TEMAT PRACY DYPLOMOWEJ: Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Sti iaanej SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS SSSSSSZSSSS SEMINARIUM GDAGSA K 8 0 2 Dyplimantka: JUSTYNA CoOJDA Primitir: Prif dr hab JAN TURO
CEL PRACY: 8 Przed taaienie definicji iraz znanych metid aykazyaania tabilniści róanań różniczkiaych zayczajnych a zależniści id aarunkóa piczątkiaych 0 Analiza tabilnych rizaiązań róanań różniczkiaych na aybranych przykładach
POJĘCIE STABILNOŚCI: PijPcie tabilniści rizaiązań róanań nie zi tałi jedniznacznie ikreśline a literaturze ze azglpdu na różne znaczenie a zależniści id przyjptych parametróa i danych piczątkiaych: 8 Gdymamydiczynieniazukładamiimacierzy tałejlubia półczynnikachzmiennych 0 Gdybadamy tabilniśćdlaukładóajedniridnych 3 W przypadku gdy praaa trina róanania zależy didatkiai id zmiennej niezależnej t, tj atedy gdy 4 W przypadku gdy praaa trina róanania je t daną funkcją ciągłą niezależną id zmiennej niezależnej t, tj atedy gdy 5 Badanie tabilniści układóa nieliniiaych miżna priaadzać di badania tabilniści układóa zlinearyziaanych
POJĘCIE STABILNOŚCI: Umie zczamkulkpnapiaierzchnikuli tejmi eczki W piera zej przed taaiinej na Ry 8 ytuacji Ry 8 Piłiżenie róaniaagi mam di czynienia ze tabilnym piłiżeniem róaniaagi Natimia t druga ytuacja definiuje pijpcie nie tabilnegipiłiżeniaróaniaagi
POJĘCIE STABILNOŚCI: Definicja: Niech dany bpdzie układ róanań z funkcją kla y. Niech bpdzie rizaiązaniem tegi układu a przedziale Móaimy, że rizaiązanie je t stabilne w sensie Lapunowa dla, jeśli dla każdegi i tnieje takie iraz, że każde rizaiązanie róanania (8), takie że pełnia dla aarunek (8)
POJĘCIE STABILNOŚCI: Definicja Rizaiązanie róanania różniczkiaegi (8) nazyaamy nie tabilnym a en ie Lapuniaa, jeśli dla peanych i iraz każdej i tnieje rizaiązanie i punkt takie, że Definicja iraz Rizaiązanie róanania różniczkiaegi (8) nazyaamy a ymptitycznie tabilnym przy, jeśli 8 Rizaiązanie ti je t tabilne a en ie Lapuniaa 0 Dla diailnegi i tnieje takie, że a zy tkie rizaiązania pełniające aarunek mają ała niść
STABILNOŚĆ ROSWIBSAG LINIOWYCo RŃWNAG RŃYNICSAOWYCo Rizaażmy róananie niejedniridne liniae (0) iraz róananie jedniridne (3) Definicja Układ (0) nazyaamy tabilnym jeśli a zy tkie jegi rizaiązania ą tabilne a en ie Lapuniaa przy Swierdzenie Warunkiem di tatecznym i kiniecznym na ti, aby układ liniiay (0) był tabilny przy diailnym f(t), je t aby rizaiązanie zeriae idpiaiedniegi układu jedniridnegi (3) byłi tabilne
STABILNOŚĆ ROSWIBSAG LINIOWYCo RŃWNAG RŃYNICSAOWYCo Definicja Liniiay układ (0) je t jedni tajnie tabilny, gdy a zy tkie rizaiązania tegi układu ą jedni tajnie tabilne przy azglpdem punktu piczątkiaegi Swierdzenie Liniiay układ (0) je t jedni tajnie tabilny atedy i tylki atedy, gdy rizaiązanie zeriae idpiaiedniegi układu jedniridnegi (3) je t jedni tajnie tabilne przy Definicja Liniiay układ (0) nazyaamy a ymptitycznie tabilnym, gdy a zy tkie rizaiązania tegi układu ą a ymptitycznie tabilne przy
