ĆWICZENIE 66 BADANIE SPRAWNOŚCI GRZEJNIKA EEKTRYCZNEGO Wprowadzenie Uporządkowany ruch ładunków nazywamy prądem elektrycznym. Warunkiem koniecznym przepływu prądu jest obecność nośników (ładunków elektrycznych) w środowisku, oraz istnienie różnicy potencjałów. Natężenie pola elektrycznego wewnątrz przewodnika E 0, innymi słowy wnętrze przewodnika nie stanowi obszaru ekwipotencjalnego. Przyjmuje się, że prąd płynie od punktu o potencjale wyższym do punktu o potencjale niższym. Odpowiada to ruchowi nośników dodatnich. Tak określony kierunek nazywamy umownym. W przewodnikach metalicznych, często w próżni, nośnikami są elektrony (jak wiemy obdarzone ładunkiem ujemnym). Ruch jest możliwy od potencjału niższego (np. ujemnego ), do wyższego, jest to kierunek rzeczywisty. Kierunek przepływu nośników i rzeczywisty kierunek prądu pokrywają się jedynie w przypadku nośników dodatnich. Wielkością charakteryzującą prąd elektryczny jest natężenie I. Mierzymy je szybkością przepływu ładunku Q przez określony przekrój przewodnika. W przypadku prądu stałego. Q I =, () t gdzie: t jest czasem przepływu ładunku Q przez przekrój przewodnika S. Jeżeli ładunek jest funkcją czasu, wówczas miarą natężenia jest pochodna ładunku względem czasu dq I =. (2) dt Jednostką natężenia jest amper, przy czym [ C] [ A] = [ s] ( C - kulomb, s - sekunda). Natężenie mierzymy amperomierzem włączonym do obwodu szeregowo (patrz rys. ). Rys. Ćwiczenie 62
Duże znaczenie teoretyczne przy badaniu prądu elektrycznego ma wektorowa wielkość fizyczna zwana gęstością prądu. Miarą gęstości jest di j = (3) ds n lub r di r j = ds v o (4) n gdzie: S n jest przekrojem normalnym, a r v o wektorem jednostkowym skierowanym zgodnie z kierunkiem płynącego prądu. Rys. 2 Zakładając, że gęstość nośników dodatnich i ujemnych wynosi n ich prędkość jest jednakowa i równa v a bezwzględna wartość ładunku elementarnego e, wówczas natężenie obliczymy ze wzoru I = e n v S cos α. (5) Jeżeli nośniki poruszają się równolegle do ścian przewodnika, to S o v = S v cosα i I = e n S r o v r. (5 ) Różniczkując wyrażenie względem przekroju S dostajemy j = e n v cosα, lub uwzględniając v cosα = v n, j = e n v n. Ostatni związek można zapisać wektorowo Ćwiczenie 62 2
j = e n v n. (6) Zależności (5 ) i (6) opisują natężenie prądu oraz jego gęstość przy pomocy wielkości mikroskopowych. Łatwo zauważyć, ze natężenie prądu. r I = jds = e n vds r. (7) S S Jeżeli założymy, że ładunek jest funkcją wielu zmiennych i wypływa z pewnej objętości przewodnika, to (korzystając z (7) ) Ale Q = t jds. (8) S Q = ρ dv, (9) V (gdzie, ρ - gęstość ładunku, V objętość przewodnika, w której znajduje się ładunek Q) i na mocy twierdzenia Gaussa S jds = divjdv, (0) V (gdzie powierzchnia S zamyka objętość V), równanie (8) da się zapisać następująco: ρ = t dv V V divjdv r. Ponieważ objętości po obu stronach równania są identyczne, a całki są równe, to i funkcje podcałkowe są równe. Zatem ρ = divj r, t lub r ρ divj + = 0. () t jest to tzw. równanie ciągłości. Jeżeli ubytek ładunków z objętości V przewodnika przez powierzchnię S 2 Ćwiczenie 62 3
