ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWO-DYNAMICZNEGO DO OPTYMALIZACJI STANÓW MAGAZYNOWYCH JOANNA BANA Streszczenie W artykle przedstawiono symlacj zarz dzania magazynem firmy handlowej przy wykorzystani model liniowo-dynamicznego programowania matematycznego. Okresem optymalizacji jest tydzie w miesi cach najwi kszego obrot firmy, za celem jest maksymalizacja zysk netto. Zmienne sterowania mo liwiaj przej cie od stan pocz tkowego do ko cowego grp asortymentowych oraz pozwalaj stali efektywne rozmieszczenie towarów w magazynie. Wyniki modelowania mo na wykorzysta do zmiany organizacji strktry magazyn i planowania zamówie. Słowa klczowe: programowanie liniowo-dynamiczne, gospodarka magazynowa 1. Wprowadzenie Problem optymalnego rozmieszczenia zasobów dotyka wiele przedsi biorstw. Szczególnie małe firmy nie mog dop ci do zalegania towar w magazynie czy traty potencjalnego klienta w przypadk brak poszkiwanego przez niego towar. Osi gni cie pnkt równowagi, kiedy w obrocie bior dział wszystkie towary magazynowane i adnego nigdy nie brakje, jest bardzo trdne bez wspomagania zarz dzania przez wła ciwy system. Celem artykł jest przeprowadzenie symlacji zarz dzania magazynem za pomoc model liniowo-dynamicznego przez firm Marco Marine handlj c akcesoriami eglarskimi i sprz tem motorowodnym. W programowani liniowo-dynamicznym wyst pj dwa powi zane zadania: problem wyznaczenia optymalnego plan rozwoj system oraz problem realizacji i sterowania wyznaczonym planem. Model matematyczny sterowania składa si z równa dynamiki i ogranicze, kryterim sterowania oraz wektorów stanów i sterowa zale nych od czas. Zadaniem liniowych równa dynamiki i ogranicze jest przeprowadzenie obiekt sterowania ze stan poprzedniego do nast pnego 1. Magazynowanie okre lane jest jako ogół czynno ci zwi zanych z czasowym gromadzeniem zapasów towarów, składowaniem ich w odpowiednich warnkach oraz przekazywaniem odbiorcom. Poniewa proces dostarczania towar cz sto nie pokrywa si z procesem sprzeda y, a proces sprzeda y lb prodkcji powinien by ci gły, magazynowanie jest niekiedy konieczno ci. Istotne zadania dobrze zorganizowanego magazyn to 2 : minimalizacja powtórnych rchów materiałowych, optymalizacja przepływ towarów przez skrócenie tras oraz okres zalegania w magazynach, optymalizacja wykorzystania miejsca składowania towarów, 1 B. Krawiec, Metody optymalizacji w rolnictwie, PWN, Warszawa-Łód 1991. 2 J.J. Coyle i in., Zarz dzanie logistyczne, PWE, Warszawa 2002.
