f (n) lim n g (n) = a, f g

Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ Á Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã Ï ØÔ ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ Ï Ö Þ Û ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð

ÛÝ Ù ÈÐ Ò ÒÓØ ÝÑÔØÓØÝÞÒ ÔÓ Ð ÓÖÝØÑÙ Ó ÞØ Ð ÓÖÝØÑÙ Þ Ó ÓÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÔØÝÑ ÐÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ ÔÓ ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ ÔÓÔÖ ÛÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð

Ò ÔÓ Ø ÛÓÛ Ò ÔÓ Ø ÛÓÛ º ÑÔÐ Ñ ÒØ ÖÞ Û Ò ÖÒÝ Ñ ØÓ Ý ÔÖÞ Ó Þ Ò ÖÞ Û Ò ÖÒÝ ÛÝ Ù º º ÈÐ Ò Ö Ý ÖÞ Û ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Û ÑÔÐ Ñ ÒØ ÖÞ Û n¹ ÖÒÝ Ö ÙÖ Ò Ò ÖÓÛ Ò Ô ÖÑÙØ Ò Ð Þ Þ Ó ÓÒÓ Ð ÓÖÝØÑ Û Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ ÙÓ ÐÒ Ò º ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

ÆÓØ ÝÑÔØÓØÝÞÒ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

ÆÓØ ÝÑÔØÓØÝÞÒ ÖÞ Ý ÙÒ Æ f : N R + {0} g : N R + ÙÒ Ñ Ø Ñ {0} f (n) lim n g (n) = a, a R + {0}º Â Ð Þ a 0 ØÓ Ñ Û ÑÝ ÖÞ ÙÒ = Ø Ð ÑÒ ÞÝ Ò ÖÞ ÙÒ f ÓÞÒ Þ ÑÝ ÔÖÞ Þ g f g a > 0 ØÓ Ñ Û ÑÝ ÖÞ ÙÒ f Ø Ö ÛÒÝ ÖÞ ÓÛ ÙÒ g ÐÙ ÙÒ f g Ø Ó Ñ Ó ÖÞ Ùµ ÓÞÒ Þ ÑÝ ÔÖÞ Þ f g a = ØÓ Ñ Û ÑÝ ÖÞ ÙÒ f Ø Ð Û ÞÝ Ò ÖÞ ÙÒ g ÓÞÒ Þ ÑÝ ÔÖÞ Þ f gº Â Ð Ð Ô ÛÒ ÙÒ f ÞÒ Þ ÑÝ ÙÒ g Ø f g ÓÖ Þ ÏÒ Ó º g (n) = Þ c, c Ø Ô ÛÒ Ø ØÓ 0 Ø ÙÒ Ø f g (n) = log c n, Þ c > 0 Ø Ô ÛÒ Ø n 1 ØÓ f Ø ÙÒ ÐÓ ÖÝØÑ ÞÒ Ð ÙÒ log 2 n ÛÔÖÓÛ Þ ÑÝ ÓÞÒ Þ Ò lg nµ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

ÝÑÔØÓØÝÞÒ ÖÞ Ý ÙÒ ÆÓØ g (n) = n 1 c Þ, c > Ø Ô ÛÒ Ø ØÓ 1 Ø ÙÒ Ô ÖÛ Ø ÓÛ ÐÙ f ÔÓ Û ÐÓÑ ÒÓÛ µ g (n) = n c, Þ c 1 Ø Ô ÛÒ Ø ØÓ f Ø ÙÒ Û ÐÓÑ ÒÓÛ ÞÞ ÐÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ñ ÙÒ Û ÐÓÑ ÒÓÛ Ø ÙÒ Ð Ò ÓÛ µ g (n) = c n, Þ c > 1 Ø Ô ÛÒ Ø ØÓ f Ø ÙÒ ÛÝ Ò Þ g (n) = n n, ØÓ f Ø ÙÒ ÔÓÒ ÛÝ Ò Þ º ÈÝØ Ò º Â Ø ÖÞ ÙÒ f (n) = n! ÛÞ Ð Ñ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝ ÖÞ Û ÙÒ ÈÝØ Ò º Â Ø ÖÞ ÙÒ f (n) = lg n! ÛÞ Ð Ñ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝ ÖÞ Û ÙÒ Â Ð c > 1 Ø Ô ÛÒ Ø ØÓ ÏÒ Ó º c log c n n 1 c n nlg n n c c n n! n n, Ð Û ÞÝ Ø Ó Ø Ø ÞÒ Ù Ý nº ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

µº ÏÝÞÒ Þ ÑÓ Ð Û Ó Ò ÙÒ Ó ÛÖÓØÒ Ó ÙÒ f (n) = lg n! Û Ò R + \ (0,1)º Þ Þ Ò ÆÓØ ÝÑÔØÓØÝÞÒ Ó ÙÒ lg n! Ò Ó Ó Ò Ç Ö Ò Þ Ò Þ ÖÝ n n lg n! = lg i lg n = lg n n = n lg n, i=1 i=1 ÞÝÐ lg n! nlg nº Ç Ö Ò Þ Ò Þ Ó Ù lg n! = lg = n i = i=1 ( xln x x ln 2 n lg i i=1 ) n 1 n 1 c nln n ln 2 lg xdx = n 1 = c nlg n, ln x ln2 dx Þ c 1 Ø Ô ÛÒ Ó ØÒ Ø ÞÝÐ lg n! c nlg nº ÏÒ Ó º ÈÓÒ Û lg n! nlg n lg n! c nlg n Ð 0 < c 1 ØÓ lg n! nlg nº ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

ÆÓØ ÝÑÔØÓØÝÞÒ Ó Ö Ò Þ Ò Þ Ó Ù Æ f : N R + {0} g : N R + {0} ÙÒ Ñ º Â Ð f g Ð Ó f g ØÓ Ñ Û ÑÝ ÖÞ ÙÒ f Ø Ö ÛÒÝ Ó Ò ÑÒ ÖÞ ÓÛ ÙÒ g ÐÙ ÙÒ g Ó Ö Ò Þ Þ Ó Ù ÙÒ fµ ÓÞÒ Þ ÑÝ ÔÖÞ Þ f = Ω(g)º Æ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝÑ ÖÝ ÙÒ Ù f = Ω(g) Þ c > 0 Ø Ô ÛÒ Ø º ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

ÆÓØ ÝÑÔØÓØÝÞÒ Ó Ö Ò Þ Ò Þ ÖÝ Æ f : N R + {0} g : N R + {0} ÙÒ Ñ º Â Ð f g Ð Ó f g ØÓ Ñ Û ÑÝ ÖÞ ÙÒ f Ø Ö ÛÒÝ Ó Ò ÛÝ ÖÞ ÓÛ ÙÒ g ÐÙ ÙÒ g Ó Ö Ò Þ Þ ÖÝ ÙÒ fµ ÓÞÒ Þ ÑÝ ÔÖÞ Þ f = O (g)º Æ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝÑ ÖÝ ÙÒ Ù f = O (g) Þ c > 0 Ø Ô ÛÒ Ø º ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

Æ f : N R + {0} g : N R + {0} ÙÒ Ñ º Â Ð f g ØÓ ÙÒ g Ó Ö Ò Þ Þ Ó Ù Þ ÖÝ ÙÒ f ÓÞÒ Þ ÑÝ ÔÖÞ Þ f = Θ(g)º Ñ Û ÑÝ ÆÓØ ÝÑÔØÓØÝÞÒ Ó Ö Ò Þ Ò Þ Ó Ù Þ ÖÝ Æ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝÑ ÖÝ ÙÒ Ù f = Θ(g) Þ c 1, c 2 > 0 Ô ÛÒÝÑ Ø ÝÑ º ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ½¼ È Û Ê Ñ Ð

