Topologia, geometria i kinematyka wybranych translacyjnych mechanizmów równoleg ych JACEK BA CHANOWSKI We wspó czesnej technice mechanizmy równoleg e znajdujà bardzo szerokie zastosowania. Sà to przestrzenne mechanizmy o szeêciu stopniach swobody, o budowie wielokonturowych zamkni tych aƒcuchów kinematycznych. Znajdujà one wielorakie zastosowania w przemyêle jako obrabiarki numeryczne, pozycjonery, manipulatory czy jako wszelakie symulatory ruchów pojazdów [1, 2]. W wielu konkretnych, specjalistycznych zastosowaniach w technice nie ma potrzeby u ywania uniwersalnych uk adów o szeêciu stopniach swobody wykorzystuje si wtedy uk ady o zmniejszonej liczbie ruchów. Przyk adem takich specjalistycznych uk adów sà translacyjne mechanizmy równoleg e majàce trzy stopnie swobody. W równoleg ych mechanizmach translacyjnych cz on bierny platforma mo e wykonywaç tylko trzy ruchy translacyjne wzgl dem podstawy przy zachowanej sta ej orientacji. Uk ady takie majà zastosowanie g ównie jako specjalistyczne frezarki trzyosiowe lub manipulatory monta owe czy pakujàce (np. ABB 340, Delta) lub translacyjne pozycjonery. Swoje specyficzne w asnoêci translacyjne mechanizmy równoleg e zawdzi czajà zarówno odpowiednio dobranej topologii i strukturze, postaci par kinematycznych, jak i geometrii cz onów. KoniecznoÊç powiàzania tych cech ze sobà podczas projektowania powoduje, e nie opracowano jeszcze kompleksowych metod tworzenia i opisu takich uk adów. Przedstawiane w lite- Dr in. Jacek Ba chanowski jest pracownikiem Instytutu Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn Politechniki Wroc awskiej. raturze i stosowane w przemyêle rozwiàzania oparte sà na stosunkowo prostych rozwiàzaniach strukturalnych [1 5]. W artykule zaprezentowano przyk ady nowych rozwiàzaƒ translacyjnych mechanizmów równoleg ych zbudowanych ze struktur opracowanych podczas prac badawczych nad mechanizmami równoleg ymi realizowanymi w Zak adzie Teorii Maszyn i Uk adów Mechatronicznych na Wydziale Mechanicznym Politechniki Wroc awskiej [6 8]. W pracy przedstawiono opis i dobór warunków geometrycznych oraz pokazano przyk ady badaƒ symulacyjnych kinematyki tych mechanizmów realizowanych w komputerowych systemach analizy dynamicznej uk adów wielomasowych. Budowa translacyjnych mechanizmów równoleg ych Mechanizm równoleg y zbudowany jest z cz onu biernego (platformy) po àczonego z podstawà przy u yciu kilku otwartych aƒcuchów kinematycznych zwanych ga ziami. Zwykle mechanizmy takie budowane sà jako symetryczne oznacza to, e wszystkie ga zie sà identyczne w sensie strukturalnym [8]. Na rys. 1 zamieszczono ogólny schemat strukturalny mechanizmu równoleg ego o trzech stopniach swobody o trzech wymaganych nap dach. Dla takich uk adów zbudowanych z cz onu biernego platformy b, podstawy o oraz trzech ga zi ruchliwoêç W mo na opisaç wzorem [7, 8]: W = 6 + n g (1)
