Wpływ przesunięcia faz zazębień na dynamikę przekładni dwudrogowej

DREWNIAK Józef RESZUTA Krzysztof 2 Wpływ przesunięcia faz zazębień na dynamikę przekładni dwudrogowej WSTĘP Jednymi z najbardziej powszechnych urządzeń mechanicznych służących do przenoszenia energii mechanicznej oraz ruchu obrotowego są przekładnie zębate. Są one stosowane nie tylko w przemyśle maszynowym ale również w przemyśle lotniczym lub okrętowym, gdzie przenoszone moce nierzadko wynoszą kilka MW. W związku z tym, gabaryty kół zębatych, potrzebne do przeniesienia tak dużych sił i momentów dynamicznych muszą być znaczne. W celu zmniejszenia całkowitych gabarytów przekładni stosuje się przekładnie wielodrogowe []. Dzięki zastosowaniu wielodrożności (powiększeniu liczby dróg), całkowite obciążenie jest dzielone na kilka mniejszych obciążeń występujących równolegle, w zależności od ilości dróg [2]. Uzyskuje się przez to odpowiednią wytrzymałość, trwałość i niezawodność przekładni zębatej. Dynamikę przekładni zębatych, a w szczególności dynamikę przekładni wielodrogowych można zaliczyć do trudniejszych zagadnień mechaniki stosowanej. Głównym powodem takiego stanu rzeczy jest złożoność zjawisk zachodzących podczas współpracy kół zębatych. W celu przeprowadzenia analizy dynamiki przekładni walcowych opracowano wiele mniej lub bardziej dokładnych modeli matematycznych [3-2]. Natomiast, jeśli chodzi o zagadnienie dynamiki przekładni wielodrogowych oraz wpływu przesunięcia fazowego na dynamikę takiej przekładni, w literaturze brak jest szerszego rozwinięcia tego zagadnienia [3], [4]. W artykule przedstawiono wyniki analizy wpływu przesunięcia fazowego zazębień na dynamikę drgań skrętnych walcowej przekładni zębatej dwudrogowej. W modelu przyjęto uproszczony model tarcia w zazębieniu. Zmienną sztywność zazębienia wyznaczono za pomocą metody B według normy ISO 6336 a do wykreślenia jej przebiegu zastosowano wzór Cai a [5], [6]. MODEL DYNAMICZNY JEDNOSTOPNIOWEJ PRZEKŁADNI DWUDROGOWEJ Analizie dynamiki poddano jednostopniową, dwudrogową przekładnię zębatą przedstawioną na rysunku. Przekładnia ta posiada jedno wejście (zębnik ) oraz dwa wyjścia dwie drogi odbioru mocy (koła bierne 2 i 3). Do symulacji porównawczych przyjęto dwa modele przekładni: model, w którym koło czynne posiada nieparzystą liczbę zębów parametry geometryczne zostały podane w tabeli oraz model, w którym koło czynne posiada parzystą liczbę zębów parametry geometryczne zostały podane w tabeli 2. Model dynamiczny dwudrogowej przekładni zębatej z jednym wejściem oraz dwoma wyjściami przedstawiono w rozdziale.2. Model ten posiada trzy stopnie swobody. Współpracujące zęby zamodelowano przy pomocy równolegle połączonych elementów sprężystych oraz tłumiących. W badaniach przyjęto stały współczynnik tłumienia c g oraz zmienną w czasie sztywność zazębienia k g (t). Przebieg sztywności zazębienia omówiono szerzej w punkcie.3. W modelu uwzględniono siły tarcia, które generuje momenty tarcia w zazębieniach. Akademia Techniczno-Humanistyczna w Bielsku-Białej, Wydział Budowy Maszyn i Informatyki, 43-309 Bielsko-Biała, ul. Willowa 2, jdrewniak@ath.bielsko.pl 2 Akademia Techniczno-Humanistyczna w Bielsku-Białej, Wydział Budowy Maszyn i Informatyki, 43-309 Bielsko-Biała, ul. Willowa 2. 329

