Zzyty Tortycz Racuoości, tom 70 (6, SKP, Warzaa 03,. 9 39. O optymalizacji rozmiaru próby artoj baaiu iarygoości praozań Jauz L. Wyiał Wproazi Pocza proazia baań auytoyc populację oumtó ięgoyc moża zilić a popopulacj za artami. W zczgólości o aj arty alżą fatury orślogo typu. Wócza clu proazia toogo iooaia tatytyczgo o paramtrac populacji zalca ię oob looai bzzrot prób protyc z art, tór tratoa łączi ą azya próbą artoą. Pojaia ię tu problm racjoalgo utalaia rozmiaró prób looayc z pozczgólyc art, co czyi ię róży poób, zyl z uzglęiim oztó poozoyc a t cl. Zyl utala ię opuzczalą umę rozmiaró prób, jai bęą looa z art, co jt trmioa oztami aaliz ylooayc o ic oumtó. Wócza moża z ażj arty looać tę amą liczbę oumtó, albo liczbę oumtó proporcjoalą o rozmiaró art, albo poób optymaly uzglęiający ołaość iooaia tatytyczgo oraz ozt aaliz oumtó obrayc o próby. W ońcu przy utaloj liczbości próby artoj utala ię ta ic rozmiary pozczgólyc prób looayc z art, aby ołaość tymacji śrij populacji była miimala. Ta formułoa zaaia za ą optymalymi ariatami yzaczaia rozmiaró prób łaoyc próby artoj. Tgo typu zaaia alżą o layczyc zagaiń aalizoayc zial tatytyi zaym mtoą rprztacyją. W litraturz polij t zagaiia moża zalźć p. iążac Bracy (996, Karlińigo (005 i Wyiała (00. W iijzj pracy róiż zajmimy ię pym optymalym poobm utalaia rozmiaru próby artoj, lcz pym i jt oo orotym o jgo z yżj azicoayc zaań optymalizacyjyc. Polga oo a miimalizacji oztó obracji i orty zmij baaj próbac looayc z art, lcz przy utaloyc ryzyac przyjęcia ipraiłogo praozaia ięgogo oraz ryzyu orzucia praiłogo praozaia ięgogo. Jt to głóy cl iijzj pracy. Zamiar t bęzi zralizoay za pomocą opoiic mto zapożyczoyc z torii tatytyi matmatyczj. W ogólości, z formalgo putu izia jt to problm optymalizacji rozmiaró prób loo- Prof. r ab. Jauz L. Wyiał, Katra Statytyi Uiryttu Eoomiczgo Katoicac, -mail: jauz.yial@u.atoic.pl
30 Jauz L. Wyiał ayc z art clu ryfiacji ipotzy tatytyczj o popraości praozaia ięgogo. Potaio zaai bęzi roziąza poprzz aaptację lub moyfiację zayc mto iooaia tatytyczgo z uzglęiim procur optymalgo yzaczaia rozmiaró prób tatytyczyc.. fiicj i ozaczia potao Populację oumtó ozaczamy przz U, a yróżio ij iput i rozłącz arty przz U, =,,. Liczbę oumtó torzącyc -tą artę przz, =,,. Próbę protą looaą bzzroti z -tj arty ozaczamy przz, =,,, a umę tyc prób przz. Symbolm ozaczamy rozmiar -tj próby, a przz rozmiar próby, czyli. Korzytając z fiicji użyayc p. artyul (Pal o otaar Mixtur of itributio, 989 proazamy atępując orślia. Obroa (zarjtroa oty ięgo oumtó (boo (rcor amout, ozaczamy przz x, =,, i tratujmy j jao artości zmij x. W zczgólości mamy tu a myśli p. otę piięzy, za tórą upioo uługi lub toary iijąc a faturz. W yiu przproazoj otroli i tualyc ort uzyuj ię orygoa (popraio oty (auit (corrct amout y, =,,, tór ą artościami zmij y poiązaj z zmią x za pomocą yrażia: x = y +, =,, (, gzi przz ozaczoo błą ięgoy (rror amout. ic tgo typu błęy bęą artościami zmij. Wzór ( prztuj pozci bray po uagę mol aytyy groaia ię błęó ięgoyc. oajmy jzcz, ż iijzj pracy obroa populacji oumtó artości zmiyc x, y i ą tratoa jao z góry utalo. Clm iooaia tatytyczgo ą śria lub artość globala błęó ięgoyc (rror of t boo balac of t accout, yzacza opoiio a potai zoró:, ~. Opoiaając im paramtry artac ą atępując: U Wariację błęó orśla zór: ~, =,,.,
