faza nadkrytyczna ciecz cia³o sta³e punkt krytyczny gaz punkt potrójny

Á Ã ËÃÇÆ ÆËÇÏ Æ Â Ñ Ø Ö Ý Ó ÛÝ Ù Ì Ù Þ Ð ÖÞ

Ì Ù Þ Ð ÖÞ ¹Ñ Ð Ø Ð ÖÞ ÙÒ ºÐÓ ÞºÔÐ ØØÔ»»ÛÛÛºÛ ºÙÒ ºÐÓ ÞºÔл»ÞØ»Ì È»Ì º ØÑ Ã Ø Ö ÞÝ ËØ Ó ÏÝ Þ ÞÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ËØÓ ÓÛ Ò ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Þ Ê Ø Ò ÞÒ Ó ÖÞÝ õ ¾¼½½

ËÈÁË ÌÊ á Á ½º ËØ ÒÝ ÙÔ Ò Ñ Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ð Ñ ÒØÝ ÖÝ Ø ÐÓ Ö º ËÝÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ë Ó ÛÖÓØÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÊÓ Þ Û Þ Û ÖÝ ÞØ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ï ÒÓ Ø ÖÑ ÞÒ ÖÝ Ø Ð ÞÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Å Ø Ð º ÅÓ Ð ÛÓ Ó ÒÝ Ð ØÖÓÒ Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º È Ñ Ò Ö ØÝÞÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º È ÔÖÞ ÛÓ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÁÞÓÐ ØÓÖÝ ÖÖÓ Ð ØÖÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼º Å Ò ØÝÞÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½º Æ ÔÖÞ ÛÓ Ò ØÛÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾º Æ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÈÖÞ Ñ ÒÝ ÞÓÛ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÞÝ Ò Û Ö ØÛ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ñ ÞÝÛ ÖÞ Ò º º º º º º º º º ½¼ ½ º ÏÝ Ö Ò Ñ ØÓ Ý Ó Û Þ ÐÒ ÞÝ ÞÝ ÓÒ Ò ÓÛ Ò º º º º º ½½

ÞÝ ÞÝ ÓÒ Ò ÓÛ Ò ½ ËØ ÒÝ ÙÔ Ò Ñ Ø Ö ÍÔÖÓ ÞÞÓÒÝ Ð ÝÞÒÝ ÔÓ Þ Ø Ò Û ÙÔ Ò ÔÖÞ Ø Û Ò ØÔÙ¹ Ó Ø Ò Ø Ý ØÖÙ ÒÓ ÞÑ Ò ÞØ Ø Ó «ØÓ µ Ø Ò Ý ØÛÓ ÞÑ Ò ÞØ Ø ØÖÙ ÒÓ Ó «ØÓ µ Ø Ò ÞÓÛÝ ØÛÓ ÞÑ Ò ÞØ Ø Ó «ØÓ µ ÔÐ ÞÑ Þ ÓÒ ÞÓÛ ÒÝ Þµ Ë Ñ ØÝÞÒÝ Ö Ñ ÞÓÛÝ Ù Ø Ò ÒÓ Ò ÓÛ ««Þ Ò Ó ÖÓ Þ Ù ØÓÑ Û ÐÙ Þ«Ø Þ µ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝ Ø Ò ÖÝ ÙÒ Ù p cia³o sta³e ciecz faza nadkrytyczna punkt krytyczny punkt potrójny gaz T ÊÝ ÙÒ ½ Ö Ñ ÞÓÛÝ Ù Ø Ò ÒÓ Ò ÓÛ º

½ ËØ ÒÝ ÙÔ Ò Ñ Ø Ö ÒÝ Ø Ò ÙÔ Ò ÑÓ Ò ÔÓ Þ Ð Ò Û Ð Þ Ñ Ø Ö Ö Ò «Ý «ÓÒ ÙÖ «Þ«Ø Þ º Ñ ÒÝ ÔÓÑ «ÞÝ Þ Ñ ÓÔ Ù Ø ÓÖ ÔÖÞ ÞÓÛÝ º ÁÐÓ Þ ««Ý Þ Ó «Û Ö ÛÒÓÛ Þ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÞÒ Ó Ö ¹ Ð Ö Ù Þ r l + 2 ½µ Þ r ÐÓ Û Ô ØÒ «Ý Þ l Ð Þ Ò Û ÖÓ Þ Û Þ«Ø µº Û Þ ØÖÞ ÞÑ ÒÒÝ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÞÒÝ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ ÙÓ ÐÒ ÓÒ Ý Þ ÛÒØÖÞÒ ÒÔº Ò Ò µ ÙÓ ÐÒ ÓÒ Ó ÔÓ Ó Ò ÒÔº Ó ØÓ µ Ò ¹ ÞÝÛ Ö ÛÒ Ò Ñ Ø ÒÙº ÈÖÞÝ ÓÛ Ö ÛÒ Ò Ø ÒÙ Ð Þ Û ÞÝ Öº Ú Ò Ö Ï Ð µ [ ( n ) ] 2 p + a (V bn) = nrt ¾µ V Ð Ø Ý Û Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ V = V 0 (1 + α p T κ T p) µ Þ α p = 1 V ( ) V T p µ Û Ô ÞÝÒÒ ÖÓÞ Þ ÖÞ ÐÒÓ Ø ÖÑ ÞÒ ÔÖÞÝ Ø ÝÑ Ò Ò Ù ÓÖ Þ κ T = 1 ( ) V V p Û Ô ÞÝÒÒ Ð ÛÓ ÞÓØ ÖÑ ÞÒ º ØÙ ÐÒÝ ÔÓ Þ Ø Ò Û ÙÔ Ò Þ ÙÛÞ Ð«Ò Ò Ñ Þ ÔÖÞ Ø Û Ò ØÔÙ Ó ÞÝ Ô ÝÒÒ Ô ÝÒ«ÔÓ ÛÔ ÝÛ Ñ Ò «Ý µ ÔÐ ÞÑ Û Ö ÓÛ ÔÐ ÞÑ Ò ÙØÖÓÒÓÛ ÔÐ ÞÑ Þ ÓÒ ÞÓÛ ÒÝ Þµ Þ ÞÓÛ Þ Ò ÖÝØÝÞÒ T µ

ÞÝ ÞÝ ÓÒ Ò ÓÛ Ò Þ ÞÓØÖÓÔÓÛ µ Þ Ó ÖÝ ÞØ Ù Þ Ò Þ ÖÓÛ Ð Ô Ó µ ÞÝ Ø Ò Ô ÝÒ«ÔÓ ÛÔ ÝÛ Ñ Ò Û Ð Ò «Ý ÓÔ ÖÓ ÔÖÞÝ Û «ÞÝ Ô««ÐÙ Ô ÝÒ«µ Þ ÖÝ Ø Ð ÞÒ ØÛÓÖÞÝ ØÖÛ ØÒ «ÓÑ Ö Ð Ñ ÒØ ÖÒ µ ÖÝ ÞØ Ý ÔÐ ØÝÞÒ Þ«Ø Þ Ñ «ÛÓ Ó «ÖÓØ ÒÔº Ñ Ø Òµ ÖÝ ÞØ Ý ÓÒ Þ«Ø Þ ÑÓ «ÞÑ Ò Û«ÓÒ ÓÖÑ «ÒÔº ÔÓÐ ¹ Ñ ÖÝ Ø ÓÒµ Þ ÑÓÖ ÞÒ ÞÔÓ Ø ÓÛ µ Û Þ ÖÝ ÞØ Ý Ò ÑÓ Ò ÛÝÖ Ò ÓÑ Ö Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ µº

¾ Ð Ñ ÒØÝ ÖÝ Ø ÐÓ Ö º ËÝÑ ØÖ ¾ Ð Ñ ÒØÝ ÖÝ Ø ÐÓ Ö º ËÝÑ ØÖ È Ö Ó ÝÞÒ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò ØÓÑ Û ÓÔ Ò Ø ÔÖÞ Þ ØÖÞÝ ÔÓ Ø ÛÓÛ Û ØÓÖÝ ØÖ Ò Ð a b cº Ð ÓÛÓÐÒ Ó Û ØÓÖ r ÓÛÓÐÒÝ Ð Þ ¹ ÓÛ ØÝ n 1 n 2 n 3 Ó Ö Ð ÑÝ Û ØÓÖ r r = r + n 1 a + n 2 b + n3 c Ø ÖÝ Ò Ù ÖÝ Ø Ð ÞÒ º ÝÑ ÛÞ Ñ r ÞÛ Þ Ò Ø Ø Ñ ÖÙÔ ØÓÑ Û ÞÛ Ò Þ º Þ Ñ Ø Ò Ñ Ù ÓÖ ÒØ º ËÝÑ ØÖ ØÖ Ò Ð Ý Ò ÓÞÒ Þ Ò ÞÑ ÒÒ ÞÓ ÖÝ ÞØ Ù ÔÖÞÝ ÔÖÞ Ù¹ Ò Ù Ó Ò ØÔÙ Ý Û ØÓÖ ØÖ Ò Ð T T = n 1 a + n 2 b + n3 c ÁÒÒ ÑÓ Ð Û ÔÖÞ ÞØ Ò ÝÑ ØÖ ØÞÛº ÝÑ ØÖ ÔÙÒ ØÓÛ µ Ç ÛÞ Ð Ñ Ô ÞÞÝÞÒݺ ÆÔº ÛÞ Ð Ñ Ô ÞÞÝÞÒÝ x, yµ Ø Ó Ö ÐÓÒ ÔÖÞ Þ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò x = x, y = y, z = zº Ç ÛÞ Ð Ñ ÔÙÒ ØÙ ÒÛ Ö º ÁÒÛ Ö Ò Ù Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò x = x, y = y, z = zº Ç ÖÓØÝ ÛÓ Ó º Ä Þ Ø Ó ÖÓØ Û Ò Ø Ô ÒÝ 360 Ò ÞÝÛ ÖÓØÒÓ Ó º ÏÝ ØÔÙ ÝÒ Ó ÛÙ¹ ØÖ ¹ ÞØ ÖÓ¹ Þ Ó ÖÓØÒ Ý ÒÒ Ò ÖÙ ÞÝ Ý Ý ÝÑ ØÖ ØÖ Ò Ð Ý Ò º Ç ÖÓØÝ ÒÛ Ö Ý Ò º Ë ØÓ Ó ÖÓØÝ ÔÓ ÞÓÒ Þ ÒÛ Ö º ÃÓÑ Ö Ð Ñ ÒØ ÖÒ Ø ÒÓÛ ÔÖÞ ØÖÞ ÔÓÛ Ø Þ ÔÖÞ ÞØ ØÖ Ò Ð ÖÝ ÞØ Ùº  ÛÝ Ö Ø ÙÑÓÛÒݺ ÃÓÑ Ö Ð Ñ ÒØ ÖÒ ÑÓ Þ ¹ Û Ö Û Ò Ò ÛÞ º Æ ÑÒ Þ ÑÓ Ð Û ÓÑ Ö Ð Ñ Ò¹ Ø ÖÒ Þ Û Ö ØÝÐ Ó Ò ÛÞ Ò ÞÝÛ ÓÑ Ö ÔÖÓ Ø º ÃÓÑ Ö ÔÖÓ Ø ØÛÓÖÞÝ Ö ÛÒÓÐ Ó Ò Ó Ö Û Þ a b cº Ç ØÓ ÓÑ Ö ÔÖÓ Ø ÛÝÒÓ V c = a b c Ä Þ ØÓÑ Û Û ÓÑ Ö ÔÖÓ Ø Ø Ó Ö ÐÓÒ Ð Þ ØÓÑ Û Û Þ º Ë Ô Á ØÒ Ô ØÝÔ Û ÛÙÛÝÑ ÖÓÛÝ µ µ µ

ÞÝ ÞÝ ÓÒ Ò ÓÛ Ò Ù Ó ÒÓ ØÒ a b, γ 90 Û Ö ØÓÛ a = b, γ = 90 ÔÖÓ ØÓ ØÒ a b, γ = 90 ÔÖÓ ØÓ ØÒ ÒØÖÓÛ Ò a b, γ = 90 ÓÒ ÐÒ a = b, γ = 60 b a b a (a) (b) ÊÝ ÙÒ ¾ µ Ë Ù Ó Ò a b, γ 90 º µ Ë Û Ö ØÓÛ a = b, γ = 90 º b b b a a a (a) (b) ÊÝ ÙÒ µ Ë ÔÖÓ ØÓ ØÒ a b, γ = 90 º µ Ë ÔÖÓ ØÓ ØÒ ÒØÖÓ¹ Û Ò a b, γ = 90 º

½¼ ¾ Ð Ñ ÒØÝ ÖÝ Ø ÐÓ Ö º ËÝÑ ØÖ b a b a (a) (b) ÊÝ ÙÒ µ Ë ÓÒ ÐÒ ØÖ ØÒ µ a = b, γ = 60 º µ ËØÖÙ ØÙÖ ÓÒ ÐÒ ØÝÔÙ ÔÐ ØÖ Ñ Ó Ù ÑÓ Ý ÔÖÞ ÞØ ÓÒ Ù ÐÒ Ò ÓÒ ÐÒ ØÖ ØÒ µ a = b, γ = 120 º Ë ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ c b a ÊÝ ÙÒ ÇÞÒ Þ Ò Ø Û Û ÓÑ Ö Ð Ñ ÒØ ÖÒ º ÏÝÖ Ò ÑÝ ÞØ ÖÒ ØÝÔ Û ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛÝ Ö Ú µ ÔÓ Þ ¹ ÐÓÒÝ Ò Ù Û ÖÝ Ø ÐÓ Ö ÞÒÝ ØÖ Ó ÒÝ ÔÖÓ Ø a b c, α β γ 90 ÒÓ Ó ÒÝ ÔÖÓ Ø ÐÙ ÒØÖÓÛ Ò Û ÔÓ Ø Û a b c, α = γ = 90 β

ÞÝ ÞÝ ÓÒ Ò ÓÛ Ò ½½ ÖÓÑ ÓÛÝ ÓÖØÓÖÓÑ ÓÛݵ ÔÖÓ Ø ÐÙ ÒØÖÓÛ Ò ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ ÐÙ ÒØÖÓÛ Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÛÓ ÐÙ ÒØÖÓÛ Ò Û ÔÓ Ø Û a b c, α = β = γ = 90 Ø ØÖ ÓÒ ÐÒÝ ÔÖÓ Ø ÐÙ ÒØÖÓÛ Ò ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ a = b c, α = β = γ = 90 Ö ÙÐ ÖÒÝ ÔÖÓ Ø ÐÙ ÒØÖÓÛ Ò ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ ÐÙ ÒØÖÓÛ Ò ÔÓ¹ Û ÖÞ Ò ÓÛÓ a = b = c, α = β = γ = 90 ÖÓÑ Ó ÖÝÞÒÝ ØÖÝ ÓÒ ÐÒݵ ÔÖÓ Ø a = b = c, α = β = γ 90, < 120 ÓÒ ÐÒÝ ÔÖÓ Ø a = b c, α = β = 90, γ = 120 (a) (b) (c) (d) ÊÝ ÙÒ Ë Ñ Ò Û Þ ÞÒ Þ Ò Û ÞÝ Ø Ó Ö Ù¹ Ð ÖÒ µ ÔÖÓ Ø µ ÒØÖÓÛ Ò Ó ØÓ ÓÛÓ µ ÒØÖÓÛ Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÛÓ ÓÖ Þ µ ÓÒ ÐÒ Ò Û Þ Ó ÙÔ ÓÛ Ò º Ä ÞÒ ÔÖÞÝ Ý ØÖÙ ØÙÖ ÖÝ Ø Ð ÞÒÝ ÑÓ Ò ÞÒ Ð õ Û ÔÓÐ ÒÝ ÔÓ ÖÞÒ Ø º à ØØ Ð Ï ØÔ Ó ÞÝ Ø Ó Àº Á Àº Ä Ø ÞÝ Ø Ó ÞÝ Æº Ϻ ÖÓ Ø Æº º Å ÖÑ Ò ÞÝ Ø Ó º ÇÞÒ Þ Ò Ô ÞÞÝÞÒº Ï õò Ò Ýµ Å ÐÐ Ö ÇÖ ÒØ ÔÐ ÞÞÝÞÒÝ Ó Ö Ð ÑÝ ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ Û õò Û Å ÐÐ Ö (hkl) Þ h, k, l Ð Þ Ñ ÓÛ ØÝÑ º ÈÖÞÝ Æ ÖÝ ÙÒ Ù ÛÝ Ö ÒÓ ÔÐ ÞÞÝÞÒ Ø Ö ÔÖÞ Ò Ó a b c Û ÔÙÒ Ø 2 a 1 b 3 cº ÖÞ ÑÝ Ó ÛÖÓØÒÓ ØÝ Ó Ð Ó ÓØÖÞÝÑÙ ½»¾ ½ ½» º Æ ØÔÒ ÑÒÓ ÝÑÝ Ø Ð Þ Ý ÔÖÞ Þ Ò ÑÒ ÞÝ Û Ô ÐÒÝ Ñ ¹ ÒÓÛÒ ÞÝÐ Ð Þ º ËØ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Û õò Å ÐÐ Ö Ø Ô ÞÞÝÞÒÝ (362)º

½¾ ¾ Ð Ñ ÒØÝ ÖÝ Ø ÐÓ Ö º ËÝÑ ØÖ 3 1 c b a 2 ÊÝ ÙÒ È ÞÞÝÞÒ ÖÝ ÞØ Ù Ó Ò Å ÐÐ Ö (362)º Æ Ð Ý ÞÛÖ ÙÛ Ò ÑÙ Þ Ø ÛÓÛ Ð Þ (hkl) Ó ÔÓÛ Þ Ö Ô ÞÞÝÞÒ Ö ÛÒÓÐ Ý º Â Ð Ô ÞÞÝÞÒ ÔÖÞ Ò Ò Ó ÔÓ ØÖÓÒ Ù Ñ¹ Ò Ó ÔÓÛ Ò Û õò Å ÐÐ Ö Ø Ù ÑÒÝ Ó Þ ÞÒ Þ ÑÝ Ö ÙÑ Þ¹ ÞÓÒ Ò ØÝÑ Û õò Ѻ È ÞÞÝÞÒ Ò ÔÖÞ Ò Ò Ó Ö ÛÒÓÐ ¹ Ó Ò µ Ñ Ó ÔÓÛ Ò Û õò Å ÐÐ Ö Ö ÛÒÝ Þ ÖÓº ÈÖÞÝ ÓÛÓ Ô Þ¹ ÞÝÞÒÝ Þ ÒÙ Û ÖÝ ÞØ Ð Ö ÙÐ ÖÒÝÑ ÓÞÒ ÞÓÒ Ò ØÔÙ Ó (100) (100) (010) (010) (001) (001)º à ÖÙÒ Û ØÓÖ r Û ÖÝ ÞØ Ð ÓÞÒ Þ ÒÓØ [hkl] Û Ò Û Û Ö ØÓÛÝѵ Þ h, k, l Ò ÑÒ ÞÝÑ Ð Þ Ñ ÓÛ ØÝÑ Ø Ö ÑÓ Ò ÔÖÞÝÔÓÖÞ ÓÛ ÖÞÙØÓÛ Û ØÓÖ r Ò Ó a b cº ÈÖÞÝ ÓÛÓ Ó x y z Û ÖÝ ÞØ Ð Ö ÙÐ ÖÒÝÑ Ñ Ó ÔÓÛ Ò Ó ÖÙÒ [100] [010] [001]º ÈÖÞ ØÒ Þ ÒÙ Ð Ñ ÒØ ÖÒ Ó Ñ ÖÙÒ [111] [111] [111] [111]º Ç ÞÙ Û ÖÝ ÞØ Ö ÙÐ ÖÒÝ ÖÙÒ [hkl] Ø Þ Û Þ ÔÖÓ¹ ØÓÔ Ý Ó Ô ÞÞÝÞÒÝ (hkl)º Ï õò Ó Ö Ð ÓÖ ÒØ Ô ÞÞÝÞÒ ÓÖ Þ ÓÖ ÒØ ÖÙÒ Û Ù ÝØ ÞÒ Û ÖÝ Ø ÐÓ Ö Ø ÔÖÞÝ ÖÓÞÔ ØÖÝÛ Ò Ù Ö ÒÝ Þ Û ¹ ÞÝÞÒÝ ÒÔº Ý Ö º

