3 Potęgi i pierwiastki

Transkrypt

1 Potęgi i pierwiastki W tej lekcji przypomnimy sobie podstawowe własności działań na potęgach i pierwiastkach. Prosimy o zapoznanie się z regulaminem na ostatniej stronie..1 Potęga o wykładniku całkowitym Dla dowolnej liczby rzeczywistej a i dowolnej liczby naturalnej n 1 potęgowanie definiujemy następująco: = a a... a } {{ } n razy Jeśli a jest dowolną liczbą różną od zera, to: a 0 = 1 a n = 1 1 = 1 1 = 1 = 1 = 1 9. Potęga o wykładniku wymiernym Dla dowolnej liczby a 0 i dowolnej liczby naturalnej n > 1 określamy: a 1 n = n a. 5 1 = 5 = = 7 = Dla dowolnej liczby a > 0, dowolnej liczby całkowitej m i dowolnej liczby naturalnej n > 1 określamy: a m n = ( n a) m. 16 = ( 16 ) = 4 = 64 5 = ( 5 ) = = 4

2 . Działania potęgach Dla dowolnych liczb dodatnich a, b oraz dowolnych liczb k, n zachodzą następujące wzory: a k = a k+n ak = a k n ( a k) n = a kn (a b) n = b n ( ) b = b n = + = 5 = 9 6 = 9 6 = = 7 (c) ( ) = = 6 = 64 (d) ( 5) = 5 = 7 15 = 75 (e) ( 7 4) = 7 = Działania pierwiastkach Dla dowolnej liczby nieujemnej a i dowolnej liczby naturalnej n definiujemy pierwiastek n-tego stopnia z liczby astępująco: n a = b b n = a i b 0. Dla liczby nieparzystej n możemy też zdefiniować pierwiastek n-tego stopnia z liczby ujemnej a: n a = n a. Przykład. 8 = 8 =. Dla a, b 0, n N zachodzą następujące prawa działań na pierwiastkach: n a n b = n ab n a n b = n a. b = = 4 65 = 5 = 54 = 7 = 54 UWAGA: Pierwiastek sumy (lub różnicy) liczb dodatnich nie jest równy sumie (różnicy) pierwiastków z tych liczb! a + b a + b

3 .5 Usuwanie niewymierności z mianownika Aby usunąć niewymierność z mianownika, należy rozszerzyć ułamek, czyli pomnożyć licznik i mianownik przez tę samą liczbę. Przez co najlepiej rozszerzać ułamek? Najlepiej zrozumieć to na przykładach. Usuń niewymierność z mianownika: ; (c) 1 1. Rozwiązanie. Wystarczy rozszerzyć ułamek przez : 5 = 5 = 5 = 5 6. UWAGA. Jeśli mianownik jest w postaci iloczynu, to chcąc usunąć z niego niewymierność wystarczy rozszerzyć ułamek przez czynnik niewymierny. Nie ma potrzeby rozszerzać przez całe wyrażenie w mianowniku - nie jest to błędem, ale prowadzi do bardziej skomplikowanych obliczeń. Dlatego w powyższym przykładzie rozszerzyliśmy ułamek przez, ie przez. Mianownik jest w postaci różnicy dwóch liczb. Aby usunąć niewymierność rozszerzamy ułamek przez sumę tych liczb i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia różnicę kwadratów: 4 1 = 4( + 1) ( 1)( + 1) = 4 + 4) = = Przypomnienie. Różnica kwadratów liczb - wzór skróconego mnożenia: a b = (a + b)(a b). (c) W tym przypadku postąpimy podobnie jak poprzednio, skorzystamy jednak z innego wzoru skróconego mnożenia - wzoru na różnicę sześcianów. Robimy tak, ponieważ w mianowniku jest różnica dwóch liczb, które są pierwiastkami trzeciego stopnia z liczb wymiernych (1 = 1): 1 1 = 1(( ) + 1+1) ( 1)( ) + = (( ) + 1+1) 1+1) ) 1 = (( ) + 1+1) 1 = ( ) = = = 5 +. Przypomnienie. Suma (różnica) sześcianów liczb - wzór skróconego mnożenia: a ± b = (a ± b)(a ab + b ).

