Klasyczny efekt Halla Rysunek pochodzi z artykułu pt. W dwuwymiarowym świecie elektronów, autor: Tadeusz Figielski, Wiedza i Życie, nr 4, 1999 r. Pełny tekst artykułu dostępny na stronie http://archiwum.wiz.pl/1999/99044800.asp Odkryty w 1897 roku przez Edwina H. Halla (wówczas studenta). Opis jakościowy zjawiska W przewodniku z prądem umieszczonym w stałym polu magnetycznym powstaje napięcie elektryczne (róŝnica potencjałów) poprzeczne do prądu i pola magnetycznego. 1
Klasyczny efekt Halla w obrazkach Rysunek ze strony http://en.wikipedia.org/wiki/hall_effect Ilustracja efektu Halla dla różnych kierunków przepływu prądu elektrycznego i pola magnetycznego. Legenda: 1. Prąd elektronowy (strumień elektronów prąd niekonwencjonalny; przypomnienie: prąd konwencjonalny to na podstawie umowy prąd ładunków dodatnich) 2. Hallotron (czujnik Halla, element Halla) 3. Magnesy 4. Pole magnetyczne 5. Źródło zasilania 2
Na rysunku A hallotron pobiera ładunki ujemne (zaznaczone kolorem niebieskim na powierzchni hallotronu) przez prawy (na rys. górny) koniec i dodatnie (kolor czerwony na powierzchni hallotronu) przez lewy dolny (położony bliżej patrzącego na rys.). Pole magnetyczne (mowa o wektorze indukcji ) jest skierowane od bieguna północnego magnesu do południowego, czyli z lewej strony rysunku do prawej. W tym przypadku siła Lorentza odchyla ładunki ujemne w górę (górna część hallotronu ładuje się ujemne, co podkreśla na rysunku kolor niebieski), a dodatnie w dół (dolne fragmenty hallotronu ładują się dodatnio, co ilustruje na rysunku kolor czerwony). Powstaje pole elektryczne, którego wektor natężenia jest skierowany w górę. Pole elektryczne zgodnie z umową jest polem źródłowy, którego linie zaczynają się na ładunkach dodatnich, a kończą się na ujemnych. Na rysunku B prąd płynie w kierunku przeciwnym do przedstawionego na rys. A, tj. ładunki dodatnie wpływają do hallotronu przez jego górny prawy koniec, a ujemne przez lewy dolny, tj bliższy patrzącemu na rysunek. Pole magnetyczne (mowa o wektorze indukcji ) skierowane jest jak na rys. A odchyla dodatnie ładunki w górę (górna cześć hallotronu ładuje się dodatnio, co zaznaczono kolorem czerwonym na powierzchni hallotronu). Na ładunki ujemne pole magnetyczne działa siłą Lorentza skierowaną w dół (dolna część hallotronu ładuje się ujemnie, co zaznaczono kolorem niebieskim na powierzchni hallotronu). Powoduje to zmianę polaryzacji (napięcia Halla) w porównaniu z rys. A, tj. wektor natężenia pola elektrycznego Halla jest skierowany w dół. 3
Na rysunku C hallotron pobiera ładunki ujemne (zaznaczone kolorem niebieskim na powierzchni hallotronu) przez prawy górny koniec i dodatnie (kolor czerwony na powierzchni hallotronu) przez dolny lewy (położony bliżej patrzącego na rys.). Mamy więc sytuację z rys. A ale z przeciwnym zwrotem zewnętrznego pola magnetycznego (mowa o wektorze indukcji ). Teraz siła Lorentza odchyla ładunki ujemne w dół (dolna część hallotronu ładuje się ujemne, co podkreśla na powierzchni hallotronu kolor niebieski), a dodatnie w górę (górne fragmenty hallotronu ładują się dodatnio, co ilustruje na jego powierzchni kolor czerwony). Powstaje pole elektryczne, którego wektor natężenia jest skierowany w dół. Na rysunku D hallotron pobiera ładunki dodatnie przez prawy górny koniec i ujemne przez dolny lewy (położony bliżej patrzącego na rys.). Pole magnetyczne (mowa o wektorze indukcji ) jest skierowane od bieguna północnego