Matematyka w ekonomii

Tadeusz Trzaskalik Matematyka w ekonomii Streszczenie. Rozwój zastosowań matematyki w ekonomii na Górnym Śląsku związany jest z działalnością matematyków, głównie absolwentów matematyki Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach, zatrudnionych w Akademii Ekonomicznej w Katowicach. Dziewięć osób z tej grupy uzyskało stopień naukowy doktora habilitowanego lub tytuł naukowy profesora nauk ekonomicznych. Artykuł przedstawia ich dorobek naukowy, z uwypukleniem jego związków z matematyką. Modelowanie matematyczne w ekonomii Model jest pojęciem bardzo ogólnym, używanym w różnych dziedzinach. Celem tworzenia wszelkich modeli jest dążenie do zrozumienia otaczającej nas rzeczywistości, a także do uzyskania pomocy w uporaniu się z jej niezwykłą złożonością. Modelem matematycznym nazwiemy zbiór symboli i relacji matematycznych oraz ścisłych zasad operowania nimi, przy czym zawarte w modelu symbole i relacje mają interpretację odnoszącą się do konkretnych elementów modelowanego wycinka rzeczywistości. W procesie rozwiązywania zadań za pomocą modelowania matematycznego można rozróżnić kilka podstawowych etapów, a mianowicie: - sformułowanie celów modelowania, - wybór kategorii modelu i określenia jego struktury, - identyfikacja - algorytmizacja obliczeń, - weryfikacja obliczeń. Decyzje gospodarcze należą do tych, których konsekwencje rozpatrujemy w kategoriach zysków i strat, dlatego zanim je podejmiemy dokonujemy analizy sytuacji, ustalamy kryteria wyboru decyzji i poszukujemy rozwiązań optymalnych. Pomocne wówczas okazują się metody badań ilościowych prawidłowości występujących w zjawiskach ekonomicznych, które można byłoby najogólniej nazwać ekonometrią. W badaniach ekonomicznych wykorzystywane są różnorodne metody, wypracowane przez wiele dyscyplin matematyki, przede wszystkim analizę matematyczna, algebrę liniową, rachunek prawdopodobieństwa, statystykę matematyczną, programowanie matematyczne, badania 1

operacyjne, teorię procesów stochastycznych, równania różniczkowe i różnicowe, stochastyczne równania różniczkowe, analizę funkcjonalną, teorię grafów. Można przeprowadzić klasyfikację modeli, którymi posługujemy się w analizach ekonomicznych: 1. z punktu widzenia celu prowadzonej analizy wyróżniamy: - modele opisowe, które wyjaśniają istniejące zależności między zjawiskami gospodarczymi, - modele optymalizacyjne, pozwalające na dokonanie wyboru optymalnej decyzji; 2. z punktu widzenia zakresu prowadzonych badań wymieńmy: - modele w skali mikro (mikroekonomiczne) dotyczące np. działalności firm, - modele w skali mezo obejmujące np. gałąź przemysłu czy sektor gospodarki, - modele w skali makro (makroekonomiczne) dotyczące np. gospodarki narodowej, światowej itp.; 3. ze względu na rolę czasu w prowadzonych analizach mówimy o: - modelach statycznych, w których pominięto czynnik czasu, - modelach dynamicznych, w których czynnik czasu odgrywa aktywną rolę i uwzględnione są zmiany w czasie rozpatrywanego zjawiska; 4. Z punktu widzenia analitycznej postaci związku występującego miedzy zmiennymi wyróżniamy: - modele liniowe, kiedy opisując proces czy zjawisko ekonomiczne posługujemy się funkcją liniową, - modele nieliniowe w pozostałych przypadkach.; 5. biorąc pod uwagę rodzaj zmiennych i parametrów występujących w modelu mówimy o: - modelach deterministycznych, jeżeli wszystkie zmienne i parametry są nielosowe, - modelach stochastycznych, kiedy w zbiorze zmiennych lub parametrów modelu występuje przynajmniej jedna zmienna losowa. Modelowanie matematyczne obecne jest w makro i mikroekonomii, zarządzaniu przedsiębiorstwem, marketingu, logistyce ekonomicznej, ekonomice transportu, zarządzaniu regionalnym, finansach, bankowości i ubezpieczeniach. Listę szczegółowych dziedzin można byłoby znacznie wydłużyć. Powyższe uwagi uzasadniają istnienie ścisłego związku między wieloma dziedzinami matematyki a ekonomią. 2

Rozwój zastosowań matematyki w ekonomii na Akademii Ekonomicznej w Katowicach Rozwój zastosowań matematyki w ekonomii na Śląsku związany jest z działalnością grupy matematyków, głównie absolwentów matematyki Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach, zatrudnionych na Akademii Ekonomicznej w Katowicach (nazywanej dalej w skrócie AE w Katowicach). Osoby te po uzyskaniu dyplomu magistra matematyki, w swej dalszej karierze zawodowej zajmowały się pracą naukową, związaną z zastosowaniem różnych narzędzi matematycznych w ekonomii i zarządzaniu, jak również dydaktyka matematyki oraz przedmiotów, nazywanych umownie metodami ilościowymi. Na początku lat siedemdziesiątych w Instytucie Ekonometrii powstał Zakład Matematyki, z którego w roku 1975 wyodrębnił się Zakład Programowania Matematycznego. W obu tych zespołach na początku lat osiemdziesiątych pracowało około 20 osób z wykształceniem matematycznym. W skład tej grupy wchodzili między innymi: Piotr Chrzan, Donata Kopańska-Bródka, Jerzy Mika, Zygmunt Przybycin, Elżbieta Stolarska, Włodzimierz Szkutnik, Tadeusz Trzaskalik, Grażyna Trzpiot, Henryk Zawadzki, Wymienione powyżej osoby uzyskiwały kolejne stopnie naukowe doktora i doktora habilitowanego w zakresie nauk ekonomicznych. Kilka z nich uzyskało tytuł profesora nauk ekonomicznych. W dalszej części tej pracy przedstawiony zostanie ich dorobek naukowy z uwypukleniem jego związków z matematyką. Przedstawione zostaną wybrane problemy, których rozwiązanie stanowiło podstawy awansu naukowego tych osób, a także noty biograficzne, ukazujące ich działalność naukową, dydaktyczną i organizacyjną. Stopień szczegółowości opisu uzależniony jest od merytorycznej zawartości materiałów, dostarczonych przez te osoby autorowi niniejszego opracowania. Wraz z upływem czasu jednostki organizacyjne AE w Katowicach, zatrudniające matematyków ulegały kolejnym przekształceniom. Aktualnie matematycy zatrudnieni są w Katedrze Matematyki na Wydziale Zarządzania, której kierownikiem jest prof. dr hab. J.Mika, w Katedrze Matematyki Stosowanej na Wydziale Finansów i Ubezpieczeń, którą kieruje prof. AE dr hab. P.Chrzan oraz w Katedrze Badań Operacyjnych, kierowanej przez prof. dr hab. T.Trzaskalika. Ponadto matematycy zatrudnieni są również w Katedrze Ekonometrii, Katedrze Statystyki oraz Katedrze Informatyki. 3