O optymalizacji rozmiaru próby artoj baaiu iarygoości praozań 3 U, =,,. Paramtry i ~ zacuj ię za pomocą tymatoró:, ~ ( przy czym:,, =,,. Użyając tymatoró, ~ o ocy artości opoiio paramtró i ~ i popłiamy błęó ytmatyczyc, czyli oraz ~ ą iobciążoym tymatorami opoiio i ~. Wariacj tyc tymatoró ą potaci:, ~ (3. Zatm p. możli ocy artości globalj błęó ~ ocylają ię o zacoago paramtru ~ przcięti o artość. ~ Paramtry i ~ zacuj ię za pomocą tatyty:, ~ (4 gzi:.. Baai iarygoości praozaia W clu uprozczia alzyc rozażań, co byajmij i umijza ogólości otrzymayc yió, załaamy, ż 0, la =,,. W zczgólości ozacza to, ż ota ięgoa oumtu x zotała zayżoa touu o jj orygoago poziomu y o błą, =,,, co yia z zoru (. Wócza globala ota ięgoa populacji (populatio boo amout x ~ przracza o-
3 Jauz L. Wyiał rygoaą globalą otę ięgoą populacji (populatio auit (corrct amout ~ y o poziom ~, czyli ~ ~ x ~ y. oajmy, ż orygoaą globalą otę ~ y uzyalibyśmy yiu otroli (auytu zytic oumtó. Liczba tyc oumtó moż być pratyc barzo uża, co ylucza możliość otroloaia ażgo z ic z ooba. latgo czyi ię to a potai próby. Kotrolrzy ą tai tolroać fat, ż artość globala błęó ~ ocyla ię o zra o pi opuzczaly poziom 0 > 0. Z oli ża poób i ą tai acptoać iopuzczalgo poziomu > 0 błęu. Ja paramtr ~ i jt zay, a jyi jgo oca ~. Wócza po to, aby pojąć cyzję o przyjęciu bąź iprzyjęciu praozaia, przproaza ię potępoai proazając ię o ryfiacji atępującj ipotzy tatytyczj: : ~ 0 0, : ~ 0 (5. ipotza prazaa 0 głoi, ż praozai ięgo jt iarygo, poiaż uma błęó ~ i przracza opuzczalgo poziomu 0. Z oli ipotza prazaa głoi, ż praozai ięgo i jt iarygo, poiaż uma błęó ~ przracza iopuzczaly (yalifiujący poziom. Zapia zorm (5 ipotzy ą róoaż atępującym: :, 0 0 : 0, ~ 0 ~ przy czym: 0,. Rozażay przypa moż otyczyć p. praozań z plaoayc yató itycyjyc. Wócza częto mamy o czyiia z łoością o zayżaia plaoaj umy ~ x tgo typu yató touu o poprai zaplaoayc ytarczającyc yató ~ y. Z oli przypau otroli p. praozań poatoyc alży poziać ię orotj ytuacji, czyli alża (praiłoo yzaczoa uma poató ~ y bęzi i mijza o laroaj ~ x. Zatm tym przypau umę błęó fiiujmy różicą: ~ ~ y ~ x. Rozażmy jzcz problm otroli praozań bilaoyc. W tym przypau pozczgólyc pozycjac praozaia i poiy ytępoać ai oati, ai ujm ocylia tirzoyc (obroayc częścioyc um o ic praiłoyc poziomó. Wócza globalą umę błęó fiiuj ię yrażim: ~ x i y i. i a potai iżj prztoago ttu tatytyczgo pojmujmy cyzję o przyjęciu jj z óc orśloyc ipotz. W ziązu z tym, ż cyzję pojmujmy a potai próby looj, to możmy orzucić ipotzę 0, gy jt prazia, czyli popłiamy, rozumiiu trmiologii tatytyczj, tz. błą
O optymalizacji rozmiaru próby artoj baaiu iarygoości praozań 33 pirzgo rozaju. W tym przypau ozacza to orzuci fiaogo praozaia ięgogo, gy jt oo praiło. Z oli, jśli przyjmimy ipotzę 0, gy jt fałzya, to popłiamy błą rugigo rozaju, co ozacza, ż acptujmy praozai, mimo ż jt oo ipraiło. Praopoobińto orzucia ipotzy 0, gy jt prazia, oi azę poziomu itotości i ozacza ię przz. W otści baaia auytogo poziom itotości jt azyay ryzyim orzucia praiłogo (iarygogo praozaia. Potaio ipotzy ą ryfioa a potai tz. tatytyi ttoj (praziau ttu, tóry jt zyl potaci: U ~ 0 0 (6. ~ Jśli ipotza 0 jt prazia i arty populacji ą otatczi licz oraz looa z ic próby, to tatytya ttoa U ma przybliżiu rozła ormaly taaroy. Iymi łoy, jśli 0 jt prazia oraz, i, la =,,, to U U~(0, por. p. (Fullr, 009. Wócza tz. artość rytyczą ttu u yzacza ię ta, aby: P(U u = (7. Gy yliczoa a potai próby artoj artość praziau ttu u płia iróość u u, to