MODELOWANE NŻYNERSKE SSN 1896-771X 33, s. 167-174, Gliwice 2007 DENTYFKACJA PARAMETRÓW MATERAŁOWYCH MODELU CHABOCHE A NA PODSTAWE WYNKÓW EKSPERYMENTÓW REOLOGCZNYCH ROBERT ZALEWSK, JERZY BAJKOWSK nstytut Podstaw Budowy Maszyn, Politechnika Warszawska e-mail: robertzalewski@wp.pl, jba@simr.pw.edu.pl Streszczenie. Tematyka pracy poświęcona jest omówieniu metody estymacji parametrów materiałowych wybranego lepkoplastycznego modelu konstytutywnego. Pomimo faktu, że obiektem modelowania są struktury, zbudowane z luźnego materiału sypkiego, otoczonego zamkniętą plastomerową osnową, w której wytwarzane jest podciśnienie zewnętrzne, prezentowana metoda identyfikacji modelu jest uniwersalna. 1. WSTĘP Jedną z gałęzi mechaniki, w której za sprawą rozwoju numerycznych metod obliczeniowych, nastąpił rozwój naukowy, są analizy lepkoplastyczne. Współczesna nauka coraz częściej uwzględnia efekty lepkoplastyczne oraz wzmocnienie materiałowe występujące w badanych konstrukcjach. Prowadzi to do uzyskiwania coraz to dokładniejszych wyników przeprowadzanych symulacji (zwłaszcza w przemyśle lotniczym i kosmonautyce) przy jednoczesnej komplikacji opisu problemów, głównie nieliniowych. Teorie naukowe i programy komercyjne, umożliwiające wykonywanie obliczeń wytrzymałościowych struktur, z uwzględnieniem nie tylko ich sprężystych, ale również lepkoplastycznych własności, są aktualnie powszechnie dostępne. Zasadniczym problemem, jaki napotyka się podczas rozwiązywania tego typu zadań, jest wybór odpowiedniego prawa uwzględniającego podstawowe własności badanej struktury. Oczywiście, poza modelami lepkoplastycznymi istnieje wiele innych, budowanych w celu opisu własności struktur i materiałów, które dodatkowo uwzględniają również specjalne aspekty materiałowe konstrukcji. Dokonanie świadomego wyboru odpowiedniego prawa konstytutywnego wciąż pozostawia nierozwiązanym problem zdeterminowania parametrów materiałowych wybranego modelu. Mimo że jest wiele monografii oferujących przegląd konstytutywnych modeli lepkoplastycznych, np. [1] lub [2], to jednak niewiele z nich skupia się na problemie określenia sposobu estymacji ich stałych materiałowych. Jednocześnie wyznaczenie wspomnianych parametrów nie zawsze jest wystarczające do oceny ich poprawności i użyteczności przy analizie rzeczywistego zachowania badanej struktury.
168 R. ZALEWSK, J. BAJKOWSK stnieje możliwość weryfikacji wyznaczonych współczynników praw poprzez przeprowadzenie symulacji komputerowej procesu fizycznego i następnie porównanie jej wyników z rezultatami badań eksperymentalnych. Głównym celem niniejszej pracy jest zaproponowanie metody estymacji współczynników materiałowych lepkoplastycznego modelu Chaboche a, na podstawie wyników eksperymentów relaksacji naprężeń. Ten nowatorski sposób identyfikacji parametrów materiałowych modelu Chaboche a z wykorzystaniem wyników przeprowadzonych prób reologicznych (bez konieczności wykonywania prób cyklicznych obciążeń) specjalnie przygotowanych próbek materiałowych zostanie przedstawiony w dalszej części pracy. 2. OBEKT Struktury zbudowane z luźnego granulatu umieszczonego w szczelnej przestrzeni z podciśnieniem są nowym typem materiałów konstrukcyjnych należących do grupy tzw. materiałów inteligentnych ( smart structures ). dea konstrukcji tego granulowanego konglomeratu polega na wypełnieniu szczelnej powłoki, o dowolnych kształtach i wymiarach zewnętrznych, materiałem sypkim. Poza wymienionym warunkiem szczelności, powłoka ta powinna być również stosunkowo elastyczna, tak aby była zdolna do swobodnej zmiany kształtów w zależności od wymagań konstruktorskich. Typowym materiałem na wspomniane osnowy jest lateks lub miękkie (o małej gęstości) PCV. Materiał granulowany zamknięty w szczelnej przestrzeni umożliwia swobodną zmianę kształtu struktury, co daje możliwość używania