www..pl LICZENIE NA LICZYDLE Liczydło polskie i zapis liczb Zaokrąglanie liczb na liczydle Dodawanie na liczydle Odejmowanie na liczydle Mnożenie na liczydle Dzielenie na liczydle Bibliografia LICZYDŁO POLSKIE I ZAPIS LICZB Każda liczba składa się z ciągu cyfr, których umiejscowienie określa rząd liczby. Mamy więc rzędy jednostek, dziesiątek, setek, tysięcy, dziesiątek tysięcy, setek tysięcy, milionów itd. Na liczydle rzędy te są rozmieszczone od dołu do góry, a raczej - gdy liczydło leży nieco ukośnie przed nami - od najbliżej położonego rzędu jednostek do najdalszego rzędu miliardów. Takie położenie jest zresztą bardziej stabilne i w mniejszym stopniu grozi "katastrofą rachunkową" niż liczydła ustawiane pionowo. Rzędy liczby nie są opisane na liczydle. Dzięki temu może ono być wykorzystywane bardziej elastycznie do zapisu więcej niż tylko jednej liczby, albo do zabawy w tabliczkę mnożenia do stu bez wykorzystywania pozycyjnego zapisu liczb. Liczydło rozpowszechnione w Polsce ma w dziesięciu rzędach po dziesięć koralików w czterech kolorach rozmieszczonych tak, że tworzą one cztery ćwiartki po 25 koralików (fotografia). Ma to na celu ułatwienie odliczania koralików, a nie tylko ozdobę. Kolory powinny być kontrastowe i dobrane pod względem estetycznym. Koraliki dosuwamy zawsze do krawędzi liczydła lub do innego koralika. W ten sposób, tworzą one w rzędzie najwyżej dwie zwarte grupy lewą i prawą oddzielone za pomocą przerwy. Przerwa ta ma zwykle długość 1/3 całej długości rzędu, czyli rozpiętość odpowiadającą zgrupowaniu pięciu koralików. Nie jest to jednak ściśle określone.
Wartość liczby lub liczb jest wyznaczana tylko przez koraliki znajdujące się po lewej stronie liczydła. Na liczydle w zasadzie wykonywane są tylko operacje dodawania i odejmowania przez dosuwanie i odsuwanie koralików. Mnożenie, to w tej sytuacji wielokrotne dodawanie, a dzielenie - to wielokrotne odejmowanie. Każde działanie arytmetyczne dzieli się na operacje, które w przykładach zamieszczonych dalej są pokazane na rysunkach pogrupowanych wg działań arytmetycznych. Po zakończeniu każdej operacji dodawania albo odejmowania grupy koralików po lewej stronie mogą liczyć co najwyżej dziewięć koralików. Dosunięcie dziesiątego koralika do tej grupy pociąga zamianę całej grupy na koralik o jeden rząd wyższej. Podobnie gdy odsuwamy koraliki w prawo i po stronie lewej ich zabraknie, to wtedy zamieniamy jeden koralik z sąsiedniego rzędu wyżej na grupę dziesięciu koralików niżej, od której zaraz odejmujemy brakujące do zakończenia operacji koraliki. Także w tej sytuacji nigdy nie pozostawiamy po zakończeniu operacji na lewej stronie dziesięciu koralików. Każda operacja zamiany wymaga przesunięć na dwóch sąsiednich rzędach a w przypadku odejmowania kończy się zawsze przesunięciem w prawo pozostałych do odjęcia koralików. Brak koralików na lewej stronie w jakimkolwiek rzędzie oznacza zero Z tej strony można ściągnąć niewielką aplikację pn. Liczydło polskie. Za jej pomocą można przećwiczyć wszystkie przedstawione dalej przykłady.
Program jest spakowany (zip) i zajmuje bardzo mało miejsca. Można go uruchomić z dowolnego nośnika pamięci aktywnego w systemie. Nie wprowadza on żadnych wpisów do rejestru, a zwykłe wykasowanie pliku wystarczy do jego usunięcia. Przykłady zapisu liczb na liczydle A. Jedna liczba Nr 0 Nr 1 (12) Nr 2 (2 100) Nr 3 (357 229 647) B. Dwie liczby Nr 0 Nr 1 (761 i 0) Nr 2 (501 i 20) Nr 3 (98 i 51) Ze sposobów zapisu liczb na tym liczydle wynika, że największa możliwa do przedstawienia liczba wynosi: 9 999 999 999 w przypadku pierwszym A. W drugim przypadku B można zapisać w każdej części liczydła liczbę 99 999. Zakres liczydła można zwiększyć dodając więcej rzędów. Można też inaczej rozdzielić rzędy liczydła na zapis rzędów liczb, ale to wymaga już większej biegłości w posługiwaniu się tym przyrządem. Zwraca uwagę sposób przedstawiania zera. Po prostu wtedy wszystkie koraliki są po stronie prawej. Nie ma więc w tym przypadku konieczności wprowadzania dodatkowej cyfry zero wystarczy puste miejsce po lewej stronie. To także miało wpływ na dość późne odkrycie zera (Indie VI w.).