Omówienie wybranych zastosowań Dynamiczne modelowanie ekonometryczne Spośród wielu podejść do badania zjawisk i procesów społeczno-gospodarczych na uwagę zasługuje podejście ekonometryczne. Klasyczne podejście ekonometryczne bazuje na cechach mierzalnych. podstawowym zadaniem ekonometrii jest badanie prawidłowości przejawiających się w powiązaniu wyróżnionych cech. Specyficznym narzędziem badawczym jest model ekonometryczny, a metody badawcze są kompilacją metod ekonomii i matematyki. Dzięki nim ekonometria odkrywa takie własności zjawisk i procesów zachodzących w otaczającym świecie, które bez niej nie byłyby poznane. Rozwój ekonometrii przejawia się w dwóch zasadniczych płaszczyznach i polega na rozszerzaniu pola badań na coraz szerszy krąg zjawisk i procesów oraz rozwoju podstaw teoretycznych rozumianych jako ogół stosowanych modeli i metod ich konstrukcji, estymacji, a także szeroko pojętego wnioskowania. Obie płaszczyzny rozwoju ekonometrii wzajemnie na siebie oddziaływają. Ponadto dotychczasowe wyniki badań pozwalają na pewne uogólnienia formułowanie twierdzeń teorii ekonometrii oraz praw i zasad jej stosowania. Tak rozumiane uogólnienia odnosi się do monografii E.Stolarskiej 1. Sposób prezentacji badanego, liniowego modelu zgodny jest z ogólnie przyjętą zasadą, a więc w pierwszej kolejności znajdujemy uzasadnienie dynamicznej postaci modelu i jego specyfikację, następnie wyczerpującą dyskusję formalnych własności modelu, w końcu szeroko rozumiane wnioskowanie obejmujące interpretację oraz kierunki praktycznego wykorzystania modelu. Dynamiczna postać modelu wynika z samej istoty przedmiotu badań zjawisk i procesów społeczno-ekonomicznych. Dobór zmiennych do modelu powinien następować w wyniku współpracy konstruktora modelu i jego użytkownika. Również w wyniku tej współpracy powinny być ustalone relacje bezpośredniego i pośredniego oddziaływania zmiennych oraz lista zmiennych wyjaśnianych przez model. Następnie, wykorzystując metody teorii grafów konstruktor modelu specyfikuje jego postać analityczną.. Tak powstaje strukturalna postać modelu. Formalnie jest to układ stochastycznych liniowych równań różnicowych. 1 E.Stolarska (1987) Dynamiczne modele ekonometryczne. Własności i zastosowania. PWN, Biblioteka ekonometryczna. 4

Istotną część monografii stanowią rozważania o formalnych własnościach dynamicznych modeli ekonometrycznych. Rozważa się cztery postacie modeli (postać strukturalną, postać zredukowaną, formę końcową, równanie końcowe), przy czym nie są one traktowane w oderwaniu, ale wszystkie składają się na całość modelu. Wszystkie te postaci są ze sobą ściśle powiązane. Również pomiędzy ich parametrami zachodzą ustalone zależności. Oryginalne podejście Autorki polega właśnie na wskazaniu konieczności posługiwania się wszystkimi postaciami w stosowanym zakresie. Jej zasługą jest przede wszystkim sformułowanie twierdzeń o warunkach istnienia poszczególnych postaci oraz wprowadzenie związków między parametrami różnych postaci modelu. Wykorzystano tutaj metody algebry liniowej i teorii rozwiązywania równań różnicowych. Uzyskane wyniki pozwalają na uchylenie klasycznych już twierdzeń ekonometrii dotyczących istnienia postaci zredukowanej i identyfikacji modelu. Na szczególną uwagę zasługują twierdzenia traktujące o istnieniu postaci zredukowanej, istnieniu formy końcowej i istnieniu równania końcowego, a także opis powiązań pomiędzy parametrami poszczególnych postaci modelu. W rozwiązaniu równań różnicowych zastosowano podejście pierwiastków charakterystycznych. Z tego punktu widzenia istotna jest macierz zbudowana z parametrów stojących przy opóźnionych zmiennych endogenicznych w postaci zredukowanej. Wartości własne i wektory własne tej macierzy wprowadzono do zapisu analitycznego formy końcowej i równania końcowego uzyskując tym samym możliwość analizy ich rozwiązań, zwłaszcza rozwiązania równania końcowego. Takie podejście dało podstawy interpretacji równania końcowego jako równania ruchu. Ponadto pojęcie stabilności w rozumieniu własności rozwiązania równania różnicowego mogło być w uzasadniony sposób przeniesione do ekonometrii jako pojęcie stabilności układu. Z punktu widzenia praktycznego wykorzystania prezentowanych modeli ważna jest ich interpretacja, a szczególnie interpretacja parametrów. W tym zakresie starano się uporządkować i ujednolicić między innymi pojęcia mnożników bezpośrednich, pośrednich i całkowitych. Traktowanie równania końcowego jako równania ruchu pociąga za sobą odpowiednią interpretację parametrów tego równania i jego rozwiązania. Zbudowany i oszacowany model ekonometryczny jest podstawą do wnioskowania o przewidywanym kształtowaniu się zjawisk i procesów w przyszłości. Stosując podejście klasyczne uwypuklono w nim predyktywne własności formy końcowej przedstawiając dyskusję na temat założeń klasycznej teorii predykcji ekonometrycznej, a następnie przedstawiono rozwiązanie predykcji nieobciążonej na podstawie formy końcowej i równania końcowego. 5

