1 O OBLICZENIACH, czyli tuzin zadań Wojciech Guzicki
W. Guzicki: O obliczeniach 2 Zadanie 1.(XVI OM) Znajdź wszystkie takie liczby pierwsze p, że 4p 2 +1i6p 2 +1sąrównieżliczbamipierwszymi. p 4p 2 +1 6p 2 +1 2 17 25 3 37 55 5 101 151 7 197 295 11 485 727 13 677 1015 17 1157 1735 19 1445 2167
W. Guzicki: O obliczeniach 3 Zadanie2.(LVIIIOM)Ciąg(x n )jestokreślonynastępująco: x 1 = 1 2, x n= 2n 3 2n x n 1 dlan=2,3,4,... Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n 1 zachodzi nierówność x 1 +x 2 +...+x n <1. x 1 = 1 2, x 2= 1 8, x 3= 1 16, x 4= 5 128, x 5 = 7 256, x 6= 21 1024, x 7= 33 2048, x 8= 429 32768.
W. Guzicki: O obliczeniach 4 x 1 = 1 2, x 2 = 1 8, x 3 = 1 16, x 4 = 5 128, x 5 = 7 256, x 6 = 21 1024, x 1 = 1 2, x 1 +x 2 = 5 8, x 1 +x 2 +x 3 = 11 16, x 1 +x 2 +x 3 +x 4 = 93 128, x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 = 193 256, x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 = 793 1024.
W. Guzicki: O obliczeniach 5 x 1 = 1 2, x 2 = 1 8, x 3 = 1 16, x 4 = 5 128, x 5 = 7 256, x 6 = 21 1024, 1 x 1 = 1 2, 1 (x 1 +x 2 )= 3 8, 1 (x 1 +x 2 +x 3 )= 5 16, 1 (x 1 +...+x 4 )= 35 128, 1 (x 1 +...+x 5 )= 63 256, 1 (x 1 +...+x 6 )= 231 1024.
W. Guzicki: O obliczeniach 6 x 1 = 1 2, x 2 = 1 8, x 3 = 1 16, x 4 = 5 128, x 5 = 7 256, x 6 = 21 1024, 1 x 1 = 1 2 =x 1, 1 (x 1 +x 2 )= 3 8 =3x 2, 1 (x 1 +x 2 +x 3 )= 5 16 =5x 3, 1 (x 1 +...+x 4 )= 35 128 =7x 4, 1 (x 1 +...+x 5 )= 63 256 =9x 5, 1 (x 1 +...+x 6 )= 231 1024 =11x 6.
W. Guzicki: O obliczeniach 7 Przypomnijmy: x 1 = 1 2, x n= 2n 3 2n x n 1 dlan=2,3,4,... Hipoteza: 1 (x 1 +x 2 +...+x n )=(2n 1) x n, czyli x 1 +x 2 +...+x n =1 (2n 1) x n.
W. Guzicki: O obliczeniach 8 Zadanie3.(IIMałaOM)Ciąg(x n )jestokreślonywnastępujący sposób: x 1 =1, x n =nx n 1 +( 1) n dlan 2. Udowodnij,żedlakażdejliczbynaturalnejn 2liczbax n jestpodzielnaprzezn 1. x 1 = 1, x 2 = 2 1+( 1) 2 = 3 = 1 3, x 3 = 3 3+( 1) 3 = 8 = 2 4, x 4 = 4 8+( 1) 4 = 33 = 3 11, x 5 = 5 33+( 1) 5 = 164 = 4 41, x 6 = 6 164+( 1) 6 = 985 = 5 197.
W. Guzicki: O obliczeniach 9 x 3 2 =4=1+3=x 1+x 2, x 4 3 =11=3+8=x 2+x 3, x 5 4 =41=8+33=x 3+x 4, x 6 5 =197=33+164=x 4+x 5. Hipoteza: dlan 3mamiejscerówność x n =(n 1) (x n 2 +x n 1 ).
W. Guzicki: O obliczeniach 10 Zadanie4.(XIIOMJ)Wkażdepoletablicy11 11należywpisaćjednązliczb 1,0,1wtakisposób,abysumaliczbwkażdej kolumnie była nieujemna, a suma liczb w każdym wierszu była niedodatnia. Jaką najmniejszą liczbę zer można w ten sposób wpisać w pola tablicy? Odpowiedź uzasadnij.
W. Guzicki: O obliczeniach 11 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1
W. Guzicki: O obliczeniach 12 Zadanie 5.(XII OMJ) Liczby całkowite a, b są dodatnie. Wykaż, żeconajmniejjednązliczba,b,a+bmożnaprzedstawićwpostaci różnicy kwadratów dwóch liczb całkowitych.