Rys.. Schemat ogólny jednostopniowej dwudrogowej przekładni zębatej z jednym wejściem oraz dwoma wyjściami [4] Tab.. Parametry przekładni zębatej o nieparzystej liczbie zębów Symbol Nazwa Wartość Jednostka z Liczba zębów zębnika 2 - z 2, z 3 Liczba zębów koła 2 i 3 57 - m n Moduł normalny 2,5 mm d Średnica podziałowa zębnika 52,5 mm d 2 Średnica podziałowa koła 2 i 3 42,5 mm u Przełożenie geometryczne 2,74 - α wt Toczny kąt przyporu 20 stopnie ε ɑ Czołowy wskaźnik zazębienia,500 - T Moment obrotowy wejściowy 49,40 N m Tab. 2. Parametry przekładni zębatej o parzystej liczbie zębów Symbol Nazwa Wartość Jednostka z Liczba zębów zębnika 22 - z 2, z 3 Liczba zębów koła 2 i 3 60 - m n Moduł normalny 2,5 mm d Średnica podziałowa zębnika 55 mm d 2 Średnica podziałowa koła 2 i 3 50 mm u Przełożenie geometryczne 2,727 - α wt Toczny kąt przyporu 20 stopnie ε ɑ Czołowy wskaźnik zazębienia,500 - T Moment obrotowy wejściowy 49,40 N m. Fazy zazębień Na rysunku 2 przedstawiono fazy zazębień dla przekładni dwudrogowej z nieparzystą liczbą zębów zębnika (koła czynnego). W chwili, gdy zęby koła czynnego wchodzą w przypór dwuparowy z zębami koła biernego 2 (punkt A na rysunku 2B), to w zazębieniu koła z kołem 3 zęby koła czynnego wychodzą z przyporu dwuparowego i wchodzą w przypór jednoparowy (na rysunku 2A punkt B oznacza wejście w przypór jednoparowy, punkt E to wyjście z przyporu dwuparowego). 3220

Rys. 2. Zazębienie kół o nieparzystej liczbie zębów zębnika : A) zazębienie koła czynnego z kołem biernym 3; B) zazębienie koła czynnego z kołem biernym 2 Rys. 3. Zazębienie kół o parzystej liczbie zębów zębnika : A) zazębienie koła czynnego z kołem biernym 3; B) zazębienie koła czynnego z kołem biernym 2 Na rysunku 3 przedstawiono fazy zazębień dla przekładni dwudrogowej z parzystą liczbą zębów zębnika. W chwili, gdy ząb zębnika styka się z zębem koła biernego 2 w biegunie zazębienia C (rys. 3B), to przeciwległy ząb zębnika również styka się z zębem koła 3 w biegunie zazębienia C (rys. 3A). Oznacza to, że koło czynne wchodzi w przypory dwuparowe z kołami biernymi 2 i 3 równocześnie (na rysunku 3A i 3B są to punkty A na odpowiadających liniach przyporu). Tak samo jest przy wchodzeniu zębnika w przypór jednoparowy (na rysunkach 3A i 3B są to punkty B na odpowiadająch liniach przyporu). Można napisać, że w przypadku parzystej liczby zębów koła zębate jednocześnie wchodzą i wychodzą z przyporu, czyli są w zgodnych fazach zazębień. 322

.2 Model dynamiczny przekładni dwudrogowej jednostopniowej Na rysunku 4 przedstawiono model dynamiczny badanej przekładni. Jak już wspomniano wcześniej model ten posiada trzy stopnie swobody, które są związane z ruchem drgającym kół zębatych. Dla przekładni o nieparzystej liczbie zębów zębnika parametry dynamiczne przedstawiono w tabeli 3, natomiast dla przekładni o parzystej liczbie zębów zębnika dane parametry dynamiczne przedstawiono w tabeli 4. Rys. 4. Model dynamiczny jednostopniowej przekładni dwudrogowej [4] Tab. 3. Parametry dynamiczne analizowanej przekładni zębatej o nieparzystej liczbie zębów zębnika Symbol Nazwa Wartość Jednostka J Masowy moment bezwładności zębnika,47 0-4 kg m 2 J 2, J 3 Masowy moment bezwładności koła 2 i 3 7,8 0-3 kg m 2 c g Tłumienie w zazębieniu 00 (N s)/m r b Promień zasadniczy zębnika 2,47 0-2 m r b2, r b3 Promień zasadniczy koła 2 i 3 6,70 0-2 m r f Ramię momentu tarcia na zębniku 7,47 0-3 m r f2, r f3 Ramię momentu tarcia na kole 2 i 3 20,27 0-3 m μ Współczynnik tarcia między współpracującymi zębami 0,05 - Tab. 4. Parametry dynamiczne analizowanej przekładni zębatej o parzystej liczbie zębów zębnika Symbol Nazwa Wartość Jednostka J Masowy moment bezwładności zębnika,97 0-4 kg m 2 J 2, J 3 Masowy moment bezwładności koła 2 i 3 9,63 0-3 kg m 2 c g Tłumienie w zazębieniu 00 (N s)/m r b Promień zasadniczy zębnika 2,58 0-2 m r b2, r b3 Promień zasadniczy koła 2 i 3 7,05 0-2 m r f Ramię momentu tarcia na zębniku 7,52 0-3 m r f2, r f3 Ramię momentu tarcia na kole 2 i 3 20,50 0-3 m μ Współczynnik tarcia między współpracującymi zębami 0,05 - Model dynamiczny drgań skrętnych przekładni dwudrogowej przedstawiony powyżej zawiera koła zębate o masowych momentach bezwładności J i i promieniach zasadniczych r bi, gdzie i =, 2, 3 (numery kół zębatych). Zazębienia współpracujących kół przedstawiono w postaci elementów odzwierciedlających zmienną sztywność zazębiania k g (t) oraz stałe tłumienie c g. W zazębieniu uwzględniono siły tarcia F fi, które generują momenty tarcia T fi. Koło czynne jest obciążone momentem wejściowym T, a koła bierne 2 i 3 momentami obciążającymi T 2 i T 3. 3222