4 .6 Przykładowe zadania Rozwiążmy jeszcze kilka przykładowych zadań na potęgi. Zadanie 1. Oblicz: Rozwiązanie.Zauważmy, że liczby 81, 7 i 9 to potęgi liczby : 81 = 4, 7 =, 9 =. Mamy więc: = ( 4 ) 6 4 ( ) 5 ( ). 4 Teraz skorzystamy z trzeciego wzoru z paragrafu.: ( 4 ) ( ) 5 ( ) = 4 = Następnie wykonamy działanie w mianowniku korzystając z pierwszego wzoru a paragradu.: 4 15 = = 4 Zastosowanie drugiego wzoru z paragrafu. doprowadzi nas do wyniku: 4 = 4 = 1 =. Odpowiedź. Szukana liczba jest równa. Zadanie. Oblicz: (4 1 ) Rozwiązanie. Będziemy korzystać z definicji potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym oraz z praw działań na potęgach: (4 1 ) = 4 1 ( 8) = = 48 6 = 4 = 16. Odpowiedź. Szukana liczba jest równa 16. Zadanie. Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenie: Rozwiązanie. Każdą liczbą pod pierwiastkiem przedstawiamy jako iloczyn kwadratu liczby naturalnej oraz liczby bezkwadratowej (czyli takiej, że jej dzielnikiem nie jest żaden kwadrat liczby naturalnej). Następnie korzystamy ze wzoru na pierwiactek iloczynu: = = = 6. Odpowiedź. Najprostsza postać danego wyrażenia to 6.

5 Zadanie 4. Oblicz: Rozwiązanie. Będziemy korzystać z praw działań na pierwiastkach: = 50 + = 15 + = 15 + = 5 + =. Odpowiedź. Szukana liczba jest równa -..7 Zadania do rozwiązania Mam nadzieję, że powyższe przykłady pozwoliły Ci zrozumieć prawa działań na potęgach. W celu utrwalenia zdobytej wiedzy rozwiąż poniższe zadania. 1. Oblicz ( 1 0 ) 6 61 ; (10 ) 5 ; (c) (, 75) (1, 6) ; (d) ( ) 4 7 ; (e) ( 1 64 ) ; (f) 65 0,5 1, , 5,5.. Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenia: ; ( 7 5 )( 7 + ).. Usuń niewymierność z mianownika: 4 17 ; 1 7+ ; (c) Oblicz ; Oblicz ( ) ;

6 Po tej lekcji powinieneś umieć: stosować prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych, stosować prawa działań na pierwiastkach, w tym pierwiastkach nieparzystego stopnia z liczby ujemnej, usuwać niewymierność z mianownika. Jeśli masz jeszcze jakieś trudności, poćwicz więcej lub zapisz się na kurs. Szczegóły znajdziesz na stronie W razie jakichkolwiek pytań lub wątpliwości dotyczących przerabianego materiału wyślij maila na adres biuro@torus.edu.pl lub zadzwoń pod numer Zawsze możesz liczyć naszą pomoc. Następna lekcja: Wartość bezwzględna. Odpowiedzi do zadań: 1. 4; 16 1 ; (c) ; (d) 1 ; (e) 16; (f) ; ; ( 7 + ); (c) ; 4. 10; ; -7.

7 Regulamin 1. Właścicielem wszelkich praw autorskich jest Akademia Matematyki TORUS, prowadzona przez firmę LEMONET Łukasz Kidziński, zarejestrowaną w Brwinowie przy ul. Kępińskiej 14a Brwinów, zwaną dalej TORUS.. TORUS zobowiązuje się dystrybuować niniejszą publikację, zwaną dalej Kursem. Kurs rozpowszechniany jest wśród osób zapisanych do mailingu poprzez stronę zwanych dalej Użytkownikami.. Jedynym środkiem dystrybucji Kursu jest mailing na stronie internetowej 4. Kurs rozpowszechniany jest na bezpłatnej licencji, która pozwalieograniczone korzystanie z kursu wyłącznie przez Użytkowników. 5. Kurs może być kopiowany i rozpowszechniany wyłącznie przez TORUS. Rozpowszechnianie kursu bez wiedzy lub zgody właściciela podlega karze grzywny zgodnie z Kodeksem Cywilnym. 6. TORUS zastrzega sobie prawo do wprowadzenia zmian w regulaminie. 7. TORUS nie gwarantuje przesłania kopii kursu w przypadku powstałej awarii pliku Kursu lub utracenia go w inny sposób przez Użytkownika. 8. TORUS dołożył wszelkich starań, by Kurs był wolny od wirusów, ale nie odpowiada za wszelkie szkody wynikłe podczas jego użytkowania.