W pracy zaproponowano postać zadania sterowania, którego zmienne odpowiadają zmiennym modelu ekonometrycznego. Ponadto na uwagę w zasługuje oryginalny prosty sposób konstrukcji postaci zredukowanej, który jest przydatny szczególnie w przypadku dużych modeli. Wykorzystując wyniki własnych badań empirycznych głównie w zakresie budowania ekonometrycznych modeli gospodarki narodowej Polski Autorka pokazała przykłady praktycznych zastosowań prezentowanych modeli. Należy do nich konstrukcja postaci zredukowanej do 14-równaniowego modelu gospodarki Polski oraz model inwestycji produkcyjnych w postaci końcowej. Równania końcowe tego modelu są zinterpretowane jako równania ruchu. Modele optymalizacyjne problemów decyzyjnych w warunkach niepewności Modele optymalizacyjne problemów decyzyjnych w warunkach niepewności rozpatrywane ą przez W.Szkutnika 2 Autor rozwija szczegółowo problematykę niepewności w rozdziale pierwszym książki, rozróżniając warunki niepewności i warunki ryzyka. W rozdziale drugim omawia modele podejmowania decyzji. Wykazano m.in. szczególną własność teorii decyzji statystycznych Walda w odniesieniu do zadań programowania stochastycznego, a mianowicie, że jeśli decyzja zostanie podjęta bez dokonania obserwacji, co odpowiada przypadkowi, gdy zadanie programowania stochastycznego ma charakter perspektywiczny, to decyzja bayesowska względem rozkładu a priori odpowiedniego parametru będącego symptomem stanu otoczenia będzie optymalna. Ma to swoje praktyczne i teoretyczne interesujące konsekwencje względem indywidualnych obserwacji pewnej zmiennej losowej, które w pośredni sposób mają znaczenie dla problemu decyzyjnego, nie powodując jego zmiany, a umożliwiając wyznaczenie strategii bayesowskiej zależnej od tej indywidualnej obserwacji bez konieczności poznawania strategii, gdyby zaobserwowano jakąś inną indywidualną obserwację. 2 W.Szkutnik (1993). Optymalizacja w warunkach niepewności. Podejście statystyczne w programowaniu stochastycznym i zastosowania ekonomiczne Prace Naukowe AE w Katowicach. 6

Zasadniczym tematem rozważań prowadzonych w omawianej pracy są zadania programowania stochastycznego z klasy E modeli ze statystycznymi ograniczeniami. które w ogólnej postaci można zapisać następująco: l( E( ). E( A), E( b)) max E przy ograniczeniach E [ f ( x, )] A, b [ g i x 0 ( x, A, b) 0 (1) gdzie n R jest wektorem losowym, A mn n R, b R także są losowymi wielkościami odpowiednio macierzą i wektorem. Podstawowym kryterium stosowanym przy wyznaczaniu (, ) - rozwiązania zadania (1) jest relacja: P l( E( ), EA), E( b)) l(, A, b (2) gdzie, A,b są oszacowaniami odpowiadających im wartości oczekiwanych na podstawie prób losowych o zawierających odpowiednią liczbę obserwacji. Wektor utworzony z tych liczb obserwacji tworzy (, ) -ufny zbiór rozwiązalności zadania (1). Z uwagi na fakt, że odpowiednie wartości oczekiwane parametrów losowych zadania (1) nie są znane, oszacowania na podstawie próby stanowią wielkości losowe, co czyni relację (2) uzasadnioną ze względów probabilistycznych. W rozdziale trzecim rozważania dotyczą właśnie klasy liniowych E modeli ze statystycznymi ograniczeniami i wyznacza się tu analityczne opisy złożoności informacyjnej różnych podklas zadań liniowego programowania stochastycznego (ZLPS). Rozpatrywane są zadania: - z niezależnymi parametrami losowymi o dowolnym rozkładzie prawdopodobieństwa, - z niezależnymi parametrami losowymi o rozkładzie normalnym, - o parametrach tworzących układ zmiennych zależnych, - z wektorem parametrów o rozkładzie normalnym, - z losowym wektorem wyrazów wolnych. Prezentowany jest oryginalny algorytm wyznaczania rozwiązania (, ) - ufnego zadania ZLPS. Dla celów wyznaczenia (, ) - ufnego zbioru rozwiązalności zadania ZLPS będącego podstawą przy konstrukcji wyznaczania suboptymalnego rozwiązania zadania ZLPS wykazano istotne własności funkcji kryterium l z zadania (1). W szczególności wykazano 7