8 Zastosowanie programowania liniowo-dynamicznego do optymalizacji stanów magazynowych planowanie i wykonywanie inwentaryzacji, optymalizacja plan dostaw. Gtiérez J. i in. zaproponowali model okre laj cy optymalny plan dostaw z pnkt widzenia minimalnych kosztów magazynowania 3. Przedstawiony w artykle model b dzie nawi zywał do tego podej cia, jednak celem optymalizacji b dzie maksymalizacja zysk, a ograniczenia b d dostosowane do charakter działalno ci firmy Marco Marine. 2. Charakterystyka firmy Do symlacji sterowania stanem magazyn wykorzystano mał firm handlow z bran y eglarskiej Marco Marine, prowadz c działalno w Szczecinie przy licy Łady 2. W rok 2009 firma zatrdniała na stałe 3 osoby i oprócz pomieszcze birowych dysponowała magazynem o powierzchni 90 m 2. Była przedstawicielem handlowym na Polsk firmy Tohats prodcenta silników do łodzi i motorówek oraz prowadziła sprzeda akcesoriów do sportów wodnych kilknast prodcentów, w tym 4 : Johnson Pmp pompy wodne, Teleflex systemy sterowania, Vitrifrigo lodówki do łodzi, Wallas kchenki i systemy ogrzewania, Tohats silniki do łodzi, Watski artykły ró ne. Magazyn firmy pozwala na wyró nienie czterech rodzajów miejsc do przechowywania towarów. Regały przy jednej ze cian posiadaj półki, na których mo na składowa akcesoria o redniej wielko ci i reglarnych kształtach. Przeciwna ciana ma zamontowane dłgie półki przeznaczone do przechowywania lekkich towarów o znacznej dłgo ci. W innej cz ci magazyn znajdj si pojemniki, w których mo na mie ci akcesoria drobne o małych gabarytach. Towary najci sze lb obj to ciowo d e s składowane na podłodze magazyn. W dalszych rozwa aniach miejsca te b d rozpatrywane jako: półki (a), dłgie półki (b), pojemniki (c) i podłoga (d). Ze wzgl d na gabaryty towar i zwi zane z tym odmienne sposoby jego magazynowania wyró niono 8 grp asortymentowych: G 1 pompy (Johnson Pmp), G 2 systemy sterowania (Teleflex), G 3 lodówki (Vitrifrigo), G 4 kchenki (Wallas), G 5 silniki (Tohats), G 6 cz ci do silników (Tohats), G 7 asortyment Watski, G 8 ci gna do systemów sterowania (Teleflex). 3 J. Gtiérez i in., An efficient approach for solving the lot-sizing problem with time-varying storage capacities, Eropean Jornal of Operational Research 189, Elsevier 2008: s. 682 693. 4 K. wistelnicki, Zastosowanie programowania liniowo-dynamicznego do optymalizacji stanów magazynowych wybranej firmy, praca magisterska, WI ZUT w Szczecinie 2009: s. 1 46.
Stdies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 57, 2011 9 Parametry techniczne miejsc składowania towar oraz jednostek w poszczególnych grpach asortymentowych pozwoliły okre li organizacj magazyn w sensie mo liwo ci składowania poszczególnych towarów na rozwa anych miejscach i maksymaln pojemno dla ka dej grpy (tabela 1). Tabela 1. Organizacja magazyn (w sztkach) Miejsce G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 6 G 7 G 8 a 800 b 980 500 10 70 200 100 c 700 300 d 15 80 60 200 Pojemno 980 1200 25 150 60 500 300 800 ródło: Opracowanie własne na podstawie 5. Przyj to, e okresem optymalizacji i sterowania jest tydzie w miesi cach najwi kszego obrot firmy (od marca do maja) oraz zało ono, e w chwili pocz tkowej ( t = 0 ) magazyn jest cz - ciowo wypełniony towarami. Na podstawie danych firmy o sprzeda y w latach 2007 2008 w okresie od marca do maja stalono (Tabela 2) oczekiwane zapotrzebowanie na towary w poszczególnych grpach asortymentowych oraz oczekiwany zysk jednostkowy (mar a firmy). Tabela 2. Mar a i zapotrzebowanie Grpa Zysk jednostkowy [zł] Zapotrzebowanie [szt./tydzie ] G 1 423 133 G 2 169 562 G 3 578 6 G 4 578 42 G 5 5400 11 G 6 100 115 G 7 20 80 G 8 115 207 ródło: Opracowanie własne na podstawie 6. Celem modelowania b dzie wyznaczenie takich stanów magazynowych ka dej grpie asortymentowej, aby pokry oczekiwane zapotrzebowanie klientów oraz osi gn mo liwie najwi kszy zysk netto (koszty stałe nie s wzgl dnione). Zysk całkowity pozwoli oceni sposób rozmieszczenia towarów w magazynie przy zało eni sprzeda y towar zgodnie z oczekiwanym popytem. 5 K. wistelnicki., Zastosowanie programowania liniowo-dynamicznego do optymalizacji stanów magazynowych wybranej firmy, praca magisterska, WI ZUT w Szczecinie 2009: s. 1 46. 6 Archiwalne zestawienia sprzeda y firmy Marco Marine sp. z o.o., dokmenty wygenerowane za pomoc aplikacji Optima, 2009.
