego, wartość liczbowa wyrażenia wymiernego, równość wyrażeń wymiernych 11. obliczy wartość wyrażenia wymiernego dla podanej wartości liczbowej 12. poda przykład wyrażenia wymiernego znając jego dziedzinę 13. określi dziedzinę wyrażenia wymiernego 14. uprości wyrażenie wymierne 15. rozszerzy wyrażenie wymierne 16. ustali wspólny mianownik dla dwóch 1. określi wzór hiperboli mając jej wykres 2. określi wartości parametrów, dla których hiperbola spełnia określone warunki 3. wyznaczy równania osi symetrii i współrzędne wierzchołków hiperboli 4. rozwiąże zadanie tekstowe związane z proporcjonalnością odwrotną 5. dokona weryfikacji wyników rozwiązanego zadania tekstowego związanego z proporcjonalnością odwrotną 6. ustali wartości parametrów w wyrażeniu wymiernym znając jego dziedzinę 7. ustali wartości parametrów, dla których proste wyrażenia wymierne są równe 8. przekształci skomplikowane wyrażenie wymierne do najprostszej postaci 9. rozwiąże równanie wymierne (sprowadzając dwa wyrażenia wymierne do wspólnego mianownika) 10. *rozwiąże równanie i nierówność wymierną z wartością bezwzględną 11. *wyznaczy wzór funkcji homograficznej mając dany jej wykres 12. *poda przykład funkcji homograficznej spełniającej określone warunki 13. *określi wartości parametrów, dla których funkcja homograficzna spełnia określone warunki
JEDNOKŁADNOŚĆ I PODOBIEŃSTWO FIGUR TWIERDZENIE TALESA 1. *zna definicję jednokładności 2. *wyznaczy obraz figury w jednokładności 3. *rozwiąże zadanie z wykorzystaniem jednokładności 4. rozpozna figury podobne 5. zna własności figur podobnych 6. obliczy długości boków figur podobnych 7. obliczy pola figur podobnych 8. obliczy skalę podobieństwa figur 9. rozwiąże zadanie z wykorzystaniem własności figur podobnych 10. zna twierdzenie o trójkątach podobnych 11. wskaże cechę podobieństwa trójkątów podobnych 12. poda skalę podobieństwa trójkątów 13. obliczy długości boków trójkątów podobnych 14. obliczy pola trójkątów podobnych 15. zna twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa 16. skonstruuje odcinki stosując twierdzenie Talesa 17. wykorzysta twierdzenie Talesa do obliczenia długości odcinków 1. *stosuje własności figur jednokładnych w zadaniach, również umieszczonych w kontekście praktycznym 2. stosuje własności figur podobnych w zadaniach umieszczonych w kontekście praktycznym 3. rozwiąże zadanie stosując własności trójkątów podobnych 4. wykorzysta twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne do niego do obliczenia długości odcinków i ustalania i ustalania równoległości prostych 5. wykorzysta twierdzenie Talesa do rozwiązania zadania umieszczonego w kontekście praktycznym
LICZBY I DZIAŁANIA 1. rozpoznaje liczby naturalne, całkowite, wymierne 2. zna pojęcie liczby pierwszej i liczby złożonej 3. rozłoży na czynniki pierwsze liczbę naturalną 4. zna zależności pomiędzy podstawowymi podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych 5. zamieni liczbę wymierną z postaci ułamka zwykłego na postać dziesiętną i odwrotnie 6. przedstawi liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego, z użyciem symboli potęgi, pierwiastka) 7. zna pojęcie liczby przeciwnej i odwrotnej 8. porówna liczby wymierne 9. wykonuje działania na liczbach wymiernych 10. oblicza wartości wyrażeń arytmetycznych 11. zaokrągli liczbę do zadanej wielkości 12. oszacuje wynik działania 13. obliczy błąd bezwzględny i względny przybliżenia 14. biegle posługuje się kalkulatorem 15. zna pojęcie wartości bezwzględnej liczby 16. obliczy wartość bezwzględną z dowolnego wyrażenia arytmetycznego 17. zaznaczy na osi liczbowej wartość bezwzględną liczby 18. wykorzystuje pojęcie wartości bezwzględnej liczby i jej interpretacje geometryczną 19. zaznacza na osi liczbowej zbiór liczb spełniających równania