twierdzenie, znajdujące bezpośrednie zastosowanie przy wyznaczaniu analitycznej postaci zbiorów (, ) -ufnych rozwiązalności ZLPS. W twierdzeniu tym scharakteryzowana jest szczególna własność funkcji kryterium l. Zależy ona od wartości optymalnej następującego zadania programowania matematyczne przy ograniczeniach Postać tego twierdzenia jest następująca: Z min 1 s k 1, X l( ) l(, ) 1 2, 1 2 2 1 1 2 Twierdzenie.Jeśli wektory 1, 2 X oraz k k Z, to spełniona jest nierówność s k1 2 k 2 k 2 2 1 l ( ) l( ) W rozdziale czwartym przedstawiane są metody pośrednie i częściowo pośrednie wyprowadzone z metod rozwiązywania zadań ZLPS do rozwiązywania zadań nieliniowych. Ma to miejsce wówczas, gdy postać funkcjonałów funkcji celu i ograniczeń zadania jest nieliniowa i obserwowane wartości tych funkcjonałów lub one same są określone niejednoznacznie. Niejednoznaczność może być jednocześnie spowodowana przez dwa czynniki: niejawną postać zadanych funkcjonałów oraz zależność obserwowanych wartości funkcjonałów od pewnej grupy parametrów mających stochastyczny charakter. Oba czynniki determinują niepewność warunków optymalizacji. Istotnym problemem rozpatrywanym w rozdziale piątym jest wybór podejścia statystycznego w modelowaniu optymalizacyjnym. Zadania programowania stochastycznego formułowane w postaci E- modeli ze statystycznymi ograniczeniami lub modele z uśrednionymi ograniczeniami, nie zawsze są najbardziej adekwatne do zagadnień optymalizacyjnych, którego są opisem modelowym. To, że w większości przypadków decydujemy się na taką postać modelu wynika często z przesłanek pragmatycznych. Należy jednak pamiętać o powszechności tego typu modeli w rozwiązywaniu praktycznych zagadnień optymalizacji. Najczęściej opisy z uśrednionymi parametrami są stosowane w zadaniach formułowanych w postaci zdeterminowanej, w której uśrednione parametry przyjmowane są jako znane skądinąd wielkości. Tymczasem w większości przepadków uśrednione parametry są tylko ocenami statystycznymi nieznanych wartości oczekiwanych odpowiednich wielkości losowych. W takiej sytuacji pojawia się problem rozstrzygnięcia 8

kwestii dotyczącej relacji między wartością optymalną zadania z uśrednionymi parametrami, czyli zadań rozpatrywanych w pracy a wartością oczekiwaną losowej funkcji parametrów losowych funkcji kryterium zadań stochastycznych. Kwestia ta jest ważna i jej rozstrzygnięcie jest przydatne w wielu zagadnieniach praktycznych, szczególnie wtedy, gdy zachodzi potrzeba uzasadnienia podejścia statystycznego w modelowaniu optymalizacyjnym. Okazuje się to także ważne w analizie rozwiązań optymalnych zadań programowania stochastycznego oraz przy rozwiązywaniu wieloetapowych zdań programowania stochastycznego. W związku z naszkicowaną tu kwestią wykazano w pracy, że spełniona jest następująca relacja: E( ) l(( E( ), E( )) E( l(, ) E( ) E(max ) l( E( ), E( )) E(max ) gdzie, są parametrami w zadaniu programowania stochastycznego. W rozdziale szóstym prezentowana jest dziedzina aplikacji w sferze ekonomicznej. Szczególnie ważny wynik uzyskany w tym rozdziale dotyczy zmodyfikowanego zagadnienia regresji. Ten aspekt analizy łączy się z merytoryczną kwestią związaną z zasadnością faktu jednoczesnego występowania stacjonarnego związku między pewnymi zmiennymi losowymi przy jednoczesnym zróżnicowaniu charakterystyk rozkładu prawdopodobieństwa tych zmiennych w okresie istnienia tego stacjonarnego związku. Jest to problem co najmniej równoważny z tym, który można dostrzec w podejściu klasycznym w większości modelowanych zjawisk ekonomiczno - społecznych. W proponowanym tu podejściu zakłada się, że macierz obserwacji zmiennych objaśniających X jest próbą pochodzącą ze stacjonarnego wielowymiarowego procesu stochastycznego. W tym przypadku sposób dokonywania obserwacji powinien mieścić się w granicach schematu rozkładu k+1 wymiarowego stabilnego w czasie, co możliwe jest w klasycznej koncepcji funkcji regresji. Rozstrzygnięcia teoretyczne i aplikacyjne zamieszczone w omawianej pracy są próbą częściowego rozwiązania trudnych problemów programowania stochastycznego. Możliwe jest, co należy podkreślić, gdyż ostatnio zauważa się tendencję odchodzenia od rozstrzygnięć proponowanych w programowaniu stochastycznym, prowadzenie dalszych badań nad efektywnością uzyskanych w pracy wyników. Interesujące wydają się badania, nie tylko teoretyczne, dotyczące związków łączących różne podejścia w programowaniu stochastycznym z podejściem statystycznym oraz formalne opisy zagadnień nie w pełni określonych, np. w rozpoznawaniu obrazów w kontekście podejścia programowania stochastycznego. 9

Ujęcie wielokryterialne w dyskretnym programowaniu dynamicznym Za twórcę programowania dynamicznego uważa się amerykańskiego matematyka R Bellmana. Sformułował on zasadę optymalności, która pozwala na specyficzny sposób rozwiązania zadań metodą konstrukcji równań optymalności i wykorzystanie związków rekurencyjnych. Zadania programowania dynamicznego można klasyfikować w różnorodny sposób. W omawianych dalej pracach T.Trzaskalika 3 rozpatrzono wielokryterialne zadania deterministyczne ze skończoną, ustaloną liczbą etapów, w których zbiory stanów i decyzji w każdym etapie są zbiorami skończonymi. Zakładamy, że w każdym etapie uwzględniamy cele etapowe i odpowiadające im kryteria etapowe, natomiast dla całego procesu rozpatrujemy zbiór celów wieloetapowych, z których każdy jest złożeniem celów etapowych. Miarami stopnia realizacji celów wieloetapowych są kryteria wieloetapowe. Załóżmy, że interesujące nas zagadnienie zostało sformułowane w taki sposób, że uzasadnione staje się przyjęcie postulatu maksymalizacji każdego z rozpatrywanych celów wieloetapowych, które traktowane są równorzędnie. Odpowiadające im kryteria wieloetapowe traktujemy jako składowe wektorowej funkcji kryterium. Dążymy wówczas do jednoczesnej maksymalizacji wszystkich składowych tej funkcji. Zazwyczaj nie istnieje taka decyzja, dla której wszystkie składowe przyjmują jednocześnie wartości największe z możliwych. Dlatego też, wykorzystując koncepcję optymalności Pareto, decyzję uznamy za optymalną wektorowo, jeżeli przez wybór innej decyzji nie można zwiększyć wartości żadnej składowej wektorowej funkcji kryterium bez zmniejszenia wartości przynajmniej jednej z pozostałych składowych. Odpowiadające opisanemu powyżej sposobowi porównywania wektorów ocen struktury preferencji opisane są przez relację dominacji. Przyjmuje się, że rozwiązanie zadania wektorowej maksymalizacji polega na znalezieniu zbioru wszystkich rozwiązań sprawnych w przestrzeni decyzyjnej oraz odpowiadającego mu zbioru wektorów niezdominowanych w przestrzeni kryterialnej. Pokazano, że jeżeli spełnione są zaproponowane w omawianych pracach warunki etapowej separowalności i monotoniczności, wtedy możliwe jest zastosowanie dekompozycji zadania z wykorzystaniem wektorowej zasady optymalności Bellmana. Zdefiniowano multifunkcje wartości optymalnych, które poszczególnym stanom procesu przyporządkowują 3 T.Trzaskalik (1998) Multiobjective Analysis in Dynamic Environment. Prace naukowe AE w Katowicach. 10

