Politechnika Warszawska Wydział amochodów i Maszyn Roboczych Instytut Maszyn Roboczych Ciężkich Laboratorium Dźwignic Ćwiczenie D6 Obciążenia dźwignic: siły dynamiczne ruchów torowych Wyłącznie do użytku wewnętrznego Opracowanie: dr inż. Paweł Gomoliński Warszawa 013
1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z problematyką obciążeń dynamicznych dźwignic powodowanych pokonywaniem nierówności toru jezdnego. W trakcie jego realizacji przeprowadzona zostanie analiza zagadnienia od strony teoretycznej, z uwzględnieniem zaleceń norm branżowych, a następnie weryfikacja doświadczalną uzyskanych wartości poprzez pomiary przyspieszeń pionowych występujących podczas przejazdu suwnicy laboratoryjnej po specjalnie przygotowanym torze jezdnym.. Wprowadzenie Na konstrukcję nośną oraz mechanizmy urządzeń dźwignicowych oddziałują podczas ich pracy zarówno siły statyczne, wynikające z ciężaru ładunku i ciężaru elementów własnych, jak i zróżnicowane siły dynamiczne. W kierunku pionowym istotne znaczenie mają obciążenia dynamiczne powodowane pokonywaniem nierówności podłoża podczas przejazdu dźwignicy. ą one wynikiem kinematycznych wymuszeń pochodzących od kół jezdnych odwzorowujących niedoskonałości toru jezdnego. Ponieważ mechanizmy jezdne dźwignic z reguły pozbawione są elementów amortyzujących w postaci ogumienia czy podatnego zawieszenia, jedynym elementem częściowo kompensującym gwałtowny wzrost pionowego przyspieszenia pozostaje sprężystość układu cięgnowego oraz konstrukcji nośnej dźwignicy. Pokonywanie nierówności toru jezdnego przez dźwignicę sprowadza się w praktyce do następujących trzech sytuacji, z których dwie pierwsze są w sposób usystematyzowany ujęte w normach: przejazd przez próg torowiska (np. spoinę łączącą odcinki szyn przesuniętych względem siebie w płaszczyźnie pionowej), przejazd przez szczelinę (np. przerwę dylatacyjną pomiędzy odcinkami szyn połączonych śrubami), przejazd przez nierówność innego typu (zanieczyszczenia, przypadkowe małe przedmioty). W ramach ćwiczenia rozważony zostanie pierwszy z powyższych przypadków. Obiektem badań będzie zamontowana w Laboratorium Dźwignic suwnica bramowa. 3. Model dynamiczny suwnicy Przystępując do analizy zagadnienia od strony teoretycznej, należy zacząć od przyjęcia modelu suwnicy bramowej, pozwalającego uprościć obliczenia. Podobnie jak w przypadku sił dynamicznych związanych z podnoszeniem ładunku, również przy analizie obciążeń pionowych wynikających z ruchów torowych stosuje się uproszczony, jednomasowy model sprężysto-kinetyczny konstrukcji dźwignicy (rys. 1). M c Rys.1. Model dynamiczny dźwignicy (sprężysto-kinetyczny) --
W modelu tym masę i sztywność dźwignicy sprowadza się do wybranego punktu jej konstrukcji nośnej. Punktem tym może być np. środek geometryczny dźwigara suwnicy. ztywność c sprężyny w powyższym modelu można sprowadzić do sztywności poprzecznej dźwigara (uznając podatność słupów podporowych za pomijalnie małą w porównaniu ze sztywnością poprzeczną dźwigara). Zakładając liniowość charakterystyki sprężystości, sztywność poprzeczną dźwigara k D można wyznaczyć doświadczalnie na podstawie zależności: gdzie: P pionowa siła obciążająca dźwigar, f względne ugięcie dźwigara wywołane siłą P. P k D = (1) f Natomiast masa M w rozpatrywanym modelu jest sumą następujących mas, zredukowanych do jednego punktu: 1) masy zastępczej dźwigara m DZ, ) masy zastępczej wciągnika ze zbloczem i hakiem m WZ, 3) masy zastępczej ładunku m QZ. Ponieważ ze względów bezpieczeństwa obiektem badań jest