i nierówności typu x b ; x b 20. rozwiązuje zadania z zastosowaniem obliczeń procentowych 21. zna pojęcie procentu prostego 1. poda przykłady liczb wymiernych i niewymiernych spełniających określone warunki 2. wykonuje skomplikowane działania na liczbach wymiernych 3. szacuje różne wielkości i wyniki działań 4. zna definicję wartości bezwzględnej i potrafi ją zastosować 5. rozwiąże skomplikowane zadanie z zastosowaniem obliczeń procentowych 6. poprawnie wypowie i zapisze definicje: potęgi o wykładniku naturalnym, całkowitym, wymiernym 7. obliczy wartość skomplikowanego wyrażenia zawierającego potęgi i pierwiastki 8. zna i rozumie dowód twierdzenia o niewymierności liczby 2 9. usuwa niewymierność z mianownika 1 2 ułamka typu: 3 ; 2 3 2 1 10. *uzasadni wzory skróconego mnożenia 11. *rozwiąże skomplikowane zadanie z zastosowaniem obliczeń procentowych dotyczące stężeń i stopów 12. *wyznaczy dziedzinę skomplikowanych wyrażeń algebraicznych 13. *wykorzysta w zadaniach dotyczących liczb naturalnych pojęcia NWD i NWW
LICZBY I DZIAŁANIA 1. rozpoznaje liczby naturalne, całkowite, wymierne 2. zna pojęcie liczby pierwszej i liczby złożonej 3. rozłoży na czynniki pierwsze liczbę naturalną 4. zna zależności pomiędzy podstawowymi podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych 5. zamieni liczbę wymierną z postaci ułamka zwykłego na postać dziesiętną i odwrotnie 6. przedstawi liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego, z użyciem symboli potęgi, pierwiastka) 7. zna pojęcie liczby przeciwnej i odwrotnej 8. porównuje liczy wymierne 9. wykonuje działania na liczbach wymiernych 10. oblicza wartości wyrażeń arytmetycznych 11. zaokrągli liczbę do zadanej wielkości 12. oszacuje wynik działania 13. obliczy błąd bezwzględny i względny przybliżenia 14. biegle posługuje się kalkulatorem 15. zna pojęcie wartości bezwzględnej liczby 16. obliczy wartość bezwzględną z dowolnego wyrażenia arytmetycznego 17. zaznaczy na osi liczbowej wartość bezwzględną liczby 18. posługuje się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje prawa działań na potęgach i pierwiastkach 1. poda przykłady liczb wymiernych i niewymiernych spełniających określone warunki 2. wykonuje skomplikowane działania na liczbach wymiernych 3. szacuje różne wielkości i wyniki działań 4. zna definicję wartości bezwzględnej i potrafi ją zastosować 5. rozwiąże skomplikowane zadanie z zastosowaniem obliczeń procentowych (w tym zadania dotyczące stężeń i stopów) 6. poprawnie wypowie i zapisze definicje: potęgi o wykładniku naturalnym, całkowitym, wymiernym 7. obliczy wartość skomplikowanego wyrażenia zawierającego potęgi i pierwiastki 8. zna i rozumie dowód twierdzenia o niewymierności liczby 2
LOGARYTMY, FUNKCJA WYKŁADNICZA *FUNKCJA LOGARYTMICZNA 1. zna pojęcie logarytmu z liczby dodatniej 2. zna i stosuje własności logarytmów (logarytm iloczynu, ilorazu, potęgi, * twierdzenie o zamianie podstaw logarytmu) 3. obliczy logarytm liczby dodatniej, wyznaczy liczbę logarytmowaną, wyznaczy podstawę logarytmu 4. zna definicje i własności funkcji wykładniczej 5. sporządzi wykres funkcji wykładniczej 6. przekształci wykres funkcji wykładniczej przez translację, symetrię, wartość bezwzględną i określi własności otrzymanej funkcji 7. *zna definicję i własności funkcji logarytmicznej 8. *wyznaczy dziedzinę funkcji logarytmicznej 9. *sporządzi wykres funkcji logarytmicznej 10. * przekształci wykres funkcji logarytmicznej przez translację, symetrię, wartość bezwzględną i określi własności otrzymanej funkcji 11. *wie, że funkcja wykładnicza i logarytmiczna to funkcje wzajemnie odwrotne 12. *rozwiąże typowe równanie i nierówność wykładniczą oraz logarytmiczną stosując twierdzenia dotyczące działań na potęgach, logarytmach, różnowartościowość i