go jako swoistego rodzaju masy plastycznej wypełniającej odpowiednio przygotowaną formę. Kolejny element konglomeratu to zawór umożliwiający jego połączenie z pompą próżniową. Po uprzednim wypełnieniu formy omawianym materiałem sypkim w dalszym etapie wytwarzane jest podciśnienie wewnętrzne, powodujące usztywnianie się struktury. Przy odpowiedniej wartości podciśnienia luźna struktura granulowana upodabnia się zarówno wizualnie, jak i własnościami mechanicznymi do ciała stałego. Utworzony w taki sposób materiał konstrukcyjny jest w stanie przenosić wszelkiego rodzaju naprężenia. Omawiane struktury granulowane wydają się interesujące ze względu na dwa zasadnicze aspekty: - możliwość tworzenia z nich doraźnych kształtów, - sterowanie własnościami mechanicznymi w skali globalnej. Dziedziną nową, w której istnieje duża możliwość wykorzystywania szczególnych własności granulatów, jest tłumienie drgań. Użycie ich do takiego celu wiąże się z łączeniem granulek zamkniętych w szczelnej przestrzeni z elementem drgającym za pośrednictwem kleju, tworząc np. chętnie stosowane izolacyjne osłony płytowe. Parametr podciśnienia jest bardzo wygodnym parametrem sterowania, dzięki czemu uzyskuje się możliwość łatwej zmiany własności tłumiących układów materiałów granulowanych, a tym samym łatwą zmianę własności dynamicznych całego układu. Na zmianę własności mechanicznych struktury, a tym samym zmianę własności dynamicznych układu, w którym jest zastosowana struktura granulowana, mają także wpływ takie czynniki jak: - wielkość i kształt zastosowanych luźnych ziaren, - rodzaju materiału granulowanego, - chropowatość powierzchni, - stopień wypełnienia (upakowania) struktury,
DENTYFKACJA PARAMETRÓW MATERAŁOWYCH MODELU 169 3. MODEL Model Chaboche a jest w kręgu zainteresowań współczesnych badaczy i znajduje zastosowanie przy opisie nie tylko metali i ich stopów, ale również materiałów niemetalowych. W celu opisu lepkoplastycznych właściwości struktur granulowanych w specjalnych warunkach użyto modelu Chaboche a, będącego rozbudowaną formą dobrze znanego modelu Perzyny [3]. 2 S X E& = p& (1) 3 J S X ( ) Powyższy wzór opisuje tensor odkształcenia plastycznego, gdzie akumulowana prędkość odkształcenia opisana jest równaniem: def 2 p& = E& : E& (2) 3 S dewiator tensora naprężenia oraz X funkcja wzmocnienia kinematycznego. nwariant J, występujący w równaniu (1), można przedstawić w uproszczonej formie jako: J S X = σ X (3) 1 2 ( ) Zależność tę można również przedstawić jako: 1 m J( S X ) R k &, (η=1,0[1/s]) (4) p= η K gdzie: 1/m = n jest współczynnikiem lepkości, k granicą plastyczności uzyskaną przy quasistatycznej prędkości odkształcenia, K funkcją wytrzymałości plastycznej, R funkcja wzmocnienia izotropowego. Symbol., zwany nawiasami Mc Cauleya jest zdefiniowany jako: ( x x) 1 x = + 2 Równania modelu Chaboche a, dla rozważanych przypadków jednoosiowych można przedstawić w następującej formie: σ 0 0 S = 0 0 0 (6) 0 0 0 2 σ 0 0 3 1 = 0 σ 0 3 1 0 0 σ 3 2 X 0 0 3 1 X = 0 X 0 3 1 0 0 X 3 (5) S (7) Macierze (7) i (8) są odpowiednio reprezentacjami dewiatora tensora naprężenia i funkcji wzmocnienia kinematycznego, gdzie: σ jest naprężeniem na kierunku obciążenia a X opisuje wartości funkcji wzmocnienia kinematycznego na tym samym kierunku. (8)
