S V. ω = yzdx+(xz +z 2 )dy +yzdz, (T, S) (p,v) = 1. = a V, = 3bT2. k T 1 V. α p 1 V V,N U,N U,V V,N S,N S,V

Ì ÊÅÇ Æ ÅÁÃ Á Á Ã ËÌ Ì ËÌ Æ ÈÖÓ Ð ÑÝ Ó ÓÑÙ Ò ÓÐÓ Û Þ Ñ Ò

ÈÖÓ Ð Ñ Ìº¼ ÈÓ Þ Ð ÔÓ Ó Ò ÒØÖÓÔ S = S(U,V,N Ö ÛÒ ( S = 1 ( S U T, = p ( S V T, N V,N U,N U,V = µ T, ØÓ ÔÓ Ó ÒÝÑ Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ U = U(S,V,N ( ( U U = T, = p, S V V,N S,N ( U N S,V = µ, Ò Ìº¼³ ËÔÖ Û Þ ÞÝ ÒÓ¹ ÓÖÑ Ö Ò Þ ÓÛ ω = yzdx+(xz +z 2 dy +yzdz, Ø Ö Ò Þ ÞÙÔ Ò Ð Ò ØÓ ÞÝ Ñ ÞÝÒÒ Ù Ý Ð Ñ ØÓ ÔÖ ÓÛ Ó Ó Ò µº Ç Ð ÞÝ Þ Ø ÓÖÑÝ Ó ÔÙÒ ØÙ A = (1,0,1 Ó ÔÙÒ ØÙ B = ( 1,0,1 ÔÓ ÖÓ Þ Ð Û Ô ÞÞÝõÒ z = 1 Ô ÓÐ Ñ Ó ÒÓ Ø ÓÛÝÑ ÔÖÓÑ Ò Ù ÖÓ Ù Û ÔÙÒ (0,0,1º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº½ ÈÓ Þ Ð Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ U Ù Ù ÔÖÓ Ø Ó Ò Þ Ð Ý Ó Ó ÓÛ Ø Ó ØÓ ØÝÐ Ó Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ T Ð Þ n 1 n 2 ÑÓÐ Ó Ò Ûµ ØÓ Ø ÓÒ Ø Ò Þ Ð Ò Ó Ò Ò º ÞÝ ÑÓ Ð Û ÛÝ Ø Ó Ø Ó ÛÒ Ó Ù ÈÖÓ Ð Ñ Ìº¾ Ï Þ Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ Ø ÙÒ Ø ÒÙ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ¾ÌÅ Ä Û ÔÓ Ø dq = TdS ÔÓ Þ (T, S (p,v = 1 ÈÖÓ Ð Ñ Ìº Í Ø ÐÓÒÓ Ô ÖÝÑ ÒØ ÐÒ Û Ô ÞÝÒÒ ÞÓ ÖÝÞÒ ÖÓÞ Þ ÖÞ ÐÒÓ Ø ÖÑ ÞÒ α p ÞÓØ ÖÑ ÞÒ Ð ÛÓ k T Ô ÛÒ Ù Ø Ò ÔÖÓ Ø Ó ÙÒ Ó ØÓ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ Þ ÓÛÙ Ò ØÔÙ Ó α p 1 V ( V p = 3bT2 V, k T 1 V ( V p T = a V, Þ a b Ø ÝÑ º ÈÓ Ö ÛÒ Ò Ø ÒÙ Ø Ù Ø Ò º Â Ø a b Þ Ð Ó ÓÛ Ø Ð Þ Ý n ÑÓÐ Ù Ø Ò ¾

ÈÖÓ Ð Ñ Ìº Í Ø ÐÓÒÓ Ô ÖÝÑ ÒØ ÐÒ Ñ ÖÞ Û Ô ÞÝÒÒ ÞÓØ ÖÑ ÞÒ Ð ÛÓ k T ÓÖ Þ ÞÓ¹ ÓÖÝÞÒ ÔÖ ÒÓ β V Ô ÛÒ ÒÓÖÓ Ò Ù Ø Ò ÔÖÓ Ø ( p V T = nrtf(v, ( p Þ a Ø Ø f(v Ô ÛÒ ÙÒ Ñ Ó ØÓ º Ù Ø Ò º V = nr V 2anRT, ÈÓ Ö ÛÒ Ò Ø ÒÙ Ø ÈÖÓ Ð Ñ Ìº Ï Ô ÞÝÒÒ ÞÓ ÖÝÞÒ ÖÓÞ Þ ÖÞ ÐÒÓ Ø ÖÑ ÞÒ α p ÓÖ Þ Ð ÛÓ ÞÓØ ÖÑ ÞÒ k T Ô ÛÒ Ó ÔÖÓ Ø Ó Þ Ð Ó Ò Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ Ò ØÔÙ Ó α V 1 V ( V p = at2 p, k T 1 V ( V p T = bt3 p 2, Þ a b Ø ÝÑ º ÈÓ Ö ÛÒ Ò Ø ÒÙ Ø Ù Ø Ò º ÞÝ Ø a b ÑÓ Ý Ö Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ìº Ò Ð õ ÑÓÐÓÛ Ô Ó Û Û ÞÙ Ó ÓÒ Ó Ó Ö ÛÒ Ò Ù Ø ÒÙ pv = RT Ñ Ó Ò Þ Ð Ò Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ ÑÓÐÓÛ Ô Ó Û Û c v µ Û Ó ÛÖ ÐÒ ÔÖÞ Ñ Ò Û Ø Ö pv a+1 = const Ø º ÞÒ Ð õ Û Ô ÞÝÒÒ ÔÖÞÝ dt Û ÓÖÑ Ô dq ÞÖÞÙØÓÛ Ò Ò Ó Ö ÐÓÒ ØÝÑ ÛÞÓÖ Ñ ÖÞÝÛ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ø Ò Ûº ÈÖÓ Ð Ñ Ìº Å Ò ÀÓ µ Û ÑÓ ÔÓÖÙ Þ Þ Ø Ö Ñ Ø ÐÓÛ Ø ÓÞ Þ ÑÝ Þ ÛÙ ØÖÓÒ ÝÐ Ò Ö Ó ÔÖÞ ÖÓ Ù ÔÓÔÖÞ ÞÒÝÑ A Þ Û Ö Ý Þ Ó ÓÒ Ýº Å ÞÝ Ø ÓÞ Ñ ÛÝ ØÔÙ ÔÖÞÝ Ò Ð ØÖÓ Ø ØÝÞÒ Þ Ø Ö ÙØÖÞÝÑÙ Ñ ÞÝ Ò Ñ Ø Ò Ô ½ ϕº ÈÓ Ö ÛÒ Ò ÔÖÞ Ñ ÒÝ ÞÙ Ò ÐÓ ÞÒ Ó Ö ÛÒ Ò pv = ÓÒ Ø Ô Ò Ò Ó ÔÖÞÝ ÞÓØ ÖÑ ÞÒÝÑ ÖÓÞ Þ ÖÞ Ò Ù Ø Ó ÞÙµ Þ Ó Þ Û ÝÐ Ò ÖÞ ÔÖÞÝ ÞÑ Ò Ò Ù Ó Ó ØÓ Û ÙØ ÔÖÞ ÙÒ Ò Ó Þ Ø ÓÞ Û ÔÖÞ Þ Þ ÛÒØÖÞÒ Ö ÛÒÓÛ Ò ÝÑ Ø Ô Ò Ò ÞÙµ Ð ÔÓ Ö ÓÒ Þ ÓØÓÞ Ò Ô Ó ÒÔº ÔÖÞ Þ Ø ÖÑ ÞÒ Ò ÓÞÒ ÝÐ Ò Ö µº ÔÖÞ Ñ Ò Ø Þ Ó Þ Û ÔÓ Ó ÛÖ ÐÒÝ ÞÒ Ð õ Ô Ó Û Û ÞÙ Û Ø ÔÖÞ Ñ Ò ÛÝÖ ÔÖÞ Þ Ô C p ÐÙ C V Ø Ö ÔÖÞÝ ÑÙ ÑÝ Þ ÞÒ Ò Ø µº ½ ÑÝ ÔÖÞ Ö ÝÐ Ò Ö Ø Ò ØÝÐ Ù Ý ÔÓÐ Ð ØÖÝÞÒ ÔÓÑ ÞÝ Ø ÓÞ Ñ Ø ¹ ÒÓÖÓ Ò º Â Ð Ò Ø Ò Þ ÔÖÞÝ Ø ÓÞ Ò Ð Ý Þ ÖÞ Ó ÏÝ Û ÝÒÑ Ò Þ ÞÝ Ð Ó ÔÓÞ ÓÑ Û ØÓ Ò ÛÝ Þ µº

ÈÖÓ Ð Ñ Ìº ÈÓ Þ Ö Ò ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒÝ C p C V Ù Ù ÔÖÓ Ø Ó ÑÓ Ò Þ Ô Û ÔÓ Ø ( [ ( ] V U C p C V = p+ p V p ÈÖÓ Ð Ñ Ìº ÏÔÖÓÛ õñý ÒÓÛ ÙÒ Ø ÒÙ ÒØ ÐÔ H Þ Ò ÓÛ Ò ÛÞÓÖ Ñ H = U +pv º ÍÞ ¹ Ò ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ Ù Ù ÔÖÞÝ Ø ÝÑ Ò Ò Ù C p Ø Ö ÛÒ ( H C p = p ÃÓÖÞÝ Ø Þ ÒØ ÐÔ ÔÓ Þ ( p C p C V = V [ ( V p + p T ( ] U p T ÈÖÓ Ð Ñ Ìº½¼ ÇÔ Ö ØÝÐ Ó Ò ½ÌÅ Ä Ð Þ Û ÓÑÓ Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ ÞÙ Ó Ö ÛÒ Ò Ù Ø ÒÙ pv = nrt Ò Þ Ð Ý Ó Ó ØÓ Ø º U = U(T,n ÞÒ Ð õ ÞÛ Þ ¾ ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒÝ C p C V ÞÝÐ Ø ÑÓÐÓÛÝ Ô Û ÛÝ c p c v µº ÈÖÓ Ð Ñ Ìº½½ ÏÝ Þ Ù ÞÒÓ ÞÛ Þ Ù k ad = (c v /c p k T Þ Ó Û Ô ÞÝÒÒ Ð ÛÓ ¹ Ø ÖÑ ÞÒ ÞÓØ ÖÑ ÞÒ Þ ÑÓÐÓÛÝÑ µ ÔÓ ÑÒÓ Ñ ÔÐÒÝÑ Ò ÔÓ Ø Û Ñ ½ÌÅ Ä ÞÝÐ Ò Þ ØÒ Ò ÒØÖÓÔ µº Ï Þ Û Þ Ó ÔÖÞÝÖ ÛÒ Ò Ó Þ Ö ÒÓ¹ ÓÖÑÝ dq ÑÓÐÓÛ Óµ Ô º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº ÈÓ Ö Ò Þ ÓÛ Ö ÛÒ Ò ÛÝÞÒ Þ Ò Ô ÞÞÝõÒ (v,p ÖÞÝÛ Ó ÔÓÛ ÕÙ Ø ØÝÞÒ µ ÔÖÞ Ñ Ò Ù Ø Ò ÔÖÓ Ø Û ØÖ Ø Ö Ø Ø Û Ð Ó x Ø Ö Ø ÞÒ Ò ÙÒ v p ÒÔº x = p 5 v 3 ÞÝ Ó ÔÓ Ó Ò Óµ ÛÝÖ ØÓ Ö ÛÒ Ò ÔÖÞ Þ Ó ÔÓÛ Ò ÑÓÐÓÛ Ô Û Û c x c v ÔÓ Ó Ò Ø Ö ÑÓ Ò Ó Ð ¹ ÞÝ ÞÒ Ö ÛÒ Ò Ø ÒÙ Þ Ð ÒÓ Ò Ö Û ÛÒØÖÞ Ò Ó Ó ØÓ º ÈÖÞÝ ÑÙ Ù Ø Ò Ø Þ Ó ÓÒ Ý Ó ÑÓÐÓÛ Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ Þ Ð Ò ØÝÐ Ó Ó Ø ÑÔ Ö ¹ ØÙÖÝ T ØÓ ØÖÞ Þ Ó Ý Ð Ò Ó ÛÓ Ù ÑÝ Ó ¾ÌŠĵ ÖÓÞÛ Þ ØÓ Ö ÛÒ Ò Û ÝØÙ Û Ø Ö Ô c x c v Ø Ò Þ Ð Ò Ó p vµº ËÔÖÓÛ Þ Ø ÓØÖÞÝÑ Ò Ó ÐÒ Ö ÛÒ Ò Ó ÔÖÓ Ø Þ ÔÓ Ø ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ¾ÌŠĺ ¾ Û Þ Ù Ø Ó Þ Ö ÛÒ Ò Ø ÒÙ Ò ÓØÖÞÝÑ Û ÓÔ Ö Ù Ó ÑÓ ½ÌÅ Ä Ó Ó Ò Ò ÓÖÑ U Ò Þ Ð Ý Ó V Ø Û ØÙ ÓÒ ÞÒ º ÓÔ ÖÓ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ¾ÌÅ Ä ÔÓÞÛ Ð ÞÒ Ð õ Þ Ð ÒÓ U C V µ Ó V Ò ÔÓ Ø Û Ö ÛÒ Ò Ø ÒÙ ÞÝÐ ÛÝ Þ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ Ò Ò ÔÓ Ø Û ÛÝÓ Ö ÞÝÞÒÝ µ ÔÖÞÝ Ò Ö U Ò Þ Ð Ò Ó V Ø Þ Ó Ò Þ Ö ÛÒ Ò Ñ Ø ÒÙ ÞÙ Ó ÓÒ Óº

ÈÖÓ Ð Ñ Ìº½¾ Æ ÔÓ Ø Û Ñ ½ÌÅ Ä ÞÝÐ Ò Þ ØÒ Ò ÒØÖÓÔ µ ÛÝ Ó Þ Ó ÙÒ ¹ Ø ÒÙ h = u+pv ÞÝÐ ÑÓÐÓÛ ÒØ ÐÔ µ Ù Ø Ò ÔÖÓ Ø Ù ÓÛÓ Ò ÞÛ Þ ( cp p T = vα p ( [ (c p c v k ] T α p ÈÖÓ Ð Ñ Ìº½ ÇÔ Ö Ò ½ÌÅ Ä Ó ØÛÓÖÞÝ ÞÛ Þ ÛÝÔÖÓÛ ÞÓÒÝ ÔÖÞ Þ ÈÐ Ò ( ( ( ( (c p c v 2 T p v + cp cv = 1, p v v p v Û Ý Ö Ò Ö Ø ÖÝ ØÝ Ù Ø Ò ÔÖÓ Ø º Ï Þ Û ÏÝÖ Þ ÔÓ Ó Ò ( u/ p v ÔÖÞ Þ c v ÔÓ Ó Ò ( u/ v p ÔÖÞ Þ c p ÔÖÞÝÖ ÛÒ Ó Ñ Þ Ò ÖÙ ÔÓ Ó Ò u Ó Ð ÞÓÒ Ò Û ÔÓ Ó Ýº ÈÖÓ Ð Ñ Ìº½ ÏÝ ÓÖÞÝ ØÙ Ö Ø ÖÝ ØÝ ÔÓÛ ØÖÞ ØÖ ØÓÛ Ò Ó Þ Ó ÓÒ Ýµ ÔÖÞÝ ÆÌÈ Ø º ÔÖÞÝ ÆÓÖÑ Ð Ì ÑÔ Ö ØÙÖ Ò ÈÖ ÙÖ ÞÝÐ ÔÖÞÝ T = 27315 à p = 1013 10 5 Æ»Ñ 2 ÞÒ Ò Þ ÓÑÙÒ Ø Û Ñ Ø ÓÖÓÐÓ ÞÒÝ Ó ØÝ ØÖÞÝÒ ØÓÔ Ð µ ρ = 129»Ñ 3 c p = 238 Ð 1 à 1 γ c p /c v c p / c v = 141 v = 224 10 3 Ñ 3»ÑÓÐ ÛÝÞÒ ÞÝ ØÓ ÙÒ ½ л½ µ ÞÝÐ ØÞÛº ÔÖ ÓÛÝ Ö ÛÒÓÛ Ò Ô Ð Ô ÞÒ ÒÝ Ó ÔÐÒÝ Ö ÛÒÓÛ Ò ÔÖ Ýµ Ó Ð Þ Ò Û ÔÓ Ó Ý Ø ÞÓÛ Rº ÈÖÓ Ð Ñ Ìº½ ÏÝ ÓÖÞÝ ØÙ Ö Ø ÖÝ ØÝ ÔÓÛ ØÖÞ ØÖ ØÓÛ Ò Ó Þ Ó ÓÒ Ýµ ÔÖÞÝ ÆÌÈ ÞÝÐ ÔÖÞÝ T = 27315 à p = 1013 10 5 Æ»Ñ 2 ρ = 129»Ñ 3 c p = 238  1 à 1 γ c p /c v c p / c v = 141 Ó Ð ÞÝ Ô Ó ÔÓØÖÞ Ò Ó ÔÓ Ò Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ Ó ¼ o Ó ¾¼ o ÔÓÛ ØÖÞ Ñ Ó ÔÓÞ Ø ÓÛÓ Ó ØÓ V = 27 Ñ 3 Û Ò ØÔÙ Ý ÝØÙ µ ÔÓÛ ØÖÞ Ø Ó ÖÞ Û Ò ÔÖÞÝ Ø Ó ØÓ Ó Ò Ò Û Ò Ó ÞÑ Ò µ µ ÔÓÛ ØÖÞ Ø Ó ÖÞ Û Ò ÔÖÞÝ Ø Ó ØÓ Ò Ò Ù Ó ÔÓ ÑÒ Û Ø ÖÝÑ Ø ÓÒÓ Þ Û ÖØ Ø Ò ÞÞ ÐÒÝ Ò Ò ÔÓÛ ØÖÞ Û ÔÓ ÑÒ Ù Ø Ø Ð Ø Ò Þ ÛÒ ØÖÞ Ø º p = 1013 10 5 Æ»Ñ 2 º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº½ ÈÓ Þ Ñ ÖÞ ÐÒ Û Ô ÞÝÒÒ β V k T α p Ö Ø ÖÝÞÙ Ù Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÞÒÝ Ò Ó Ò Þ Ð Ò ÛÝ Ø ÖÞÝ ÞÑ ÖÞÝ Û Þ Ò Ý ÛÝÞÒ ÞÝ ØÖÞ µº ÏÝÖ Þ ÔÖÞ Þ Ø Û Ô ÞÝÒÒ ÞÛ Þ ÓÖ ÐÙ Ý Þ Ó ÞÑ ÒÝ Ò Ò dp Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ dt Ó ØÓ dv ÔÖÞÝ ÔÖÞ Ù Ù Ù Þ Ò Ó Ø ÒÙ Ö ÛÒÓÛ Ó Ò Ò Ø ÞÝÑ ÐÒ Ð Ó ÑÙ ÖÙ Ó Ø ÒÙ Ö ÛÒÓÛ º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº ÈÓ Þ ØÞÛº Û Ô ÞÝÒÒ Ö Ò Ò Γ Ø ÖÝ ÑÓ Ò ÓØÖÞÝÑ Ñ ÖÞ ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ C (t V Ð ÞÓÒ Ò ÒÓ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ ÑÔ ÖÝÞÒ tµ ÓÖ Þ Û Ô ÞÝÒÒ α p = p p p v