Rys. 3. jest skompensowany dopływem ładunków przez powierzchnię S (rys. 3.), wówczas mamy stan stacjonarny. Gęstość ładunków w objętości V nie ulega zmianie ρ = const, a Stąd wynika, że równanie ρ t = 0. (2) divj r = 0, (3) Zatem w objętości V przewodnika nie ma źródeł prądu. Zarówno wyrażenia (2) jak i (3) są równaniami ciągłości w stanach stacjonarnych. Załóżmy, że do pewnego punktu obwodu wpływa N prądów i wypływa z niego N 2 prądów odpowiednio o natężeniach I, I 2,...I N oraz I, I 2,...I N2. Suma prądów wpływających i wypływających wynosi N=N +N 2 Rys. 4. Ćwiczenie 62 4
Równanie ciągłości (3) z uwzględnieniem twierdzenia (0) zapisujemy w postaci jds = 0. (4) S W naszym przypadku na powierzchnię S składają się powierzchnie przekrojów N - przewodników, zatem wzór (4) możemy zastąpić sumą N j S i i = 0, i= ale ji Si = I i, więc N I i = i= 0. (5) Otrzymaliśmy prawo Kirchhoffa, które mówi, że suma natężeń prądów wpływających do węzła sieci elektrycznej jest równa sumie prądów wypływających. Co można zapisać bardziej przejrzyście N N 2 I = i i= i= I i '. (6) Patrząc na wzór 5 wydawać by się mogło, że natężenie prądu można byłoby zwiększać dowolnie zwiększając prędkość przepływu nośników v przez przyłożenie odpowiedniej różnicy potencjałów U. W rzeczywistości prędkość ta jest prędkością dryfu. Ruch nośników nie jest swobodny odbywa się w środowisku wypełnionym drgającymi atomami środowiska. Dochodzi do licznych zderzeń, nośniki przemieszczają się we wszystkich kierunkach, z tym że przemieszczanie w kierunku wyznaczonym przez różnicę potencjałów jest nieco większe. Prędkość v jest tą prędkością przemieszczania. Zatem nośniki doznają oporu ruchu. Natężenie prądu I jest funkcją przyłożonego napięcia I=f(U). Ćwiczenie 62 5
W ustalonej temperaturze U I = const. Stała ta zależna jest od środowiska, od cech geometrycznych przewodnika; nazywamy ją oporem elektrycznym U I = R (7) Opór elektryczny nie zależy ani od płynącego prądu (I) ani od przyłożonego napięcia (U). Funkcja I= f(u) znana jest jako prawo Ohma. W postaci jawnej dla prądu stałego możemy ją zapisać: I U, (8) lub I = k U, gdzie k = R Zatem = const, (ze wzoru 7) I U =. (9) R Rys. 5 Przewodniki, dla których spełniony jest warunek (8), nazywamy omowymi lub liniowymi ( patrz wykres 5). Prawo Ohma możemy sformułować inaczej wiążąc je ze środowiskiem, wówczas l dl R = ρ w ; R = ρ w, (20) S ds Ćwiczenie 62 6
gdzie: ρ w opór właściwy zależny od cech przewodnika, od jego struktury; l - długość przewodnika, S - przekrój. Zróżniczkujmy (9), wówczas Z wyrażenia (3) wynika, że di = R du. (2) di = jds. Wiadomo, że du = E dl (l - długość przewodnika, E - natężenie pola elektrycznego wewnątrz przewodnika). W naszym przypadku j dl. Podstawiając otrzymane związki do wyrażenia (2) otrzymamy jds = R Edl. Ponieważ dl r ds r, to jds = R Edl. Uwzględniając (20) dostaniemy r jds = ρ w ds r dl Edl. Ostatecznie r j r = σ (22) E w gdzie : σ w = jest przewodnością właściwą. Jest to tzw. różniczkowa ρ w postać prawa Ohma. Jednostką oporu elektrycznego w układzie SI jest om [ Ω ], jego wymiar określamy ze wzoru (7) [Ω ]= V A. Opór elektryczny zależny jest od temperatury. Dla przewodników metalicznych można w przybliżeniu napisać wzór: ρ = ρ + α, (23) ( ) w wo T Ćwiczenie 62 7