niezdominowane wektory ocen dla procesów skróconych, odpowiednio rozpoczynających się lub kończących w tych stanach. Wykorzystując zaproponowany przez Autora algorytm oparty na metodzie podziału i oszacowań możemy dla każdego wektora ocen z przestrzeni kryterialnej znaleźć odpowiadającą mu realizację sprawną (lub zbiór takich realizacji) w przestrzeni decyzyjnej. Powtarzając tę procedurę dla wszystkich wyznaczonych uprzednio wektorów niezdominowanych otrzymamy pełny zbiór realizacji sprawnych. Trudności natury obliczeniowej sprawiają, że nie zawsze udaje się efektywnie wyznaczyć zbiory wszystkich rozwiązań w obu przestrzeniach. Są one ponadto zbyt liczne, by mogły być efektywnie wykorzystany przez decydenta. Tak więc istotnym zagadnieniem staje się problem znajdowania pewnych podzbiorów zbioru rozwiązań sprawnych, użytecznych dla decydenta w procesie podejmowania decyzji. Autor przedstawił możliwości znajdowania takich rozwiązań, do których należy: wykorzystanie kolejnych składowych wektorowej funkcji kryterium, poszukiwanie rozwiązań satysfakcjonujących (ε constraint method), wykorzystanie nieujemnej kombinacji składowych wektorowej funkcji kryterium. Punktem wyjścia generowania szczególnego podzbioru realizacji sprawnych może być ustalona realizacja procesu, wybrana przez decydenta. Pytamy wówczas, czy wybrana realizacja jest sprawna, a jeżeli nie jest, chcemy określić podzbiór realizacji sprawnych, które są lepsze od wybranej. Odpowiedź na te pytania daje zaproponowana procedura testowania sprawności wybranego rozwiązania i generowania zbioru rozwiązań dominujących je (o ile istnieją). Sformułowanie problemu wielokryterialnego jako zadania wektorowej maksymalizacji może nie odzwierciedlać w pełni preferencji decydenta. W pewnych przypadkach ujawnienie przez niego dodatkowych preferencji pozwala na takie ukierunkowanie poszukiwań, które daje w rezultacie rozwiązanie o własnościach postulowanych dla rozwiązania końcowego bez konieczności analizowania pełnego zbioru rozwiązań sprawnych. W pewnych sytuacjach decydent uznaje, że jedne cele wieloetapowe są ważniejsze od innych, przy czym możliwe jest ich uszeregowanie pod względem ważności. Tego rodzaju zadania hierarchiczne można rozwiązywać uwzględniając ścisłą hierarchię kryteriów. Chcąc uwzględnić wpływ wszystkich kryteriów wieloetapowych na wybór rozwiązania końcowego, decydent może sformułować swoje preferencje również w postaci quasi-hierarchii celów. Podaje wówczas dla poszczególnych kryteriów wieloetapowych wartości współczynników lub przedziałów tolerancji. Zaproponowane przez Autora procedury pozwalają na T.Trzaskalik Wielokryterialne dyskretne programowanie dynamiczne. Teoria i zastosowania w praktyce gospodarczej. Prace naukowe AE w Katowicach. 11

wyznaczenie rozwiązań zadań zarówno ze ścisłą, jak i quasi-hierarchią celów, uwzględniając konieczność testowania sprawności otrzymanych rozwiązań i ewentualną konieczność ich poprawienia. Innym proponowanym często sposobem podejścia do wyboru rozwiązania końcowego jest odwołanie się decydenta do pewnego punktu odniesienia. Decydent dąży wówczas do określenia takiego rozwiązania, dla którego odpowiadający mu wektor ocen leży w przestrzeni kryterialnej najbliżej tego punktu. Wymaga to dodatkowo zdefiniowania funkcji dystansowej, pozwalającej na mierzenie tych odległości. Funkcje dystansowe konstruowane są tak, że w określony sposób ważą odchylenia poszczególnych składowych wektora ocen rozpatrywanej realizacji od składowych wektora będącego punktem odniesienia. Jeżeli decydent wybrał jako punkt odniesienia idealny wektor ocen oraz za funkcję dystansową przyjął jedną z metryk L(p), to otrzymane zadanie jest problemem programowania kompromisowego. Innym podejściem jest sformułowanie zadania programowania celowego. Punktem odniesienia może być tutaj dowolny wektor z przestrzeni kryterialnej. Poszczególne odchylenia wektora ocen odpowiadających badanemu rozwiązaniu od składowych punktu odniesienia mogą mieć różne znaczenie dla decydenta, co zostaje uwzględnione w postaci funkcji dystansowej przez ustalenie odpowiednich współczynników wagowych. Wyznaczenie tych współczynników może nastręczyć pewnych trudności. W niektórych przypadkach może się okazać, że łatwiej jest określić hierarchię ważności postulowanych poziomów ocen, określonych przez przyjęty punkt odniesienia. Możemy wówczas rozpatrywać odchylenia wektorów ocen dla poszczególnych rozwiązań od składowych punktu odniesienia i sformułować odpowiednie zadanie programowania leksykograficznego, uwzględniające hierarchię tych odchyleń. Otrzymane zadania należą do klasy zadań hierarchicznego (leksykograficznego) programowania celowego. W omawianych pracach zaproponowano szereg procedur numerycznych, pozwalających na rozwiązanie zadań, opisanych powyżej. Również i w tym przypadku wykorzystywana jest niejednokrotnie procedura testowania sprawności otrzymanych rozwiązań. Oprócz wartości kryteriów wieloetapowych istotną rolę dla decydenta odgrywa struktura etapowa rozwiązania, przez którą rozumiemy wartości kryteriów etapowych dla rozpatrywanego rozwiązania. Decydent może mieć pewne wyobrażenie o pożądanej strukturze etapowej rozwiązania końcowego, co może się okazać trudne do formalnego opisania. Rozważania, dotyczące struktury etapowej rozwiązania końcowego połączono z omawianym uprzednio podejściem hierarchicznym oraz podejściem, wykorzystującym 12