(1/V( V/ t p ÞÓ ÖÝÞÒ ÖÓÞ Þ ÖÞ ÐÒÓ Ø ÖÑ ÞÒ Ñ ÖÞÓÒ ÛÞ Ð Ñ tµ ÓÖ Þ k t = (1/V( V/ p t Ð ÛÓ ÞÓØ ÖÑ ÞÒ µ Þ Ò ÓÛ ÒÝ Ó Γ = Vα p C V k t, Ò ÓÖÑ Ó Þ Ð ÒÓ Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ U Ô ÝÒÙ Ø º Ù Ù ÔÖÓ Ø Ó Ö Ø ¹ ÖÝÞÓÛ Ò Ó ÞÑ ÒÒÝÑ V pµ Ó Ò Ò º Ï Þ Û Ô ÛÒÝÑ Þ Ö ÞÑ ÒÒÓ Ô Ö Ñ ØÖ Û Ù Ù Û Ô ÞÝÒÒ Ø Ò Ø Ò Ñ Ð Ø Ý ÔÓ Ó ÐÒ ÔÓ Ø Ù ÞÒ Û ØÝÑ Þ Ö µ Þ Ð ÒÓ U Ó Ò Ò Ó ØÓ º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº½ Ç Ð ÞÝ Û Ô ÞÝÒÒ α p ÞÓ ÖÝÞÒ ÖÓÞ Þ ÖÞ ÐÒÓ Ø ÖÑ ÞÒ k T Ð ÛÓ ÞÓØ Ö¹ Ñ ÞÒ ÓÖ Þ ÞÓ ÓÖÝÞÒ ÔÖ ÒÓ β V ÞÙ Ø Ö Ó Ö ÛÒ Ò Ñ Ø ÒÙ Ø Ö ÛÒ Ò Ø Ö Ó ( pv = nrt exp an TV ËÔÖ Û Þ ÞÔÓ Ö Ò Ó Ô Ò ÓÒ ÞÛ Þ ÞÒ Ð Þ ÓÒÝ Û ÔÓÔÖÞ Ò Ñ ÈÖÓ Ð Ñ º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº½ Ï Þ ± Ñ Ý ÔÓÛ ØÖÞ Ø ÒÓÛ Þ Ø Þ N 2 ÔÓÞÓ Ø ¾ ± Ñ Ý Þ Ø Þ O 2 Ó Ð ÞÝ Ó Ô Ó ÑÓÐÓÛ Ð Ó ÔÓÛ Ò Ô Ò ÒÓ Ø Ñ Ýµ ÞÓØÙ ØÐ ÒÙ ØÓ c (N 2 v = 176 Ð 1 à 1 c (O 2 v = 158 Ð 1 à 1 º ÈÓØÖ ØÓÛ ÔÓÛ ØÖÞ Ñ Þ Ò Ò ÛÙ Ò Ó Þ Ù Ý Þ Ó Þ Û Ó ÓÒ Ý º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº½ ÈÖÞÝ ÑÙ Ð õû ÓÛ ÖÓÞ Ó Þ Û ÔÓÛ ØÖÞÙ ÔÓÐ Ò Ó Ø ÖÑ Þ¹ ÒÝÑ ÔÖ Ò Ù ÖÓÞÔÖ Ò Ù ÞÝÐ Ò Ø ÖÑ ÞÒÝ ÞÑ Ò Ò Ò p ØÓ ρµ ÓØÖÞÝÑÙ Ò ÔÖ Ó c sound õû Ù ÔÖÓ ØÝ ÛÞ Ö c sound = ( p/ ρ ad ÏÝÖ Þ Ø ÔÖ Ó ÔÖÞ Þ Û Ô ÞÝÒÒ k ad Ó Ð ÞÝ ÔÖ Ó õû Ù Û ÔÓÛ ØÖÞÙ ÔÖÞÝ ÆÌÈ ØÖ ØÙ ÔÓÛ ØÖÞ Þ Ó ÓÒ Ý Ó Ø ÝÑ ÑÓÐÓÛÝÑ ÔÐ Û ÛÝÑ ÑÓÐÓÛ Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ Ò Þ Ð Ò Ó Ó ØÓ ØÖ ØÙ ÔÖ Ò ÖÓÞÔÖ Ò ÔÓÛ ØÖÞ ÔÖÓ ÕÙ Ø ØÝÞÒݺ ÈÓ Þ Ø Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ ũ Ò ÒÓ Ø Ñ Ý ÒØ ÐÔ ũ Ò ÒÓ Ø Ñ Ý ÞÙ Ó ÓÒ Ó Ó Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ Þ Ð Ò ØÝÐ Ó Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ Ó Ø ÝÑ ÞÝÒÒ Ù γ c p /c v ÑÓ Ò ÛÝÖ Þ ÛÞÓÖ Ñ ũ = c2 sound γ(γ 1 +const, h = c 2 sound γ 1 +const, ÈÖÓ Ð Ñ Ìº

ÏÝ Ó Þ Ó Ó Ò Ó ØÙ ÔÖ Ý ÛÝÞÒ ÞÝ Ô Ó ÔÓ Ö Ò ÔÖÞ Þ Þ Ó ÓÒ Ý Ó Ö ÛÒ Ò Ù Ø ÒÙ pv = nrt n Ø Ð Þ ÑÓÐ ÞÙµ Û ÔÖÓ ÔÖÞ Ó Ö ÛÒÓÛ ÓÛ Ó Ø ÒÙ Ö Ø ÖÝÞÓÛ Ò Ó Ó ØÓ V 1 Ò Ò Ñ p 1 Ó Ö ÛÒÓ¹ Û ÓÛ Ó Ø ÒÙ Ö Ø ÖÝÞÓÛ Ò Ó ÔÖÞ Þ V 2 p 2 Þ V 2 < V 1 p 2 > p 1 µº Þ ÞÓ Ø Ò Ô ÖÛ ÞÓ ÓÖÝÞÒ V = ÓÒ Øµ ÔÓ ÖÞ ÒÝ Ô ÐÒ Ñ Ò ØÔÒ ÞÓØ ÖÑ Þ¹ Ò Ó ÛÖ ÐÒ µ ÔÖ ÓÒÝ T = ÓÒ Øµº Ï ÓÑÓ Ø p 1 V γ 1 = p 2V γ 2 Þ γ = 5/3 ØÞÒº Ø Ò ÔÓÞ Ø ÓÛÝ Ó ÓÛÝ Ð Ò Ø Ñ ¹ ÔÓ Ø Ö ÛÒ Ò ØÝ Ó Ö ÞÙ ÙÞÒ ÑÝ c v = ÓÒ Øºµº ÈÖÓ Ð Ñ Ìº¾¼ ýºÁº ½½µ ÈÖÞÝ ÑÙ Þ Ò Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ ÞÙ Ó ÓÒ Ó Ó ÑÓÐÓÛÝÑ Ö ÛÒ Ò Ù Ø ÒÙ pv = RT Ò Þ Ð Ý Ó Ó ØÓ Ó ÑÓÐÓÛ Ô Û Û c p c v Ø Ó Ð ÞÝ Ö Ò c p c v ÖÓÞÔ ØÖÙ Ò ØÔÙ Û Ò ØÖÞ ÔÖÞ Ñ Ò Ø Ó ÞÙ µ Ø ÖÑ ÞÒ ÛÓ Ó Ò ÖÓÞÔÖ Ò Ó Ó ØÓ V 1 Ò Ò p 1 Ó Ó ØÓ V 2 Ò Ò p 2 ÔÓ ÔÖÓ ØÙ ÓØÛ Ö ÑÝ ÔÖÞ ÖÓ Þ ÑÝ Ô ÖÛÓØÒ Þ Û Ó ØÓ V 1 ÛÝ Þ ÐÓÒ ÓÛ ÔÖÞ ÖÓ Þ Ó ØÓ V 2 Ø ÖÑ ÞÒ ÞÓÐÓÛ Ò Ó ÔÓ ÑÒ µ µ ÕÙ Ø ØÝÞÒ Ó ÛÖ ÐÒ ÞÓ ÖÝÞÒ Û Ù Ò Ø ÖÑ ÞÒ µ ÔÖ Ò ÞÙ Ó V 2 Ó V 1 ÔÖÞÝ Ò Ò Ù p 2 ÛÖ Þ µ Ó ÛÖ ÐÒ ÕÙ Ø ØÝÞÒ Ó ÖÞ Ò ÞÙ ÔÖÞ Þ ÓÒØ ØÓÛ Ò Ó Þ Ñ Ø ÖÑÓ Ø Ø Û Ó ÓÖ Þ ØÓ ÛÝ ÞÝ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ µ ÔÖÞÝ Ø Ó ØÓ V 1 Ó Ó Ò ÔÖÞ Þ ÛÝ ÓÛ Ó Ò Ò p 1 º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº¾½ Ó ÓÒ ÝÑ ÞÛ Ñ Ò ØÝ Ô Ò Ý Û ÖÙÒ Ø ØÓ Ó ÔÓÛ Ò Û ÛÓ ( U/ V T,n = 0 ÞÙ Ó ÓÒ Óµ ( U M T,V = 0 Ò Ð õ Ô Ó ÔÓ Ö Ò ÔÖÞ Þ Ø Ñ Ò ØÝ Û ÔÖÓ Ó ÛÖ ÐÒ Ó ÞÛ Þ Ò Þ ¹ ÛÒØÖÞÒ Ó ÔÓÐ Ñ Ò ØÝÞÒ Ó Ó Þ Ö Ó Ó Ó ÓÛ Û ÖØÓ H0 fin ÔÖÞÝ Ù Ø ÐÓÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ T Ñ Ø Ö Ù Ð ÓÛ Ø Ò Ñ Ò ÓÛ Ò M Ñ Ò ØÝ Û Þ Ò ¹ Ø Ò Ñ H 0 Þ ÛÒØÖÞÒ Ó ÔÓÐ Ñ Ò ØÝÞÒ Ó ÛÞÓÖ Ñ M = α(t,vh 0 ÈÓÛ Ð Ø Ö Ó Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ Ñ Ò ØÝ Þ È ÔÔ Ö Ñµ ÓÞÒ Þ ÑÝ U Ò U ÞÓ Ø Ò ÛÝ Ò ÓÒÝ Ò Û Þ Ò ÑÓ Ò Ø Ñ ÑÙ Þ ÖÞ ¹ Þ Ð Ñ ¹ Ó ÖÞ ÞÓÒ Ó È ÔÔ Ö µ Ò Ø Ò ÔÓÐ Ñ Ò ØÝÞÒ Ó H 0 Ø ÔÓÐ Ñ Ø Ö Ý ØÒ Ó Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ý Ý Ñ Ò ØÝ Ò Ý Ó Þ Ó¹ Û Þ ÐÒ Ó ÔÙÒ ØÙ Û Þ Ò ØÓ Û Ò Ø Ò ÛÝ Ó Ò Þ ÞÑ ÒÒ µº ÑÙ ÑÝ ØÙ ÓÒ Ö ØÒÝÑ Ñ Ò ØÝ Ñ ÝÑ Ñ Ø ÝÑ Ó ÓÒ Ö ØÒÝÑ ÞØ Ò ÞÑ ÒÒ Ñ Ø º Ò ÞÑ ÒÒ ÐÓ ØÛÓÖÞ Ó Ñ Ø Ö Ð ÞÓÒ Û ÑÓÐ µ ÔÖÞÝ Ö ÞÓ Ò Ò Ò p Ó ÔÓÞÛ Ð ÞÖ Ù ÓÛ Ó Ó Ù Ù ÔÖÓ Ø Ó Ó Ö Ø ÖÝÞÓÛ Ò Ø Ö Ó ÛÝ Ø ÖÞ ÞÑ ÒÒ M H 0 Ò ÐÓ Ñ V p Ô ÝÒÙµ Ó ØÓ V Ø Ö ÛÝ ØÔÙ Þ Ñ Û ÛÞÓÖ Ø Ù Ø ÐÓÒ ÔÓØÖÞ Ò ØÝÐ Ó Þ ÛÞ Ð Û Ûݹ Ñ ÖÓÛÝ Þ ÔÓÛÓ Ù Ø Ò ÝÛÒÓ Ý Ý Ý Ñ Ò ØÝ ÔÖÞ ÐÓÛ Ò ÞÑ Ò Ó ÞØ ØÙ ØÓ ÓÛ Ø Ò Ñ Ò ÓÛ Ò M ÔÓÛ ÒÒÓ ÔÓÛ ÒÒÓ ÛÞÖÓ Ò ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÐÒ Ó Ó ØÓ V º ÈÖÞÝ ÑÙ ÑÝ ÞÛÝ Ð Û ÞÝ Ø Û Ó Þ Û Ö Û ØÓÖÝ Ñ Ø Ò Ñ ÖÙÒ Ó ÒÓ Ø¹ ÓÛÝ Û ØÓÖ e ÛÓ Ø Ó M = em H 0 = eh 0 ÓÖ Þ H 0 dm = H 0 dmº

Û ÒØÙ ÐÒ ÞÑ ÒÝ Ó ØÓ V Ñ Ò ØÝ Û Ø Ñ ÔÖÓ ÔÓÑ Ò º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº¾¾ ÍÞ Ò ÛÞ Ö ( U C H = H ( M µ 0 H 0 H Ò ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ C H Ñ Ò ØÝ ÔÖÞÝ Ø ÝÑ ÔÓÐÙ Ñ Ò ØÝÞÒÝÑ H 0 ÛÞ Ö Ø Û Ù Þ ËÁ Û Þ ÖÓÛÝÑ Ù Þ Ù Ø Ó ÙÖÒ Ó µ 0 Ò Ñ µº ÈÖÓ Ð Ñ Ìº¾ ÃÓÖÞÝ Ø ØÝÐ Ó Þ ½ÌÅ Ä ÓÛ ÔÓÑ ÞÝ ÔÓ ÑÒÓ Ñ ÔÐÒÝÑ C M C H Ñ ¹ Ò ØÝ Ö Ø ÖÝÞÙ ÝÑ Ó Û Ô ÞÝÒÒ Ñ Ø ÖÑ ÞÒÝÑ α ad ( M/ H 0 ad ÞÓØ ÖÑ ÞÒÝÑ α T ( M/ H 0 T Þ Ó Þ ÞÛ Þ α ad = (C M/C H α T º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº¾ Þ Ó ÓÒ Ý Ó Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ Ö ÛÒ U = C V T+ ÓÒ Øº C V Ø ØÙ Ø µ ÑÓ ÔÖÞ Ó Ø ÒÙ ½ Ö Ø ÖÝÞÓÛ Ò Ó ÔÖÞ Þ (p 1,V 1,T 1 Ó Ø ÒÙ ¾ Ó ÔÓÛ ÑÙ (p 2,V 2,T 2 Ѻ Òº Û ÛÝÒ Ù ØÖÞ Ò ØÔÙ Ý Ö ÒÝ ÔÖÓ Û Ó ÛÖ ÐÒÝ µ ÞÓ¹ ÓÖÝÞÒ ÓÞ Ó Ó Ò Ø Ò A Ó Ò Ò Ù p A = p 2 Ò ØÔÒ ÖÓÞÔÖ Ó ÞÓ ÖÝÞÒ Ó Ó ØÓ V 2 µ ÖÓÞÔÖ Ó Ò Ô ÖÛ ÞÓØ ÖÑ ÞÒ Ó Ø ÒÙ Ó Ó ¹ ØÓ V 2 Ò ØÔÒ ÓÞ ÞÓ ÓÖÝÞÒ Ó Ò Ò p 2 ÛÖ Þ µ ÖÓÞÔÖ Ó Ø ÖÑ ÞÒ Ó ÛÖ ÐÒ µ Ó Ø ÒÙ Ó Ó ØÓ V 2 Ò ØÔÒ ÓÞ ÞÓ Ó¹ ÖÝÞÒ Ó Ò Ò p 2 º ËÔÓÖÞ Þ Ð Ò ÔÖ Ý ÛÝ ÓÒ Ò Ò Þ Ñ Ô ÔÖÞ Þ ÔÓ Ö Ò Ó Ò Þ ØÝ Ö º ÏÝ Þ Ò ÙÑ Ô ÔÓ Ö Ò Ó ÔÖÞ Þ Þ ÔÖ Ý Ò Ò Ñ ÛÝ ÓÒ Ò Ø Ö ÛÒ ÞÑ Ò Ó Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº¾ Ç Ð ÞÝ ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ C Ò Ó Þ Ò ÛÝ Ó ÓÐÙÑÒÝ Ó ÔÖÞ ÖÓ Ù ÔÓÔÖÞ Þ¹ ÒÝÑ A ÓÛ Ø Ñ M ÞÙ Ó ÓÒ Ó Ó Ø ÝÑ ÔÐ Û ÛÝÑ ÞÝÐ u(t = c v T+ÓÒ Øºµ Ö ÛÒ Ò Ù Ø ÒÙ pv = RT ÞÒ Ù Ó Û Ö ÛÒÓÛ Þ Ø ÖÑ ÞÒ Ñ ¹ Ò ÞÒ Û ÔÓÐÙ Ó gº Þ Ø Ò Ø Ù Ñ ÒÓÖÓ ÒÝÑ ÔÓÒ Û Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÓÐÙÑÒÝ Ø Ø Þ Ó Ò Ó Ö ÛÒÓÛ Þ Ø ÖÑ ÞÒ µ ÑÓ Ò Ó ÔÓ¹ Þ Ð ÑÝ ÐÓÛÓµ Ò ÔÐ Ø Ö Ó Ó ÔÐ Ø Ö Ø ÖÝ Ù ÑÓ Ò ØÖ ØÓÛ Ù ÒÓÖÓ ÒÝ Þ ØÓ ÓÛ Ö ÛÒÓÛ ÓÛ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ º Ò Ø Ñ Ó Ö Ð ØÝÞÒ ¹ Ò Ð Ý ÔÓØÖ ØÓÛ ÛÔÖ Û Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ µº ÈÖÓ Ð Ñ Ìº¾ Ï ÔÓÐ Ù Ó Ø Ó Ñ Ò Ù ÛÔÖÓÛ Þ ÑÝ Þ Ò Ó ÞÓÒÓ Ñ Ò Þ Ñ Ø Ö Ù Ó Û ÛÓ Ñ Ò ØÝÞÒÝ ÔÓÞ Ø ÓÛÓ Ò Ò Ñ Ò ÓÛ Ò º ÈÓ ÛÔÖÓ¹ Û Þ Ò Ù Ý Û ÔÓ Ð Ñ Ò Ù ÛÝ Ò Ù ÓÛ ÒÝ Û Ò ÑÓÑ ÒØ Ñ Ò ØÝÞÒÝ ÞÓ Ø Þ ÑÖÓ ÓÒÝ ÔÓÒÓÛÒ Ó ÑÝ Ó Ò Ó ÞÓÒÓ º Ç Ð ÞÝ ÔÖ ÑÙ ÔÖÞÝ ØÝÑ ÛÝ ÓÒ Þ ÛÒØÖÞÒ ÔÓØÖÞ Ò Ý Ý Ø Ò ÔÖÓ Ò Ñ Ò ÓÛÝÛ Ò Ý ÛÝ ÓÒ ÕÙ Ø ØÝÞÒ Ó ÛÖ ÐÒ º