ÞÝ ÞÝ ÓÒ Ò ÓÛ Ò ½ Ë Ó ÛÖÓØÒ ÈÓ Ø ÛÓÛ Û ØÓÖÝ Ó ÛÖÓØÒ ØÛÓÖÞÝÑÝ Û Ù Ò ØÔÙ Ý ÛÞÓ¹ Ö Û a = 2π b c a b c, b c a = 2π a b c, c = 2π a b a b c Þ a, b, c ÔÓ Ø ÛÓÛÝÑ Û ØÓÖ Ñ ØÖ Ò Ð ÔÖÓ Ø º ÏÞ Ý Ó ÛÖÓØÒ Û ÛÞ ÛÝÞÒ ÞÓÒ ÔÖÞ Þ Þ Ö Û ØÓÖ Û G = υ 1 a + υ 2 b + υ 3 c µ ½¼µ Ë Ó ÛÖÓØÒ ÑÓ Ò ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ó ÔÖÞ Ø Û Ò ÙÒ Ø Ö Ó Ö ¹ ÓÛ Û ÖÝ ÞØ Ð º Æ ÔÖÞÝ ØÓ Ð ØÖÓÒÓÛ n( r) ÑÓ Ò Þ Ô Ó n( r) = ( n G exp i ) G r ½½µ G Þ n G Û Ô ÞÝÒÒ Ñ ÓÙÖ Ö º ÓÛÓ Þ Û Ô ÞÝÒÒ n G Ø Ö Ó Ö ÐÓÒ Ð Ó ÛÖÓØÒ ÝÒÝÑ Ò ÞÒ ÝÑ Û Ô ¹ ÞÝÒÒ Ñ Û ÓÖÑ ÐÒÝÑ ÖÓÞÛ Ò Ù ÙÒ Ó Ö ÓÛ Ò Þ Ö ÓÙÖ Ö º Ç Ö ÓÛÓ ÙÒ n( r) ÑÓ Ò ØÛÓ ÔÖ Û Þ ÔÓÔÖÞ Þ ÞÛ Þ n( r + T) = n( r), (exp(i G T) = 1). ½¾µ Ç Ð Ó d ÔÓÑ ÞÝ Ö ÛÒÓÐ ÝÑ Ô ÞÞÝÞÒ Ñ ÖÝ Ø ÐÓ Ö ÞÒÝÑ Ó Ò (hkl) Ø Ö Þ Û Þ ÔÖÓ ØÓÔ Ó ÖÙÒ Ù G = h a +k b +l c Ø Ö ÛÒ d = 2π G. ½ µ ÓÛ Ø Ó ØÛ Ö Þ Ò ÔÓÞÓ Ø Û ÑÝ Ò Û Þ Ò Ö ÙÒ ÓÛ º Ö Û ØÓÖ Û Ó ÛÖÓØÒ G Ó Ö Ð ÑÓ Ð Û Ó Û ÔÖÓ Ý¹ Ö ÖÓÞÔÖ Þ Ò Ð ØÝÞÒ Óµº Ñ Ò Û ØÓÖ ÐÓÛ Ó k Ð ÖÓÞ¹ ÔÖÓ ÞÓÒ ÞÛ Ò Û ØÓÖ Ñ ÖÓÞÔÖ Þ Ò Ø Ö ÛÒ k = G ½ µ

½ Ë Ó ÛÖÓØÒ ÅÓ Ò Ù ÓÛÓ Ò Ó Ö ÛÒ ÔÓÞÓ Ø Û ÑÝ Ò Û Þ Ò Ö ÙÒ ÓÛ ÔÓÛÝ ÞÝ Û ÖÙÒ Ý Ö Ø Ö ÛÒÓÛ ÒÝ ÔÖ ÛÙ Ö Û ÔÓ Ø 2d sinθ = nλ. ½ µ k k 2 k k = k sieæ odwrotna ÊÝ ÙÒ Ï ÖÙÒ Ý Ö Þ ÐÙ ØÖÓÛ ÒÝ ÔÖÞ Þ ÓÒ ØÖÙ Û Ð º ËØÖ Ý Ö ÐÐÓÙ Ò Å Ó ÛÖÓØÒ ÛÝ Ö ÑÝ ÓÛÓÐÒÝ ÛÞ Ó ÔÓÞ Ø Ù Ù ÞÝÑÝ Ø Ò ÛÞ Ó Ò Ñ Þ Û ÞÝ Ø Ñ ÛÞ Ñ Ò Ñ º Ï ÔÓ ÓÛ ØÝ Ó Ò Û ÔÖÓÛ Þ ÑÝ ÔÖÓ Ø ÔÖÓ ØÓÔ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô µ ÐÙ Ô ÞÞÝÞÒÝ ÔÖÓ ØÓÔ Û ÔÖÞÝÔ Ù ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ µº ÈÖÓ Ø Ø ÐÙ Ô ÞÞÝÞÒÝ ÝÑ ØÖ ÐÒ µ ÔÖÞ Ò Þ Ó ÛÝÓ Ö Ò Ô ÛÒ ÓÑ Ö Ð Ñ ÒØ ÖÒ Û Ó ÛÖÓØÒ Ò ÞÝÛ Ò Á ØÖ Ö ÐÐÓÙ Ò º ÇÔ Ò ÔÖÓ ÙÖ ÑÓ Ò ÓÖÑ ÐÒ Þ ØÓ ÓÛ Ó ÓÛÓÐÒ Ó ØÝÔÙ Þ Ö ÛÒÓ Ó ÛÖÓØÒ ÔÖÓ Ø µ Ó ÔÖÓÛ Þ Ó ÛÝÓ Ö Ò Ò ÓÑ Ö Ð Ñ ÒØ ÖÒ ÞÛ Ò Ó ÐÒ ÓÑ Ö Ï Ò Ö ¹Ë ØÞ º Ì Û Û ÞÞ Ð¹ ÒÓ Á ØÖ Ö ÐÐÓÙ Ò Ø ÓÑ Ö Ï Ò Ö ¹Ë ØÞ Û Ó ÛÖÓØÒ º ÃÓÒ ØÖÙ ÁÁ ØÖ Ý Ö ÐÐÓÙ Ò Ø ØÖ Ð ÞÝ µ Ø Ò ÐÓ ÞÒ Ó ÓÒ ØÖÙ Á ØÖ Ý Þ ØÝÑ Ó Ò ÛÝ Ó Þ Þ ÛÞ ÒØÖ ÐÒ Ó ÔÖÓÛ ÞÓÒ Ó ÛÞ Û ÖÙ ØÖ Ý ÓÓÖ ÝÒ Ý Ò Û Ó ÛÖÓØÒ Ó ÔÓÛ Ò Ó ØÖ Ð ÞÝ µº Ï Ò Ø ÔÖÞÝ ØÝÑ Ý ÔÖÞÝ ÓÒ ØÖÙ ÓÐ ÒÝ ØÖ ÙÛÞ Ð Ò ÔÖÞ Ø ØÛÓÖÞÓÒÝ ÝÑ ØÖ ÐÒÝ Ø Þ ÝÑ ØÖ ÐÒÝÑ ØÒ ÝÑ

ÞÝ ÞÝ ÓÒ Ò ÓÛ Ò ½ Ð ØÖ ÔÓÔÖÞ Ò Ô ØÖÞ Ã ØØ Ðµº ÆÔº Ð ØÖÞ ØÖ Ý Û Ô Û Ö ØÓÛ Ñ Ñ ÔÖÞ ÝÑ ØÖ ÐÒÝ Û ØÓÖ Û G 3 ÝÑ ØÖ Ð¹ ÒÝ Û ØÓÖ Û G 1 º Ï ØÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù Ø Û Ò ÔÖÞ ÛÝÓ Ö Ò ÓÒØÙÖ ÁÁÁ ØÖ Ý Ö ÐÐÓÙ Ò º Ò Þ Ò ØÖ Ö ÐÐÓÙ Ò ÔÓÐ Ò ØÝÑ ÓÒ ÔÖÓ Ø ÒØ ÖÔÖ Ø ¹ ÓÑ ØÖÝÞÒ Û ÖÙÒ Ù Ý Ö ½ µº Å ÒÓÛ ÑÓ Ò ØÛÓ ÔÓ Þ Ô ØÖÞ Ã ØØ Ðµ Û ÞÝ Ø Û ØÓÖÝ ÐÓÛ k Ó ÔÓÞ Ø Û ÖÓ Ù ØÖ Ý Ó Ð Ý Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÛÓÐÒ ØÖ Ý Ö ÐÐÓÙ Ò Ô Ò Û ÖÙ¹ Ò Ý Ö Ö º ÊÝ ÙÒ Ë Ñ Ø ÓÒ ØÖÙ Á ÁÁ ØÖ Ý Ö ÐÐÓÙ Ò Ð Ó ÛÖÓØÒ Û Ö ØÓÛ º ÞÝÒÒ ØÖÙ ØÙÖ ÐÒÝ ÑÔÐ ØÙ Ð ÖÓÞÔÖÓ ÞÓÒ Û ÙØ Ý Ö Ø ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÐÒ Ó ØÞÛº ÞÝÒÒ ØÖÙ ØÙÖ ÐÒ Ó ( S G Ó Þ ØÓ Ð ØÖÓÒÓÛ n( r) ÞÝÒÒ ÞÓÛ Ó exp ig r ) S G = n( r) exp V c ( ig r ) dv, ½ µ Þ ÓÛ Ò Ø ÛÝ ÓÒ Ò ÔÓ ÓÑ Ö ÔÖÓ Ø Ó Ó ØÓ V c º  Рӹ Ñ Ö ÔÖÓ Ø Þ Û Ö ½ ÛÞ µ Þ Û Ö Ø s ØÓÑ Û ÞÝ Ø ¹ ÖÝ ÔÓ Ó Ò Ò Û ØÓÖ Ñ r j = x j a + y j b + zj c ½ µ

½ Ë Ó ÛÖÓØÒ (0 x j, y j, z j 1) ØÓ ØÓ Ð ØÖÓÒÓÛ ÑÓ Ò Þ Ô Ó ÙÑ ØÓ ÔÓ ØÓÑ ÞÝ n( r) = s n j ( r r j ). j=1 ½ µ Ò Ù Û ØÓÖ ρ = r r j ÑÓ ÑÝ ÞÝÒÒ ØÖÙ ØÙÖ ÐÒÝ Þ Ô Û ÔÓ Ø S G = s j=1 ( exp ig r ) ( j n j ( ρ) exp i ) G ρ dv V c s j=1 exp ( i G r ) j f j. ½ µ Þ f j = ( V c n j ( ρ) exp ig ρ ) dv Ò ÞÝÛ ÞÝÒÒ Ñ ØÓÑÓÛÝÑ Þ ¹ Ð ÒÝÑ Ó ÖÓ Þ Ù j¹ø Ó ØÓÑÙ Þݵº  РÞÝÒÒ ØÖÙ ØÙÖ ÐÒÝ S G ÔÖÞÝ ÑÙ Û ÖØÓ Þ ÖÓÛ Ó ÑÓ Þ ÖÞÝ Ð Ô ÛÒ ÓÒ ÙÖ ØÓÑ Û ÞÝ ØÓ Ñ ÑÝ Ó ÞÝÒ Ò Þ ÛÝ Þ ¹ Ò Ñ Ó Ö ÐÓÒÝ Ö Û Ò Ó Ö Þ Ý Ö Ý ÒÝѺ Ö Ø Ö Û Ø Û Þ Û Ñ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒÝÑ Ð Ò ØÖÙ ØÙÖݺ Æ ÔÖÞÝ Ð Ò Ó ÖÛÙ Ö Û Ó Ô ÞÞÝÞÒ (hkl) Ø ÖÝ Û õ¹ Ò Þ ÓÛÓ Ô ÖÞÝ Ø Þ ÓÛÓ Ò Ô ÖÞÝ Ø º ÓÐ Ð ÞÒ Ö Ý Ó Ô ÞÞÝÞÒ Ð Ø ÖÝ ÙÑ h + k + l Ø Ð Þ Ò Ô ÖÞÝ Ø º Ç Ð Þ Ò ÞÝÒÒ Û ØÖÙ ØÙÖ ÐÒÝ Ð Ø ÔÖÞÝÔ Û ÔÓÞÓ Ø Û ÑÝ Ò Û Þ Ò Ö ÙÒ ÓÛ º

ÞÝ ÞÝ ÓÒ Ò ÓÛ Ò ½ ÊÓ Þ Û Þ Û ÖÝ ÞØ Ð Ç Þ ÝÛ Ò Ú Ò Ö Ï Ð ¹ÄÓÒ ÓÒ Â Ø ØÓ Ó Þ ÝÛ Ò ØÝÔÙ ÔÓй ÔÓÐ Ó ÔÓÛ Þ ÐÒ Þ ÖÝ Ø Ð Þ Þ Û ÞÐ ØÒÝ º ÁÞÓÐÓÛ ÒÝ ØÓÑ ÞÙ ÞÐ ØÒ Ó Ñ ÖÝÞÒ ÝÑ ¹ ØÖÝÞÒÝ ÖÓÞ ÙÒ Ù Ð ØÖÓÒÓÛ Óº Â Ò Þ Ð Ó Û Ø ØÓÑÝ ÑÓ ÑÝ ÛÝÛÓ ÛÞ ÑÒ Þ Ò Ù ÓÛ Ò ÑÓÑ ÒØÙ ÔÓÐÓ¹ Û Ó Û ÝÑ Þ Ò Ó ÔÖÓÛ Þ Ó Ó Þ ÝÛ Ò Ó Ò Ó Ò Ö Ù Ùº Ò Ö Ø Ó Ó Þ ÝÛ Ò ÔÖÞÝ Ó Ø Ó ÛÖÓØÒ ÔÖÓ¹ ÔÓÖ ÓÒ ÐÒ Ó ÔÓØ Ó Ð Ó ÔÓÑ ÞÝ ØÓÑ Ñ º Ï ÖØÓ ÔÓ Ö Ð Ó Þ ÝÛ Ò Ú Ò Ö Ï Ð ¹ÄÓÒ ÓÒ Ò ÛÝÒ Þ ÔÖÞ ÖÝÛ Ò ÖÓÞ Ù ØÓ Ð ØÖÓÒÓÛÝ Û ØÓÑ Ûº Â Ò Ð Þ Ð Ò ØÓÑ Û Ø Þ ÝØ ÐÒ ÔÓ Û ÔÖÞ ÖÝÛ Ò ÖÓÞ Ù ÙÒ Û Ó Þ ÝÛ Ò Ó ÔÝ ÓÒ Û Ò Þ Ý È ÙÐ Óº ÌÓ Ó ¹ ÔÝ Ò Ø Ó ÛÖÓØÒ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÐÒ Ó ½¾ ÔÓØ Ó Ð Ó º ÓÛ Ø Ò Ö ÔÓØ Ò ÐÒ Û ØÓÑ Û ÞÙ ÞÐ ØÒ Ó Ý Û Ó Ð Ó R Ó ÑÓ Ò Þ Ô Ù ÝÛ ÔÓØ Ò Ù Ä ÒÒ Ö ¹ÂÓÒ [ ( σ 12 ( σ ) ] 6 U(R) = 4ε ¾¼µ R) R Þ ε σ Ô Ö Ñ ØÖ Ñ ÛÝÞÒ Þ ÒÝÑ Ó Û Þ ÐÒ º Ï Þ Ò ÓÒÓÛ ÏÝ ØÔÙ ÓÒÓ Û ÖÝ ÞØ ÓÒÓÛÝ ÒÔº Æ Ð Þ Ò ØÔÙ ØÖ Ò Ö ÙÒ Ù Ð ØÖÓÒÓÛ Ó Þ ØÓÑÙ Ò Ó ØÝÔÙ Ó ØÓÑÙ ÖÙ Ó ØÝÔÙº ÍÞݹ Ù Û Ø Ò ÔÓ Þ Ñ Ò Ø ÔÓÛ Ó Ð ØÖÓÒÓÛ Û Ó Ù ØÓÑ ÔÖÞÝ ÞÝÑ ØÓÑÝ Ø Ø ÓÒ Ñ ÒÔº Na + Cl µº ÈÓÛ Ø Þ Ø Ñ Ò Ö Ð ØÖÓ Ø ØÝÞÒ Ó Ó Þ ÝÛ Ò ÔÓÑ ÞÝ Ô Ö Ñ ÓÒ Û ÙÛÞ Ð Ò Û ÞÝ Ø ÓÒÝ ÞÛ Ò Ò Ö Å ÐÙÒ Ø Ö ÞÑ Ò Þ Ó Ð Ó 1/Rº Ç Þ ÝÛ Ò ÓÒÓÛ Ø ÐÒÝÑ Ó Þ ÝÛ Ò Ñ ÔÖÞÝ ÝÑ Ñ Ö Ø Ö Ù ÓÞ ÓÛݺ Ê ÛÒÓÛ Û ÖÝ ÞØ Ð ÓÒÓÛÝÑ ÙÞÝ Ù ÙÛÞ Ð Ò Ö ÛÒ Ô ÛÒ Ó Þ ÝÛ Ò Ó ÔÝ Ø Ö ÔÓ Û Ð Ñ Ý Ó Ð Ó Ð Ò Ð ÞÝ Ûµ Ñ Ö Ø Ö ÛÝ ¹ Ò Þݺ

½ ÊÓ Þ Û Þ Û ÖÝ ÞØ Ð Ï Þ Ò ÓÛ Ð ÒÝ Ò Ï Þ Ò ÓÛ Ð ÒÝ Ò Ø Ö Ð ÞÓÛ Ò Þ ÔÓ Ö Ò ØÛ Ñ Ô ÖÝ Ð ØÖÓÒ Û ÔÓ ÒÝÑ Þ Ó ØÓÑÙ ÓÖ Ó Ù Þ Û Û Þ Ò Ùº Ì Û Ð ØÖÓÒÝ ÐÓ¹ Ð ÞÙ Û Ó Þ ÖÞ ÔÓÑ ÞÝ ÛÓÑ Ó Þ Ù ÝÑ ØÓÑ Ñ º ËÔ ÒÝ ØÝ Ð ØÖÓÒ Û ÒØÝÖ ÛÒÓÐ º Â Ø ØÓ Ö ÞÓ ÐÒ Ó Þ ÝÛ Ò ÛÝ ØÔÙ Û Ø Ô ÖÛ Ø Û Ð ÖÞ Ñ ÖÑ Ò ÔÓÛÓ Ù ÖÝ Ø Ð ÞÙ ÓÒ Û ØÖÙ ØÙÖÞ Ñ ÒØÙº Ã Ý ØÓÑ Ø Û ÛÞ ÞÛ Þ ÒÝ Þ ÞØ Ö Ñ Ò Ð ÞÝÑ Ñ ÔÓ Ó ÓÒÝÑ Û Ò ÖÓ Ò Ø ØÖ ÖÙº Ì ÓÒ Ù¹ Ö ÔÓÞÛ Ð Ò ÙÞÙÔ Ò Ò ÔÓÛ Ó ØÓÑÓÛ Û Ø Ö Ð ÞÓÐÓÛ Ò Ó ØÓÑÙ Ö Ù Ð ØÖÓÒ Û ÔÓÔÖÞ Þ ÙÛ Ô ÐÒ Ò Ð ØÖÓÒ Û Þ Ò ØÓÑ Ûº Æ ÔÖÓ Ø ÞÝÑ ÔÖÞÝ Ñ Û Þ Ò ÓÛ Ð ÒÝ Ò Ó Ø Þ Ø Þ ÛÓ ÓÖÙº Þ Ò Ö ÙÐÓÑ ÓÛ Ø Ó Û Þ Ò Þ Ð Ò Ó ÓÒ ÙÖ Ô Ò Û Ò ÞÝÛ ÑÝ Ò Ö ÛÝÑ ÒÒ º Ï Þ Ò Ñ Ø Ð ÞÒ Ï Þ Ò ØÓ ÛÝ ØÔÙ Û Ñ Ø Ð ØÞÒº Ñ Ø Ö Ó º Ó ÖÝÑ ÔÖÞ ÛÓ ¹ Ò ØÛ Ð ØÖÝÞÒÝѺ Â Ø ÓÒÓ ÞÛ Þ Ò Þ Ù Ð Þ ÛÓ Ó ÒÝ Ð ØÖÓ¹ Ò Û ½ ÐÙ ¾µ ÔÖÞÝÔ Ý Ò Ý ØÓѺ Ð ØÖÓÒÝ Ø ÞÛ Ò Ð ¹ ØÖÓÒ Ñ ÔÖÞ ÛÓ Ò ØÛ Û ÙØ Ó Þ ÝÛ Ò ÛÝÑ ÒÒ Ó ÔÓÛÓ Ù Ó ¹ Ò Ò Ò Ö Ù Ù ÔÖÞÝ Ô ÛÒ Ó Ö ÐÓÒ ØÓ Ð ØÖÓÒÓÛ º Þ Ø ÑÙ Ó Ö ÐÓÒ Ø Ó Ð Ó Ñ ÞÝ ØÓÑÓÛ ÔÖÞÝ Ø Ö ÖÝ ÞØ Ø Ø ¹ ÐÒݺ ÞÝÒÒ Ñ Ó Ø ÓÛÝÑ Ø Ð ÞÙ ÝÑ ÖÝ ÞØ Ø Ó Ò Ò Ò Ö¹ Ð ØÖÓÒ Û Û Ð ÒÝ ÒÝ º Ê ÛÒÓÞ Ò Ò Ö Ò ØÝÞÒ Ð ØÖÓÒ Û ÔÖÞ ÛÓ Ò ØÛ Þ Û ÔÓ ÓÒ ÙÖ ÒÝ ÒÝ Ó Ø Ð Þ ÖÝ Þ¹ Ø Ùº Ï Þ Ò Ñ Ø Ð ÞÒ Ò Ø Þ ÝØ ÐÒ Ð Ø Ó ÛÝÑ ØÖÙ ØÙÖ ØÓ ÙÔ ÓÛ ÒÝ ØÝÔÙ Ô Ò ØÓÑ Ø Ò ÛÝ ØÔÙ Ð ÐÙõÒ ØÖÙ ¹ ØÙÖÝ Ñ ÒØÙº Ï Þ Ò ÛÓ ÓÖÓÛ ÌÓ Û Þ Ò ÛÝ ØÔÙ Þ ÔÓ Ö Ò ØÛ Ñ ØÓÑÙ ÛÓ ÓÖÙ Û Þ Ó Û ØÓÑݺ ÛÝ Ð ØÓ ØÓÑÝ ÐÒ Ð ØÖÓÙ ÑÒ Ø Ç ÞÝ Æº Ï ¹ Þ Ò ÛÓ ÓÖÓÛ Ñ Û ØÓ Ö Ø Ö ÓÒÓÛÝ Û Ö Ò ÔÓ Ø ØÓÑ ÛÓ ÓÖÙ ÑÓ Ò Û Ø ØÖ Û Ð ØÖÓÒ Ò ÖÞ Þ Ò Ó Þ Ù Ý ØÓÑ Û ØÛÓÖÞ ÓÑÔÐ ÓÒÓÛÝ ÒÔº ÛÙ ÙÓÖ Ù ÛÓ ÓÖÙ HF 2 µº ÈÓ ØÖ Ð ØÖÓÒÙ Ð Ñ ÒØ Ñ Û ÝÑ Ø ÔÖÓØÓÒ H + º Ï Þ Ò ÛÓ ÓÖÓÛ Ø Û ÒÝÑ Ò Ñ Ó Þ ÝÛ Ò Ñ ÞÝ Þ Ø Þ Ñ ÛÓ Ý H 2 Oµ ÛÖ Þ Þ Ð ØÖÓ Ø ØÝÞÒÝÑ Ó Þ ÝÛ Ò Ñ ÔÓÐÓÛÝÑ Ø Ñº Òº Ó ÔÓÛ Þ ÐÒ Þ ÖÝ Ø Ð Þ ÐÓ Ùº