magnesu do południowego, czyli z lewej strony rysunku do prawej. Tym samym zarówno zwrot przepływu prądu oraz wektora indukcji pola magnetycznego zostały odwrócone w stosunku sytuacji fizycznej przedstawionej na rys. A. Z tych względów siła Lorentza odchyla ładunki ujemne w górę (górna część hallotronu ładuje się ujemne, co podkreśla na rysunku kolor niebieski), a dodatnie w dół (dolne fragmenty hallotronu ładują się dodatnio, co ilustruje na rysunku kolor czerwony). Wektor natężenia pola elektryczne Halla jest skierowany w górę. 4
Prąd konwencjonalny (elektryczny) i prąd niekonwencjonalny (elektronowy) Prąd konwencjonalny został zdefiniowany historycznie (na wczesnych etapach rozwoju elektromagnetyzmu) jako przepływ dodatnio naładowanych ładunków elektrycznych. W rzeczywistości w metalach ładunki dodatnie są unieruchomione. Swobodnie w objętości metali mogą przemieszczać się elektrony ujemnie naładowane nośniki prądu. Z tego względu prąd elektronowy płynie w kierunku przeciwnym do kierunku przepływu prądu konwencjonalnego zwanego także prądem elektrycznym. Ilustruje to poniższy rysunek Kierunek przepływu prądu konwencjonalnego (prądu elektrycznego) Kierunek przepływu prądu niekonwencjonalnego (prądu elektronowego) + Prąd elektryczny (konwencjonalny) płynie od bieguna dodatniego + do bieguna ujemnego baterii. Prąd elektronowy (niekonwencjonalny) płynie w kierunku przeciwnym. Dodajmy, że w elektrolitach i plazmie prąd elektryczny jest wynikiem jednoczesnego przepływu dodatnich i ujemnych nośników prądu płynących w kierunkach przeciwnych. W przewodnikach jonowych nośnikami prądu mogą być protony. Natomiast w półprzewodnikach czystych (niedomieszkowanych, samoistnych) nośnikami prądu są elektrony lub dodatnio naładowane tzw. dziury. W półprzewodnikach domieszkowanych nośnikami prądu są elektrony i dziury. Oznacza to, że w tych materiałach prąd elektryczny płynie w obu kierunkach jednocześnie. 5
Interpretacja ilościowa Na podstawie anonimowego pliki dostępnego na stronie http://www.mif.pg.gda.pl/homepages/maria/pdf/fm_07_7.pdf Zauważmy, że t oznacza wysokość naszej próbki ( długość próbki metalu na kierunek OZ); w oznacza szerokość naszej próbki ( długość próbki metalu na kierunek OZ pola magnetycznego); L jest długością naszej próbki ( długość próbki metalu na kierunek OX, w którym płynie prąd elektryczny). 6
Warunki zewnętrzne: 0,0,, x, y 0, z 0. Elektrony gazu elektronów swobodnych poruszające się w metalach z prędkościami rzędu kilku procent prędkości światła ulegają średnio po czasie zderzeniom z innymi elektronami. W wyniku tego tuż po kolejnym zderzeniu, do chwili następnego zderzenia działa na niego średnia siła równa, gdzie człon jest średnią siłą działającą na elektron między zderzeniami (od momentu danego do następnego zderzenia; jak widać jest to pęd jaki otrzymuje w wyniku zderzenia odniesiony do średniego czasu miedzy zderzeniami); symbol oznacza masę efektywną nośnika prądu. Ostatnie równanie można przepisać w postaci. W stanie ustalonym (stacjonarnym) mamy: 0,0,, x, y 0, z 0 i 0 więc ze wzorów otrzymujemy 0, x x y x y, y x y x, z z 7
x x y, x x 0 x, składowa x-owa wektora gęstości prądu elektrycznego oraz x x x, y 0 y x y x x. Otrzymane formuły pozwalają teraz wyznaczyć stałą Halla x 1, która jest dodatnia (dla prądu dziurowego w półprzewodnikah) lub ujemna (dla prądu elektronowego) oraz gęstość płynącego prądu w próbce x x x y/. Jednostką stałej Halla w SI jest m 3 /C. Wybrane wartości stałej Halla prezentuje tabela. Nazwa materiału Stała Halla [m 3 /C] Li -1,7 10-11 Cu -5,4 10-11 Ag -9,0 10-11 Au -7,2 10-11 Al 10,2 10-11 Be 24,3 10-11 In 15,9 10-11 8