orzucamy ipotzę 0 a orzyść, z praopoobińtm popłiia błęj cyzji róym. Iymi łoy ozacza to, ż z ryzyim popłiia błęj cyzji róym orzucamy praozai fiao, czyli uażamy, ż i jt oo iarygo. W przciym przypau, gy u < u, to i ma pota o orzucia ipotzy 0. itty tym przypau i ma pota o przyjęcia tj ipotzy bz uprzigo yliczia praopoobińta popłiia błęu rugigo rozaju ozaczago przz, czyli tz. ryzya przyjęcia ipraiłogo praozaia. Tę liczbę ocia ię a potai yrażia: gzi: = P(U u (8, u u 0 ~ (9, tór jt uogóliim a przypa próby artoj zaaia rozażago p. przz Fiza (967. Jśli yliczoa a potai obu poyżzyc zoró artość ryzya przracza potuloay przz auytora poziom, pozotaj olooać lmty o próby, co płyi a zmijzi ocy ariacji róiż a zmijzi ryzya. ~, a tym amym
34 Jauz L. Wyiał 3. Optymalizacja utalaia rozmiaró prób looayc z art Rzczą roząą jt, aby prz pojęcim baaia auytogo yzaczyć izbęy rozmiar próby zapiający iprzroczi potuloayc ryzy i. Wty z zoró (8 i (9 yia, ż aby oiągąć łaśi formułoa potulaty o iprzrocziu ryzy, mui być płioa iróość: tóra jt róoaża atępującj: u u 0 ~, z z ~ 0 (, (0. Z zapiago zoru yia, co jt art porślia, ż artość ograiczia (, arzucogo a ariację jt ściśl ztrmioaa przz potuloa poziomy ryzy i. Stą i z zoró (7 i (8 oraz łaości taarogo rozłau ormalgo yia, przy utaloyc 0 i ograiczi ariacji zmijza ię raz z zmijzaim poziomu ryzya lub. Z oli, jśli i ą utalo, to ilość zalży o moułu z różicy 0. Tratując ariację jao fucję f,..., rozmiaró prób looayc z art, czyli ( f (,..., ~, alży utalić ic poziomy, aby płioa była iróość: f (,...,. Taic roziązań jt il. Aby jozaczi yzaczyć potrzb rozmiary tyc prób, proazamy atępując rytrium: c(,..., c (, gzi c > 0 jt oztm jotoym obracji i auytu oumtó -tj arti, czyli c (,..., jt fucją oztu całoitgo. oajmy, ż jśli ozty obracji artac ą tai am, to poyżzą fucję oztó zatępuj ię atępującą: c(,...,.
O optymalizacji rozmiaru próby artoj baaiu iarygoości praozań 35 Raumując, aby obya ryzya baaia auytogo i przroczyły utaloyc poziomó i, alży roziązać atępując zaai optymalizacyj: f im c,...,,,..., ( mi,..., ( (. Potaioy typ zaań optymalizacji rozmiaró prób looayc z art był m.i. rozażay pracac Koaa i Kaa (967 lub Wyiała (003. Przyjmując, ż rozmiary looayc prób i przroczą rozmiaró opoiic art, otrzymujmy atępując roziązai: o a (, =,,, (3, gzi: a. iróości: o ( ą róoaż opoiio a, =,,. Stą ięc yia, ż jśli a imum,..., max (4, to zyti rozmiary prób ą mijz o opoiaającyc im rozmiaró art. oamy jzcz, ż jśli fucję oztó c c,..., (, bęącą joczśi fucją clu potaiogo zaaia optymalizacyjgo ( zatąpimy przz c c,..., (, to roziązai orślo yrażim (3 ruuj ię o potaci: o a (, =,,,
36 Jauz L. Wyiał gzi: a. Wócza iróości o ( zacozą ty, gy imum,..., max. Aby yzaczyć optymal rozmiary prób, alży ocić zyl iza artości ariacji, =,,. Moża to uczyić poprzz ylooai tępyc prób z art lub yorzytać ocy ariacji z czśijzyc poobyc baań auytoyc albo yorzytać o tgo clu z góry za artości ariacji artac artości ięgoyc, czyli ariacj (x. Jśli przyjmimy założi, ż ocylia taaro błęó ięgoyc oljyc artac ą proporcjoal o przciętyc artości ięgoyc opoiic artac, ięc: x (, =,,. T róości ą róoaż atępującym: x, =,,, (5, co ozacza, ż załaa ię, iż zytic artac półczyii zmiości (liczo ilorazm ocylia taarogo błęó ięgoyc przz przciętą artości ięgoj ą tai am. Zatm, gyby o yzaczia rozmiaró potrzbyc prób użyć przciętyc x zamiat opoiio ariacji, =,,, to zór przztałca ię o potaci: o x a (, =,, (6, gzi: x x a.
