Strojové dokazování založené na výrokové logice Example reprezentuji znalosti v jazyce logiky z nich odvozuji znalosti nové dnes výroková logika příště bude predikátová logika, obecnější a složitější program v čistém Prologu MIZAR knihovna matematiky ontologie popis termínů určité domény
Výroková logika výrokové proměnné a, b, c, Wumpus na 3,3, Smrdí na 5,5,w 3,3,s 5,5 logické spojky,, &,, formule def. indukcí, výrok. proměnné a formule složené spojkami
Pravdivost, teorie, model Máme ohodnocení proměnných v : P {true, false}. Formule je pravdivá při ohodnocení... Teorie je množina formuĺı. Ohodnocení je modelem teorie, pokud jsou v něm pravdivé všechny formule teorie. Formule je logickým důsledkem teorie (pravdivá v teorii), pokud je pravdivá v každém modelu teorie.
Wumpus World Example (Wumpus) Vjemy Táhne (Breeze), Třpytí se (Glitter), Smrdí (Smell) 4 Stench Breeze PIT Akce Otoč se doleva (Left), Otoč se doprava (Right), Krok (Step), Zvedni (Grab), Polož (Put), Vystřel (Shoot) 3 2 Stench Breeze Stench Gold PIT Breeze Breeze Cíl Donést zlato na start aniž bychom spadli do díry nebo nás sežral Wumpus 1 Breeze START PIT Breeze 1 2 3 4
Prostředí Čtverce sousedící (hranou) s Wumpusem smrdí Ve čtvercích sousedících s dírou táhne Třpyt vidíme právě když stojíme na poĺıčku se zlatem Střela zabije Wumpuse právě když Wumpus stojí přímo před námi Střelba vystřeĺı naši jedinou střelu Zvednutím získám zlato, je li na stejném poĺıčku jako já Položením odložím zlato na zem na poĺıčku, kde stojím.
Reprezentace znalostí ve výrokové logice 1,3 1,2 2,2 Báze znalostí (KB): S A non B 1,1 2,1 non S non S non B B { s 2,1, s 1,2,..., s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1, s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 }
Reprezentace znalostí ve výrokové logice 1,3 1,2 2,2 Báze znalostí (KB): S A non B 1,1 2,1 non S non S non B B { s 2,1, s 1,2,..., s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1, s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 } Reprezentace znalostí ve výrokové logice výhoda: snadno se ověřuje pravdivost nevýhoda: pro každé poĺıčko musím psát pravidla zvlášť, takže je báze znalostí neúnosně velká
Jak odvodit w 3,1? z logiky organizovaněji (bude) sémanticky tabulkou sémantický strom syntakticky z axiomů a MP rezolucí
Důkaz tabulkou pro každé ohodnocení výrokových proměnných spočtu ohodnocení formuĺı v bázi znalostí KB vyberu jen modely KB, tj. všechna ohodnocení, při kterých jsou pravdivé všechny formule KB Ověřím, zda je formule dotazu pravdivá ve všech modelech KB. ANO Formule je logickým důsledkem KB. NE Existuje model KB, kde je formule nepravdivá, tj. není z KB dokazatelná.
Důkaz w 1,3 tabulkou ohodnocení proměnných pravdivost prvků KB w s 2,1 &s 2,2 s 1,2 w w 1,1 w 1,3 s 2,1, s 2,1 ( w 1,1 & s 1,2 (w 1, 1,2 3,1 w 2,2 & w 3,1 ) w 1,1 w 2, true true true true false true true true false true false true true false true true true true true false false true true false false true true false?? false true false false?? false false true false?? false false false false??