ÈÓ Ð ÓÖÝØÑÙ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ½½ È Û Ê Ñ Ð

Ð Ò Ò ÓÖÑ ØÝ º Ð ÓÖÝØÑ ØÓ Ñ ØÓ ÔÓ ØÔÓÛ Ò Ø Ö ÔÖÓÛ Þ Ó ÖÓÞÛ Þ Ò Á ÔÖÓ Ð ÑÙº ÔÓ Ø Û ÓÒ Ó ÈÓ Ð ÓÖÝØÑÙ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Å ØÓ ÔÖ Ò Û ÔÖ Ð ÙØÓÑ ØÝÞÒ ÈÖÞÝ º Û Þ ÔÖ Ð Þ Ù Ù Ö Ò Ò ÝÔ ÔÖÓ Þ Ð Ù Ö Ò Ö ÞÓ ÖÙ Ò ØÓ Ò Ø Û ÔÖÓ Ö Ñ Þ Þ Ö Ù ÎÁÁ¹ ÁÁ Û ÔÖÞ ÛÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù Ò Ø Û ÔÖÓ Ö Ñ Þ Þ Ö Ù Á¹ÎÁ Ó Ö Þ Û Ö ÓÔÖÓÛ Þ Ý ÛÓ Ó ÔÖ Ð Ò Ò ÔÖÞÝ ËÌ ÊÌ ÓÔ Ò Þ Û ÓÒØÖÓÐ ÃÇÆÁ Ò ÔÖÞ Þ Þ ÔÖ Ð Û ÔÖ Ý Þ Ö Þ Û Ö ÓÔÖÓÛ Þ Ý ÛÓ Ó ÔÖ Ð ÛÝ Ñ Ù Ö Ò ÛÝ Þ ÔÖ Ð º ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ½¾ È Û Ê Ñ Ð

Ð Ò ÓÖÑ ØÝ º Ð ÓÖÝØÑ ØÓ Ó ÞÓÒÝ Ø Ô Û Ø Ö ÔÓÞÛ Ð ÔÖÞ ÞØ Ò Á Û ÓÛ Ò Û ÓÛ µ Û Ò ÓÖÑ ÛÝ ÓÛ Ò ÛÝ ÓÛ µº Ò ÓÖÑ ÞÛ Þ i Ó Ò ÈÓ Ð ÓÖÝØÑÙ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ð ÓÖÝØÑ Ó Ð Þ Ò ÐÒ Ð Þ Ý Ò ØÙÖ ÐÒ n ÈÖÞÝ º Ò ÔÓ Ø Û Ò Ò s ÔÓ Ø Û Þ ÖÓ i ÓÔ i < n ÛÝ ÓÒ Ò s ÔÓ Ø Û ÛÝÒ ÐÓÞÝÒÙ s i ÛÝÒ Ñ Ø s = n!º ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð

Ð Ò Ò ÓÖÑ ØÝ º ÂÞÝ Ò ØÙÖ ÐÒÝ Ø ÖÝ Ò Ø ØÝ Û Û ÐÙ ÔÖÞÝÔ Ø ÊÓÞÛ Þ Ò Ó ÔÓÛÓ Ù ÓÒ ØÖÙ ÛÝÖ ÓÒ Û ØÝÑ ÞÝ Ù Ø Ò ÒÓÞÒ ÞÒ º Ò ÒÓÞÒ ÞÒÝ Ý ÛÞ Ø Ò ÓÖÑ ÓØÝÞ ÞÒ Ð Þ Û ÓÔ ÓØ ÐÓÛ Ø º ÈÖÞÝ º Ó ÓÖÙ ÞÒ Û Þ Ð ÒÓ Ó Û Ù Þ Ñ ØÓ ÈÓ Ð ÓÖÝØÑÙ Þ Ô ÝÛ Ð ÓÖÝØÑÝ Ð ØÛÓ Þ Ó Ñ ÑÒ Ò ½¼ Ð Ø ØÓ Ð ØÛÓ Þ Ó Ñ Û Ò Ð Ø ØÓ ÞÒ ¼± Û ÔÖÞ ÛÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù ÔÖÞÝ Ù Ù ÞÒ ½¼¼± Û ÝÑ ÔÖÞÝ Ù Ù ÒÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù ÔÖÞÝ Ù Ù ÞÒ ¼±º ÈÝØ Ò º  ÞÒ ÔÖÞÝ Ù Ù Þ Ù Û Û Ù Ð Ø ÈÝØ Ò º  ÞÒ ÔÖÞÝ Ù Ù Þ Ù Û Û Ù Ð Ø ÈÝØ Ò º  ÞÒ ÔÖÞÝ Ù Ù Þ Ù Û Û Ù ½¾ Ð Ø ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð

Ð Ò ÓÖÑ ØÝ º ÂÞÝ ÐÙ Ô Ù Ó ÞÝ µ ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Ó ÒÓÞÒ ÞÒ Ò ÊÓÞÛ Þ Ò Ñ ÒØÝ º Ï Ð Þ Þ ÛÝ Ù Þ ÑÝ ØÓ ÓÛ Ð Ô Ù Ó ÞÝ ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Ó Ò ÍÛ Þ Ð ÓÒ Ó ÞÝ Û Â Ú º Ñ ÒØÝ ÈÓ Ð ÓÖÝØÑÙ Þ Ô ÝÛ Ð ÓÖÝØÑÝ ÈÖÞÝ º Ð ÓÖÝØÑ Ó Ð Þ Ò ÐÒ Ð Þ Ý Ò ØÙÖ ÐÒ n ÒØ Ë ÐÒ ÒØ Òµ ß ÒØ ½ ¼ Û Ð Òµ ß ½ Ð Ö ØÙÖÒ Ð ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð

ÃÓ ÞØ Ð ÓÖÝØÑÙ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð

ÇÔ Ö ÓÑ ÒÙ Û Ð ÓÖÝØÑ Ò ÞÝÛ ÑÝ Ø Ò Ó Ð Ñ ÒØ Ø Ö Ó ÛÝ ÓÒ Ò Á º Þ Ò Ö Þ ÐÙÞÓÛ Þ ÔÙÒ ØÙ Û Þ Ò ÒÔº ÑÔÐ Ñ ÒØ ÙÖÙ ÓÑ Ò Ò ÒÝÑ ÙÛ ÑÝ ÃØ Ö Þ ÓÔ Ö Û Ð ÓÖÝØÑ Ë ÐÒ ÔÓÛ ÒÒ ÑÝ ÙÞÒ Þ ÓÑ ÒÙ Ð Ð ÓÖÝØÑ ÈÝØ Ò º ÙÖÙ Ñ ÑÝ Ò Ø Ò Ö ÓÛÝÑ ÓÑÔÙØ ÖÞ Ð Ý È ÑÔÐ Ñ ÒØÙ ÑÝ Æ Alg Þ Ð ÓÖÝØÑ Ñ ÓÖ Þ d Ù Ø ÐÓÒÝÑ ÒÝÑ Û ÓÛÝÑ Ð Ø Ó ÃÓ ÞØ Þ ÓÛÝ ÛÝ ÓÒ Ò Ð ÓÖÝØÑ Alg Ð ÒÝ Û ÓÛÝ d Ø ØÓ Ð Þ Ð ÓÖÝØÑÙº ÓÑ ÒÙ Ý ÛÝ ÓÒÙ ÖÓÞÛ ÒÝ Ð ÓÖÝØÑ Ò ÖÓÞÛ ÒÝ ÒÝ Û ÓÛÝ º ÓÔ Ö Þ ÓÛÝ ÓÞÒ Þ ÑÝ ÔÖÞ Þ t(alg, d)º ÃÓ ÞØ Æ Alg Þ Ð ÓÖÝØÑ Ñ ÓÖ Þ d Ù Ø ÐÓÒÝÑ ÒÝÑ Û ÓÛÝÑ Ð Ø Ó ÃÓ ÞØ Ô Ñ ÓÛÝ ÛÝ ÓÒ Ò Ð ÓÖÝØÑ Alg Ð ÒÝ Û ÓÛÝ d Ø ØÓ Ð Þ Ð ÓÖÝØÑÙº ÒÓ Ø Ô Ñ Ò Þ Ò Ó ÛÝ ÓÒ Ò ÖÓÞÛ Ò Ó Ð ÓÖÝØÑÙ Ò Ó Ø ÓÛÝ ÒÝ Û ÓÛÝ º ÃÓ ÞØ Ô Ñ ÓÛÝ ÓÞÒ Þ ÑÝ ÔÖÞ Þ s(alg, d)º ÖÓÞÛ ÒÝ ÃÓ ÞØ Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÑÔÙØ ÖÞ º ÈÝØ Ò º Â Ø Ó ÞØ Þ ÓÛÝ Ð ÓÖÝØÑÙ Ë ÐÒ Ð Ö ÙÑ ÒØÙ Û ÓÛ Ó n = 10 ÈÝØ Ò º Â Ø Ó ÞØ Ô Ñ ÓÛÝ Ð ÓÖÝØÑÙ Ë ÐÒ Ð Ö ÙÑ ÒØÙ Û ÓÛ Ó n = 10 ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð

Ó ÓÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð

Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Alg ØÓ Ð Þ ÓÔ Ö ÓÑ ÒÙ Ý ÛÝ ÓÒÙ Ð ÓÖÝØÑ Ò ÒÝ Û ÓÛÝ ÖÓÞÑ ÖÙ n ÛÝÖ ÓÒ Ó ÙÒ ÖÓÞÑ ÖÙ ØÝ ÖÓÞÛ ÒÝ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Alg ØÓ Ð Þ Ó Ø ÓÛÝ ÒÓ Ø Ô Ñ Ò Þ Ò Ó ÛÝ ÓÒ Ò ÖÓÞÛ Ò Ó Ð ÓÖÝØÑÙ Ò ÒÝ Û ÓÛÝ ÖÓÞÑ ÖÙ n ÛÝÖ ÓÒ Ó ÓÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ ÒÝ º Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ ÓÞÒ Þ ÑÝ ÔÖÞ Þ T (Alg, n)º ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ë ÐÒ ÈÝØ Ò º Â Ø Ó Ö Ò Þ Ò ÓÐÒ Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ë ÐÒ Ó ÙÒ ÖÓÞÑ ÖÙ ØÝ ÒÝ º Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ ÓÞÒ Þ ÑÝ ÔÖÞ Þ S (Alg, n)º ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ë ÐÒ ÈÝØ Ò º Â Ø Ó Ö Ò Þ Ò ÖÒ Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ë ÐÒ ÍÛ Ï Ð Þ Þ ÛÝ Ù Þ ÑÝ Ù ÝÛ Ð Ö ÓÒ ÒÓØ Þ Ó ÓÒÓ T (n) S (n) Ð Þ ØÓ ÒÓÞÒ ÞÒ º ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð

ÞÝ Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÑÓ Ò Þ Û Þ ÔÓ Û ÔÓ Ó ÒÝ ººº Ò Ø ØÝ ÈÖÓ Ð Ñº Ð Ò Ø ÖÝ Ð ÓÖÝØÑ Û Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ø ÙÒ Ò ØÝÐ Ó ÖÓÞÑ ÖÙ ÒÝ Ò Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÄÓ ÓÛ ÅÒÓ Ò Ð ÓÔ Ö ÓÑ ÒÙ ÈÝØ Ò º Þ Ò ÑÒÓ Ò Ø Ó ÓÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ Û ÓÛÝ Ð ÔÓ Ø º ÈÖÞÝ º Ð ÓÖÝØÑ ÐÓ ÓÛ Ó ÑÒÓ Ò º ÚÓ ÄÓ ÓÛ ÅÒÓ Ò ÓÓÐ Ò ÒØ Òµ ß ÒØ ¾ ÓÖ ¼ Ò µ Ð µ ¾ Ö ØÙÖÒ Ð ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ¾¼ È Û Ê Ñ Ð

È ÝÑ ØÝÞÒ Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Alg ÓÞÒ ÞÓÒ ÔÖÞ Þ W (Alg, n) Ø Ö ÛÒ D Þ n Þ ÓÖ Ñ Û ÞÝ Ø ÒÝ Û ÓÛÝ ÖÓÞÑ ÖÙ n Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ Ø ÖÝ ÖÓÞÛ ÞÙ Ø Algº Ð ÓÖÝØÑ D Þ n Þ ÓÖ Ñ Û ÞÝ Ø ÒÝ Û ÓÛÝ ÖÓÞÑ ÖÙ n Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ Ø ÖÝ ÖÓÞÛ ÞÙ Ø Alg p(d) Ø ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ñ ÛÝ Ø Ô Ò ÒÝ dº Ð ÓÖÝØÑ Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÄÓ ÓÛ ÅÒÓ Ò Ð ÓÔ Ö ÓÑ ÒÙ ÈÝØ Ò º Þ Ò ÑÒÓ Ò Ø Ó ÓÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ W (Alg, n) = max {t(alg,d) : d D n }, áö Ò Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Alg ÓÞÒ ÞÓÒ ÔÖÞ Þ ÓÞ Û Ò µ n) Ø Ö ÛÒ A (Alg, A(Alg, n) = p(d) t (Alg, d), d D n Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Ñ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ ÈÝØ Ò º Â Ø Ö Ò Ô ÝÑ ØÝÞÒ Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ë ÐÒ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ¾½ È Û Ê Ñ Ð

Ð ÓÖÝØÑ Ò ÞÝÛ ÑÝ ØÝÛÒÝÑ Ð Ó Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ô Ñ ÓÛ Ø Ó Á º Û ÐÓÑ ÒÓÛ ÛÞ Ð Ñ ÖÓÞÑ ÖÙ ÒÝ Û ÓÛÝ º Ò ÛÝ Ó ÓÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ Ð ÓÖÝØÑÝ ØÝÛÒ ÊÓÞÛ ÑÝ ØÖÞÝ Ð ÓÖÝØÑÝ Alg 1 Alg ÈÖÞÝ º 2 Alg 3 Ø Ò Ñ ÔÖÓ Ð Ñ Þ ÖÓÞÛ ÞÙ T (Alg 1, n) = lg n, T (Alg 2, n) = n 2, T (Alg 3, n) = 2 n. Ö ÛÒÓÐ Ð ÖÓÞÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ Ð ÒØÝÞÒÝ ÒÝ Û ÓÛÝ d ÖÓÞÑ ÖÙ n ÍÖÙ Ñ ÑÝ ØÖÞ Ò ÓÛÝ ÓÑÔÙØ Ö Ø Ö Ð ÙÔÖÓ ÞÞ Ò ÛÝ ÓÒÙ Ò ÓÔ Ö ÓÑ ÒÙ Ò ÙÒ º Â Ù Ó Þ ÑÝ ÓÞ Û Ð Ò ÛÝÒ Ó Ð Þ Ò Ð n 8 = t (Alg 1, d) = º 3 t(alg 2, d) = º 64 t(alg 3, d) = º 256 Ð n = 16 t(alg 1, d) = 4 º t(alg 2, d) = 256 º t(alg 3, d) 18,2 Ó Þº Ð n = 32 t(alg 1, d) = 5 º t(alg 2, d) 17, 1 Ñ Òº t(alg 3, d) 136, 2 Ð Ø ÈÝØ Ò º ÁÐ Ð Ø Þ Ñ ÛÝ ÓÒ Ò Ð ÓÖÝØÑÙ Alg 3 Ð ÒÝ d ÖÓÞÑ ÖÙ 64 ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ¾¾ È Û Ê Ñ Ð