Ï Þ Û i Ø ÓÛ Ý Þ Ò ÔÓÐÓÛÝ ÑÓÑ ÒØ Ñ Ò ØÝÞÒÝ m Û Ò ÒÓÖÓ ÒÝÑ ÔÓÐÙ Ò Ù Ñ Ò ØÝÞÒ B(x Ø Ö ÛÒ F i = m ( B/ i º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº¾ Þ Ø Þ ÐÙ ØÓѵ Ø Ö ÔÓ ÛÔ ÝÛ Ñ ÔÓÐ Ð ØÖÝÞÒ Ó ÔÓÐ ÖÝÞÙ ¹ ÑÓ¹ Ñ ÒØ ÔÓÐÓÛÝ p Ø ÙÒ Ò ÓÒ ÞÒ Ð Ò ÓÛ µ ÔÖÞÝ Ó ÓÒ Ó ÔÓÐ Ð ØÖÝÞÒ Ó p = p(e ÔÖÞÝ ÞÝÑ p(0 = 0 ¹ ÛÔÖÓÛ Þ ÑÝ ÕÙ Ø ØÝÞÒ Ø º Ò Ó Þ Ò ÔÓÛÓÐ Þ ÔÖÞÝ Ô Þ Ò µ Û Ò ÒÓÖÓ Ò ÔÓÐ Ð ØÖÝÞÒ E(x Þ Ò Ó ÞÓÒÓ Þ ÔÓÐ Ð ØÖÝÞÒ ÞÒ µº ÈÓ ÓÔÖÓÛ Þ Ò Ù Þ Ø Þ Ó ÔÙÒ ØÙ x 0 Û Ø ÖÝÑ ÔÓÐ Ø Ö ÛÒ E 0 ÛÝ Ò Ù ÓÛ ÒÝ ÑÓÑ ÒØ ÔÓÐÓÛÝ Þ Ø Þ ÞÓ Ø Þ ÑÖÓ ÓÒÝ Ø ÔÖÞ Ø ÓÒ Þ Ð Ù Ó ÔÓÐ Ð ØÖÝÞÒ Óµ Þ Ø Þ ÔÓÒÓÛÒ Ó ÔÖÓÛ Þ ÑÝ Ó Ò Ó ÞÓ¹ ÒÓ º Ç Ð ÞÝ ÔÓØÖÞ Ò Ó Ø Ó ÔÖ ÛÝ ÓÒ Ò ÔÖÞ Þ Þ ÛÒØÖÞÒ Ö ÛÒÓÛ Ð ØÖÝÞÒ Þ Ò Þ Ø Þ º Ï Þ Û i Ø ÓÛ Ý Þ Ò ÔÓÐÓÛÝ ÑÓÑ ÒØ Ð ØÖÝÞÒÝ p Û Ò ¹ ÒÓÖÓ ÒÝÑ ÔÓÐÙ Ð ØÖÝÞÒÝÑ E(x Ø Ö ÛÒ F i = p ( E/ i º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº¾ ÏÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÔÖ ÛÓ À Ø º ½ÌŠĵ Ó Ð ÞÝ Ô Ó ÔÖÞ Ñ ÒÝ Ñ ÒØÙ Û Ö Ø Ò ÔÓ Ø Û Ô ÛÝ Þ Ð ÒÝ ÔÖÞÝ Ô Ð Ò Ù Û ØÝ ÑÝ Û ÖÙÒ µ C diament +O 2 CO 2 + Q 1, C grafit +O 2 CO 2 + Q 2 Q 1 = 39540  ÑÓÐ 1 Q2 = 39350  ÑÓÐ 1 º ÈÖÞ Ñ Ò ÞÓÛ µ Ñ ÒØÙ Û Ö Ø Þ Ó Þ Û Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ ÔÓ Ó ÓÛ Ö ÞÓ ÔÓÛÓÐ Ó ÔÓÛÓ Ù ÞÔÓ Ö Ò ÔÓÑ Ö Ô Ø ÔÖÞ Ñ ÒÝ Ø Ò ÛÝ ÓÒ ÐÒݺ ÈÖÓ Ð Ñ Ìº¾ ÏÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÔÖ ÛÓ À Ø º ½ÌŠĵ Ó Ð ÞÝ Ô Ó Q ÛÝ Þ Ð Ò Û Ö C grafit +2H 2 CH 4 + Q, Ò ÔÓ Ø Û Ô ÛÝ Þ Ð ÒÝ Û Ò ØÔÙ Ý Ö Ñ ÞÒÝ H 2 + 1 2 O 2 H 2 O+ Q 1, C grafit +O 2 CO 2 + Q 2 CH 4 +2O 2 CO 2 +2H 2 O + Q 3, Þ Q 1 = 28580  Q2 = 39350  Q 3 = 890,40 º

Ê ÏË ËÌÃÁ µ ÏÁ ½¼

Ì ÖÑ ÒÓÐÓ º Í ÔÖÓ ØÝ ¹ Ó Ô Ò Ó Ö Ø ÖÝÞÓÛ Ò Ó Ø ÒÙ Ö ÛÒÓÛ ÓÛ Ó ÛÝ Ø Ö¹ Þ ÓÔÖ Þ Ð Þ ÑÓÐ Ó Ò Û Û ÞÑ ÒÒ ÒÔº Ò Ò p Ó ØÓ V Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÒ Û Ø º ÞÝ Þ Û ÐÙ Ò Ñ Ò ÓÛ Ò M Ò Ø Ò H 0 ÔÖÞÝ Ó ÓÒ Ó ÔÓÐ Ñ Ò ØÝÞÒ Ó Û ÔÖÞÝÔ Ù Ñ Ò ØÝ Û ØÔºµº Í Ó ÓÒ ØÝ Ø ÖÑ ÞÒ ¹ Ó ÓÒ ØÝ Ø ÑÓ Ò Ò Ò Ñ ÛÝ ÓÒÝÛ ØÝÐ Ó ÔÖ Ø Ð ØÖÝÞÒ Ð Ò ÑÓ Ð ÛÝ Ø ÔÖÞ Þ Ò Ö Û ÓÖÑ Ô ÔÖÞ Þ Ò Ó Ò º ÈÖÓ Ø ÖÑ ÞÒÝ ¹ ÔÖÓ Û Ø ÖÝÑ Ù Ò ÛÝÑ Ò Ô Þ ÓØÓÞ Ò Ñ Ò ÓÒ ÞÒ Ó ÛÖ ÐÒÝ Ò Ò Û Ø ÕÙ Ø ØÝÞÒݵº ÈÖÓ ÕÙ Ø ØÝÞÒÝ ¹ Ù ÔÖÞ Ó Þ ÔÓÛÓÐ ÔÖÞ Þ Ø Ò Û Ö ÛÒÓÛ Ó¹ ÛÝ Ò ÓÒ ÞÒ Ó ÛÖ ÐÒ µº ÈÖÓ Ó ÛÖ ÐÒÝ ¹ Ò Ò Ø ÞÝÑ ÐÒ ÞÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Û Ó ÛÖ Ó ÖÙÒ ÑÙ Ý ÕÙ Ø ØÝÞÒÝ ÈÖÓ ØÝÞÒÝ ¹ ÛÝ ÞÒ Ù ÑÒ µ Ø ÖÑ ÞÒÝ Ó ÛÖ ÐÒݺ ÈÓÞ ØÝÑ Ù ÝÛ Ñ Ö ØÙ nìå Ä n = 0,1,2,3µ Ò n¹ø Ò Þ Ó Ø ÖÑÓ Ò Ñ º Ê Ò Ñ ÖÞ ÐÒ Ó ÒØÝ k T 1 V ( V p ( V k ad 1 V p α p 1 ( V V β V 1 ( p p p V T S scisliwosc izotermiczna scisliwosc adiatermiczna (κ T = k 1 T (κ ad = k 1 ad (objetosciowa rozszerzalnosc termiczna preznosc izochoryczna modul scisliwosci modul scisliwosci á Ð ÛÓ Ø ÖÑ ÞÒ ÞÓ Ø ØÙ Þ Ô Ò Ó ÔÓ Ó Ò ÔÖÞÝ Ø ÒØÖÓÔ S Ð ØÓ Þ ØÒ Ò Ø Û ÖÞ ÞÝÛ ØÓ ÑÓ Ò Þ Ò ÓÛ Ø Ð ÛÓ Þ ÔÓ ÒØÖÓÔ Ý ÖÓÞµÔÖ Ò Ý Ó ÕÙ Ø ØÝÞÒ Ø ÖÑ ÞÒ ÞÓ º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº½½µº ÈÓ Ó Ò Ö Ò ÔÓ Ó Ò ÔÓØÛÓÖÒÓ Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò ÛÔÖ ÛÒÝÑ Ó ÖÞÝ ÔÖÞ Û ÞÝ Ø Ñ Þ Þ ÛÒÝÑ Þ Ô Ñ ÔÓ¹ Ó ÒÝ ØÝÔÙ ( ( S S, albo, V T,N V U,N ½½

Ø º Þ ÔÖÞ ÞØ Ò Ñ Ø ÔÓØÛÓÖ Ûº ÌÖÞ ØÓ ÓÔ ÒÓÛ º Æ Ô ÖÛ ØÖÞ Ó ØÙ ÒØÓѵ Û Ó ÓÛÝ ÞÝ ÓÞÒ Þ Ø Ñ Ð Ø Ö Ö Ò ÙÒ Ø Ö Ñ Ø Ñ ØÝ Ý ÓÞÒ ÞÝ Ò Þ º ÆÔº Ð X Ø ÙÒ ÞÑ ÒÒÝ A B C ØÓ Ñ Ø Ñ ØÝ Ý Ò Ô F(A,B,C = F(A,X(A,B,C, ÞÝ ÔÓ Ó Ò Ô Þ F(A,B,C = F(A,X(A,B,C Ó Þ Ö ÛÒÓ F F ØÓ Ø Ø Ñ Û Ð Ó ÞÝÞÒ ÒÔº Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ Ù Ù ÐÙ ÒØÖÓÔ µº ËØ ÓÖ Þ ÛÒ ÛÝ Ð ÛÞÓÖÝ ØÝÔÙ ( F A B,C = ( ( F F + A X X A ( X A B,C ÈÓ ÔÖ Û ØÖÓÒ Ñ Ø Ñ ØÝ Ý Þ Ñ Ø F Ò Ô F µº ÌÝÔÓÛÝÑ ÔÖÞÝ Ñ Ø Ó Ø ÞÒ ÝÛ Ò ÞÛ Þ Ù ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ Ù Ù ÔÖÞÝ Ø ÝÑ Ò Ò Ù Ò ÐÓ ÞÒ ÔÓ ÑÒÓ ÔÖÞÝ Ø Ó ØÓ º ÏÝÓ Ö ÑÝ Ó ÒØÖÓÔ S Þ Ð Ý Ó Ò Ò p Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ T Þ ÔÓ Ö Ò ØÛ Ñ Ó ØÓ V Ø Ö Ø ÔÖÞ Þ Ö ÛÒ Ò Ø ÒÙµ ÙÒ T p ÞÝÐ S = S(T, V(T,p Ó ÔÖÓÛ Þ Ó ÛÞÓÖÙ n Ø Ð Þ ÑÓÐ µ ( S = p,n ( ( ( S S V + V,n V T,n p,n  ØÙ ÞÞ ÛÝÖ Þ ÔÓ Ó Ò ( S/ V T,n ÔÖÞ Þ ÔÓ Ó Ò Ó Ð ÞÝ Þ Ö ÛÒ Ò Ø ÒÙ ØÓ ÔÓ ÔÓÑÒÓ Ò Ù Ó Ù ØÖÓÒ ÔÖÞ Þ T µ ÓØÖÞÝÑ ØÓ Ó Û ÞÝ Ý ÞÒ º Ì Ö Þ Ò Ð Ý Þ Ò Ñ ØÝ Þ ÛÒÝ ÓÞÒ Þ ÔÓ Ó ÒÝ Þ Ø ÓÛÝ º Æ ÔÓÞ Ø Ø Ò Ö ÓÛ ØÓ ÑÓ º ÈÓ ÑÝ ( ( ( y z = 1 y z z,t, x,t, ÖÓ ÑÝ ØÓ Û ÛÙ Û Ö ÒØ º Æ Ô ÖÛ ÛÝÓ Ö õñý Ó Ø ÙÒ f(x,y,z,t, Û ÖÙÒ Þ Û ÔÓ ÙÛ ÒÝ ÙÒ f(x,y,z,t, = 0, y,t, x = x(y,z,t,, y = y(x,z,t,, z = z(x,y,t, Æ ØÔÒ Þ Ø Ò Û ÑÝ ÞÝÑ ÑÓ Ý (/ y z,t, º È Þ ÑÝ Û Ö Ò Þ ÞÙÔ Ò ÙÒ f(x,y,z,t, Ø º ÞÝÞÒ ÖÞ Þ ÓÖ ÛÞ Ö Ò Ñ ÞÑ Ò Û ÖØÓ Ø ÙÒ Ï ÖÙÒ Ø Ö ÑÙ Þ Ý Ô Ò ÓÒ ÞÒ ÑÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÁÁ ØÙ Þ ÑÝ ÓÒ Ô Ò ÓÒ º ½¾

ÔÓÛÓ ÓÛ Ò Ñ ÞÑ Ò Ö ÙÑ ÒØ Ûµ ÔÖÞÝÖ ÛÒÙ ÑÝ Ó Þ Ö Ó ÔÝØ ÑÝ Ó Ø ÞÑ Ò Ö ÙÑ ÒØ Û Ø Ö Ò ÞÑ Ò Û ÖØÓ ¹ ØÙ Ö ÛÒ Þ ÖÙ ¹ Ñ ÙÒ fµ df = f f f f dx+ dy + dz + y z t dt+ = 0 Ë ÓÖÓ ÞÑ ÒÒ z t Ñ Ý Ù Ø ÐÓÒ Þ ÑÝ Ø ÔÖÞÝÖÓ ØÝ dz dt Ö ÛÒ Þ ÖÙ ÔÓ Ó Ò (/ y z,t, Ø ØÓ ÛØ Ý ÔÓ ÔÖÓ ØÙ ØÓ ÙÒ ÔÖÞÝÖÓ Ø Û dx dy ÞÝÐ ( ( f/ y y ( f/ z,t, ÈÖÞÝ Ó Þ Ø Ò ( [ ( y = y z,t, z,t, ] 1 Ï Ò ÐÓ ÞÒÝ ÛÔÓ Ó Ö Ð ÑÝ ( y/ z x,t, ÓÖ Þ ( z/ y,t, º Â Ð Ø Ö Þ ÙØÛÓÖÞÝÑÝ ÐÓÞÝÒ ØÖÞ ØÝ ÔÓ Ó ÒÝ ØÓ Ò Ó Ø Ò ÑÝ ÞÓ Ù Ý Ø Ò Ñ ÒÙ µ ÛÞ Ö ( ( ( y z = 1 y z z,t, x,t, Ï Û Ö Ò ÖÙ Ñ ÛÝÓ Ö ÑÝ Ó Ñ ÑÝ Ù Ò ÙÒ ÒÔº x = x(y,z,t, Ñ ÑÝ ÓÞÝÛ Û ÔÓ Ò ØÙÖ ÐÒÝ ØÓ Ó ÞÛ ÑÝ ÔÓ Ó Ò (/ y z,t, Ø º ØÓ ÙÒ ÔÖÞÝÖÓ ØÙ dx Ó ÔÖÞÝÖÓ ØÙ dy ÔÖÞÝ Ù Ø ÐÓÒÝ ÞÑ ÒÒÝ z t Ø º dz = dt = = 0µº Ý Þ Ò ÓÛ ÔÓ Ó Ò ( y/ z x,t, Ô Þ ÑÝ Ö Ò Þ ÙÒ x = x(y,z,t, y,t, dx = dy + dz + y z t dt+ ÔÓÒ Û Ø Ö Þ ÞÑ ÒÒ x t Ñ Ý Ù Ø ÐÓÒ Þ ÑÝ ØÙ dx = dt = = 0 ÔÓ Ó Ò ( y/ z x,t, Ø ÛØ Ý ÞÒ Û ØÓ ÙÒ Ñ ÔÖÞÝÖÓ Ø Û dy dz ÞÝÐ ( y = (y,z,t,/ z z (y,z,t,/ y x,t, Ò ÐÓ ÞÒ Ó Ö Ð ( z/ y,t, Þ ÑÝ Û Ö Ò Þ ÙÒ x = x(y,z,t, Ö ÛÒ Þ ÖÙ ÔÖÞÝÖÓ ØÝ dy dt Ó ( z 1 = (y,z,t,/ z Ò Û Û Ó Ø ÑÝ ( y z x,t, ( y z,t, y,t, ÞÝÐ (/ y z,t, ( y/ z,t, = 1º ( z = (/ z y,t, (/ y y 1 / z = 1 ½

ÌÓ ÑÓ Ø Ó ØÝÔÙ Þ ÑÝ Ð Ò ÞÝÛ ØÓ ÑÓ Ñ Ð Ó ÞÛ Þ Ñ µ ÞÓ Ù ¹ ÝÑ º Æ Ø Ö Þ Ò Û ÙÒ f(x,y,z ÓÖ Þ g(x,y,zº ÑÝ Ó ÛÝ Ò Ò ÔÓ Ó Ð Þ Ò µ ÔÓ Ó Ò Ø ( f g,z ÆÓÖÑ ÐÒ Ý ÑÝ Ó Ð Þ Ð ÔÓ Ó Ò f ÔÓ x¹ ÔÖÞÝ Ø Ý y z ØÓ Ý Ý ÞÛÝ ÔÓ Ó Ò Þ Ø ÓÛ ÞÒ Ò Þ Ñ Ø Ñ ØÝ º ØÙ Ø Ó ººº Ð ÖÓÞÙÑÙ Þ ÖÓÛÝ ÞÝ Ô Þ ÑÝ Ö Ò Þ ÙÒ f g ( ( ( f f f df = dx+ dy + dz, dg = ( g y,z y,z dx+ y ( g y x,z x,z dy + z ( g z ÈÓÒ Û z Ñ Ý Ø Þ ÑÝ dz = 0º Æ ØÔÒ ÑÝ Ý ÙÒ g Ò ÞÑ Ò º Ø Ñ Ø dg = 0º Ï ÖÙÒ Ø Ò ÓÖ ÐÙ ÓÔÙ ÞÞ ÐÒ ÔÖÞÝÖÓ ØÝ dx dy dy = ( g/ y,z ( g/ y x,z dx Ï Ø Û ÑÝ ØÓ dy Ó Ö Ò Þ ÙÒ f Û Ø Ö Þ ÑÝ dz = 0 Ó ÑÝ Ñ ÔÓ Ó Ò ÔÖÞÝ Ø ÝÑ g Ø ÝÑ zµ ( ( f f ( g/ y,z df = dx dx, y,z y x,z ( g/ y x,z Ø Ö Þ Ó Ö Ð ÑÝ ÒØ Ö Ù Ò ÔÓ Ó Ò ( g/ g,z Ó ÐÓÖ Þ ÔÖÞÝÖÓ Ø Û df dx ( ( ( f f f = g,z y,z y x,z ( g y,z x,y x,y dz ( 1 g y x,z ÇÞÝÛ Ý Ý ÑÝ ÙÑ Ð ÛÝÛ y Þ ÙÒ g Ø º Ò Ô y = y(x,g,z ØÓ ÑÓ Ð Ý¹ ÑÝ Ö Ò Þ ÓÛ ÞÔÓ Ö Ò Ó ÞÒ Û ØÙ ÓÖÞÝ Ø ÑÝ Þ Ø Ó Ò ÖÛÙ Ó Ñ Ø Ñ ØÝ Û Þ Ô Ù Û Ø ÖÝÑ Û Ö Ò ÙÒ ¹ Û Ò Ñ ÞÝÒ Þ Û Ñ ÛÝ Ñ ¹ ÓÞÒ ÞÓÒ Ø Ñ Ð Ø Ö µ ( f d f(x, y(x,g,z, z, g,z dx Ó Ó Ý ( ( ( f f f = + g,z y,z y x,z ½ ( y g,z