170 R. ZALEWSK, J. BAJKOWSK Prędkość zmiany naprężenia jest opisana przez równanie σ & = E( ε& ε& ) (9) gdzie: ε& i ε& są odpowiednio całkowitą prędkością odkształcenia oraz prędkością odkształcenia plastycznego, dla przypadków jednoosiowych; E- moduł Younga. Dla rozważanych w pracy przypadków (jednoosiowy stan naprężenia) wcześniej zdefiniowane równanie (1) może być zapisane jako: σ X R k ε& = η sgn( σ X ) (10) K także 2 X & = a ε c X ε 3 & & (11) oraz R& = b ( Q R) ε& (12) Po scałkowaniu funkcji opisujących wzmocnienia materiałowe (kinematyczne i izotropowe) (11) i (12) otrzymujemy: 2 a 2 a X = v + X0 exp( c ( ε ε0) ) (13) 3 c 3 c (14) gdzie: v = sgn( σ X ) = ± 1, X 0 jest wartością początkową funkcji wzmocnienia kinematycznego, ε 0 - początkową wartością odkształcenia plastycznego. Znając wartości wszystkich członów równania (10), można przedstawić ostateczną formę funkcji opisującego naprężenia w rozpatrywanej strukturze jako: m 0 0 n σ = X( ε, X, ε ) + ν R( ε ) + ν k+ ν K ε& (15) Przy założeniu, że wartości parametrów ε p0 i X 0, mają zerowa wartość, funkcje wzmocnienia materiałowego przybierają postać: 2 a c ε X = ( 1 e ) (16) 3 c b ( 1 ) R = Q e ε (17) W celu zminimalizowania ilości stałych materiałowych występujących w powyższym równaniu, a także mając na względzie inne, bardziej złożone aspekty badań materiałów granulowanych w specjalnych warunkach ([1], [4]), zdecydowano się na pominięcie wpływu wzmocnienia kinematycznego na zachowanie opisywanego materiału. W takim przypadku, ostateczna postać naprężenia płynięcia przybiera postać: b ε ( 1 ) ( ε ) m σ = k+ Q e + K & (18) Równanie (18) jest punktem wyjściowym procesu estymacji parametrów materiałowych modelu Chaboche a dla przypadków eksperymentów relaksacji naprężeń.
DENTYFKACJA PARAMETRÓW MATERAŁOWYCH MODELU 171 4. NSPRACJE W literaturze światowej można znaleźć pozycje traktujące o metodzie estymacji współczynników materiałowych modelu konstytutywnego Chaboche a ([5], [6] lub [7]). Również autorzy, w swoich wcześniejszych pracach, zaproponowali metody identyfikacji modelu, bazujące głównie na wynikach prób jednoosiowych, próbek zbudowanych z granulowanych konglomeratów [8], [9], [10] lub [11]. Główną inspiracją, motywującą autorów do niniejszej pracy, jest świadomość, że wspomniane wcześniej metody identyfikacyjne nie w pełni oddają złożone właściwości opisywanych materiałów. Ze względów redakcyjnych szerszy przegląd sposobów estymacji stałych materiałowych modelu Chaboche a zostanie pominięty. Na uwagę natomiast zasługuje fakt, że żadna z dotychczas opracowanych metod nie uwzględnia zjawisk reologicznych, występujących powszechnie w ciałach wykazujących własności lepkoplastyczne. Kilka słów należy się omówieniu problemów, związanych z pominięciem zjawisk czasowych, szczególnie istotnych i koniecznych do uwzględnienia w bardziej złożonych strukturach, do których z pewnością należą materiały granulowane, umieszczone w szczelnej przestrzeni, w której w dalszym etapie wytwarzane jest podciśnienie. Rys. 1. Zagrożenia związane z pominięciem wpływu zjawisk reologicznych materiału w procesie identyfikacji modelu Rys. 2. Zestawienie wyników doświadczalnych i symulacji komputerowych próby rozciągania próbki ABS, przy podciśnieniu 0,04 [MPa] Na rys. 1 zobrazowano zagrożenia związane z pominięciem wyników eksperymentów reologicznych (relaksacji naprężeń), w procesie identyfikacji modelu konstytutywnego Chaboche a. Na podstawie wcześniej wspomnianych metod estymacyjnych stosunkowo prosto jest dopasować krzywą numeryczną (wynik symulacji komputerowych) do wyników eksperymentalnych odwzorowujących proces umocnienia materiału w próbie jednoosiowego rozciągania lub ściskania. Przykładowy wynik symulacji komputerowej procesu rozciągania próbki granulowanej na tle bezpośrednich wyników eksperymentalnych zilustrowano na rys.2. Zasadniczym problemem jest jednak rozbieżność rezultatów symulacji z wynikami doświadczalnymi eksperymentów relaksacji naprężeń. Wykorzystanie wartości parametrów E, k, Q, b, K, m, wyznaczonych na podstawie eksperymentów jednoosiowych, w procesie symulacji zjawiska relaksacji naprężeń, może prowadzić do błędnego oszacowania wpływu zjawisk reologicznych na zachowania lepkie granulowanej struktury (rys. 1). Wspomniane problemy skłoniły autorów do poszukiwań metody identyfikacyjnej bazującej na eksperymentach reologicznych.
