Metody matematyczne w analizie danych eksperymentalnych - sygnały, cz. 2

Metody matematyczne w analizie danych eksperymentalnych - sygnały, cz. 2 Dr hab. inż. Agnieszka Wyłomańska Faculty of Pure and Applied Mathematics Hugo Steinhaus Center Wrocław University of Science and Technology 1

Opis matematyczny Sygnał to abstrakcyjny model dowolnej mierzalnej wielkości zmieniającej się w czasie, generowanej przez zjawiska fizyczne lub systemy. Może być opisany za pomocą aparatu matematycznego, np. poprzez podanie pewnej funkcji zależnej od czasu. Mówimy, że sygnał niesie informację lub też umożliwia przepływ strumienia informacji. 2

Opis matematyczny Szereg czasowy to realizacja procesu stochastycznego, którego dziedziną jest czas; to ciąg informacji uporządkowanych w czasie, których pomiary wykonywane są z dokładnym krokiem czasowym. Jeżeli krok nie będzie regularny wtedy mamy do czynienia z szeregiem czasowym rozmytym. 3

Opis matematyczny Proces stochastyczny rodzina zmiennych losowych określonych na pewnej przestrzeni probabilistycznej o wartościach w pewnej przestrzeni mierzalnej. 4

Opis matematyczny 5

Sygnały - przykłady 2 x(t)=2*t 18 16 14 12 x(t) 1 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 t 6

Sygnały - przykłady 25 x(t)=2t 2 +t 2 15 x(t) 1 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 t 7

Sygnały - przykłady 25 x(t)=2*t+n(,2) 2 15 x(t) 1 5-5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 t 8

Sygnały - przykłady 25 x(t)=2t 2 +N(,2) 2 15 x(t) 1 5-5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 t 9

Sygnały - przykłady 8 x(t)=n(,2) 6 4 2 x(t) -2-4 -6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 t 1

Sygnały - przykłady 8 x(t)=.5x(t-1)+n(,2) 6 4 2 x(t) -2-4 -6-8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 t 11

Sygnały statystyki opisowe Momenty z próby Wariancja z próby, próbkowe odchylenie standardowe Kwantyle, mediana Tzw. Five number summary. Graficzna interpretacja danych 12

Sygnały statystyki opisowe 4 2 1 8-2 6-4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4 15 1 5 2-2 -5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 13

Regresja liniowa x-zmienna niezależna y-zmienna zależna 14

Regresja liniowa x-zmienna niezależna y-zmienna zależna 15

Regresja liniowa 16

Regresja liniowa 26 24 22 2 18 y 16 14 12 1 8 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 x 17

Regresja liniowa - model 25 2 15 y 1 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 x 18

Regresja liniowa - model 19

Regresja liniowa - model 25 2 15 y 1 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 x 2

Estymacja punktowa Estymator jest statystyką służącą do szacowania wartości parametru rozkładu bądź modelu. Metody: Metoda momentów (prosta, ale nie zawsze dobre efekty) Metoda największej wiarygodności (bardziej skomplikowana, lepsze efekty) W wielu przypadkach obie metody dają takie same wyniki. 21

Estymacja punktowa - przykłady X(1),X(2),,X(n) próba prosta z rozkładu Gaussowskiego f ( x ) 1 2 2 ( x) e 2 2 Problem: na podstawie obserwacji x(1),,x(n) wyestymuj parametry rozkładu 22

Estymacja punktowa - przykłady estymatory.1.8.6.4.2 -.2 -.4 -.6 -.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 numer symulacji Monte Carlo.1.8.6.4.2 -.2 -.4 -.6 -.8 1 23

Model sygnału iid x(1),x(2),,x(n) próba prosta (losowa) Próba losowa - zbiór elementów populacji pobranych w taki sposób, że każdy element populacji miał równe szansę znalezienia się w tym zbiorze. Próba losowa może być podstawą wnioskowania statystycznego pozwalającego z zadaną dokładnością uogólnić spostrzeżenia o elementach próby na populację, z której została wylosowana. 24