gdzie: ρ wo - opór właściwy w temperaturze T o =273 o K, α - współczynnik temperaturowy oporu. Dla temperatur zbliżonych do temperatury pokojowej temperaturowy współczynnik oporu α ρ ρ w wo = Tρ wo. (24) Weźmy pod uwagę (22), stąd E = j. σ Rozpatrzmy przewodnik zamknięty o długości. w Obliczamy całkę po konturze, Niech Edl = σ w jdl. r j dl r, jeżeli Edl = 0, to σ w jdl = 0, I ale j =, S więc dl I σ S = 0. w Łatwo zauważyć, że dl = R. (25) σ w S Więc U = I R = 0, stąd I = 0, ponieważ R 0. W obwodzie nie płynie prąd ponieważ brak w nim siły elektromotorycznej. Założyliśmy na początku, że Ćwiczenie 62 8
Edl = 0, co oznacza brak czynnika podtrzymującego ruch ładunków elektrycznych. Jeżeli istnieje czynnik zewnętrzny podtrzymujący przepływ ładunków, wówczas r j = σ ( E + E ), gdzie E r z - natężenie pola elektrycznego pochodzącego od zewnątrz. Wtedy jdl 0. Zatem Ponieważ to σ w w r jdl = E + E dl = IR ( z ). jdl = 0, Ezdl = IR 0. Jest to siła elektromotoryczna, którą oznaczymy przez E E dl IR E = z = R - oznacza całkowity opór obwodu Jeżeli obwód zawiera K sił elektromotorycznych i N oporów elektrycznych, z Rys. 6 Ćwiczenie 62 9
wówczas K i= E i = N i = I i R i, (27) jest równaniem zapisanym dla komórki elektrycznej przedstawionej na rysunku 6, gdzie K =2, a N = 6. Wzór (27) jest matematyczną postacią drugiego prawa Kirchhoffa. Formułujemy je następująco: W zamkniętym oczku sieci elektrycznej suma wszystkich sił elektromotorycznych tam występujących jest równa sumie spadków napięć na wszystkich oporach oczka. Zapisując to prawo dla obwodu zamkniętego przedstawionego na schemacie 7 otrzymamy: Rys. 7 gdzie Rz = R + R stąd 2, E = IRw + IR + IR = I ( Rw + Rz ) 2, I = E / (R z + R w ) (28) Ostatni wzór przedstawia prawo Ohma dla obwodu zamkniętego. Zauważmy, że IR = z U jest spadkiem napięcia na oporze zewnętrznym. Napięcie mierzymy w woltach. Woltomierz włączamy równolegle do obwodu w punktach między którymi chcemy zmierzyć różnicę potencjałów (napięcie). Ćwiczenie 62 0
Rys. 8 Miarą pracy przy przesunięciu ładunku między punktami o różnicy potencjałów U, jest iloczyn lub W = Q U, (29 ) 2 W = U I t = I R t. (29) Dla dowolnego przypadku nieskończenie mała praca dw = U Idt = I 2 Rdt. (30) Zależności (29) i (30) przedstawiają prawo Joule a. Opisuje ono skutki energetyczne przepływu prądu elektrycznego, (np. wydzielanie się ciepła na oporniku R w wyniku przepływu prądu o natężeniu I w czasie t ). Pracę mierzymy w dżulach. Miarą mocy jest iloraz P = dw. dt Różniczkując wyrażenie (29 ) otrzymamy dq U Q du dw + = = P. dt dt dt W stanie ustalonym U = const i dq P = U = I U, (3) dt lub P = I 2 R. (32) W układzie SI jednostką mocy jest wat. Uwzględniając (7) oraz (26), wzór (3) zapiszemy w postaci P = je lds, ponieważ l ds = dv jest elementem objętościowym, to Ćwiczenie 62