10 Zastosowanie programowania liniowo-dynamicznego do optymalizacji stanów magazynowych 3. Bdowa model liniowo-dynamicznego W model wyodr bniono trzy grpy zmiennych decyzyjnych: 1. zmienne m i (0) opisj ce stan pocz tkowy ( t = 0 ) magazyn w stalonym okresie optymalizacji w sztkach, 2. zmienne sterowania ij (0) dotycz ce rozmieszczenia towarów na półkach w sztkach, 3. zmienne m i (1) okre laj ce stan ko cowy ( t = 1) magazyn w sztkach, gdzie: i {1,...,8} jest wska nikiem grpy towarów G i, j { a, b, c, d} to indeks miejsca magazynowego. Jako rozwi zania b dzie oceniana za pomoc fnkcji, maj cej na cel maksymalizacj ł cznego oczekiwanego zysk netto: f ( m(1) ) = 423 m1 (1) + 169 m2 (1) + 578 m3 (1) + 578 m4 (1) + 5400 m5 (1) (1) + 100 m6 (1) + 20 m7 (1) + 115 m8 (1) max. W model wyst pje 29 zmiennych decyzyjnych, ale ogranicze jest a 43 (nie licz c ogranicze na całkowitoliczbowo wszystkich zmiennych). Aby łatwi zrozmienie fnkcjonalno ci, ograniczenia zostały podzielone na 6 grp. Na pocz tk optymalizacji magazyn nie msi by psty, zatem zakładamy nast pj cy stan pocz tkowy ilo ci towarów w magazynie [6]: m (0) = 120, 1 m (0) = 250, 2 m (0) = 5, 3 m (0) = 5, 4 m (0) = 8, 5 m (0) = 80, 6 m (0) = 45, 7 m8 (0) = 90. Tabela 1 zawiera maksymalne wielko ci poszczególnych grp asortymentowych. Umo liwia to stalenie dolnych (stan pocz tkowy) i górnych ogranicze na ilo towarów w poszczególnych grpach przy wykorzystani zmiennych sterowania: (2)
Stdies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 57, 2011 11 m (0) (0) 980, 1 1b m (0) (0) + (0) 1200, 2 2b 2c m (0) (0) + (0) 25, 3 3b 3d m (0) (0) + (0) 150, 4 4b 4d m (0) (0) 60, 5 5d m (0) (0) + (0) 500, 6 6b 6c m (0) (0) + (0) 300, 7 7b 7d m8 (0) 8a 800. W tabeli 1 zawarte s równie maksymalne pojemno ci poszczególnych miejsc magazynowych oraz informacje o dost pno ci tych miejsc dla rozwa anych grp asortymentowych. Kolejne ograniczenia zapobiegaj sytacji, gdy ró ne towary składowane na jednym miejsc magazynowym przekraczaj jego całkowit pojemno : 1b (0) 2b (0) 3b (0) 4b (0) 5b (0) 6b (0) + + + + + 1, 980 500 10 70 200 100 2c (0) 6c (0) + 1, (4) 700 300 3d (0) 4d (0) 5d (0) 7d (0) + + + 1. 15 80 60 200 Z tablicy 2 wynika zapotrzebowanie na poszczególne towary w grpach: (0) 133, 1b 2b 2c 3b 3d 4b 4d 5d (0) + (0) 562, (0) + (0) 6, (0) + (0) 42, (0) 11, (0) + (0) 115, 6b 6c (0) + (0) 80, 7b 7d 8a 207. Konieczne s równie równania bilansj ce, pozwalaj ce zwi za zmienne sterowania z planowanym stanem ko cowym magazyn (w chwili t = 1) po pływie tygodnia: (3) (5)
12 Zastosowanie programowania liniowo-dynamicznego do optymalizacji stanów magazynowych m (1) = (0), 1 1b m (1) = (0) + (0), 2 2b 2c m (1) = (0) + (0), 3 3b 3d m (1) = (0) + (0), 4 4b 4d m (1) = (0), 5 5d m (1) = (0) + (0), 6 6b 6c m (1) = (0) + (0), 7 7b 7d m (1) = (0). 8 8a (6) Z do wiadcze firmy i analizy popyt wynika, e liczba ci gien do systemów sterowania nie powinna przekroczy 250 sztk: m8(1) 250. 4. Rozwi zanie model i dysksja wyników Poniewa rozwa any model jest jednokryterialny, rozwi zanie mo na zyska za pomoc dowolnego program z zaimplementowanym algorytmem simpleks. Wykorzystano dost pny w zasobach sieciowych Wydział Informatyki ZUT w Szczecinie program PROTASS2, który mo liwia programowanie w liczbach całkowitych (por. Rys.1). Stany pocz tkowe magazyn zostały stalone przed wła ciw optymalizacj (Tabela 3). Tabela 3. Stany pocz tkowe magazyn (w sztkach) Zmienna m 1 (0) m 2 (0) m 3 (0) m 4 (0) m 5 (0) m 6 (0) m 7 (0) m 8 (0) Warto 120 250 5 5 8 80 45 90 ródło: PROTASS2 i opracowania własne. Warto ci zmiennych sterowania ij (0) okre laj ilo towar grpy G i w sztkach do składowania w miejsc j (tabela 4).