ÇÔØÝÑ ÐÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð

Æ T (n) Þ ÙÒ Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Alg ÖÓÞÛ ÞÙ Ó Ô Û Ò P Ð ÒÝ Û ÓÛÝ ÖÓÞÑ ÖÙ nº Ð ÓÖÝØÑ Alg Ò ÞÝÛ ÑÝ ÓÔØÝÑ ÐÒÝÑ Û Ò ÔÖÓ Ð Ñ Þ ÓÛ µ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ ÔÖÓ Ð ÑÙ P Ð Ò ØÒ Ð ÓÖÝØÑ Alg Ó Ô ÝÑ ØÝÞÒ Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ W (Alg, n) ÖÓÞÛ ÞÙ Ý ÔÖÓ Ð Ñ P Ø W (Alg, n) T (n)º Þ Ó ÓÒÓ Ã Ý Ð ÓÖÝØÑ ÓÔØÝÑ ÐÒÝ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ Ø Ð ÓÖÝØÑ Ñ ÓÔØÝÑ ÐÒÝÑ ÏÒ Ó º Þ Ò Ð Ý ÔÖÓ Ð Ñ Û Ð Ò Ý Ð ÓÖÝØÑ ÓÔØÝÑ ÐÒÝ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Ñ Ø Ð ÇÔØÝÑ ÐÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ Æ T (n) Þ ÙÒ Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ ÓÔØÝÑ ÐÒ Ó Ð ÓÖÝØÑÙ Alg Ô Û Ò ÔÖÓ Ð Ñ P Ð ÒÝ Û ÓÛÝ ÖÓÞÑ ÖÙ nº Ð ÓÖÝØÑ Alg Ò ÞÝÛ ÑÝ ÖÓÞÛ ÞÙ Ó Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Ñ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ ÔÖÓ Ð ÑÙ P Ð A(Alg, n) T (n)º ÓÔØÝÑ ÐÒÝÑ Æ T (n) Þ ÙÒ Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ ÓÔØÝÑ ÐÒ Ó Ð ÓÖÝØÑÙ Alg Ô Û Ò ÔÖÓ Ð Ñ P Ð ÒÝ Û ÓÛÝ ÖÓÞÑ ÖÙ nº Ð ÓÖÝØÑ Alg ÖÓÞÛ ÞÙ Ó ÓÔØÝÑ ÐÒÝÑ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ ÔÖÓ Ð ÑÙ P Ð Ò ÞÝÛ ÑÝ W (Alg, n) (n)º T Ð ÓÖÝØÑ Ñ ÓÔØÝÑ ÐÒÝÑ Ð Þ Ò Ð Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ûº ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð

ÈÓ ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð

ËØÖÙ ØÙÖ ÒÝ ØÓ ÖÓ ÓÛ Ó Þ Ò Ð ÓÖÝØÑÙº Ì Ò Ñ Ð ÓÖÝØÑ Û ÖÓ ÒÝ Á º ÑÓ ÖÓÞÛ ÞÝÛ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñݺ ÖÓ ÓÛ ÙÒ Û Ö ÙÑ U Ó Ö Ð ÑÓ Ð Û Û ÖØÓ ÞÑ ÒÒÝ Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÔ Ö o Ø Ö Ó 1, o 2,..., o k r Ö Ð 1, r 2,..., r n Ò ÖÞ Þ Ó Ö Ð Þ Ð ÓÖÝØÑÙº Ó Ø ÖÞ ÊÓÞÛ ÑÝ Ð ÓÖÝØÑ Ë ÐÒ º ÓÑÝ ÐÒ Þ Ó ÝÐ ÑÝ ØÖÙ ØÙÖ ÒÝ Ø Û ØÝÑ ÈÖÞÝ º Ò ØÔÙ Ý Ý Ø Ñ Ð Ö ÞÒÝ ÔÖÞÝÔ Ù Â ÔÖÓ Ð Ñ ÖÓÞÛ ÞÙ Ð ÓÖÝØÑ Ë ÐÒ Ð Þ Ó ÝÑÝ ØÖÙ ØÙÖ ÒÝ Ø ÈÝØ Ò º Ð Ö ÞÒÝ Ý Ø Ñ ÈÓ ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ ËØÖÙ ØÙÖ ÒÝ Ò ÞÝÛ ÑÝ Ý Ø Ñ Ð Ö ÞÒÝ S = U, o 1, o 2,..., o k, r 1, r 2,..., r n, S = N,+,, <. ÈÝØ Ò º Â Ø ÔÓ Ø ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ Ð Ð ÓÖÝØÑÙ ÄÓ ÓÛ ÅÒÓ Ò S = N,+,, <, Þ a b = def a + b ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð

ÈÓÔÖ ÛÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð

ÈÓÔÖ ÛÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ Á º Ð ÓÖÝØÑ Ø ÔÓÔÖ ÛÒÝ Ð Ø Þ Ó ÒÝ Þ Ñ ÖÞ Ò Ñ º ÈÖÓ Ð Ñº  ÓÖÑ ÐÒ ÓÔ Ò Þ Þ Ñ ÖÞ Ò ËÔ Ý Ð ÓÖÝØÑÙ Ò ÞÝÛ ÑÝ Ô Ö wp, wk, Þ wp Ø Û ÖÙÒ Ñ ÔÓÞ Ø ÓÛÝÑ wk Ø Û ÖÙÒ Ñ Ó ÓÛÝÑ Ð ÓÖÝØÑÙº ÈÖÞÝ º ÊÓÞÛ ÑÝ Ð ÓÖÝØÑ Ë ÐÒ Ó Ô Ý Ø Ò ØÔÙ ÒØ Ë ÐÒ ÒØ Òµ ß»» Û ÖÙÒ ÔÓÞ Ø ÓÛÝ n N ÒØ ½ ¼ Û Ð Òµ ß ½ Ð Ö ØÙÖÒ»» Û ÖÙÒ Ó ÓÛÝ s = n! Ð ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð

Ð ÓÖÝØÑ Alg Þ Ý Û ØÖÙ ØÙÖÞ ÒÝ S Ø Þ ÓÛÓ ÔÓÔÖ ÛÒÝ Þ ÛÞ Ð Ù Ô Ý wp, wk ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý Ð Û ÞÝ Ø ÒÝ Û ÓÛÝ Ø Ö Ò Û ÖÙÒ ÔÓÞ Ø ÓÛÝ wp Ð Ð ÓÖÝØÑ Alg Þ ØÖÞÝÑ ØÓ ÙÞÝ Ò Ò ÛÝ ÓÛ Ô Ò Û ÖÙÒ Ó ÓÛÝ wkº Ô Ò Ð ÓÖÝØÑ Alg Þ Ý Û ØÖÙ ØÙÖÞ ÒÝ S Ø ÓÛ ÔÓÔÖ ÛÒÝ ÔÓÔÖ ÛÒݵ ÛÞ Ð Ù Ò Ô Ý wp, wk ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý Ð Û ÞÝ Ø ÒÝ Û ÓÛÝ Þ Ô Ò Û ÖÙÒ ÔÓÞ Ø ÓÛÝ wp Ð ÓÖÝØÑ Alg Þ ØÖÞÝÑ ÙÞÝ Ò Ò ÛÝ ÓÛ Ø Ö Û ÖÙÒ Ó ÓÛÝ wkº Ô Ò Ã Ý Ð ÓÖÝØÑ Ø ÖÝ Ø ÓÛ ÔÓÔÖ ÛÒÝ Ø Ø Þ ÓÛÓ ÔÓÔÖ ÛÒÝ Ð Ò ÏÒ Ó º Ð ÓÖÝØÑ Ø ÖÝ Ø Þ ÓÛÓ ÔÓÔÖ ÛÒÝ Ø Ø ÓÛ ÔÓÔÖ ÛÒݺ Ý ÈÓÔÖ ÛÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ ÈÝØ Ò º ÞÝ Ð ÓÖÝØÑ Ë ÐÒ Ø Þ ÓÛÓ ÔÓÔÖ ÛÒÝ Û ØÖÙ ØÙÖÞ ÒÝ S = N, +,, < ÈÝØ Ò º ÞÝ Ð ÓÖÝØÑ Ë ÐÒ Ø ÓÛ ÔÓÔÖ ÛÒÝ Û ØÖÙ ØÙÖÞ ÒÝ S = N, +,, < ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð

ÈÓÔÖ ÛÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ ÔÖÞÝ ÊÓÞÛ ÑÝ Ð ÓÖÝØÑ Ö Ð ÞÙ Ý Ò ØÔÙ Ý ÓÔ Ö ÈÖÞÝ º ÓÐÐ ØÞ ÒØ Òµ ß»» Û ÖÙÒ ÔÓÞ Ø ÓÛÝ n N + ÓÓÐ ÒØ Ò Û Ð ½µ ÑÓ ¾ ¼µ»¾ Ð ½ Ö ØÙÖÒ ÌÊÍ»» Û ÖÙÒ Ó ÓÛÝ i = 1 Ð À ÔÓØ Þ ÓÐÐ ØÞ º Ð ÓÛÓÐÒ Ð Þ Ý Ò ØÙÖ ÐÒ Ó ØÒ n ÔÖ Û Ø Collatz (n) trueº ÑÝ ÔÓØ Þ ÓÐÐ ØÞ Ø ÞÝÛ ÛØ Ý ÏÒ Ó º Ð ÓÖÝØÑ ÓÐÐ ØÞ Ø Þ ÓÛÓ ÔÓÔÖ ÛÒÝ Ð ÓÖÝØÑ ÓÐÐ ØÞ Ò Ø ÓÛ ÔÓÔÖ ÛÒݺ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ¼ È Û Ê Ñ Ð

Æ ÞÑ ÒÒ Ñ ÔØÐ Ò ÞÝÛ ÑÝ ÓÖÑÙ Ø Ö Ð Ø ÔÖ Û Þ Û Ò ÔÓÞ Ø Ù ØÖ ÔØÐ ØÓ Ø Ø ÔÖ Û Þ Û Ò Ó Ù ÛÝ ÓÒ Ò ØÖ º ÛÝ ÓÒ Ò ÃØ Ö Þ ÓÖÑÙ true s = n! Ø Ò ÞÑ ÒÒ Ñ ÔØÐ Ð ÓÖÝØÑÙ Ë ÐÒ Ø Ö ÔÓÞÛ Ð ÈÝØ Ò º ÔÓÔÖ ÛÒÓ Û ÖÙÒ Ù Ó ÓÛ Ó s = n! ÓÛ ÈÓÔÖ ÛÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ ÔÓÔÖ ÛÒÓ Ð ÓÖÝØÑ Û Ø Ö Ý ÒÝ Â Ð ÓÖÑÙ Ø ÔÖ Û Þ Û ÔÖÞ ÛÝ ÓÒ Ò Ñ ÔØÐ Ø º ÔÖÞ Û Ñ Ó ÔØÐ µ ÌÛ Ö Þ Ò º Ø ÓÒ Ò ÞÑ ÒÒ Ñ ÔØÐ ØÓ Ø Ø ÔÖ Û Þ Û ÔÓ ÛÝ ÓÒ Ò ÔØÐ Ø º ÔÓ ÛÝ Ù Þ ÔØÐ µº ÈÖÞÝ º ÊÓÞÛ ÑÝ Ð ÓÖÝØÑ Ë ÐÒ ÓÖÑÙ s = i! ÒØ Ë ÐÒ ÒØ Òµ ß»» Û ÖÙÒ ÔÓÞ Ø ÓÛÝ n N ÒØ ½ ¼»» 1 = def 0! s = i! Û Ð Òµ ß»» s = i!»» s = (i 1)! ½ = (i 1)! s = i!»» s i Ð s = i! (i < n) s = i! i n Ð i Ø Ò Ö Ñ ÒØÓÛ Ò Ó ½»» ÞÝÐ s = i! i = n s = n!»» Ö ØÙÖÒ»» Û ÖÙÒ Ó ÓÛÝ s = n! Ð ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð

Ö Ý Ò ÔÓ Ø ÛÓÛ µ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð

V Ò ÞÝÛ ÑÝ Û ÖÞ Ó Ñ ÛÞ Ñ µ Ö Ù Ð Ñ ÒØÝ Þ ÓÖÙ E Ò ÞÝÛ ÑÝ Ö Û Þ Ñ Þ ÓÖÙ Ö Ùº Ö Ñ Ò ÞÓÖ ÒØÓÛ ÒÝÑ Ò ÞÝÛ ÑÝ Ö G = (V, E) Ø Ð ÓÛÓÐÒÝ Û u, v V Þ Ó Þ (u, v) E ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý (v, u) Eº Û ÖÞ Ó Û µº ÁÐ Ö ÒÝ Ö Û Û ÓÒÝ ÑÓ Ò ÙØÛÓÖÞÝ Û Þ ÓÖÞ n Û ÖÞ Ó Û Ð Ò Û Ö Û Þ Ø ÔÓ Ø f : E {1,2, 3} ÙÒ Ö Ý Ò ÔÓ Ø ÛÓÛ Ö Ñ Ö Ñ ÞÓÖ ÒØÓÛ ÒÝѵ Ò ÞÝÛ ÑÝ Ô Ö ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò G = (V, E) Þ V Ò ÔÙ ØÝÑ Þ ÓÖ Ñ E ÓÛÓÐÒÝÑ ÔÓ Þ ÓÖ Ñ ÔÖÓ Ù ØÙ ÖØ Þ Ó V V º Ð Ñ ÒØÝ Ø ÈÝØ Ò º ÁÐ ÖÓ ÒÝ Ö Û ÑÓ Ò ÙØÛÓÖÞÝ Û Þ ÓÖÞ n Û ÖÞ Ó Û ÈÝØ Ò º ÁÐ ÖÓ ÒÝ Ö Û Ò ÞÓÖ ÒØÓÛ ÒÝ ÑÓ Ò ÙØÛÓÖÞÝ Û Þ ÓÖÞ n Û ÖÞ Ó Û Ö Ñ Þ Û Ñ Ò ÞÝÛ ÑÝ ØÖ G = (V, E, f) Þ Ô Ö (V, E) Ø Ö Ñ f : E N + ÙÒ Û Ö Û Þ º Ø ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

Æ G = (V, E) Þ Ö Ñº Û ÖÓ Ò Û ÖÞ Ó u, v V Ò ÞÝÛ ÑÝ ÒÝ ÒØÒÝÑ µ ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý (u, v) Eº Ò Ñ Ö Ñ Ô ÒÝÑ Ò ÞÝÛ ÑÝ Ö Ø ÓÛÓÐÒ Û Û ÖÞ Ó Ö Ù ÔÓ ÞÓÒ ÖÓ º Æ v 1, v 2,..., v n ÖÓ Û Ö º  Рv Þ 1 = v n ÖÓ Ò ÞÝÛ ÑÝ ÖÓ ØÓ Þ Ñ Ò Ø º Ö Ý Ò ÔÓ Ø ÛÓÛ Ö Ñ Ô ÒÝÑ Ò ÞÝÛ ÑÝ Ö Ø ÓÛÓÐÒ Û Û ÖÞ Ó Ö Ù Ò º ÈÝØ Ò º ÁÐ Ö Û Þ Þ Û Ö Ô ÒÝ Ö Ò ÖÓÛ ÒÝ Ó n¹û ÖÞ Ó º ÖÓ Û Ö Ò ÞÝÛ ÑÝ Û ÖÞ Ó Û v 1, v 2,..., v n Û Û ÖÞ Ó Ø v i, v i+1 Ò Ð i = 1, 2,..., n 1º Ù Ó ÖÓ ØÓ Ð Þ Ö Û Þ ØÛÓÖÞ Ý Û ØÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù n 1µº Æ v 1, v 2,..., v n ÖÓ Þ Ñ Ò Ø Û Ö º  Рv Þ i v Ð j i, j = 2,3,..., n 1 ØÓ ÖÓ Ò ÞÝÛ ÑÝ Ý Ð Ñº ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

Ö Ý ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ûµ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