Rys. 1. Schemat ogólny mechanizmu równoleg ego o ruchliwoêci W = 3 oraz schematy struktur ga zi o = -1 gdzie: W ruchliwoêç mechanizmu, n g liczba ga zi w mechanizmie, ruchliwoêç ga zi. W mechanizmach równoleg ych w jednej ga zi montowany jest zwykle tylko jeden nap d oznacza to, e ruchliwoêç mechanizmu narzuca liczb ga zi n g. Dla mechanizmu o trzech nap dach W = 3 i narzuconej liczbie ga zi n g = 3, wymagana ruchliwoêç ga zi jest okreêlona i wynosi: = -1 (2) Z drugiej strony, budow strukturalnà ga zi mo na przedstawiç wzorem: = 6k 5p 1 4p 2 3p 3 2p 4 p 5 (3) gdzie: k liczba cz onów ga zi, p i liczba par i-tej klasy w ga zi. Dla podanych (1, 2, 3) zwiàzków strukturalnych przy przyj ciu i narzuceniu ograniczeƒ na liczby cz onów k oraz p i mo na okreêliç skoƒczony zbiór rozwiàzaƒ strukturalnych ga zi. Opracowany zbiór struktur takich ga zi przedstawiono na rys. 1 [6 8]. Struktury ga zi zosta y oznaczone symbolami liczbowymi k.p 1.p 2.p 3 opisujàcymi liczb k cz onów oraz liczb p 1, p 2, p 3 par kinematycznych I, II i III klasy wyst pujàcych w ga ziach. Schematy strukturalne gotowych mechanizmów równoleg ych otrzyma si, wpisujàc w ogólny schemat mechanizmu równoleg ego (rys. 1) w miejsce symboli ga zi otrzymane struktury. Mechanizmy zbudowane na bazie struktur ga zi 2.2.0.1, 2.1.2.0, 2.1.2.0 czy 3.1.2.2 sà znane i stosowane w technice, np. manipulatory ABB IRB 340, Delta [1, 2], M3R6U, M3T6 [6, 7] przyk ady takich mechanizmów zamieszczono na rys. 2. W niniejszej pracy przedstawiono analizy geometrii i struktury oraz modelowania, badaƒ symulacyjnych translacyjnych nowych mechanizmów równoleg- ych wywiedzionych ze struktur ga zi 3.3.1.0 oraz 4.5.0.0 oznaczonych dalej odpowiednio M3310 i M4500 (rys. 3). Rys. 3. Struktury otrzymanych mechanizmów równoleg ych M3310 i M4500 Rys. 2. Przyk ady mechanizmów równoleg ych translacyjnych zbudowanych na bazie ga zi 3122: a) ABB IRB 340, b) Delta oraz na bazie ga zi 3210: c) M3R6U, d) M3T6U Dobór geometrii translacyjnych mechanizmów równoleg ych Przedmiotem analiz sà translacyjne mechanizmy równoleg e oznaczone symbolami M3310 oraz M4500, których struktury przedstawiono na rys. 3. Celem prac jest zbudowanie, na bazie opracowanych struktur mechanizmów rozwiàzaƒ o cechach translacyjnych cz on bierny w takich uk adach mo e wykonywaç tylko ruchy translacyjne wzgl dem podstawy, zachowujàc sta à orientacj. Aby otrzymaç schematy kinematyczne poszukiwanych mechanizmów, nale y przyjàç postacie par kinematycznych oraz okreêliç geometri cz onów i par. W pracy przyj to, e parami pierwszej klasy mogà byç przeguby obrotowe lub post powe, parami drugiej klasy przeguby uniwersalne (sprz g a Cardana), parami trzeciej klasy przeguby sferyczne. Poszukujàc mechanizmów o szczególnych cechach ruchowych, trudno sformalizowaç kryteria selekcji takich uk adów. Cz Êç cech ruchowych zale y wprost 21
