Pomiary utomatyka Robotyka, R. 19, Nr 4/2015, 63 68, DI: 10.14313/PR_218/63 Wyznaczenie kursu bezzałogowego statku owietrznego na odstawie danych GPS i INS Kamil Krasuski Zesół echnik Satelitarnych, ul. Zawiszy Czarnego 16, 08-530 Dęblin Damian Wierzbicki Wojskowa kademia echniczna, Wydział Inżynierii Lądowej i Geodezji, Zakład Fotogrametrii i eledetekcji, ul. Gen. S. Kaliskiego 2, 00-908 Warszawa 49 Streszczenie: d kilkunastu lat obserwowany jest wzrost zainteresowania wykorzystania bezzałogowych statków latających w fotogrametrii i teledetekcji. Niskobudżetowe bezzałogowe latformy najczęściej korzystają ze stosunkowo tanich jednoczęstotliwościowych odbiorników GPS oraz latformy INS (MEMS). Ich integracja umożliwia wyznaczenie arametrów orientacji bezzałogowego statku latającego w rzestrzeni. W artykule zarezentowano wstęne rezultaty wyznaczenia kursu na odstawie samych danych GPS oraz określono różnicę kursu z wykorzystaniem danych GPS i INS. Przedstawiono również algorytm wyznaczenia kursu oraz oisano dokładnie rzebieg ekserymentu lotniczego z wykorzystaniem latformy rimble UX5. Na odstawie rzerowadzonych badań i uzyskanych wyników stwierdzono, iż średnia różnica kursu na odstawie surowych danych GPS i INS wynosi 0.21 z odchyleniem standardowym 6,12. Słowa kluczowe: GPS, INS, kurs, odchylenie standardowe, filtr Kalmana 1. Wrowadzenie Integracja danych z sensorów GPS (Global Positioning System) i INS (Inertial Navigation System) umożliwia wyznaczanie arametrów orientacji bezzałogowego statku latającego (BSL) w rzestrzeni 3D. Głównym i jednocześnie odstawowym elementem orientacji dla BSL jest określenie kursu statku owietrznego. Poza kursem do arametrów orientacji statku owietrznego zaliczane są również kąt ochylenia (ang. itch angle) oraz kąt obrotu (ang. roll angle). Kurs statku owietrznego jest definiowany jako różnica między kierunkiem ółnocy (ang. North) a osią odłużną statku owietrznego [5]. Parametr kursu rzyjmuje wartości z rzedziału od 0 do 360 i jest zliczany na rawo od kierunku ółnocy N. W rzyadku omiarów GPS, kurs jest wyznaczany w układzie referencyjnym (układ rzestrzeni nawigacyjnej ENU East-North-U) [3] i odnosi się do ołożenia anteny odbiornika GPS. W rzyadku obserwacji z jednostki omiarowej IMU (dla sensora INS), kurs jest wyznaczany w układzie wewnętrznym statku owietrznego (ang. body-frame) i jest odniesiony do lokalizacji jednostki IMU (Inertial Measurement Unit) na okładzie utor koresondujący: Damian Wierzbicki, damian.wierzbicki@wat.edu.l rtykuł recenzowany nadesłany 2.11.2015 r., rzyjęty do druku 4.12.2015 r. Zezwala się na korzystanie z artykułu na warunkach licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 statku owietrznym. Różnica wskazań wartości kursu z omiarów GPS i INS wystęuje zawsze i w dużej mierze zależy od rozmieszczenia anteny odbiornika GPS i jednostki inercjalnej IMU w statku owietrznym oraz określenia wartości ekscentru między obydwoma urządzeniami omiarowymi. Sensory GPS są dość owszechnie stosowane w nawigacji lądowej jako zewnętrzne źródło danych do określenia wartości kursu. Dodatkowo, w ramach rocedury wyznaczenia ozycji i orientacji rzestrzennej ojazdu lądowego, musi zostać sełnionych kilka warunków [10], tzn.: niewielka deniwelacja trasy, o której orusza się ojazd; rędkość ojazdu jest większa niż 5 m/s; kąt obrotu oscyluje w graniach 0 ; w obliczeniach zastosowany jest filtr Kalmana. Wykorzystanie danych z GPS do wyznaczenia kursu dla statku owietrznego owoduje wiele niedogodności wynikających z działania czynników zewnętrznych (n. rędkość wiatru, oad atmosferyczny) czy