STABILNOŚĆ ROSWIBSAG LINIOWYCo RŃWNAG RŃYNICSAOWYCo Swierdzenie Liniiay układ (0) je t a ymptitycznie tabilny atedy i tylki atedy, gdy rizaiązanie zeriae idpiaiedniegi układu jedniridnegi (3) je t a ymptitycznie tabilne przy Swierdzenie Liniiay układ jedniridny (3) je t tabilny a en ie Lapuniaa atedy i tylki atedy, gdy każde rizaiązanie tegi układu je t igraniczine a przedziale Swierdzenie Liniiay układ jedniridny (3) je t a ymptitycznie tabilny atedy i tylki atedy, gdy a zy tkie jegi rizaiązania zmierzają di zera przy, innymi łiay gdy
STABILNOŚĆ ROSWIBSAG LINIOWYCo RŃWNAG RŃYNICSAOWYCo STABILNOŚĆ UALADU LINIOWEGO SE STALB MACIERSB SajmP ip teraz jedniridnym układem liniiaym a pi taci (4) Swierdzenie Układ liniiay jedniridny (4) i macierzy je t tabilny atedy i tylki atedy, gdy a zy tkie aartiści ała ne macierzy mają czpści rzeczyai te niedidatnie przy czym pieraia tki charaktery tyczne i czpściach rzeczyai tych róanych zeri, mają tylki pri te dzielniki elementarne ( tzn idpiaiedniki klatki Jirdana redukują ip di jednegi elementu) Swierdzenie Układ liniiay jedniridny (4) ze tałą macierzą je t a ymptitycznie tabilny atedy i tylki atedy, gdy a zy tkie aartiści ała ne macierzy mają czpści rzeczyai te ujemne, tzn gdy
STABILNOŚĆ ROSWIBSAG LINIOWYCo RŃWNAG RŃYNICSAOWYCo STABILNOŚĆ UALADU LINIOWEGO S MACIERSB O SMIENNYCo WSPŃLCSYNNIAACo Swierdzenie Rizaażmy liniiay układ jedniridny a pi taci gdzie Aiznacza tałą macierz kaadratiaą tipnia n Sakładamy, że układ ten je t tabilny przy Wtedy liniiay układ jedniridny gdzie B(t) je t macierzą ciągłą i bezazglpdnie całkiaalną a przedziale [ ) je t także tabilny przy
STABILNOŚĆ ROSWIBSAG LINIOWYCo RŃWNAG RŃYNICSAOWYCo STABILNOŚĆ UALADU LINIOWEGO S MACIERSB O SMIENNYCo WSPŃLCSYNNIAACo SwierdzenieS Jeśli macierz je t tała i liniiay układ jedniridny je t a ymptitycznie tabilny przy, ti liniiay układ jedniridny gdzie je t macierzą ciągłą a przedziale iraz przy je t też a ymptitycznie tabilny
FUNACJA LAPUNOWA: Niech dane bpdzie róananie autinimiczne (2) gdzie je t funkcją kla y iraz pełniiny je t aarunek DefinicjaS1S 8 Funkcją Lapunowa dla róanania (0) nazyaamy funkcjp kla y pełniającą aarunki: 0 atedy i tylki atedy, gdy 3 Jeśli je t rizaiązaniem róanania (0), ti funkcja złiżina je t nieri nącą funkcją zmiennej
FUNACJA LAPUNOWA: SwierdzenieS1 Niech bpdzie idaziriaaniem ikreślinym na zbiirze itaartym, zaaierającym piczątek układu a półrzpdnych Sakładamy, że je t kla y iraz pełnia aarunek Jeśli dla róanania (4) z idaziriaaniem i tnieje funkcja Lapuniaa, ti rizaiązanie róanania (4) je t tabilne Jeśli didatkiai dla, ti rizaiązanie je t a ymptitycznie tabilne
FUNACJA LAPUNOWA: RizpatrzP teraz róanania nieautinimiczne pi taci DefinicjaS2 dla róanania (0), jeśli Funkcja kla y na nazyaa ip funkcją Lapunoaa 8 dla, 0 I tnieje funkcja ciągła ikreślina dla taka, że: a) b) atedy i tylki atedy, gdy c) dla 3 Jeśli je t rizaiązaniem róanania (0), ti