ÞÝ ÞÝ ÓÒ Ò ÓÛ Ò ½ ÓÒÓÒÝ Ï ÒÓ Ø ÖÑ ÞÒ ÖÝ Ø Ð ÞÒ Ö Ò ÒÓ ØÓÑÓÛÝ ÊÓÞÛ ÑÝ Ö Ò ÔÖ Ý Ø ÖÝ ÞØ Ù Ó ØÖÙ ØÙÖÞ Ö ÙÐ ÖÒ Þ Ø a ÖÓÞ Ó Þ ÛÞ Ù ÖÙÒ Û ½¼¼ ½½¼ ½½½ º Æ u s ÓÞÒ Þ ÛÝ ÝÐ Ò Ô ÞÞÝÞÒÝ s Þ ÔÓ Ó Ò Ö ÛÒÓÛ º Ë ÖÑÓÒ ÞÒ Þ ¹ Ò Ô ÞÞÝÞÒ s ÔÓ Ó Þ Ó Ô ÞÞÝÞÒ Ò s 1 s + 1 ÛÝÒÓ F s = C (u s+1 u s ) + C (u s 1 u s ) ¾½µ Þ C Ø Ø º Ê ÛÒ Ò ÖÙ Ù Ñ ÔÓ Ø M d2 u s dt 2 = F s = C (u s+1 + u s 1 2u s ). ¾¾µ ÊÓÞÛ Þ Ò Ñ Ø Ó Ö ÛÒ Ò Ø Ð Ò Ó Þ ØÓ ω Û ØÓÖÞ ¹ ÐÓÛÝÑ K u s = u exp [i (Ksa ωt)]. ¾ µ ÈÓ Ø Û Ö ÛÒ Ò ¾ µ Ó ¾¾µ ÓØÖÞÝÑ ÑÝ Û ÖÙÒ Ø ÖÝ ÑÙ Ý Ô Ò ÓÒÝ Û ÔÓ Ø Þ Ð ÒÓ Ý Ô Ö Ý Ò ω 2 = 2C M [1 cos(ka)] = 4C M sin2 (Ka/2). ¾ µ Ï ØÓÖ ÐÓÛÝ K Ð Ð ÔÖ Ý ØÝ Ñ ÞÒ Þ Ò ÞÝÞÒ ØÝÐ Ó Ð Û ÖØÓ Ð Ý Û Á ØÖ Ö ÐÐÓÙ Ò º Ï ÖØÓ Ö Ò ÞÒ Ð Ø ØÖ Ý ÛÝÒÓ Þ K max = ±π/aº ÙÛ ÑÝ 2π/a Ø Ò ÑÒ Þ Û ÖØÓ Û ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒ Û Ø ØÖÙ ØÙÖÞ º ÈÖ Ó ÖÙÔÓÛ Ð Ð ÔÖ Ý ØÝ ÑÓ Ò Ó Ð ÞÝ Þ ÛÞÓÖÙ υ g = dω dk = a C M cos(ka/2). ¾ µ

¾¼ Ï ÒÓ Ø ÖÑ ÞÒ ÖÝ Ø Ð ÞÒ ÙÛ ÑÝ Ò Ö ØÖ Ý Ö ÐÐÓÙ Ò Ñ ÑÝ υ g = 0 Ó Ó ÔÓÛ ÔÓÛ Ø Ò Ù Ð ØÓ º ÊÓÞÛ Û Þ Ö ÙÒ cos(ka) 1 (Ka) 2 /2 Ð Ka 1 Þ Ð ¹ ÒÓ Ý Ô Ö Ý Ò ¾ µ ÔÖÞÝ Ñ ÔÓ Ø C ω M ak. ¾ µ Â Ø ØÓ ØÞÛº Ö Ò Ù Ó ÐÓÛ Ð Þ Ð ÒÓ Ý Ô Ö Ý Ò º Ï ÖÙÒ Ka 1 Ó ÔÓÛ Þ Ó Ò Ù ÖÝ ÞØ ÑÓ Ò ÛØ Ý ØÖ ØÓÛ Ó Ó ÖÓ¹ ݺ Ö Ò ÛÙ ØÓÑÓÛÝ ÈÖÞÝ Ñ ÑÝ ÖÝ Ø Ð ÞÒ Ñ Û ØÓÑÝ Û ÓÑ Ö Ð Ñ ÒØ ÖÒ Ø ÖÝ Ñ Ý ÛÝÒÓ Þ M 1 M 2 º ÊÓÞÛ ÑÝ ØÖÙ ØÙÖ Ö ÙÐ ÖÒ Û Ø Ö Ô ÞÞÝÞÒÝ Þ Û Ö ÛÝ ÞÒ ØÓÑÝ Ò Ó ÖÓ Þ Ù Ù Ó ÓÒ Ò ÔÖÞ ¹ Ñ Ò Û Ó Ð Ó a/2º Ì Û a ÔÓÞÓ Ø Ò Ð Ø º Ï ÛÞ Þ Ñ Ø Ò Ó Ö ÛÒ Ò ÖÙ Ù ¾¾µ Þ ÑÝ Ñ Ð Ó ÞÝÒ Ò Þ ÛÓÑ Ö ÛÒ Ò Ñ Ó ÔÓÛ Ò Ó Ð Ô ÞÞÝÞÒÝ Þ Û Ö ØÓÑÝ Ò Ó ÖÓ Þ Ùµ ÓÖ Þ Þ ÛÓÑ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ Ò Ð Ò º ÅÓ Ò ÔÓ Þ Ã Ø¹ Ø Ðµ Þ Ð ÒÓ Ý Ô Ö Ý Ò Ñ ÛØ Ý ÔÓ Ø M 1 M 2 ω 4 2C (M 1 + M 2 ) ω 2 + 2C 2 [1 cos(ka)] = 0. ¾ µ Ð Ñ Ý Û ÖØÓ Ka 1 Û Ô ÖÛ Ø Ö ÛÒ Ò Û Ö ØÓÛ Ó ÛÝÒÓ Þ ω 2 2C (1/M 1 + 1/M 2 ) ¾ µ ØÞÛº õ ÓÔØÝÞÒ µ ÓÖ Þ ω 2 1 2 C M 1 + M 2 K 2 a 2 ¾ µ õ Ù ØÝÞÒ µº Ç Ø Þ ÞÒ ÞÒ Ö Ò Þ ØÓ Ñ ÞÛ ÞÞ Û ÖÓ Ù ØÖ Ý Ð K 0º Æ Ö Ò Ý ØÖ Ý Ö ÐÐÓÙ Ò (Ka = ±π) Ó ÔÓÛ Ò ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ ÔÓ Ø ω 2 2C/M 2 ¼µ

ÞÝ ÞÝ ÓÒ Ò ÓÛ Ò ¾½ Ð Þ ÓÔØÝÞÒ ÓÖ Þ ω 2 2C/M 1 ½µ Ð Þ Ù ØÝÞÒ º Ï ØÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Þ ØÓ ÔÓÑ ÞÝ Þ ÓÔØÝÞÒ Ù¹ ØÝÞÒ Þ Ð Ý Ó Ö Ò Ý Ñ M 1 M 2 º ÙÛ ÑÝ Û ÔÖÞ Þ Ð Þ ØÓ ÔÓÑ ÞÝ 2C/M 1 2C/M 2 Ö Ò ÔÖ Ý Ø Ò ÛÝ ØÔÙ º Ö ÛÒÓ Ö Ò ÓÔØÝÞÒ Ù ØÝÞÒ ÑÓ Ý ÛÓ Ó ÖÓ Þ Ù ÔÓ Ù Ò Ó Ò ÔÓÐ ÖÝÞ µ ÔÓÔÖÞ ÞÒ Ó Û ÔÓÐ ÖÝÞ µº Ò ¹ ÐÓ ÞÒ ÖÓÞÛ Ò ÑÓ Ò Ø ÔÖÞ ÔÖÓÛ Þ Ð ÖÝ Ø Ð ÞÒÝ Þ Û ¹ Ö Ý Û Ò ¾ ØÓÑÝ Û ÓÑ Ö Ð Ñ ÒØ ÖÒ º ÃÛ ÒØÓÛ Ò Ö ÔÖ Ý ØÝ º Ò Ö Ô ÓÒÓÒÙ Ò Ö Ö ÖÝ Ø Ð ÞÒ Ø Û ÒØÓÛ Ò º ÃÛ ÒØ Ò Ö Ö ÔÖ¹ Ý ØÝ Ò ÞÝÛ ÑÝ ÓÒÓÒ Ñº Ö Ò ÔÐÒ Û ÖÝ ÞØ Ø ÖÑ ÞÒ ÛÞ Ù ÞÓÒÝÑ ÓÒÓÒ Ñ º Ó Ò Þ Ñ Ò Û ÒØÓÛ Ò Ö Û Ò Ö n¹ø Ó ÑÓ Ù Ó Ý¹ Ð ØÓÖ ÖÑÓÒ ÞÒ Ó Ó Þ ØÓ ω ÛÝÒÓ ( ε = n + 1 ) hω, (n = 0, 1, 2,...). ¾µ 2 Ò Ö Ø Û ÔÓ ÓÛ Þ Ò Ö Ò ØÝÞÒ Û ÔÓ ÓÛ Þ Ò Ö ÔÓØ Ò ÐÒ Ù Ö Ò ÓÒÝ ÔÓ Þ º ÓÐ Ò Ö Ò ØÝÞÒ Ó ÝÐ ØÓÖ Ó Ñ M ÑÓ Ý Þ Ô Ò Ð ÝÞÒ Ó Þ u = u 0 cos(ωt)º Öº µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Þ Ø Ñ ε k = 1 ( ) 2 du 2 M µ dt ε k = 1 2 Mu2 0 ω2 cos 2 (ωt). µ Í Ö Ò ÔÓ Þ ε k ÔÓÖ ÛÒÙ Þ Ò Ö ε/2 Þ Öº ¾µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÛÞ Ö u 2 0 = 2 (n + 1/2) h. µ Mω

¾¾ Ï ÒÓ Ø ÖÑ ÞÒ ÖÝ Ø Ð ÞÒ ÔÓ Ø µ Û ÑÔÐ ØÙ Ö Ó ÝÐ ØÓÖ u 0 Ø Û ÒØÓÛ Ò º Â Ø ØÓ ÓÒ Û Ò Û ÒØÝÞ Ò Ö Öº ¾µº ÓÒÓÒ Ó Û ØÓÖÞ ÐÓÛÝÑ K Ó Þ Ù Þ ÒÒÝÑ Þ Ø Ñ Ð Ñ ÒØ Ö¹ ÒÝÑ Ø Ñ ÓØÓÒÝ Ò ÙØÖÓÒÝ ÞÝ Ð ØÖÓÒÝ Ý Ñ Ô Ö ÛÒÝ h Kº ÓÛ ØÝ Ô ÖÝ ÞØ Ù ÑÓ Ò Þ Ô Ó P = M d dt N 1 s=0 u s. µ Ð u s Ò Ó Öº ¾ µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ N 1 P = iωmu exp(iωt) e iksa. s=0 µ ÓÐ ÙÑ Ó ÞÓÒ Þ Ö Ù ÓÑ ØÖÝÞÒ Ó Þ Ò Óµ ÑÓ Ò Ó Ð ÞÝ Ò ØÔÙ Ó N 1 s=0 e iksa = 1 exp(ikna) 1 exp(ika). µ Ð Ð ØÓ Ý Ø ÖÝ Ù Ó Ñ ÞÞ l¹ ÖÓØÒ Û Ù Ó ÖÝ ÞØ Ù Øº º Naµ Ñ ÑÝ Û ÖÙÒ KNa = 2πl. Ï ÛÞ Þ ÛÞÓÖÙ µ Ð K 0 Ñ ÑÝ N 1 s=0 e iksa = 0 µ ÓÛ ØÝ Ô ÖÝ ÞØ Ù ÞÒ P = 0µº ÏÒ Ó Ù ÑÝ Ø ÓÒÓÒÝ Ð K 0 ÒÓ Ò Ñ Þ ÖÓÛ Ó Ô Ù ÖÝ ÞØ Ùº Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÞÞ ÐÒÝÑ Ð K = 0 Ò ÑÓ ÑÝ ØÓ ÓÛ ÛÞÓÖÙ µ Þ ÛÞ Ð Ù Ò Ö Þ ÒÓ Þ Ö Ùµ Ò ØÓÑ Ø ÙÑ Û Öº µ ÛÝÒÓ ÛØ Ý N 1 s=0 e iksa = N. ¼µ Ï ÛÞ ÓÛ ØÝ Ô ÖÝ ÞØ Ù Ò ÞÒ ÖÝ ÞØ ÔÓÖÙ Þ ÖÙ Ñ ØÖ Ò Ð Ý ÒÝѵº

ÞÝ ÞÝ ÓÒ Ò ÓÛ Ò ¾ Æ Ð Ý ÔÖÞÝÔÓÑÒ Ð Ð ØÝÞÒÝ ÔÖÓ Û ÖÓÞÔÖ Þ Ò Ó ÓÛ ¹ ÞÝÛ Ó Ö ÛÒ Ò ½ µº ÅÓ Ò Ø Ö Þ ÙÓ ÐÒ Ò ÔÖÞÝÔ ÔÖÓ Û Ò Ð ¹ ØÝÞÒÝ ÞÛ Þ ÒÝ Þ Ö ÐÙ Ò Ð ÓÒÓÒÙµ Ñ ÒÓÛ Û ÖÙÒ ÖÓÞÔÖ Þ Ò ÔÖÞÝ Ñ ÔÓ Ø k ± K = G ½µ Þ + K Ó ÔÓÛ Þ ÔÓÛ Ø Ò ÓÒÓÒÙ K Þ Ó Þ Ò º k = k k Ø Û ØÓÖ Ñ ÖÓÞÔÖ Þ Ò ÒÔº Ò ÙØÖÓÒ Û Ð ØÖÓÒ Û ÓØÓÒ Ûµº Ê ÛÒ ¹ Ò ½µ ÛÝÖ Þ Þ ÓÛ Ò Ô Ù ÔÓ Þ ÖÓÞÔÖÓ Þ Ò Ð ØÝÞÒÝ Û ÖÝ ÞØ Ð º ØÓ Ø Ò Û Û ÑÓ ÐÙ Ò Ø Ò Ý ³ ÊÓÞÛ ÑÝ Ö Ò Ù Ù N ØÓÑ Û Ù Ó ÓÒÝ Û Ó ØÔ a Û ¹ Ù Ù Þ Ñ Ò ØÝÑ ØÛÓÖÞ ÝÑ Ô Ö Ó Ù Ó L = Naº N 1 N 1 a 2 3 ÊÝ ÙÒ ½¼ È Ö Ó ÝÞÒ Û ÖÙÒ ÖÞ ÓÛ Û ÔÖÞÝÔ Ù ÒÓÛÝÑ ÖÓÛÝѺ ë ÑÝ Ý Ý Ý Ô Ò ÓÒ Ô Ö Ó ÝÞÒ Û ÖÙÒ ÖÞ ÓÛ Ò ÛÝ ÝÐ Ò Þ ÔÓ Ó Ò Ö ÛÒÓÛ u (sa) = u (sa + L) ¾µ Ð ÖÓÞÛ Þ Ò Ó ÔÓÛ Ó Ð Ò u s = u (0)exp [i (Ksa ω K t)],

¾ Ï ÒÓ Ø ÖÑ ÞÒ ÖÝ Ø Ð ÞÒ Ñ ÑÝ N ÓÞÛÓÐÓÒÝ Û ÖØÓ K Ô Ò Ý Û ÖÙÒ Ô Ö Ó ÝÞÒÓ ¾µ Ñ ÒÓÛ K = 0, ± 2π L, ±4π L 2)π,..., ±(N, Nπ L L. µ Ï ÛÞ Ð Ò Ø Ð ØÓ º ÙÛ ÑÝ Ö Ò ÔÓÑ ÞÝ ÓÐ ÒÝÑ Û ÖØÓ Ñ Û ØÓÖ K ÛÝÒÓ Þ K = 2π/L = 2π/aN Þ 2π/a Ø Þ ÖÓ Ó Á ØÖ Ý Ö ÐÐÓÙ Ò º Ì Û Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò K Ò ÓÞÛÓÐÓÒÝ ÑÓ ÔÖÞÝÔ Ò Ó Ð Ó 2π/Lº ÊÓÞ Þ ÖÞ ØÓ ÖÓÞÙÑÓÛ Ò Ò ÔÖÞÝÔ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛÝ ÑÓ ÑÝ Û ÔÓ Ò ÐÓ ÞÒÝ Û Öº µ ÔÖÞ ÔÖÓÛ Þ Û ÒØÓÛ Ò ÓÛÝ K x K y K z ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Ó Û ØÓÖ Kº Ó Ó Þ ÑÝ Þ Ø Ñ Ó ÛÒ Ó Ù Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ ½ ÓÞÛÓÐÓÒÝ ÑÓ Ö Ô Ò Ý Ô Ö Ó¹ ÝÞÒ Û ÖÙÒ ÖÞ ÓÛ ÔÖÞÝÔ Ò Ó ØÓ (2π/L) 3 º ÓØÝÞÝ ØÓ ÔÓÐ ÖÝÞ Þ Þ Ð ÒÓ Ý Ô Ö Ý Ò º Ï Ó ÖÓ Ù ÞÓØÖÓÔÓÛÝÑ ÓÛ Ø Ð Þ Ö N Ó Û ÖØÓ Û ¹ ØÓÖ ÐÓÛ Ó ÑÒ ÞÝ Ò K Ó ÔÓÛ Ó ØÓ ÙÐ 4πK 3 /3 ÛÝÖ ÓÒ Û ÒÓ Ø (2π/L) 3 º Ì Û N = ( ) 3 L 4πK 3. µ 2π 3 ØÓ Ø Ò Û D(ω) Ò Ù ÑÝ Ó ÐÓ Ø Ò Û ÑÓ Û Ö µ ÔÖÞÝÔ ¹ Ý Ò ÒÓ Ø ÓÛ Þ ØÓ D(ω) = dn dω. µ ÈÓ Ø Û N Þ ÛÞÓÖÙ µ ÓØÖÞÝÑ ÑÝ D(ω) = Þ υ g = dω/dk Ø ÔÖ Ó ÖÙÔÓÛ º ( ) 3 L 4πK 2. µ 2π υ g Ï ÑÓ ÐÙ Ý ³ ÔÖÞÝ ÑÙ Ð Ò ÓÛ Þ Ð ÒÓ Ý Ô Ö Ý Ò Ø Ð ÞÓØÖÓÔÓÛ Ó Ó ÖÓ Ó ÓÖ Þ Ø ÔÖ Ó ÖÙÔÓÛ υ g ω = υ g K. µ

ÞÝ ÞÝ ÓÒ Ò ÓÛ Ò ¾ ÈÓ Ø Û µ Ó µ ÓØÖÞÝÑ ÑÝ ØÓ Ø Ò Û Û ÑÓ ÐÙ Ý ³ D(ω) = V ω2 2π 2 υ 3 g µ Þ V = L 3 Ø Ó ØÓ ÖÝ ÞØ Ùº ÓÛ Ø ÐÓ Ö Û ÖÝ ÞØ Ð ÑÓ Ò ÓØÖÞÝÑ Ù ØÓ Ø ¹ Ò Û N = D(ω)dω. µ Ï ÔÖÞÝÔ Ù ØÓ Ø Ò Û Ð ÑÓ ÐÙ Ý ³ Öº µ Þ ØÓ ÓÛ Ò ÛÞÓÖÙ µ ÔÖÓÛ Þ Ó Ô ÛÒ Ñ ÝÑ ÐÒ Þ ØÓ Ó ω D ÞÛ Ò Ø Þ¹ ØÓ Ý ³ ω 3 D = 6π2 υ 3 g N/V. ¼µ Ø Þ ØÓ Ó ÞÛ Þ Ò Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ý ³ Þ Ò ÓÛ Ò Ò ØÔÙ Ó hω D = k B T D. ½µ ÓÐ Û ÙÔÖÓ ÞÞÓÒÝÑ ÑÓ ÐÙ Ò Ø Ò ÔÖÞÝ ÑÙ Û ÞÝ Ø Ó ÝÐ ØÓÖÝ Ñ Ò ÓÛ Þ ØÓ Ø Ö Ø Ø ω E = ÓÒ Øº Þ ØÓ Ø ÞÛ Ò Ø Þ ØÓ Ò Ø Ò Ò Þ Ð Ý Ó Û ØÓÖ ÐÓÛ Ó Kº Ï ÛÞ Ý Ý Ô Ò ÓÒ Þ Ð ÒÓ µ ØÓ Ø Ò Û Û ÑÓ ÐÙ Ò Ø Ò ÑÙ Ñ ÔÓ Ø ÙÒ δ¹ Ö D(ω) = Nδ (ω ω E ). ¾µ Ø Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ Þ ØÓ ω E ÞÛ Þ Ò Ø Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ø ¹ Ò Þ Ò ÓÛ Ò Ò ØÔÙ Ó hω E = k B T E. µ ÈÖÞÝ ÑÙ ÑÓ Ð Ò Ø Ò ÓÔ Ù Û ÔÖÞÝ Ð Ò Ù ÝØÙ Ð Ó¹ ÒÓÒ Û ÓÔØÝÞÒÝ Þ õ Ý Ô Ö Ý Ò Ñ Û ÔÖÞÝ Ð Ò Ù Ø Þ ØÓ º Æ ØÓÑ Ø Ð ÓÒÓÒ Û Ù ØÝÞÒÝ Þ õ Ý Ô Ö Ý Ò Ñ ÖÓ Ò Þ ØÓ Ó ÙÒ K Ö Þ Ó ÔÓÛ Ò Ø ÑÓ Ð Ý ³ º