funkcje dystansowe. Zagadnienia te analizowano w zależności od rodzaju separowalności i monotoniczności wektorowej funkcji kryterium. Szczegółowo opisanym w omawianych pracach przykładem zastosowania metod wielokryterialnego programowania dynamicznego w ekonomii jest problem planowania wielookresowego w obiekcie wytwórczym. W każdym z rozpatrywanych okresów wytwarzane są pewne asortymenty produkcji, produkty sprzedawane są zewnętrznym odbiorcom oraz może mieć miejsce rozwój obiektu poprzez uruchamianie nowych technologii. W kolejnych okresach muszą być spełnione ograniczenia związane z aktualnymi możliwościami produkcyjnymi, możliwościami zakupu materiałów, i sprzedaży produktów oraz możliwościami uruchomienia nowych technologii. Jako kryteria wieloetapowe przyjęto maksymalizację zysku, maksymalizację rozmiarów produkcji oraz minimalizację wykorzystania materiałów deficytowych. Do rozwiązania sformułowanych zadań wykorzystano głównie metody oparte na podejściu hierarchicznym. Noty biograficzne Piotr Chrzan ukończył studia matematyczne na Uniwersytecie Śląskim w Katowicach w roku 1971. Doktor nauk ekonomicznych (1979), doktor habilitowany nauk ekonomicznych (1990). Jest autorem lub współautorem około 60 opublikowanych prac naukowych z zakresu zastosowań matematyki w ekonomii, finansach i ubezpieczeniach (programowanie stochastyczne, ekonometryczne modele gospodarki, procesy decyzyjne markowa, sieci neuronowe, matematyka finansowa, analiza aktuarialna). Obecnie swoje zainteresowania naukowe koncentruje wokół zagadnień, związanych z zarządzaniem ryzykiem w instytucjach finansowych i ubezpieczeniowych. W latach 1993-1999 pełnił funkcję prorektora AE w Katowicach, w latach 1994-1999 był kierownikiem Zakładu Matematyki Stosowanej Katedry Ekonometrii, natomiast od roku 2000 jest kierownikiem Katedry Matematyki Stosowanej. Ważniejsze publikacje Książki Łańcuchy decyzyjne Markowa i ich zastosowania w ekonomii. Prace naukowe AE w Katowicach, 1990. Ubezpieczenia na życie. Analiza aktuarialna, AE w Katowicach, 1998. 13

Matematyka finansowa. Podstawy teorii procentu. Wydanie I Giga-Net, Sp.zo.o. Katowice, 1999. Wydanie II Wydawnictwo Oikonomus Katowice 2001 Artykuły Wykorzystanie rozkładów z próby dla poszukiwania rozwiązań optymalnych zadań programowania probabilistycznego. Przegląd Statystyczny, Tom 28, nr 1-2, 1981, s.29-38. Model Howarda dla niejednorodnego okresowego łańcucha Markowa. Część I. Zadanie optymalizacji jednorodnego łańcucha Markowa. Przegląd Statystyczny, Tom 35, nr 2, s.187-200. Część 2. Dekompozycja zadania optymalizacji niejednorodnego okresowego łańcucha Markowa. Przegląd Statystyczny, Tom 35m., nr 3, 1988, s. 267-281. Wybrane metody doboru współczynnika uczenia w sieciach neuronowych. Studia Ekonomiczne Badania Operacyjne, AE w Katowicach nr 12/2000, s.53-65 współautor G.Timofiejczuk). Donata Kopańska-Bródka ukończyła studia matematyczne na Uniwersytecie Śląskim w Katowicach w roku 1974. Odbyła dwa długoterminowe staże naukowe: w Institut fur Okonometrie w Technische Universitat w Wiedniu oraz w Business School of Texax Christian University w Fort Worth (USA). Doktor nauk ekonomicznych (1982), doktor habilitowany ekonomii (1991), profesor nauk ekonomicznych (2002).W swoich pracach naukowych zajmuje się problemami optymalizacyjnymi i ich zastosowaniami w zagadnieniach ekonomicznych, głównie programowaniem stochastycznym, prognozami dyskryminacyjnymi i teorią portfela. Od roku 1993 jest kierownikiem Zakładu Badań Operacyjnych, początkowo w katedrze Ekonometrii, a obecnie w Katedrze Badań Operacyjnych. Ważniejsze publikacje Książki Metody stochastycznego programowania liniowego i ich praktyczne zastosowania w badaniach ekonomicznych, Prace Naukowe AE w Katowicach, 1991 Wprowadzenie do badań operacyjnych, AE w Katowicach, 1996 Optymalne decyzje inwestycyjne, Prace Naukowe AE w Katowicach, 1999. Artykuły Ekwiwalentność pewnych zadań stochastycznego programowania liniowego i jej ekonomiczne znaczenie. W: Modele decyzyjne w warunkach niepełnej informacji. Prace Naukowe AE we Wrocławiu 1988 nr 413, s. 7-13. Probabilistyczne podejście do problemu stochastycznego programowania liniowego, Badania Operacyjne i Decyzje 1992 nr 3, 27-32. Model wyboru portfela z warunkami minimalnych udziałów, Studia Ekonomiczne Badania Operacyjne, AE w Katowicach 2000, nr 12, s.107-115. 14