k'(t) [N/m].2. Równania ruchu dynamiki przekładni dwudrogowej jednostopniowej Poniżej przedstawiono równania ruchu dla modelu jednostopniowej przekładni dwudrogowej z rysunku 4. Równania ruchu wyprowadzono przy wykorzystaniu równań Lagrange a II rodzaju [4]. g b 2 2 3 3 rf kg t rb rb 2 2 g b b 2 2 k t r r 3 c r r 3 J k t r r r k t r r r b2 2 b g b b3 3 b c r r r c r r r g b b b g b b b T c r r r f g b b3 g b b3 b 2 g b b 2 cg rb rb J k t r r r c r r r 2 2 g b b2 2 b2 g b 2 b2 T2 r f2 k t r r 2 2 2 b 3 g b b cg rb rb J k t r r r c r r r 3 3 g b b3 3 b3 g b 3 b3 T3 r f k t r r 3 3 3 3 3.3 Przebieg sztywności zazębienia Na podstawie znajomości teoretycznej maksymalnej sztywności zazębienia k th oraz na podstawie wzoru Cai a [5], [6] wyznaczono przebieg sztywności zazębień, które to przedstawiono na rysunkach 5 i 6. () (2) (3) 5.5 x 08 k g-2 k g-3 5 4.5 4 3.5 3 0 0.5.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x 0-3 Rys. 5. Wypadkowy przebieg sztywności dla zazębień kół biernych 2 i 3 z zębnikiem o nieparzystej liczbie zębów (niezgodność faz zazębień) 3223

Wychylenie katowe [rad] k'(t) [N/m] 5.5 x 08 k g-2 k g-3 5 4.5 4 3.5 3 0 0.5.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x 0-3 Rys. 6. Wypadkowy przebieg sztywności dla zazębień kół biernych 2 i 3 z zębnikiem o parzystej liczbie zębów (zgodność faz zazębień) 2 WYNIKI ANALIZY DYNAMICZNEJ Powyższe równania rozwiązano w programie MATLAB. Na podstawie uzyskanych wyników otrzymano przebiegi drgań skrętnych dla poszczególnych przypadków zazębień kół zębatych przedstawionych w punkcie.. Przebiegi tych drgań przedstawiono na poniższych rysunkach. Na rys. 7 przedstawiono mianowicie przebiegi drgań skrętnych kół, 2 i 3 przekładni jednostopniowej dwudrogowej o nieparzystej liczbie zębów zębnika. 2.5 x 0-4 2 Wychylenie zebnika Wychylenie kola 2 Wychylenie kola 3.5 0.5 0-0.5 0 0.005 0.0 0.05 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 Rys. 7. Przebiegi drgań skrętnych kół, 2 i 3 przekładni jednostopniowej dwudrogowej o nieparzystej liczbie zębów zębnika Następnie na rys. 8 przedstawiono przebiegi drgań skrętnych kół, 2 i 3 przekładni dwudrogowej o parzystej liczbie zębów zębnika. 3224