ZAOKRĄGLANIE LICZB NA LICZYDLE Często posługując się liczbami korzystamy z zaokrągleń. Ułatwia to zapamiętywanie i pozwala lepiej oraz szybciej ocenić istotną różnicę wartości, np. towaru i nie poddawać się reklamowej sugestii niższych cen, gdy coś jest tańsze od 12 zł, bo kosztuje 11,99 zł. Podstawowa zasada zaokrąglania liczby do określonego rzędu dziesiątek, setek, tysięcy, dziesiątek tysięcy itd., polega na pozostawianiu cyfry bez zmian, jeśli w niższym sąsiednim rzędzie jest cyfra mniejsza od 5 (0, 1, 2, 3, 4). Np. A. Zaokrąglanie do rzędu tysięcy: 123 456 123 000 Jeśli w rzędzie sąsiednim, niższym występuje cyfra większa od 4 (5, 6, 7, 8, 9), to liczba koralików w rzędzie, do którego zaokrąglamy, zostaje zwiększona o jeden. W rzędach niższych od rzędu, do którego zaokrąglamy, wpisywane jest zawsze zero, czyli wszystkie koraliki są przesuwane na prawą stronę liczydła. Np. B. Zaokrąglanie do rzędu setek: 123 456 123 500 Na liczydle zaokrąglanie przebiega mechanicznie i uzależnione jest od koloru koralików pierwszych po stronach lewej i prawej liczydła w sąsiednim rzędzie niższym niż rząd zaokrąglenia. Jeśli kolor koralika pierwszego po lewej jest taki sam jak kolor koralika pierwszego po prawej w tym rzędzie, to ustawienie w rzędzie wyższym, do którego zaokrąglamy, pozostawiamy bez zmian (Np. A). Także bez zmian pozostawiamy rząd zaokrąglenia, jeżeli po stronie lewej w sąsiednim rzędzie niżej, brak koralików. Można uznać, że wtedy też nie ma różnicy kolorów. Jeśli kolor koralika pierwszego po lewej jest inny niż kolor pierwszego od lewej koralika po prawej stronie przerwy w tym rzędzie, to zaokrąglamy dodając w
rzędzie wyżej jeden koralik (Np. B). We wszystkich rzędach liczby poniżej rzędu, do którego zaokrąglamy, przesuwamy koraliki na prawą stronę, czyli ustawiamy na zero. Wartość zaokrąglenia np. 1000 otrzymujemy z liczb w zakresie od 500 do 1499, a np. zaokrąglenie 252800 (Nr 2) z zakresu od 252 750 do 252 849. Przedstawiony sposób zaokrąglania do najbliższej wartości jest dość powszechnie stosowany, ale nie jest jedynym. Zaokrąglanie może przebiegać także wg innych zasad, np. zaokrąglanie z nadmiarem, czy zaokrąglanie z niedomiarem. Istnieje też sposób zaokraglania, który zmniejsza błąd związany z takim działaniem na dużych zbiorach liczb. DODAWANIE NA LICZYDLE Podczas dodawania, gdy przesuwamy koraliki z prawej strony na lewą, rząd może wypełnić się do dziesięciu i wtedy obowiązuje zasada w ramce. Dziesięć koralików w rzędzie niższym zostaje zamienione na jeden koralik w sąsiednim rzędzie wyższym
Przykład dodawania: 7 + 5 Nr 1 Nr 2 Nr 3 Nr 4 Sposób dodawania przedstawiono na rysunkach liczydła. 1. Na początku ustawiana jest liczba 7 (Nr 1). 2. Następnie dodawane są kolejne koraliki (tu: 3), aż w rzędzie zostanie osiągnięta liczba 10 (Nr 2). 3. Zamieniamy dziesięć jednostek na jedną dziesiątkę (Nr 3). 4. Na końcu dodawane są brakujące do pięciu 2 koraliki (Nr 4). 7 + 5 = 7 + 3 + 2 = 10 + 2 = 12 ODEJMOWANIE NA LICZYDLE Podczas odejmowania przesuwamy koraliki z lewej na prawą stronę liczydła. Pewnego rodzaju wyjątek występuje tylko wtedy, gdy zachodzi konieczność zamiany koralika wyższego rzędu na dziesięć koralików niższego rzędu. Wtedy przesuwamy jeden koralik w rzędzie wyższym z lewej na prawo (odejmujemy) a dziesięć koralików w rzędzie niższym z prawej na lewo (dodajemy). Zwykle wykonujemy to już po odjęciu w tym rzędzie brakującej liczby koralików i dlatego przesuwamy zwykle liczbę koralików mniejszą od dziesięciu. Gdy zabraknie koralików w rzędzie, to zamieniamy jeden koralik w rzędzie sąsiednim wyższym na dziesięć koralików w rzędzie gdzie ich zabrakło Odejmowanie można rozpocząć zarówno od najwyższych rzędów jak i od najniższego rzędu jednostek. Liczba od której odejmujemy nazywana jest odjemną, a liczba którą odejmujemy, nazywana jest odjemnikiem. W przykładzie poniżej odejmowanie rozpoczęto od rzędu dziesiątek.