Jerzy Mika ukończył studia matematyczne na Uniwersytecie Śląskim w Katowicach w roku 1973. Doktor nauk ekonomicznych (1980), doktor habilitowany nauk ekonomicznych (1990), profesor nauk ekonomicznych (1999). W swych pracach naukowych zajmował się metodologią badań operacyjnych i ekonomicznymi zastosowaniami programowania matematycznego, metodologia analiz porównawczych procesów gospodarczych i społecznych transformowanej gospodarki polskiej z gospodarkami krajów Unii Europejskiej. Jest autorem i współautorem 11 skryptów uczelnianych z zakresu programowania matematycznego, badań operacyjnych, matematyki oraz zastosowań rachunku macierzowego, rachunku różniczkowego i rachunku całkowego w ekonomii. W latach 1991-1993 pełnił funkcje prodziekana, a w latach 1993-1999-dziekana Wydziału Zarządzania. Od roku 1993 jest kierownikiem Zakładu Zastosowań Matematyki, najpierw w Katedrze Ekonometrii, a następnie o od roku 1999 w Katedrze Matematyki. pełniąc jednocześnie funkcję kierownika tej katedry. Ważniejsze publikacje: Książki Elementy teorii metod macierzy pseudoodwrotnych w programowaniu liniowym, AE w Katowicach, 1983. Uogólnione rozwiązania i korekcja sprzecznych modeli optymalizacyjnych we wspomaganiu procesów podejmowania optymalnych decyzji ekonomicznych. Prace Naukowe AE w Katowicach, 1990. Perspektywy integracji Polski z Unią Europejską, Prace Naukowe AE w Katowicach, 1997. Elementy matematyki dla studentów ekonomii i zarządzania podręcznik akademicki, AE w Katowicach, 2001. Artykuły O pewnej wersji metody macierzy pseudoodwrotnych w programowaniu liniowym. Przegląd Statystyczny nr 1-2, 1982, s.249-254. O optymalizacji wielookresowej na podstawie ekonometryczno-symulacyjnego modelu gospodarki Polski, W: Makromodele gospodarki i ich zastosowania, Prace Naukowe AE w Katowicach, 1988, s.335-366. Optymalne uogólnione rozwiązania zadań programowania matematycznego z liniowym układem warunków ograniczających w procesach wspomagania podejmowania decyzji. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej w Gliwicach, Seria: Zarządzanie, Nr 32, 2000, s.101-126. Zygmunt Przybycin ukończył studia matematyczne w Wyższej Szkole Pedagogicznej w Katowicach w roku 1967. Doktor nauk ekonomicznych (1975), doktor habilitowany nauk ekonomicznych. W swoich pracach naukowych zajmował się początkowo systemami masowej obsługi w aspekcie osłabienia niektórych założeń co do strumienia zgłoszeń, czasu obsługi oraz niezawodności urządzeń obsługi, następnie zaś estymatorami (oraz ich 15

własnościami) podstawowych charakterystyk pola losowego funkcji wartości oczekiwanej oraz funkcji korelacyjnej. Równolegle prowadzi badania w obszarze ryzyka finansowego w kontekście zarządzania ryzykiem. Od roku 1993 pełni funkcję kierownika Zakładu Matematyki, początkowo w Katedrze Ekonometrii, a od roku 2000 w Katedrze Matematyki. Ważniejsze publikacje Książki Zastosowanie pól losowych w ekonomicznych modelach przestrzennych. Prace naukowe AE w Katowicach, 1992. Statystyka przestrzenna wybrane zagadnienia, AE w Katowicach, 1995. Metody reprezentacyjne w badaniu sprawozdań finansowych, Stowarzyszenie Księgowych w Polsce, Warszawa 1996. Artykuły Estymatory klasy f współczynników regresji liniowej stacjonarnego pola losowego. Zeszyty Naukowe AE w Katowicach 1995, s.45-60. Przestrzenne modele regresji liniowej.. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej 1999 nr.6. Metody reprezentacyjne w badaniach ekonomicznych pól losowych. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej 2000, nr.2 Elżbieta Stolarska w roku 1965 ukończyła studia matematyczne w Wyższej Szkole Pedagogicznej w Opolu. Doktor nauk ekonomicznych (1973), doktor habilitowany nauk ekonomicznych (1988). W swoich pracach naukowych zajmowała się ekonometrycznymi metodami predykcji wykonania wieloletnich planów gospodarczych oraz dynamicznymi modelami ekonometrycznymi. W latach 1975-1984 pełniła funkcję kierownika Zakładu Programowania Matematycznego, w latach 1991-92 była kierownikiem Zakładu Badań Operacyjnych w Katedrze Ekonometrii. W latach 1990-91 pełniła funkcję prorektora AE w Katowicach. Była członkiem PTM. Zmarła 28 kwietnia 1992. Ważniejsze publikacje Książki Algebra liniowa dla ekonometryków. Praca zbiorowa pod red. E.Stolarskiej, PWN Warszawa 1979. Zbiór zadań z algebry liniowej dla ekonometryków. Praca zbiorowa pod red. E.Stolarskiej, PWN, Warszawa 1986. Ekonometryczny model gospodarki Polski MESI. Praca zbiorowa pod red. E.Stolarskiej. Prace naukowe AE w Katowicach, 1987. Dynamiczne modele ekonometryczne. Własności i zastosowania. PWN Warszawa 1987. 16