º Æ G = (V, E) Þ Ö Ñº Å ÖÞ ÞØÛ M Ö Ù G Ò ÞÝÛ ÑÝ Ñ ÖÞ Ò ÖÓÞÑ ÖÙ V V Ø Ö Û Ö Þ ÓÐÙÑÒÝ ÒÙÑ ÖÓÛ Ò Û Ù Ø ÐÓÒÝÑ ÔÓÖÞ Ù Û Ö ØÓÛ ÔÓÖÞ Ù ØÝ Ø Ñ Û ÖÞ Ó Û Ö Ù Ø M [u, v] = f ((u, v)) ÛØ Ý ØÝÐ Ó Ù Ø ÐÓÒÝÑ Ý (u, v) E ÓÖ Þ M [u, v] = 0 Û ÔÖÞ ÛÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ùº ÛØ Ý Æ M Þ Ñ ÖÞ ÞØÛ n¹û ÖÞ Ó ÓÛ Ó Ö Ù G = (V, E)º Â Ø ÈÝØ Ò º ÔÓÒ ÞÝ ÓÔ Ö Ò Ö G ÛÝÖ ÓÒÝ Ð Þ ÓÔ Ö Ó Ò Ó ÔÓ ÝÒÞ Ó Ó ÞØ Ö Ý ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Û Û ÖÞ Ó Û Ö Ù Ø M [u, v] = 1 ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý (u, v) E ÓÖ Þ ØÝ Ø Ñ M [u, v] = Û ÔÖÞ ÛÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ùº 0 Æ G = (V, E, f) Þ Ö Ñ Þ Û Ñ º Å ÖÞ ÞØÛ M Ö Ù G Ñ ÖÞ Û Ö ØÓÛ ÖÓÞÑ ÖÙ V V Ø Ö Û Ö Þ ÓÐÙÑÒÝ ÒÙÑ ÖÓÛ Ò Û Ò ÞÝÛ ÑÝ Ñ ÖÞÝ M Ð Ñ ÒØÙ ÔÖ Û Þ Ò ÞÝ Û Û ÖÞ Ó Ò Û Ø Û Ò Ö Û Þ Ó Ö Ù Ù ÙÒ Ö Û Þ Û Ö ÛÝÞÒ Þ Ò ØÓÔÒ Û ÖÞ Ó ØÓÔ Û ÖÞ Ó ØÓ Ð Þ Û ÖÞ Ó Û Þ Ò Ñ Ò µ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

Æ G = (V, E) Þ Ö Ñº Ì Ð Ð Ø ÒÝ Ò T Ö Ù G Ò ÞÝÛ ÑÝ Û ØÓÖ Û ÖÞ Ó Û ÖÓÞÑ ÖÙ V Ø Ö Ó Ð Ñ ÒØÝ ÒÙÑ ÖÓÛ Ò Û Ù Ø ÐÓÒÝÑ ÔÓÖÞ Ù Ð Ø Æ T Þ Ø Ð Ð Ø ÒÝ Ò n¹û ÖÞ Ó ÓÛ Ó Ö Ù G = (V, E)º Â Ø ÈÝØ Ò º ÔÓÒ ÞÝ ÓÔ Ö Ò Ö G ÛÝÖ ÓÒÝ Ð Þ ÓÔ Ö ÔÖÞ Ó Þ Ò Ð Ñ ÒØ Û Ð Ø Ó ÞØ Ö Ý ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Û ØÝ Ø Ñ Û ÖÞ Ó Û Ö Ù Ø v T [u] ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý (u, v) Eº Æ G = (V, E, f) Þ Ö Ñ Þ Û Ñ º Ì Ð Ð Ø ÒÝ Ò T Ö Ù G Û ØÓÖ Ð Ø Ô Ö (v, c) Þ v V c N + ÖÓÞÑ ÖÙ V Ø Ö Ó Ð Ñ ÒØÝ Ò ÞÝÛ ÑÝ Û Ù Ø ÐÓÒÝÑ ÔÓÖÞ Ù ØÝ Ø Ñ Û ÖÞ Ó Û Ö Ù Ø (v, c) T [u] ÒÙÑ ÖÓÛ Ò ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý (u, v) E c = f ((u, v))º Ø Ð Ý T ÓÛÝ ÔÖ Û Þ Ò ÞÝ Û Û ÖÞ Ó Ò Û Ø Û Ò Ö Û Þ Ó Ö Ù Ù ÙÒ Ö Û Þ Û Ö ÛÝÞÒ Þ Ò ØÓÔÒ Û ÖÞ Ó ØÓÔ Û ÖÞ Ó ØÓ Ð Þ Û ÖÞ Ó Û Þ Ò Ñ Ò µ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

ÖÞ Û Ò ÔÓ Ø ÛÓÛ µ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

Ö Ò ÞÓÖ ÒØÓÛ ÒÝ G = (V, E) Ò ÞÝÛ ÑÝ ÖÞ Û Ñ ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý Ö Ô ÒÝ Ý Ð ÞÒÝ Ø º Û Ö Ò ØÒ Ý Ðµº Â Ð Ó Ø ÓÛÓ Û Ö ÛÝÖ Ò ÑÝ Ø Û ÖÞ Ó v V Ò ÞÝÛ ÒÝ ÓÖÞ Ò Ñ ØÓ ÖÞ ÛÓ Ø Ò ÞÝÛ ÑÝ ÖÞ Û Ñ Þ Ù Ø ÐÓÒÝÑ Ô Û Ò ÓÖÞ Ò Ñº Ï Ð Þ Þ ÛÝ Ù Þ ÑÝ Þ ÑÓÛ Ð ÝÒ ÖÞ Û Ñ Þ Ù Ø ÐÓÒÝÑ ÍÛ Ð ÔÖÓ ØÓØÝ Þ ÑÝ Ò ÞÝÛ Ð ÖÞ Û Ñ º ÓÖÞ Ò Ñ Ï ÖÞ Ó v Ò ÞÝÛ ÑÝ Ò ØÔÒ Ñ Û ÖÞ Ó u ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý u Ø ÔÓÔÖÞ Ò Ñ Û ÖÞ Ó vº Û ÖÞ Ó Ï ÖÞ Ó Ñ Û ÛÒØÖÞÒÝÑ Ò ÞÝÛ ÑÝ Û ÖÞ Ó ÖÞ Û Ø ÖÝ Ñ Ó Ò ÑÒ Ò ØÔÒ º Ò Ï ÖÞ Ó Ñ Þ ÛÒØÖÞÒÝÑ Ð Ñµ Ò ÞÝÛ ÑÝ Û ÖÞ Ó ÖÞ Û Ø ÖÝ Ò Ñ Ò ØÔÒ º ÖÞ Û Ò ÔÓ Ø ÛÓÛ Æ r Þ ÓÖÞ Ò Ñ ÖÞ Û G = (V, E)º Ï ÖÞ Ó u Ò ÞÝÛ ÑÝ Û ÖÞ Ó v ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý Û Ö G ØÒ ÖÓ Þ Û ÖÞ Ó r ÔÓÔÖÞ Ò Ñ Ó Û ÖÞ Ó v Ò Ø Ö Û ÖÞ Ó u ÛÝ ØÔÙ ØÙ ÔÖÞ Û ÖÞ Ó Ñ vº ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