1. Po zapisaniu odjemnej tu: 327 (Nr 1). 2. Odejmujemy 30, ale w rzędzie dziesiątek są tylko dwa koraliki (Nr 2). 3. Dlatego po ich odjęciu, jedną setkę zamieniamy na dziesięć dziesiątek (Nr 3). 4. I odejmujemy brakującą jeszcze jedną dziesiątkę - jeden koralik w rzędzie dziesiątek (Nr 4). 5. Teraz odejmujemy dziewięć jednostek, ale w tym rzędzie jest tylko siedem koralików (Nr 5). 6. Po odjęciu tej siódemki brakuje jeszcze dwóch jednostek, zamieniamy więc jedną dziesiątkę na dziesięć jednostek (Nr 6). 7. I teraz odejmujemy brakujące jeszcze dwie jednostki - przesuwając w prawo dwa koraliki. Ostatecznie otrzymujemy wynik 288 (Nr 7). Można też to samo obliczenie wykonać nieco inaczej. 1. Zapisujemy odjemną (tu: 327), a odjemnik pamiętamy (tu: 39). 2. Najpierw odejmujemy 20 przesuwając dwa koraliki w prawo i teraz na poziomie dziesiątek nie ma już koralików po lewej stronie, a brakuje jeszcze do odjęcia dwóch koralików w rzędzie dziesiątek, czyli wartości 20 (Nr 2). 3. Zamieniamy więc jedną setkę - jeden koralik w rzędzie setek przesuwamy w prawo - na dziesięć dziesiątek, czyli na lewą stronę w rzędzie dziesiątek przesuwamy wszystkie dziesięć koralików (Nr 3). 4. Teraz można odjąć kolejną wartość 20 przesuwając dwa koraliki w rzędzie dziesiątek w prawo. W ten sposób została odjęta wartość 40 (Nr 4). Pozostało dodanie jednego koralika w rzędzie jednostek i w ten sposób otrzymujemy wynik 288 (Nr 5).
MNOŻENIE NA LICZYDLE Liczba którą mnożymy nazywana jest mnożną. Liczba przez którą mnożymy nazywana jest mnożnikiem, a wynik mnożenia nazywany jest iloczynem. Jak wspomniano wcześniej, mnożenie liczb polega na wielokrotnym - zależnym od wartości mnożnika - dodawaniu mnożnej, inaczej liczby namnażanej. Rezultatem takiego działania jest iloczyn, który po wykonaniu działań na liczydle zajmuje miejsce mnożnej. Działanie rozpoczynamy od najmniejszych wielokrotności mnożnika. 1. Mnożnik nie jest zapisywany na liczydle i wystarczy go zapamiętać. Natomiast zapisujemy mnożną i jest to jednocześnie pomnożenie jej przez jeden 175 x 1 = 175 (Nr 1). 2. W przykładzie jeszcze raz dodajemy 175. Po drodze należy dokonać zamiany dziesiątek (Nr 2) na jedną setkę (Nr 3) i jednostek (Nr 5) na jedną dziesiątkę. W rezultacie otrzymujemy 175 x 2 = 350 (Nr 6). 3. Następnie dodawana jest raz dziesięciokrotna wartość 175 x 10, czyli 1750. Tutaj także wykonywane są zamiany setek na tysiąc (Nr7) i dziesiątek na jedną setkę (Nr 9). 4. Na końcu otrzymywany jest wynik 2100 (Nr 10).