Włodzimierz Szkutnik ukończył studia matematyczne w roku 1974 na Uniwersytecie Śląskim w Katowicach. Doktor nauk ekonomicznych (1982), doktor habilitowany nauk ekonomicznych (1993). W swoich pracach naukowych zajmował się programowaniem stochastycznym, statystyka i ryzykiem ubezpieczeniowym. Od roku 2002 jest kierownikiem Zakładu Matematyki Aktuarialnej w Katedrze Matematyki. Ważniejsze publikacje: Książki Optymalizacja w warunkach niepewności. Prace naukowe AE w Katowicach, 1993. Wybrane modele zarządzania ryzykiem ubezpieczeniowym w ujęciu probabilistycznym. Prace naukowe AE w Katowicach, 2003. Artykuły O rozwiązaniu zadań stochastycznego programowania liniowego jako liniowych E-modeli ze statystycznymi ograniczeniami. Przegląd Statystyczny 1985, t.32, nr 22, 137-150. Statystyczny wariant wyboru strategii tworzenia portfela akcji. W: Systemy wspomagania decyzji grupowych. Prace naukowe AE we Wrocławiu, 1996, nr 417, s.133-140. Klasa nieliniowych zagadnień wypukłych programowania stochastycznego. W: Modelowanie preferencji a ryzyko 99, pod red. T.Trzaskalika, AE w Katowicach 1999, s. 377-384. Tadeusz Trzaskalik ukończył studia matematyczne na Uniwersytecie Śląskim w roku 1973. Doktor nauk ekonomicznych (1980), doktor habilitowany nauk ekonomicznych (1991), profesor nauk ekonomicznych (1999). W swoich pracach naukowych zajmował się zastosowaniem programowania matematycznego i badań operacyjnych (w tym głównie programowania dynamicznego i wielokryterialnego) w ekonomii i zarządzaniu. Autor i redaktor licznych pozycji dydaktycznych z zakresu matematyki, programowania matematycznego i badań operacyjnych. Inicjator i kierownik naukowy ogólnopolskiej konferencji naukowej Modelowanie preferencji a ryzyko, organizowanej od roku 1998, integrującej środowisko matematyków zajmujących się zastosowaniami matematyki w ekonomii i ekonometryków. W latach 1996-99 pełnił funkcje prorektora od roku 1999 jest kierownikiem uczelnianego studium doktoranckiego. Od roku 1991 pełni funkcję kierownika Zakładu Zastosowań Informatyki w Badaniach Operacyjnych, a od roku 1999 jest kierownikiem Katedry Badań Operacyjnych. Członek PTM od roku 1987, a latach obecnie członek Zarządu Oddziału Górnośląskiego PTM, od roku 2000- przewodniczący Komisji Matematyki dla Studiów Ekonomicznych Zarządu Głównego PTM. 17

Ważniejsze publikacje Książki Wielokryterialne dyskretne programowanie dynamiczne. Teoria i zastosowania w praktyce gospodarczej. AE w Katowicach 1990 Multiobjective Analysis in Dynamic Environment, AE w Katowicach 1999 Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem podręcznik akademicki. PWE 2003. Artykuły Wielookresowe planowanie produkcji w przedsiębiorstwie jako deterministyczne zadania programowania liniowego, Przegląd Statystyczny 1980, 7.27, nr 1-2, s.157-172. Hierarchical Approach to Multi-Criteria Dynamic Programming. Information Systems and Operational Research INFOR, 1992, vol.20 no 2, s.138-147. Odwrotne dominacje stochastyczne i ich zastosowanie w sterowaniu procesem produkcyjnym. Przegląd Statystyczny nr ¾, s.425-442 (współautorzy: M.Nowak, G.Trzpiot, K.Zaraś). Grażyna Trzpiot ukończyła studia matematyczne na Uniwersytecie Śląskim w roku 1982. Doktor nauk ekonomicznych (1991), doktor habilitowany nauk ekonomicznych (2000). Jej zainteresowania badawcze dotyczą komputerowych implementacji metod analizy danych, wykorzystania multifunkcji w modelowaniu procesów ekonomicznych, ryzyka na rynkach kapitałowych, zastosowania metod ilościowych w opisie efektywności specjalizacji Polski w handlu międzynarodowym, wielowartościowych zmiennych losowych ich własności i zastosowań w ekonomii, w tym na rynkach kapitałowych, modelowania wielowartościowego w aspekcie wielowymiarowym. Jest czlonikiem PTM (w latach 1999-2001 była członkiem Zarządu Oddziału Górnośląskiego). Ważniejsze publikacje Książki Modelowanie preferencji z wykorzystaniem dominacji stochastycznych. AE w Katowicach, 1998 (wspołautorzy: T.Trzaskalik, K.Zaraś) Wielowartościowe zmienne losowe w badaniach ekonomicznych, Prace Naukowe AE Katowice, 1999. Przykłady analiz statystycznych z wykorzystaniem arkusza kalkulacyjnego Microsoft Excel, AE Katowice 2002. Artykuły Multivalued limit laws applied to stochastic optimization. Random Operators and Stochastic Equations, vol. 3, no 4, 1995, 309-314. Algorytm wyznaczania dominacji stochastycznych stopnia trzeciego. Badania Operacyjne i Decyzje nr 2, 1999, 75-85 (współautor K.Zaraś) 18

Wielowartościowe dominacje probabilistyczne i stochastyczne w podejmowaniu decyzji inwestycyjnych. W: Rynek kapitałowy. Wydawnictwo naukowe Uniwersytetu Szczecińskiego, 205-218. Henryk Zawadzki ukończył studia matematyczne na Uniwersytecie Śląskim w Katowicach w roku 1974. Doktor nauk ekonomicznych (1983) doktor habilitowany nauk ekonomicznych (1997). W latach 1999-2002 pełnił funkcję prodziekana na Wydziale Zarządzania. Jego zainteresowania badawcze dotyczą dynamiki ekonomicznej, chaosu deterministycznego, zastosowania systemów algebry komputerowej (zwłaszcza programu Mathematica ) w rozwiązywaniu problemów obliczeniowych ekonomii matematycznej i matematyki finansowej. Jest członkiem PTM. Ważniejsze publikacje Książki Chaotyczne systemy dynamiczne. Elementy teorii i wybrane przykłady ekonomiczne. Prace Naukowe AE w Katowicach, 1996. Zbiór zadań z matematyki dla studentów ekonomii (współautor G.Trzpiot), GWSH, Katowice 1996. 19