od struktury, cz Êç od postaci par kinematycznych, cz Êç od dobranych w procesie syntezy geometrycznej wymiarów. Mo na jedynie, w sytuacji tu za o onej, posi kowaç si analizami strukturalnymi fragmentów aƒcuchów kinematycznych ga zi tworzàcych mechanizm i na tej podstawie wyciàgaç wnioski dotyczàce ca ego uk adu. Mo na pos u yç si twierdzeniem o odbieraniu stopni swobody [9]: Je eli cz onowi b w mechanizmie pewien aƒcuch kinematyczny odbiera okreêlonà sk adowà ruchu (np. T, R), to cz on b ju tà sk adowà nie dysponuje równie przy kompletnym aƒcuchu kinematycznym ca ego uk adu. W podpunktach przedstawiono wyniki analiz strukturalnych i geometrycznych, jakie przeprowadzono, aby uzyskaç mechanizmy o àdanych cechach ruchowych. Otrzymano i opisano pi ç nowych translacyjnych mechanizmów równoleg ych wywiedzionych ze struktur z rys. 3. We wszystkich pokazanych w dalszej cz Êci pracy uk adach cz on bierny wykonuje tylko ruchy translacyjne wzgl dem podstawy. Mechanizmy translacyjne typu M3310 Mechanizm translacyjny M3310R z nap dami obrotowymi Na rys. 4 przedstawiono mechanizm M3310R otrzymany na bazie ga zi o strukturze 3310. W mechanizmie tym cz on bierny platforma jest podparty trzema ga ziami zbudowanymi z trzech par obrotowych i jednego przegubu uniwersalnego (sprz g a Cardana). Przeguby uniwersalne àczà platform z ga ziami. Trzy nap dy obrotowe q 1 nap dzajà cz ony po àczone obrotowo z podstawà. W uk adzie tym dla dowolnych wartoêci nap dów platforma zachowuje równoleg oêç do podstawy i ma mo liwoêç tylko przemieszczeƒ translacyjnych. Uzyskane ruchy wynikajà z przyj tej specyficznej geometrii (rys. 4): par obrotowych na podstawie przegubów uniwersalnych zwiàzanych z platformà le à na jednej p aszczyênie lub na p aszczyznach oraz dla ka dej ga zi (i = 1, 2, 3) muszà byç spe nione i p 2i, p 3i par obrotowych sà do siebie równoleg e, zaê osie p 2i prostopad e, osie p 4i w przegubach uniwersalnych sà do siebie prostopad e. Mechanizm translacyjny M3310T z nap dami liniowymi Na rys. 5 i 6 przedstawiono mechanizmy zbudowane równie na bazie ga zi 3310. W tych wersjach mechanizmu w ga zi wyst puje jedna para post powa, dwie obrotowe i jeden przegub uniwersalny. Mechanizmy te majà nap dy liniowe q 1 (rys. 5 i 6) zamontowane w parach post powych àczàcych ga zie z podstawà. Mechanizm w wersji M3310T1 ma trzy nap dy liniowe zamontowane Rys. 5. Schemat kinematyczny translacyjnego mechanizmu równoleg ego M3310T1 Rys. 6. Schemat kinematyczny translacyjnego mechanizmu równoleg ego M3310T2 Rys. 4. Schemat kinematyczny translacyjnego mechanizmu równoleg ego M3310R w jednej p aszczyênie, zaê uk ad M3310T2 ma osie nap dów liniowych wzajemnie do siebie prostopad- e. W obu tych uk adach geometria cz onów zapewnia przemieszczenia translacyjne platformy b wzgl dem podstawy o. Dla mechanizmu M3310T1 muszà byç zapewnione nast pujàce warunki geometryczne (rys. 5): 22
par post powych na podstawie przegubów uniwersalnych zwiàzanych z platformà le à na jednej p aszczyênie lub na p aszczyznach oraz dla ka dej ga zi (i = 1, 2, 3) muszà byç spe nione pary post powej i p 2i pary obrotowej, osie p 3i pary obrotowej przegubu uniwersalnego sà do siebie równoleg e, zaê osie p 2i prostopad e, osie p 4i w przegubach uniwersalnych sà do siebie prostopad e. W przypadku mechanizmu M3310T2 muszà byç zapewnione nast pujàce warunki geometryczne (rys. 6): par post powych na podstawie muszà le eç w jednej p aszczyênie, zaê oê pary p 12 musi byç do niej prostopad