ÌÓ Ø Ò Ø Ò Ñ ÛÞ Ö Ø ÖÝ ÓØÖÞÝÑ Ð ÑÝ ÛÝ Ó Ø Þ Ô Û ÓÒ Û Ò ÔÖÞ Þ Ø Ò ÞÛ Þ ÞÓ Ù Ý º Â Ó ÒÝ Ù ØÛ Ý Þ Ñ ÔÖÞÝ ÔÖÞ ÞØ Ò Ù ÔÓ Ó ÒÝ Ó ÖÞ Ø ÞÒ Ñ ØÓ Â Ó Ò Ûº Æ u v w غ ÙÒ Ñ ÞÑ ÒÒÝ x y z غ Â Ó Ò ØÓ Ø ÛÝÞÒ ÞÒ (u x y,z (u y x,z (u z x,y (v x y,z (v y x,z (v z x,y (w x y,z (w y x,z (w z x,y (u,v,w (x,y,x ØÓ ÓÛ Ò ØÙ ÞÓ Ø ÒÓØ (u x y,x ( u/ y,x غ Â Ó ÒÝ Ñ Ö ÞÓ ÔÖÞÝ ÑÒ Û ÛÓ ½º Ë ÒØÝ ÝÑ ØÖÝÞÒ Û ÛÓ ÖÒÝ Ö ÙÑ ÒØ ÙÒ u v w غµ ÒØݹ ÝÑ ØÖÝÞÒ Û ÓÐÒÝ ÞÑ ÒÒ x y z غµ ¾º Â Ð Ó Û ÑÝ Ù ÛÝÖ Þ ÑÝ x y z غ Ó ÙÒ u v w غ Ð Û ÔÓÐ Ò ØÝÑ ÑÓ ÑÝ Ó ØÝÐ Ó ÛÝÓ Ö Þ Ó Û Ð ÑÝ ¹ Ò ÑÙ ÑÝ Ø Ó ÛÒ ÖÓ µ ØÓ Ó ÔÓÛ Ò Â Ó Ò Ø Ó ÛÖÓØÒÓ (x,y,z, (u,v,w, = [ ] 1 (u,v,w, (x,y,x, ÓÞÝÛ Þ ÓÒ Û Ø Ò ÔÓ Ó ÙÒ ÛÝÖ ÓÒÝ ÔÖÞ Þ ÞÑ ÒÒ x y z غ Ð Þ Ñ ØÓ Ò Û Ø Û Ò Ó ØÓ Ó Þ µ º ÅÒ ÞÒ Ò Û ÛÓ Â Ó Ò Û ÔÓÐ Ò ØÝÑ ( (u,v,w, u (x,v,w, = ÊÓÞÔ ÔÖÞÝ 3 3 ÔÖÞ ÓÒ µº v,w, º Æ Ù ÝØ ÞÒ Þ Û ÛÓ Â Ó Ò Û Ø Ò ÑÓ Ð ÛÓ ÖÓÞ ÙÛ Ò Û ÙÛ Ò ÔÓÑ ÞÝ ÔÓ Ø Û Ø º Ð u v w غ Þ Ð Ó x y z غ Þ ÔÓ Ö Ò ØÛ Ñ a b c غ Ø Ö ÙÒ Ñ x y z غ ØÓ ÛØ Ý (u,v,w, (x,y,z, = (u,v,w, (a,b,c, (a,b,c, (x,y,z, ËÔÖ Û õñý Ó Ø ØÒ ÔÙÒ Ø Û ÔÖÞÝÔ Ù ÛÙ ÙÒ ÛÙ ÞÑ ÒÒÝ º  ÛÒ ÔÖ Û ØÖÓÒ Ø ÛØ Ý Ö ÛÒ (u, v (a,b (a,b (x,y = [( u a b ( v b a ( u b a ½ ( v a b ] [ ( a y ( b y x ( a y x ( ] b y

ÏÝÑÒ Ó Ø ÑÝ ÞØ ÖÝ ÛÝÖ Þݺ ÈÓ Ð Û ØÖÓÒ Þ Ñ ÑÝ ( ( ( ( (u, v u v u v (x,y y y y x Ì Ö Þ ÔÖÞÝÔÓÑ Ò ÑÝ Ó u v Ó x y Þ Ð ÔÓÔÖÞ Þa b Ø º u = u(a(x,y,b(x,y v = v(a(x,y, b(x,y Û ÖÓÞÔ Ù ÑÝ Þ ÞØ Ö ÔÓ Ó ÒÝ Ñ ØÓ Ù Þ¹ ÓÛ (u, v (x,y = [ ( u ( a a b [( ( u a a y b ( ( ] [( v ( u b a + b a y a b y ( ( ] [ ( ( u b v a + b y a y x a x x b y x y ( v + b ( v + b a a ( ] b y x ( ] b ÈÖ ÓÛ ÛÝÑÒ Ñݺ ÈÓ ÓÛ ÛÝÖ Þ Û ÛÝÖ ÞÝ (1 1 (2 2 Þ Ô ÖÛ Þ Ð Ò Þ Ø Ñ Þ Ð Ò ÖÙ µ Ö ÞÝÐ Ö Ù Ù Ñ Ø Ñ ØÝݵ ÔÓÞÓ Ø Ø Ñ ÞØ ÖÝ ÛÝÖ ÞÝ Ø Ö ÓØÖÞÝÑÙ ÛÝÑÒ ÞÔÓ Ö Ò Ó ÔÖ Û ØÖÓÒº Ó ÞÑÝ Ø Ñ ØÓ ÑÓ ÑÝ Ó ØÛÓÖÞÝ ÞÒ ÒÝ Ù ÛÝÒ ( y z,t, = (x,z,t, (y,z,t, = (x,z,t, (x,y,t, (x,y,t, (y,z,t, = ( z y x,t, ( z y,t, Ó Ø ØÝÑ Ó Ù ÓØÖÞÝÑ Ð ÑÝ ØÝÐ Ó Ò Þ Þ Ô Ò º Ï ÔÓ Ó ÒÝ ÔÓ ÑÓ ÑÝ ÔÖÞÝ Ù Ý Ù Â Ó Ò Û Ó ØÛÓÖÞÝ ÖÙ Ò Þ ÛÝÒ ( f = (f,g,z g,z (x,g,z = (f,g,z (x,y,z (x,y,z (x,g,z [ ( f ( ( ( ] ( y g f g = y y g y,z x,z ÈÓÒ Û Ò ( y/ g x,z = [( g/ y x,z ] 1 Ù Ý Ó Ó ØÝѵ Û ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ØÓ Ó ÔÓÔÖÞ Ò Óº ÈÖÞÝ Ù ÝØ ÞÒÓ Â Ó Ò Ûº ÏÝ ÑÝ ÞÛ Þ ( ( ( [ ( g f f g = t g,x, t h,x, h f,x, h x,z y,z t,x, ] 1 Æ Ô ÖÛ ÛÝ ÑÝ ØÓ ÓÒÛ Ò ÓÒ ÐÒ º Ï Ð Ó g Ò ÙÒ ØÝÐ Ó Û Ò Û Ð Ó µ ÛÝÖ Þ ÑÝ Ò Û ÔÓ Ó Ý Ó ÙÒ ÛÙ ÒÒÝ Þ Ø Û Û Û Ð Ó g = g(f,t,x, g(f, h(f,t,x,, x,, g = g(f,t,x, g(h(f,t,x,, t, x, ½ x,z y

ÈÓ ÔÖ Û ØÖÓÒ Ô ÖÛ Þ Ó ÛÞÓÖÙ Ñ Ø Ñ ØÝ Ý Ò Ô g 1 (f,h(f,h,x,, x, ÔÓ ÔÖ Û ØÖÓÒ ÖÙ Ó g 2 (h(f,h,x,, t, x, Ð ÙÑ Û Ð ÑÝ Ø ÑÝ ÞÝ Ñ µº ÅÓ ÑÝ Û Ò Ô ( ( ( g g h =, t ( g f f,x, t,x, = h ( g h f,x, t,x, t ( h f ÓÖ Ò ØÔÒ ØÓ ÙÒ ØÝ ÛÙ Ö ÛÒÓ Þ ØÓ ÑÓ ÞÓ Ù Þ ÑÝ Ñ ÔÓ Ð Û ØÖÓÒ ( g t f,x, [ ( g f t,x, f,x, t,x, ] 1 ( f = t ÔÓ ÔÖ Û Þ Ò ÐÓ ÞÒ ØÓ ÑÓ Ó Ø Ò ÑÝ ( f/ t h,x, Ó Ó ÞÝ ÓÛ º ÏÝ Ð ÓÒ Û ÙÑ Ó ÔÖÓ ØÓ Ð ØÖÞ Ò Ô ÖÛ ÛÔ Ò ØÓ Ó Ó ÛÝÓ Ö Þ Ó ÙÒ Þ Óº Å ØÓ Â Ó Ò Û ÖÓ ØÓ ÞÙÔ Ò ÞÑÝ ÐÒ Ô Þ ÑÝ Ñ ÖØÛÝ ÞÑ ÒÒÝ x Ò ÑÙ ÑÝ ÛÝÔ ÝÛ µ Á Ù ººº ( f t g (f,g (t,g = (f,g (f, h (f, h (t, h  ÒÓ¹ ÓÖÑÝ ÓÛ Ò ÔÓ ÖÞÝÛÝ (t, h (t,g g,x, ( ( g f h f t h, ( h g t ËÔÓÖ Þ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ó ØÖÓÒÝ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ ÔÖÓÛ Þ Ó Þ ÛÝ Þ ÓÖ¹ Ñ Ñ Ö Ò Þ ÓÛÝÑ Ð Þ ÒÓ¹ ÓÖÑ Ñ º Ò Û ÓÑÝ Ð ÑÒ ÔÓÛÓ Û ÞÛ ØÙ ÞÙÑÒ ÓÖÑ Ñ È Ô Ñ Ø Ñ Þ Ñ Ó Ó Ý Ø Ö Ñ ÖÞ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ð Ð ÓÒ Ý Ñ Ø Ñ ØÝ Ò Þ ÑÓÛ ºººµº  ÒÓ¹ ÓÖÑ ˆω Ø ØÓ Ñ ÞÝÒ Þ Û Ñ Þ ÙÖ Ñ Û Ò Û Þ Û ØÓÖ Þ ÖÙ ÛÝÔ Ð Þ Û Ø ÖÑÓ ÝÒ ¹ Ñ Þ Û Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø µº ÓÖÑ Þ Ð Ò ÓÛÓ Ø º Ð v = aw+bu ØÓ ˆω(v = aˆω(w+bˆω(u Þ Ø ÑÙ Ð ÛÔÖÓÛ Þ ÑÝ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò Û ØÓÖÓÛ Þ e i i = 1,2,,n = ÑV Ø Ý Û ØÓÖ v ÑÓ Ò Þ Ô Ó Ó Ò Ð Ò ÓÛ Û ØÓÖ Û ÞÝ v = e i v i ØÓ ÛÝ Ø ÖÞÝ ÞÒ Þ Ò ÓÖÑÝ ˆω Ò Û ØÓÖÝ ÞÝ e i º Ó Û Þ Ö Û ÞÝ Ø ÒÓ¹ ÓÖÑ Þ Ý Ò Û ØÓÖÝ Þ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Û ØÓÖÓÛ V Ñ Ñ ØÖÙ ØÙÖ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Û ØÓÖÓÛ ÞÛ Ò Ôº Ù ÐÒ ¹ Ò ÞÛ Ò ÞÛ Ñ Ø Ñ ØÝÝ ÐÙ ÛÔ Þ Û ÓÑÔÐ Ý ÞÙÑÒ Ø ÖÑ ÒÓÐÓ Ð Ò ÔÖÞ ÑÙ ÑÝ Ò Ñ ¹V ÔÖÞÝ ÞÝÑ ÑV = ÑV µº ÇÞÒ ¹ Þ ØÓ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÓÖÑ Ø ÑÓ Ò ÛÝ Ö Þ ÓÖÑ Þ Ô Ó ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ ÓÖÑ ØÛÓÖÞ Ý Þº ÏÝÒ Ø ÛÝ Ø ÖÞÝ ÞÒ Þ Ò ÓÖÑ ÞÓÛÝ ½

Ò Û ØÓÖÝ Þݺ ÓÖÑÝ ÞÓÛ Ò Ð Ô ÛÝ Ö Ø Ý Ý Ó ÛÝ Ó Ò Ø º Ø Ý Ý ØÓ Þ Ù ÐÒ ê j (e i = δ j i i,j = 1,,nº Â Ð Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò R n ÛÔÖÓÛ Þ ÑÝ ÖØ Þ Û Ô ÖÞ Ò x i ØÓ ØÓÛ ÖÞÝ ÞÓÒ Þ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Û ØÓÖÓÛ ÞÛÝ Û ØÓÖÝ e i º Ù ÐÒ Ó Ò ÞÓÛ ÒÓ ÓÖÑÝ ÓÞÒ Þ dx i Þ Ñ Ø ê j µº Ì Û dx j (e i = δ j i º Ì Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò R n ÑÓ Ý ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ V(x 1,,x n = e i V i (x 1,,x n Ø Ø ÑÓ Ý ÔÓÐ ÒÓ¹ ÓÖÑ ˆω(x 1,,x n = ω j (x 1,,x n dx j ÞÝÐ Û ÝÑ ÔÙÒ ¹ ØÖÓ ÒÒ ÓÖÑ Ø Ó ÛÓõÒ Ñ ÞÝÒ Ø Ö Û ÝÑ Ñ Ù Þ Ò Þ µº ÇÞÝÛ ÓÖÑ Û ÒÝÑ ÔÙÒ ÔÖÞ ØÖÞ Ò R n ÙÑ Þ ØÝÐ Ó Ò Û ØÓÖ ÔÖÞÝÞ ¹ Ô ÓÒÝ Û ØÝÑ ÑÝÑ ÔÙÒ ØÞÒº Ð Ñ ÑÝ ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ Ò Û ÖØÓ Ø Ó ÔÓÐ Û ØÝÑ ÔÙÒ µ ˆω(x 1,,x n (V(x 1,,x n = ω j (x 1,,x n V i (x 1,,x n dx j (e i i j = i ω i (x 1,,x n V i (x 1,,x n ØÓ ÓÞÝÛ ÔÓÐ Ð ÖÒ º Ì ÔÓÐ ÓÖÑ ØÒ ÛÒ ÔÓ ØÓ Ý ÓÛ ÛÞ Ù ÖÞÝÛÝ Û R n º Ï ÝÑ ÔÙÒ ÖÞÝÛ ØÒ ØÝÞÒÝ Ó Ò Û ØÓÖ Ð ÖÞÝÛ Ò Ó ÔÙ ØÙ A Ó B Ø Þ Ò Ô Ö Ñ ØÖÝÞÒ Ó x i = x i (ξ ξ A ξ ξ B Þ x i (ξ A Û Ô ÖÞ ÒÝÑ ÔÙÒ ØÙ A x i (ξ B ÔÙÒ ØÙ Bµ ØÓ ÔÓÛ ÒÒÓ Ý ÓÞÝÛ Ø Þ ÙÖ Ù Ñ Ò ÔÓÑÝ ÐÑÝ ξ Ø Þ Ñ t µ Û ØÓÖ Ñ ØÝÞÒÝÑ Ó ÖÞÝÛ Û ÔÙÒ Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ x i (ξ Ø v = e i v i (ξ = e i dx i (ξ dξ Þ ÓÖÑÝ ˆω(x ÛÞ Ù Ø ÖÞÝÛ Γ Ò Ó ÔÙÒ ØÙ A Ó ÔÙÒ ØÙ B Ø Þ Ò ÓÛ Ò ÛÞÓÖ Ñ ξb ˆω = dξω i (x 1 (ξ,,x n (ξ dxi (ξ Γ ξ A dξ ÓÑ ØÖÝÞÒ ÑÓ Ò ØÓ Û Þ Ø Þ Ð ÑÝ ÖÞÝÛ Ò Ñ ÙÔ Þ Ð Þ Ö ξ Ò Ø ÙÔ µ Û ÖÓ Ù Ø Ó Ó Ò Þ ÞÒ Ù ÑÝ Û ØÓÖ ØÝÞÒÝ Ó ÖÞÝÛ Þ ÑÝ Ò ÓÖÑ Ó Ð ÞÓÒ Û ØÝÑ ÑÝÑ ÔÙÒ ØÓ Ó ÛÝ Þ ÑÒÓ ÝÑÝ ÔÖÞ Þ Ù¹ Ó ÙÔ ÞÑ ÒÒ ξ ÓØÖÞÝÑ Ò Û Ø Ò ÔÓ Ð Þ Ý ÙÑÙ Ñݺ ÆÓ ÔÓØ Ñ ÖÞ ÑÝ Ö Ò Ù Ó ÙÔ Û Ó Þ Ö º ÞÝÞÒ Þ ÓÖ ÑÓ Ò ØÓ ÑÓ Þ Ô Ø B ˆω = ω i (x 1 (ξ,,x n (ξdx i, Γ A  РØÓ ÞÙ ÔÓØÖÞ ÔÖÞÝÔÓÑÒ Ò Ó Ö ÒÝ ÖÞ ÞÝ ØÓ Þ Ð Ñ Ñ ÖÝÔØ Þ Ð ÖÝ Û Þ Ý Þ Ò Ø ØÖÓÒ º ÅÓ Ò ØÓ Û ÞÝ Ø Ó Ö Þ ÞÑ Ø Ñ ØÝÞÓÛ Ñ Û Ò Ó ÔÖÞ ØÖÞ Ò R n ØÝÐ Ó Ó ÖÓÞÑ ØÓ Ö Ò Þ ÓÛ Ù Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ Ò Ò ¹ ÞÓ Þ ÑÓ ÒÓØ Ø Ó Ò Ð ÞÝ Û ØÓÖÓÛ Ø Û Þ Ò Ø ØÖÓÒ ¹ Ð ÔÓ Ó ØÖ ÓÛ Þ Û Ó Ñ ½