ale z prawa Ohma j = σ w E, zatem stąd P P = jedv, 2 = σ w E dv dp dv = σ w E 2. (33) dp - jest gęstością mocy. Łatwo zauważyć, że gęstość mocy silnie zależy od dv natężenia pola elektrycznego wewnątrz przewodnika. Korzystając z prawa Ohma i praw Kirchhoffa otrzymamy zależności na łączenie oporów. W przypadku łączenia szeregowego n oporników Rzast. = R + R2 +... + Rn = Ri n i= Jeżeli wszystkie opory są jednakowe, wówczas Rzast. = nr.,. (34) Przy łączeniach równoległych opór całkowity jest mniejszy od najmniejszego oporu połączonego równolegle n = + +... + =. (35) Rzast. R R2 Rn i= Ri Gdy R = R =... = R = R, to 2 R Rzast. =. n Jeżeli łączymy k oporników szeregowo z tak utworzonych szeregów tworzymy n połączeń równoległych a wszystkie oporniki są jednakowe, to opór zastępczy układu obliczamy ze wzoru: k R n R zast. =. n Ćwiczenie 62 2
Badanie sprawności grzejnika elektrycznego. Miarą sprawności jest stosunek energii wykorzystanej użytecznie do energii włożonej η = Q W 00%. Energia użyteczna jest energią cieplną zużytą na ogrzanie cieczy kalorymetrycznej i kalorymetru. ( ) Q = mk ck + mccc T, gdzie: m k - masa kalorymetru, c k - ciepło właściwe materiału kalorymetru, m c - masa cieczy, c c - ciepło właściwe cieczy, T - przyrost temperatury. Miarą energii włożonej jest praca wykonana przez prąd elektryczny W = U I τ, gdzie τ - oznacza czas ogrzewania, U - napięcie przyłożone do grzejnika oraz I - natężenie płynącego przez grzejnik prądu. Uwzględniając oba wzory sprawność η = ( + ) m c m c k k c c T 00%. UIτ Ćwiczenie 62 3
Przebieg pomiarów. Zestawiamy obwód według schematu (rys. 2 ). Rys. 2 Uwaga! W punktach C i D podłączamy obwód do zacisków zasilacza. 2. Zamykamy obwód kluczem W, suwakiem opornika ustawiamy wartości natężenia (napięcia) wskazane przez prowadzącego. Otwieramy wyłącznik W. 3. Odczytujemy wskazania termometru. 4. Zamykamy wyłącznik W jednocześnie włączamy stoper. Przepuszczamy prąd przez grzejnik w czasie wskazanym przez prowadzącego. 5. Przez cały czas pomiaru staramy się utrzymać jednakowe napięcie. Odczytujemy wskazania termometru, amperomierza i woltomierza co 30 sek. 6. Po upływie czasu τ otwieramy obwód i zatrzymujemy stoper. 7. Mierzymy masy kalorymetru i cieczy kalorymetrycznej. 8. Uśredniamy wartości napięcia i natężenia. 9. Sporządzamy wykres funkcji t = f(τ ). Dzielmy t na 3 równe części i oznaczamy dla nich czas τ w jakim nastąpił przyrost temperatury t 3. 0. Korzystając ze wzoru (38) obliczamy sprawność w wyznaczonych przedziałach czasowych i sprawność w czasie całego pomiaru.. Obliczamy błąd, przeprowadzamy dyskusję błędów i wyników, formułujemy wnioski. 2.Oziębiamy naczynie z cieczą i wykonujemy czynności z punktów - dla kalorymetru pozbawionego osłony. 3. Porównujemy wyniki pomiarów pierwszej i drugiej serii i wyciągamy wnioski. Ćwiczenie 62 4
iteratura:. Jay Orear - Fizyka t. 2. Jaworski, Dietław, Pinski - Kurs fizyki t. 2 3. Imre Tarian - Fizyka dla przyrodników (Biologia, Rolnictwo ) 4. S. Przestalski - Fizyka z elementami biofizyki i agrofizyki (Biologia, Rolnictwo ) 5. T. Dryński - Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki 6. H. Szydłowski - Pracownia fizyczna 7. J. Kuczera - aboratorium fizyki i biofizyki (Biologia, Rolnictwo ) 8. A. Murkowski - Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki i biofizyki (Biologia, Rolnictwo ) Ćwiczenie 62 5