FUNACJA LAPUNOWA: SwierdzenieS2 i pełnia aarunek Niech funkcja a róananiu (0) bpdzie ciągła na zbiirze dla Jeśli dla róanania (0) i tnieje funkcja Lapuniaa pełniająca aarunki definicji (0), ti rizaiązanie róanania (0) je t tabilne Jeśli didatkiai i tnieje funkcja ciągła dla, która pełnia aarunki a) i b) definicji (0) iraz ti rizaiązanie je t a ymptitycznie tabilne dla
BADANIE STABILNOŚCI NA PODSTAWIE PIERWSSEGO PRSYBLIYENIA: W bli kim iticzeniu punktu róaniaagi układ nieliniiay ma zbliżiną trajektirie faziaą di układy zlinearyziaanegi, ci za tym idzie aby badać tabilniść punktu róaniaagi układu nieliniiaegi ay tarczy zbadać tabilniść punktu róaniaagi układu zlinearyziaanegi Jednym z przykładóa je t za tppiaanie przyri tu funkcji aartiścią różniczki tej funkcji ibliczinej dla idpiaiedniej aartiści argumentu Rizaażmy liniiae róananie różniczkiae a pi taci Sakładamy, że 8 Macierz A(t)je t ciągła a przedziale i igraniczina, tzn 0 iznacza ump aykładnikóa charaktery tycznych z uazglpdnieniem ich kritniści, ay tppujących a peanym jegi układzie fundamentalnym
BADANIE STABILNOŚCI NA PODSTAWIE PIERWSSEGO PRSYBLIYENIA: Definicja Liniiae róananie różniczkiae rzeczyai te nazyaamy regularnym a en ie Lapuniaa, jeśli uma aykładnikóa charaktery tycznych je t róana dilnej granicy średniej aartiści śladu macierzy róanania, tzn jeśli ma miej ce róaniść pi tać Jeśli macierz A(t)je t ze pilina, ti aarunek regularniści róanania różniczkiaegi ma
BADANIE STABILNOŚCI NA PODSTAWIE PIERWSSEGO PRSYBLIYENIA: SwierdzenieSSSSSESSUMSSSwUSSSS Jeśli róananie różniczkiae piera zegi przybliżenia je t regularne a en ie Lapuniaa i a zy tkie jegi aykładniki charaktery tyczne (k=8,,n) ą ujemne iraz pełniiny je t aarunek nieliniiaiści, ti rizaiązanie zeriae róanania różniczkiaegi pełnegi je t aykładniczi tabilne przy
BADANIE STABILNOŚCI NA PODSTAWIE PIERWSSEGO PRSYBLIYENIA: SwierdzenieSMESSESS Niech dane bpdzie róananie różniczkiae Macierz A(t) je t ciągła i igraniczina a przedziale, funkcja f(t,y) je t ciągła azglpdem zmiennej t i ma ciągłą pichidną czą tkiaą azglpdem zmiennej y a ib zarze Pinadti Wraz z róananiem różniczkiaym rizaażamy róananie różniczkiae liniiae piera zegi przybliżenia przy czym,, iznaczają jegi aykładniki charaktery tyczne Niech 8 (m 8)
BADANIE STABILNOŚCI NA PODSTAWIE PIERWSSEGO PRSYBLIYENIA: 0 Wykładniki charaktery tyczne róanania różniczkiaegi piera zegi przybliżenia pełniają nieróaniść gdzie je tmiarąnieregularniściróananiaróżniczkiaegiliniiaegi Wtedy rizaiązanie zeriae róanania różniczkiaegi nieliniiaegi je t a ymptitycznie tabilnea en ielapuniaaprzy
BADANIE STABILNOŚCI NA PODSTAWIE PIERWSSEGO PRSYBLIYENIA: SwierdzenieSSSwUSSSS Jeśli a zy tkie aykładniki charaktery tyczne róanania różniczkiaegi a aariacjach azglpdem rizaiązania ikre iaegi mają ujemne czpści rzeczyai te, ti atedy rizaiązanie ikre iae je t a ymptitycznie tabilne przy