ÖÞ Û Ñ Ö ÙÐ ÖÒÝÑ Ò ÞÝÛ ÑÝ ÖÞ ÛÓ n¹ ÖÒ Û Ø ÖÝÑ Ý Û ÖÞ Ó Ñ n Ò ØÔÒ Ûº Û ÛÒØÖÞÒÝ ÖÞ Û Ñ Ó ÓÒ ÝÑ Ò ÞÝÛ ÑÝ ÖÞ ÛÓ Ö ÙÐ ÖÒ n¹ ÖÒ Û Ø ÖÝÑ Û ÞÝ Ø Þ ÛÒØÖÞÒ ÞÒ Ù Ò ÒÝÑ Ù Ø ÐÓÒÝÑ ÔÓÞ ÓÑ º Û ÖÞ Ó ÖÞ Û Ñ Ò ÖÒÝÑ Ò ÞÝÛ ÑÝ ÖÞ ÛÓ Ø Ý Û ÖÞ Ó ÖÞ Û Ñ Ó Û Ò ØÔÒ Ûº Ò ÛÝ ÏÝ Ó Ó ÖÞ Û Ò ÞÝÛ ÑÝ Ù Ó Ò Ù Þ ÖÓ Û ÖÞ Û Ó ÓÖÞ Ò Ó Þ Û ÖÞ Ó Ûº ÓÛÓÐÒ Ó ÈÓÞ ÓÑ Ñ Û ÖÞ Ó Û ÖÞ Û Ò ÞÝÛ ÑÝ Ù Ó ÖÓ Ó ÓÖÞ Ò ÖÞ Û Ó Û ÖÞ Ó º Ø Ó ÖÞ Û Ò ÔÓ Ø ÛÓÛ ÈÝØ Ò º ÁÐ Ø Ó Ò ÑÒ Û ÖÞ Ó Û Û ÖÞ Û Ò ÖÒÝÑ n¹ ÖÒÝÑ Ó ÛÝ Ó Ó h ÈÝØ Ò º ÁÐ Ø Ó Ò ÛÝ Û ÖÞ Ó Û Û ÖÞ Û Ò ÖÒÝÑ n¹ ÖÒÝÑ Ó ÛÝ Ó Ó h ÈÝØ Ò º ÁÐ Ø Ó Ò ÑÒ Û ÖÞ Ó Û Û ÖÞ Û Ò ÖÒÝÑ n¹ ÖÒÝÑ Ò k¹øýñ ÔÓÞ ÓÑ ÈÝØ Ò º ÁÐ Ø Ó Ò ÛÝ Û ÖÞ Ó Û Û ÖÞ Û Ò ÖÒÝÑ n¹ ÖÒÝÑ Ò k¹øýñ ÔÓÞ ÓÑ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ¼ È Û Ê Ñ Ð

ÖÞ Û ÑÔÐ Ñ ÒØ ÖÞ Ûµ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð

Ø Ø ÞÑ ÒÒ ØÝÔÙ ØÝÔ Ö ÔÖ Þ ÒØÙ ØÝ Ø Û ÖÞ Ó ÖÞ Û Ð Ø Ö Ø ØÓ Þ ÓÛ Þ Ò Ó Ð Û Ó ÔÖ Û Ó Ò ØÔÒ Ò Ó Û ÖÞ Ó º ÓÐ ÒÓ Ï Ð Þ Þ ÛÝ Ù Ñ Û Ó ÓÛ Þ Ò Ù Ó Û ÖÞ Ó ÖÞ Û Ò ÖÒ Ó ÍÛ ÓÑÝ ÐÒ ÔÖÞÝ ÑÓÛ Ð ÔÖÞ Ø Û ÓÒ ÔÓÛÝ ÑÔÐ Ñ ÒØ º Þ ÑÝ Æ ÞÑ ÒÒ root Ö ÔÖ Þ ÒØÙ ÓÖÞ ÖÞ Û Ò ÖÒ Óº ÈÓ Ð ÓÖÝØÑ Ø ÖÝ Ò º Ù Ó ÖÓ Ó ÓÖÞ Ò Ø Ó ÖÞ Û Ó Ö Ò Ð Û Ó Û ÖÞ Ó º ÛÝÞÒ ÞÝ ÖÞ Û ÑÔÐ Ñ ÒØ ÖÞ Û Ò ÖÒÝ Ï ÖÞ Ó ÖÞ Û Ò ÖÒ Ó Ò Ù ÑÝ Ó Ó Ø Ð Ý ÌÖ ÆÓ ÔÓ Ø Ð ÌÖ ÆÓ ß ØÝÔ Ø ÌÖ ÆÓ Ð Ø Ö Ø Ð Æ ÙØÛÓÖÞÓÒÝ Ó Ø Ð Ý ÌÖ ÆÓ Ø º ÆÍÄÄ µ Ö ÔÖ Þ ÒØÙ ÔÙ Ø ÖÞ ÛÓ Ò ÖÒ º ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð

Ø Ø ÞÑ ÒÒ ØÝÔÙ ØÝÔ Ö ÔÖ Þ ÒØÙ ØÝ Ø Û ÖÞ Ó ÖÞ Û Ù ÓÖ Ò Ø Þ n ÓÛ Þ Ó Ò ØÔÒ Û Ò Ó Û ÖÞ Ó º Ø Ð Ï Ð Þ Þ ÛÝ Ù Ñ Û Ó ÓÛ Þ Ò Ù Ó Û ÖÞ Ó ÖÞ Û n¹ ÖÒ Ó ÍÛ ÓÑÝ ÐÒ ÔÖÞÝ ÑÓÛ Ð ÔÖÞ Ø Û ÓÒ ÔÓÛÝ ÑÔÐ Ñ ÒØ º Þ ÑÝ ÖÞ Û ÑÔÐ Ñ ÒØ ÖÞ Û n¹ ÖÒÝ Ï ÖÞ Ó ÖÞ Û n¹ ÖÒ Ó Ò Ù ÑÝ Ó Ó Ø Ð Ý ÆÌÖ ÆÓ ÔÓ Ø Ð ÆÌÖ ÆÓ ß ØÝÔ Ø ÌÖ ÆÓ Ù ÓÖ Ò Ð Æ ÙØÛÓÖÞÓÒÝ Ó Ø Ð Ý ÆÌÖ ÆÓ Ø º ÆÍÄĵ Ö ÔÖ Þ ÒØÙ ÔÙ Ø ÖÞ ÛÓ n¹ ÖÒ º ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

Ê ÙÖ Ò Ñ ØÓ Ý ÔÖÞ Ó Þ Ò ÖÞ Û Ò ÖÒÝ µ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