Napięcie Halla Z rysunku widać, że nasza próbka materiału ma na kierunek osi OY długość ; zauważmy, że na tym kierunku obserwowana jest różnica potencjałów H wywołana efektem Halla. Dlatego możemy napisać wzór y H, z którego otrzymujemy wartość napięcia Halla H y x x. 9
Zastosowania efektu Halla 1. Hallotrony (http://pl.wikipedia.org/wiki/hallotron); napięcie Halla, gdzie t oznacza wysokość naszej próbki ( długość metalu na kierunek OZ; patrz poprzedni rysunek układu), natomiast parametr jest czułością hallotronu, której typowe wartości wynoszą od 0,3 do 30 V/(A T)=wolt/(amper tesla). tesla). Znając, oraz można zmierzyć wektor indukcji magnetycznej. Animacja działania hallotronu patrz webstrona file:///e:/xlo/hall/grafika%20hall_sensor_tach.gif.htm Hallotrony służą do pomiaru: wielkości elektrycznych i magnetycznych: indukcji magnetycznej, natężenia prądu, mocy prądu, oporu oru elektrycznego; wielkości nieelektrycznych: kąta obrotu, prędkości kątowej (patrz wyżej; na części wirującej zamocowany jest magnes współpracujący z nieruchomym hallotronem), przemieszczenia, drgań mechanicznych, ciśnienia; kierunków geograficznych. Mają zastosowania w układach wykonujących operacje matematyczne i logiczne. Zastosowanie hallotronu umożliwiło budowę tanich silniczków prądu stałego np. do wentylatorków, używanych np. w PC. Silniczek taki jest silnikiem prądu przemiennego bez komutatora. Łatwo reguluje się jego obroty. Wirnik silnika jest magnesem, natomiast cewki stojana są zasilane poprzez układ elektroniczny. Hallotron wykrywa położenie magnesu i tak steruje załączaniem poszczególnych uzwojeń stojan, aby nadać wirnikowi ruch obrotowy. 10
2. Pomiar typu przewodnictwa określamy mierząc wielkości fizyczne po prawej stronie wzoru y x. 3. Koncentrację nośników prądu określamy na podstawie wzoru, który jest konsekwencją równości y x x, gdzie oznacza wysokość naszej próbki ( długość metalu na kierunek OZ). 4. Bezkontaktowy pomiar prądu elektrycznego prąd P płynący w przewodniku indukuje w obejmującej go obręczy pole magnetyczne. Strumień magnetyczny pola w obręczy oddziaływuje na hallotron umieszczony w jej szczelinie. Napięcie Halla jest wprost proporcjonalne do indukcji pola magnetycznego, której wartośc jest proporcjonalan do wartości natęzenia płynącego prądu P, co wynika z powyżej przytoczonego wzoru Zauważmy, że P.. Można w ten bezkontaktowy sposób zmierzyć prądy o natężeniach od kilku amperów do kilkudziesięciu tysięcy amperów! 11
Opracowano na podstawie materiałów dostępnych w Internecie. Wybrane adresy stron dotyczące klasycznego (ale nie tylko) efektu Halla 1. http://oen.dydaktyka.agh.edu.pl/dydaktyka/fizyka/c_fizyka_metali/13.htm 2. file:///e:/xlo/hall/grafika%20hall_sensor_tach.gif.htm 3. http://oen.dydaktyka.agh.edu.pl/dydaktyka/fizyka/a_fizyka/13_elektrodynamika/sld055.ht m 4. http://layer.uci.agh.edu.pl/labfiz/cwiczenia/cwiczenie13.html 5. http://wwwnt.if.pwr.wroc.pl/kwazar/mtk2/fizycy/110611/index.htm 6. http://we.pb.bialystok.pl/~ketim/ketim-md/ed_zu_1_pewn/przetw_hallotron.pdf 7. http://www.mif.pg.gda.pl/homepages/maria/pdf/fm_07_7.pdf 8. http://www.if.uj.edu.pl/pl/zinm/wyklady/ab/2004/plan.html 9. http://archiwum.wiz.pl/1999/99044800.asp Wrocław, 11 maja 2008 Włodzimierz Salejda 12