monotoniczność funkcji wykładniczej i logarytmicznej 13. * rozumie potrzebę stosowania funkcji wykładniczych i logarytmicznych do opisu zjawisk z różnych dziedzin 1. zna definicję logarytmu i potrafi ją zapisać symbolami 2. zapisze twierdzenia dotyczące logarytmów 3. obliczy, wykorzystując twierdzenia o logarytmach, wartość wyrażenia zawierającego logarytmy 4. przekształci wykres funkcji wykładniczej w złożeniu przekształceń 5. rozwiąże zadanie wymagające zastosowania własności funkcji wykładniczej w kontekście praktycznym 6. dopasuje wzór funkcji wykładniczej do wykresu 7. określi wzór funkcji wykładniczej mając dany wykres tej funkcji 8. *zna dowody twierdzeń dotyczących logarytmów 9. * przekształci wykres funkcji logarytmicznej w złożeniu przekształceń 10. *rozwiąże zadanie wymagające zastosowania własności funkcji logarytmicznej w kontekście praktycznym 11. *dopasuje wzór funkcji logarytmicznej do wykresu 12. *określi wzór funkcji logarytmicznej mając dany wykres tej funkcji 13. *potrafi określać własności funkcji wykładniczych i logarytmicznych opisujących zjawiska z różnych dziedzin 14. *rozwiąże każde równanie i nierówność wykładniczą oraz logarytmiczną (również z wartością bezwzględną) stosując twierdzenia dotyczące działań na potęgach, logarytmach, różnowartościowość i
LOGIKA I ZBIORY 1. poda przykład i kontrprzykład zdania w sensie logiki 2. określi wartość logiczną zdania logicznego 3. zna pojęcia koniunkcji i alternatywy zdań 4. zna pojęcie zbioru, podzbioru, zbioru pustego, zbioru skończonego, zbioru nieskończonego 5. zna pojęcie zbiorów rozłącznych 6. zna pojęcie sumy, iloczynu i różnicy zbiorów 7. zna pojęcie przedziału liczbowego otwartego i domkniętego 8. odczyta i zaznaczy na osi liczbowej dowolne przedziały liczbowe 9. wyznaczy sumę, iloczyn i różnicę dwóch przedziałów liczbowych 10. *zna pojęcie implikacji i równoważności zdań 11. *zna i posługuje się symbolami ; ; ; 12. *określi wartość logiczną koniunkcji, alternatywy, implikacji i równoważności zdań 13. *zna i stosuje symbole kwantyfikatorów szczegółowego i ogólnego 14. *odczyta zdanie zapisane za pomocą kwantyfikatora 15. *określi wartość logiczną zdania zapisanego za pomocą kwantyfikatorów 16. *zna budowę twierdzenia 17. *poda przykłady kilku twierdzeń 18. *poda przykłady kilku definicji 19. *zna zasadę budowy twierdzenia odwrotnego 1. zapisze zbiór za pomocą przedziału i odwrotnie 2. zapisze przedziały liczbowe za pomocą wartości bezwzględnej 3. sprawnie wykona różne działania na przedziałach liczbowych 4. *określi wartość logiczną zdania zawierającego kilka symboli logicznych 5. *metodą zero-jedynkową sprawdzi wartość logiczną zdania 6. *w twierdzeniu wyróżni założenie i tezę 7. *zapisze twierdzenie i definicję za pomocą symboli 8. *udowodni proste twierdzenie 9. *zna pojęcie i potrafi wyznaczyć dopełnienie zbioru 10. *wykorzystuje własności działań na zbiorach (np. prawa de Morgana)
WEKTORY I PRZEKSZTAŁCENIA IZOMETRYCZNE 1. zna i posługuje się pojęciem wektora, wektora zerowego, wektorów równych, wektorów przeciwnych, zna cechy wektora 2. opisze wektor za pomocą współrzędnych 3. narysuje wektor o danych współrzędnych 4. obliczy współrzędne wektora 5. obliczy długość wektora 6. zna własności wektorów równych i przeciwnych 7. porówna dwa wektory 8. wykona działania na wektorach (dodawanie, odejmowanie, mnożenie przez liczbę) na płaszczyźnie 9. wykona działania na wektorach analitycznie 10. *zna pojęcie izometrii 11. zna pojęcie figur przystających 12. rozróżnia figury osiowosymetryczne oraz środkowosymetryczne 13. wskaże oś symetrii figury oraz środek symetrii figury 14. wyznaczy obraz figury w przesunięciu o wektor, w symetrii osiowej, w symetrii środkowej 15. rozwiąże zadania z zastosowaniem symetrii osiowej i środkowej 