wykonywania licznych manewrów odczas trwania lotu. Jednak rozwiązanie to umożliwia uzyskanie rzybliżonych wartości kursu, co ma ogromne znaczenie odczas integracji danych GPS/INS z zastosowaniem filtru Kalmana. W ramach niniejszego artykułu, autorzy rzerowadzili ekseryment badawczy, mający na celu wyznaczenie wartości kursu z użyciem sensora GPS dla bezzałogowego statku owietrznego. Dokonano orównania wartości kursu z sensorów GPS i INS oraz wyznaczono różnicę tychże arametrów. bliczenia zostały zrealizowane w edytorze numerycznym Scilab 5.4.1 na odstawie surowych danych z latformy rimble UX5. Lot testowy został rzerowadzony w godzinach 10:00 11:00 w sierniu 2014 r. na obszarze miejscowości Chrzęsne. trzymane rezultaty z rzerowadzonych badań zostały zarezentowane w racy na odowiednich wykresach. 63
Wyznaczenie kursu bezzałogowego statku owietrznego na odstawie danych GPS i INS 2. Model matematyczny wyznaczenia kursu z sensora GPS Proces odtworzenia kursu dla danych GPS odbywa się z użyciem metod transformacji między układami odniesienia. W ierwszym etaie wsółrzędne statku owietrznego w układzie geodezyjnym BLH (układ elisoidalny) są transformowane do układu globalnego XYZ (układ geocentryczny ECEF) za omocą rzekształcenia Helmerta [8]: y, gdy wartości E i N są dodatnie (I ćwiartka), 180 y, gdy wartość E jest dodatnia i N ujemna (II ćwiartka), 180 + y, gdy wartości E i N są ujemne (III ćwiartka), 360 y, gdy wartość E jest ujemna i N dodatnia (IV ćwiartka). (1) Rys. 1. Wartości kursu dla danej ćwiartki w układzie ENU Fig. 1. he Course value in ENU frame gdzie: a, b arametry wielkiej i małej ółosi elisoidy WGS-84, a = 6378137,0 m, b = 6356752, 314245 m, e 2 mimośród ierwszy, e 2 = 0,006694380023, R romień krzywizny ierwszego wertykału elisoidy WGS-84, (X, Y, Z) wsółrzędne geocentryczne statku owietrznego, (B, L, H) zarejestrowane wsółrzędne statku owietrznego w układzie elisoidalnym BLH. Wsółrzędne statku owietrznego w układzie elisoidalnym BLH ochodzą z formatu tekstowego log o rozszerzeniu *.csv, w którym zaisywane są zmiany wsółrzędnych ozycji oraz kątów orientacji (kursu, ochylenia i obrotu) dla każdej sekundy lotu. Warto dodać, iż wartości kątów orientacji odniesione są do układu wewnętrznego statku owietrznego (body-frame) i zostały zarejestrowane rzez jednostkę IMU odczas trwania lotu. W drugim etaie wsółrzędne geocentryczne statku owietrznego odlegają transformacji do układu nawigacyjnego samolotu (układ ENU), jak oniżej [9]: E = sinl X + cosl Y + 0 Z N = cosl sinb X sinl sinb Y + cosl Z U = cosl cosb X + sinl cosb Y + sinl Z gdzie: (E, N, U) wsółrzędne anteny odbiornika GPS w układzie nawigacyjnym ENU. W trzecim etaie nastęuje wyznaczenie kursu na odstawie zależności [2]: E y GPS = arctg (3) N lub alternatywnego wyrażenia [1]: (2) V E y GPS = arctg (4) VN gdzie: y GPS wyznaczany kąt kursu z techniki GPS, V E rędkość statku owietrznego w układzie ENU w kierunku wschodnim (East), V N rędkość statku owietrznego w układzie ENU w kierunku ółnocy (North). Parametr kursu dla danych GPS jest określony na odstawie znaku wartości rzyrostów dla arametrów N i E (równanie {3}) w układzie lokalnym anteny odbiornika ENU (rys. 1). Na odstawie rys. 1 można wywnioskować, iż wartość kąta kursu wynosi: Ekwiwalentne rozwiązanie wartości kursu (dla danych GPS) można uzyskać z równania (4), z tymże konieczne jest wyznaczenie składowych wektora rędkości statku owietrznego w kierunku N i E. Równocześnie kurs może być wyznaczony na odstawie omiarów żyroskoów umieszczonych w jednostce IMU. W tym rzyadku zakłada się, iż układ wewnętrzny