a, przegubów uniwersalnych zwiàzanych z platformà muszà le eç w jednej p aszczyênie, zaê oê p 52 musi byç do niej prostopad a, oraz dla ga zi (i = 1, 3) muszà byç spe nione i p 2i, p 3i par obrotowych sà do siebie równoleg e, zaê osie p 2i prostopad e, osie p 4i w przegubach uniwersalnych sà do siebie prostopad e, zaê dla ga zi 2: osie p 12 i p 22, p 22 i p 23, p 23 i p 42 par obrotowych sà do siebie równoleg e, zaê osie p 42 i p 52 prostopad e. Mechanizmy translacyjne typu M4500 Mechanizm translacyjny M4500R z nap dami obrotowymi Mechanizm translacyjny typu M4500R zbudowany jest z trzech ga zi 4500, w których wyst pujà tylko pary obrotowe (rys. 7). Nap dy obrotowe q 1 zamontowane w parach àczàcych ga zie z podstawà oraz specyficznie zdefiniowana geometria zapewniajà mo liwoêç translacyjnych ruchów cz onu biernego platformy b wzgl dem podstawy o. Dla tego uk adu nale y spe niç poni sze par obrotowych na podstawie par obrotowych zwiàzanych z platformà le à na jednej p aszczyênie lub na p aszczyznach oraz dla ka dej ga zi i = 1, 2, 3 muszà byç spe nione i p 2i, p 3i par obrotowych sà do siebie równoleg e, zaê osie p 2i, p 4i prostopad e. Mechanizm translacyjny M4500T z nap dami liniowymi Kolejnà wersjà translacyjnego mechanizmu równoleg ego jest uk ad M4500T otrzymany na bazie ga zi 4500, tym razem zbudowanej z jednej pary post powej i czterech par obrotowych. W tym mechanizmie zastosowano trzy nap dy liniowe q 1 wymuszajàce przemieszczenia w parach post powych przy podstawie. Aby w tym mechanizmie uzyskaç translacyjne przemieszczenia cz onu biernego, nale y przyjàç nast pujàce warunki geometryczne opisujàce wzajemne usytuowanie par na cz onach: par post powych na podstawie par obrotowych zwiàzanych z platformà le à na jednej p aszczyênie lub na p aszczyznach oraz dla ka dej ga zi i = 1, 2, 3 muszà byç spe nione pary post powej i p 2i pary obrotowej, osie p 3i par obrotowych sà do siebie równoleg e, zaê osie p 2i, p 4i prostopad e. Rys. 8. Schemat kinematyczny translacyjnego mechanizmu równoleg ego M4500T Rys. 7. Schemat kinematyczny translacyjnego mechanizmu równoleg ego M4500R Modelowanie i badania symulacyjne kinematyki Przedstawione translacyjne mechanizmy równoleg e majà za zadanie realizowanie dowolnych trajektorii przestrzennych przez cz on bierny platform w swojej strefie roboczej. Kszta t i rozmiar strefy zale y od wymiarów poszczególnych cz onów. Tego typu mechanizmy mogà znaleêç zastosowanie jako maszyny obróbcze na przyk ad numeryczne frezarki trzyosiowe, w których do platformy montuje si wrzeciono z frezem, a uk ad cz onów zapewnia translacyjne przemieszczenia frezu wzgl dem podstawy. Do tych zadaƒ w szczególnoêci mogà mieç zastosowanie uk ady z nap dami liniowymi, np. M3310T1, 23