Důkaz tabulkou Tabulka má velikost 2 n, což může být dost (ale splnitelnost je NP úplná úloha) tabulka se nedá použít v predikátové logice (nekonečné modely)
Důkaz z axiomů a vět logiky KB = { s 2,1, s 1,2, s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1, s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 }
Důkaz z axiomů a vět logiky KB = { s 2,1, s 1,2, s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1, s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 } KB s 2,1
Důkaz z axiomů a vět logiky KB = { s 2,1, s 1,2, s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1, s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 } KB s 2,1 KB s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1
Důkaz z axiomů a vět logiky KB = { s 2,1, s 1,2, s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1, s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 } KB s 2,1 KB s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 KB w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 (MP)
Důkaz z axiomů a vět logiky KB = { s 2,1, s 1,2, s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1, s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 } KB s 2,1 KB s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 KB w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 (MP) KB w 1,1 & w 2,2 (věta VL)
Důkaz z axiomů a vět logiky KB = { s 2,1, s 1,2, s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1, s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 } KB s 2,1 KB s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 KB w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 (MP) KB w 1,1 & w 2,2 (věta VL) KB s 1,2
Důkaz z axiomů a vět logiky KB = { s 2,1, s 1,2, s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1, s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 } KB s 2,1 KB s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 KB w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 (MP) KB w 1,1 & w 2,2 (věta VL) KB s 1,2 KB s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2
Důkaz z axiomů a vět logiky KB = { s 2,1, s 1,2, s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1, s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 } KB s 2,1 KB s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 KB w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 (MP) KB w 1,1 & w 2,2 (věta VL) KB s 1,2 KB s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 KB w 1,3 w 1,1 w 2,2 (MP)
Důkaz z axiomů a vět logiky KB = { s 2,1, s 1,2, s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1, s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 } KB s 2,1 KB s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 KB w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 (MP) KB w 1,1 & w 2,2 (věta VL) KB s 1,2 KB s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 KB w 1,3 w 1,1 w 2,2 (MP) KB (w 2,2 w 1,1 ) w 1,3 (věta VL)
Důkaz z axiomů a vět logiky KB = { s 2,1, s 1,2, s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1, s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 } KB s 2,1 KB s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 KB w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 (MP) KB w 1,1 & w 2,2 (věta VL) KB s 1,2 KB s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 KB w 1,3 w 1,1 w 2,2 (MP) KB (w 2,2 w 1,1 ) w 1,3 (věta VL) KB w 1,3 (MP)
Důkaz z axiomů a vět logiky Dá se použít i v predikátové logice ale těch možností na prozkoušení výpočetně příliš náročné. Robinzon zavedl rezoluční princip, který velice usnadní odvozování.
Jiný zápis rezolučního pravidla Jiný zápis základní rezoluce vychází z toho, že se literál L vyskytuje v klauzuli C 1 a literál L v C 2. Značí li množinový rozdíl, odvodíme rezolventu (C 1 L) (C 2 L), tj. C 1 C 2 (C 1 L) (C 2 L)
Rezoluční pravidlo nahradí MP a axiomy Podstatně zjednoduší prohledávání. Aby šlo použít, musíme dostat bázi znalostí do vhodné formy (seznamu klauzuĺı).
Klauzule, množina klauzuĺı Definition (Klauzule) Klauzule je disjunkce literálů Definition (Literál) Literál je buď výroková proměnná nebo její negace (ve výrok. logice) Theorem (z výrok. logiky) Každou formuli můžeme převést na Konjunktivně disjunktivní tvar Nahradíme konjunkce & čárkami a máme množinu klauzuĺı, se kterou bude pracovat rezoluce.
Příklad klauzule, množina klauzuĺı KB = { s 2,1, s 1,2, s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1, s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 }
Příklad klauzule, množina klauzuĺı KB = { s 2,1, s 1,2, s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1, s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 } KB = { s 2,1, s 1,2, }
Příklad klauzule, množina klauzuĺı KB = { s 2,1, s 1,2, s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1, s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 } s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 (s 2,1 w 1,1 )&(s 2,1 w 2,2 )&(s 2,1 w 3,1 ) KB = { s 2,1, s 1,2, (s 2,1 w 1,1 ), (s 2,1 w 2,2 ), (s 2,1 w 3,1 ), }
Příklad klauzule, množina klauzuĺı KB = { s 2,1, s 1,2, s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1, s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 } s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 (s 2,1 w 1,1 )&(s 2,1 w 2,2 )&(s 2,1 w 3,1 ) s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 KB = { s 2,1, s 1,2, (s 2,1 w 1,1 ), (s 2,1 w 2,2 ), (s 2,1 w 3,1 ), s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 }
Prázdná klauzule Klauzule (disjunkce) je pravdivá, je li pravdivý aspoň jeden její literál. Klauzule neobsahující žádný literál nemůže být pravdivá, tj. je nesplnitelná. Klauzuli neobsahující žádný literál nazýváme prázdná klauzule, značíme.
Základní rezoluce (ve výrokové logice) Definition (Jednotková základní rezoluce) Z klauzuĺı A L a L odvodíme klauzuli A, schematicky A L L A Definition (Základní rezoluce) Z klauzuĺı A L a L B odvodíme klauzuli A B, tj. A L A B L B Definition (Rezolventa) Formule (A B) se nazývá rezolventa formuĺı (A L) a ( L B).
Rezoluční dedukce, rezoluční zamítnutí Definition ((Rezoluční) dedukce) Je li S množina klauzuĺı, nazveme (rezoluční) dedukcí klauzule D z S konečnou posloupnost klauzuĺı C 1,..., C n takovou, že C n D a každá C i je buď prvem S nebo resolventou některých předchozích klauzuĺı C j, C k, j, k < i. Definition (Rezoluční zamítnutí) Rezoluční zamítnutí množiny S je dedukce prázdné klauzule z množiny S.
Použití rezolučního zamítnutí Chceme dokázat w 1,3. K bázi znalostí KB přidáme negaci dokazovaného tvrzení, tj. KB + = KB { w 1,3 }. najdeme rezoluční zamítnutí a ukážeme, že KB + = KB { w 1,3 } je sporná, proto w 1,3 je pravdivá ve všech modelech KB.
Rezoluční zamítnutí KB + = { s 2,1, s 1,2, (s 2,1 w 1,1 ), (s 2,1 w 2,2 ), (s 2,1 w 3,1 ), ( s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 ), w 1,3 s 1,2 s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 s 2,1 s 2,1 w 2,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 w 2,2 w 1,3 w 1,1 s 2,1 s 2,1 w 1,1 w 1,1 w 1,3 w1,3
Existuje rez. zamítnutí, pak ex. důkaz sporu Theorem Nechť klauzule C je resolventou klauzuĺı C 1 a C 2. Pak C je logickým důsledkem C 1 a C 2. Proof. C 1 (A L), C 2 (B L), C (A B) L, A L L A L, A L A L, A L A B Z věty o důkazu rozborem případů: L, B L L B L, B L B L, B L A B A L, B L A B
S sporná. Najdeme rezoluční zamítnutí? Důkaz oklikou. z logiky organizovaněji (bude) sémanticky tabulkou uzavřený sémantický strom syntakticky z axiomů a MP rezolucí
Definition ((jednoduchý) sémantický strom pro S, částečná realizace) Nechť S je množina klauzuĺı. Sémantický strom pro S je kořenový binární strom T, kde: z každého uzlu N vycházejí dvě hrany označené komplementárními literály (L a L) pro každý uzel N označme I (N) množinu všech literálů, které ohodnocují hrany cesty z kořene do N, pak I (N) neobsahuje žádnou komplementární dvojici. Množinu I (N) nazýváme částečná realizace. Pozn: Částečná realizace odpovídá ohodnocení některých výrokových proměnných z S; pro L I (N) považujeme v(l) = 1, pro L I (N) dáme v(l) = 0. Ohodnocení všech proměnných budeme nazývat realizace.
Sémantický strom pro KB s 1,2 s 1,2 s 2,1 s2,1 s 2,1 s 2,1 w 1,1 w 1,1 w 1,1 w 1,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w w 1,1 1,1 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w 1,1 w 1,1 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w w1,3 w1,3 w w1,3 2,2 w 2,2 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2, w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3
Definition (Úplný sémantický strom) Nechť A je množina výrokových proměnných použitých v množině S. Sémantický strom pro S je úplný, jestliže pro každý jeho list N množina I (N) obsahuje A i nebo A i pro každé A i A. Definition (Uzel selhání) Uzel N je uzel selhání, jestliže existuje nějaká klauzule z S, která je nepravdivá v I (N) a současně žádná klauzule z S není nepravdivá v žádné I (N ), kde N je předchůdce uzlu N. Definition (Uzavřený sémantický podstrom) Podstrom T sémantického stromu je uzavřený, jestliže list každé větve T je uzel selhání. Definition (Uzel odvození) Uzel odvození je takový uzel v semantickém stromě, že obě jeho děti jsou uzlem selhání.
Uzavřený sémantický strom a uzly selhání s s 1,2 1,2 s 1,2 s 2,1 s2,1 s 2,1 s 2,1 s 2,1 w w 1,1 1,1 w 1,1 w 1,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w w 1,1 1,1 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 (s 2,1 w 1,1 ) w 1,1 w 1,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w w1,3 w1,3 w w1,3 2,2 w 2,2 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2, w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 (s 2,1 w 2,2 ) w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 ( s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 )
Uzel odvození, rezoluční krok s s 1,2 1,2 s 1,2 s 2,1 s2,1 s 2,1 s 2,1 s 2,1 w w 1,1 1,1 Rezoluce w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 1,3 ( s 1,2 w 1,3 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w 1,1 w 1,1 ( s 1,2 w 1,1 w 2,2 ) (s 2,1 w 1,1 ) w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 (s 2,1 w 2,2 ) w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 ( s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 )
Herbrandova věta, verze 0 Theorem (Herbrandova věta, verze 0) Množina klauzuĺı S je nesplnitelná právě když ke každému úplnému sémantickému stromu pro S existuje (konečný) uzavřený podstrom se stejným kořenem. = Nechť T je úplný sémantický strom pro S. Pro každou větev B označme I B množinu všech literálů na ní. I B je realizace S. Jelikož je S nesplnitelná, tak existuje klauzule C S nepravdivá v I B. C je konečná disjunkce, tedy existuje uzel selhání N B na větvi B. Proto je na každé větvi uzel selhání, tedy T obsahuje (konečný) uzavřený sémantický podstrom. = Nechť pro každý strom T existuje uzavřený podstrom. Pak každá větev T obsahuje uzel selhání, tedy v každé interpretaci není splněna některá klauzule z S, tedy S je nesplnitelná.