16. zapisze współrzędne punktów symetrycznych względem osi OX lub osi OY oraz względem początku układu współrzędnych 17. wyznaczy współrzędne obrazu punktu w przesunięciu o wektor 1. zna określenie wektora 2. zna zastosowanie wektorów w fizyce 3. rozwiąże zadanie dotyczące wektorów równych i równoległych 4. *zapisze każdy wektor jako wynik działania w dowolnej figurze 5. *interpretuje geometrycznie działania na wektorach 6. *stosuje wektory do rozwiązywania zadań, a także do dowodzenia własności figur 7. wyznaczy środek symetrii figury 8. wyznaczy oś symetrii figury 9. *stosuje własności izometrii w rozwiązywaniu zadań 10. *sprawdzi czy podane przekształcenia jest izometrią 11. wyznaczy współrzędne obrazu punktu w złożeniu kilku izometrii 12. rozwiąże zadania z zastosowaniem własności symetrii osiowej i środkowej z czerwoną szpilką
ELEMENTY STATYSTYKI KOMBINATORYKA I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. przedstawi dane w postaci diagramu, wykresu, tabeli 2. odczyta i zinterpretuje tabelę, wykres, diagram 3. obliczy średnią arytmetyczną, wyznaczy medianę i dominantę zestawu danych 4. poda przykład zestawu danych statystycznych spełniających określone warunki (znając średnią arytmetyczną, medianę, dominantę) 5. obliczy średnią ważoną zestawu danych 6. prawidłowo zastosuje wzór i obliczy odchylenie standardowe zastawu danych i skomentuje otrzymany wynik 7. rozwiąże zadanie z wykorzystaniem pojęcia średniej arytmetycznej 8. zna i rozumie pojęcia silni i symbolu Newtona 9. zna i rozumie zasadę mnożenia 10. stosuje zasadę mnożenia, oblicza symbol silni i symbol Newtona 11. ustala liczbę permutacji i kombinacji w prostych zadaniach kombinatorycznych 12. ustala liczbę wariacji z powtórzeniami i bez powtórzeń w prostych zadaniach kombinatorycznych 13. zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych 14. zna i rozumie pojęcia: doświadczenie losowe, zdarzenie elementarne, zdarzenie losowe 15. wyznaczy zbiór zdarzeń elementarnych określonego doświadczenia losowego 16. poprawnie konstruuje model przestrzeni probabilistycznej do 1. przeprowadzi badanie statystyczne i zinterpretuje jego wyniki 2. rozwiąże zadanie z zastosowaniem własności symbolu Newtona 3. ustala liczbę permutacji, kombinacji wariacji z powtórzeniami i bez powtórzeń w zadaniach kombinatorycznych 4. zna i stosuje własności prawdopodobieństwa 5. obliczy prawdopodobieństwo zdarzeń korzystając z własności prawdopodobieństwa 6. stosuje metody kombinatoryczne do obliczania prawdopodobieństwa zdarzeń 7. obliczy prawdopodobieństwo sumy zdarzeń 8. rozwiąże zadanie z rachunku prawdopodobieństwa optymalną metodą 9. * udowodni podstawowe własności symbolu Newtona 10. * obliczy prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia losowego 11. *świadomie korzysta z własności prawdopodobieństwa do rozwiązywania zadań z rachunku prawdopodobieństwa 12. *biegle oblicza prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite
STEREOMETRIA 1. zna pojęcia i wskaże modele: graniastosłupa, ostrosłupa, graniastosłupa prostego, pochyłego, prawidłowego, ostrosłupa prawidłowego, wielościanu foremnego 2. wskaże wierzchołek, podstawę, ściany boczne, krawędzie boczne oraz krawędzie podstawy bryły 3. wskaże wysokość bryły oraz spodek wysokości 4. narysuje siatkę graniastosłupa oraz ostrosłupa 5. wie jak wyglądają siatki wielościanów foremnych 6. wskaże na modelu bryły odcinki równoległe, prostopadłe, skośne 7. wskaże na modelu i narysuje w rzucie zadane kąty: pomiędzy odcinkami, pomiędzy płaszczyzną i prostą oraz kąty dwuścienne w graniastosłupach i ostrosłupach 8. wyznaczy długości wskazanych odcinków w graniastosłupach i ostrosłupach oraz w wielościanach foremnych korzystając z twierdzenia Pitagorasa oraz funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym (*oraz twierdzenia sinusów i cosinusów) 9. zna wzory na pola powierzchni i objętość graniastosłupów i ostrosłupów 10. sporządzi ilustrację graficzną do zadania 11. obliczy pole powierzchni oraz objętość graniastosłupa prawidłowego, ostrosłupa prawidłowego i wielościanu foremnego 12. przedstawi wynik zadania w postaci wynikającej z treści zadania, uwzględni jednostki w odpowiedzi do 1. posługuje się wzorem Eulera 2. narysuje siatkę każdej bryły, którą omawiano na zajęciach 3. wskaże na modelu i narysuje w rzucie kąty pomiędzy płaszczyzną i prostą oraz kąty dwuścienne 4. obliczy pole powierzchni i objętość dowolnego graniastosłupa i ostrosłupa 5. rozwiąże zadanie dotyczące wielościanu z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa i funkcji trygonometrycznych (*oraz twierdzenia sinusów i cosinusów) 6. obliczy pole powierzchni i objętość bryły obrotowej stosując twierdzenie Pitagorasa i funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym 7. wyznaczy pole powierzchni i objętość brył podobnych 8. *opisze i wpisze bryły w inne bryły i znajdzie zależności między nimi 9. *rozwiąże zadanie na obliczanie pola powierzchni i objętości brył wpisanych w walec, stożek, kulę i opisanych na walcu, stożku, kuli 10. *znajduje największe bądź najmniejsze wymiary brył korzystając z własności funkcji kwadratowej lub własności pochodnej 11. *rozwiąże zadanie na dowodzenie dotyczące własności wielościanów i brył obrotowych
WIELOMIANY 1. rozpozna wyrażenia, które są wielomianami, określi stopień wielomianu, uporządkuje wielomian 2. poda przykłady wielomianów spełniających określone warunki 3. zna i rozumie pojęcie wielomianów równych 4. rozpozna wielomiany równe 5. wykona poprawnie dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów 6. sprawdzi czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu 7. obliczy wartość wielomianu dla podanej liczby 8. rozłoży wielomian na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias, grupowania wyrazów oraz stosując wzory skróconego mnożenia 9. rozwiąże równanie wielomianowe (rozkładając wielomian na czynniki jedną z w/w metod) 10. *dzieli dowolne dwa wielomiany 11. *stosuje schemat Hornera 12. *zna i rozumie twierdzenie Bezoute a 13. *zastosuje twierdzenie do sprawdzenia czy liczba jest pierwiastkiem wielomianu 14. *zastosuje twierdzenie o reszcie do wyznaczenia reszty z dzielenia wielomianów 15. *zastosuje twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu do wyznaczania pierwiastków wielomianu i rozkładu wielomianu na czynniki 16. *rozwiąże problemy dotyczące dzielenia z resztą, stosując twierdzenie a zapisie wielomianu w 1. poda przykłady wielomianów spełniających podany układ warunków 2. zastosuje twierdzenie o wielomianach równych do prostych zadań z parametrem 3. rozłoży wielomian na czynniki metodą optymalną 4. rozwiąże równanie wielomianowe metodą optymalną 5. *rozwiąże zadanie z parametrem lub parametrami dotyczące wielomianów równych 6. *dzieli wielomiany z parametrem 7. *zna dowód twierdzenia Bezoute a 8. *rozwiąże zadania z wykorzystaniem twierdzenia Bezoute a 9. *rozłoży wielomian na czynniki 2 2 przy pomocy wzoru a b 10. *rozwiąże zadanie z parametrem wykorzystując twierdzenie Bezoute a lub twierdzenie o reszcie lub pojęcie krotności pierwiastka 11. *rozumie metody (wężykową i siatki znaków) rozwiązywania nierówności wielomianowych 12. *rozwiąże równanie i nierówność wielomianową metodą optymalną 13. *poda przykłady funkcji wielomianowych spełniających układ warunków 14. *bada korzystając z definicji własności funkcji wielomianowej (parzystość, różnowartościowość, monotoniczność) 15. *ustali ilość rozwiązań dowolnego równania, nierówności wielomianowej (również z wartością bezwzględną) w zależności od parametru, z