Û Þ Û Ø Ò ÔÓ Þ Ð ÑÝ ÖÞÝÛ Γ Ò Û Þ Ø Ö ÔÖÞÝ Ð ÑÝ ÔÖÞ Þ Ñ Û ØÓÖ Ó ÓÛÝ Ö ÛÒÝ dx i Ý Ø Û ØÓÖ ÑÒÓ ÝÑÝ Ð ÖÒ ÔÖÞ Þ Ó ÔÓÛ Ò Û ØÓÖ Ó ÓÛÝ ω i ÙÑÙ Ñݺ Â Ø Û ØÓ Ó Ò ØÓ Ó Ý ÞÝ ÖÓÞÙÑ ÔÖÞ Þ Þ ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ Ó ÛÞ Ù ÖÞÝÛ Þ Ô Ù Ó ˆω = dl ω, Γ Γ ÙØÓ Ñ ÓÖÑ ˆω ØÞÒº ÓÛ ω i µ Þ Û ØÓÖ Ñ ω Þ ÓÛÝÑ Ø Ó Û ØÓÖ µº Ì Ù ÖÙ Ø Ò Þ Ô Þ ÓÖÑÝ Û Ù ÖÞÝÛ Γ Ó A Ó B Ò Þ Ð Ý Ó ÔÓ Ó Ù Ô Ö Ñ ØÖÝÞ ØÞÒº Ó ÛÝ ÓÖÙ Ô Ö Ñ ØÖÙ ξº ÖÓ ÔÖÓ Ø ÔÖÞÝ Ýº ÆÔº ÓÛ ˆω = xdy +y 2 dx Û R 2 Ó A = (0,0 Ó B = (1,1 Ö Þ ÔÓ Ñ Ò ACB Þ C = (1,0 ¹ ÛÝ Þ ½ ÖÙ Ö Þ ÔÓ ÖÞÝÛ x = ξ 2 y = ξ ÔÓØ Ñ ÞÞ Ö Þ ÔÓ Ø Ñ ÖÞÝÛ ØÝÐ Ó Û ÔÖ Ñ ØÖÝÞ x = ξ y = ξ µ ¹ ÛÝ Þ 5/6º ÈÓÙÞÝ Û ÛÝÒ Þ Ð Ý Ó ÖÓ Ð Ò Ó Ô Ö Ñ ØÖÝÞ º ÅÓ Ò Ø ÓÛ ÓÖÑ ˆω = xyzdx Û R 3 Ó A = (1,0,1 Ó B = (0,1,1 ÔÓ Û ÖØ Ó Ö Ù Ò Ô ÞÞÝõÒ z = 1º ÓÖÑÝ ÝÛ Ö Ò Ð Ý µ ½µ Æ ÖÞ ÞÒ Þ ÓÖÑÝ ØÓ ØÞÛº Ö Ò Þ ÞÙÔ Ò ˆω = df Ø ÖÝ Û Ô ÞÝÒÒ ω i (x 1,,x n Ò ÔÖÞ Þ ÓÛ Ö ÒØÙ ÙÒ f(x 1,,x n ω i (x 1,,x n = i f(x1,,x n ÇÞÝÛ ÙÒ f Ð ØÒ Ø ÔÖÞ Þ Ø Ò Û ÖÙÒ ÛÝÞÒ Þ Ò Þ Ó ÒÓ Ó Ø ÝØÝÛÒ º Ï ÖÙÒ Ñ ÓÒ ÞÒÝÑ Ý ÓÖÑ Ý Ö Ò Þ ÞÙÔ Ò Ø Ý i ω j(x 1,,x n = j ω i(x 1,,x n Ï ÞÝ Ù Ø ÓÖ ÓÖÑ Ñ Û ÑÝ Ø ÓÖÑ Ø Þ Ñ Ò Ø ÐÓ ÔÓ Ò ºµ ØÞÒº ÔÓ Ó Ò Þ ÛÒØÖÞÒ Ø Ø ÓÔ Ö ¹ Ò ÑÙ ÑÝ ØÙ Û Þ Ó Ó Ó Þ µ dˆω = 0 Þ ÖÓ ÔÓ ÔÖ Û ØÓ Ð ÓÖ Þ ÖÓÛ ÛÙ¹ ÓÖÑ µº Ï Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÓÖÑ Þ Ñ Ò Ø Ø Ö Ò Þ ÞÙÔ Ò ØÞÒº ÞÒ Û Û ÞÝ Ù Ø ÓÖ ÓÖÑ Ø Ó Ò Ü Ø ÔÓ Ò º ÞÝÐ Ñ Ø ÔÓ Ó Ò Þ ÛÒØÖÞÒ Þ Ò Þ ÖÓ¹ ÓÖÑ ÞÝÐ ÙÒ µº Á Ó Ñ Ø Ñ ØÝÝ ÙØÖÞÝÑÙ Ò ÓÖÑ Þ Ñ Ò Ø Ø Ó Ò ØÓ Ò ÛÞÓÖ Þ Û Þ Ø Ø Ð Û Ò Ó Ò ÛÝ Ò ÑÝ Ó Ó Ó Þ µº ÈÓ Ø ÛÓÛ Û ÛÓ ÓÖÑ Ý Ö Ò Þ Ñ ÞÙÔ ÒÝÑ Ø ØÓ Þ Ø ÓÖÑÝ Ó ÔÙÒ ØÙ A Ó ÔÙÒ ØÙ B Þ Ð Ý ØÝÐ Ó Ó ØÝ ÔÙÒ Ø Û Ò Ó ÖÓ Γ Þ ˆω = df = f(b f(a Γ Γ Ì Ñ ÒÓ ÓÖÑ Ñ Û Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ö Ò Þ ÙÒ Ø ÒÙ ÞÝÐ Û ÞÝ Ø Û Ð¹ Ó ÞÝÞÒÝ Ö Ø ÖÝÞÙ Ý Ù Ý Û Ö ÛÒÓÛ Þ Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ ½

U ÒØÖÓÔ S Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T ÒÒ º ë Ò Ö ÔÓÛ ÞÑÝ Ó ØÓ ÙÒ Ñ Ø ÒÙ ÛÝÒ Þ ÑÔ Ö ÞÔÓ Ö Ò Óº ÌÓ ÙÒ Ñ Ø ÒÙ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÒØÖÓÔ ÛÝÒ Ø Þ ÑÔ Ö Ð Ò ÖÓ Þ Ö Þ Þ Û Ý ÖÓÞÙÑÓÛ Ø Ö Ò ÛÝ Þ µº ÈÓ Ø ÛÓÛ Ö Û Ø Ö Û ÑÝ Ù Ø Ð Û ÞÝ Ò ÓÖÑ Ô Ò Û ÖÙÒ Ó¹ Ò ÞÒÝ Ý Ý Ö Ò Þ ÞÙÔ Ò Ø ÞÒ Ð Þ Ò ÙÒ f Û Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÒÔº Ó Þ Ó ÞÒ Ð Þ Ò U Ý Ó Û Ó Û Ô ÞÝÒÒ ÓÖÑÝ du Þ Ô ÒÝ Û Þ ¹ ÞÑ ÒÒÝ ÒÔº T V µº Ë Ò ØÓ Û Ø Ò Ö ÓÛ ÛÝØÝ Ø Ö Þ ÐÙ ØÖÙ ÑÝ Ò ÔÖÞÝ Þ º Æ Þ Ò ÒÓ¹ ÓÖÑ ˆω = ( 3x 2 y + 2y x dx+ ( x 3 +2lnx dy ËÔÖ Û Þ ÑÝ Ø Þ Ñ Ò Ø º ËÞÙ ÑÝ Þ Ø Ñ Ø ÙÒ f(x,y ˆω = dfº Ï ØÝÑ ÐÙ Ó Ö ÑÝ Ò Ô ÞÞÝõÒ ÔÙÒ Ø Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ (x 0,y 0 Ù ÑÝ ÒÓ¹ ÓÖÑ ˆω Ó Ø Ó ÔÙÒ ØÙ Ó ÔÙÒ ØÙ Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ (x,y ÔÓ ÓÛÓÐÒ ÖÓ Þ º ÆÔº ÔÓ Ñ Ò (x 0,y 0 (x,y 0 (x,yº Ð Ó ÔÓ Ñ Ò (x 0,y 0 (x 0,y (x,yº ËÔÖ Û Þ ÑÝ Ó ÔÓ ÖÓ Þ ÛÞÓÖÝ ÛÝ Ð ØÖÓ Ò Þ Ò Ó Ù Ó Ø Ø Ñ ÙÒ f(x,y = x 3 y +2ylnx ( x 3 0y 0 +2y 0 lnx 0 ÖÙ Ñ ØÓ ØÞÛº ÙÔÒ Þ ÔÓÐ Ò Ó ÓÛÝÛ Ò Ùº Ë ÓÖÓ ω x = ( f/ ØÓ ( f(x,y = dxω x (x,y = dx 3x 2 y + 2y = x 3 y +2ylnx+h(y x ËØ ÓÛ Ò ÑÓ ØÙ Ý ÓÛÓÐÒ ÙÒ h(yº ÙÒ Ø Ò ØÔÒ ÛÝÞÒ Þ ÑÝ ÔÖÞÝÖ ÛÒÙ ( f/ y Ó ω y = x 3 + 2lnxº Ø Ó ÛÝ Ó Þ ØÙ ÙÖ Ø ÙÒ h(y ÑÙ Ý Ø º  ÞÞ Ð Û ÛÝ Ò Ò Ó Ó Ó Þ Þ ØÝÑ Ò Þ Û Þ ÓÖÑ Þ Ñ Ò Ø Ø Ó Ò º Ï õñý ÒÓÒ ÞÒÝ ÔÖÞÝ Ø º Û R 2 ÓÖÑ ˆω = ω x dx+ω y dy y x 2 +y dx+ x 2 x 2 +y dy 2 Â Ø ÓÒ Þ Ñ Ò Ø Ø º ω x / y = (y 2 x 2 /(x 2 +y 2 2 = ω y / Û ÓÞ Ù ÑÝ ˆω = df(x,y Ø º ØÒ Ø ÙÒ f(x,y f/ = ω x f/ y = ω y µº Â Ð Ò Ó Ð ÞÝÑÝ Þ Ø ÓÖÑÝ ÔÓ Ó Ö Ù K R Ó ÖÓ Ù Û ÔÙÒ (0,0 ÓÛÓÐÒÝÑ ÔÖÓÑ Ò Ù R Ô Ö Ñ ØÖÝÞÙ ÑÝ Ó Ö Ø Ò Ö ÓÛÓ x = Rcosθ y = Rsinθµ ØÓ Ó Ø Ò ÑÝ 2π = dθ = 2π 0 K Rˆω 0 Ì Ñ ÛÝÒ Ý ÑÝ ÓØÖÞÝÑ Ð Ù ˆω ÔÓ Þ Ñ Ò Ø ÖÞÝÛ Ó ÔÓÞ Ø Ù Ùµº ÈÖÓ Ð Ñ ÔÓÐ ÓÞÝÛ Ò ØÝÑ ÓÖÑ ˆω Û Ô ÞÝÒÒ µ Ø Ó Ó Ð Û Û ÔÙÒ (0,0º ÇÞÝÛ Ò ÛÞÓÖ ÓÖÑ ˆω Ø Ö Ò Þ ÞÙÔ Ò ( ˆω = dθ(x,y d arctg y, x ¾¼

Ð ÙÒ θ(x,y = arctg(y/x Ò ÑÓ Ý Ó Ö ÐÓÒ Û ÔÙÒ (0,0 Û ÔÓ Ý Þ Ò Ó ÔÙÒ ØÙ (0,0 Þ Ö ÒÝ ÖÙÒ Û ÛÝÒ Þ Ð ÒÝ Ó ÖÙÒ Ùµ Û ØÝÑ ØÓ Ò ÓÖÑ ˆω Ò Ø Ö Ò Þ ÞÙÔ Ò Û Ó Þ Ö ÓØÛ ÖØÝ Þ Û Ö Ý Ø Ò ÔÙÒ Øº ÇÞÝÛ Þ ˆω ÔÓ Þ Ñ Ò Ø ÖÞÝÛ Ò Ó ÔÙÒ ØÙ (0,0 Þ ÖÓº ÌÓ Û ÞÝ Ø Ó ØÓ Ý Ý ÖÞ ÞÝ ÓÞÝÛ Ø º Ì Ö Þ Þ ÞÒ Ó Ýº ¾µ  ÒÓ¹ ÓÖÑ ÑÓ Ò Ý Ö Ò Þ ÞÙÔ Ò Ð ÑÓ Ý ÓÛ ÐÒ º Þ ØÓ ØÓ ÓÖÑÙ Ù Ø ÓÖÑ ˆω Ò R n Ø ÓÛ ÐÒ Ð Ö ÛÒ Ò ˆω = 0 Ñ ÖÓÞÛ Þ Ò Û ÔÓ Ø ÖÓ Þ ÒÝ n 1 ÛÝÑ ÖÓÛÝ Ô ÖÔÓÛ ÖÞ Ò φ(x 1,,x n =ÓÒ Øº Ï ÖØÓ Ø ¹ ÒÙÑ ÖÙ Ø Ô ÖÔÓÛ ÖÞ Ò µº ÇÞÝÛ Ø Ñ Û Ò Ø ÑÙØÒ ØÝÔÓÛÝ Ö ÔÖ ÝÞÝ Ò Ó ÛÝÖ Ò ÑÝ Ð Ø ÔÓÛ Þ ÒÝ ÔÓ ÖÞÒ Ô ÒÝ ÔÖÞ Þ Þݹ Ûµº Ó Þ ÓÞÝÛ Ó ØÓ ØÒ Ø ÖÓ Þ Ò Ô ÖÔÓÛ ÖÞ Ò ÒÓ¹ ÓÖÑ ˆω Þ ÖÓ Ò ÝÑ Û ØÓÖÞ ØÝÞÒÝÑ Ó Ø Ö ÓÐÛ Þ ØÝ ÔÓÛ ÖÞ Ò º ÞÝÐ Ð Ù Ó Ñ Ý Þ Ö Ñ ØÓ Ò Ñ ÓÖÑ ˆω ØÝÐ Ó ÓÖÑ ÓØÖÞÝÑ Ò Þ ÞÖÞÙØÓÛ Ò Ø Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò φ(x 1,,x n =ÓÒ Øº Æ ÔÖÞÝ Þ Û R 3 ÖÓÞÔ ØÖÞÑÝ ÓÖÑ Ø Ö Û ÖÝÞÒÝ ÞÑ ÒÒÝ ÔÖÓÛ Þ Ó ˆω dr ÒÔº ˆω(x,y,x = (xdx+ydy+zdzº ÏØ Ý ÖÓ Þ Ò Ô ÖÔÓÛ ÖÞ Ò ÔÓ ÔÖÓ ØÙ ÖÝ x 2 +y 2 +z 2 = R 2 =ÓÒ Øº  РÞÖÞÙØÙ ÑÝ Ø ÓÖÑ Ò Ò Þ Ö Ó Ù Ø ÐÓÒÝÑ ÔÖÓÑ Ò Ù ÞÝÐ Þ ÑÝ Ó Ò Ô ÓÛ ØÝÐ Ó Û ØÓÖÝ ØÝÞÒ Ó ÔÓÛ ÖÞ Ò Ø ÖÝ ØÓ Þ Û Þ Ó Ø Ò ÑÝ Þ ÖÓ ÞÝÐ ˆω sfera = ˆ0 ¹ ØÙ ˆ0 ÓÞÒ Þ ÓÖÑ Þ ÖÓÛ µº Ì ÔÓ Ø Û Ò ÔÖ ÛÝ Ø Ò Û Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ñ Ó ÔÖÞÝ ØÒ Û ÞÓ ÙÔÖ Û Ò ÔÖÞ Þ Ò Ø ÖÝ ¹ Ø Ö Þ Ù Ò ÞÞ ÖÞ Þ ÔÓØÝ ¹ ÓÑ ØÖÝÞ ÞÝ ºººµº Ò ÞÒ Ð Ô ÞÝ Ø Ò ØÔÙ Ý ÔÙÒ Ø Û Þ Ò ÞÛ Þ ÒÝ Þ ÓÖÑÙ ÓÛ Ò Ñ Ö Ø Ó ÓÖݳ Ó ¾ÌŠĺ ÞÒ ÑÝ Ô Ö Þ ÓÛÓÐÒ Ó ÔÙÒ ØÙ ÔÖÞ ØÖÞ Ò (x 1 0,,x n 0º ÑÝ Þ Ø Ó ÔÙÒ ØÙ ÔÖÞ Ñ Ó (dx 1,,dx n º ÓÔÙ ÞÞ ÑÝ Ò ØÝÐ Ó Ø ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò Ø Ö ØÙ Ù dx i ØÖ ØÙ ÑÝ Ò ÓÖÑÝ ØÝÐ Ó Ø Þ ÖÓÛ ÞÝÞÒ Ñ Ð Þ Ýµ Ô Ò Û ÖÙÒ ω 1 (x 1 0,,x 2 0dx 1 ++ω n (x 1 0,,x 2 0dx n = 0 Â Ù Û Ø Ò ÔÓ ÞÒ Þ ÑÝ Û Ñ ÒÓÛÝÑ ÔÙÒ (x 1,,x n ØÓ ÞÒ Û ÑÓ ÑÝ ÔÖÞ Ñ Ó (dx 1,,dx n ÓÖ ÐÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Û ÖÙÒ ω 1 (x 1,,x n dx 1 ++ω n (x 1,,x n dx n = 0, Ø º Á Ø Ö Þ ÓÖÑ ˆω Ø ÓÛ ÐÒ Ð Ó ÞÙ Û Ø Ò ÔÓ Ò ÑÓ ÑÝ Ó Û ÓÛÓÐÒ Ñ Ý Þ Þ ÑÝ ØÝÐ Ó ÔÓ Ô ÛÒ Ô ÖµÔÓÛ ÖÞ Ò º Â Ð Þ ÓÖÑ Ò Ø ÓÛ ÐÒ ØÓ ÑÓ ÑÝ Û Ø Ò ÔÓ Þ Û Þ Þ ÒÓ ÑÓ ¹ Û Ò Ñ ÖÝ Þ ÓÖ Û Û R n ¹ ÔÖ Û Û Þ Þ µº ÈÖÞÝ º Ï õñý ˆω = ydx+dy dzº ÏÝ Ø ÖØÙ ÑÝ Þ ÔÙÒ ØÙ (0,0,0 õñý ÛÞ Ù Ó x ØÞÒº ÖÓ ÑÝ ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò Ó dy = dz = 0 ÈÓÒ Û y = 0 ÑÓ Ò Ñ dx 0 Û ˆω = 0º Ó Ó Þ ÑÝ Û Ø Ò ÔÓ Ó ÔÙÒ ØÙ (x 1,0,0º Æ ØÔÒ ÑÓ ÑÝ ÔÓÛ ÖÓÛ ÔÓ Ô ÞÞÝõÒ x = x 1 =ÓÒ Øº ÖÓ ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò Ø dy = dz dx = 0º Ó Ö ÑÝ Ø Ó ÔÙÒ ØÙ (x 1,y 1,y 1 º Ø Ó ÔÙÒ ØÙ Þ ÑÝ ÖÓ Ø ¾½

ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò dz = y 1 dx dy = 0 ÔÓÞÓ Ø ÑÝ Û Ò Ô ÞÞÝõÒ y = y 1 =ÓÒ Øµ ØÞÒº ÛÞ Ù ÔÖÓ Ø Ô Ò Ö ÛÒ Ò dz/dx = y 1 º Ó Ö ÑÝ Û Ø Ò ÔÓ Ó ÔÙÒ ØÙ Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ (x, y 1, y 1 +y 1 (x x 1 º Ï Ø Ò ÔÓ ÑÓ Ò Ó Ó ÔÙÒ ØÙ Ó ÓÛÓÐÒÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ ( x,ỹ, z ÛÝ Ø ÖÞÝ ÛÞ x = x y 1 = ỹ Ó Ö Ó ÔÓÛ Ò Ó x 1 ÖÓÞÛ ÞÙ Ö ÛÒ Ò ỹ+ỹ( x x 1 = zº Å ÓÒÓ ÒÓÞÒ ÞÒ ÖÓÞÛ Þ Ò Ð ØÝÐ Ó ỹ 0º Ë ÓÖÓ Û ÑÓ Ò Ó Ó ÓÛÓÐÒ Ó ÔÙÒ ØÙ Ý ÑÓ Þ ÛÝ Ø Ñ ÔÙÒ Ø Û Ó ỹ = 0 z 0µ Ø ÖØÙ Þ (0,0,0 ØÓ ÑÓ Ò ÔÖÞ Þ Ó ÔÙÒ ØÙ Ó Óº ÊÓÞÔ ØÖÝÛ Ò ÓÖÑ Ò Ø ÓÛ ÐÒ º µ ÓÖÑ ÑÓ Ò Ý Ö Ò Þ ÞÙÔ Ò Ð ÑÓ Ñ ÞÝÒÒ Ù Ý ØÞÒº ˆω df Ð ØÒ Ø ÙÒ λ(x 1,,x n λ(x 1,,x n ˆω(x 1,,x n = df(x 1,,x n ÈÓÛ Ø Ò ØÝ Ñ Ø Û ÔÝØ Ò ÓÖÞ ÞÝ Ò ÓÖÑ Ñ ÞÝÒÒ Ù Ý Ð Ñ ØÓ ÞÝ Ø ÓÒ ÒÓÞÒ ÞÒÝ Ý Ó ÔÓÛ Þ Ò Ô ÖÛ Þ ÔÝØ Ò ÛÝÔ Ù ÑÝ Û ÖÙÒ Þ Ñ Ò ØÓ ÓÖÑÝ λˆω i (λω j = j (λω i, Û Ø ÖÝÑ i j Ø ÖÝ ÑÓ Ò ÔÖÞ Ô Ù ÝÛ Ø Ö Þ ÒÓØ i / i µ Û ÔÓ Ø λ( j ω i i ω j = ω j i λ ω i j λ ÌÖÞ Ø Ö Þ ÛÝÑ Ò ÛÖÓÛ Ø Ý ÔÓÞ Ý λ Ó Ó ØÝÑ ÞÝÒÒ Ù Ò Ò Û ÑÝ Ò Û Ø Ò Û ÑÝ ÞÝ ØÒ µº Æ Ô ÞÑÝ ØÖÞÝ Ø Ö ÛÒÓ Þ i j k i j i k j kµ ÑÒÓ Ý Þ Ò ÔÖÞ Þ ØÓ ØÖÞ ω λ( j ω i i ω j ω k = ω j ω k i λ ω k ω i j λ, λ( k ω j j ω k ω i = ω k ω i j λ ω i ω j k λ, λ( i ω k k ω i ω j = ω i ω j k λ ω j ω k i λ, Ó ÑÝ Û ÞÝ Ø Ó º  ØÛÓ ÞÓ ÞÝ ÔÓ ÔÖ Û Ó Ø Ò ÑÝ Ó Ö ÐÙØ Þ ÖÓ ÔÓ Ð Û Ó Ö ÞÝ λº ÏÝÒ Ø ÞÒ Ò Ø Ó Ó ÞÝÐ ω k ( j ω i i ω j +ω i ( k ω j j ω k +ω j ( i ω k k ω i = 0 Ð ÓÛÓÐÒÝ ØÖ Û õò Û i j k Ø Û ÖÙÒ Ñ ÓÒ ÞÒÝÑ ØÒ Ò ÞÝÒÒ Ù Ó Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÓÖÑ Û R 3 Ð Ó ÙØÓ Ñ ÑÝ Û Ô ÞÝÒÒ ÓÖÑÝ ˆω Þ ÓÛÝÑ Û ØÓÖ ω ÑÓ Ò Ø Ò Û ÖÙÒ Þ Ô Û ÔÓ Ø ω ( ω = 0 ÈÖÞÝ Ý ½µ ÓÖÑ ˆω = xdx + z dy + y dzº Ñ Ò Ø dˆω = 0º Ç ÓÛ Ø ÐÙ º ˆω =  РØÓ Ø ÛÔÖ ÛÒÝ Û Ø ÓÖ ÓÖÑ ØÓ ÖÓÞÔÓÞÒ Û ØÝÑ Þ Ô Ò ÓÛÝ Û ÖÙÒ Ù ˆω dˆω = 0º ¾¾

d( 1 2 x2 +yz +constº ¾µ ÓÖÑ ˆω = xyz dxº Æ Ø Þ Ñ Ò Ø dˆω 0º Ð Ñ ÞÝÒÒ Ù Ýº ÆÔº λ(x,y,z = (xyz 1 Ó Ó Ð ÛÝ ÌÓ Ó ÈÓÞ Ô ÞÞÝÞÒ Ñ x = 0 غ Û ÞÝ Ø Ó Ø Ó µ ÛØ Ý f = x+ ÓÒ Øº ÒÒÝ Ý Ñ Ý Ô ÛÒ ÒÔº λ(x,y,z = (yz 1 ÛØ Ý f = 1 2 x2 + ÓÒ Øº Ï ÞÝÒÒ Û Ù Ý ÑÓ Ý ÔÓÖÓº µ ÓÖÑ ˆω = xdx+xydy+dzº Ñ Ò Ø Ò Ø dˆω 0º ÞÝ Ñ ÞÝÒÒ Ù Ý ËØÓ Ù ÑÝ ÖÝØ Ö ÙѺ ÈÓÒ Û ØÓ Ø Û R 3 Û Ó Ð Þ ÑÝ Þ ÓÐÒ ÞØÙÞ ÔÓ Ó Ò Þ ØÝÐ Ó Ò ÓÐÒÝ ÖÞ ÛÝÞÒ ÞÒ µ x xy 1 x y z x xy 1 0 µ ÓÖÑ ˆω = (yz/xdx + zdy + ydzº Ñ Ò Ø Ò Ø dˆω 0º ÞÝ Ñ ÞÝÒÒ Ù Ý ËÔÖ Û Þ ÑÝ yz/x z y x y z yz/x z y = 0 Ï Ñ º ÞÙ ÒÝ ÖÞÙØ Ó λ(x,y,x = x Ø Ó º Ç ÓÛ λˆω = yzdx+xzdy+xydz ÔÓ Ñ ÒÝ ÐÙ ÙÔÒ ÞÓ ÐÙ ÔÓ ÔÖÓ ØÙ Ó ØÖÞ λˆω = d(xyz +constº Ï R 1 ÓÖÑ Ø Ó Ò ¹ Þ Û Þ ÑÓ Ò Ò Ô x ˆω ω(xdx = d( dξω(ξ Ï R 2 ÓÖÑ Ñ ÞÝÒÒ Ù Ýº Ý Ý Û Û Ô Ö Ñ ØÖÝ ÛÝ Ø ÖÞ Ý Ó Ö Ø ÖÝÞÓÛ Ò Ö ÛÒÓÛ ÓÛ Ó Ø ÒÙ ÓÛÓÐÒ Ó Ù Ù Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÞÒ Ó ¾ÌÅ Ä Ý Ý Ò Ñµº Ï ÖÙÒ ω x (x,ydx+ω y (x,ydy = 0 Ø ÓÛ Ñ Ö ÛÒÓÛ ÒÝ Ö Û¹ Ò Ò Ù Ö Ò Þ ÓÛ ÑÙ dy dx = h(x,y ω x(x,y ω y (x,y, Ø Ö ÑÓ Ò ÓÛ Ò Û ØÓÖ ØÝÞÒÝ Ó ØÝ ÖÞÝÛÝ ÓÛÝ ÓÖÑ ˆω Þ ÖÓµº Ê ÛÒÓÛ Ò ÑÓ Ò ÓÛ Ù Ö ÛÒ dx dξ = ω y(x(ξ, y(ξ, dy dξ = ω x(x(ξ, y(ξ, ØÙ ÜÔÐ Ø Û ØÓÖ ØÝÞÒÝ Ó ÖÞÝÛ ÓÛ Û ÔÙÒ (x,y Ô ÞÞÝÞÒÝ R 2 Ñ ÔÓ Ø e x ω y (x,y e y ω x (x,y Û Ø ÓÞÝÛ Ø ÓÖÑ ˆω Ò Ò Ñ Þ ÖÓµº Â Ù Ñ ÑÝ ÖÞÝÛ ÓÛ ÔÖÞ Ó Þ ÔÖÞ Þ P 0 = (x 0,y 0 Ð Ó Ó y = φ(x,p 0 ¾

Ð Ó Ó x = x(ξ,p 0 y = y(ξ,p 0 Û ØÝÑ ÖÙ Ñ ÔÖÞÝ Ù Ð Ñ ÒÙ ÑÝ ξ Ý Ó Ø y = φ(x,p 0 µ ØÓ ØÛÓ ÛÒ ÔÖ Û Þ f(x,y = y φ(x,p 0 Ø ÞÙ Ò ÙÒ df(x,y d(y φ(x,p 0 = dφ dx dx+dy = ω x(x,y ω y (x,y dx+dy = 1 ω y (x,y ˆω ÞÝÒÒ 1/ω y (x,y Ø Û ÞÝÒÒ Ñ Ù ÝѺ Æ ÓÒ Ð Ñ ÑÝ Ù ÞÝÒÒ Ù Ý Ø λ(x 1,,x n ˆω(x 1,,x n = df(x 1,,x n ØÓ Ð Þ Ñ Ø ÙÒ f ÛÝÞÒ Þ ÔÖÞ Þ Ö ÛÒ Ò f(x 1,,x n = C ÖÓ Þ Ò Ô ÖÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÛÝ Ö ÛÒ Ò ˆω = 0µ Û õñ ÑÝ φ(f(x 1,,x n Þ φ( Ø ÓÐÛ ÔÖÞÝÞÛÓ Ø ÙÒ ØÓ Ó Ø Ò ÑÝ dφ(f(x 1,,x n = φ (f(x 1,,x n λ(x 1,,x n ˆω(x 1,,x n, Ó ÔÓ ÞÙ φ (f(x 1,,x n λ(x 1,,x n Ø Ø ÞÝÒÒ Ñ Ù ÝÑ ÓÖÑÝ ˆωº ÇÞÝÛ φ(f(x 1,,x n = φ(c = C ÛÝÞÒ Þ Ø Ñ ÖÓ Þ Ò Ô ÖÔÓÛ ÖÞ Ò º Ó Þ Û Ò Ó ÑÒ Û ÓÞÝÛ Ø È ÖÛ Þ ØÛ Ö Þ Ò Ö Ø Ó ÓÖݳ Ó ÓÖÑ Ø ÓÛ ÐÒ ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý ÞÝÐ Ø ØÓ ØÛ Ö Þ Ò ÛØ Û ÛØ µ Ý Ñ ÞÝÒÒ Ù Ýº ÞÝÐ ÓÖÑÝ ÓÛ ÐÒ Ñ ÞÝÒÒ Ù Ý ØÓ ØÓ ÑÓµº Ï ÛØ ØÓ Ø ÓÞÝÛ Ø Ð ÓÖÑ Ñ ÞÝÒÒ Ù Ý ØÞÒº λ ˆω = df ØÓ f(x 1,,x n = C Ø Û Ò ÖÓ Þ Ò Ô ÖÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÛÝ Ó Ø ÖÝ ÑÓÛ Û Ò ÓÖÑÝ ÓÛ ÐÒ df ÞÝÐ ÔÓ Þ ÓÐÒ ÑÙ Ö ÒØ Ø ÔÖÓ ØÓÔ Ý Ó Û ØÓÖ Û ØÝÞÒÝ ÞÝÐ df Þ ÖÓ Ò Û ØÓÖ ØÝÞÒÝ Ó ØÝ Ô ÖÔÓÛ ÖÞ Ò ØÓ ÓÞÒ Þ Þ ÛÝ Ø Ñ ÔÙÒ Ø Û Û Ø ÖÝ λ ÞÒ Þ ÖÓ Ò ØÝÞÒÝ Û ØÓÖ Ø ˆωµº Ï Ø Þ ÓÐ Ø Ø ØÓ Ò º Æ f(x 1,,x n = C Þ ÖÓ Þ Ò Ô ÖÔÓ¹ Û ÖÞ Ò º Ë ÓÒ ÒÙÑ ÖÓÛ Ò Û ÖØÓ Ñ Ø Cº ÅÓ Ò ÛØ Ý ÛÔÖÓÛ Þ ÒÓÛ ÖÞÝÛÓÐ Ò ÓÛ µ Û Ô ÖÞ Ò Û R n (ξ 1,,ξ n 1,f Ø ξ i Û Ô ÖÞ ÒÝÑ Ò Ô Ö¹ ÔÓÛ ÖÞ Ò f = ÓÒ Øº ÛÝ Ø ÖÞÝ ÑÝ Ð Ó ÖÓ Þ Ò Ö Û R 3 ¹ ÛØ Ý ÞÑ ÒÒ ξ i ØÓ ØÝ ÖÝÞÒ f ØÓ ÔÖÓÑ µº Ø Ñ Ù Ñ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÞÛ Þ Ò Û ØÓÖÝ ØÝÞÒ Ó Ð Ò ÛÝÞÒ Þ ÒÝ ÔÖÞ Þ ÞÑ Ò Ò Ó Þ ξ ÔÖÞÝ Ù Ø ÐÓÒÝ ÔÓÞÓ Ø Ý ξº ÓÖÑ ˆω Ø Ö Ó ÔÓÛ ÖÓÞÔ ØÖÝÛ Ò Ô ÖÔÓÛ ÖÞ Ò ÒÒ ÓÖÑ Ò R n Ó Ó Ø ÓÑ ØÖÝÞÒÝ ØÙ Ò ÓÑ ØÖ ÔÖÞÝ ÝÐ Ò ÔÓÔ Û Ó¹ Ñ ØÖÝÞÒÝ Ñ ØÝÝÞѵ ÑÓ Ò Þ Ô Û ÓÛÓÐÒÝ ÞÑ ÒÒÝ º Ï ØÝ ÒÓÛÝ ÑÓ Ý ÓÒ Ñ Û Ó ÐÒÓ ÔÓ Ø ˆω = Ω f (f,ξ 1,,ξ n 1 df +Ω i (f,ξ 1,,ξ n 1 dξ i Ð Û ÞÝ Ø Ω i ÑÙ Þ Ý Ö ÛÒ Þ ÖÙ Ó ÓÖÑ ˆω Þ ÖÓ Ò Û ØÓÖ ØÝÞÒÝ Ó ÖÓÞÔ ØÖÝÛ ÒÝ Ô ÖÔÓÛ ÖÞ Ò Þ ÓÒ ØÖÙ ÒÓÛÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ Ò Ø Û ØÓÖ df Þ ÖÓº Ø Ñ ˆω = Ω f (f,ξ 1,,ξ n 1 df ÞÝÐ Ω 1 f (f,ξ1,,ξ n 1 ˆω = df Ω 1 f Ø ÞÝÒÒ Ñ Ù ÝѺ Æ Ó ÑÒ ÓÞÝÛ Ø Ø ÖÙ ØÛ Ö Þ Ò Ö Ø Ó ÓÖݳ Ó ÓÖÑ ˆω Ø Ó¹ Û ÐÒ Ð Ó Ñ ÞÝÒÒ Ù Ýµ Ð Û ÓÛÓÐÒÝÑ ÓØÓÞ Ò Ù Ó ÔÙÒ ØÙ ØÒ ¾

ÔÙÒ ØÝ Ò Ó ÐÒ Ò ÖÓ Ò Ø ÖÝ ˆω = 0 ØÞÒº Ø ÖÓ ÓÖÑ ˆω Û Ý Þ ÖÓ Ò Û ØÓÖ ØÝÞÒÝ Ó Ø Ö Ð Ó Ò Þ Ö Þ ÔÖÞÝ ØÔ¹ Ò Ò ÖÓ Ò Ø ÖÝ ÖÓÞ dx i ¹ Ø Ö Þ ØÖ ØÓÛ Ò ÞÛÝ ÔÖÞÝÖÓ ØÝ dx i ¹ ÓÖ ÐÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ö ÛÒ Ò ˆω = 0µº ÓÛ Ø Ó Ø ØÖÓ Ö Þ ÑÙ ÒÝ ÔÖÓÛ Þ Ó ÔÓ Þ Ò Ð Þ Ó Ò Ø Ô Ò ÓÒ ØÓ ÑÓ Ò ÞÖ Ù ÓÛ ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÛÙÛÝÑ ÖÓÛ Ó Û ÛÙ ÛÝÑ Ö Ù Û ÑÝ ÓÖÑ Ñ ÞÝÒÒ Ù Ý ÞÝÐ Ø ÓÛ ÐÒ º ÊÓÞÔ ØÖÞÝÑÝ ÔÖÞÝÔ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛÝ Ø º ÓÖÑ ω x (x,y,zdx + ω y (x,y,zdy + ω z (x,y,zdzº Æ Ô ÖÛ Ù Ø Ð ÑÝ z ÞÒ Ù ÑÝ ÞÝÒÒ Ù Ý ÓÖÑÝ ω x (x,y,zdx+ ω y (x,y,zdy Û Ø Ö z Ø Ù Ø ÐÓÒÝÑ Ô Ö Ñ ØÖ Ñº Ì ÞÝÒÒ µ(x,y,z Þ Ð Ý Ô ¹ Ö Ñ ØÖÝÞÒ Ó zµ ØÒ ¹ ØÓ Ù Û ÑÝ ¹ ÞÝÐ ØÒ Ø ÙÒ h(x,y,z µ(x,y,z ω x (x,y,z = 1 h(x,y,z, ω y (x,y,z = µ(x,y,z 1 h(x,y,z µ(x,y,z y Ì Ö Þ Þ Ô Ù ÑÝ ÛÝ ÓÛ Ö ÛÒ Ò ω x dx+ω y dy+ω z dz = 0 Û ÔÓ Ø ÑÓ ÑÝ ÔÖÞ Ö Ò Þ ÓÛ ÔÓ ÞÑ ÒÒ z Ø Ö ÓØ Ý Ù Ø ÐÓÒ µ ( ( h h h dx+ dy + y z dz + µω z h dz = 0 z È ÖÛ ÞÝ Ò Û Ø ØÙ Ö Ò Þ ÞÙÔ Ò dhº Æ ÛÝ Ó Ò Û Ø ÔÖÞ Ø Ö Þ Ó ÞÑ ÒÒÝ (h,y,z ÔÓÛÝ Þ Ö ÛÒ Ò Þ Ô Û ÔÓ Ø dh+ζ(h,y,zdz = 0 Â Ð Û Ù ÔÓ Þ Û Ô ÞÝÒÒ ζ Ò ÑÓ Þ Ð Ó y ØÓ Þ ÑÝ Û ÓÑÙ Ó Þ ÑÝ Ñ Û ØÓ ÓÖÑ Û ÛÙ ØÝÐ Ó ÞÑ ÒÒÝ h z Ø Ö Ó ØÓ ÓÖÑ Ò R 2 Ù Þ Ñ ÞÝÒÒ Ù Ýº Ó Þ Û Ó ØÓ Ý ÔÓ Þ Ý Ý ÞÝÒÒ ζ Þ Ð Ó y ØÓ Þ Ó õ ÔÙÒ ØÙ (h 0,y 0,z 0 ÑÓ Ò Ý Ó Ò ÓÛÓÐÒÝ ÔÙÒ Ø Û Ó ÓØÓÞ Ò Ùº Ø Ñ Þ ÑÝ Ò Û Ð ζ Þ Ð Ý Ó yº ÔÙÒ ØÙ (h 0,y 0,z 0 ÑÓ Ò Þ ÔÖÓ Ð ÑÙ ÔÖÞ Ó (h 0,y 1,z 0 ÔÓ ÔÖÓ Ø h = h 0 z = z 0 º Æ ØÔÒ Ò Ô ÞÞÝõÒ y = y 1 ÔÖÞ Ñ ÞÞ ÑÝ ÔÓ ÖÞÝÛ ÓÛ Ö ÛÒ Ò dh/dz = ζ(h,y 1,z Ó ÔÙÒ ØÙ (ϕ(z 2,y 1,y 1,z 2 Þ h 2 = ϕ(z 2,y 1 Ø ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ Ø Ó Ö ÛÒ Ò Þ Û ÖÙÒ Ñ ÔÓÞ Ø ÓÛÝÑ ϕ(z 0,y 1 = h 0 º ÈÓØ Ñ ÖÓ ÑÝ ÞÞ Ò ÖÙ ÔÓ ÔÖÓ Ø Ö ÛÒÓÐ Ó Ó y Ð Ù ÑÝ Û ÔÙÒ (ϕ(z 2,y 1,y 2,z 2 º ÓÒ ØÖÙ ÛÝÒ Û ÖØÓ y 2 z 2 ÑÓ ØÙ Ý ÞÙÔ Ò ÓÛÓÐÒ ÑÓ Ö Ò Ó ÛÝ ÓÛÝ y 0 z 0 Ó ÓÛÓÐÒ Ñ Ý Ô ÐÓÒ εº ÈÝØ Ò ÞÝ Û ÖØÓ h 2 = ϕ(z 2,y 1 ÑÓ Ý ÓÛÓÐÒ Ð Ó h 0 ÊÓÞÔ ØÖÞÑÝ y 1 Ö Ò Ó y 0 Ó εº ÏØ Ý ÑÓ ÑÝ ÖÓÞÛ Ò ÛÞ Ö Ò h 2 Û Þ Ö Ì ÝÐÓÖ ÛÓ Û ÖÙÒ Ù ÔÓÞ Ø ÓÛ Ó h 2 h 0 = ϕ z (z 2 z 0 + ϕ y (y 1 y 0 +O(ε 2 ÈÓ Ó Ò ÙÒ ϕ(z,y ØÙ ÓÞÝÛ Ó Ð ÞÓÒ Û ÔÙÒ (z 0,y 0 º Ý Ý Ø Ö Þ ÔÓ Ó Ò ( ϕ/ y Ò ÞÒ ÑÓ Ò Ý ÓØÖÞÝÑ ÓÛÓÐÒ ÝÐ ÖÞ Ù εµ Û ÖØÓ Ö Ò Ý ¾