¾ Ï ÒÓ Ø ÖÑ ÞÒ ÖÝ Ø Ð ÞÒ ÏÝÖ Ò µ Ò ØÓ Ø Ò Û Û ÑÓ ÐÙ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛÝÑ ÑÓ Ò ÙÓ ÐÒ Ò ÔÖÞÝÔ Ý Þ Ð ÒÓ Ý Ô Ö Ý Ò Ò Ñ Ö Ø ÖÙ ¹ ÖÝÞÒ ÝÑ ØÖÝÞÒ Óº Å ÑÝ Û ÛÞ D(ω) = V (2π) 3 dsω υ g. µ Þ Þ Ñ Ø ÔÓÛ ÖÞ Ò ÙÐ 4πK 2 ÖÞ ÑÝ ÔÓ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ø ¹ Þ ØÓ ω Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò K υg = K ω º ÈÓ Ø µ Ø Û ÛÞ ÞÞ ÐÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ñ ÛÞÓÖÙ µ Ý Þ Ð ÒÓ Ý Ô Ö Ý Ò ω( K) Ø ÞÓØÖÓÔÓÛ υ g Ø Ø Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò ÙÐ º (a) (b) D( ) D( ) D E ÊÝ ÙÒ ½½ Ð ÒÓ ØÓ Ø Ò Û Ó Þ ØÓ º µ ÑÓ Ð Ý ³ µ ÑÓ Ð Ò Ø Ò º ÈÓ ÑÒÓ ÔÐÒ ÈÓ ÑÒÓ ÔÐÒ ÔÖÞÝ Ø Ó ØÓ Ò Ù ÑÝ Ó ( ) U C V = T Þ U Ø Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ ÖÝ ÞØ Ùº V µ

ÞÝ ÞÝ ÓÒ Ò ÓÛ Ò ¾ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Û ÓÑÓ ØÒ ÞÛ Þ ÔÓÑ ÞÝ C V ØÞÛº ÔÓ¹ ÑÒÓ ÔÐÒ ÔÖÞÝ Ø ÝÑ Ò Ò Ù C p Ñ ÒÓÛ κ T (C p C V ) = TV α 2 p µ Þ α p Ø Ó ØÓ ÓÛ ÖÓÞ Þ ÖÞ ÐÒÓ Ø ÖÑ ÞÒ ÔÖÞÝ Ø ÝÑ Ò Ò Ù Öº µ κ T Ø Ð ÛÓ ÞÓØ ÖÑ ÞÒ Öº µº Öº µ Û Ö Ò ÔÓÑ ÞÝ C p C V Þ Ò Ý T ¼ ú Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ ÞÛ Þ Ò Þ Ö Ò Ñ ÑÓ ÑÝ Þ Ô Ó U = 3 D(ω) ( < ˆn > + 1 2 ) hω dω. µ Ï ÔÓÛÝ ÞÝÑ ÛÝÖ Ò Ù < ˆn > Ø Ö Ò Ð Þ ÛÞ Ù Þ Û ÒØÓÛ Ó Ó ÝÐ ØÓÖ ÖÑÓÒ ÞÒ Ó hω Ø Û ÒØ Ñ Ò Ö ÛÞ Ù Þ Ò D(ω) ØÓ Ø Ò Ûº Ä Þ ÞÛ Þ Ò Ø Þ ÑÓ Ð ÛÝÑ Ø Ò Ñ ÔÓÐ ÖÝÞ Ö º ÞÝ Ø ØÝ ØÝÞÒ Û ÓÑÓ Ö Ò Ð Þ ÛÞ Ù Þ Ó ÝÐ ØÓÖ Ò Ø ÖÓÞ Ñ ÈÐ Ò < ˆn >= 1 exp ( hω/k B T) 1. µ ÊÓÞ Ø Ò Þ Ð Ý Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ ÔÖÞÝ ÞÝÑ ÔÖÞÝ ÑÙ Þ ØÓ Ö ω Ò Þ Ð Ý Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ Ð Þ Ø ÛÝ ÞÒ ÙÒ Ó ØÓ º ÈÓ Ø Û ØÓ Ø Ò Û Þ ÑÓ ÐÙ Ò Ø Ò Öº ¾µ ÓØÖÞÝÑ ÑÝ [ U = 3N 1 exp ( hω E /k B T) 1 + 1 2 ] hω E. µ Æ ØÓÑ Ø Ð ÑÓ ÐÙ Ý ³ Þ Öº µ Ó Ø 3V h ωd [ 1 U = 2π 2 υg 3 0 exp ( hω/k B T) 1 + 1 ] ω 3 dω 2 = 3V k4 B T 4 2π 2 υ 3 g h3 xd 0 x 3 3V h dx + ω 4 e x 1 16π 2 υg 3 D ¼µ Þ x D = hω D /k B T º Ï ÔÖÞÝ Ð Ò Ù Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ý x D ÛÝ ØÔÙ Û ÛÝÖ Ò Ù ¼µ ÑÓ Ò Ó Ð ÞÝ Ò Ð ØÝÞÒ xd 0 x 3 e x 1 dx 0 x 3 π4 dx = e x 1 15. ½µ

¾ Ï ÒÓ Ø ÖÑ ÞÒ ÖÝ Ø Ð ÞÒ ÈÓ Ø Û ÛÝÖ Ò µ ÐÙ ¼µ Ó µ ÑÓ Ò Ò ØÔÒ Ó Ð ÞÝ ÔÓ¹ ÑÒÓ ÔÐÒ ÖÝ ÞØ Ù Û ÔÖÞÝ Ð Ò Ù Ò Ø Ò ÐÙ Ý ³ º Ï Ð Ó Ð Þ Ò ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ Ó ÖÝÛ ÖÓÐ ÝÒ Ø Þ ÛÝÖ Ø Ö Þ Û Ö Ø ÑÔ Ö ØÙÖº Á Ø Ð ÑÓ ÐÙ Ò Ø Ò ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ C V 3Nk B = ( TE T ) 2 e T E/T [ e T E/T 1 ] 2, ¾µ Û Ô ÒÝÑ Þ Ö Ø ÑÔ Ö ØÙÖº Æ ØÓÑ Ø Û ÑÓ ÐÙ Ý ³ ÓØÖÞÝÑÙ ÛÝÒ Ò Ð ØÝÞÒÝ ØÝÐ Ó Ð Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ý T T D C V = 4 ( ) 3 T 3Nk B 5 π4. µ ËØÛ Ö ÞÓÒÓ ÑÓ Ð Ý ³ Û Ø ÖÝÑ Û Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÓØÖÞݹ ÑÙ Þ Ð ÒÓ C V T 3 Ð Ô ÓÔ Ù Ò Ó Û Þ ÐÒ Ò ÑÓ Ð Ò Ø Ò º Â Ò Ö Ò ÐÓ ÓÛ ÔÓÑ ÞÝ ÛÝÒ Ñ Ó Ù ÑÓ Ð ÔÓ ÞÙ ÖÝ ÙÒ Ò Ø Ô ÐÒ ÞÒ Þ º Û Ô ÐÒ Ó Ù ÑÓ Ð Ø Þ Ò Ò ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ Ý T 0 Ã Ó ÔÓÞÓ Ø Û Þ Ó Þ Þ ÁÁÁ Þ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ º ÓÐ Û Ö ¹ Ò Ý ÛÝ Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ Ó Ù ÑÓ Ð Ö ÛÒ Ó Û Ô ÐÒ Ø Û ÖØÓ Ø Ö ÛÝÒ Þ ÞÝ Ð ÝÞÒ º Ï ÖØÓ Ø Ø Ò ØÔÙ C V /3Nk B = 1. T D C V ÊÝ ÙÒ ½¾ ÈÓ ÑÒÓ ÔÐÒ ÖÝ Ø Ð ÞÒ Û ÙÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖݺ ÃÖÞÝÛ ÑÓ Ð Ò Ø Ò ÖÞÝÛ ÔÖÞ ÖÝÛ Ò ÑÓ Ð Ý ³ º T

ÞÝ ÞÝ ÓÒ Ò ÓÛ Ò ¾ ÈÓ ÑÒÓ ÔÐÒ ÔÖÞÝÔ Ò ÒÓ Ø ÐÓ Ù Ø Ò ÒÔº ÑÓÐ ØÓѵ Ò ÞÝÛ ÑÝ Ô Ñ Û ÛÝѺ Ç Þ ÝÛ Ò Ò ÖÑÓÒ ÞÒ º ÊÓÞ Þ ÖÞ ÐÒÓ Ø ÖÑ ÞÒ Ò Ö ÔÓØ Ò ÐÒ ØÓÑ Û ÔÖÞ ÙÒ ØÝ Ó x Þ ÔÓ Ó Ò Ö ÛÒÓÛ Û Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ ¼ à ÑÓ Ò Þ Ô Û ÔÓ Ø Û ÐÓÑ ÒÙ U(x) = cx 2 gx 3 fx 4, µ Þ c g f > 0º Â Ð Ó Ö Ò ÞÝÑÝ ÝÒ Ó Ô ÖÛ Þ Ó ÛÝÖ Ò cx 2 µ ØÓ Ñ ÑÝ Ó ÞÝÒ Ò Þ ÔÖÞÝ Ð Ò Ñ ÖÑÓÒ ÞÒÝÑ Û Ø ÖÝÑ Ø ÛÔÖÓ Ø ÔÖÓÔÓÖ¹ ÓÒ ÐÒ Ó ÔÖÞ ÙÒ º Ç ÞÙ Ø ÔÖÞÝ Ð Ò Ø Þ ØÓ Ò ¹ ÛÝ Ø ÖÞ Ý Ò ÓÔ Ù Û ÐÙ Ó ÖÛÓÛ ÒÝ Þ Û º  ÒÝÑ Þ Ò Ø ÒÔº ÖÓÞ Þ ÖÞ ÐÒÓ Ø ÖÑ ÞÒ º áö Ò Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÞÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÓÛ µ Ð ÔÖÞ ÙÒ x ÑÓ ÑÝ Þ Ô Þ Ó Ò Þ Þ Ñ ÞÝ Ø ØÝ ØÝÞÒ Ó < x >= + x exp [ βu(x)] dx/ + exp [ βu(x)] dx. µ ØÓ ÓÛ Ò U(x) Û ÔÓ Ø µ ÔÓÞÛ Ð Ò Ó ÓÒ Ò ÔÖÞÝ Ð ÓÒ Ó Ó Ð ¹ Þ Ò Ô ØÖÞ Ã ØØ Ðµ ÔÖÓÛ Þ Ó Ó ÛÝÒ Ù < x > 3g 4c 2k BT. µ Ï Ø ÛÝÖ Þ Þ Û Ö Ý Û Ô ÞÝÒÒ g Û ÛÞÓÖÞ µ ÔÓÛÓ Ù ÓØÖÞÝÑÙ ÖÓÞ Þ ÖÞ ÐÒÓ Ø ÖÑ ÞÒ º áö Ò Ó Ð Ó ÔÓÑ ÞÝ ØÓ¹ Ñ Ñ Þ Ð Ý Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖݺ Ó Û Þ Ð ÒÓ Ø Ð Ò ÓÛ < x > T Ó ÓÞÒ Þ Û Ô ÞÝÒÒ ÖÓÞ Þ ÖÞ ÐÒÓ Ø Û ØÝÑ ÔÖÞÝ Ð Ò Ù Ø Ý Ò Þ Ð ÒÝ Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖݺ Ï ÖÞ ÞÝÛ ØÓ Û Ô ÞÝÒÒ ÖÓÞ Þ ÖÞ ÐÒÓ Ø ÖÑ ÞÒ Ò Ø Ø Ý Ó ÑÓ Ò ÓÔ Ù ÝÛ Ó Ò Þ Ø ÓÖ º  ÒÝÑ Þ Ö ÞÙÐØ Ø Û ÓØÖÞÝÑÙ Ø ØÞÛº ØÓ ÑÓ Ö Ò Ò Ø Ö Ñ ÔÓ Ø α p κ T = γ C V V, µ Þ γ Ø Û Ô ÞÝÒÒ Ñ Ø ÖÝ Ð Û ÞÓ Ñ Ø Ö Û Þ Û Ö Û Ö Ò 1 < γ < 3º

¼ Ï ÒÓ Ø ÖÑ ÞÒ ÖÝ Ø Ð ÞÒ ØÓ ÑÓ Ö Ò Ò ÛÝÒ Ð T ¼Ã Ý C V 0 Ó Ø Þ Ó Ò Þ ÁÁÁ Þ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ µ Ö ÛÒ α p Ø º Û Ô ÞÝÒÒ ÖÓÞ Þ ¹ ÖÞ ÐÒÓ Ø ÖÑ ÞÒ µ Ý Ó Þ Ö º Æ ØÓÑ Ø κ T Ò Ø Ö ÛÒ Þ ÖÙ Ò Û Ø Ð ¼ Ã Ø ÖÓ Ò ÙÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖݺ Öº µ ÛÝÒ Û α p Ó ÙÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ Ø Û Ó ÐÒÓ Ô ÛÒ ÙÒ Ò Ð Ò ÓÛ Þ Ð Ò Ó κ T C V º ÈÖÞ ÛÓ Ò ØÛÓ ÔÐÒ Ï Ô ÞÝÒÒ ÔÖÞ ÛÓ Ò Ó ÔÐÒ κ Ø Þ Ò ÓÛ ÒÝ ÔÖ Û Ñ Ó¹ ÙÖ Ö J Q = κ dt dx, µ Þ J Q Ø ØÖÙÑ Ò Ñ Ò Ö ÔÐÒ dt/dx Ö ÒØ Ñ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ ÛÞ Ù ÖÙÒ Ù xº ÈÖ ÛÓ ÓÙÖ Ö Ø Ö Ø ÒÝÑ Þ Ö ÛÒ Ò ØÝÞÒÝ Ñ Û ØÖÙÑ Ô Ø ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÐÒÝ Ó Ö ÒØÙ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ Ø ÖÓÛ ÒÝ ÔÖÞ ÛÒ Ó Ø Ó Ö ÒØÙº Ý ØÛ Ö Þ Û Ô ÞÝÒÒ ÔÖÞ ÛÓ Ò Ó ÔÐÒ ÑÓ Ò ÛÝÖ Þ Û ÔÖÞÝ Ð Ò Ù Û ÔÓ Ø κ = 1 3 C V υ g l, µ Þ C V Ø ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ Ò ÒÓ Ø Ó ØÓ υ g Ø ÔÖ Ó ÓÒÓÒ Û Û ÔÖÞÝ Ð Ò Ù Ý ³ l Ö Ò ÖÓ ÛÓ Ó Ò ÓÒÓÒ Ûº áö Ò ÖÓ ÛÓ Ó Ò ÓÒÓÒ Û Ø ÛÝÞÒ ÞÓÒ ÔÖÞ Þ Ö Ò Ó Ð Ó ÔÓ ÓÒ ÓÒÓÒ Ò ÓÞÒ ÖÓÞÔÖÓ Þ Ò º ÊÓÞÔÖÓ Þ Ò ÓÒÓÒ Û ÑÓ ÔÓ Ó Þ Þ Ö ÛÒÓ Ó Û ÛÒØÖÞÒÝ ¹ Ø Û ÖÝ ÞØ Ù ØÒ Ò Ó ÖÞ Û Ó Þ ÝÛ Þ ÒÒÝÑ ÓÒÓÒ Ñ º Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÖÓÞÔÖÓ Þ ÓÒÓÒ Û Ò ÓÒÓÒ Ñ ÑÝ Ó ÞÝÒ Ò Þ Ó Þ ¹ ÝÛ Ò Ñ Ò ÖÑÓÒ ÞÒÝÑ Ð Ø ÖÝ ÞÑ Ò ÑÓ Ù ÔÖ Ý ØÓ º ÈÓÒ Û ÛÞ Ö µ Ø Ò ÐÓ ÞÒÝ Ó Ó ÔÓÛ Ò Þ Ð ÒÓ Û Ò ØÝÞ¹ Ò Ø ÓÖ Þ Û ÑÓ Ò Ñ Û Ó ÔÖÞ ÛÓ Ò ØÛ ÔÐÒÝÑ ÞÙ ÓÒÓÒÓÛ Óº Ó Ò Þ Ò Ð Þ ÔÓ ÞÙ Ö Ò ÖÓ ÛÓ Ó Ò l Û Öº µ ÓØݹ ÞÝ Ô ÐÒÝ ÖÓÞÔÖÓ Þ ØÞÛº ÔÖÓ Û ØÖ ÓÒÓÒÓÛÝ Þ Ù Þ Ñ ÔÖÓ Ý ÙÑÔÐ ÔÔ µº

ÞÝ ÞÝ ÓÒ Ò ÓÛ Ò ½ Å Ø Ð º ÅÓ Ð ÛÓ Ó ÒÝ Ð ØÖÓÒ Û ÈÓÞ ÓÑÝ Ò Ö ØÝÞÒ Ð ØÖÓÒ Û ÛÓ Ó ÒÝ ÙÒ ÐÓÛ Ð ØÖÓÒÙ ÛÓ Ó Ò Ó ϕ n (x) ÞÒ Ù Ó Û Ù Þ ÒÓÛÝÑ ÖÓÛÝÑ Ô Ò Ö ÛÒ Ò Ë Ö Ò Ö Hϕ n (x) = h2 2m d 2 ϕ n (x) dx 2 = ε n ϕ n (x), ¼µ Þ ε n Ø Ò Ö n¹ø Ó Ð ØÖÓÒÙº Â Ð Ù ÒÓÛÝÑ ÖÓÛÝ Ø ÒÓÛ ØÙ Ò ÔÓØ Ò ÐÒ Ó Ò Ó ÞÓÒ Ó Ó Ù Ó L Ò ÖÞ Ø Ö ÙÒ ÐÓÛ ÞÒ ØÞÒº ϕ n (0) = 0 ϕ n (L) = 0 ØÓ ÖÓÞÛ Þ Ò Ö ÛÒ Ò ¼µ Ñ ÔÓ Ø ϕ n (x) = A sin ( πnx L Ç ÔÓÛ Ò Ò Ö Û Ò Ò Û ÛÞ ÛÞÓÖ Ñ ε n = h2 2m ). ½µ ( πn ) 2, (n = 1, 2,...). ¾µ L ÊÓÞÛ Þ Ò ½µ ÓÞÒ Þ Û ØÙ Ò Ó Ù Ó L Ñ n ÔÓ Û Ð ÒÙ Ó ÐÒ Ø Ö ØÛÓÖÞÝ Ð ØÓ º ÇÔ Ò ÖÓÞÙÑÓÛ Ò ÑÓ Ò ÖÓÞ Þ ÖÞÝ Ò ÔÖÞÝÔ Ò Ó ÞÓÒ ØÙ Ò ÛÙÛÝÑ ÖÓÛ ÓÖ Þ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ ØÛÓÖÞ ÙÒ ÐÓÛ ÔÓÔÖÞ Þ ÐÓ¹ ÞÝÒ ÙÒ ÐÓÛÝ Ó ÔÓÛ Ò Ó Ð ÖÙÒ Û x, y zº Ò Ö Û Ò Û ÛÞ ÙÑ Ò Ö ÓÛÝ Ð ÔÓ ÞÞ ÐÒÝ ÖÙÒ Ûº Â Ò Ð Ù Û Ø Ö Ñ Ò Ó ÞÓÒ ÖÓÞÑ ÖÝ (L ) ÞÛ ÞÞ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛÝ ÛÝ Ó Ò Ø ÛÔÖÓÛ Þ ÒÒÝ ØÝÔ ÙÒ ¹ ÐÓÛ Ñ ÒÓÛ Ð Ô ÔÓ Ø ϕ k ( r) = 1 V e i k r. µ ÙÒ Ø Ø ÙÒÓÖÑÓÛ Ò Û Ó ØÓ V º Ó Ø ÓÛÓ ÑÝ Ý ÙÒ Ø Ô Ò Ô Ö Ó ÝÞÒ Û ÖÙÒ ÖÞ ÓÛ ϕ k (x + L, y, z) = ϕ k (x, y, z) µ

¾ Å Ø Ð º ÅÓ Ð ÛÓ Ó ÒÝ Ð ØÖÓÒ Û ÓÖ Þ ÔÓ Ó Ò Ð Û Ô ÖÞ ÒÝ y zº Ï ÖÙÒ ÖÞ ÓÛ Ò ÖÞÙ Û Ò¹ ØÝÞ Û ØÓÖ ÐÓÛ Ó k k x = 0, ± 2π L, ±4π L,... µ Ò ÐÓ ÞÒ Ð k y k z µº ÙÒ µ ÔÓÛ ÒÒ Ô Ò ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Ö ÛÒ Ò Ë Ö Ò Ö Hϕ k ( r) = h2 2m ϕ k ( r) = ε k ϕ k ( r). µ Ò Ö Û Ò ε k Ð ÓÖ Ø Ð Ó Û ØÓÖÞ ÐÓÛÝÑ k Ñ Û ÛÞ ÔÓ Ø ε k = h2 ( k 2 2m x + ky 2 + ) k2 z. µ Ð Ù Ù ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Ó Û Ø ÖÝÑ ÞÒ Ù N Ð ØÖÓÒ Û ÛÓ Ó ¹ ÒÝ Ø ÒÝ Ó ÓÞÛÓÐÓÒÝ Ò Ö Ö ÔÖ Þ ÒØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÔÙÒ ØÝ Û ÔÖÞ ¹ ØÖÞ Ò k Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ k x, k y, k z ÔÓ Ð Ý Û ÒØÝÞ µº ÈÙÒ ØÝ Ø ÞÒ Ù Û ÛÒ ØÖÞ ÙÐ Ó Ô ÛÒÝÑ ÔÖÓÑ Ò Ù k F º ÈÖÓÑ Ø ÙÐ ÞÛ ÒÝ Û ØÓÖ Ñ ÐÓÛÝÑ ÖÑ Ó ØÛÓ Ø Ó Ð ÞÝ Ð ÔÖÞÝ Ñ ÑÝ Ý Ø Ò Û ÒØÓÛÝ Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ k x, k y, k z µ Ø Ó Þ ÒÝ ÔÖÞ Þ ¾ Ð ØÖÓÒÝ ÙÛÞ Ð Ò Ð Þ Ô ÒÓÛ m s = ±1/2µº Â Ø ØÓ Û Þ Ó Þ Þ Þ È ÙÐ Óº Å ÒÓÛ Ó ØÓ ÙÐ ÖÑ Ó Ø ÛÝÞÒ ÞÓÒ ÔÖÞ Þ Ð Þ Ó Ø Ó Ó ØÓ (2π/L) 3 Ø ÖÝ Þ Û Ö ¾ Ð ØÖÓÒݺ ËØ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ 4 3 πk3 F = N 2 ( ) 3 2π. µ L ( ) 3π 2 1/3 N k F =. µ V Ò Ö Ó ÔÓÛ Û ØÓÖÓÛ ÐÓÛ ÑÙ ÖÑ Ó ÞÛ Ò Ò Ö Ö¹ Ñ Ó Ñ ÔÓ Ø ε F = h2 2m ( ) 3π 2 2/3 N. ¼µ V

ÞÝ ÞÝ ÓÒ Ò ÓÛ Ò Ï Ò Ö ÖÑ Ó Þ Ð Ý Ó ØÓ Ð ØÖÓÒÓÛ N/V º ÈÖ Ó Ð ØÖÓÒ Û Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò ÙÐ ÖÑ Ó ÑÓ Ò Ó Ð ÞÝ Þ ÛÞÓÖÙ υ F = hk F m. Æ ØÓÑ Ø ÔÖ Ó Ð ØÖÓÒ Û Û ÖÓ Ù ÙÐ ÖÑ Ó ÛÝÒÓ Þ ÖÓº ½µ ØÓ Ø Ò Û Ð ØÖÓÒÓÛÝ Æ ÔÓ Ø Û ÛÞÓÖÙ ¼µ ÑÓ Ò Ó Ö Ð ÐÓ Ð ØÖÓÒ Û N(ε) ÔÓ ¹ Ý Ò Ö ÑÒ Þ ÐÙ Ö ÛÒ ε N(ε) = V ( ) 3/2 2mε 3π 2 h 2. ¾µ ØÓ Ø Ò Û Ð ØÖÓÒÓÛÝ D(ε) Ð Þ Ð ØÖÓÒ Û ÔÖÞÝÔ Ý Ò ÒÓ Ø ÓÛ ÞÑ Ò Ò Ö µ Ó Ð ÞÝÑÝ Þ ÛÞÓÖÙ D(ε) = dn(ε) = V ( ) 3/2 2m dε 2π 2 h 2 ε 1/2. µ ØÓ Ø Ò Û Û ÑÓ ÐÙ Ð ØÖÓÒ Û ÛÓ Ó ÒÝ ÞÑ Ò Þ Ò Ö D(ε) ε Ø Ò Û Þ Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò ÖÑ Ó Þ ÛÝÒÓ D(ε F )º Â Ð Þ Ô Þ ÑÝ ε 1/2 F = ε 3/2 F /ε F ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÑÝ ÛÞ Ö ¼µ ØÓ ØÓ Ø Ò Û Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò ÖÑ Ó ÑÓ ÑÝ ÔÖÞ Ø Û Ó D(ε F ) = 3 2 N ε F. µ Â Ø ØÓ Þ Ó ÒÓ Ó ÞÝÒÒ 3/2 ÓÛ Ø Ð Þ Ð ØÖÓÒ Û ÔÓ Þ ¹ ÐÓÒ ÔÖÞ Þ Ò Ö ÖÑ Óº ÙÒ ÖÓÞ Ù ÖÑ Ó¹ Ö ÙÒ ÖÓÞ Ù ÖÑ Ó¹ Ö f(ε) Ó Ö Ð ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ Ó ¹ Þ Ò ÓÖ Ø Ð Ó Ò Ö ε Ð ÞÙ Ð ØÖÓÒ Û ÛÓ Ó ÒÝ Û Ø ÑÔ Ö ØÙ¹ ÖÞ T º Ó Ò Þ ÞÝ Ø ØÝ ØÝÞÒ Ù Û Û ÒØÓÛÝ Ñ ÓÒ ÔÓ Ø f(ε) = 1 exp [(ε µ)/k B T] + 1, µ Þ µ ÒÓ Ò ÞÛ ÔÓØ Ò Ù Ñ ÞÒ Ó Ø ÖÝ Ø Þ Ð ÒÝ Ó Ø ÑÔ Ö ¹ ØÙÖݺ

Å Ø Ð º ÅÓ Ð ÛÓ Ó ÒÝ Ð ØÖÓÒ Û f( ) T = 0 1 T > 0 F ÊÝ ÙÒ ½ ÙÒ ÖÓÞ Ù ÖÑ Ó¹ Ö º Ï ÖØÓ µ ÑÓ Ò ÛÝÞÒ ÞÝ Þ Û ÖÙÒ Ù ÒÓÖÑ Ð Þ N = 2 f(ε k ) = 2V d (2π) kf(ε 3 k ) = V k 2 dkf(ε). π 2 k µ Ê Ò Þ Ù ÛÞ Ö µ Ó Ø ÑÝ Þ Ø Ñ k 2 dk = m h 2k dε = 2 dε = h2 m k dk ( ) 3/2 m π 2 ε dε = h 2 V D(ε)dε. Ì Û Û ÖÙÒ ÒÓÖÑ Ð Þ µ ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓ Ø N = D(ε) f(ε) dε, µ µ µ 0 Ø Ö Ø ÛÝ Ó Ò Ó Ó Ð Þ Û ÓÛÓÐÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ º Ï Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ ¼ Ã Ý ÙÒ ÖÓÞ Ù ÖÑ Ó¹ Ö Ø Ø f(ε) = 1 Ô ØÖÞ ÖÝ ÙÒ µ Ò ÛÝ Þ Ò Ö Ø Ò Ö ÖÑ Ó Û ÖÙÒ ÒÓÖÑ Ð Þ µ Ö Ù Ù Ó ÔÓ Ø N = ε F D(ε) dε. ¼µ 0

ÞÝ ÞÝ ÓÒ Ò ÓÛ Ò ÈÓØ Ò Ñ ÞÒÝ Û Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ ¼ Ã Ø Ö ÛÒÝ Ò Ö ÖÑ Ó µ(t = 0) = ε F. Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T > 0 Þ Û Þ Þ Ó Þ f(ε = µ) = 1/2. Ð Ö ÞÓ ÛÝ Ó Ò Ö Ð ØÖÓÒ Û Ý (ε µ) k B T ÙÒ ÖÓÞ Ù ÖÑ Ó¹ Ö ÔÖÞ Ó Þ Û Ð ÝÞÒÝ ÖÓÞ Å ÜÛ ÐÐ ¹ ÓÐØÞÑ ÒÒ f(ε) exp [ (ε µ)/k B T]. ½µ ÈÓ ÑÒÓ ÔÐÒ ÞÙ Ð ØÖÓÒÓÛ Ó ÈÓ ÑÒÓ ÔÐÒ ÞÙ Ð ØÖÓÒÓÛ Ó Ó Ð Þ ÑÝ Þ ÛÞÓÖÙ C = du dt. ¾µ Þ U Ø Ò Ö Ñ Ð ØÖÓÒÝ Û Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ T ÛÞ Ð Ñ Ò Ö ÖÑ Ó ÔÖÞÝ ÑÓÛ Ò ÞÛÝ Ð Ó ÔÓÞ ÓÑ Ó Ò Ò µº U = 0 (ε ε F ) f(ε) D(ε) d(ε). µ Ï Ø Û µ Ó ¾µ Û Þ ÑÝ Ö Ò Þ ÓÛ Ò Ù ÔÓ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ ÔÓ ¹ Ð ÝÒ ÙÒ ÖÑ Ó¹ Ö C D(ε F ) 0 (ε ε F ) df(ε) dt dε. µ Ð Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÔÓ Ó Ò df(ε)/dt Ñ Ó ØÖ Ñ ÑÙÑ Û ÔÓ Ð Ù ε = ε F Ò ØÓÑ Ø Þ Ð Ó ε F ÞÒ º ËØ Û ÛÞÓÖÞ µ ÑÓ ÑÝ Û ÔÖÞݹ Ð Ò Ù ÔÖÞÝ ØÓ Ø Ò Û Ñ ÝÒ ÞÒ Þ Ò Ð Ø Ò Û Ò ÔÓ¹ Û ÖÞ Ò ÖÑ Ó Ó ÔÓÞÛ Ð ÛÝ ÞÝ Ø Û Ð Ó ÔÖÞ Ó Ø º ÏÝ ÓÒ Ò ÓÛ Ò ÔÖÓÛ Þ Ó ÛÝÒ Ù Ô ØÖÞ Ã ØØ Ðµ C 1 3 π2 D(ε F )k 2 BT. µ

Å Ø Ð º ÅÓ Ð ÛÓ Ó ÒÝ Ð ØÖÓÒ Û Ì Û Ð ØÖÓÒÓÛ ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ Ø Ð Ò ÓÛ ÙÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖݺ Ï ÖØÓ Û ØÝÑ Ñ Ù ÔÖÞÝÔÓÑÒ ÓÒÓÒÓÛ ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ Ð Ò ¹ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÐÒ Ó T 3 Öº µº Ø Ñ Û Ò Ø Ñ¹ Ô Ö ØÙÖ T 0 õ Ð ØÖÓÒÓÛÝ Û Ó ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ Ø ÓÑ ¹ Ò٠ݺ ÏÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÛÞÓÖÙ µ Þ ε F = k B T F T F Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ö¹ Ñ Ó ÔÓÞÛ Ð Þ Ô ÛÞ Ö µ Û ÔÓ Ø C Nk B = 1 2 π2 T T F. µ ÈÓ ÑÒÓ ÔÐÒ ÔÖÞÝÔ Ò ½ Ð ØÖÓÒ ÛÝÖ ÓÒ Û ÒÓ Ø Ø ÓÐØÞÑ ÒÒ Ò ÞÝÛ ÑÝ Ð ØÖÓÒÓÛÝÑ Ô Ñ Û ÛÝѺ ÛÞÓÖÙ µ Û Ø Þ Ò ÓÛ Ò Û Ð Ó Ø ÞÛÝÑ ÖÓÛ º ÙÛ ÑÝ Þ¹ Þ Ð Ñ Ø Ð Û Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Û Ø ÖÝ ØÒ Ó Ø Ñ ÑÝ Þ ÞÛÝÞ T T F º ÈÖÞ ÛÓ Ò ØÛÓ Ð ØÖÝÞÒ º ÇÔ Ö Ð ØÖÝÞÒÝ Ñ Ò ØÓÓÔ Ö Ð Ð ØÖÓÒ Û ÛÓ Ó ÒÝ Ó Û ØÓÖÞ ÐÓÛÝÑ k ÑÓ ÑÝ ÛÝÞÒ ÞÝ ÔÖ Ó Þ ÛÞÓÖÙ m υ = h kº  РРØÖÓÒ ÙÑ ÑÝ Û ÔÓÐÙ Ð ØÖÝÞÒÝÑ ØÓ Þ Ò Ò Ó F = e E µ Ö ÛÒ Ò ÖÙ Ù Ñ ÔÓ Ø h d k dt = F. µ Ý Ý Ò Ý Ó ÓÔÓÖÙ Ó ÖÓ ÖÓÞÔÖÓ Þ Ò Ð ØÖÓÒ Û Ò ÓÑ Þ Ò ¹ Ó ÓÒ Ó ÓÒÓÒ µ ØÓ Þ Ö ÛÒ Ò µ ÛÝÒ Ø Ð ¹ ØÖÝÞÒ ÔÓÛÓ Ù Ò Ó Ö Ò ÞÓÒÝ Ð Ò ÓÛÝ ÛÞÖÓ Ø ÔÖ Ó Ð ØÖÓÒÙ Û ÙÒ ¹ Þ Ùº Â Ò Û ÙØ Ý ÓÔÓÖÙ Ø Ö ÛÞÖ Ø ÛÖ Þ Þ ÔÖ Ó Ð ØÖÓÒÙ ÔÓ Þ τ ÞÛ ÒÝÑ Þ Ñ Ö Ð Ù Ø Ð Ö ÛÒÓÛ h δ k τ = F. µ Ì Ö ÛÒÓÛ ÔÓÛÓ Ù ÔÖ Ó Ð ØÖÓÒÙ ÔÖÞ Ø Ð ÞÛ Þ ÔÖÞÝÖÓ Ø ÔÖ Ó ÛÝÒÓ ÝÒ δ υ = hδ k/mº ÈÓÒ Û ÞÑ Ò Ô Ù Ó δ k

ÞÝ ÞÝ ÓÒ Ò ÓÛ Ò ÓØÝÞÝ Ó Ð ØÖÓÒÙ Û ÛÒ ØÖÞ ÙÐ ÖÑ Ó ÙÐ ÔÖÞ ÙÛ Û ÔÓÐÙ Ð ØÖÝÞÒÝÑ Ó Û Ð Ó δ k ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÐÒ Ó Eº ÈÖÞÝÖÓ Ø ÔÖ Ó δ υ Ò ÞÝÛ ÑÝ ÔÖ Ó ÙÒÓ Þ Ò ÐÙ ÖÝ ØÙµº ØÓ ÔÖ Ù ÙÒÓ Þ Ò j ÓØÖÞÝÑ ÑÝ Þ ÛÞÓÖÙ j = enδ υ, ½¼¼µ Þ n Ø ØÓ Ð ØÖÓÒ Ûº ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ÛÞÓÖÙ µ Ó Ø ÑÝ ÐÙ j = en h m δ k = e2 nτ m E, j = σ E, ½¼½µ Þ σ = e2 nτ m. ½¼¾µ ÏÞ Ö ½¼½µ ÛÝÖ ÔÖ ÛÓ Ç Ñ Ð ÔÖÞ Ô ÝÛÙ ÔÖ Ù Ð ØÖÝÞÒ Ó Û Ô ¹ ÞÝÒÒ σ Ò ÞÝÛ ÑÝ ÔÖÞ ÛÓ ÒÓ Ð ØÖÝÞÒ º Ç ÛÖÓØÒÓ ÔÖÞ ÛÓ ÒÓ Ò ÞÝÛ ÑÝ ÓÔÓÖ Ñ Û ÛÝÑ ρ = 1 σ = m e 2 nτ. ½¼ µ Þ Ö Ð τ ÞÛ Þ ÒÝ Ø Þ Ö Ò ÖÓ ÛÓ Ó Ò l Ð ØÖÓÒ Û ÔÖÞ ¹ ÛÓ Ò ØÛ Þ Ð ÒÓ l = υ F τ, ½¼ µ Þ υ F Ø ÔÖ Ó Ð ØÖÓÒ Û Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò ÖÑ Óº Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÛÝ ØÔÙ Ó Ö ÛÒÓÞ Ò ÔÓÐ Ð ØÖÝÞÒ Ó E ÔÓÐ Ñ Ò ØÝÞÒ Ó B ÖÓÛ Ò Ó ÛÞ Ù Ó z Ò Ð ØÖÓÒÝ Þ ÄÓ¹ Ö ÒØÞ º Ï Û ÖÙÒ Ö ÛÒÓÛ Ý ÄÓÖ ÒØÞ Ø ÞÖ ÛÒÓÛ ÓÒ ÓÔÓÖÙ Ø δ υ = ÓÒ Øº Ö ÛÒ Ò ÖÙ Ù Ñ ÔÓ Ø m δ υ τ = e [ E + 1 c δ υ B ]. ½¼ µ

Å Ø Ð º ÅÓ Ð ÛÓ Ó ÒÝ Ð ØÖÓÒ Û ÈÓ ÖÓÞÔ Ò Ù Ö ÛÒ Ò ½¼ µ Ò ÓÛ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ δυ x = eτ m E x ωτδυ y, δυ y = eτ m E y + ωτδυ x, ½¼ µ δυ z = eτ m E z, Þ ω Ò ÞÝÛ ÑÝ Þ ØÓ Ý ÐÓØÖÓÒÓÛ ω = eb mc. ½¼ µ ÈÓ ÖÓÞÛ Þ Ò Ù Ù Ù Ö ÛÒ ½¼ µ Þ ÛÞ Ð Ù Ò δυ x δυ y ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ eτ δυ x = m(1 + ω 2 τ 2 ) (E x ωτe y ) eτ δυ y = m(1 + ω 2 τ 2 ) (ωτe x + E y ) Ë ÓÛ ØÓ ÔÖ Ù j α α = x, y, zµ ÑÓ Ò ÛØ Ý Þ Ô Ó ½¼ µ j α = enδυ α = σ αβ E β, (β = x, y, z), ½¼ µ Þ σ αβ Ø Ø Ò ÓÖ Ñ ÔÖÞ ÛÓ ÒÓ Ñ ÔÓ Ø 1 ωτ 0 σ σ αβ = ωτ 1 0 1 + ω 2 τ 2 0 0 1 + ω 2 τ 2. ½½¼µ Ý ÔÓÐ Ñ Ò ØÝÞÒ ÛÝ ÞÝÑÝ ØÓ ω = 0 Ø Ò ÓÖ Ø ÓÒ ÐÒݺ Å ÑÝ ÛØ Ý Ó ÞÝÒ Ò Þ ÞÛÝ ÝÑ ÓÔÓÖ Ñ Ó ÑÓÛÝѺ Û Ó ÓÔÓÖÙ Ð ØÖÝÞÒ Ó Þ Ð Ò Ó Ó ÔÓÐ Ñ Ò ØÝÞÒ Ó B Ò ÞÝÛ ÑÝ Ñ Ò ØÓÓÔÓ¹ Ö Ñº Þ Û Ñ Ñ Ò ØÓÓÔÓÖÙ ÞÛ Þ ÒÝ Ø ØÞÛº Ø À ÐÐ º  РÔÖÞ ¹ ÛÓ Ò Ð Ò ÓÛÝ ÙÑ ÑÝ ÛÞ Ù ÖÙÒ Ù x Û Ø ÖÝÑ Ø ÔÖÞÝ Ó ÓÒ Þ ¹ ÛÒØÖÞÒ ÔÓÐ Ð ØÖÝÞÒ E x Û ÖÙÒ Ù z ÔÖÓ ØÓÔ ÝÑ Ó x ÔÖÞÝ Ó ÓÒ Ø ÔÓÐ Ñ Ò ØÝÞÒ B z ØÓ Û Û ÖÙÒ Ö ÛÒÓÛ ÔÖ ÔÓÔ ÝÒ ØÝÐ Ó Û ÖÙÒ Ù xº Ï ÖÙÒ j y = 0 Þ Ö ÛÒ Ò ½¼ µ ÔÖÓÛ Þ Ó ÞÛ Þ Ù ωτe x + E H y = 0. ½½½µ

ÞÝ ÞÝ ÓÒ Ò ÓÛ Ò Ì Û Û ÔÖÞ ÛÓ Ò Ù Ð Ò ÓÛÝÑ ÔÓ Û ÔÓÔÖÞ ÞÒ ÔÓÐ Ð ØÖÝÞÒ E H y Ø Ö Ø ÔÓÐ Ñ Û ÛÒØÖÞÒÝѺ ÈÓÐ ØÓ ÔÓÔÖÞ Þ Þ Ð ÒÓ Ó ω Ø ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÐÒ Ó ÔÓÐ Ñ Ò ØÝÞÒ Ó B z º  РÔÖÞ ÛÓ Ò Ñ ÖÙ Ó d ØÓ ÔÓÐ ØÓ ÔÖÓÛ Þ Ó ÔÓ Û Ò Ò Ô ÔÓÔÖÞ ÞÒ Ó ÞÛ Ò Ó Ò Ô Ñ À ÐÐ º Û Ó À ÐÐ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ø Û ÞÙ Ò ÔÓÐ Ñ ¹ Ò ØÝÞÒ Ó ÐÐÓØÖÓÒ µº ÈÐ ÞÑÓÒÝ ÊÓÞÛ ÑÝ Þ Ð ØÖÓÒ Û ÛÓ Ó ÒÝ ÔÐ Þѵ Þ ÑÙ Ý Ó ØÓ Ò Û Ö ØÛÝ Ó ÖÙ Ó dº ÑÝ Û ÞÝ Ø Ð ØÖÓÒÝ ÞÓ Ø Ý ÔÖÞ ¹ ÙÒ Ø ÔÖÓ ØÓÔ Ð Ó ÔÓÛ ÖÞ Ò Û Ö ØÛÝ Ó Ó Ð Ó x Ô ØÖÞ ÖÝ ÙÒ µº ÈÓÐ ÖÝÞ Ð ØÖÝÞÒ Øº º ÔÓÐÓÛÝ ÑÓÑ ÒØ Ð ØÖÝÞÒÝ Ò ÒÓ Ø Ó ¹ ØÓ Ø Û ÛÞ Ö ÛÒ P = nex, ½½¾µ Þ n Ø ØÓ Ð ØÖÓÒ Ûº + + + + + + + + E d d x ÊÝ ÙÒ ½ ÈÓÐ ÖÝÞ ÞÙ Ð ØÖÓÒÓÛ Ó Û Ò Û Ö ØÛ º ØÓ Ó¹ Û Ò ØÛ Ö Þ Ò Ù º ÔÖ Û Ù Ed d S = 4πnex ÑÓ ÑÝ Ó Ð ÞÝ ÔÓÐ Ð ØÖÝÞÒ ÔÓÐ ÖÝÞ Ed ÛÝ ØÔÙ Û ÛÒ ØÖÞ Û Ö ØÛÝ Ñ ÒÓÛ E d = 4πnex = 4πP. ½½ µ ÈÓÐ ØÓ ÔÓÞÛ Ð Þ Ô Ö ÛÒ Ò ÖÙ Ù Ð Ð ØÖÓÒ Û ØÛÓÖÞ Ý ÔÐ ÞÑ Û ÔÓ Ø mẍ = ee d = 4πne 2 x. ½½ µ

¼ Å Ø Ð º ÅÓ Ð ÛÓ Ó ÒÝ Ð ØÖÓÒ Û ÊÓÞÛ Þ Ò Ñ Ø Ó Ö ÛÒ Ò Ó ÝÐ ØÓÖÓÛ Ó Ø ÙÒ ÖÑÓÒ ÞÒ x = A cos(ω p t + ϕ) Þ ωp 2 = 4πne2 m. ½½ µ Ï Ð Ó ω p Ò ÞÝÛ ÑÝ Þ ØÓ ÔÐ ÞÑÓÛ º Â Ø ØÓ Þ ØÓ Ö Û ÒÝ Ù Ù Ý Û ÞÝ Ø ÔÖÞ ÙÒ Þ Ó Ò Û Þ ØÞÒº Ð k = 0º Ï Ó Ð¹ ÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù Ð ÓÛÓÐÒ Ó Û ØÓÖ ÐÓÛ Ó k Ö Ð Ý Ô Ö Ý Ò Ð ÔÐ ÞÑÓÒ Û Ñ ÔÓ Ø ωk 2 = ω2 p + α nm k2, ½½ µ Þ α Ø Ô ÛÒ Ø º Ð Ð ØÖÓÒ Û Û Ñ Ø Ð Þ n 10 23 cm 3 Þ ØÓ ÔÐ ÞÑÓÛ ÖÞ Ù ω p 10 16 s 1 º Ì Ù Û ÖØÓ ÞÛ Þ Ò Þ ÞÒ ÞÒÝÑ Ñ Ð ØÖÝÞÒÝÑ ÛÝÛÓ Ù ÝÑ Ó ÝÐ º Ý Ý ÑÝ Ð Ó ÖÛÓÛ Ó ÝÐ Ð ØÖÓÒ Û Û Ô ÞÞÝÞÒ Û Ö¹ ØÛÝ ØÓ ÑÙ ÑÝ ÔÓ Ù Ý ÔÓÐ Ñ Þ ÛÒØÖÞÒÝÑ E Ó Þ ØÓ ω ÛÝÑÙ Þ ¹ ÝÑ Ø Ö Ò º Ð Û Ö ØÛÝ Ø Ö Ø Ò Ó Þ Ò ÖÓÞ ÔÓÐ ÔÓÐ ÖÝÞ Ö ÛÒÓÐ Ó Û Ö ØÛÝ Ò ÛÝ Ø Ô Ö ÛÒ Ò ÖÙ Ù Ñ ÛØ Ý ÔÓ Ø ÊÓÞÛ Þ Ò Ñ Ø Ó Ö ÛÒ Ò Ø Ì Û ÔÓÐ ÖÝÞ ÛÝÒÓ mẍ = ee. x = ee mω 2. P = nex = ne2 mω2e = χe, ½½ µ Þ χ = ne 2 /mω 2 Ò ÞÝÛ ÑÝ ÔÓ ØÒÓ Ð ØÖÝÞÒ º ËØ Ð ØÖÝÞÒ ǫ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Þ ÛÞÓÖÙ Ò Ò Ù ÔÓÐ Ø D = ǫe = E + 4πP, ½½ µ ½½ µ (119a) ǫ = 1 + 4π P ne2 = 1 + 4πχ = 1 4π E mω = 1 ω2 p 2 ω 2. (119b) Ý ω ω p ØÓ ǫ 0 Û Ô ÞÝÒÒ Þ Ñ Ò η = ǫ Ø ÖÞ ÞÝÛ Øݺ Ì Û Ð Þ ØÓ ÔÓÛÝ Þ ØÓ ÔÖÓ ÓÛ Ö ÛÒ ω p Þ ØÓ ÔÐ ¹ ÞÑÓÛ µ Ó ÖÓ Ø ÔÖÞ ÞÖÓÞÝ Øݺ Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ñ Ø Ð Þ ØÓ Ø Ó ÔÓÛ Þ Ö ÓÛ ÙÐØÖ ÓÐ ØÓÛ ÑÙº

ÞÝ ÞÝ ÓÒ Ò ÓÛ Ò ½ È Ñ Ò Ö ØÝÞÒ ÌÛ Ö Þ Ò ÐÓ Ó ÛÝ Ò Ò ÔÓÛ Ø Û Ò ØÖÙ ØÙÖÝ Ô ÑÓÛ Ò Þ Ò Ø ÙÛÞ Ð ¹ Ò Ò Ó Þ ÝÛ Ò Ð ØÖÓÒ Û Þ ØÖÙ ØÙÖ ÖÝ Ø Ð ÞÒ º Ì Û ÑÓ Ð Ð ØÖÓÒ Û ÛÓ Ó ÒÝ ØÖ Û Þ ØÓ ÓÛ Ò º ËØÖÙ ØÙÖ Ô Ö Ó ÝÞÒ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÛ Ò Ø ÔÖÞ Þ Ô Ö Ó ÝÞÒÝ ÔÓØ Ò U( r) ÙÛÞ Ð Ò ÓÒÝ Û Ö ÛÒ Ò Ù Ë Ö Ò Ö º º ÐÓ Ù ÓÛÓ Ò ÖÓÞÛ ¹ Þ Ò Ñ Öº Ë Ö Ò Ö Ò Ø Û ÛÞ Ð Ô Ø ØÓ Ñ Ó Ñ Ð Ð ØÖÓÒ Û ÛÓ Ó ÒÝ Ð Þ ÐÓÞÝÒ Ð Ô Ô ÛÒ ÙÒ u k ( r) Ø Ö Ñ Ô Ö Ó ÝÞÒÓ ÖÝ Ø Ð ÞÒ ϕ k ( r) = u k ( r) exp(i k r) ½¾¼µ ÓÖ Þ u k ( r + T) = u k ( r), ½¾½µ Þ T Ø Û ØÓÖ Ñ ØÖ Ò Ð º Ø Ñ ÙÒ ÐÓÛ Ù ÑÓ ÙÐÓÛ Ò ÑÔÐ ØÙ Ø Ö Ó Ö ÑÓ¹ ÙÐ Þ Ð Ý Ó ØÖÙ ØÙÖÝ ÖÝ Ø Ð ÞÒ º ÈÓÛÝ Þ Û ÒÓ ÙÒ ÐÓÛ ÛÝÖ ÓÒ Ö ÛÒ Ò Ñ ½¾¼µ ½¾½µ Ò ÞÝÛ ØÛ Ö Þ Ò Ñ ÐÓ º Ó Ò Þ ÔÖÓ Ð ØÝÞÒ ÒØ ÖÔÖ Ø ÙÒ ÐÓÛ ØÓ ÔÖ Û Ó¹ ÔÓ Ó ØÛ ρ( r) ÞÒ Ð Þ Ò Þ Ø Û ÔÙÒ r ÛÝÒÓ ρ( r) = ϕ k ( r) 2 = ϕ k ( r)ϕ k ( r) = [ u k ( r) ]2. ½¾¾µ Ì Û ØÓ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ð ØÖÓÒ Û ÐÓ ÔÓ Ô Ö Ó ÝÞ¹ ÒÓ ÖÝ Ø Ð ÞÒ Û Ó Ö Ò Ò Ù Ó Ð ØÖÓÒ Û ÛÓ Ó ÒÝ Þ ¹ ØÓ Ø Ø ÛÝÒÓ ρ( r) = 1/V º ÅÓ Ð ÃÖÓÒ ¹È ÒÒ Ý³ ÅÓ Ð ÃÖÓÒ ¹È ÒÒ Ý³ Ø ÔÖÓ ØÝÑ ÑÓ Ð Ñ ÒÓÛÝÑ ÖÓÛÝÑ Ò ÔÓ Ø Û Ø Ö Ó ÑÓ Ò ÔÖÞ Û Þ ÔÓÛ Ø Û Ò ØÖÙ ØÙÖÝ Ô ÑÓÛ º

¾ È Ñ Ò Ö ØÝÞÒ Ê ÛÒ Ò Ë Ö Ò Ö Û ÔÖÞÝÔ Ù ÒÓÛÝÑ ÖÓÛÝÑ Ñ ÔÓ Ø h2 2m d 2 ϕ + U(x)ϕ = εϕ. dx ½¾ µ 2 ÈÓØ Ò U(x) ÔÖÞÝ ÑÙ Û ÔÓ Ø Ù ØÙ Ò ÔÖÓ ØÓ ØÒÝ Ó Þ ¹ ÖÓ Ó a Þ ÖÓ Ó Ö Ö b ÛÝ Ó Ó U 0 Ô ØÖÞ ÖÝ ÙÒ µº Ì Û Ô Ö Ó ÝÞÒÓ ÔÓØ Ò Ù ÛÝÒÓ a + bº U( x) U 0 b 0 a a+b x ÊÝ ÙÒ ½ ÈÓØ Ò Ô Ö Ó ÝÞÒÝ Û ÑÓ ÐÙ ÃÖÓÒ ¹È ÒÒ Ý³ º Ï ÔÖÞ Þ Û Ø ÖÝ U = 0 ÙÒ ÐÓÛ Ø ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ Ð Ô Ò Ý Û ÔÖ ÛÓ Û Ð ÛÓ ϕ = Ae ikx + Be ikx ½¾ µ Ò Ö Ð ØÖÓÒÙ ÛÝÒÓ ε = h 2 K 2/ 2m. ½¾ µ Ï ÔÖÞ Þ Û ÛÒ ØÖÞ Ö Ö Þ U = U 0 ÙÒ ÐÓÛ Ø Óѹ Ò ÙÒ ÔÓÒ Ò ÐÒÝ Ñ Ð ÖÓ Ò ϕ = Ce Qx + De Qx, ½¾ µ Ò Ö Ð ØÖÓÒÙ ÛÝÒÓ ÛØ Ý ε = U 0 h 2 Q 2/ 2m. ½¾ µ Ï ÔÙÒ Ø Û Ø ÖÝ ÔÓØ Ò Ø Ò Ý x = a x = bµ ÑÝ Ó ÙÒ ÐÓÛ ÓÔ Ò Ö ÛÒ Ò Ñ ½¾ µ ½¾ µ ÓÖ Þ Ó

ÞÝ ÞÝ ÓÒ Ò ÓÛ Ò Ô ÖÛ Þ ÔÓ Ó Ò dϕ/dxº Ó Ø ÓÛÓ ÑÝ Ý ÙÒ Ø Ô Ò ØÛ Ö Þ Ò ÐÓ Ó Û ØÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù ÓÞÒ Þ Û ÖÙÒ ϕ(a < x < a + b) = ϕ( b < x < 0)e ik(a+b). ½¾ µ ÈÓÛÝ Þ Þ Ó Ò ÔÖÓÛ Þ Ó Ù Ù Ö ÛÒ Ð Ò ÓÛÝ Ò Ò ÞÒ Ò Û Ô ÞÝÒÒ A, B, C Dº Ï ÖÙÒ Ñ ÖÓÞÛ ÞÝÛ ÐÒÓ Ø Ó Ù Ù Ø Þ ÖÓÛ Ò ÛÝÞÒ ÞÒ ¹ Ó ØÓÔÒ º ÈÓ ÖÓÞ Ó Ò Ù Ø Ó ÛÝÞÒ ÞÒ Ò ÛÝÞÒ ÞÒ Ò Þ Ó ØÓÔÒ Ñ ØÓ Ä ÔÐ ³ Ö ÛÒ Ò ÛÝÞÒ ÞÒ ÓÛ ÑÓ Ò Þ Ô Û Ó ÓÛ ÔÓ Ø Q 2 K 2 2KQ sinh(qb) sin(ka) + cosh(qb) cos(ka) = cos[k(a + b)]. ½¾ µ Ê ÛÒ Ò ½¾ µ ÑÓ Ò Ð ÖÓÞÛ ÞÝÛ ÒÙÑ ÖÝÞÒ Ð K Q ÛÝÖ Þ Þ ÔÓÑÓ Ò Ö ε Þ ÛÞÓÖ Û ½¾ µ ½¾ µº Ï ÛÞ ÑÓ Ò ÓØÖÞÝÑ Þ Ð ÒÓ ε Û ÙÒ Û ØÓÖ ÐÓÛ Ó k ÞÝÐ Ö Ð Ý Ô Ö Ý Ò º È ÛÒ ÙÔÖÓ ÞÞ Ò Ö ÛÒ Ò ½¾ µ ÓØÖÞÝÑÙ Ý Ö ÖÝ ÔÓØ Ò ÐÒ Ø Ò Ó Þ Ò Û ÛÝ Ó b 0 U 0 Ø Ý Ô Ö Ñ ØÖ abq 2 /2 = P Ý Ó ÞÓÒ Û Ð Ó º Ï ÛÞ Ö ÛÒ Ò ½¾ µ Ñ Ö Ò ÞÒ ÔÓ Ø P sin(ka) + cos(ka) = cos(ka). Ka ½ ¼µ ÈÓ Ø Ø Ø ÛÝ Ó Ò Ó Ò Ð ÞÝ Ð ÛÝ Ö Ð Ö ÞÒ Ð Û ØÖÓÒ Ø Ó Ö ÛÒ Ò Ô ØÖÞ ÖÝ ÙÒ µº ÔÖ Û ØÖÓÒÝ Ö ÛÒ Ò ½ ¼µ ÛÝÒ Û ÖØÓ ÑÙ Þ Ý Ó Ö Ò ÞÓÒ Ó ÔÖÞ Þ Ù ( 1, +1)º ËØ ÓÞÛÓÐÓÒ Û ÖØÓ K Þ Ø Ñ Ò Ö Ù Ùµ ÔÖÞ Þ ÐÓÒ ÔÖÞ ÖÛ Ñ Ò Ö ØÝÞ¹ ÒÝÑ º ÈÖÞ ÖÛÝ Ø ÔÓ Û Ð Û ØÓÖ ÐÓÛ Ó ka = π, 2π, 3π,... ÞÝÐ Ò Ö ØÖ Ö ÐÐÓÙ Ò º Æ Ð Ý ØÙ ÞÛÖ ÙÛ Ò Ö Ò ÔÓÑ ÞÝ K Û ØÓÖ ÐÓÛÝ Ð ¹ ØÖÓÒÙ ÛÓ Ó Ò Óµ k Û ØÓÖ ÐÓÛÝ ÙÒ ÐÓ µº ÏÝ Ö Þ Ð ÒÓ Ý Ô Ö Ý Ò ÓØÖÞÝÑ Ò Þ Ö ÛÒ Ò ½ ¼µ Ø ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝ Ò ÖÝ ÙÒ Ùº Ï Ñ Þ ÔÓ Û ÔÖÞ ÖÛ Ò Ö ØÝÞÒ Û ÖØÓ Ò Ö Ð ØÖÓÒÙ ÛÓ Ó Ò Ó ÞÒ Ù Ó Ò ÔÓ ÖÓ Ù ÔÖÞ ÖÛݺ

È Ñ Ò Ö ØÝÞÒ P Ka sin Ka + cos Ka 1 Ka 1 ÊÝ ÙÒ ½ Ö ÞÒ ÖÓÞÛ Þ Ò Ö ÛÒ Ò ÃÖÓÒ ¹È ÒÒ Ý³ º ÈÓÛ Ø Û Ò ØÖÙ ØÙÖÝ Ô ÑÓÛ º ( k) ÊÝ ÙÒ ½ ËØÖÙ ØÙÖ Ô ÑÓÛ Ð ÑÓ ÐÙ ÃÖÓÒ ¹È ÒÒ Ý³ º Ä Ò ÔÖÞ ¹ ÖÝÛ Ò ÓÞÒ Þ Þ Ð ÒÓ Ý Ô Ö Ý Ò ½¾ µ Ð Ð ØÖÓÒÙ ÛÓ Ó Ò Ó Ý Q = 0 K = kµº ka

ÞÝ ÞÝ ÓÒ Ò ÓÛ Ò Ê ÛÒ Ò ÒØÖ ÐÒ Ó Þ ØÓ ÓÛ Ò Æ U(x) ÓÞÒ Þ Ò Ö ÔÓØ Ò ÐÒ Ð ØÖÓÒÙ Û Ð Ò ÓÛ Ó Ø aº Ò Ö ÔÓØ Ò ÐÒ Ò ÞÑ Ò ÔÖÞÝ ÔÖÞ ÙÒ Ù Ó a U(x + a) = U(x)º Æ ÔÓ Ø Û Ó ÔÓÛ Ò Ó ØÛ Ö Þ Ò ÙÒ Ò ÞÑ ÒÒ Þ ÔÖÞÝ ÔÖÞ ÙÒ Ù Ó Û ØÓÖ ØÖ Ò Ð ÖÝ ÞØ Ù ÑÓ Ý ÖÓÞ Ó ÓÒ Û Þ Ö ÓÙÖ Ö ÛÞ Ð Ñ Û ØÓÖ Û Ó ÛÖÓØÒ G U(x) = G U G e igx. ½ ½µ Æ Ó Û Ô ÞÝÒÒ ÖÓÞÛ Ò ÞÝ Ó Ñ Ð Þ ÛÞÖÓ Ø Ñ Gº Ê ÛÒ Ò ÐÓÛ Ð ØÖÓÒÙ ÑÓ ÑÝ Þ Ô Û ÔÓ Ø ( p 2 2m + G U G e igx ) ϕ(x) = ε ϕ(x). ½ ¾µ ÙÒ ÐÓÛ ϕ(x) Ö ÛÒ ÔÖÞ Ø Û ÑÝ Þ ÔÓÑÓ Þ Ö Ù ÓÙÖ Ö ÙÛÞ Ð Ò Û ÞÝ Ø ÓÞÛÓÐÓÒ Û ÖØÓ k ϕ(x) = k C k e ikx. ½ µ ÓÞÛÓÐÓÒÝÑ Û ÖØÓ Ñ Û ØÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù k = 2πn/L Þ n Ø Ð Þ ÓÛ Ø L Ù Ó ÖÝ ÞØ Ùº ÈÓ Ø Û ½ µ Ó ½ ¾µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ö ÛÒ Ò [ h 2 2m k2 C k e ikx + ] U G C k e i(k+g)x = ε C k e ikx. ½ µ k G k ÅÒÓ Ó Ù ØÖÓÒÒ Öº ½ µ ÔÖÞ Þ (1/2π) exp( ik x) Ù ÔÓ x ÑÓ ÑÝ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÙÒ δ¹ãöóò Ö δ k,k = 1 e i(k k )x dx, ½ µ 2π Ò ØÔÒ ÛÝ ÓÒ ÙÑÓÛ Ò ÔÓ kº Â Ó ÛÝÒ Ó ÓÛÝ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ (λ k ε) C k + G U G C k G = 0, ½ µ

È Ñ Ò Ö ØÝÞÒ Þ λ k = h 2 k 2/ 2m. ½ µ Ê ÛÒ Ò ½ µ Ò ÞÝÛ ÑÝ Ö ÛÒ Ò Ñ ÒØÖ ÐÒÝѺ ÈÓÞÛ Ð ÓÒÓ Ò ÙØÛÓÖÞ ¹ Ò Ð Ö ÒÝ k Ù Ù Ö ÛÒ Ð Ò ÓÛÝ Ò Û Ô ÞÝÒÒ C k Û ÔÖ ØÝ Ð Ð Ù Ò Û Ò ÞÝ µ Ö ÓÒ ØÖÙ ÙÒ ÐÓÛ Þ Ó Ò Þ Ö ÛÒ ¹ Ò Ñ ½ µº Ê ÛÒ Ò ÒØÖ ÐÒ Ù Ý Ö ÛÒ Ó Ó Ð Þ Ò Ò Ö Ð ØÖÓÒ Ûº Æ ÔÖÞÝ Û ÔÓ Ð Ù Ö Ò Ý ØÖ Ý Ö ÐÐÓÙ Ò Ð k π/a = G 1 /2 ØÓØÒ Û Û Ô ÞÝÒÒ C k C k G1 ÔÓÒ Û Ð Û ØÓÖ Û k k G 1 Ò Ö Ð ØÖÓÒ Û Ø Ñ º ÙÒ ÐÓÛ Ñ ÛØ Ý ÔÓ Ø ϕ(x) = C k e ikx + C k G1 e i(k G 1)x. ½ µ Ì Û Þ ØÓ ÓÛ Ò Ö ÛÒ Ò ÒØÖ ÐÒ Ó ½ µ Ð Ò Ö Ø Þ Ó Û ØÓÖ G 1 ÔÖÓÛ Þ ÛØ Ý Ó Ù Ù Û Ö ÛÒ Ð Ò ÓÛÝ { (λk ε)c k + U G1 C k G1 = 0, ½ µ U G1 C k + (λ k G ε)c k G1 = 0. Ê ÛÒ Ò Ø Ñ ÖÓÞÛ Þ Ò Ð Ò Ö ε Ô Ò Û ÖÙÒ λ k ε U G1 λ k G1 ε = 0. U G1 ½ ¼µ ÈÖÓÛ Þ ØÓ Ó Û ÖÓÞÛ Þ ε(±) = 1 2 (λ k G 1 + λ k ) ± 1 4 (λ k G 1 λ k ) 2 + U 2 G 1. ½ ½µ  РÛÔÖÓÛ Þ ÑÝ Û ØÓÖ K = k G 1 /2 Ø ÖÝ Ø Ñ Ö Ó ÝÐ Ò Û ØÓÖ k Ó Ö Ò Ý ØÖ Ý ØÓ Ð Ñ Ý K ÑÓ Ò ÖÓÞÛ Þ Ò ½ ½µ ÔÖÞ Ø Û Û ÔÖÞÝ Ð ÓÒ ÔÓ Ø Ô ØÖÞ Ã ØØ Ðµ ε(±) λ G1 /2 ± U G1 + h2 K2 2m ( 1 ± 2 λ ) G 1 /2, ½ ¾µ U G1 Þ λ G1 /2 = h 2 (G 1 /2) 2 /2mº Â Û Û Ò Ö Ø Û Ö ØÓÛ ÙÒ Ó ÝÐ Ò Kº

ÞÝ ÞÝ ÓÒ Ò ÓÛ Ò ÏÒ Ó Ï ÔÓ Ð Ù Ö Ò Ý ØÖ Ý Ö ÐÐÓÙ Ò Þ Ð ÒÓ Ý Ô Ö Ý Ò Ø Ô ¹ Ö ÓÐ ÞÒ º Ó Ò Ò Ö Ò Ý ØÖ Ý Ñ ÑÝ K = 0 Ò Ö ÔÖÞÝ ÑÙ Û ÖÓÞÛ Þ ¹ Ò ε(±) = λ G1 /2 ± U G1, ½ µ λ G1 /2 Ø Ò Ö Ð ØÖÓÒÙ ÛÓ Ó Ò Ó Ò Ö Ò Ý ØÖ Ý 2 U G1 Þ ¹ ÖÓ Ó ÔÖÞ ÖÛÝ Ò Ö ØÝÞÒ º ÈÓÒ ØÓ Ò Ö Ò Ý ØÖ Ý Ý k = G 1 /2 ÙÒ ÐÓÛ ½ µ ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓ Ø ÔÖÞÝ ÞÝÑ Þ Ö ÛÒ ½ µ Ó Ø ÑÝ ϕ(x) = C G1 /2e i G 1 2 x + C G1 /2e i G 1 2 x, ½ µ C G1 /2/C G1 /2 = ±1. ÏÝÒ Ø Öº ½ µ ÓÔ Ù Û Ð ØÓ Ò Ø ØÝÔÙ ÒÙ ÖÙ Ó ÒÙ ( π ) ϕ(x) cos a x ½ µ ÐÙ ( π ) ϕ(x) i sin a x. ½ µ ÊÓÞÛ Þ Ò ½ µ Ó ÔÓÛ ÑÒ Þ Ò Ö ε(+) ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ ½ µ Ý U G1 < 0 ÖÓÞÛ Þ Ò ½ µ Ó ÔÓÛ Û Þ Ò Ö ε( )º ÏÝÒ ØÓ Ø ÖÓÞÛ Þ Ò ØÝÔÙ Ó ÒÙ ÓÔ Ù ÖÓÑ Þ Ò Ð ¹ ØÖÓÒ Û Û ÔÓ Ð Ù Ó ØÒ Ö Þ Ò ÓÒÓÛÝ ÙÒ ØÝÔÙ ÒÙ ÓÔ Ù ÖÓÑ Þ Ò Ð ØÖÓÒ Û ÔÓÑ ÞÝ Ö Þ Ò Ñ º Á ØÒ Ò Ð ØÓ Ý Ó ¹ ÔÓÛ Ó Ù Ö Ð Ð ØÖÓÒ Û Ø ÖÝ Û ØÓÖ ÐÓÛÝ Ø Ö ÛÒÝ Ö ÓÛ ØÖ Ý Ö ÐÐÓÙ Ò º ÈÓÛ ÖÞ Ò ÖÑ Ó ÈÓÛ ÖÞ Ò ÖÑ Ó Ø ÔÓÛ ÖÞ Ò Ø Ò Ö ε F Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò Û ØÓÖ ÐÓÛ Ó kº Ï Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ T = 0 Ã ÔÓÛ ÖÞ Ò ÖÑ Ó ÖÓÞ¹ Þ Ð Ø ÒÝ Ò Ó ÞÓÒ Ó Ø Ò Û Ó ÞÓÒÝ º Ï ÑÓ ÐÙ Ð ØÖÓÒ Û ÛÓ Ó ÒÝ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÖÑ Ó Ñ ÞØ Ø ÖÝ Ó ÔÖÓÑ Ò Ù k F º ÈÓÒ Û ÔÓÛ ÖÞ Ò ÖÑ Ó Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò k ÑÓ ÔÖÞ Ò Ð ØÖ Ö ÐÐÓÙ Ò Ó ÔÖÞ Ø Û Ò ÛÝ Ó Ò Ø ÔÖÞÝ Ø Ñ Þ Ý ÔÖÞÝ ÑÙ Ó ÔÖÞ Ø Û Ò ØÖÙ ØÙÖÝ Ô ÑÓÛ º Ë ØÓ

È Ñ Ò Ö ØÝÞÒ Ë Ñ Ø ØÖ Ý ÖÓÞÛ Ò Ø Ö Ò Ô Ñ ÔÖÞ Ø Û ÑÝ Û Ö ÒÝ ØÖ ¹ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Û ØÓÖ ÐÓÛ Óµº Ë Ñ Ø ØÖ Ý ÞÖ Ù ÓÛ Ò Û ÞÝ Ø Ô Ñ ÔÖÞ Ø Û ÑÝ Û Ô ÖÛ¹ Þ ØÖ Ö ÐÐÓÙ Ò µº Ë Ñ Ø ØÖ Ý Ô Ö Ó ÝÞÒ Ô ÑÓ ÔÖÞ Ø Û ÑÝ Û ØÖ µº Ë Ñ ØÝ ØÖ Ý ÞÖ Ù ÓÛ Ò ØÖ Ý Ô Ö Ó ÝÞÒ ÑÓ Ð Û Þ Ø ÑÙ Ò Ö ε k Ò Ó Ô Ñ Ø ÙÒ Ô Ö Ó ÝÞÒ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò Û ØÓÖ ÐÓÛ Ó ε k = ε k+ G. ½ µ Ð Ð ØÖÓÒ Û ÛÓ Ó ÒÝ ÖÝÞÒ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÖÑ Ó Û Ó Þ ÖÞ Ö ÒÝ ØÖ Ö ÐÐÓÙ Ò ÑÓ Ò ÛÝ Ó Ò ÔÖÞ Ø Û Þ ÔÓÑÓ Ñ ØÓ Ý À ÖÖ ÓÒ º ÈÓ ÙØÛÓÖÞ Ò Ù Ó ÛÖÓØÒ ÛÓ Ó ÛÞ ÖÝ Ù ÑÝ Ö Ó ÔÖÓ¹ Ñ Ò Ù ÖÑ Ó k F º Ë ÖÝ Ø ÑÓ ÔÖÞ Ò ÐÙ Ò º ÓÛÓÐÒÝ ÔÙÒ Ø Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò k Ð Ý Û ÛÒ ØÖÞ Ó Ò ÑÒ Ò ÖÝ Ó ÔÓÛ Þ ¹ Ø ÑÙ Ø ÒÓÛ Û Ô ÖÛ Þ ØÖ Ö ÐÐÓÙ Ò º ÈÙÒ Ø Ø ÖÝ Ð Ý Û ÛÒ ØÖÞ Ó Ò ÑÒ Û Ö Ó ÔÓÛ Þ Ø ÑÙ Ø ÒÓÛ Û ÖÙ ØÖ Ö ÐÐÓ¹ Ù Ò ÔÓ Ó Ò ØÖ ØÖÞ Ó Þ ÔÙÒ ØÝ Ð Û ÛÒ ØÖÞ Ó Ò ÑÒ ØÖÞ Ö Ø º Ð Ð ØÖÓÒ Û Ó Þ Ù Ý Þ ÖÝ Ø Ð ÞÒ ÞØ Ø ÔÓÛ ÖÞ Ò ÖÑ Ó Ó Ó ÖÝ Ý Ö Ð Ý Ô Ö ÙÛÞ Ð Ò ØÖÙ ØÙÖ Ô ÑÓÛ Ò Ñ ÝÑ ØÖ ÖÝÞÒ º Â Ò Ò ÔÓ Ø Û ÖÝÞÒ ÔÓ¹ Û ÖÞ Ò ÖÑ Ó ÑÓ Ò ÔÓÔÖÞ Þ ÓÖÑ Û ÔÖÞÝ Ð Ò Ù ÓÒ ØÖÙ¹ ÓÛ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÖÞ ÞÝÛ Ø Ð ÙÛÞ Ð Ò Ò ØÔÙ ØÝ Æ Ö Ò ØÖ ÔÓÛ Ø ÔÖÞ ÖÛÝ Ò Ö ØÝÞÒ º ÈÓÛ ÖÞ Ò ÖÑ Ó Ø ÔÖ Û Þ Û Þ ÔÖÓ ØÓÔ Ó Ö Ò Ý ØÖ Ýº Ç ØÖ ÞØ ØÝ ÛÝ Ò Û ÔÓÛ ÖÞ Ò ÖÑ Ó Ò Ð Ó Ö ÒÝ ØÖ Þ Ó Ö Ð Û ÙØ Ó Þ ÝÛ Ò Ð ØÖÓÒ Û Þ º ÓÛ Ø Ó ØÓ Ó Ö ÐÓÒ ÔÖÞ Þ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÖÑ Ó Ð Ð ØÖÓ¹ Ò Û ÛÓ Ó ÒÝ Ò ÞÑ Ò ÔÓ ÓÖÑ Ø ÔÓÛ ÖÞ Ò Û ÙØ Ó Þ ÝÛ Ò Ð ØÖÓÒ Û Þ º

ÞÝ ÞÝ ÓÒ Ò ÓÛ Ò Å ØÓ Ò Ó Û Þ Ò Ì µ Å ØÓ Ò Ó Û Þ Ò Ì Ø Ò Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒµ ÞÒ Ò Ø Ó Ñ ØÓ Ð Ò ÓÛ ÓÑ Ò ÓÖ Ø Ð ØÓÑÓÛÝ Ä Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó ØÓ¹ Ñ ÇÖ Ø Ð Ä Çµ Ø ÒÝÑ Þ Ò Ö Þ ÞÒ ÒÝ ÔÓ Ó Ó Ð Þ ¹ Ò ØÖÙ ØÙÖÝ Ô ÑÓÛ º Æ Ø Ò s ÞÓÐÓÛ Ò Ó ØÓÑÙ Þ ÓÔ ÒÝ ÙÒ ÐÓÛ ϕ( r) Ø Ø Ò Ñ ÔÓ Ø ÛÓÛÝÑ Ð ØÖÓÒÙ Û ÔÓÐÙ ÔÓØ Ò ÐÒÝÑ ÛÝØÛÓÖÞÓÒÝÑ ÔÖÞ Þ Ø Ò ØÓѺ Ð Ó ØÓÑÝ ØÛÓÖÞÝÑÝ ÖÝ ÞØ ÔÖÞÝ ÞÝÑ Þ ¹ ÑÝ ÔÓØ Ò Ø Ò Ò ÙÐ ÔÖ ØÝÞÒ ÞÑ Ò º Ù Ù ÑÝ ÙÒ ¹ ÐÓÛ Ó ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ ϕ k ( r) = j C kj ϕ( r r j ), ½ µ Þ ÙÑÓÛ Ò ÖÓÞ ÔÓ Û ÞÝ Ø ØÓÑ Û ÛÞ r j º Ð ÙÔÖÓ ÞÞ Ò Þ Ó ÝÑÝ Û ÓÑ Ö Ð Ñ ÒØ ÖÒ ÖÝ ÞØ Ù ÞÒ Ù ØÝÐ Ó Ò ØÓѺ ë ÑÝ Ö ÛÒ Ý ÙÒ ½ µ Ô Ò ØÛ Ö Þ Ò ÐÓ Ó Ñ Ñ ÛØ Ý Ý Û Ô ÞÝÒÒ C kj ÔÓ Ø Ï ÛÞ C kj = 1 N e i k r j. ϕ k ( r) = 1 e i k r j ϕ( r r j ). N j ½ µ ½ ¼µ  РÙÒ Ô Ò ØÛ Ö Þ Ò ÐÓ ØÓ Þ Ó Þ ϕ k ( r + T) = e i k T ϕ k ( r), ½ ½µ Þ T Ø Û ØÓÖ Ñ ØÖ Ò Ð ÖÝ ÞØ Ùº ÅÓ Ò ÔÖ Û Þ ÙÒ ÔÓ¹ Ø ½ ¼µ ÛÝÔ Ò Û ÖÙÒ ½ ½µº Ý Ó Ð ÞÝ Ò Ö Ð ØÖÓÒ Û ÔÓØÖÞ Ù ÑÝ Ó Ð ÞÝ Ð Ñ ÒØÝ Ñ ¹ ÖÞÓÛ k H k Þ H Ø Ñ ÐØÓÒ Ò Ñ k = ϕ k ( r)º Å ÑÝ ÛØ Ý k H k = 1 e i k( r j r m) ϕ m H ϕ j, N Þ ÓÞÒ ÞÝÐ ÑÝ ϕ m = ϕ( r r m )º j m ½ ¾µ

¼ È Ñ Ò Ö ØÝÞÒ Ï Öº ½ ¾µ ÑÓ Ò ÛÝ ÓÒ ÙÑÓÛ Ò ÔÓ m ÔÖÞÝ Ù Ø ÐÓÒÝÑ jº ÏÔÖÓÛ ¹ Þ ÑÝ Û ØÓÖÝ ρ m = r m r j r = r r j º Ï ÛÞ ϕ m H ϕ j = ϕ( r r m ) H ϕ( r r j ) = ϕ( r ρ m ) H ϕ( r ) = ϕ ( r ρ m )Hϕ( r)dv. Ê ÛÒ Ò ½ ¾µ ÔÖÞÝ Ñ ÛØ Ý ÔÓ Ø k H k = e i k ρ m ϕ ( r ρ m )Hϕ( r)dv, m ½ µ ½ µ Ý ÙÑ ÔÓ j Þ N Ø ÑÝ ÛÝÖ Þ Ûº Æ ÞÒ Ò Û Ûݹ Ö Ò Ù ½ µ ÓÞÒ ÞÝÑÝ Ó Ô Ö Ñ ØÖÝ Ð Þ ÓÛ º Û ÛÒ ØÖÞ ØÓÑÓÛ Ð ρ m = 0µ ϕ ( r)hϕ( r)dv = α. ½ µ Ó Þ ÝÛ Ò Ò Ð ÞÝ Û ÔÖÞ ÖÝÛ Ò Ð ρ m = aµ ϕ ( r ρ m )Hϕ( r)dv = γ. ½ µ Æ ØÓÑ Ø Ó Þ ÝÛ Ò Ð Ð ÞÝ Û ρ m > aµ ÛÝÒÓ Þ ÖÓ ϕ ( r ρ m )Hϕ( r)dv = 0. ½ µ ÈÖÞÝ Ø Ô Ö Ñ ØÖÝÞ Ö ÛÒ Ò ½ µ ÔÖÞÝ Ñ ÔÓ Ø k H k = ε k = α γ m e i k ρ m. ½ µ ÈÓÞÓ Ø Ó ÛÝ ÓÒ Ò ÙÑ ÔÓ Ò Ð ÞÝ Ý ρ m = aµ Ò ÞÝÛ Ò Ø ÞÝÒÒ Ñ ØÖÙ ØÙÖ ÐÒÝѺ ËÙÑ Ø Þ Ð Ý Ó ÖÓ Þ Ù º Æ ÔÖÞÝ Ð ØÖÙ ØÙÖÝ ÔÖÓ Ø Ö ÙÐ ÖÒ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ò Ö Û ÔÓ Ø ε k = α 2γ [cos(k x a) + cos(k y a) + cos(k z a)]. ½ µ

ÞÝ ÞÝ ÓÒ Ò ÓÛ Ò ½ Ð ÒÓ Ý Ô Ö Ý Ò ½ µ Ó ÑÙ Ô ÑÓ Ó Þ ÖÓ Ó 12γ Ø Ö Ø ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÐÒ Ó ÔÖÞ ÖÝÛ Ò º Ý ÔÖÞ ÖÝÛ Ò ÞÒ ÒÔº ØÓÑÝ Ó Ð Ó µ Ô ÑÓ Þ Û Ó ÔÓ ÝÒÞ Ó ÔÓÞ ÓÑÙ ÛÝÒÓ Þ Ó αº Ð Ñ Ý Û ÖØÓ k Û ÔÓ Ð Ù Ò Ô Ñ µ Þ Ð ÒÓ Ý Ô Ö Ý Ò ½ µ Ø Ô Ö ÓÐ ÞÒ ε k α 6γ + γa 2 k 2. ½ ¼µ Å ØÝÛÒ Ð ØÖÓÒ Û Û ÖÝ ÞØ Ð m Ó Ð Þ Þ ÛÝÖ Ò 1 m = 1 h 2 d 2 ε k dk 2. ½ ½µ Ð Þ Ð ÒÓ Ý Ô Ö Ý Ò ½ ¼µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ m = h2 2γa 2. ½ ¾µ Ï Ý ÔÖÞ ÖÝÛ Ò ÞÒ γ = 0µ ØÓ m º Ç ÔÓÛ ØÓ ÐÒ ÐÓ Ð Þ Ð ØÖÓÒ Û Ò ÛÞ Þ Ò ÓÛ ÔÖÞ ÛÓ Ò ØÛ º Ó Þ Ð ÒÓ Ý Ô Ö Ý Ò ½ µ Ø ÙÒ Û ÖÞ ÞÝÛ ØÓ Ô ÑÓ Þ 2N ÔÓÞ ÓÑ Û Ò Ö ØÝÞÒÝ Þ N Ø Ð Þ Ð ØÖÓ¹ Ò Û Û ØÝÑ ÑÓ ÐÙ Ö ÛÒ Ð Þ ØÓÑ Ûµ Ð Þ ¾ ÛÝÒ Þ ÙÛÞ Ð Ò Ò Û Ø Ò Û Ô ÒÓÛÝ º Ï Ø Ò ÔÓ Ô Ò ÓÒ Ø Ö Ù È ÙÐ Ó Ñ ¹ Û Ý Ð ØÖÓÒ Þ ÑÙ Ó Þ ÐÒÝ Ø Ò Û ÒØÓÛݺ Â Ð Ð Þ Ð ØÖÓÒ Û ÔÖÞ ÛÓ Ò ØÛ Ø Ö ÛÒ Ð Þ ØÓÑ Û Û ÖÝ Þ¹ Ø Ð ØÓ Ó ØÓ Ó Ö Ò ÞÓÒ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÖÑ Ó Ø Ö ÛÒ Ó ØÓ Á ØÖ Ý Ö ÐÐÓÙ Ò º