suwnica bramowa nieobciążona ładunkiem, m QZ pomijamy w dalszych rozważaniach. Z kolei m WZ można przyjąć jako równe rzeczywistej masie wciągnika ze zbloczem i hakiem (m WZ = m W ). Pozostaje wobec tego kwestia wyznaczenia zredukowanej do jednego punktu masy zastępczej dźwigara m DZ. q = m D / l m DZ l Rys.. Masa zastępcza dźwigara zredukowana do jednego punktu Zredukowaną do punktu masę zastępczą dźwigara wyznacza się na zasadzie dynamicznego podobieństwa obu układów. W myśl tej zasady wymagana jest równość podstawowych częstości drgań swobodnych. Dźwigar suwnicy można przedstawić jako swobodnie podpartą w dwóch końcach sprężystą belkę o długości l i o równomiernie rozłożonej masie całkowitej m D (rys. ). Redukując ten układ do nieważkiego pręta obciążonego w połowie jego długości punktową masą m DZ, można wykazać następującą zależność [1]: m DZ 0,5m D () tąd parametry przedstawionego na rys.1 modelu dynamicznego suwnicy są następujące: M = 0,5m D + m W (3) c = k D (4) Wartości m D, m W oraz k D są parametrami suwnicy laboratoryjnej podanymi w załączniku 1. 4. Odwzorowanie oddziaływania nierówności toru jezdnego Drugim ważnym elementem rozważań analitycznych jest odpowiednie odwzorowanie oddziaływania profilu pokonywanej nierówności toru jezdnego. Wywołane przejazdem przez nierówność pionowe przemieszczenie koła można rozpatrywać jako wymuszenie kinematyczne, określane mianem funkcji nierówności (rys.3). -3-
v M c z(t) h h Rys.3. Przejazd koła przez próg torowiska jako wymuszenie kinematyczne prowadza to zadanie wyznaczenia obciążeń dynamicznych wywołanych przejazdem koła przez próg torowiska do rozwiązania równania ruchu jednomasowego modelu sprężystokinetycznego dźwignicy i wyznaczenia na tej podstawie maksymalnej wartości przyspieszenia pionowego masy M. Kluczowym elementem jest w tej sytuacji określenie postaci funkcji nierówności h(t). Przyjmując do rozważań analitycznych najbardziej niekorzystny przypadek ostrego progu o wysokości h, trajektoria koła pokonującego tego typu nierówność jest łukiem okręgu o środku w górnym narożu progu [3] (rys. 4). h(t) v v h ε R h e Rys.4. Trajektoria środka koła pokonującego nierówność progową W takim przypadku przemieszczenie pionowe środka koła w funkcji czasu można przedstawić w postaci następującej zależności: gdzie: h(t) = h + R[cos(ε ωt) 1] (5) R promień koła jezdnego, ω = v/r prędkość kątowa ruchu środka koła na łuku trajektorii. Dla wysokości nierówności dużo mniejszej od promienia koła jezdnego (h << R), kąt ε można wyrazić następującą zależnością: e R ( R h ) h ε = arcsin = arcsin (6) R R R tąd czas pokonywania nierówności, czyli czas, po jakim środek koła pokona łuk ε, przemieszczając się w pionie o h : Przyspieszenie pionowe środka koła dźwignicy wyraża się wzorem: t R e Rh = ε (7) v v v -4-
a = h & = Rω cos(ε ωt) (8) W punktach brzegowych nierówności, tj. dla czasów t 0 = 0 i t = t wyrażenie cos(ε ωt) przyjmuje wartości odpowiednio: cos(ε) i 1. A ponieważ cos(ε) 1 (dla h << R), stąd: a(t 0 ) = a(t ) = Rω = R v (9) Na podstawie tych wyników można z niedużym błędem przyjąć, że podczas przejazdu przez nierówność progową na koło dźwignicy oddziałuje prostokątny impuls przyspieszenia o wartości wyrażonej powyższym wzorem i czasie trwania t. Należy teraz zbadać, jaki wpływ ma przemieszczenie pionowe koła jezdnego na przemieszczenie pionowe punktu redukcji mas dźwignicy. 