Stdies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 57, 2011 13 Rysnek 1. Fragment model w programie PROTASS2 ródło: Program PROTASS2 i opracowanie własne. ródło: PROTASS2 i opracowanie własne. Tabela 4. Rozkład towar w magazynie (w sztkach) Zmienna Warto 1b (0) 146 2b (0) 130 2c (0) 434 3b (0) 0 3d (0) 6 4b (0) 41 4d (0) 1 5d (0) 11 6b (0) 1 6c (0) 114 7b (0) 0 7d (0) 80 8a (0) 250
14 Zastosowanie programowania liniowo-dynamicznego do optymalizacji stanów magazynowych Zmienne decyzyjne okre laj ce stany ko cowe magazyn wyznaczaj ilo ci towarów w grpach asortymentowych, które powinny znajdowa si w magazynie po pływie tygodnia (Tabela 5). Tabela 5. Stany ko cowe magazyn (w sztkach) Zmienna m 1 (1) m 2 (1) m 3 (1) m 4 (1) m 5 (1) m 6 (1) m 7 (1) m 8 (1) Warto 146 564 6 42 11 115 80 250 ródło: PROTASS2 i opracowanie własne. aden stan ko cowy magazyn nie jest zerowy, co oznacza, e firma b dzie oferowa klientom pełen asortyment w ilo ci nie mniejszej ni przewidywane zapotrzebowanie (por. Tabela 2). Wyznaczone rozwi zanie jest optymalne ze wzgl d na zysk netto firmy, który wyniósł 2 860 688 zł (bez kosztów stałych takich jak pensje, czy amortyzacja rodków trwałych), ale zakładamy przy tym sprzeda całej zawarto ci magazyn w ci g tygodnia. Firma mo e jeszcze lepiej wykorzysta wyniki modelowania wyznaczaj c pewne dodatkowe wska niki. Na podstawie optymalnych stanów ko cowych i zadanych stanów pocz tkowych mo na wyznaczy wielko ci zamówie, które firma powinna zrealizowa w okresie tygodnia (Tabela 6). Tabela 6. Zamówienia firmy (w sztkach) Grpa towarów G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 6 G 7 G 8 Zamówienie 26 314 1 37 3 35 35 160 ródło: Opracowanie własne. Wszystkie wielko ci zamówie s wi ksze od zera, co oznacza, e magazyn nie był wykorzystany optymalnie i by mo e nale y przenie cz towar w inne miejsca. Firma mo e by zainteresowana informacj na temat stopnia wykorzystania z j, j { a, b, c, d} poszczególnych miejsc magazynowych, co mo na obliczy ze wzorów: 8a (0) za = 100% 800 1b (0) 2b (0) 3b (0) 4b (0) 5b (0) 6b (0) zb = + + + + + 100%, 980 500 10 70 200 100 (7) 2c (0) 6c (0) zc = + 100%, 700 300 3d (0) 4d (0) 5d (0) 7d (0) zd = + + + 100%. 15 80 60 200 Stopie wykorzystania miejsc magazynowych zawiera Tabela 7.