172 R. ZALEWSK, J. BAJKOWSK 5. METODA DENTYFKACJ MODELU Przed przystąpieniem do opisu metody identyfikacji modelu Chaboche a, na podstawie wyników prób reologicznych, należy podać oczywiste zależności charakteryzujące omawiany proces. Przy pewnych założeniach [5], można zapisać wyrażenie opisujące odkształcenie materiału jako: ε = ε + ε e (19) gdzie: ε - odkształcenie plastyczne, ε e odkształcenie sprężyste równe σ ε e =. E W próbie relaksacji naprężeń ε = const, wiec: Wzór na prędkość odkształceń plastycznych przybiera postać: ε & = ε& e (20) oraz po przekształceniach: (21) Przyjmując oznaczenia: σ = k + ε ) (22) i R( σ v = K ε& (23) wyrażenia (18) możemy zapisać w postaci: σ = σ i + σ v (24) Parametr k może być traktowany jako granica plastyczności (umowna granica plastyczności), dla quasi-statycznej prędkości odkształcenia. Przed przystąpieniem do prób relaksacji naprężeń wartość tego współczynnika powinna być znana. Dla materiałów w pełni skomercjalizowanych, takich jak metale lub ich stopy, niektóre polimery czy drewno, znane są wartości quasi-statycznej prędkości odkształcenia, z jaką należy przeprowadzać podstawowe próby wytrzymałościowe. Szczegóły techniczne zawarte są w odpowiednich normach. Problemu nastręczają nowatorskie struktury, takie jak granulowane systemy, gdzie przed przystąpieniem do badań laboratoryjnych należy eksperymentalnie wyznaczyć zakres prędkości deformacji wiążących się z dynamiczną odpowiedzią materiału. W takich sytuacjach wyznaczenie poprawnej wartości parametru k wymaga przeprowadzenia wielu prób jednoosiowych, z różnymi prędkościami odkształcenia. Szczegółowe omówienie problemu wyznaczenia quasi-statycznej wartości prędkości odkształcenia i estymacji wartości parametru k dla granulowanych struktur, z racji złożoności procesu, zostało w niniejszej pracy pominięte. Różniczkując równanie (18) względem ε, a następnie logarytmując je obustronnie, odrzucając wielkości niższego rzędu, otrzymujemy: dσ ln = b + Q b ε ln( ) ln( ) (25) dε dσ Sporządzając wykres ln w funkcji ε oraz interpolując dane eksperymentalne dε wielomianem stopnia pierwszego, można odczytać wartość parametru b jako współczynnik
DENTYFKACJA PARAMETRÓW MATERAŁOWYCH MODELU 173 kierunkowy krzywej interpolującej. Następnie, przyjmując wartość ε = 0, wylicza się wartość parametru Q. Znając wartości parametrów Q i b, i dokonując kolejnych przekształceń (26), można dokonać estymacji wartości parametrów K i m. ln( σ σ ) = ln( K) + m ln( ε ) (26) i W tym celu tworzy się wykres ln( σ σ i ), w funkcji ln( ε& ) i, podobnie jak we wcześniejszym etapie, interpoluje się dane eksperymentalne wielomianem stopnia pierwszego. dea wyznaczania wartości parametrów K i m jest identyczna jak w poprzednim przypadku. Omówione etapy identyfikacji modelu Chaboche a zostały dodatkowo zilustrowane na rys. 3. Rys. 3. nterpretacja graficzna procesu identyfikacji modelu lepkoplastycznego Chaboche a; a) estymacja parametrów funkcji wzmocnienia izotropowego, b) identyfikacja członu lepkiego 6. WNOSK PERSPEKTYWY Zaprezentowana metoda identyfikacji modelu lepkoplastycznego Chaboche a na podstawie wyników relaksacji naprężeń umożliwia dokładniejszy niż dotychczas opis nieliniowych właściwości materiałowych badanych materiałów. Oczywistym jej mankamentem jest stosunkowo duża czasochłonność i pracochłonność, konieczność wykorzystywania specjalistycznych programów komputerowych, umożliwiających interpolację danych eksperymentalnych wybranymi funkcjami matematycznymi oraz zaangażowanie czynnika ludzkiego w każdym etapie identyfikacji modelu. Autorzy równolegle opracowują procedury numeryczne, pozwalające na pominięcie większości