5. Wpływ wysokości nierówności na przemieszczenie punktu redukcji mas dźwignicy Przy wyznaczaniu pionowego przemieszczenia masy zastępczej dźwignicy konieczne jest uwzględnienie jej usytuowania względem kół jezdnych. W ogólnym przypadku wielkość tego przemieszczenia będzie uśrednioną wartością przemieszczeń pionowych punktów podparcia (kół) dźwignicy. Wartość ta jest proporcjonalna do wysokości progu nierówności: h 0 = κ h (10) Występujący w powyższym wzorze współczynnik proporcjonalności κ należy uwzględnić przy budowaniu funkcji nierówności. Dla suwnicy bramowej z kołami pojedynczymi, zakładając symetryczność jej konstrukcji względem osi symetrii toru jezdnego i osi symetrii dźwigara, a ponadto przyjmując symetryczność położenia oraz profilu nierówności dla obu szyn toru jezdnego można przyjąć, że κ = 0,5 (rys. 5). z h h 0 h x h Rys.5. Pionowe przemieszczenie dźwigara suwnicy przy symetrycznym położeniu nierówności Przemieszczenie pionowe dźwigara suwnicy wynosi: h 0 = κ h = 0,5h (11) W związku z tym funkcja nierówności (5) przyjmie postać: -5-
h(t) = 0,5[h + R(cos(ε ωt) 1] (1) 6. Przejazd dźwignicy przez próg torowiska w ujęciu normowym W obowiązujących obecnie normach branżowych PN-IO 8686-1 : 1999 oraz PN- EN 13001- : 007 ([4], [5]) wpływ sił dynamicznych wynikających z nierówności toru jezdnego określa tzw. współczynnik dynamiczny φ 4. Jego wartość uzależniona jest od prędkości jazdy dźwignicy, średnicy kół jezdnych, sztywności konstrukcji dźwignicy i tym samym częstotliwości drgań własnych oraz oczywiście od pokonywanej nierówności. Zakładana jest wspomniana wcześniej symetryczność położenia i profilu nierówności torowych oraz konstrukcji dźwignicy. Normy europejskie dla poszczególnych rodzajów dźwignic podają szczegółowe tolerancje wykonania ich torów jezdnych i wraz z nimi typowe wartości współczynników dynamicznych. Natomiast w przypadku nierówności torowiska nieujętych w postaci tabelarycznej, szczegółowa analiza matematyczna równań ruchu modelu dynamicznego dźwignicy w reakcji na wymuszenie kinematyczne funkcją nierówności zastąpiona zostaje opisaną poniżej sparametryzowaną procedurą obliczeniową. Norma [5] proponuje następującą uproszczoną postać wymuszenia kinematycznego w funkcji czasu dla jednomasowego modelu dynamicznego dźwignicy: h t h h( t) = 1 cosπ = ( 1 cosωt) t (13) gdzie: t czas pokonywania nierówności wyrażony wzorem (7). Dwukrotnie różniczkując powyższe wyrażenie względem czasu otrzymamy zależność określającą przyspieszenie pionowe dolnego końca sprężyny modelu dźwignicy: Maksymalna wartość tego przyspieszenia wynosi: h v h & π = ω cosωt = cosωt R (14) h v h& ˆ π = ω = (15) R Wywołane tym maksymalne przyspieszenie pionowe masy M określone zostało zależnością ogólną: & ˆ zˆ = h && ξ ( α ) (16) We wzorze tym ξ = f(α ) jest tzw. współczynnikiem pobudzenia, wyznaczanym na podstawie zamieszczonego normach [4] i [5] wykresu dla danej funkcji nierówności, bądź analitycznie, według wzoru: α α α ξ = + cos( πα ) cos( ) = π (17) 1 α 1 α W powyższym wzorze parametr α, określony zależnością: f h R q 0 α = (18) v h -6-
gdzie c / M f q = częstotliwość drgań własnych modelu, π obrazuje wpływ przyjętej funkcji nierówności (wyrażony przez h 0 i h ), promienia koła jezdnego R oraz prędkości jazdy v na pobudzenie do drgań modelu sprężysto-kinetycznego. Na podstawie & ẑ& definiowany jest bezwymiarowy współczynnik dynamiczny φ 4, odzwierciedlający wzrost obciążenia dźwignicy wywołany przejazdem przez nierówność: gdzie: g = 9,81 m/s. ϕ Mg + Mzˆ hmax π v 4 = = 1+ ξ 1+ ξ Mg & g = (19) gr 7. chemat postępowania przy wyznaczaniu współczynnika dynamicznego φ 4 1) Wyznaczenie zredukowanej do jednego punktu masy zastępczej M dźwignicy. ) Wyznaczenie sztywności zastępczej c dźwignicy. 3) Wyznaczenie częstotliwości drgań własnych f q zdefiniowanego w kroku 1) i ) modelu sprężysto-kinetycznego. 4) Wyznaczenie α, obrazującego wpływ przyjętej funkcji nierówności na pobudzenie do drgań modelu dźwignicy. 5) Wyznaczenie współczynnika pobudzenia ξ = f(α ) (z wykresu zamieszczonego w przedmiotowych normach i zacytowanego w załączniku nr ). 6) Wyznaczenie współczynnika dynamicznego φ 4. 8. Alternatywne podejście normowe do wyznaczania sił dynamicznych wynikających z ruchów torowych Zagadnienie wyznaczania sił dynamicznych wynikających z ruchów torowych ujmuje również norma PN-M-06514 : 1986 ([6]). Obecnie jest ona już nieobowiązująca (zastąpiona została przez [5]), jednak warto o niej wspomnieć dla celów porównawczych. W dokumencie tym wpływ sił dynamicznych powodowanych nierównościami toru jezdnego na elementy dźwignicy uwzględnia się za pomocą współczynnika zwiększenia sił statycznych φ. tabelaryzowane wartości tego współczynnika dobiera się w zależności od rodzaju połączenia szyn i prędkości jazdy. Dla połączeń spawanych przyjęte zostały następujące wartości: - 0,05 dla prędkości obwodowej kół v j 0,75 m/s - 0,10 dla prędkości obwodowej kół 0,75 m/s < v j 1,5 m/s - 0,15 dla prędkości obwodowej kół v j 1,5 m/s 9. Przebieg ćwiczenia W ramach ćwiczenia, dla wybranego punktu konstrukcji nośnej laboratoryjnej suwnicy bramowej wyznaczane są analitycznie (zgodnie z obowiązującymi normami) oraz doświadczalnie współczynniki obciążenia dynamicznego wynikającego z pokonywania nierówności torowiska. Niezbędne parametry suwnicy dostępne są na stanowisku. Układ pomiarowy wykorzystuje akcelerometr umieszczony na dźwigarze w jego osi podłużnej i w połowie rozpiętości. Do realizacji pomiarów wykorzystywany jest specjalnie przygotowany program komputerowy. Jego obsługa sprowadza się do wybrania częstotliwości próbkowania i czasu pomiaru, a następnie uruchomianie pomiaru poleceniem TART (z jednoczesnym realizowaniem przejazdu suwnicy przez próg). -7-
chemat wykonania ćwiczenia Część analityczna - Wyznaczyć współczynnik dynamiczny φ 4 według opisanej w instrukcji procedury postępowania. Dla torowiska zamontowanego w laboratorium przyjąć wysokość progu dla obu symetrycznie położonych nierówności h s = mm. Część pomiarowa - Ustawić suwnicę w pozycji wyjściowej do przeprowadzenia pomiaru: po stronie szyny niżej położonej i odpowiednio blisko połączenia szyn. Odległość od połączenia powinna być wystarczająca do rozpędzenia suwnicy do nominalnej prędkości przejazdowej. - Ustawić wciągnik w połowie rozpiętości dźwigara, ze zbloczem w górnym skrajnym położeniu. - Uruchomić układ pomiarowy, wykonać przejazd przez łączenie szyn, odczytać i odpowiednio przeliczyć zarejestrowane wartości (zgodnie z udostępnionym na stanowisku przelicznikiem pomiarowym), odnotowując kolejne wartości maksymalnych przyspieszeń pionowych a Pi. - Operację pomiaru powtórzyć ustaloną z prowadzącym ćwiczenie liczbę razy, uśredniając otrzymany wynik. Opracowanie wyników prawozdanie powinno zawierać następujące elementy: - Obliczenia wartości współczynnika dynamicznego φ 4. - Uśrednioną wartość uzyskanych z pomiarów maksymalnych przyspieszeń pionowych a Pśr i obliczony na tej podstawie współczynnik nadwyżki dynamicznej: ψ = 1 + a śr /g. - Dyskusję uzyskanych wyników pomiarów (możliwe przyczyny określonego rozrzutu wartości, znaczenie poszczególnych faz przebiegów itp.) - Porównanie wyników uzyskanych analitycznie z otrzymanymi na podstawie pomiarów, wraz z komentarzem dotyczącym marginesu bezpieczeństwa. - Wnioski ogólne, zwierające ocenę stosowalności przyjętych założeń i uproszczeń w odniesieniu do badanej suwnicy i innych rodzajów dźwignic. - Dodatkowo: propozycję uwzględnienia przypadku najazdu na nierówność jednym kołem, popartą stosownymi obliczeniami. 