bezzałogowego statku owietrznego okrywa się z układem sensora IMU [7]. W ten sosób możliwe jest wyznaczenie różnicy wartości kursu z rozwiązania GPS i INS, jak oniżej [1]: dy = y y (5) INS gdzie: y INS kurs zarejestrowany rzez IMU, d y różnica kursu. Dodatkowo w ramach analizy dokładności wyznaczono odchylenie standardowe dla różnicy kursu: gdzie: m dy dokładność różnicy kursu, vdy = dy i dy, v d y orawka, i eoka omiarowa, d y średnia wartość różnicy kursu dla wszystkich eok omiarowych, n liczba obserwacji. GPS 3. Ekseryment oraz wstęne wyniki W ekserymencie badawczym wykorzystano wsółrzędne ozycji i arametry orientacji statku owietrznego, zaisane w liku tekstowym log i ozyskane z urządzeń omiarowych, umieszczonych na latformie UX5 (rys. 2). Platforma rimble UX5 zaliczana jest do gruy minibezzałogowców (ang. mini-sized UV) i jest stosowana w fotogrametrii lotniczej do wykonywania zdjęć z niskiego i średniego ułau wysokości. Platforma rimble UX5 umożliwia automatyczną kontrolę startu, lotu i lądowania. Zdjęcia ozyskiwane są rzez automatyczne wyzwolenie migawki aaratu. Podstawowe arametry systemu rimble UX-5 rzedstawiono w tabeli 1. Bezieczeństwo lotu jest kontrolowane automatycznie, jednak istnieje możliwość ingerencji oeratora rzez kontrolę awaryjnych rocedur bezieczeństwa. Start latformy rimble UX5 może być realizowany wyłącznie za omocą wyrzutni mechanicznej. System może oerować rzy rędkości wiatru nierzekraczającej wartości 18 m/s oraz w warunkach nie gorszych niż lekki deszcz. Urządzenie może ozyskiwać zobrazowania z ułau o wysokości od 75 m do 750 m, z rozdzielczością terenową od (6) 64 P M I R Y U M Y K R B Y K NR 4/2015
Kamil Krasuski, Damian Wierzbicki abela 1. Parametry techniczne latformy rimble UX-5 [11] able 1. echnical arameters of rimble UX5 latform [11] y Masa Roziętość skrzydeł Rys. 2. rimble UX5 na wyrzutni rzed startem Fig. 2. he rimble UX5 before fly start jednolity korus ze skrzydłami 2,5 kg 1 m Powierzchnia skrzydeł 34 dm 2 Wymiary Materiał Naęd 100 cm 65 cm 10 cm ianka EPP; węglowa konstrukcja ramy; elementy komozytowe śmigło naędzające elektryczny silnik komutatorowy 0,024 m do 0,24 m. Do ozyskania danych obrazowych została wybrana kamera SNY NEX-5R jeden z częściej wybieranych sensorów montowanych na okładzie bezzałogowych statków latających. Wykonane zdjęcia zaisywane są w formacie JPEG. W rzyadku latformy rimble UX-5 zdjęcia wykonywane są za omocą suer jasnego obiektywu Voigtlander o ogniskowej 15 mm i maksymalnej wartości rzysłony F4.5. W ramach ekserymentu został wykonany lot testowy w sierniu 2014 r. w godzinach 10:00 11:00 czasu lokalnego. Powierzchnia obrazowania wynosiła 1250 m 3750 m. Do ozycjonowania bezzałogowego statku latającego wykorzystano jednoczęstotliwościowy odbiornik GPS zaisujący obserwacje z częstotliwością 10 Hz. Pozyskane obrazy osłużyły do rodukcji ortofotomay obrazowanego obszaru. Średnia wysokość lotu wynosiła 273 m, natomiast maksymalna i minimalna wartość wynosiły odowiednio 266 m i 279 m (rys. 3). W trakcie wykonywania ekserymentu badawczego, surowe wartości kursu z jednostki IMU zostały orównane z wynikami uzyskanymi z sensora GPS. Na rys. 4 rzedstawiono uzyskane wartości kursu dla techniki INS (kolor czarny) i metody GPS (kolor niebieski). Wartość średnia różnicy d y dla rezentowanych danych wyniosła 0,21, a odchylenie standardowe m dy onad 6,12. Uzyskane rezultaty arametru d y świadczą o tym, iż charakter zmian tego arametru jest odobny do szumu białego (wartość średnia dąży do 0, a odchylenie standardowe jest znacznie większe od 0). Rozrzut otrzymanych wyników dla