O optymalizacji rozmiaru próby artoj baaiu iarygoości praozań 37 oajmy, ż pratyc ylicza liczbości ajbliżzj liczby aturalj. Jśli fucję clu c(,..., c zaaia optymalizacyjgo ( zatąpimy przz (o ą zaorągla górę o c(,..., c, to roziązaiu orśloym yrażim (6 przyjmujmy, ż = la ażgo =,,. 4. Przyła optymalizacji rozmiaró prób looayc z art W trzc miatac ma być przproazoa otrola zzań poatoyc. Bęzi poróyaa artość laroaa poatu z alżą urzęoi arbomu. Pozbiory zzań poatoyc zajując ię o ypozycji otrolró oljyc miatac tratujmy jao rozłącz arty populacji oumtó. Kolj arty liczą opoiio 6000, 3000 i 9000 oumtó. Kozty joto otroli oumtó oljyc artac yozą PL, PL i,50 PL. a potai czśijzyc baań tym prziębiorti ozacoao ocylia taaro błęó zzaiac, tór yozą opoiio, 3 i 6 PL. Clm baaia auytogo jt tirzi, czy uma ioboru poató pocozącyc z tyc miat i przracza iopuzczalgo (yalifiującgo poziomu yozącgo = 9000 PL. Tolroay (opuzczaly poziom tgo ioboru yoi 0 = 5000 PL. Kotrola zytic oumtó i jt możlia z zglęu a ługotrałość tgo procu oraz poozo przy tym ozty. latgo zcyoao ię a ylooai próby artoj, tóra bęzi poaa auytoi. W yiu yliczoj a tj potai ocy umy ioboru poató bęzi pojmoaa cyzja, czy jt oa tolroala czy iopuzczala. To iooai bęzi proazo a potai próby, co araża auytora a pojęci błęyc cyzji. W ziązu z tym utala ię ryzyo przyjęcia, ż iobór poató jt opuzczaly, gy ta i jt. Potuluj ię, aby ryzyo (praopoobińto ytąpiia tgo błęu i przroczyło poziomu = 0,05. Z oli ryzyo uzaia, ż iobór poató jt iopuzczaly, gy rzczyitości (populacji ta i jt, utala ię a poziomi i ięzym iż = 0,. Z góry załaając, ż próby looa z art bęą a tyl uż, iż bęzi płio założi o tym, ż rozła praopoobińta tatytyi ttoj, orśloj zorm (6 bęzi otatczi obrz przybliżay rozłam ormalym, orzytamy z opiaj yżj procury optymalizacji rozmiaró prób, tór mają być looa z art. Korzytając z aruza alulacyjgo Excl, a potai zoru (3 otrzymujmy, ż optymal rozmiary prób, tór alży looać z art yozą 39, 04 i 435 opoiio la art r, i 3. la ta utaloyc rozmiaró
38 Jauz L. Wyiał prób łaoyc próby artoj ozt looaia o ij oumtó ięgoyc oraz ic otroli yoi 534,50 PL. Traz pozotaj ylooać próbę i ooać ij otroli oumtó. atępi alży yliczyć artość u tatytyi orśloj zorm (6. Z zoru (7 yia, ż artość rytycza ttu yoi u =,85, poiaż założyliśmy, iż ryzyo błęgo uzaia, ż iobór poató jt iopuzczaly yoi = 0,. Zatm jśli yliczoa artość tatytyi ttoj z przroczy poziom rytyczy u, czyli u z =,85, to uzajmy, ż iobór umy izapłacoyc poató jt iopuzczaly, czyli przracza iopuzczaly poziom, przy czym ta cyzja moż być błęa z praopoobińtm = 0,. W przciym przypau, gy u < z =,85, to uzajmy, ż tualy iobór umy poató i przracza tolroalgo poziomu 0, przy czym ijao aurując ię, oajmy, ż ta cyzja moż być błęa z praopoobińtm = 0,05. Poumoai W pracy problm optymalgo yzaczaia prób looayc z art populacji oumtó zotał formułoay jao zagaii ryfiacji ipotzy tatytyczj o artości globalj błęó ięgoyc z uzglęiim ryzya przyjęcia ipraiłogo praozaia ięgogo i ryzya orzucia praiłogo praozaia ięgogo. Wyproazoo orygial zory