h 2 h 0 Ð Ò Ù Û Ô ÖÛ Þ Ó Þ ÓÒÙ ÔÓ ÔÖ Û ØÖÓÒ Û Ø ÖÝÑ Û ÞÝ Ø Ó Ø Ù Ø ÐÓÒ Ó ÔÝØ ÑÝ Ó ÑÓ Ð ÛÓ Ó Ó ÔÙÒ ØÙ Ó Ù Ø ÐÓÒÝ z 2 y 2 h 2 µ Ó ÔÓÛ Ò Ñ Ó ÓÖ Ñ Ö Ò Ý Ø ÖÞ Ù εµ y 1 y 0 º Ð Ñ Ý ÔÖÞ Û ÓØÓÞ Ò Ù (h 0,y 0,z 0 ØÒ ÔÙÒ ØÝ Ò Ó ÐÒ Ò ÖÓ Þ Ó ÒÝ Þ Ö ÛÒ Ò Ñ ˆω = 0 Ø Ñ ÙÒ ϕ Ò ÑÓ Þ Ð Ó y ØÓ ÓÞÒ Þ Û Ô ÞÝÒÒ ζ Ó y Ò ÑÓ Ù Þ Ð º ÃÓÒ ÓÑ ØÓ Ò Þ Ô Ø Ò ØÖ º ÌÓ Û Ò ÖÙ ØÛ Ö Þ Ò Ö Ø Ó ÓÖݳ Ó Ø ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Û Ó ÓÛ ÒÝÑ Ò Ñ Ñ Ø ÑÒ ÞÓ ÓÖÑÙ ÓÛ Ò Ù ¾ÌÅ Ä Ø Ö Ó Û ÓÛÓÐÒ Ð Ñ ÓØÓÞ ¹ Ò Ù Ó Ø ÒÙ Ö ÛÒÓÛ ÓÛ Ó ÓÛÓÐÒ Ó Ù Ù Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÞÒ Ó ØÒ Ø ÒÝ Ò Ó ÐÒ Û ÔÖÞ Ñ Ò Ø ÖÑ ÞÒÝ º Æ Ð Ý ÞÛÖ ØÙ ÙÛ Ò ØÓ ÓÖÑÙ¹ ÓÛ Ò Ù ØÝÑ Ò Ñ ÑÓÛÝ Ó Ó ÛÖ ÐÒÝ ÔÖÞ Ñ Ò Ø ÖÑ ÞÒÝ Ò ÑÒ Ð ØÒ Ø ÒÝ Ò ÐÒ Û Ö ÞÙÐØ Ø ÔÖÓ Û ØÛÓÖÞ Ý Û Þ Ð Ò Ó¹ ÛÓÐÒ ÔÖÓ Ý Ø ÖÑ ÞÒ ØÓ ÒÓ¹ ÓÖÑ Ô Q Ø ÓÛ ÐÒ Ñ ÞÝÒÒ Ù Þ Ø ÖÝ ÒÝÑ ÛÝÖ Ò ÓÒÝÑ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÞÛÞ Ð Ò T µ Ó ÔÓÛ ¹ Ò ÖÓ Þ Ò Ô ÖÔÓÛ ÖÞ Ò Ô ÖÔÓÛ ÖÞ Ò Ø ÒØÖÓÔ º Æ Ø Ö Ø ÒÝ Ò Ð Ò ÛÝ ÓÛ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ø ÒØÖÓÔ ÑÓ Ò Ó Ò Û ÔÖÓ Ø ÖÑ Þ¹ ÒÝ Ò Ó ÛÖ ÐÒÝ ÐÙ Ò ÕÙ Ø ØÝÞÒÝ Ð Û ÞÝ Ø ÓÒ ÑÙ Þ Ð ÔÓ Ø Ñ ØÖÓÒ Ø Ô ÖÔÓÛ ÖÞ Ò º ÈÖÞ Þ ÛÝ Ö ÞÒ Ù ÒØÖÓÔ ÑÓ Ò ÛØ Ý ÔÖ Û ØÓ ÔÙÒ ØÝ Û Ø ÖÝ Û ÖØÓ ÒØÖÓÔ Ø ÛÝ Þ º ÈÖÓ Ð Ñ ÈÖÓ Ø Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÞÒ ÐÙ ØÖ ÞÝÒÒ Ù Óµ ÓÖÑ Ô Q = du + p dv ÔÖÞÝ Ø Ð Þ ÑÓÐ µ Û ÔÖÞÝÔ Ù ÞÙ Ó Ö ÛÒ Ò Ù Ø ÒÙ pv = nrt Ø ÝÑ ÔÐ Û ÛÝÑ c v Ñ Û ÞÑ ÒÒÝ (T,V ÔÓ Ø Q = nc v dt +pdv = nc v dt + nrt V dv Æ Ø ÓÒ Ö Ò Þ ÞÙÔ Ò Ó (nc v / V = 0 p/ = nr/v µ Ð ÓÖÑ Û Û ÛÝÑ Ö Ñ ÞÝÒÒ Ù Ýº Â Ð Û õñ ÑÝ λ = 1/T ØÓ ÓÖÑ Q/T Ù Þ Ö Ò Þ ÞÙÔ Ò ÙÒ S(T,V ÒÓ Û ÑÝ ÓÞÝÛ ØÓ ÒØÖÓÔ µ Ñ ØÓ ÓÛ Ò Ó (V 0,T 0 Ó (V,Tº S = nc v ln(t/t 0 +nrln(v/v 0, ÈÖÓ Ð Ñ ÅÒ ØÖÝÛ ÐÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÞÒ ÐÙ ØÖ ÞÝÒÒ Ù Óµ ÝÐ Ò Ö Þ Ñ Ò ØÝ Þ Ó Ù Ó Û ÖÙ ÓÑÝÑ Ø Ó Ñ Ø ÔÖÞ Þ ÐÓÒÝ Ò Û Þ ÖÙ ÓÑ Ø ÖÑ ÞÒ ÔÖÞ ÖÓ º Ï Ó Ð Û Þ ÞÒ Ù n 1 ÑÓÐ ÞÙ Ó Ó¹ Ò Ó Ó Ø ÝÑ ÑÓÐÓÛÝѵ ÔÐ Û ÛÝÑ c (1 v Û ÔÖ Û Þ n 2 ÑÓÐ ÒÒ Ó ÞÙ Ó ÓÒ Ó Ó ÔÐ c (2 v º Ã Ý Þ ØÝ Þ Û Þ Ó Ó Ò ÔÓÞÓ Ø Û Ö ÛÒÓÛ Þ º ÃÓÒ¹ Ø Ø Ñ ÞÝ Ò Ñ Ø ÛÝ ÞÒ Ñ Ò ÞÒÝ Þ ÔÓ Ö Ò ØÛ Ñ ÖÙ ÓÑ ÔÖÞ ÖÓ Ýµº ËÔÖ Û Þ ÞÝ ÓÖÑ Ô Ø Ó Ù Ù dq = du 1 + p 1 dv 1 + du 2 + p 2 dv 2 Ñ ÞÝÒÒ Ù Ý Û ÒØÙ ÐÒ ÞÒ Ð õ º ÊÓÞÛ Þ Ò Æ Ô ÖÛ Ù Ø Ð ÑÝ Ù Ñ ØÖÞÝ ØÓÔÒ ÛÓ Ó Ý ÔÓÒ Û ÔÖÞ ¹ ÖÓ Ø ÖÙ ÓÑ Ò Ò Ó Ù Þ Û ÑÙ Þ Ý Ò ÓÛ º ØÖÞÝ Ò Þ Ð Ò ÞÑ ÒÒ ¾

ÑÓ Ò Û ÔÖÞÝ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ Þ Û T 1 T 2 ÓÖ Þ Û Ô ÐÒ Ò Ò pº ÃÓÖÞÝ Ø Þ Ö ÛÒ Ø ÒÙ Ó Þ Þ Û Ý ÛÝÖ Þ V i ÔÖÞ Þ p T i ÔÖÓÛ Þ ÑÝ ÓÖÑ Ô Ó dq = n 1 (c (1 v +RdT 1 +n 2 (c (2 v +RdT 2 R n 1T 1 +n 2 T 2 dp p Ò Û Ø ÓÞÝÛ Ø Ò Ø ØÓ Ö Ò Þ ÞÙÔ Ò ÔÓ Ó Ò Ñ Þ Ò Ò Ö ÛÒ µº Ì Ö Þ Ò Ð Ý Þ ØÓ ÓÛ ÔÓ Ò ÖÝØ Ö ÙÑ ØÒ Ò ÞÝÒÒ Ù Óº ÈÓÒ Û ÞÑ ÒÒ ØÖÞÝ ÑÓ Ò ÞÖÓ ØÓ Ñ ØÓ ÛÝÞÒ ÞÒ ÓÛ Ô Ñ Ø ÑÝ ÔÓ Ó Ò Û ÛÝÞÒ ÞÒ Ù Þ ØÝÐ Ó Ò ÓÐÒÝ ÖÞ µ n 1 (c (1 v +R n 2 (c (2 v +R R(n 1 T 1 +n 2 T 2 /p / 1 / 2 / p n 1 (c (1 v +R n 2 (c (2 v +R R(n 1 T 1 +n 2 T 2 /p ( = n 1 (c (1 v +R n ( 2R n 2 (c (2 v +R n 1R p p Ï ¹ Ý ØÓ Ò ÛÝ Û Ó Þ ÛÒ ¹ ÞÝÒÒ Ù Ý ØÒ ØÝÐ Ó Ý ÞÝ Ñ Ø Ñ Ô Û Û º Á ÒÓÖÙ Ò Ö Þ Ø Ò Þ ÛÒÝ Ø Û Ó Ù Ð Þ Ó Ý Ò ÑÓ Ò Ý Ó ÛÔÙ Ó ÛÙ Þ ÝÐ Ò Ö ÛÙ Ö ÒÝ Þ Û ¹ ÔÖÞ ØÓØ Ñ Ø Ñ ØÝ ¾ÌÅ Ä Ø ØÓ ÓÖÑ Ô Ó Ù Ù Ñ ÞÝÒÒÒ Ù Ý µ ÞÒ õñý ÞÝÒÒ Ù Ý ÙÒ S Û ÔÖÞÝÔ Ù Ý c (1 v = c (2 v = c v º ÓÖÑ Ô Ñ ÛØ Ý ÔÓ Ø dq = (c v +R(n 1 dt 1 +n 2 dt 2 R n 1T 1 +n 2 T 2 p ÞÙ ÒÝ ÖÞÙØ Ó Ù ÛÒ Ò ØÝ Ñ Ø Ð Ý ÔÓ Þ Ð dq ÔÖÞ Þ n 1 T 1 +n 2 T 2 ØÓ ÒÓÛ ÓÖÑ Þ ÙÑ ÛÙ Û Û Þ Ð ÒÝ Ò ØÝÐ Ó Ó p ÖÙ ØÝÐ Ó Ó n 1 T 1 + n 2 T 2 º Ð ÔÓÖÞ Ù Ý ÓØÖÞÝÑ Ò ÙÒ S Ý Ø Ò ÝÛÒ ØÞÒº Ý ÐÓÛ Þ ÓÛ Ø Ð Þ ÑÓÐ Û Þ Ø º Ù Ù Û õñý λ = (n 1 + n 2 /(n 1 T 1 + n 2 T 2 º ÇØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÛØ Ý dp S(T 1,T 2,p = (n 1 +n 2 [(c v +Rln(n 1 T 1 +n 2 T 2 R lnp]+const Þ ÛÒÝ ÛÝÑ Ý Ô Û Û Ó Ù Þ Û Ý Ý Ò ÓÛ ÖÞ ØÙ Þ Ô ÛÒ µ Ø Ø ØÓ Ô ÛÒ Û Ö Ó Û ÓÒ Ó ÔÖÓ Ð ÑÙ Ø Ó Ø ÖÑ ÞÒ Óº Í Ø Ø Ó ØÝÐ Þ ÛÒÝ Û ÖÙÒ Ý Ó ÒØÖÓÔ ÔÖÞÝ ÑÓÛ Û ÖØÓ Ñ ÝÑ ÐÒ Ò ÛÝÞÒ Þ Ø ÒÙ ÛÞ ÑÒ Ö ÛÒÓÛ ÛÙ Þ Û Ù ÖÞ ÞÝÛ ØÝ ÓÛ Þ Ñ Ó Ó Þ Ó Ö ÛÒÓÛ Ð Û ÖØÓ ÔÖÞÝ Ñ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ Þ Û Þ Ð Ý Ó Ø Ö Ø Ó Ð Ô¹ Ó Þ Û ØÔº Ý Ø Ó ÔÖÞ Ø Ö ÑÙ Ý Ø Ö Ð Ô Ó ÒÒÝÑ ÓÛÝ ÑÙ ØÓ Ý Ù ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Ò Ø ÓÖ ØÝÞÒÝ ÓÒ ØÖÙ Ø ¹ Þ Ó ÓÒ Ý ÐÒ ÔÖÞ ¹ ÖÓ ÔÓÖÙ Þ Þ ÓÔÓÖÙµº Ë Ñ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ö ÛÒÓÛ ÓÛ Ò ÛÝÞÒ Þ ØÙ Ø ÒÙ Ö ÛÒÓÛ ØÝÑ ÑÝÑ Ó ÓÛ ÒØÖÓÔ ÖÙ Þ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ø ÔÖÞ ÓÒ ÑÝ Þ ÞÝÞÒ Ò Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ ÓÖÑÝ Ô Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ ¾

ÓÒ ØÖÙÓÛ ÒÝ Ù Û ÑÓ Ò Ñ ÞÝÒÒ Ù Ó ¾ÌÅ Ä ÓÖÞ ØÝÐ Ó ÓÖÑÝ Ô ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Ù Û ÞÝÞÒÝ ÑÙ Þ Ø ÞÝÒÒ Ñ µº Ð Ø Ó ØÙ ØÖ ØÙ ÑÝ Ø Ò ÔÖÞÝ ØÝÐ Ó Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ Û Þ Ò º ¾

ÈÖÓ Ð Ñ ÁÐÙ ØÖ Ø Ó Ô Ó ØÓ ½¼ Ø ÔÖ Ý µ Ç Ø ÒÙ ½ Ó Ó ØÓ V p Ò Ò Ù p p Þ Ó ÛÖ ÐÒ Ø ÖÑ ÞÒ ÖÓÞÔÖ Ý Ó Ó ØÓ V k Ò Ò Ù p k Ø Ò ¾µ ÔÖÞ Ó Þ ÔÓ ÖÓ Þ ÔÖÞ Þ Ø Ò Û Ø pv γ = ÓÒ Øº Þ ÛÝ Ò Ñ γ > 1º Æ ØÔÒ ÞÓ Ø ÓÒ ÞÓ ÖÝÞÒ Ó ÛÖ ¹ ÐÒ ÔÖ ÓÒÝ Ó Ó ØÓ V p º Ø Ò µº Ç Ø ÒÙ Ó Ø ÒÙ Ó Ò Ò Ù p p Þ ÞÓ¹ Ø Ò ÓÒ ÓÔÖÓÛ ÞÓÒÝ ÔÖÞ Þ Þ Ñ Ò Ó Û Ó ÓÒ Ø ÖÑ ÞÒ ÛÝ ÓÒ Ò Ò Ò Ñ ÞÓ ÓÖÝÞÒ Þ ÔÓÑÓ Ñ Þ ÂÓÙÐ ³ ÐÙ ÔÖÞ Þ Û Þ Ò Ó ÓÔÓÖÒ ÔÖÞ ÔÙ ÞÞ Ò ÔÖÞ Þ ÔÖ Ùµ ÔÖ Ý W ÞÑ ÖÞÓÒ ÞÒ Ò µº ÁÐ Ô ÔÓ Ö Þ Û Ô ÖÛ ÞÝ ÛÙ ÔÖÓ ÞÝ Ý Ý Þ Ò Ô ÖÛ ÞÓ Ø Ó ÛÖ ÐÒ ÞÓ ÖÝÞÒ ÖÓÞÔÖ ÓÒÝ Ó Ó ØÓ V k ÔÖÞÝ Ø ÝÑ Ò Ò Ù p p ÑÓ Ò Ý Ó Ý Ó ÔÖÞ ÔÖÓÛ Þ Ó Ø ÒÙ 2 ÔÖÞ Þ ÛÝ ÓÒ Ò Ò Ò Ñ ÔÖ Ý Û Û ÖÙÒ Û Ø ÖÝ Þ Ø Ó ÓÒ ØÝ Ø ÖÑ ÞÒ µ ÊÓÞÛ Þ Ò ÈÖÞÝ Ó ÛÖ ÐÒÝÑ Ø ÖÑ ÞÒÝÑ Û ÞÝ Ý Û Þ Ó Þ ¹ ØÝÞÒ µ ÖÓÞÔÖ Ò Ù Ò Þ Ñ Ø ÛÝ ÓÒ Ò ÔÖ ÓÞÝÛ p p Vp γ = p k V γ Vk Vk W 1 2 = p(vdv = p p Vp γ dv V p V p V = p pv p γ γ 1 [ (Vp γ 1 1] V k k µ = 1 γ 1 (p kv k p p V p Â Ð Þ Ô Ò Ö ÛÒ Ò Ø ÒÙ pv = nrt ØÓ W 1 2 = (T k T p nr/(γ 1º  РÞÞ γ = c p /c v ØÓ W 1 2 = nc v (T k T p Ó c p c v = Rº ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø Ó Ø Ø Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ Ø Ó ÞÙ Þ Ð Ý ØÝÐ Ó Ó T Û ÔÖÞÝ Ó ÛÖ ÐÒÝÑ ÖÓÞÔÖ Ò Ù Ø ÖÑ ÞÒÝÑ Ø º Þ ÛÝÑ ÒÝ Ô ÔÖ ÛÝ ÓÒ Ò Ò Þ Ñ ÑÙ ÙØ ÓÛ ÞÑ Ò Ó Ò Ö Û T Ð Ø Ø pv γ = ÓÒ Øº ØÓ c v ÑÙ Ó Ý Ø U Þ Ð Ý Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ Ð Ò ÓÛÓµº Ï ÖÙ Ñ ÔÖÓ Þ Ø ÔÖ ÒÝ ÞÓ ÖÝÞÒ ÛÝ ÓÒ Ò Ò Ò Ñ ÔÖ W 2 A Ø Ö ÛÒ Vp W 2 A = pdv = p k (V k V p V k ÈÓÒ Û Ò ÓÒ ÔÓ ÛÝ ÓÒ Ò Ù Ò Ò Ñ ÞÞ ÔÖ Ý W Þ ÛÖ Ó Ø ÒÙ ÔÓÞ Ø ÓÛ Ó ½ Û U 1 +W 1 2 +W 2 A +Q+W = U 1 ËØ Q = W 1 2 W 2 A W = W 1 2 W 2 A W º Â Ø ØÓ ÓÞÝÛ Ô Ó ÔÓ Ö Ò ÔÖÞ Þ Þ Û ÖÙ Ñ ÔÖÓ Ó Ò ÖÓ Þ Ó ½ Ó ¾ Û ØÖÞ Ñ ÖÓ Ù Ø ÓÒ Ó ÓÒ ØÝ Ø ÖÑ ÞÒ º ÇÞÝÛ Ý Ý Þ ÞÓ Ø Ò Ô ÖÛ ÖÓÞÔÖ ÓÒÝ ÔÖÞÝ Ø ÝÑ Ò Ò Ùp p Ó Ó ØÓ V k Ø Ò µ ØÓ Ó Ø ÒÙ ¾ Ò ÑÓ Ò Ý Ó Ò ÖÓ Þ Ø ÖÑ ÞÒ Ó Û Ø Ò Ñ ÓÒ ÛÝ Þ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ØÝÑ ÑÝÑ ¹ ÔÖÞÝ Ø Ñ Ó ØÓ ¹ ÛÝ Þ ÒØÖÓÔ Ò Û Ø Ò ¾ Ð Ø Ó ÞÞ Ò Û ÑÝ Û ÑÝ Þ Ñ Ø Ñ ÛÝ Þ Ò Ö Ò Û ¾ ½¼ Ï ÓÞÝÛ Ø Ò ÐÓ Ó ØÞÛº ØÙ Ñ Ý Û ÞÝ ÖÓÛ º ¾