arametru d y wyniósł odowiednio od 56,20 do 67,82, z wartością mediany na oziomie 0,01 (rys. 5). Duże wahania wartości arametru d y w głównej mierze są sowodowane czynnikami zewnętrznymi (oad atmosferyczny, zmiana rędkości wiatru), zmianą trajektorii lotu latformy rimble UX5 (zmiana kierunku lotu i wysokości elisoidalnej lotu) oraz czynnikami ludzkimi (brak doświadczenia oeratora, niskie wyszkolenie, brak dobrej znajomości srzętu i orogramowania). dstające wartości arametru d y na wykresie nr 5 owodują konieczność zastosowania dodatkowych algorytmów wygładzających (filtry dolnorzeustowe oraz wielomiany n-tego stonia) lub metod ozwalających na odrzucenie omiarów odstających. W celu wykrycia dużych różnic wartości arametru d y na wykresie nr 5, a tym samym wygładzeniu uzyskanych wyników, zastosowano w ierwszym kroku filtr Kalmana. Filtr Kalmana jest oeracją matematyczną mającą na celu ograniczenie (właściwie wyeliminowanie) odczas analizy omiarów odstających oraz zmniejszenie błędów średnich dla wyznaczanych arame- Rys. 3. rajektoria ionowa latformy rimble UX5 Fig. 3. Vertical trajectory of rimble Ux5 latform Rys. 4. Wartość kursu z danych GPS i INS Fig. 4. he course value from GPS and INS data 65
Wyznaczenie kursu bezzałogowego statku owietrznego na odstawie danych GPS i INS gdzie: Y surowe wartości arametru dy na odstawie różnicy INS i GPS (kolor czerwony), (a, b) wsółczynnik regresji liniowej (arametry wyznaczane), X numer eoki omiarowej. Równanie (12) jest rozwiązywane metodą najmniejszych kwadratów na odstawie układu równań normalnych, jak oniżej [6]: 1 [ a, b] = N L δ x = (13) Rys. 5. Wartość różnicy kursu z surowych danych GPS i INS Fig. 5. he value of course difference from raw GPS and INS data trów. Filtr Kalmana jest rocesem dwuetaowym, tzn. składa się z etau redykcji i korekcji, jak oniżej [4]: 1) roces redykcji : gdzie: N 1 = (X X) 1, macierz odwrotna układu równań normalnych, L = X Y, wektor wyrazów wolnych. Na rys. 7 rzedstawiono wartości arametru dy dla metody wielomianowej kolorem czerwonym oznaczono surowe rezultaty różnicy kursu na odstawie omiarów INS i GPS, zaś kolor zielony to rezultaty dy o zastosowaniu wielomianu ierwszego stonia. Wyznaczona nowa wartość arametru dy wynosi 0,21 (odobnie jak w rzyadku filtracji Kalmana), a odchylenie standardowe m dy zmalało do 0,11. W rzyadku rozwiązania wielomianowego, wartość odchylenia standardowego m dy została orawiona o 98% w odniesieniu do wartości z wykresu nr 5. Z kolei rozwiązanie wielomianowe orawiło wartość odchylenia standardowego m dy o 84% względem rozwiązania z filtrem x (7) = xk 1 P (8) = Pk 1 + Qk 1 gdzie: macierz wsółczynników, x k 1 oszacowane wartości wyznaczanych arametrów a riori z kroku orzedniego, P k 1 oszacowane wartości kowariancji a riori z kroku orzedniego, x rognoza wartości stanu, P rognozowane wartości kowariancji, Q k 1 macierz kowariancji rocesu szumu. 2) roces korekcji : ( H P H + ) 1 Kk = P H R (9) x k k ( z H x ) = x + K (10) P k ( I Kk H ) P = (11) gdzie: R macierz kowariancji omiarów, H macierz ochodnych cząstkowych, K k macierz wzmocnienia Kalmana, z wektor wielkości omierzonych, I macierz jednostkowa, x k wyznaczane arametry a osteriori, P k macierz kowariancji wyznaczanych arametrów a osteriori. Na rys. 6 zarezentowano rezultaty filtracji Kalmana dla wartości arametru dy, tj. kolorem czerwonym ozn. surowe rezultaty dy na odstawie omiarów INS i GPS, zaś kolor czarny to wartości dy o filtracji Kalmana. Nowa wartość różnicy kursu dy wynosi 0,21, ale odchylenie standardowe m dy zostało ograniczone do 0,68, co skutkuje zmniejszeniem