Robinsonova věta pro VL Theorem (Robinsonova věta pro VL:) Libovolná množina klauzuĺı S je sporná právě tehdy, je-li z ní odvoditelná prázdná klauzule po konečném počtu aplikací rezolučního pravidla. = (bylo) Nechť existuje dedukce. Protože resolventa je logickým důsledkem a odvodili jsme false, množina S je sporná, tj. nemá model. = Z Herbrandovy věty víme, že S je sporná právě když každý úplný semantický strom má konečný uzavřený podstrom. Zkonstruujeme úplný semantický strom, najdeme k němu uzavřený podstrom a k tomu podstromu vytvoříme rezoluční odvození.
s s 1,2 1,2 s 1,2 s 2,1 s2,1 s 2,1 s 2,1 s 2,1 w w 1,1 1,1 Rezoluce w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 1,3 ( s 1,2 w 1,3 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w 1,1 w 1,1 ( s 1,2 w 1,1 w 2,2 ) (s 2,1 w 1,1 ) w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 (s 2,1 w 2,2 ) w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 ( s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 )
KB + {( s 1,2 w 1,1 w 2,2 )} s s 1,2 1,2 s 1,2 s 2,1 s2,1 s 2,1 s 2,1 s 2,1 w w 1,1 1,1 Rezoluce w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 1,3 ( s 1,2 w 1,3 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w 1,1 w 1,1 ( s 1,2 w 1,1 w 2,2 ) (s 2,1 w 1,1 ) w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 (s 2,1 w 2,2 ) ( s 1,2 w 1,1 w 2,2 ) w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3
KB + {( s 1,2 w 1,1 w 2,2 )} s 2,1 s 2,1 w w 1,1 1,1 s 1,2 s2,1 s 1,2 s 1,2 s 2,1 s 2,1 Rezoluce w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 1,3 ( s 1,2 w 1,3 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 (s 2,1 w 1,1 ) w 1,1 w 1,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 ( s 1,2 w 1,1 w 2,2 ) (s 2,1 w 2, w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 (s 2,1 w 2,2 ) ( s 1,2 w 1,1 s 2,1 ) ( s 1,2 w 1,1 w 2,2 )
KB + {( s 1,2 w 1,1 w 2,2 ), ( s 1,2 w 1,1 s 2,1 )} s 2,1 s 2,1 w w 1,1 1,1 s 1,2 s2,1 s 1,2 s 1,2 s 2,1 s 2,1 Rezoluce w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 1,3 ( s 1,2 w 1,3 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 (s 2,1 w 1,1 ) w 1,1 w 1,1 ( s 1,2 w 1,1 s 2,1 ) w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 ( s 1,2 w 1,1 w 2,2 ) (s 2,1 w 2, w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 ( s 1,2 w 1,1 s 2,1 ) (s 2,1 w 1,1 ) ( s 1,2 s 2,1 )
KB + {( s 1,2 w 1,1 w 2,2 ), ( s 1,2 s 2,1 ), ( s 1,2 w 1,1 s 2,1 )} s 2,1 s 2,1 w w 1,1 1,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 s 1,2 s2,1 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 ( s 1,2 s 2,1 ) s 1,2 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,1 w 1,1 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 Rezoluce s 1,2 s 2,1 s 2,1 w 1,3 ( s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 ) ( s 1,2 w 1,1 w 2,2 ) (s 2,1 w 2,2 ) s 1,2 s 2,1 ( s 1,2 w 1,1 s 2,1 ) (s 2,1 w 1,1 ) ( s 1,2 ) ( s 1,2 s 2,1 )
Robinsonova věta pokračování důkazu Vezmu uzavřený semantický strom z Herbrandovy věty.