M3310T2 lub M4500T. Przedstawione mechanizmy mogà znaleêç równie zastosowanie jako manipulatory monta owe, w tym przypadku do platformy montuje si odpowiedniego rodzaju efektory. Dla dalszych zastosowaƒ tych mechanizmów nale y rozwiàzaç podstawowe problemy kinematyki zadanie proste i odwrotne, kinetostatyki, dynamiki. Badania wytypowanych zbiorów rozwiàzaƒ strukturalnych przeprowadza si najcz Êciej numerycznie. Do tego celu wykorzystuje si komputerowe systemy analizy dynamicznej uk adów wielomasowych, które metodami badaƒ symulacyjnych potrafià rozwiàzaç podstawowe problemy projektowe. Jednà z zalet takich badaƒ jest brak koniecznoêci wyprowadzania jawnych równaƒ ruchu i ich rozwiàzywania, co znacznie skraca i przyspiesza proces projektowy. Zaletà jest równie mo liwoêç budowania parametrycznych modeli obliczeniowych wytypowanych rozwiàzaƒ i szukanie metodami optymalizacji rozwiàzaƒ najlepszych dla zdefiniowanych kryteriów i ograniczeƒ. Metodami numerycznych badaƒ symulacyjnych mo na rozwiàzywaç mi dzy innymi problemy syntezy geometrycznej, mo na badaç wra liwoêç uk adu na Rys. 9. Model obliczeniowy mechanizmu M4500T w systemie LMS DADS b dy i niedok adnoêci wykonania, symulowaç i badaç w asnoêci dynamiczne oraz kinematyczne. Przedstawione mechanizmy swoje szczególne w aêciwoêci zawdzi czajà przyj ciu szczególnych warunków geometrycznych. Dlatego te istotne wydaje si zbadanie, jak wp ywa niedok adnoêç wykonania (spe nienie warunków geometrycznych) na jakoêç realizowanego ruchu translacyjnego. Badania symulacyjne mechanizmu M3310T1 W artykule zaprezentowano wyniki badaƒ symulacyjnych wra liwoêci mechanizmu M3310T2 (rys. 6) na b dy i niedok adnoêci wykonania cz onów i par. W tym celu zbudowano parametryczny model obliczeniowy tego mechanizmu (rys. 9) w systemie analizy dynamicznej uk adów wielomasowych LMS DADS [10]. Przeprowadzane symulacje polega y na wymuszaniu ruchu uk adu po zadanych trajektoriach. Podczas symulacji wprowadzano do uk adu b dy wykonania pewnych wymiarów oraz analizowano ich wp yw na pozycjonowanie orientacj platformy. Jako miar b du pozycjonowania okreêlono odchylenie kàtowe platformy od poziomu α x w kierunku osi x oraz odchylenie α y kierunku osi y (rys. 10). Zaprezentowano wyniki symulacji ruchu po wybranej trajektorii µ wykreêlanej przez punkt W zwiàzany z platformà przedstawionà na rys. 11 oraz w postaci wspó rz dnych x w, y w, z w na rys. 12. W pierwszej kolejnoêci nale a o rozwiàzaç zadanie odwrotne kinematyki w celu okreêlenia niezb dnych parametrów nap dów q 1 wymuszajàcych ruch po zadanej trajektorii. Zadanie to rozwiàzano numerycznie na wykresie na rys. 13 przedstawiono otrzymane wymuszenia kinematyczne q 1. W dalszej kolejnoêci przeprowadzono symulacj ruchów uk adu dla zadanych wymuszeƒ nap dów q 1, wprowadzajàc do kolejnych symulacji b dy wykonania. Na rysunkach przedstawiono wyniki symulacji dla wprowadzonych b dów usytuowania osi nap du 1. Jako miar b du wprowadzono kàt δ opisujàcy odchylenie tej osi od poziomu (rys. 9). Symulacj przeprowadzono dla kàtów δ = 1, 2, 4. Na wykresie na rys. 13 i 14 przedstawiono odchy ki pozycjonowania platformy kàty α x, α y w funkcji wprowadzonych b dów. B dy orientacji w kierunku x α x (rys. 10) przewy sza y wp yw b du wykonania δ (rys. 13), wskazujàc na podwy szonà wra liwoêç uk adu na b àd wykonania tego wymiaru. Przeprowadzajàc wielokrotne symulacje dla ró nych b dów i trajektorii, mo na oceniç wra liwoêç mechanizmu na zmiany wartoêci poszczególnych Rys. 10. Schemat opisu b dów α x, α y orientacji platformy Rys. 11. Przebiegi wspó rz dnych analizowanej trajektorii 24