W. Guzicki: O obliczeniach 13 1 1 0 1 0 2 3 4 1 2 1 4 4 0 2 0 5 9 4 3 2 6 7 16 9 4 3 8 9 1 3 1 9 9 0 3 0 10 11 36 25 6 5 12 16 4 4 2 13 49 36 7 6 14 15 16 1 4 1 16 16 0 4 0 17 81 64 9 8 18 19 100 81 10 9 20 36 16 6 4 21 25 4 5 2 22 23 144 121 12 11 24 25 1 5 1
W. Guzicki: O obliczeniach 14 Zadanie 6.(Crux Mathematicorum, 1996, str. 205) Dany jest trójkąt liczbowy 0 1 2 3... 2015 2016 2017 1 3 5... 4031 4033 4 8 12... 8060 8064 Każda liczba w tym trójkącie, oprócz liczb z pierwszego wiersza, jest sumą dwóch liczb stojących bezpośrednio nad nią z lewej i prawej strony. Udowodnij, że liczba stojąca w najniższym wierszu jest podzielna przez 2017.
W. Guzicki: O obliczeniach 15 0 1 2 3 4 5 6 7 1 3 5 7 9 11 13 4 8 12 16 20 24 12 20 28 36 44 32 48 64 80 80 112 144 192 256 448
W. Guzicki: O obliczeniach 16 0 1 2 3 4 5 6 7 1 1 3 5 7 9 11 13 2 2 4 6 8 10 12 4 3 5 7 9 11 8 4 6 8 10 16 5 7 9 32 6 8 64 7 a m,n =2 m 2 ((m 1)+2 (n 1) ). a n+1,1 =2 n 1 (n+2 0)=n 2 n 1.
W. Guzicki: O obliczeniach 17 Zadanie 7.(Crux Mathematicorum, 1998, str. 12) Dany jest nieskończonyciągarytmetyczny(a n ),któregowyrazamisąliczbycałkowitedodatnieiwktórymliczbaa 1 jestkwadratemliczbycałkowitej. Udowodnij,żewtymciąguistniejenieskończeniewielewyrazówa n będących kwadratami liczb całkowitych.
W. Guzicki: O obliczeniach 18 a n =q 2 +(n 1)r. q r=2 r=3 r=4 r=5 1 5 2 3 4 2 7 5 4 2 3 9 10 5 9 4 11 4 6 5 5 13 9 7 16 6 15 16 8 10 7 17 6 9 4 8 19 13 10 17
W. Guzicki: O obliczeniach 19 Zadanie 8.(XII OMJ) Dany jest trójkąt ostrokątny ABC, w którym ACB=45.NiechBCEDorazACFGbędąkwadratamileżącymi na zewnątrz trójkąta ABC. Udowodnij, że środek odcinka DG pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. E F C D G A B
W. Guzicki: O obliczeniach 20 D=(0,2a) AS 2 = BS 2 = CS 2 = (a 1) 2 + 1 2 E B=(a,a) S = (1,a 1) C=(0,0) A=(2,0) F G=(2, 2)
W. Guzicki: O obliczeniach 21 Zadanie 9.(LXVIII OM) Odcinki AD, BE są wysokościami trójkąta ostrokątnego ABC. Punkt M jest środkiem odcinka AB. Punkty P i Q są symetryczne do punktu M odpowiednio względem prostych AD,BE.Wykazać,żeśrodekodcinkaDEleżynaprostejPQ. C P E D Q A M B
W. Guzicki: O obliczeniach 22 B=(2a,2b) BC: y= b a x, C=(0,0) D Q P E T S M=(a+1,b) A=(2,0) AD: y= a b x+2a b, ( ) 2a 2 2ab D= a 2 +b 2, a 2 +b 2, E=(2a,0), P= ( ) 2a 2 2ab a 2 +b 2 a+1, a 2 +b 2 b, Q=(3a 1,b).
W. Guzicki: O obliczeniach 23 Zadanie 10.(LXVIII OM) Wykazać, że równanie (x 2 +2y 2 ) 2 2(z 2 +2t 2 ) 2 =1 ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całkowitych x, y, z, t. Równanie Pella x 2 2y 2 =1.
W. Guzicki: O obliczeniach 24 Zadanie 11.(LXVIII OM) Dla ustalonej dodatniej liczby całkowitej n rozważamy równanie x 1 +2x 2 +...+nx n =n, wktórymniewiadomex 1,...,x n mogąprzyjmowaćwartościcałkowite nieujemne. Dowieść, że równanie to ma tyle samo rozwiązań (x 1,...,x n )spełniającychwarunek (1) dlakażdegok {1,...,n 1}: x k >0 lub x k+1 =0, ilemarozwiązań(x 1,...,x n )spełniającychwarunek (2) dlakażdegok {1,...,n}: x k =0 lub x k =1.
W. Guzicki: O obliczeniach 25 Zadanie 12.(XII OMJ, test) Istnieje dodatnia liczba całkowita n o następującej własności: można tak przestawić cyfry zapisu dziesiętnegoliczby2 n,abyotrzymaćpewnącałkowitąpotęgęliczby: b)5; c)7. 2 9 =512, 5 3 =125 oraz 2 8 =256, 5 4 =625. 2 10 =1024, 7 4 =2401 oraz 2 20 =1048576, 7 8 =5764801.
W. Guzicki: O obliczeniach 26 KONIEC