pozalając yzaczać optymal rozmiary prób, co było głóym clm pracy. Możliość ic pratyczgo użycia zilutroao przyłam umryczym. Użyci tyc zoró pratyc moż atręczać p truości. W zczgólości jt to ziąza z fatm, ż artości paramtró zmiyc, tóryc fucją ą yrażia orślając optymalą liczbość próby, i ą za. W pracy yjaśioo, ja alży obi razić taic przypaac. Litratura Braca Cz. (996, Tortycz potay mtoy rprztacyjj, PW, Warzaa. Fiz M. (967, Wtęp o racuu praopoobińta i tatytyi matmatyczj, PW, Warzaa. Fullr W.A. (009, Samplig Statitic, Wily, obo, Jry. Karlińi W. (005, obór próby auyci, Itytut Racuoości i Poató, Warzaa. Koa A.R., Ka S. (967, Optimum allocatio i multiariat ury: a aalytical olutio, Joural of t Royal Statitical Socity, ol. B 9,. 5 5. Pal o otaar Mixtur of itributio (989, Statitical mol a aalyi i auitig, Statitical Scic, ol. 4, o.,. 33. Wyiał J.L. (003, Som Cotributio to Multiariat Mto i Sury Samplig, Uirity of Ecoomic i Katoic, Katoic. Wyiał J.L. (00, Wproazi o mtoy rprztacyjj. Poręczi, Wyaicto Aamii Eoomiczj Katoicac, Katoic.
O optymalizacji rozmiaru próby artoj baaiu iarygoości praozań 39 Strzczi Głóym clm iijzj pracy jt formułoai i roziązai zaaia optymalgo yzaczaia rozmiaru próby artoj looaj pośró oumtó ięgoyc, tór mają być otroloa. Polga oo a miimalizacji oztó obracji i orty oumtó próbac looayc z art przy utaloym ryzyu przyjęcia ipraiłogo praozaia ięgogo oraz ryzyu orzucia praiłogo praozaia ięgogo. oajmy, ż problm auytu fiaogo jt tratoay otści ryfiacji opoiio formułoayc ipotz tatytyczyc. Zamiar t zralizoao za pomocą opoiic mto zapożyczoyc z torii tatytyi matmatyczj, zczgólości aaptoao tym clu za mtoy optymalizacji rozmiaró prób. Wyiim pracy jt propozycja procury optymalgo utalaia rozmiaró prób looayc z art. Jj ziałai zilutroao przyłam. W oluzji moża tirzić, ż zapropooaa pracy mtoa optymalizacji rozmiaru próby artoj moż być użyta auyci fiaoym, poiaż uzglęia obo oztó baaia taż ryzyo przyjęcia ipraiłogo praozaia ięgogo oraz ryzyo orzucia praiłogo praozaia ięgogo. Słoa luczo; auyt fiaoy, baai iarygoości praozaia, ryzyo przyjęcia ipraiłogo praozaia, ryzyo orzucia praiłogo praozaia, optymalizacja rozmiaru próby artoj. Summary O optimizatio of tratifi ampl iz for ubtati auit procur T mai purpo of t papr i to cotruct a ol t optimizatio problm of trmiig tratifi ampl iz i auit amplig. T iz i aluat i uc a ay tat ur fix ri of icorrct (rroou accptac a fix ri of icorrct rjctio t auitig cot ar miimiz. It oul b ot tat t coir auit problm i trat a t ta of ttig appropriatly formulat tatitical ypot. I gral t problm a ol by ma of matmatical tatitic mto. Particularly, ampl iz optimizatio mto ll o i ury amplig r aapt. T optimal ampl allocatio algoritm i t mai rult of t papr. A xampl of ampl iz optimizatio i prt, a ll. I cocluio, t propo optimizatio mto of t tratifi ampl aluatio may b uful i fiac auitig, bcau it icorporat amt of to ri: rroou rjctio a rroou accptac. Kyor: fiac auitig, ubtati auit, ri of rroou accptac, ri of rroou rjctio, optimizatio of tratifi ampl iz.