Æ root Þ ÓÛ Þ Ò Ñ Ó ÓÖÞ Ò Ô ÛÒ Ó ÖÞ Û Ò ÖÒ Óº ÈÓ Ò º Ø ÖÝ ÛÝÔ Þ Û ÞÝ Ø Û ÖÞ Ó Ø Ó ÖÞ Û Û Þ Ð Ò ÓÛÝÑ ÛÞ Ð Ñ Ð ÓÖÝØÑ Ê ÙÖ Ò Ñ ØÓ Ý ÔÖÞ Ó Þ Ò ÖÞ Û Ò ÖÒÝ Ñ ØÓ ÈÖ ÇÖ Ö Ð Þ Ý Þ ÓÔ Ö ÓÑ ÒÙ Ø ÞÝÒÒÓ ÔÖÞ Ó Þ Ò ÔÖÞ Þ Û ÖÞ Ó ÖÞ Û º ÊÓÞÛ Þ Ò º ÚÓ ÈÖ ÇÖ Ö Ú ÌÖ ÆÓ µ ß Ú ÆÍÄĵ Ö ØÙÖÒ ÏÝÔ Þ Úµ»» ÛÝÔ Ù ÑÝ Û ÖÞ Ó Ú ÈÖ ÇÖ Ö ÚºÐ Øµ»» Ó Û Þ ÑÝ Ð Û ÔÓ ÖÞ ÛÓ ÈÖ ÇÖ Ö ÚºÖ Øµ»» Ó Û Þ ÑÝ ÔÖ Û ÔÓ ÖÞ ÛÓ Ð ÈÖ ÇÖ Ö ÖÓÓص»» ÛÝÔ Ù ÑÝ Û ÞÝ Ø Û ÖÞ Ó ÖÞ Û ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙº Æ T (v) Þ Ð Þ ÞÝÒÒÓ ÔÖÞ Ó Þ Ò ÔÖÞ Þ Ó ÓÒÓ ÖÞ Û Ò ÖÒ Ó Ó ÓÖÞ Ò Ù Û Û ÖÞ Ó Ù v Ð ÙÒ ÈÖ ÇÖ Ö ÛØ Ý Û ÖÞ Ó Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙº Æ S (v, n) Þ Ð Þ Ó Ø ÓÛÝ ÒÓ Ø Ô Ñ Ó ÓÒÓ Ó ÛÝ ÓÒ Ò ÙÒ ÈÖ ÇÖ Ö Þ v Ø ÓÛ Þ Ò Ñ Ó ÓÖÞ Ò ÖÞ Û Ò Þ Ò Â Ø Ó ÒÝ Ó ÞØ Ô Ñ ÓÛÝ ÛÝ ÓÒ Ò Ð ÓÖÝØÑÙ ÈÖ ÇÖ Ö Ð v Ø ÈÝØ Ò º Ó ÓÖÞ Ò Ó ÓÒ Ó ÖÞ Û Ò ÖÒ Ó Ó n Û ÖÞ Ó ÓÛ Þ Ò Ñ Ê ÙÖ Ò Ñ Ø Ý ÔÖÞ Ó Þ Ò ÖÞ Û Ò ÖÒÝ Ñ ØÓ ÈÖ ÇÖ Ö T (v, n) = 0 Ð v = NULL T (v.left, n) + T (v.righ, n) + Ð 3 v NULL. ËØ T (v, n) = 3n = Θ (n)º Ó n Û ÖÞ Ó ÛØ Ý Ò ÖÒ Ó Ó ÞØ Ô Ñ ÓÛÝ ÞÛ Þ ÒÝ Þ ÛÝÛÓ Ò Ñ Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝÑ ÖÓÞÛ Ò ÙÒ Ø Ö ÛÒÝ Ó Ó Ø ÛÝ Ó Ó ÖÞ Û ÛÝÛÓ Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ ÞÝÐ O (n) Ó ÞØ Ô Ñ ÓÛÝ ÞÛ Þ ÒÝ Þ Ù Ý Ñ ÞÑ ÒÒÝ ÔÓÑÓÒ ÞÝ Ø Ø Ý Ø S (v, n) = O (n) + O (1) = O (n)º ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

Ê ÙÖ Ò Ñ ØÓ Ý ÔÖÞ Ó Þ Ò ÖÞ Û Ò ÖÒÝ Ñ ØÓ Ý ÁÒÇÖ Ö ÈÓ ØÇÖ Ö ÚÓ ÁÒÇÖ Ö Ú ÌÖ ÆÓ µ ß Ú ÆÍÄĵ Ö ØÙÖÒ ÁÒÇÖ Ö ÚºÐ Øµ»» Ó Û Þ ÑÝ Ð Û ÔÓ ÖÞ ÛÓ ÏÝÔ Þ Úµ Úµ»» Ó Û Þ ÑÝ Û ÖÞ Ó ÁÒÇÖ Ö ÚºÖ Øµ»» Ó Û Þ ÑÝ ÔÖ Û ÔÓ ÖÞ ÛÓ Ð ÚÓ ÈÓ ØÇÖ Ö Ú ÌÖ ÆÓ µ ß Ú ÆÍÄĵ Ö ØÙÖÒ ÈÓ ØÇÖ Ö ÚºÐ Øµ»» Ó Û Þ ÑÝ Ð Û ÔÓ ÖÞ ÛÓ ÈÓ ØÇÖ Ö ÚºÖ Øµ»» Ó Û Þ ÑÝ ÔÖ Û ÔÓ ÖÞ ÛÓ ÏÝÔ Þ Úµ»» Ó Û Þ ÑÝ Û ÖÞ Ó Ð ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

Ê ÙÖ Ò Ò ÖÓÛ Ò Ô ÖÑÙØ µ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

Æ A Þ Ò ÔÙ Ø Ø Ð n Ö ÒÝ Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒÝ º ÈÓ Ð ÓÖÝØÑ Ø ÖÝ Ò º Û ÞÝ Ø Ô ÖÑÙØ Ð Ñ ÒØ Û Ø Ð Ý Aº ÛÝÔ Þ Ê ÙÖ Ò Ò ÖÓÛ Ò Ô ÖÑÙØ ÊÓÞÛ Þ Ò º ÚÓ È ÖÑÙØ ÒØ Ò ÒØ ÌÑÔ Ò ÒØ Òµ ß ÒØ Ò ¼µ ÏÝÔ Þ ÌÑÔµ»» Ø Ð ÌÑÔ Ö ÔÖ Þ ÒØÙ Ò Þ Ô ÖÑÙØ Ð ÓÖ ¼ Ò µ ß ÌÑÔ Ò¹½ È ÖÑÙØ ÌÑÔ Ò¹½µ»» ÛÝÔ Ù ÑÝ Û ÞÝ Ø Ô ÖÑÙØ Û Ø ÖÝ Ð Ñ ÒØ ÞÒ Ù Ò ÔÓÞÝ Ò¹Ø Ð Ð ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙº Æ T (n) Þ Ð Þ ÛÝÛÓ Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ ÙÒ Ó ÓÒÓ ÛØ Ý È ÖÑÙØ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙº Æ S (n) Þ Ð Þ Ó Ø ÓÛÝ ÒÓ Ø Ô Ñ Ó ÓÒÓ Ó ÛÝ ÓÒ Ò ÙÒ È ÖÑÙØ ÛØ Ý Ò Þ Ò Ê ÙÖ Ò Ò ÖÓÛ Ò Ô ÖÑÙØ T (n) = 0 Ð n = 0 1 Ð n = 1 nt (n 1) Ð n > 1 = 0 Ð n = 0 n! Ð n 1 = Θ(n!). Ó ÞØ Ô Ñ ÓÛÝ ÞÛ Þ ÒÝ Þ ÛÝÛÓ Ò Ñ Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝÑ ÖÓÞÛ Ò ÙÒ Ø Ö ÛÒÝ Ó Ó Ø ÛÝ Ó Ó ÖÞ Û ÛÝÛÓ Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ ÞÝÐ Θ (n) Ó ÞØ Ô Ñ ÓÛÝ ÞÛ Þ ÒÝ Þ Ù Ý Ñ Ø Ð Ý ÔÓÑÓÒ Þ Tmp Ø Ö ÛÒÝ n Ø S (n) = Θ(n) + n = Θ(n)º ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ¼ È Û Ê Ñ Ð

Þ Ó ÓÒÓ Ð ÓÖÝØÑ Û Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ Ò Ð Þ ÙÓ ÐÒ Ò ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð

Ò Ð Þ Þ Ó ÓÒÓ Ð ÓÖÝØÑ Û Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ ÙÓ ÐÒ Ò ÌÛ Ö Þ Ò Ó Ö ÙÖ Ò ÙÒ Û Ö ÐÒ µº Æ a 1 b > 1 Ø ÝÑ f : N R + {0} ÙÒ Ò T Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝÑ Þ Ó ÓÒÓ Ô ÛÒ Ó Ð ÓÖÝØÑÙ ÔÓ Ø Ô ÛÒ (n) Ö ÛÒ Ò Ñ ( n ) T (n) = at + f (n), b Þ n b ØÖ ØÙ ÑÝ Ó ØÓ n b Ð Ó n b ÛØ Ý Ð f (n) = O ( n log b a ɛ) Ð Ô ÛÒ Ø ɛ > 0 ØÓ T (n) = Θ ( n log b a), Ð f (n) = Θ ( n log b a) ØÓ T (n) = Θ ( ) n log b a lg n, Ð f (n) = Ω ( n log b a+ɛ) Ð Ô ÛÒ Ø ɛ > 0 ØÓ T (n) = Θ(f (n)), Û ÖÙÒ Ñ af ( ) n b ÔÓ cf (n) Ø Ð Ô ÛÒ c < 1 Ó Ø Ø ÞÒ Û ÞÝ Ø Ù Ý nº ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð