SZCZECINA Michał 1 Modelowanie komputerowe konstrukcji w budownictwie transportowym WSTĘP Projektowanie konstrukcji budowlanych dla potrzeb szeroko rozumianego transportu wymaga zwrócenia uwagi na pewne charakterystyczne aspekty. W pracy przedstawiono dwa, które autor na podstawie swoich doświadczeń w projektowaniu uważa za jedne z najważniejszych. Są to mianowicie zagadnienia związane z komputerowym modelowaniem konstrukcji poddanych działaniu obciążeniami skupionymi oraz prawidłową interpretacją uzyskanych wyników. Współczesne metody projektowania konstrukcji bazują głównie na wykorzystaniu programów komputerowych wykonujących obliczenia w metodzie elementów skończonych (MES). Rolą projektanta jest przede wszystkim prawidłowa interpretacja otrzymanych wyników. Zadanie to staje się szczególnie trudne gdy zamiast statycznych obciążeń powierzchniowych lub liniowych konstrukcja poddana jest działaniu ruchomego obciążenia skupionego. Błędne rozumienie otrzymanych wyników może prowadzić np. do niepotrzebnego zawyżenia ilości zbrojenia w elemencie żelbetowym. 1 OBCIĄŻENIE SIŁĄ SKUPIONĄ Rzeczą specyficzną dla budownictwa transportowego jest występowanie obciążeń skupionych o stosunkowo dużych wartościach. Obciążenia te wynikają np. z modelowania pojazdu przejeżdżającego przez element konstrukcyjny jako zespołu sił skupionych. Dodatkowo uwzględnia się siły bezwładności wynikające z hamowania lub przyspieszania pojazdu. W programie wszystkich obciążeń konstrukcji obciążenia te są traktowane jako eksploatacyjne. Szczegółowe wytyczne zawarte są w odpowiednich normach do obciążeń, np. [2, s. 20]. Konstrukcje, które poddane są obciążeniu skupionemu w budownictwie transportowym to przede wszystkim nawierzchnie dróg i mostów oraz wszelkiego rodzaju podjazdy, płyty przejazdowe, pochylnie itd. Najczęściej modelami takich konstrukcji są płyty żelbetowe jedno- lub wielopolowe, rzadziej płyty z blach stalowych wzmacnianych od spodu żebrowaniem z dospawanych płaskowników (głównie przy mniejszych pojazdach lub wózkach widłowych). Zakres poruszanego w referacie zagadnienia dotyczyć może zarówno dużych konstrukcji w budownictwie drogowym i inżynieryjnym jak i średnich i drobnych elementów wyposażenia hal przemysłowych, centrów logistycznych, magazynów itd. Aby móc wyjaśnić na czym polega problem prawidłowej interpretacji wyników obliczeń należy przedstawić i omówić teoretyczne rozwiązanie, które podał Timoshenko [3, s. 141]. Załóżmy, że dla prostokątnej płyty o wymiarach axb wprowadzamy układ współrzędnych w ten sposób, aby oś x przebiegała przez oś symetrii płyty równoległą do krótszego boku. Założenia te pokazane są na rysunku 1. Chcemy teraz obliczyć moment zginający w punkcie A oddalonym o współrzędną x od początku układu współrzędnych. Tak przyjęte założenie dotyczące wyboru osi x jest zrozumiałe, gdyż największy moment zginający w płycie powstanie gdy siła skupiona przyłożona będzie w środku symetrii płyty. Interesuje nas wartość momentu zginającego w płycie w kierunku x oraz y w punkcie A. Moment zginający jest wielkością z której można m.in. obliczyć ilość potrzebnego zbrojenia w płycie żelbetowej. 1 Politechnika Świętokrzyska, Wydział Budownictwa i Architektury, michalsz@tu.kielce.pl 10232
Rys. 1. Założenia geometryczne dla płyty prostokątnej przegubowo podpartej. Dla tak przyjętych założeń wzory na momenty zginające w kierunkach x i y dla punktu na osi o współrzędnej y=0 mają postać [3, s. 144]: (1) (2) gdzie: P - wartość siły skupionej, - współczynnik Poissona dla materiału płyty, m - stablicowany [3, s. 135] współczynnik zależny od stosunku a/b wymiarów płyty. Jeżeli zachodzi warunek a=b (płyta kwadratowa), to wzory (1) i (2) upraszczają się do jednego wyrażenia na moment zginający, jednakowy w obu kierunkach: (3) Jeżeli teraz będziemy chcieli obliczyć wartość momentu zginającego w miejscu przyłożenia siły skupionej w środku symetrii płyty to szereg geometryczny