z wspomnianych wcześniej niedogodności ([9]). Pełna i wierna identyfikacja modelu materiału rzeczywistego możliwa jest jedynie po wnikliwym przeprowadzeniu wielu, czasem bardzo złożonych, badań eksperymentalnych. Bazowanie zaledwie na wynikach prób jednoosiowych i relaksacji naprężeń pozostawia wciąż wiele wątpliwości związanych z odpowiedzią materiału na złożony stan naprężenia, odkształcenia cykliczne czy zmienną prędkość odkształcenia. Badania struktur granulowanych, umieszczonych w szczelnej przestrzeni z podciśnieniem, w przeciwieństwie do innych grup materiałów konstrukcyjnych, są w fazie początkowej. Poza kilkoma inżynierskimi zastosowaniami tej grupy materiałów (nakładki na materace stosowane w medycynie do transportu pacjentów pourazowych), brak jest o nich jakiejkolwiek wzmianki w literaturze światowej (prócz wymienionych w bibliografii prac autorów). Zaprezentowana metoda estymacji parametrów materiałowych uproszczonego modelu Chaboche a (bez uwzględnienia funkcji wzmocnienia kinematycznego) jest więc kolejnym przyczynkiem poszerzającym stan aktualnej wiedzy dotyczącej granulowanych konglomeratów.
174 R. ZALEWSK, J. BAJKOWSK LTERATURA 1. Zalewski R.: Analiza właściwości mechanicznych struktur utworzonych z granulatów umieszczonych w przestrzeni z podciśnieniem. Rozprawa doktorska. Politechnika Warszawska, Warszawa 2005. 2. Woźnica K.: Dynamique des structures elasto-viscoplastique. Memoire d habilitation a diriger des recherches. Lille: Universite des Sciences et Technologies de Lille 1997. 3. Perzyna P.: Fundamental problems in viscoplasticity. Advances in Mechanics, 1966, 9, s. 243-377, 4. Zagubień A.: Badania laboratoryjne i identyfikacja niesprężystych właściwości materiałowych tkaniny powlekanej typu «Panama». Praca doktorska. Politechnika Koszalinska 2002. 5. Lemaitre J., Chaboche J. L.: Mechanics of solid materials. Cambridge : Cambridge University Press, 1990. 6. Chaboche J. L.: Viscoplastic constitutive equations for the description of cyclic and anisotropic behaviour of metals. XV Polska Konferencja Mechaniki Ciała Stałego, Szczyrk. Bull. Acad. Pol. Sci., Serie Sci. Techn., 25, 1977. 7. Oytana C., Delobelle P., Mermet A.: Constitutive equations study in biaxial stress experiments. J. Eng. Mater. and Technology, 1982, s. 1-11. 8. Landjerit B., Woźnica K., Zalewski R.: dentyfikacja parametrów równania Chaboche a dla materiałów granulowanych znajdujących się w przestrzeni z podciśnieniem (dentification of Chaboche s law coefficients for granular materials in space with interior under pressure). X French Polish Seminar of Mechanics. Warszawa 2002, s. 156 163. 9. Pyrz M., Zalewski R.: Application of evolutionary algorithms to the identification of parameters of new smart structures preliminary approach. Machine Dynamics Problems, 2006, Vol. 30, No 2, s. 136-146. 10. Bajkowski J., Zalewski R.: Numeryczna metoda wyznaczania współczynników konstytutywnego prawa Chaboche a adaptowanego do materiałów granulowanych zamkniętych w przestrzeni z podciśnieniem. XV Konferencja Metody i Środki Projektowania Wspomaganego Komputerowo.PBM Warszawa 2003, s. 77-84, 19-21. 11. Zalewski R., Bajkowski J.: dentification of fundamental Chaboche s model coefficients for granular material systems under special conditions. Machine Dynamics Problems 2004, Vol. 28, No 4,, s. 189 195.. CHABOCHE S MODEL MATERAL PARAMETERS NDENTFCATON PROCEDURE ON THE BASS OF RHEOLOGCAL EXPERMENTAL RESULTS Summary. Procedure of material constants values estimation, taking into consideration results of rheological tests, without the necessity of carrying out more complex experiments, will be the topic of the paper.