Wychylenie katowe [rad] Wychylenie katowe [rad] 2.5 x 0-4 2 Wychylenie zebnika Wychylenie kola 2 Wychylenie kola 3.5 0.5 0-0.5 0 0.005 0.0 0.05 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 Rys. 8. Przebiegi drgań kół, 2 i 3 przekładni dwudrogowej o parzystej liczbie zębów zębnika Na rys. 9 przedstawiono przebiegi drgań skrętnych kół biernych 2 i 3 przekładni dwudrogowej, w której zębnik posiada parzystą liczbę zębów (powiększenie przebiegu dolnego z rys. 8). x 0-6 0 Wychylenie kola 2 Wychylenie kola 3 - -2-3 -4-5 -6 0 0.005 0.0 0.05 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 Rys. 9. Przebieg drgań kół biernych 2 i 3 przy współpracy z zębnikiem o parzystej liczbie zębów Porównując przebiegi drgań przedstawionych na rysunkach 7 oraz 8 wyraźnie widać, że w przypadku nieparzystej liczby zębów zębnika (rys. 7) amplituda drgań zębnika jest mniejsza niż dla przypadku przekładni o parzystej liczbie zębów zębnika (rys. 8). Odwrotnie jest natomiast w przypadku drgań kół zębatych 2 oraz 3, gdyż w przypadku nieparzystej liczby zębów zębnika amplituda drgań kół 2 i 3 jest większa niż dla przypadku z parzystą liczbą zębów zębnika. Na podstawie wykresów przedstawionych na rysunkach 7 i 8 oraz znajomości przebiegów sztywności zazębienia k g (t) (rys. 5 i rys. 6) wyznaczono wartości sił międzyzębnej F c : k 2 g t rb rb 2 2 cg rb rb 2 2 (4) 3 3 F k t r r c r r c 3 g b b3 g b b3 (5) 3225

Znając wartości siły międzyzębnej F c oraz nominalnej siły międzyzębnej F cn wyznaczono współczynnik dynamiczny K v dla poszczególnych przypadków zazębienia kół przekładni zębatej. Nominalna siła międzyzębna dla przekładni dwudrogowej o nieparzystej liczbie zębów zębnika (rys. 2) wyraża się następującym wzorem: 3 T 49,397 0 F 0,5 0,5 00, 27 N n 2 c n3 o r cost 26, 25 cos 20 (6) Dla przekładni dwudrogowej o parzystej liczbie zębów zębnika (rys. 3) nominalna siła międzyzębna wynosi: 3 T 0.5 49,397 0 F 0.5 955.77 N n 2 c n3 o r cos 27, 5cos 20 (7) t Maksymalna siła międzyzębna dla przekładni dwudrogowej o nieparzystej liczbie zębów zębnika, zgodnie ze wzorami (4) i (5) wynosi: 2 6 2 6 52058266 2, 47 0 78.40 0 6, 70 0 8.03 0 2 2 2 00 2, 470 0,97 6, 700 0.080 628.40 N (8) 2 6 2 6 32098882 2, 47 0 08.78 0 6, 70 0 36.635 0 3 2 2 00 2, 47 0 0.092 6, 700 0.043 649.2 N Maksymalna siła międzyzębna dla przekładni dwudrogowej o parzystej liczbie zębów zębnika, zgodnie ze wzorami (4) i (5) wynosi: 2 6 2 6 492523807 2,58 0 98.86 0 7, 05 0 2, 757 0 2 2 2 00 2,580 0,39 7.050 0, 004 352.99 N (0) 2 6 2 6 492523807 2,58 0 98.86 0 7, 05 0 2, 757 0 3 2 2 00 2,580 0,39 7.050 0, 004 352.99 N () Maksymalna wartość współczynnika dynamicznego K v dla przekładni dwudrogowej o nieparzystej liczbie zębów zębnika: 628.40 2 K 2 00,27,626 v F (2) cn2 (9) K v3 3 649.2 F 00,27,647 cn3 (3) Maksymalna wartość współczynnika dynamicznego K v dla przekładni dwudrogowej o nieparzystej liczbie zębów zębnika: F 352.99 2 c3 Kv K,46 2 v 3 F F 955.77 (4) cn2 cn3 Poniżej na rysunku 0 zaprezentowano porównanie przebiegów współczynnika dynamicznego K v dla przekładni dwudrogowej o nieparzystej liczbie zębów zębnika dla zazębienia kół i 2 oraz kół i 3. Na rysunku zaprezentowano przebiegi współczynnika dynamicznego K v dla przekładni o parzystej liczbie zębów zębnika. 3226

2.8 dla zazebienia kol i 2 dla zazebienia kol i 3.6.4.2 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.024 0.026 0.028 0.03 0.032 0.034 0.036 0.038 0.04 0.042 0.044 Rys. 0. Przebiegi współczynnika dynamicznego K v dla przekładni o nieparzystej liczbie zębów zębnika dla zazębienia kół i 2 oraz i 3.5.4 dla zazebienia kol i 2 dla zazebienia kol i 3.3.2. 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.024 0.026 0.028 0.03 0.032 0.034 0.036 0.038 0.04 0.042 0.044 Rys.. Przebieg współczynnika dynamicznego K v dla przekładni o parzystej liczbie zębów zębnika dla zazębienia kół i 2 oraz i 3 WNIOSKI W artykule rozpatrzono dwa przypadki modelowe przesunięcia faz zazębień koła czynnego z dwoma współpracującymi kołami biernymi, kiedy to koło czynne posiada nieparzystą liczbę zębów oraz gdy posiada parzystą liczbę zębów. W pierwszym przypadku, w chwili gdy zębnik o nieparzystej liczbie zębów wchodzi w przypór dwuparowy z kołem biernym 2 w punkcie A (rys. 2B), to równocześnie wychodzi on z przyporu dwuparowego z kołem 3 w punkcie E i wchodzi w przypór jednoparowy w punkcie B (rys. 2A). Tak więc w przypadku nieparzystej liczby zębów zębnika koła bierne 2 i 3 są w niezgodnej fazie zazębień. W drugim przypadku, w chwili, gdy ząb koła czynnego styka się z zębem koła biernego 2 w biegunie zazębienia C (punkt C na rys. 3B), to w zazębieniu koła z kołem 3 ząb koła czynnego również styka się z zębem koła biernego 3 w ich biegunie zazębienia (punkt C na rys. 3A). Oznacza to, że koło czynne wchodzi równoczesnie w przypór dwuparowy z kołem biernym 2 i z kołem 3227