we wzorze (3) jest rozbieżny, a więc teoretycznie momenty zginające w miejscu przyłożenia siły dążą do nieskończoności. Zrozumiałą rzeczą jest, że w rzeczywistości moment zginający nie może osiągać nieskończonej wartości i należy ograniczyć stosowalność wzorów (1), (2) i (3) do obszaru poza pewnym otoczeniem punktu przyłożenia siły skupionej. Wskazany tutaj problem będzie miał również miejsce przy prowadzeniu obliczeń w MES. Istnieje jednak możliwość wyeliminowania tego problemu, którą wskazał Timoshenko [3, s. 148]. Mianowicie w pewnym otoczeniu punktu przyłożenia siły można wyznaczyć moment zginający 10233
analogicznie jak w płycie kołowej obciążonej siłą skupioną w środku. Promień tego otoczenia można przyjąć jako równy 0,05a. Wtedy momenty zginające poza tym otoczeniem liczone są wg wzorów (1), (2) oraz (3), natomiast w otoczeniu siły skupionej obowiązują wzory: (4) (5) gdzie: 1 i 2 - współczynniki zależne od stosunku b/a wymiarów płyty [3, s. 149], r - promień otoczenia punktu przyłożenia siły skupionej; przyjmuje się r=0,05a. Na rysunku 2. pokazano przebieg zmienności funkcji momentu zginającego w osi środkowej płyty kwadratowej w zależności od współrzędnej x. Jak widać obliczanie momentów ze wzorów (4) i (5) pozwala w otoczeniu o promieniu r na,,wygładzenie" wykresu, który teoretycznie wg wzoru (3) w miejscu przyłożenia siły skupionej posiadałby asymptotę pionową. Dla płyty kwadratowej maksymalna wartość momentu zginającego wynosi 0,298P. Rys. 2. Przebieg momentu zginającego w osi środkowej płyty po,,wygładzeniu". 2 OBLICZENIA TEORETYCZNE I W MES Dla zilustrowania problemu wynikającego z przeważającego obciążenia skupionego przedstawiono w referacie wyniki obliczeń zarówno teoretycznych jak i w MES dla jednego pola płyty betonowej, obciążonej siłą skupioną w środku symetrii płyty. Na rysunku 3. przedstawiono schemat statyczny i wymiary płyty. Założono, że płyta jest wykonana z betonu C35/45 o współczynniku Poissona =0,167, swobodnie podparta o wymiarach axb=6x6m i grubości 25cm. Obciążenie płyty stanowi siła skupiona o wartości P=80kN (obciążenie obliczeniowe). Założono, że wpływ ciężaru własnego płyty na wyniki jest pomijalny. Analizę w MES przeprowadzono w oprogramowaniu Autodesk Robot Structural Analysis [1]. Założono podział całej płyty na jednakowe kwadratowe elementy skończone. Wymiar jednego elementu skończonego był za każdym razem dobierany inaczej, aby zobrazować w 10234
ten sposób jak zmieniają się wyniki obliczeń w MES w zależności od zagęszczenia siaki elementów skończonych. Rys. 3. Schemat statyczny płyty przyjętej do obliczeń. 2.1 Obliczenia teoretyczne Przed przeprowadzeniem obliczeń w MES wyliczono teoretyczne wartości momentu zginającego w otoczeniu punktu przyłożenia siły skupionej. Promień otoczenia założono równy 0,05*6=0,3m. Wtedy moment zginający wg wzoru (5) dokładnie w miejscu przyłożenia siły wynosi 23,84 knm, zaś we współrzędnej =0,5a-r (czyli na granicy stosowalności wzoru (3)) wynosi 18,87 knm. Jak widać wartość tego momentu wzrasta nieznacznie, co prowadzi do wspomnianego efektu,,wygładzenia" wykresu momentu zginającego. Ekstremalna wartość momentu zginającego (23,84 knm) posłużyć może projektantowi do obliczenia wymaganego zbrojenia płyty. 2.2 Obliczenia w MES Obliczenia w programie komputerowym [1] przeprowadzono dla różnych rozmiarów elementu skończonego, mianowicie 20x20cm, 10x10cm oraz 5x5cm. Zabieg ten ma na celu pokazać jak zmienia się wartość ekstremalnego momentu podawanego w programie w zależności od rozmiaru siatki, ale również jak zmieniają się momentu w wybranym otoczeniu punktu przyłożenia siły skupionej. Pozwoliło to również na sprawdzenie, czy zaproponowany promień otoczenia jest wystarczający do sporządzenia,,wygładzonego" wykresu momentu zginającego w osi środkowej płyty. Poniżej na rysunkach 4. do 6. zestawiono wartości momentów zginających w kierunku x dla każdego siatkowania płyty oraz