Robinsonova věta pokračování důkazu Vezmu uzavřený semantický strom z Herbrandovy věty. Existuje aspoň jeden uzel odvození (jinak strom není konečný uzavřený). Jeden zvoĺım, nazvu N a děti N 1 a N 2.
Robinsonova věta pokračování důkazu Vezmu uzavřený semantický strom z Herbrandovy věty. Existuje aspoň jeden uzel odvození (jinak strom není konečný uzavřený). Jeden zvoĺım, nazvu N a děti N 1 a N 2. Protože N 1 a N 2 jsou uzly selhání ale N není uzel selhání, musí existovat klauzule C 1 a C 2 takové, že jsou nepravdivé v I (N 1 ) a I (N 2 ), ale obě nejsou nepravdivé v I (N).
Robinsonova věta pokračování důkazu Vezmu uzavřený semantický strom z Herbrandovy věty. Existuje aspoň jeden uzel odvození (jinak strom není konečný uzavřený). Jeden zvoĺım, nazvu N a děti N 1 a N 2. Protože N 1 a N 2 jsou uzly selhání ale N není uzel selhání, musí existovat klauzule C 1 a C 2 takové, že jsou nepravdivé v I (N 1 ) a I (N 2 ), ale obě nejsou nepravdivé v I (N). Jediné, co se změnilo, je literál na poslední hraně. Proto C 1 musí obsahovat literál L 1 = m n+1 a C 2 literál L 2 = m n+1.
Robinsonova věta pokračování důkazu Vezmu uzavřený semantický strom z Herbrandovy věty. Existuje aspoň jeden uzel odvození (jinak strom není konečný uzavřený). Jeden zvoĺım, nazvu N a děti N 1 a N 2. Protože N 1 a N 2 jsou uzly selhání ale N není uzel selhání, musí existovat klauzule C 1 a C 2 takové, že jsou nepravdivé v I (N 1 ) a I (N 2 ), ale obě nejsou nepravdivé v I (N). Jediné, co se změnilo, je literál na poslední hraně. Proto C 1 musí obsahovat literál L 1 = m n+1 a C 2 literál L 2 = m n+1. Resolventou C složek C 1 a C 2 je C = (C 1 L 1 ) (C 2 L 2 ).
Robinsonova věta pokračování důkazu Vezmu uzavřený semantický strom z Herbrandovy věty. Existuje aspoň jeden uzel odvození (jinak strom není konečný uzavřený). Jeden zvoĺım, nazvu N a děti N 1 a N 2. Protože N 1 a N 2 jsou uzly selhání ale N není uzel selhání, musí existovat klauzule C 1 a C 2 takové, že jsou nepravdivé v I (N 1 ) a I (N 2 ), ale obě nejsou nepravdivé v I (N). Jediné, co se změnilo, je literál na poslední hraně. Proto C 1 musí obsahovat literál L 1 = m n+1 a C 2 literál L 2 = m n+1. Resolventou C složek C 1 a C 2 je C = (C 1 L 1 ) (C 2 L 2 ). C je nepravdivá v I (N), protože jak C 1 L 1 tak C 2 L 2 jsou nepravdivé v I (N).
Robinsonova věta pokračování důkazu Označme T uzavřený semantický strom pro S {C }, vzniklý z T odstraněním všech uzlů a hran ležících pod prvním (od kořene) uzlem M takokvým, že C je nepravdivá v I (M).
Robinsonova věta pokračování důkazu Označme T uzavřený semantický strom pro S {C }, vzniklý z T odstraněním všech uzlů a hran ležících pod prvním (od kořene) uzlem M takokvým, že C je nepravdivá v I (M). Počet uzlů T je jistě menší než počet uzlů T.
Robinsonova věta pokračování důkazu Označme T uzavřený semantický strom pro S {C }, vzniklý z T odstraněním všech uzlů a hran ležících pod prvním (od kořene) uzlem M takokvým, že C je nepravdivá v I (M). Počet uzlů T je jistě menší než počet uzlů T. Opakováním tohoto postupu dostaneme uzavřený semantický strom obsahující jediný vrchol (kořen).
Robinsonova věta pokračování důkazu Označme T uzavřený semantický strom pro S {C }, vzniklý z T odstraněním všech uzlů a hran ležících pod prvním (od kořene) uzlem M takokvým, že C je nepravdivá v I (M). Počet uzlů T je jistě menší než počet uzlů T. Opakováním tohoto postupu dostaneme uzavřený semantický strom obsahující jediný vrchol (kořen). To je ale možné pouze tak, že postupným odvozováním rezosvent jsme dostali.