biernym 3 (na rysunkach 3A i 3B są to punkty A na linii przyporu). Tak samo jest przy wchodzeniu zazębień w przypór jednoparowy (punkty B na linii przyporu na rysunku 3A i 3B). Tak więc w przypadku parzystej liczby zębów zębnika koła bierne 2 i 3 są w zgodnej fazie zazębień. W wyniku przesunięcia faz zazębień przy współpracy zębnika o nieparzystej liczbie zębów z dwoma kołami biernymi amplituda drgań zębnika jest mniejsza niż dla przypadku, gdy zębnik o parzystej liczbie zębów współpracuje z tymi samymi kołami biernymi. Odwrotnie jest natomiast w przypadku drgań kół zębatych biernych 2 oraz 3, gdyż w przypadku ich współpracy z zębnikiem o nieparzystej liczbie zębów amplituda drgań kół 2 i 3 jest większa niż dla przypadku współpracy z zębnikiem o parzystej liczbie zębów zębnika. Oczywiście niezgodność przesunięcia faz zazębień w pierwszym przypadku współpracy kół i zgodność w drugim przypadku przesunięcia faz zazębień kół jest przyczyną różnego wpływu na dynamikę drgań skrętnych zębnika i kół. Streszczenie W artykule przeprowadzono analizę wpływu przesunięcia faz zazębień na dynamikę drgań skrętnych jednostopniowej walcowej przekładni zębatej dwudrogowej. Analizę przeprowadzono dla dwóch przypadków przesunięcia faz zazębień, kiedy to zębnik posiada nieparzystą liczbę zębów oraz gdy posiada parzystą liczbę zębów, co odpowiada odpowiednio niezgodności i zgodnosci przesunięcia faz zazębień. Przedstawiono schemat ogólny przekładni wraz z jego modelem matematycznym oraz parametrami geometrycznymi i fizycznymi elementów przekładni. Dla dwóch rozpatrywanych przypadków wyznaczono przebiegi sztywności zazębień zębników z kołami biernymi 2 i 3. Wykorzystując układ trzech równań ruchu dla analizowanej przekładni dwudrogowej przeprowadzono symulacje numeryczne dynamiki tej jednostopniowej przekładni. W ten sposób otrzymano przebiegi drgań skrętnych kół zębatych, na podstawie których wyznaczono przebiegi sił międzyzębnych oraz wartości współczynnika dynamicznego K v. Effect of mesh phases shifting on dynamics of multi-path gear transmission Abstract Analysis of effect of mesh phases shifting on dynamics of multi-path transmission is presented in this paper. Analysis is conducted detailed for two cases of mesh phases shifting, one for pinion with odd number of teeth and second with even number of teeth. It corresponds respectively with incompatibility and compatibility of mesh phases shifting. General schema of gear transmission with its mathematical model and geometrical and physical parameters are presented. Courses of mesh stiffness of pinions with two passive gears 2 and 3 are determined for two investigated cases. Numerical simulations of dynamics for the gear transmission are conducted using system of three dynamic equations written for model of this gear transmission. In this way courses of torsional vibration of gears are received, on the grounds of which courses of forces exerted by gear against gears 2 and 3 and values of dynamics coefficient K v are determined. BIBLIOGRAFIA. Müller, L., Przekładnie zębate. Dynamika, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 986 2. Drewniak, J., Reszuta, K., Analiza wpływu wielodrogowości na dynamikę przekładni zębatej. Logistyka, 4/204, 222-229 3. Bartelmus, W., Computer-aided Multistage Gearbox Diagnostics Inference by Computer Simulation, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław, 2002 4. Bartelmus, W., Diagnostyka maszyn górniczych. Górnictwo Odkrywkowe, Wydawnictwo Śląsk, Katowice, 998 5. Drewniak, J., Projektowanie kół zębatych walcowych, stożkowych i ślimakowych wg norm ISO. Wydawnictwo Akademii Techniczno-Humanistycznej, Bielsko-Biała 2009 6. Fernandez del Rincon, A.,Viadero, F., Iglesias. M., García, P., de-juan, A., Sancibrian, R., A Model For the Study of Meshing Stiffness in Spur Gear Transmissions, Mechanism and Machine Theory 6 (203), 30-58 7. Grzesica, P., Wpływ obciążenia zewnętrznego na siły międzyzębne w przekładniach zębatych maszyn górniczych, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 20 3228

8. Howard, I., Jia, S., Wang, J., The Dynamic Modelling of a Spur Gear in Mesh Including Friction and a Crack, Mechanical Systems and Signal Processing 5(5) (200), 83-853 9. Jaśkiewicz, Z., Wąsiewski, A., Przekładnie walcowe. Geometria, wytrzymałość, dokładność wykonania, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, Warszawa 992 0. Kiekbusch, T., Howard, I., A Common Formula for the Combined Torsional Mesh Stiffness of Spur Gears, 5th Australasian Congress on Applied Mechanics, Brisbane (Australia) 2007. Kiekbusch, T., Sappok, D., Sauer, B., Howard, I., Calculation of the Combined Torsional Mesh Stiffness of Spur Gears with Two- and Three-Dimensional Parametrical FE Models, Strojniški vestnik - Journal of Mechanical Engineering 57(20), 80-88 2. Osiński, J., Kamiński, E., Drgania parametryczne modelu jednostopniowej przekładni zębatej uwzględniającej tłumienie i stałe obciążenie. Archiwum Budowy Maszyn, Tom XXVIII, zeszyt, Warszawa 98 3. Yu, H., Eberhard, P., Zhao, Y., Wang, H., Sharing Behavior of Load Transmission on Gear Pair Systems Actuated By Parallel Arrangements of Multiple Pinions, Mechanism and Machine Theory 65 (203), 58 70 4. Reszuta, K., Analiza dynamiki przekładni zębatych dwudrogowych. Praca dyplomowa magisterska. Akademia Techniczno-Humanistyczna Bielsko Biała 204 5. Cai, Y., Hayashi, T., The Linear Approximated Equation of Vibration of a Pair of Spur Gears (Theory and Experiment), Journal of Mechanical Design, Transactions of the ASME 6 (994), 558-564 6. Cai, Y., Simulation on the Rotational Vibration of Helical Gears in Consideration of the Tooth Separation Phenomenon (A New Stiffness Function of Helical Involute Tooth Pair), Journal of Mechanical Design, Transactions of the ASME 7 (995), 460-469. 3229