10. Literatura [1] Piątkiewicz, A., obolski, R., Dźwignice, WNT, Warszawa, 1977. [] Grabowski, E., Kulig, J., Wyznaczanie obciążeń dźwignic wywołanych jazdą po nierównościach według nowych norm międzynarodowych, Transport Przemysłowy, 1/007. [3] Grabowski, E., Kulig, J., Metoda obliczania obciążeń dźwignic wywołanych jazdą po nierównościach, Transport Przemysłowy, 1/008. [4] PN-EN 13001- : 007 Bezpieczeństwo dźwignic. Ogólne zasady projektowania. Część : Obciążenia. [5] PN-IO 8686-1 : 1999 Dźwignice. Zasady obliczania i kojarzenia obciążeń. Postanowienia ogólne. [6] PN-M-06514 : 1986 Dźwignice. Obciążenia w obliczeniach ustrojów nośnych dźwignic. -8-
ZAŁĄCZNIK 1 Dane suwnicy bramowej (w laboratorium): H p [m] 6.00 - wysokość podnoszenia H [m] 4.50 - długość pasm lin w momencie poderwania ładunku v p [m/min] 6.00 - prędkość podnoszenia nominalna v pp [m/min] 1.00 - prędkość podnoszenia dokładna v j [m/min] 0.00 - prędkość jazdy suwnicy nominalna v jr [m/min] 3.10 - prędkość jazdy suwnicy rzeczywista bez obciążenia v jd [m/min] 5.00 - prędkość jazdy suwnicy dokładna R [m] 4.5 - rozpiętość suwnicy I XX [cm 4 ] 930 - moment bezwł. przekroju dźwigara (dwuteownik) Q N [kg] 500 - udźwig nominalny m DZ [kg] 545 - masa dźwigara m W [kg] 56 - masa wciągnika wraz ze zbloczem i hakiem m E [kg] 11 - masa wyposażenia elektrycznego m C [kg] 1680 - masa całkowita suwnicy r [mm] 6.5 - promień koła jezdnego E [MPa] 05000 - moduł Younga dla stali E L [MPa] 145000 - współczynnik sprężystości dla liny d [mm] 7 - średnica liny (lina 8x19W) C [-] 0.349 - wsp. powierzchni stalowej przekroju n [szt] 4 - liczba pasm liny wielokrążka Zmierzony parametr niezbędny do wyznaczenia sztywności poprzecznej dźwigara: f =,5 [mm] - względne ugięcie dźwigara siłą P wynikającą z jego obciążenia ładunkiem o masie 315 kg. -9-
ZAŁĄCZNIK Wykres ξ = f(α ).5.4.3..1 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1. 1.1 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0.1 0 ξs = f(αs) 0 0.05 0.1 0.15 0. 0.5 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1. 1.5 1.3 1.35 1.4 1.45 αs -10-
INTYTUT MAZYN ROBOCZYCH CIĘŻKICH Nr ćwiczenia: Temat: LABORATORIUM DŹWIGNIC D6 Obciążenia dźwignic: siły dynamiczne ruchów torowych Zespół: Grupa: Data: tudia: D / Z Lista osób wykonujących ćwiczenie: 1.......... 3..... 4..... 5..... 6..... 7..... 8..... 9..... 10..... 11..... 1.....
Część analityczna 1. Masa zastępcza suwnicy: M =... [kg]. ztywność zastępcza suwnicy: c =... [N/m] 3. Częstotliwości drgań własnych modelu suwnicy: f q =... [Hz] 4. Współczynnik funkcji nierówności: α =... 5. Współczynnik pobudzenia ξ = f(α ) odczytany z wykresu: ξ =... 6. Współczynnik dynamiczny: φ 4 =... Część pomiarowa Zmierzone wartości maksymalne przyspieszeń pionowych: Przejazd 1: a P1 =... [m/s ] Przejazd : a P =... [m/s ] Przejazd 3: a P =... [m/s ] Uwagi do uzyskanych wyników pomiarów: Opracowanie wyników pomiarów Wartość średnia: a Pśr =... [m/s ] Współczynnik nadwyżki dynamicznej: ψ =... Porównanie wyników pomiarów z obliczeniami teoretycznymi (ψ i φ 4 ) Wnioski Obliczenie współczynnika obciążenia dynamicznego dla przejazdu przez nierówność jednym kołem:... φ 4n =...