¾ È ÔÖÞ ÛÓ Ò È ÔÖÞ ÛÓ Ò Ó Ô ÔÖÞ ÛÓ Ò Û Þ Ð Þ Ñ Ø Ö Ý Ø ÖÝ ÓÔ Ö Û ÛÝ ÔÖÞÝ Ö ØÝÔÓÛ Û ÖØÓ Û Þ Ö 10 6 10 8 Ωm Û Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ ÔÓ Ó ÓÛ Ó 10 4 Ó 10 7 Ωmµ ÐÒ Þ Ð Ý Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖݺ ÁÞÓÐ ØÓÖÝ Ñ ÓÔ Ö Û ÛÝ ÔÓ¹ ÛÝ 10 8 Ωm Ñ Ø Ð ÔÓÒ 10 6 Ωmº Ö Ò Ø Ò Ò Ð Ó Ö ÐÓÒ ÞÛ ÞÞ ÔÓÑ ÞÝ Ô ÔÖÞ ÛÓ Ò Ñ ÞÓÐ ØÓÖ Ñ º È ÔÖÞ ÛÓ ¹ Ò Þ Ð ÑÝ Ò ÑÓ ØÒ ÞÝ Ø ÖÝ ÞØ Ýµ ÓÑ Þ ÓÛ º ÈÖÞ ÖÛ Ò Ö ØÝÞÒ ÈÖÞ ÖÛ Ò Ö ØÝÞÒ Ø Ö ÛÒ Ö Ò Ý Ò Ö Ñ ÞÝ Ò Ò ÞÝÑ ÔÓ¹ Þ ÓÑ Ñ Ô Ñ ÔÖÞ ÛÓ Ò ØÛ Ò ÛÝ ÞÝÑ ÔÓÞ ÓÑ Ñ Ô Ñ Û Ð ÒÝ Ò Óº ÈÓÖ ÛÒ Ò ØÖÙ ØÙÖÝ Ô ÑÓÛ Ô ÔÖÞ ÛÓ Ò Û Ñ Ø Ð ÞÓÐ ØÓÖ Û ÔÓ ¹ ÞÙ Ñ ØÝÞÒÝ ÖÝ ÙÒ º ÈÖÞ ÖÛ Ò Ö ØÝÞÒ E g = hω g Û ØÝÔÓÛÝ Ô ÔÖÞ ÛÓ Ò Ø ÖÞ Ù ½ Î Ø ÞÒ ÞÒ ÑÒ Þ Ò Ð ÞÓÐ ØÓÖ Ûº ÈÖÞ ÛÓ Ò ØÛÓ ÑÓ ØÒ ÐÒ Þ Ð Ý Ó ØÓ ÙÒ Ù Þ ÖÓ Ó ÔÖÞ ÖÛÝ Ò Ö ØÝÞÒ Ó Ò Ö Ø ÖÑ ÞÒ E g /k B T º Ý ØÓ ÙÒ Ø Ò Ø Ù Ý Þ Ò Ò ÔÖÞ Ò Ò Ð ØÖÓÒ Û Þ Ô Ñ Û Ð ÒÝ Ò Ó Ó Ô Ñ ÔÖÞ ¹ ÛÓ Ò ØÛ Ø Ñ Û ÔÖÞ ÛÓ Ò ØÛÓ Ø Ø Ñ º Æ ÔÖÞÝ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ ÔÓ Ó ÓÛ T 300 õ ØÝÔÓÛ ÔÖÞ ÖÛÝ E g 1 Î ØÓ ÙÒ E g /k B T 25º ÈÖÞ Ò Ò Ð ØÖÓÒÙ Ó Ô Ñ ÔÖÞ ÛÓ Ò ØÛ ÑÓ Ó ÝÛ ÔÓ¹ ÔÖÞ Þ ÓÖÔ ÓØÓÒÙ Ó Ó ÔÓÛ Ò Þ ØÓ ω g º Æ Ý Û ÔÖÓ ÙÞ ØÒ Þ Ø ÓÒÓÒÝ Ø Ö ÑÓ Ý Þ Ö ÛÒÓ ÓÖ ÓÛ Ò Ñ ØÓ¹ Û Ò º ÓØÝÞÝ ØÓ ØÞÛº ÔÖÞ Ó ÒÝ Ý ÒÓ Ô Ñ ÔÖÞ ÛÓ Ò ØÛ Ò ÛÝÔ Ð Ø Ñ Û ÖØÓ Û ØÓÖ k Ó Û ÖÞ Ó Ô Ñ Û Ð ÒÝ Ò Óº Ò Ö ÓÒÓÒÙ Û Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ ÔÓ Ó ÓÛ ÖÞ Ù ¼º¼½ ¼º¼ Î 1 Î Ñ Û ÔÓÖ ÛÒ Ò Ù Þ Þ ÖÓ Ó ÔÖÞ ÖÛݺ ÈÙ Ø Ø ÒÝ ÔÓ Ð ØÖÓÒ Û Ô Ñ Û Ð ÒÝ ÒÝÑ ÒÓ Þ Ò ÞÛ Þ ÙÖº Ð Ô ÔÖÞ ÛÓ Ò Û ÑÓ ØÒÝ ÐÓ Þ ÙÖ Ø Ö ÛÒ ÐÓ Ð ØÖÓÒ Û Û Ô Ñ ÔÖÞ ÛÓ Ò ØÛ º Ð Ô ÔÖÞ ÛÓ Ò Û ÓÑ Þ ÓÛÝ Ö ÛÒÓ Ø ÞÓ Ø Þ ÙÖÞÓÒ ÔÓÔÖÞ Þ ÓÑ Þ Ô ÔÖÞ ÛÓ Ò ØÝÔÙ p Ñ ÔÖÞ Û Þ ÙÖ Ò ØÓÑ Ø ØÝÔÙ n Ñ ÔÖÞ Û Ð ØÖÓÒ Ûµº

ÞÝ ÞÝ ÓÒ Ò ÓÛ Ò pasmo przewodnictwa E g 5 ev E g 1 ev a b c d pasmo walencyjne ÊÝ ÙÒ ½ ËØÖÙ ØÙÖ Ô ÑÓÛ µ µ Ñ Ø Ð µ Ô ÔÖÞ ÛÓ Ò Û µ ÞÓÐ ØÓÖ Ûº Ç Þ ÖÝ Þ Ö ÓÛ Ò ÓÞÒ Þ Ø ÒÝ Þ Ø ÔÖÞ Þ Ð ØÖÓÒÝ Û Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ T = 0 ú Ð ØÖÓÒÝ Þ ÙÖÝ Ö ÛÒÓ Ð Ð ØÖÓÒ Û Þ ÙÖ ÔÖ Ó ÖÙÔÓÛ ÑÓ Ò Þ Ô Û ÔÓ Ø υ g = 1 h dε dk, Þ ε Ø Ò Ö Ð Ý Ô Ö Ý Ò º Ê ÛÒ Ò ÖÙ Ù Ø ÔÓ Ø h d k dt = F, ½ µ ½ µ Þ F ÓÞÒ Þ Þ ÛÒØÖÞÒ Þ Ò Ð ØÖÓÒ ÐÙ Þ ÙÖº

È ÔÖÞ ÛÓ Ò È Ð ØÖÓÒÙ Ø ÔÖÞ ÛÒÝ Ó Ô Ù Þ ÙÖÝ k h = k e. ½ µ ÏÝÒ ØÓ Þ Ò ØÔÙ Ó ÖÓÞÙÑÓÛ Ò Ï Ô Ñ ÓÛ Þ Ô Ò ÓÒÝÑ ÙÑ ÖÝÞÒÝ Û ØÓÖ ÐÓÛÝ Ð ØÖÓÒ Û Ø Ö ÛÒÝ Þ ÖÙ ØÖ Ö ÐÐÓÙ Ò Ñ ÝÑ ØÖ ÒÛ Ö µº Â Ð Þ Ô Ñ Ù ÙÒ ÑÝ Ð ØÖÓÒ Ó Û ØÓÖÞ ÐÓÛÝÑ k e ØÓ ÓÛ ØÝ Û ØÓÖ ÐÓÛÝ Ô Ñ ÛÝÒÓ k e Ó ÔÖÞÝÔ Ù ÑÝ Ô ÓÛ ÔÓ¹ Û Ø ÔÓ Ð ØÖÓÒ Þ ÙÖݺ Â Ð Ø Ô Ò ÓÒÝ Û ÖÙÒ ½ µ ØÓ Þ Ö ÛÒ Ò ½ µ ÛÝÒ Þ ¹ ÛÒØÖÞÒ Þ Ò Þ ÙÖ Ø ÔÖÞ ÛÒ Ó Ý Þ Ò Ð ¹ ØÖÓÒº Ë Þ ÛÒØÖÞÒ Þ Ò Ð ØÖÓÒ ÄÓÖ ÒØÞ µ ÑÓ ÑÝ Þ Ô Û ÔÓ Ø ( F e = e E + 1 ) c υ e B, ½ µ Þ e Ø ÙÒ Ñ Ð ØÖÓÒÙ υ e Ó ÔÖ Ó º Ï Ø Ñ Ö Þ Þ ÛÒØÖÞÒ Þ Ò Þ ÙÖ ÑÙ Ñ ÔÓ Ø ( F h = e E + 1 ) c υ h B. ½ µ Ï Þ ÙÖ Ñ ÙÒ Ð ØÖÝÞÒÝ Ö ÛÒÝ +eº ÔÓÖ ÛÒ Ò F h = F e ÛÝÒ ÔÖ Ó Ð ØÖÓÒÙ Þ ÙÖÝ Ò ÓÛ υ h = υ e. ½ µ  ÒÓÞ Ò Ñ Ò ÙÛ Þ ÛÞ Ö Ò Ô h k = m υ g Ý Ý Ý Ô ¹ Ò ÓÒ ÛÞÓÖÝ ½ µ ½ µ Ñ Ý Ð ØÖÓÒÙ Þ ÙÖÝ ÑÙ Þ Ý ÔÖÞ ÛÒ m h = m e. ½ µ ÓÐ Ö ÛÒÓÞ Ò Ô Ò Ò ÛÞÓÖ Û ½ µ ½ µ ÛÝÑ Ý Ø Ö Ð Ý Ô Ö Ð Ð ØÖÓÒ Û Þ ÙÖ ÒÔº Ò Ö ÛÝ ØÔÙ Û ÛÞÓÖÞ ½ µµ Ô Ò Û ÖÙÒ ε h = ε e. ½ ¼µ

ÞÝ ÞÝ ÓÒ Ò ÓÛ Ò ÅÓ Ò ØÓ Þ Ô ÛÒ Ð Û Ô ÔÖÞ ÛÓ Ò ÑÓ ØÒÝ Þ ÖÓÛÝ ÔÓÞ ÓÑ Ò Ö ÔÖÞÝÔ Þ Û ÖÓ Ù ÔÖÞ ÖÛÝ Ò Ö ØÝÞÒ º Ì Ò ÔÙÒ Ø Ó Ò Ò Ò Ö Û Ô ÔÖÞ ÛÓ Ò Ò ÞÝÛ ÑÝ Ò Ö ÖÑ Óº Þ Ø ÓÒÛ Ò¹ Ð ØÖÓÒÝ ÔÖÞ Ò ÓÒ Ó Ô Ñ ÔÖÞ ÛÓ Ò ØÛ Ñ Ò Ö Ó ØÒ Þ ÙÖÝ ÔÓÛ Ø Û Ô Ñ Û Ð ÒÝ ÒÝÑ Ò Ö Ù ÑÒ Ó Ö ÛÒ Ó Ó Û ÖØÓ º ËÝÑ ØÖ Ö Ð Ý Ô Ö Ð Ð ØÖÓÒ Û Þ ÙÖ Öº ½ ¼µ Ñ ÛÓ ÓÒ ¹ Û Ò Ð Ñ Ý ØÝÛÒ ØÝ Þ Ø º Å ØÝÛÒ Þ Ò ÓÛ Ð ÑÝ Ù ÛÞÓÖ Ñ ½ ½µº ÏÝÒ ÓÒ Þ Ò ØÔÙ Ó ÖÓÞÙÑÓÛ Ò Ö Ò Þ Ù ÑÝ ÔÓ Þ ÛÝÖ Ò Ò ÔÖ Ó ÖÙÔÓÛ ½ µ dυ g dt = 1 h d 2 ε dk dt = 1 h d 2 ε dk dk 2 dt = 1 h d 2 ε 2 dk 2F. ½ ½µ Ý ÛÝÖ Ò ½ ½µ Ñ Ó ÔÓ Ø ÁÁ Þ Ý ÝÒ Ñ Æ ÛØÓÒ ÑÙ Þ Ó¹ Þ Þ Ð ÒÓ 1 m = 1 h d 2 ε 2 dk = 1 h dυ g 2 dk. ½ ¾µ  ÒÓÞ Ò ÔÓÒ Û ÔÖ Ó ÖÙÔÓÛ Ð Ð ØÖÓÒÙ Þ ÙÖÝ Ø Ñ Öº ½ µ Û ØÓÖÝ ÐÓÛ ÔÖÞ ÛÒ Öº ½ µ Þ Öº ½ ¾µ ÛÝÒ Ñ Ý ØÝÛÒ ÔÖÞ ÛÒ m h = m e. ½ µ Ð Ð ØÖÓÒ Û Ñ ØÝÛÒ ÞÑ Ò Ó Û ÖØÓ Ó ØÒ Û ÔÓ¹ Ð Ù Ò Ô Ñ ÔÓÔÖÞ Þ ± Ý Ö Ð Ý Ô Ö Ñ ÔÙÒ Ø ÔÖÞ µ Ó Û ÖØÓ Ù ÑÒÝ Û ÔÓ Ð Ù Ö ØÖ Ý Ö ÐÐÓÙ Ò º Ð Ô Ñ Þ ÙÖÓ¹ Û Ó Þ ÓÛ Ò Þ ÔÖÞ ÛÒ Ó Ó ÞÒ Ùº Å ØÝÛÒ Ø ÛÝ Ó ÒÝÑ Ô Ö Ñ ØÖ Ñ ÔÓÞÛ Ð ÝÑ ÙÛÞ Ð Ò Ó ¹ Þ ÝÛ Ò Ð ØÖÓÒ Û Þ ÙÖ Þ Ó ÖÓ Ñº Þ Ò Ö ÛÒ Ò ÖÙ Ù Ñ ÔÖÓ Ø ÔÓ Ø Ö ÛÒ Ò Æ ÛØÓÒ Þ ÔÓ Ö Û ÞÝ Ø Û ÔÓ ÛÒÝ ÝÒ ÛÝ ØÔÙ Þ ÛÒØÖÞÒ º ÃÓÒ ÒØÖ ÒÓ Ò Û ÖÙ Ð ÛÓ Ó Ò Þ ÛÞÓÖ Ñ µ ÙÒ ÖÑ Ó¹ Ö Ð Ð ØÖÓÒ Û Ñ ÔÓ¹ Ø f e (ε) = 1 exp [ (ε µ) / k B T ] + 1. ½ µ

È ÔÖÞ ÛÓ Ò Æ ØÓÑ Ø Ð Þ ÙÖ ÙÒ ÖÑ Ó¹ Ö Ò Ø ÛÞÓÖ Ñ f h (ε) = 1 f e (ε) = 1 exp [ (µ ε) / k B T ] + 1. ½ µ  РÔÓÞ ÓÑ ÖÑ Ó µ ÔÖÞÝ Ñ ÑÝ Û ÔÓ ÓÛ ÔÖÞ ÖÛÝ Ò Ö ØÝÞÒ Ø Ö Ø Þ ÖÓ Û ØÓ ÙÒ Ù Ó k B T ØÓ Þ Ö ÛÒÓ Ð Ð ØÖÓÒ Û Þ ÙÖ Þ ¹ Ó Þ ε µ k B T º Ï ÛÞ ÙÒ ÖÑ Ó¹ Ö ÑÓ Ò Þ Ô Û ÔÖÞÝ Ð ÓÒ ÔÓ Ø Å ÜÛ ÐÐ ¹ ÓÐØÞÑ ÒÒ º Ð Ð ØÖÓÒ Û f e (ε) exp [ (µ ε) / k B T ] ½ µ ÓÖ Þ Ð Þ ÙÖ f h (ε) exp [ (ε µ) / k B T ]. ½ µ ÇÞÒ ÞÑÝ ÔÖÞ Þ ε v Û ÖÞ Ó Ô Ñ Û Ð ÒÝ Ò Ó ÔÖÞ Þ ε c ÒÓ Ô Ñ ÔÖÞ ÛÓ Ò ØÛ º Ï ÛÞ ÔÖÞ ÖÛ Ò Ö ØÝÞÒ ÛÝÒÓ E g = ε c ε v. ½ µ ÈÖÞÝ ÑÙ Ô Ñ Û ÔÖÞÝ Ð Ò Ù Ô Ö ÓÐ ÞÒ ÑÓ ÑÝ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÛÞ Ö Ò ØÓ Ø Ò Û µº Ð Ð ØÖÓÒ Û ÔÖÞ ÛÓ Ò ØÛ D e (ε) = V ( ) 3/2 2me 2π 2 h 2 (ε ε c ) 1/2, ½ µ Ò ØÓÑ Ø Ð Þ ÙÖ D h (ε) = V 2π 2 ( ) 3/2 2 mh (ε v ε) 1/2. ½ ¼µ Ä Þ Ð ØÖÓÒ Û Û Ô Ñ ÔÖÞ ÛÓ Ò ØÛ Ó Ð ÞÝÑÝ Þ ÛÞÓÖÙ N e = h 2 ε c D e (ε)f e (ε)dε, ½ ½µ Ò ØÓÑ Ø Ð Þ Þ ÙÖ Û Ô Ñ Û Ð ÒÝ ÒÝÑ Ó Ö Ð Ö ÛÒ Ò N h = ε v D h (ε)f h (ε)dε. ½ ¾µ

ÞÝ ÞÝ ÓÒ Ò ÓÛ Ò ÈÓ Û Ø Û Ò Ù Ó ÛÞÓÖ Û ½ ½µ ½ ¾µ Ó ÔÓÛ Ò ÛÝÖ Ò ØÓ Ø Ò Û ½ µ ½ ¼µ ÓÖ Þ ÖÓÞ Û ½ µ ½ µ ÛÝ ÓÒ Ò ÓÛ Ò Ø ÑÓ Ð Û Ò Ð ØÝÞÒ Ð ÓÖÞÝ Ø Þ + x 1/2 e x dx = y 2 e y2 dy = 0 π 2. ½ µ Ï ÛÝÒ Ù ÓØÖÞÝÑÙ ØÓ Ð ØÖÓÒ Û ÓÖ Þ ØÓ Þ ÙÖ Ò ÛÞÓ¹ Ö Ñ ÓÖ Þ n = N ( ) 3/2 e V = 2 me k B T 2π h 2 exp [ (µ ε c ) / k B T ] ½ µ p = N ( ) 3/2 h V = 2 mh k B T 2π h 2 exp [ (ε v µ) / k B T ]. ½ µ Â Û ØÓ ÙÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖݺ ÈÓÑÒÓ Ò ØÖÓÒ Ñ ÛÞÓÖ Û ½ µ ½ µ ÛÝÒ ( ) 3 kb T np = 4 2π h 2 (m e m h ) 3/2 exp [ / E g kb T ]. ½ µ Â Ø ØÓ ØÞÛº ÔÖ ÛÓ Þ Ò Ñ º Â Ø ÓÒÓ Ù ÞÒ Þ Ö ÛÒÓ Ð Ô ÔÖÞ ÛÓ ¹ Ò Û ÑÓ ØÒÝ ÓÑ Þ ÓÛÝ º Ð Ô ÔÖÞ ÛÓ Ò Û ÑÓ ØÒÝ Ñ ÑÝ ÔÓÒ ØÓ Û ÖÙÒ n = pº ËØ ÓÖ Þ Þ ÛÞÓÖÙ ½ µ Ð ÓÒ ÒØÖ ÒÓ Ò Û ÑÓ ØÒÝ Ó Ø ÑÝ n = p exp [ E g / 2kB T ] ½ µ Ð E g k B T º Ð Ô ÔÖÞ ÛÓ Ò Û ÑÓ ØÒÝ Ð Þ Ó ÝÑÝ m e = m h ÑÓ ÑÝ ÔÓ Þ Ð ØÖÓÒ Ñ ÛÞÓÖÝ ½ µ ½ µº Ï ÛÝÒ Ù Ó Ø ÑÝ 1 = e 2µ/k BT e (εv+εc)/k BT. ½ µ Ö ÛÒ Ò Ø Ó ÛÝÒ µ = (ε v + ε e )/2 Ó Ø ÔÓØÛ Ö Þ Ò Ñ Ø Ó ÔÓÞ ÓÑ ÖÑ Ó Ð Ý Û ÔÓ ÓÛ ÔÖÞ ÖÛÝ Ò Ö ØÝÞÒ º

È ÔÖÞ ÛÓ Ò ÊÙ Ð ÛÓ ÒÓ Ò Û Ð ØÖÓÒ Û e Þ ÙÖ hµ Ò Ù ÑÝ Ó ÔÖ ¹ Ó ÖÝ ØÙ ÔÖÞÝÔ Ò ÒÓ Ø ÓÛ ÔÓÐ Ð ØÖÝÞÒ / / µ e = υ e E; µ h = υ h E. ½ µ Ë ØÓ Û Ð Ó Ó ØÒ Þ Ö ÛÒÓ Ð Ð ØÖÓÒ Û Þ ÙÖº ÓÛ Ø ¹ ØÓ ÔÖ Ù Þ ÔÖ Ù Ð ØÖÓÒÓÛ Ó Þ ÙÖÓÛ Ó j = (σ e + σ h ) E = enυ e + epυ h. ½ ¼µ Æ ÔÓ Ø Û ½¼¾µ ÔÖÞ ÛÓ Ò ØÛÓ Ð ØÖÓÒÓÛ ÛÝÒÓ σ e = e2 nτ e m e. ½ ½µ Ò ÐÓ ÞÒ Ð ÔÖÞ ÛÓ Ò ØÛ Þ ÙÖÓÛ Ó σ h = e2 pτ h m h. ½ ¾µ Ï Ð Ó τ e τ h Þ Ñ Ö Ð Ð ØÝ ÒÓ Ò Ûº ÔÓÖ ÛÒ Ò ÛÞÓ¹ Ö Û ½ µ ½ ¾µ ÑÓ Ò ÖÙ Ð ÛÓ ÒÓ Ò Û ÔÖÞ Ø Û Û ÔÓ Ø µ e = eτ e / me, ÓÖ Þ µ h = eτ h / mh. ½ µ Ç ÞÙ ÖÙ Ð ÛÓ Ø ÙÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ ÔÖÞÝ ÞÝÑ Ø ØÓ Þ Ð ¹ ÒÓ ØÝÔÙ T 3/2 º ÏÞÖÓ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ ÔÓÛÓ Ù ÞÑÒ Þ Ò ÖÙ Ð ÛÓ Ý ÛÝ ØÔÙ ÖÓÞÔÖÓ Þ Ò ÒÓ Ò Û Ò Ö Ò ÔÐÒÝ º Â Ò ÔÖÞÝ ÖÓÞÔ ØÖÝÛ Ò Ù Þ Ð ÒÓ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÓÛ ØÓ ÔÖ Ù Û ÛÞÓÖÞ ½ ¼µ Ý Ù ÖÓÐ Ó ÖÝÛ Þ Ð ÒÓ ÓÒ ÒØÖ ÒÓ Ò Û n p Ó ÙÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖݺ  ÔÓ ÞÙ ÛÞ Ö ½ µ ØÓ Þ Ð ÒÓ ÛÝ Ò Þ º ÇÔ Ù ÓÒ Ø ÛÞÖÓ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ Ô ÔÖÞ ÛÓ Ò ÔÓ¹ ÛÓ Ù ÛÞÖÓ Ø ÓÒ ÒØÖ ÒÓ Ò Û Û ÓÒ Û Ò ÞÛ Þ Ò ÔÖÞ ÛÓ ¹ ÒÓ Û Û º