Rys. 12. Przebiegi wymuszeƒ kinematycznych q 1 nap dów 1, 2, 3 Rys. 13. B dy α x pozycjonowania platformy okreêlone dla wprowadzonego b du δ wykonania osi nap du 1 dla przypadków δ = 1, 2, 4 Rys. 14. B dy α y pozycjonowania platformy okreêlone dla wprowadzonego b du δ wykonania osi nap du 1 dla przypadków δ = 1, 2, 4 wymiarów i dobraç odpowiednie tolerancje wykonania rzeczywistych wymiarów. Zakoƒczenie W pracy przedstawiono i opisano struktur oraz budow nowych translacyjnych mechanizmów równoleg ych. Pokazano i szczegó owo omówiono pi ç schematów kinematycznych mechanizmów z nap dami obrotowymi i liniowymi. Dla tych mechanizmów opracowano warunki geometryczne, jakie muszà spe niç wymiary cz onów i par kinematycznych, aby mechanizmy mog y realizowaç ruchy translacyjne. W pracy pokazano przyk ady modelowania i badaƒ symulacyjnych mechanizmów równoleg ych w komputerowych systemach analizy dynamicznej. Przedstawiona w pracy procedura badaƒ symulacyjnych umo liwia ocen wra liwoêci mechanizmu na niedok adnoêci wykonania poszczególnych wymiarów i pokaza a, jak dobraç odpowiednie tolerancje wykonania rzeczywistych wymiarów. Przeprowadzone symulacje pozwolà oceniç wp yw b dów na jakoêç pozycjonowania cz onu biernego. Niniejsza praca zosta a zrealizowana jako projekt badawczy nr 4TO7 C00229 finansowany ze Êrodków na nauk w latach 2005 2008. LITERATURA 1. Merlet J-P.: Parallel Robots. Kluwer Academic Publishers, London 2000. 2. Tsai Lung-Wen: Robot analysis. The Mechanics and Parallel Manipulators. John Wiley & Sons, Inc., New York 1999. 3. Herve J. M., Sparciano F.: Structural synthesis of parallel robots generating spatial translation. Proc. of V International Conference on Advanced Robotics, Pisa, Italy 1991. 4. Kong X., Gosselin C.M.: Type synthesis of 3-DOf translational parallel manipulators based on screw theory and a virtual joint. ROMANSY 2004, Montreal, Canada. 25
Dokoƒczenie z 25 str. 5. Kim D., Chung W.: Kinematic condition analysis of three- -DOF pure translational parallel manipulators. ASME Journal of Mechanical Design 2003. 6. Ba chanowski J.: Synteza manipulatora równoleg ego typu xyz z nap dami liniowymi. Przeglàd Mechaniczny nr 1/2006. 7. Ba chanowski J., Wudarczyk S.: Xyz parallel manipulator design problems. International Scientific Conference held on the occasion of the 55 th anniversary of founding the Faculty of Mechanical Engineering, Ostrava, Czechy 2005. 8. Ba chanowski J., Twaróg W.: Systematyka mechanizmów równoleg ych. Górnictwo Odkrywkowe 2006 nr 5/6, ss. 15 19. 9. Ba chanowski J., Miller S: Problemy selekcji i doboru struktur nowych rozwiàzaƒ manipulatorów równoleglych. XIX Ogólnopolska Konferencja Naukowo-Dydaktyczna Teorii Maszyn i Mechanizmów, Kraków 2004. 10. Haug E.J.: Computer Aided Kinematics and Dynamics of Mechanical Systems. Allyn and Bacon, Boston 1989. 26