STATYSTYKA OPISOWA Statytyka Statytyka opowa Statytyka matematycza Loowae (pomar) Popuacja geeraa (rezutaty potecjaych pomarów) Próbka (rezutaty pomarów) Statytyka opowa zajmuje ę wtępym opracowaem wyków pomarów (próbk) bez poługwaa ę rachukem prawdopodobeńtwa. Ne wycągamy woków dotyczących popuacj geeraej. Nech x, x, x 3,...x będze próbką -eemetową. czość (czebość). Parametry obczoe z próbk będą daej azywae tatytykam.. Grafcze przedtawee próbk: zereg rozdzeczy, htogram, łamaa czętośc Roztęp R=x max -x m Kay Da próbek o dużej czebośc (>3) eemety próbk grupuje ę w kaach, tj. przedzałach o rówej ub erówej długośc. Nech k ozacza ość ka. Ie ka k przyjąć da daej próbk? Moża ę kerować atępującym oretacyjym regułam: k5 g() ub k=+3.3 8g() ub k= Zatem, gdy =, to k= 6, gdy =, to k=6 8 Długość kay br/k Nech czość -tej kay, a x środek -tej kay. Wtedy pary czb ( x, ) azywamy zeregem rozdzeczym. Grafcze przedtawee zeregu rozdzeczego azywa ę htogramem. Na o pozomej htogramu środk ka ub grace pozczegóych ka, a o poowej htogramu czośc ka, czętośc (frekwecje) w = /, ub v =w /b. Łącząc pukty o wpółrzędych x b,, x, x k b, otrzymujemy tzw. łamaą czętośc. da =,...,k, v. Statytyk okacj rozkładu Średa arytmetycza x czb x, x, x 3,...x okreśoa jet wzorem x x Charakterytycza właość średej arytmetyczej: uma wzytkch odchyeń jet rówa zero; x x.
Średa geometrycza g czb dodatch okreśoa jet wzorem g x Średa harmocza h, różych od zera czb x, x, x 3,...x,, azywamy odwrotość średej arytmetyczej odwrotośc tych czb h x Medaa (wartość środkowa) m e środkowa czbę w uporządkowaej emaejąco próbce (da próbk o czośc eparzytej) ub średą arytmetyczą dwóch czb środkowych (da próbk o czośc parzytej). Wartoścą modaą (modą, domatą) m próbk o powtarzających ę wartoścach azywamy ajczęścej powtarzającą ę wartość, o e teje, e będącą x m a x max. Jeże w zeregu rozdzeczym ajczejze ą obe kay kraje, to zereg rozdzeczy azywamy atymodaym typu U, a środek ajmej czej kay atymodą. Gdy ajczejza jet jeda z ka krajych, to zereg rozdzeczy azywamy atymodaym typu J. Rozkład dwumoday gdy wytępują dwe jedakowo cze ajczejze kay e będące krajym. Rozkład jedomoday, dwuwerzchołkowy wytępują dwe ajczejze kay, ae e ą jedakowo cze e ą krajym. Kwaty rzędu q (<q<) taka wartość x q, przed którą (tz.da xx q ) zajduje ę q % eemetów próbk. Gdy q=.5,.5,.75, to take kwatye azywamy kwartyam. Gdy q=.5 mówmy o kwartyu doym, gdy q=.75 mówmy o kwartyu górym. Kwarty q=.5 jet medaą. 3. Statyk rozprozea (rozrzutu, rozaa) rozkładu Roztęp R; średa arytmetycza kwadratów odchyeń pozczegóych wartośc x od średej aryt- Waracja metyczej x Odchyee tadardowe x x Odchyee przecęte d od wartośc średej średa arytmetycza wartośc bezwzgędych odchyeń pozczegóych wartośc x od średej arytmetyczej d x x Odchyee przecęte d od meday średa arytmetycza wartośc bezwzgędych odchyeń pozczegóych wartośc x od meday m e d x m e. Statytyk kztałtu rozkładu Mometem zwykłym m rzędu próbk x, x, x 3,...x azywamy średą arytmetyczą -tych potęg wartośc x m x Zauważmy, że m = x Mometem cetraym M rzędu próbk x, x, x 3,...x azywamy średą arytmetyczą -tych potęg odchyeń wartośc x od średej arytmetyczej x próbk