ØÝÐ Ó ÞÙ ÑÝ ¹ ÒØÙ ÞÝÞÒ ¹ ØÓ Ò ÛÝ ÓÒ ÐÒ Ó Ò Þ Ñ ÑÓ Ò ÛÝ ÓÒ ØÝÐ Ó Ó ØÒ Ò Ó ØÓ ÓÛ ÔÖ µº ÈÖÓ Ð Ñ Ã½ºÁº ¾µ ÍÞ Ò ÛÞ Ö c x = ( u + v [( ]( u v +p, v T x Ò ÑÓÐÓÛ µ Ô Ó Û Û Û ÔÖÞ Ñ Ò ÕÙ Ø ØÝÞÒ Û Ø Ö Ø ÔÓÞÓ Ø Û Ð¹ Ó x ÒÔº x = pv 2 ÞÝ Ó ÔÓ Ó Ò Óµ Ù Ù Ø Ö Ó Ø Ò Ö ÛÒÓÛ Û Ô Ò Ö Ø ÖÝÞÓÛ Û Ñ ÓÔÖ Þ Ò ÞÑ ÒÒÝ ØÙ Ð Þ ÑÓÐÓÛ Ó Ò Ûµ Û Ð Ó Ñ ÒÔº T v ÞÝÐ ØÞÛº Ù Ù ÔÖÓ Ø Óµº ÊÓÞÛ Þ Ò Ô Ó Û Û c x Ø Û Ô ÞÝÒÒ Ñ ÔÖÞÝ dt Û Ö Ò Þ ÓÛ ÓÖÑ Ô dq ÞÖÞÙØÓÛ Ò Ò ÖÞÝÛ x = ÓÒ Øº Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÖÓÞÔ ØÖÝÛ Ò Ó Ù Ù Ò Ø ÖÝÑ ÝÒ Ó ÛÖ ÐÒ ÔÖ ÑÓ Ò ÛÝ ÓÒ Û Þ ÞÑ Ò Ó Ó ØÓ µ Ñ Ö Ò Þ ÓÛ ÓÖÑ Ô Ø Þ Ó Ò Þ ½ÌÅ Ä Ò ÔÖÞÝ Ö Ø ÖÝÞÓÛ Ò Ù Ù Ù ÞÑ ÒÒÝÑ T vµ ÔÖÞ Þ ÛÝÖ Ò dq = du(t,v + p(t,vdvº  РÖÞÝÛ Ò Ø Ö x = ÓÒ Ø Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ø Ò Û (T,v Ô Ö Ñ ØÖÝÞÙ ÑÝ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T ØÓ v Ø ÙÒ T v = v(t dq = du(t, v(t+p(t, v(tdv(t = {( u + v [( ]( } u v +p dt, v T x ÔÖÞÝ ÞÝÑ Ó Ø ØÒ ÔÓ Ó Ò ÓÞÒ ÞÓÒ ( v/ x Ø Û Ò ÔÓ Ó Ò Ó ØÓ v ÛÝÖ ÓÒ ÔÖÞ Þ T Û Ø ÔÓ Ý Û Ð Ó x ÔÓÞÓ Ø Û Ø Û Û Ò Ð Ó Ý Þ Ô Ó dv(t/dt º Í ÝØÝ Þ Ô Ñ Ò Û Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ø Ò Ö ÓÛÝ Ò Ð x = x(t,v ØÓ Û ÖÙÒ Ø Ó x ÓÖ ÐÙ ÔÖÞÝÖÓ ØÝ Ö Ò Þ µ dv dt Ø dv = (/ v (/ v T dt ( v Æ Ñ Ö Ò Þ ÙÛ ÑÝ ÖÓ Ò Ø Ö x = ÓÒ Ø Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ø Ò Û ÑÓ Ò Ý Ô Ö Ñ ØÖÝÞÓÛ ÓÛÓÐÒ ÒÔº Ñ Ô Ö Ñ ØÖ Ñ ξ v = v(ξ T = T(ξº ÓÖÑ dq Ò ÖÞÝÛ Ø Ó x ÔÖÞÝ Ö Ý ÛØ Ý ÔÓ Ø dq = {( u v dt dξ + [( u v T x dt ] } dv +p dξ c x (ξdξ dξ Ì Ô Ö Ñ ØÖÝÞ ÓÖÑÝ Ô dq ÔÓÞÛ Ð Þ ØÓ ÓÛ Ø Ó ÔÖÓ Û Û Ø ÖÝ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÔÓÞÓ Ø Ø T = ÓÒ Øº ÒÔº Û Ý ÐÙ ÖÒÓØ Ù Ø Ò ÖÓ ÓÞ ¹ Ò ¹ Þ Þ Ó Ò ÓÒ ÞÒ Ó ÓÒ Ý ¹ ÖÓÞÔÖ ÞÓØ ÖÑ ÞÒ Ó ÛÖ ÐÒ Ó ÑÓÐÓÛ Ó ØÓ v 1 Ó v 2 ÛÝ ÓÒÙ ÔÖ Ð Ø ÔÓ Ö Ô Ó ÔÓÛ ÒÒÓ Ý ÑÓ Ð Û Ó Ð Þ Ò Ø Ó Ô ÔÖÞ Þ ÓÛ Ò ÓÖÑÝ dq Ó v 1 Ó v 2 ÔÖÞÝ Ô Ö Ñ ØÖÝÞÓÛ Ò Ù ÖÞÝÛ ÑÓÐÓÛ Ó ØÓ v ÞÙµº Þ ÓÒ Þ dt/dξ Ø ÛØ Ý Ö ÛÒÝ Þ ÖÓ Ð ÑÓ ÑÝ ¼

Ñ Û Ó ÔÐ dq ÔÓ Ö ÒÝÑ ÔÖÞÝ ÒÓ Ø ÓÛ ÞÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖÙ ξ Ø ÖÝ Û ÔÖÞݹ ØÓÞÓÒÝÑ ÔÖÞÝ Þ ÞÓØ ÖÑ ÞÒ Ó ÖÓÞÔÖ Ò ÞÙ ÑÓ Ñ Ò ÒÔº Ó ØÓ Ø Þ Ò ÓÛ Ò Ô Ó ÑÓ Ò Ò ÞÛ Ô Ñ Ù ÖÝØÝÑ Ò º Ð Ø ÒØ Øµ Ó Ø ÔÖÞÝ ÔÖÞ Ñ Ò ÞÓÛ Ô ÖÛ Þ Ó ÖÓ Þ Ù Ó ÔÓ Ö Ò Ò ÔÓÛÓ Ù ÞÑ Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖݺ Â Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T Ò ÔÓÞÓ Ø Ø ØÓ ÔÖÞÝ Ô Ö Ñ ØÖÝÞ ÖÞÝÛ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ø Ò Û Ô Ö Ñ ØÖ Ñ ξ ØÓ Ó ØÖ ÝÝ Ò ÞÛ ÑÓÐÓÛÝѵ Ô Ñ Û ÛÝÑ ½½ c x Ó ÙÒ T Ý Ý Ó ÛØ Ý Ò ÛÞÓÖ Ñ c x (ξdξ/dt º  ÞÞ ÙÓ ÐÒ Ô Ø ØÖ Ý Ò ÝÛ Ð Ù Ò Ø ÔÖÓ ØÝ ¹ Ö Ø ÖÝÞÓÛ Ò Ó Ø ÒÙ Ö ÛÒÓÛ ÛÝÑ ÔÓ Ò Û ÖØÓ r Ô Ö Ñ ØÖ Û x 1,,x r ØÞÒº Ý ÓÖÑ dq Ñ Ó ÐÒ ÔÓ Ø dq = du(x 1,,x r r X j (x 1,,x r dx j, j=1 Û Ø Ö Ý Þ Þ ÓÒ Û X j dx j Ó ÔÓÛ ÑÙ ÖÓ Þ ÓÛ ÔÖ Ý ÑÓ Ò Ò Ù Ñ ÛÝ ÓÒ Ó ÛÖ ÐÒ ÑÓ ÑÝ Þ Û Þ ÞÖÞÙØÓÛ Ò ÖÞÝÛ x i = x i (ξ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ø Ò Û Ù Ù Ô Ö Ñ ØÖÝÞÓÛ Ò Û Ð Ó ξ Ø Ö ÑÓ Ý Ò Þ Û Ð Ó x i Ð ÙÖ Ø Ò Ø ÓÒ ÛÞ Ù Ø ÖÓ Ø µ dq = [ r ( U j=1 j x j X j (x 1,,x r ] dx j dξ dξ, ÔÓ Ó Ò ÓÞÒ ÞÓÒ ÔÖÞÝÔ Ñ x j ÓÞÒ Þ ÔÓ Ó Ò Ö Ò ÔÖÞÝ Ø Ý Û ÞÝ Ø x¹ ÒÒÝ Ò x j µ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ø Ø ÛÞ Ù ÖÓ Ó ÓÛ Ø ÑÙ ÔÖÓ ÓÛ Ô Ó Û Û Ø Ò Û Ô ÞÝÒÒ Ñ ÔÖÞÝ dξ Û ÔÓÛÝ ÞÝÑ ÛÞÓÖÞ ÔÓ¹ ÑÒÓ ÓÒÝÑ ÔÖÞ Þ dξ/dt º ÈÖÓ Ð Ñ Ã½ºÁº µ Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ ÞÙ Þ Ð Ý ØÝÐ Ó Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ T Ò Ó T Ó ØÓ V ¹ Ø Û ØÓ Þ Ó ÓÒ Ýµ Ò Ô Ö ÛÒ Ò ÛÝÞÒ Þ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ó Ø Ò Û ÔÙÒ Ø Û ÔÖÞ Þ Ø Ö ÔÖÞ Ó Þ ÓÒ Û Ó ÛÖ ÐÒÝÑ ÔÖÓ Ø Ö¹ Ñ ÞÒÝѺ ½¾ ÈÖÞÝ ÑÙ ÑÝ ÔÖÞÝ ØÝÑ ÑÓÐÓÛ Ô Ó Û Û c v Ø Ó ÞÙ Ò Þ Ð Ý ½ Ò Ó T Ò Ó vº Ç Ð ÞÝ Ø ÔÖ W ÛÝ ÓÒ Ò ÔÖÞ Þ Þ Û Ø Ñ ÔÖÓ ÔÖÞÝ ÔÖÞ Ù Ó V 1 p 1 Ó V 2 º ½½ Û Û Ý Ý Ô ÒØÝÞÒÝÑ ÑÓÐÓÛ ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ Ó Ô Ñ Û ÛÝÑ ÞÛÝ Ð ÞÛ ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ ÒÓ Ø ÓÛ Ñ Ýº ½¾ Ó Þ Ó ØÓ Ó ÞÛÝ Ð ÞÛ Ø ÞÝÐ Þ ÒØÖÓÔ ¹ Ð Ò Ø ÒØÖÓÔ Ð Ò ØÝÑ Ø Ô Ò Ø ÖÝÑ ÔÐÓ ØÙ ÑÝ ¼ ½ÌÅ Ä ÞÞ Ò ÛÔÖÓÛ Þ ÑÝ ÒØÖÓÔ Ò ÞÛ Ø Þ ÓÛÙ ÑÝ ÑÓ ØÖÓ Ò ØÝÔÓÛÓ Ð ÔÓÖ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ø Ò Ò Ø ÖÑ ÒÓÐÓ ÞÒݵ Û Ò ØÝÐ Ó Ð Ð Ò Ø ÒØÖÓÔ º ½ Æ Þ Ð ÒÓ Ó T Ø ÞÛÝ Ð ÔÖÞÝ ÑÓÛ Ò Ó Ò Ó ÞÒ ÞÙ Ó ÓÒ Óº Â Ò Ø Ò ÑÙ Ý ÑÓ Ò ÖÓÞÔ ØÖÝÛ Þ Ó Ö ÛÒ Ò Ù Ø ÒÙ pv = nrt Ñ Ý ÑÓÐÓÛ Ô Ó Û Û c v ÙÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ T ØÝÐ Ó Ò Þ Ð ÒÓ c v Ó Ó ØÓ v ÛÝÒ Û ÔÓ ÓÒ ÞÒÝ Þ Ø Ó Ö ÛÒ Ò Ø ÒÙ Ð Ø Ó Þ ¾ÌÅ Ä Ò ÙÑ ÑÝ ÞÞ ÛÝ Þ Û ÑÙ ÑÝ ØÓ ØÙ ÔÖÞÝ Ó Þ Ó Ò º ½

ÊÓÞÛ Þ Ò Ï Ó ÛÖ ÐÒÝÑ ÔÖÓ Ø ÖÑ ÞÒÝÑ Þ ÔÖÞ Ó Þ ÔÖÞ Þ Ø Ø Ò Û Ö ÛÒÓÛ ÓÛÝ ÓÖÑ Ô dq = du+pdv ÞÖÞÙØÓÛ Ò Ò ØÛÓÖÞÓÒ ÔÖÞ Þ Ø Ø ÒÝ ÖÓ ÞÒ º È Ö Ñ ØÖÝÞÙ ÔÖÞ ØÖÞ Ø Ò Û ÞÑ ÒÒÝÑ T V ÑÓ ÑÝ Ø ÓÖÑ Þ Ô Û Ó ÐÒÓ Ó ( [( ] U U dq = du(t,v+p(t,vdv = dt + +p dv, V V T Ó ÔÓÞÛ Ð ÙØÓ Ñ Û Ô ÞÝÒÒ ÔÖÞÝ dt Þ C V = nc v Ó Ò Ð Ò Ó ÔÓÛ Ý ÔÖÓ ÓÑ ÞÓ ÓÖÝÞÒÝÑ V = ÓÒ Øº n = ÓÒ Øºµ ÓÖÑ Ô Ñ Û Ó ÐÒÓ µ ÔÓ Ø dq = C V (T,V,ndT º Ï ÖÓÞÔ ØÖÝÛ ÒÝÑ ØÙ Þ ÔÖÓ Ø ÖÑ ÞÒÝÑ ÓÖÑ dq = 0 Ö ÛÒ Ò Ñ ÛÝÞÒ Þ ÝÑ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ø Ò Û Ð Ò Ó ÔÓÛ Ø Ñ ÔÖÓ ÓÑ Ø Ö ÛÒ Ò Ö Ò Þ ÓÛ ½ ( U V dt + [( U V T ] [( ] U +p dv C V (T,VdT + +p dv = 0, V T Ï Ó ÐÒÓ Ò Û Ø ÔÖÞÝ Þ ÒÝÑ Ó Ë Ö ÛÒ Ò Ù Ø ÒÙµ Ò ÓØÖÞÝÑ ÛÒ ÔÓ Ø Ø Ó Ö ÛÒ Ò Þ ¾ÌÅ Ä Ó Ò ÞÒ Ò Ø ÔÓ Ø ÔÓ Ó Ò U ÔÓV Þ Ð ÒÓ C V Ó V µº Ð ÒÓ Ø C V Ó V µ ÓÔ ÖÓ ¾ÌŠĺ ÌÙ Ò Û ÑÝ Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ Ò Þ Ð Ý Ó V C V Ø Ø ÑÓ Ò Ò Ô ÛÒ Ö ÛÒ Ò ( C V dt +p(t,vdv n c v dt + RT V dv = 0, Ø Ö Ó ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ ÖÞÝÛ γ c p /c v Ô Ñ Ø ÑÝ Ð Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ ÞÙ Ó Ö ÛÒ Ò Ù Ø ÒÙ pv = RT Ò Þ Ð Ý Ó V ØÓ ÑÓ Ò Ò ÔÓ Ø Û ½ÌÅ Ä ÔÓ Þ c p c v = Rµ T V R/cv T V γ 1 = const ÈÖÞÝ ÔÓÑÓÝ Ö ÛÒ Ò Ø ÒÙ ÑÓ Ò Ø Þ Ô Û Þ ÓÐÒ ÔÓ Ø pv γ = const ÈÖ W ÛÝ ÓÒ Ò ÔÖÞ Þ Þ Ø Ò ÓÞÝÛ p 1 V γ 1 = p 2V γ W = V2 dv p(t,v = p 1 V γ 1 V 1 = 1 1 γ V2 ( p2 V γ 2 V 1 γ 2 p 1 V γ 1 V 1 γ 1 γ 1 dv V γ = p 1V V 1 1 γ 2 µ ( V 1 γ 2 V 1 γ 1 = 1 γ 1 (p 1V 1 p 2 V 2 ÈÓÒ Û pv = nrt nr/(γ 1 = C V ÔÖ Ø Ø Ö ÛÒ ÔÓ ÔÖÓ ØÙ W = C V (T 1 T 2 º ÅÙ Ø Ý Ó Û Û Þ Ð Ñ ÔÖÓ Ø ÖÑ ÞÒÝÑ Ò Û Ø Ò ÕÙ Ø ØÝÞÒÝѵ W = U 1 U 2 ØÙ Ò Ö U Þ Ð Ý ØÝÐ Ó Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ Ð Ò ÓÛÓ Ó C V Ø Ø µº ½ Û Þ Ò Å ØÑ ÁÁ Ò ÙÞ Ñ ØÓ Û Ò Ø Ò Û Û ÞÝ ÔÓ Ô Ò Ö ÛÒ Ò Ö Ò Þ Ó¹ Û Ó Ó ÞÝÒ ÓÒ ÛÒÝÑ ØÓ Ö ÛÒ Ò Ö Ò Þ ÓÛ ÛÝÞÒ Þ Ò Ô ÞÞÝõÒ ÖÓ Þ Ò ÖÞÝÛÝ Ò ÙÒ º ¾