Stdies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 57, 2011 15 ródło: Opracowanie własne. Tabela 7. Stopie wykorzystania miejsc magazynowych Miejsce magazynowe a b c d Zaj to z j 31,25% 99,97% 100% 99,58% Analiza zaj to ci miejsc magazynowych wiadczy o prawidłowym wykorzystani półek (b), pojemników (c) oraz podłogi (d). Na dłgich półkach (a) mog by składowane tylko ci gna do systemów sterowania (grpa G 8 ), które w latach 2007 2008 nie cieszyły si d ym popytem klientów i firma nie chce kpowa ich d o. Poniewa około 70% dłgich półek nie jest wykorzystanych, powinno si koniecznie zmieni organizacj magazyn, by zwi kszy jego yteczno i zapewni wi cej miejsca dla bardziej poplarnych towarów. 5. Podsmowanie Ka da firma dysponj ca niewielk przestrzeni magazynow poszkje rozwi za pozwalaj cych na efektywne jej wykorzystanie. Umo liwia to poprawne zarz dzanie przedsi biorstwem i prowadzi do zyskania lepszego wynik finansowego. Propozycja wykorzystania modelowania matematycznego spotkała si z przychylnym przyj ciem w firmie i dzi ki cisłej współpracy Pana Konrada wistelnickiego [6] z wła cicielem firmy dało si sformalizowa rzeczywiste warnki działania firmy i osi gn realne (w miesi cach najwi kszego obrot) wyniki. Do rezltatów modelowania mo na zaliczy poprawienie wydajno- ci magazyn, osi gni te przez: sprawdzenie prawidłowej organizacji magazyn, korekt proporcji rozmieszczenia towarów w stalonych miejscach magazynowych, mo liwo eliminacji strat zwi zanych z brakiem lb nadmiarem asortyment, zwi kszenie zysk ze sprzeda y. Przedstawiona w artykle symlacja sterowania i planowania gospodark magazynow firmy pokazje zalety wykorzystania programowania liniowo-dynamicznego w stosnk do optymalizacji statycznej. Wyznaczona strategia dotyczyła tylko jednego okres czas (tygodnia), ale mo liwe przecie jest stałe wykorzystywanie takiego system z konieczno ci aktalizacji stanów pocz tkowych, prowadz ce do wyznaczenia optymalnej trajektorii stanów magazynowych.
16 Zastosowanie programowania liniowo-dynamicznego do optymalizacji stanów magazynowych Bibliografia [1] Archiwalne zestawienia sprzeda y firmy Marco Marine sp. z o.o., dokmenty wygenerowane za pomoc aplikacji OPTIMA, 2009. [2] Coyle J.J. i in., Zarz dzanie logistyczne, PWE, Warszawa 2002. [3] Cenniki detaliczne firmy Marco Marine sp. z o.o., 2009. [4] Gtiérez J. i in., An efficient approach for solving the lot-sizing problem with time-varying storage capacities, Eropean Jornal of Operational Research 189, Elsevier 2008: s. 682 693. [5] Krawiec B., Metody optymalizacji w rolnictwie, PWN, Warszawa Łód 1991. [6] wistelnicki K., Zastosowanie programowania liniowo-dynamicznego do optymalizacji stanów magazynowych wybranej firmy, praca magisterska, WI ZUT w Szczecinie 2009: s. 1 46. USE OF LINEAR-DYNAMIC PROGRAMMING FOR OPTIMISING STOCK LEVELS Smmary The article presents a simlation trading company warehose management sing a linear-dynamic model of mathematical programming. The optimization period is a week in the months of the biggest trading company, and the goal is to maximize the net profit. Control variables allow yo to transition from initial state to the final state of prodct grops and help establish effective distribtion of goods in the warehose. The reslts of modeling can be sed to change the organization strctre of the warehose and procrement planning. Keywords: linear-dynamic programming, warehose management Katedra Zastosowa Sztcznej Inteligencji i Matematyki Stosowanej Wydział Informatyki Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie l. ołnierska 49, 71-210 Szczecin e-mail: jbanas@wi.zt.ed.pl