Zauważmy, że M =, M =. Wpółczyk aymetr (kośośc) g M x x M 3 g 3 gdze jet odchyeem tadardowym. Da rozkładu ormaego g =. Gdy rozkład ma dług ogo da wartośc wękzych od wartośc średej, to g >, gdy ogo wytępuje po troe wartośc mejzej ż średa, to g <. Wpółczyk kocetracj (kupea), kurtoza K M K gdze jet odchyeem tadardowym. Kurtoza ma wartość 3 da rozkładu ormaego. Gdy K>3, to rozkład jet bardzej kupoy ( zpczaty ) ż rozkład ormay, gdy K<3, to rozkład jet bardzej płazczoy ż rozkład ormay. Wpółczyk płazczea, ekce g Da rozkładu ormaego g =. Wpółczyk zmeośc gdze jet odchyeem tadardowym. g =K-3 % x Wpółczyk erówomerośc H d H % x gdze d jet odchyeem przecętym od średej arytmetyczej. 5. Grafcze przedtawee próbk: prawdopodobeńtwo kumuowae, wykre ramkowy Zakładamy, że prawdopodobeńtwo uzyka każdego eemetu próbk eemetowej jet rówe /. Uporządkujmy próbkę według wartośc roących. Prawdopodobeńtwem kumuowaym (dytrybuatą empryczą) p(x) da daego x azywamy prawdopodobeńtwo otrzymaa wartośc mejzej ub rówej x: p(x)=p(x x) w próbce uporządkowaej. Jedym z weu poobów grafczej prezetacj próbk jet wykre ramkowy, potocze azyway pudełkem z wąam (ag. box-ad-whker pot), zapropooway w 977 roku przez J.Tukey a. Ryujemy ajperw protokąt, którego doy bok jet kwartyem doym, a góry bok kwartyem górym. Pozoma a dzeąca protokąt to medaa. Wąy powtają z połączea powtałego pudełka z krótkm am pozomym, aryowaym da kwatya q=.95 (góry wą) kwatya.5 (wą doy). Na ryuku zazaczyć moża także e wartośc kwaty (p...99), jak e tatytyk próbk, p. wartość średą, ektremae wartośc w próbce, tp. PRZYKŁAD: Próbka. eemetowa utworzoa za pomocą geeratora czb oowych, z rozkładu ogormaego LND(,.) (Program MATHEMATICA) 8.78 69.368.699 9.389 65.357 5.783 55.99.859 7.866 55.7535 87.5 9.336 37.566 56.77 6.8 7.66 5.3336 77.83.7.5877 55.895 35.983 67.637 8.95.7 6.7 35.769 3.695 8.9 5.3768 3
63.7887 39.5 53.63 98.656 86. 3.353 3.359 39.973.369 9.67 =, x m =.369, x max =53.63, R=3.76 6 8 6 6 8 6 x Ry.. Htogram próbk. Zazaczoo grace ka (a o x) ość eemetów w kae (a o y) Statytyk okacj rozkładu: średa arytmetycza x =55.7 średa geometrycza g =5.5966 średa harmocza h =6.56 medaa m e =9.59 modabrak Statytyk rozprozea: waracja =65.69 odchyee tadardowe =.83 odchyee przecęte od x d =8.9 odchyee przecęte od m e d =.5955 Statytyk kztałtu: momet cetray =3 M 3 =53 momet cetray = M =.67679 6 wpółczyk aymetr g =.6537 kurtoza K=7.639 ekce g =.639 wpółczyk zmeośc =.9 % wpółczyk erówomerośc H=33. % 8 6 p 6 8 6 x Ry.. Wykre kumuowaego prawdopodobeńtwa p (x ) [wyrażoego w %] tego, że zajdzemy w próbce wartość x
Kwatye: kwaty rzędu..369 kwaty rzędu.5.699 kwaty rzędu.5 39.973 kwaty rzędu.5 8.93 kwaty rzędu.75 65.357 kwaty rzędu.95 9.673 kwaty rzędu.99 53.6 8 6 x 8 6 95% 5% 75% 5% 5% - A Ry. 3. Wykre ramkowy: wartość średa (kółko z pozomą kreką), wartośc ektremae (pozome krek), kwartye (pudełko), kwatye.5.95 (wąy), kwatye..99 (krzyżyk) Lteratura: W.Kryck, Rachuek prawdopodobeńtwa tatytyka matematycza w zadaach, część II: Statytyka matematycza, PWN, Warzawa 995 J.Tukey, Expaatory Data Aay. Readg, MA:Addo-Weey, 977 Erc Wete Word of Mathematc, http://mathword.wofram.com/ 5