Model sygnału iid Matematycznie: X(1),X(2),,X(n) ciąg niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie (iid). Zależność (niezależność) jest nie tylko związana z korelacją. Zmienne losowe mogą być zależne, a ich współczynnik korelacji może być niezerowy!!!!! 25

Model sygnału iid Jak sprawdzić, że sygnał zawiera dane niezależne? Obserwacja funkcji autokorelacji ACF(k)=Corr(X(t+k),X(t)) Funkcja częściowej autokorelacji (PACF) 26

Model sygnału iid Sample Autocorrelation Function (ACF) Sample Autocorrelation Function (ACF).8.8 Sample Autocorrelation.6.4.2 Sample Autocorrelation.6.4.2 -.2 5 1 15 2 Lag -.2 5 1 15 2 Lag 27

Model sygnału iid Sample Partial Autocorrelation Function Sample Partial Autocorrelation Function.8.8 Sample Partial Autocorrelations.6.4.2 Sample Partial Autocorrelations.6.4.2 -.2 5 1 15 2 Lag -.2 5 1 15 2 Lag 28

Model sygnału iid Typy rozkładów w próbie prostej: Rozkład Gaussowski Rozkład wykładniczy Rozkład jednostajny na odcinku [a,b] Rozkład t-studenta Rozkład chi-kwadrat Rozkład Poissona Rozkład Bernoulliego Rozkład dwupunktowy 29

Model sygnału iid Jak rozpoznać, że sygnał jest opisany poprzez niezależne zmienne losowe o danym rozkładzie? Histogram (gęstość) Estymatory jądrowe gęstości Empiryczna dystrybuanta, empiryczny ogon rozkładu Testowanie statystyczne 3

Model sygnału iid Histogram.4.35.3.25 pdf.2.15.1.5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 t 31

Model sygnału iid Estymator jądrowy.4.35 estymowana teoretyczna.3.25 pdf.2.15.1.5-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5 t 32

Model sygnału iid Dystrybuanta empiryczna 1.9.8.7.6 empiryczna teoretyczna cdf.5.4.3.2.1-4 -3-2 -1 1 2 3 4 t 33

Model sygnału iid Ogon empiryczny 1 1-1 log(1-cdf) 1-2 1-3 empiryczny teoretyczny 1-4 1-3 1-2 1-1 1 1 1 log(t) 34

Model sygnału iid Testowanie statystyczne Rozkład Gaussowski test Jarque-Bera, Lillieforsa Wszystkie rozkłady test Kolmogorova- Smirnova, Andersona-Darlinga,. 4 QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal 1 QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal Quantiles of Input Sample 3 2 1-1 -2-3 -4-4 -3-2 -1 1 2 3 4 Standard Normal Quantiles Quantiles of Input Sample 8 6 4 2-2 -4-3 -2-1 1 2 3 4 Standard Normal Quantiles 35

Prędkość obrotowa maszyny 952.8 speeds Sample Autocorrelation Function (ACF) 1 952.6.8 952.4 952.2 952 951.8 Sample Autocorrelation.6.4.2 951.6 -.2 951.4 2 4 6 -.4 2 4 6 Lag 36

Prędkość obrotowa maszyny 953 952.8 QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal 1 empiryczny teoretyczny 952.6 Quantiles of Input Sample 952.4 952.2 952 951.8 log(1-cdf) 1-1 951.6 951.4 951.2-2.5-2 -1.5-1 -.5.5 1 1.5 2 2.5 Standard Normal Quantiles 1-2 1 2.9784 1 2.9785 1 2.9786 1 2.9787 1 2.9788 log(t) 37

Sygnał stacjonarny {X(t)} jest stacjonarny w słabym sensie jeśli: E(X(t))=const Cov(X(t+h),X(t)) zależy jedynie od h. 38

Sygnał stacjonarny Przykłady sygnałów stacjonarnych: Niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie Modele liniowe: w tym modele typu ARMA Przykłady sygnałów niestacjonarnych: Błądzenie losowe Modele typu ARIMA 39

Model sygnału klasyczna dekompozycja 4

Model sygnału klasyczna dekompozycja Analiza sygnału przy założeniu klasycznej dekompozycji: Usunięcie trendu deterministycznego Usuniecie składowej okresowej Analiza procesu Y(t) 41