1. Mnożenie większych liczb wymaga nieco więcej działań, jednak i w tym przypadku można ułatwić sobie zadanie. 2. Zamiast 9 razy dodawać 1 156 083 wystarczy raz dodać 11 560 830 (dziesięciokrotną wartość mnożnej) (Nr 1). 3. Następnie mnożymy przez 300, trzykrotnie dodając 115 608 300 = 1 156 083 x 100 (Nr 4). Pozostaje jeszcze odjąć jeden raz 1 156 083 (Nr 5). DZIELENIE NA LICZYDLE Liczbę którą dzielimy nazywamy dzielną, a liczbę przez którą dzielimy nazywamy dzielnikiem. Wynik dzielenia nazywa się ilorazem. Wykonywanie dzielenia na liczydle sprowadza się do wielokrotnego odejmowania. Dzielenie zaczyna się od odejmowania mieszczących się w dzielnej największych dziesiątkowych wielokrotności dzielnika. Można odejmować wielokrotnie sam dzielnik, ale podana w ramce zasada znacznie przyspiesza dzielenie i odejmowanie.
1. Liczydło w tym przypadku jest domyślnie podzielone na dwie części górną i dolną (Nr 0). Podział taki ułatwiają kolory koralików. Każda część ma w pierwszym rzędzie jednostki. 2. W górnej części zapisujemy dzielną (tu: 761) a dzielnik (tu:13) zachowujemy w pamięci. Dolna część jest przeznaczona na zapis wyniku dzielenia - ilorazu (Nr 1). 3. Odejmujemy kolejno dwa razy po 130 (13 10). W dolnej części w rzędzie dziesiątek ilorazu zapisujemy ten wynik przesuwając w lewo dwa koraliki. Pozostaje w górnej części zapisana wartość 501, a w dolnej jest odnotowana wartość 20 (Nr 2). 4. Kolejne odejmowanie wymaga zamiany jednej setki na dziesięć dziesiątek (Nr 3) i odejmowanie można kontynuować za każdym razem odnotowując to w dolnej części w rzędzie dziesiątek ilorazu. Prowadzi to do nru 4, w którym w rzędzie dziesiątek dzielnej pozostaje jeden koralik. 5. Teraz (Nr 4) odejmowanie kolejnych 130 nie jest już możliwe (111 < 130) i dlatego zaczynamy odejmować wartości o rząd mniejsze (tu: 13). Każde odjęcie zapisywane jest od tej chwili w rzędzie jednostek ilorazu. 6. Najpierw zamieniamy jedną dziesiątkę dzielnej na jednostki i odejmujemy 3 koraliki. Jedna jednostka już jest, więc od zamienionej dziesiątki odejmujemy tylko brakujące 2 koraliki pozostawiając 8. W tej sytuacji na poziomie dziesiątek nie ma już koralików, więc sięgamy do poziomu setek i zamieniamy pozostałą jedną setkę na dziesięć dziesiątek. Od tej dziesiątki odejmujemy jeden koralik i należy odnotować to w wyniku jednostek ilorazu przesuwając koralik w lewo (Nr 5). 7. W dalszym ciągu odejmujemy jeszcze dwa razy 13 otrzymując nr 6 (98-2 13 = 72). Jednocześnie przesuwamy dwa koraliki z poziomu jednostek ilorazu w lewo (51 + 2 = 53) 8. Dalej odejmujemy kolejną 13 (-3-10 = -13) znowu zaczynając od jednostek. W tym stanie (Nr 6) można odjąć dwa koraliki (dwie jednostki), więc aby móc odjąć jeszcze jeden koralik od jednostek, trzeba zamienić jedną dziesiątkę dzielnej przesuwając na poziomie dziesiątek jeden koralik w prawo. W rzędzie jednostek dzielnej pozostanie wtedy 9 koralików, a w rzędzie dziesiątek przesuwamy jeszcze jeden koralik w prawo odejmując 10 (Nr 7). 9. Kolejno odejmujemy jeszcze trzy razy po 13, pamiętając o dodaniu za każdym razem koralika do wyniku (Nr 8). 10. Pozostały w części górnej dwie dziesiątki. Jedną z nich zamieniamy na jednostki i odejmujemy 3 koraliki. Pozostałą dziesiątkę także trzeba odjąć i odnotować to dodając jeden koralik w rzędzie jednostek ilorazu. 11. Z dzielnej pozostało siedem koralików i jest to reszta z dzielenia przez 13. Ostateczny wynik 58 i reszta 7 (Nr 9). BIBLIOGRAFIA 1. Jak kiedyś mnożono na liczydłach - film ze strony: http://vimeo.com/25369157 AP