się błędu średniego o około 89% w odniesieniu do wartości z wykresu nr 5. Dysersja otrzymanych wyników dla arametru dy (o filtracji) wynosi odowiednio od 1,42 do 2,25, z wartością mediany na oziomie 0,28. Ponad 85% wyników dy o filtracji Kalmana znajduje się w rzedziale od 1 do 1. W rzyadku dysersji wyników między wartości 1,5 do 1,5, liczba uzyskanych rezultatów w odanym zbiorze wzrasta do rawie 97%. W drugim etaie w celu zmniejszenia dysersji wyników kąta ślizgu zaroonowano zastosowanie wielomianu ierwszego stonia (funkcja regresji liniowej, atrz rys. 6) w ostaci [8]: Y = ax + b (12) Rys. 6. Wartość różnicy kursu z surowych danych GPS i INS (rzed i o rocesie filtracji Kalmana) Fig. 6. he value of course difference from raw GPS and INS data (before and after Kalman filter rocessing) Rys. 7. Wartość różnicy kursu z surowych danych GPS i INS (rzed i o zastosowaniu wielomianu ierwszego stonia) Fig. 7. he value of course difference from raw GPS and INS data (before and after 1st onynomial alied) 66 P M I R Y U M Y K R B Y K NR 4/2015
Kamil Krasuski, Damian Wierzbicki abela 2. Porównanie wybranych arametrów różnicy kursu dla danej metody obliczeniowej able 2. Comarison of major arameters of course difference for each calculated method Parametr Rozwiązanie bazowe (surowe dane INS i GPS) Metoda filtracji Kalmana Metoda wielomianowa Średnia arytmetyczna 0,21 0,21 0,21 dchylenie standardowe 6,12 0,68 0,11 Dysersja wyników ( 56,20 67,82 ) ( 1,42 2,25 ) (0,02 0,40 ) Mediana 0,01 0,28 0,21 Kalmana (rys. 6). Dysersja uzyskanych wyników arametru dy (dla metody wielomianowej) wynosi odowiednio od 0,02 do 0,40, z wartością mediany równą 0,21. W tabeli 2 rzedstawiono sumaryczne wyniki z rzerowadzonych badań lotniczych za omocą BSL. Na odstawie tabeli 2 można wywnioskować, iż wartość arametru dy dla zastosowanych metod obliczeniowych jest taka sama i wynosi 0,21. W rzyadku odchylenia standardowego, najwyższą dokładność rozwiązania uzyskano dla metody wielomianowej, zaś najmniejszą dokładność na odstawie surowych wyników GPS i INS (równanie 5). Wartość mediany, która określa najczęściej owtarzane liczby w danym zbiorze, jest mniejsza niż 0,3 dla wszystkich metod badawczych, co odkreśla zbieżność wyników dla kursu z omiarów INS i GPS. Dysersja otrzymanych rezultatów dla arametru d y jest najmniejsza dla metody wielomianowej i filtru Kalmana, zaś największa dla rozwiązania bazowego. 4. Wnioski W artykule wykazano możliwość wykorzystania omiarów GPS do wyznaczenia kursu dla bezzałogowego statku latającego (BSL) w trybie ost-rocessingu. Przedstawiono i scharakteryzowano metodę obliczeniową (z odaniem ełnego algorytmu) do wyznaczania kursu dla sensora GPS oraz dodatkowo wyznaczono wartość różnicy kursu. bliczenia zostały realizowane w edytorze numerycznym Scilab 5.4.1 dla danych GPS i INS, ozyskanych z latformy rimble UX5. Ekseryment lotniczy został zrealizowany w godzinach 10:00 11:00 w sierniu 2014 r. na obszarze miejscowości Chrzęsne. Na odstawie rzerowadzonych badań sformułowano nastęujące wnioski: zastosowanie sensora GPS do wyznaczania kursu umożliwia osiągnięcie odobnych wyników do wartości uzyskanych z rozwiązania INS (rys. 4), wyznaczenia kursu z danych GPS i INS umożliwia określenie również różnicy tych wartości, średnia różnica wartości kursu między rozwiązaniem bazowym z surowych danych GPS i INS wynosi 0,21 z odchyleniem standardowym 6,12, zastosowanie filtru Kalmana ozwala na osiągniecie wartości różnicy kursu na oziomie 0,21 z odchyleniem standardowym 0,68, zastosowanie filtru Kalmana orawiło dokładność wyznaczenia różnicy