powiększenie środkowego fragmentu płyty z zaznaczonym promieniem otoczenia siły skupionej. Maksymalne wartości momentów tuż pod siłą skupioną są od ponad dwóch do ponad trzech razy większe od momentu teoretycznego. W dodatku dla najgęściejszej siatki elementów skończonych moment w środku płyty jest największy, stąd prowadząc obliczenia statyczne elementów poddanych działaniu siły skupionej należy spodziewać się, że wartość maksymalnego momentu w sposób patologiczny może zależeć od zagęszczenia siatki. Efekt ten jest bardzo podobny do wspomnianego w punkcie 1. tego referatu zjawiska asymptotycznego zwiększania się momentów zginających, wyznaczonych wg wzorów (1) oraz (2). Z kolei wartości momentów na brzegu tego otoczenia są mniejsze od wartości wynikającej z teoretycznego wzoru (3). Można więc powiedzieć, że wyznaczenie i,,wygładzenie" momentów w sposób teoretyczny daje dobre przybliżenie przebiegu zmienności momentu zginającego, a uzyskana w tym sposobie wartość maksymalna momentu jest mniejsza od tej z MES i pozwala na bardziej racjonalne zaprojektowanie zbrojenia w płycie żelbetowej. 10235
Rys. 4. Rozkład momentu zginającego wzdłuż osi x - rozmiar elementu skończonego 20x20cm. Rys. 5. Rozkład momentu zginającego wzdłuż osi x - rozmiar elementu skończonego 10x10cm. Rys. 6. Rozkład momentu zginającego wzdłuż osi x - rozmiar elementu skończonego 5x5cm. 10236
WNIOSKI Analiza przeprowadzona w referacie daje jaskrawy przykład jak duży dystans do wyników z programów MES powinien mieć projektant, szczególnie dla obciążenia realizowanego przez siłę skupioną. Omówiony tutaj efekt gwałtownego wzrostu momentów zginających w pobliżu przyłożonej siły dotyczy nie tylko przypadku obciążenia siłą skupioną, ale również podpory punktowej. Główne wnioski jakie płyną z tych analiz dla projektantów to: konieczność weryfikacji otrzymanych komputerowo maksymalnych momentów zginających w literaturze, podchodzenie do wszelkich wyników z MES z pewnym dystansem i konieczność ich prawidłowej interpretacji, konieczność zapoznania się ze szczegółowymi aspektami projektowania konstrukcji w budownictwie transportowym. Należy również dodać, że obciążenie w postaci siły skupionej w rzeczywistości: realizowane jest nie w sposób idealnie punktowy, ale jako siła rozłożona na pewnej powierzchni, najczęściej powierzchni styku koła z podłożem, obciążenie to działa najczęściej w sposób krótkotrwały na konstrukcję. Tym bardziej można więc stosować zaproponowaną w referacie metodę,,wygładzania" momentu zginającego w otoczeniu siły skupionej. Streszczenie W pracy przedstawiono zagadnienia związane z komputerowym modelowaniem konstrukcji poddanych działaniu obciążeniami skupionymi oraz prawidłową interpretacją uzyskanych wyników. Na przykładzie płyty betonowej obciążonej siłą skupioną pokazano wyniki obliczeń teoretycznych oraz uzyskanych komputerowo w metodzie elementów skończonych. Przeprowadzono dyskusję obydwu rozwiązań oraz zaproponowano rozwiązanie problemu gwałtownego wzrostu momentów zginających w pobliżu siły skupionej. Computer aided modeling of structures in transport construction Abstract In the paper there are presented some issues related to the computer modeling of structures under concentrated loads and the correct interpretation of gained results. As an example, a concrete slab under concentrated load is calculated and the theoretical and finie element method calculations are presented. Both solutions are discussed and it's proposed a solution to the problem of the rapid growth of bending moments near the concentrated force. BIBLIOGRAFIA 1. Autodesk Robot Structural Analysis Professional 2014 - instrukcja użytkownika. 2. PN-EN 1991-1-1-2004 Eurokod 1. Oddziaływania na konstrukcje. Cześć 1-1. Oddziaływania ogólne. Ciężar objętościowy, ciężar własny, obciążenia użytkowe w budynkach. 3. Timoshenko S., Theory of plates and shells. McGraw-Hill Book Company, New York 1959. 10237