kursu o około 89% (względem rozwiązania bazowego dla surowych danych GPS i INS), zastosowanie wielomianu ierwszego stonia ozwala na osiągnięcie wartości arametru dy na oziomie 0,21 z odchyleniem standardowym 0,11, zastosowanie wielomianu ierwszego stonia orawiło dokładność wyznaczenia arametru d y o około 98% (względem rozwiązania bazowego dla surowych danych GPS i INS). Bibliografia 1. ngrisano., Petovello M., Pugliano G., Benefits of combined GPS/GLNSS with low-cost MEMS IMUs for vehicular urban navigation, Sensors, 12, 2012, 5134 5158, DI: 10.3390/s120405134. 2. Bevly D.M., Navigation for control of ground vehicles, Deartment of Mechanical Engineering, 5 th nnual Summer Worksho, NDI Intelligent Vehicles Symosium, 2006. 3. Bieda R., Grygiel R., Wyznaczanie orientacji obiektu w rzestrzeni z wykorzystaniem naiwnego filtru Kalmana, Przegląd Elektrotechniczny, ISSN 0033-2097, R. 90, Nr 1/2014. 4. Cai C., Precise Point Positioning using dual-frequency GPS and GLNSS measurements, Dissertation thesis, University of Calgary, Canada, 2009. 5. Ciećko., Grzegorzewski M., Ćwiklak J., szczak S., Grunwald G., Baber K., Wykorzystanie systemów satelitarnych w beziecznej nawigacji owietrznej, Logistyka, Nr 3, 2015. 6. Garguła.: Rachunek wyrównawczy rzykłady oracowania ćwiczeń, Wydawnictwo GEDPIS ndrzej Jagielski, Kraków 2005. 7. Grygiel R., Bieda R., Wojciechowski K., Metody wyznaczania kątów z żyroskoów dla filtru komlementarnego na otrzeby określania orientacji IMU, Przegląd Elektrotechniczny, R. 90, Nr 9, 2014, 217 224, DI: 10.12915/ e.2014.09.52. 8. sada E., Geodezja, Politechnika Wrocławska, Wrocław 2001. 9. Sanz Subirana J., Juan Zornoza J. M., Hernández-Pajares M., GNSS Data Processing, Vol. I: Fundamentals and lgorithms, ES Communications, ESEC, Noordwijk, Netherlands, 2013. 10. Schultz C.E., INS and GPS integration, MSc thesis. echnical University of Denmark, 2006. 11. www.uas.trimble.com, (listoad 2015). 67
Wyznaczenie kursu bezzałogowego statku owietrznego na odstawie danych GPS i INS Estimation course angle for UV based on GPS and INS data bstract: For several years, increased interest in the use of unmanned aerial vehicles in hotogrammetry and remote sensing can be easily observed. Low-budget unmanned latforms mostly use a relatively low-cost single frequency GPS and INS latforms (MEMS). heir integration allows to determination the orienta-tion arameters of unmanned aerial vehicle in the sace. he article deals with the reliminary results of determine the course angle based on the same GPS data and identifies the difference of course using GPS and INS data. he article resents an algorithm determine the course angle and also describes in details the airborne exeriment using rimble UX5 latform. Based on the researches and the results ob-tained, it was found that the average difference of course angle based on raw GPS and INS equals to 0,21 with a standard deviation of 6,12. Keywords: GPS, INS, course angle, standard deviation, Kalman filter mgr inż. Kamil Krasuski dr inż. Damian Wierzbicki bsolwent Wojskowej kademii echnicznej w Warszawie. utor rogramu SciEC oolbox 1.0.0 (obecna wersja 1.5.0). bszar zainteresowania: nawigacja, geodezja, geofizyka, rogramowanie, metody numeryczne. d 2014: Zesół echnik Satelitarnych. d 2015: Starostwo Powiatowe w Rykach Wydział Geodezji, Kartografii i Katastru Nieruchomości. bsolwent Wojskowej kademii echnicznej w Warszawie. bszar zainteresowania: cyfrowe rzetwarzanie obrazów, fotogrametria lotnicza, teledetekcja. kk_deblin@w.l 68 P M damian.wierzbicki@wat.edu.l I R Y U M Y K R B Y K NR 4/ 20 1 5