Zderzenia relatywistyczna Dynamika relatywistyczna Zasady zachowania Relatywistyczne wyrażenie na pęd cząstki: gdzie Relatywistyczne wyrażenia na energię cząstki: energia kinetyczna: energia spoczynkowa: energia całkowita: Dla dowolnego izolowanego układu obowiązują zawsze: zasada zachowania energii zasada zachowania pędu Transformacja Zamiast rozważać niezależnie energię i pęd układu, wygodnie jest wprowadzić czterowektor energiipędu:
Przy zmianie układu odniesienia, czterowektor energii-pędu podlega transformacji Lorentza identycznej z transformacją dla współrzędnych czasoprzestrzennych zdarzeń. Widzimy, że energia całkowita odpowiada współrzędnej czasowej, zaś wektor pędu współrzędnym przestrzennym. Przykład I Rakieta lecąca w kierunku Ziemi z prędkoscią wystrzeliwuje w jej kierunku wiązkę protonów o energii GeV. Masa protonu. Jaką energię protonów zmierzy obserwator na Ziemi? Pęd protonu w układzie rakiety (z definicji masy niezmienniczej): Współczynniki transformacji Lorentza z układu rakiety do układu Ziemi: Energia w układzie Ziemi: Masa niezmiennicza Jest to niezmiennik transformacji Lorenza, czyli wielkość, która nie zależy od wyboru układu odniesienia Dla dowolnego izolowanego układu fizycznego masa niezmiennicza jest zachowana (nie zmienia się w czasie). Wynika to z zasady zachowania energii i pędu.
Masa niezmiennicza jest podstawowym pojęciem w analizie zderzeń relatywistycznych, zwłaszcza w procesach nieelastycznych (produkcja nowych cząstek). Masa niezmiennicza jest tożsama z energią układu w układzie środka masy ( zderzających się cząstek mówimy o energii dostępnej w układzie środka masy. ). Dla Dla pojedynczej cząstki masa niezmiennicza jest tożsama z masą cząstki (energią spoczynkową). Przykład Jaka jest masa cząstki, która poruszając się z energią kinetyczną GeV/c? GeV ma pęd Z definicji masy niezmienniczej dla pojedynczej cząstki: Energię całkowitą wyrażamy przez energię kinetyczną: Otrzymujemy: Układ środka masy Niech dane będą Energia układu cząstek: Pęd układu cząstek: Masa niezmiennicza tego układu: Jak znaleźć układ środka masy (CMS), czyli układ w którym?
Wiemy, że w CMS energia i pęd dane są przez Energia i pęd wiążą się z i przez transformacje Lorentza: Otrzymujemy z przekształcenia tych zależności związki na wspólczynniki transformacji do układu środka masy: Związki te obowiązują zarówno dla pojedyńczej cząstki jak i dowolnego układu cząstek! Przykład Z jaką prędkością porusza się elektron o energii ( )? Współczynnik Lorentza dla elektronu ( ): Widzimy więc, że Wnioskujemy, że prędkość elektronu jest bardzo bliska prędkości światła, różnicę:, policzmy więc Pęd elektronu:
Różnica między energią i pędem też dąży do zera: Energia kinetyczna: Różnica między energią całkowitą i kinetyczną: Widzimy, że dla cząstki o energii ( ) można przyjąć (przybliżenie ultrarelatywistyczne): Zderzenia elastyczne Klasyfikacja zderzeń W przypadku nierelatywistycznym zderzenia dzieliliśmy na: zderzenia elastyczne Zachowany jest pęd i energia kinetyczna. zderzenia nieelastyczne Zachowany jest pęd, natomiast energia kinetyczna zamieniana zostaje (częściowo) na inne formy energii (zazwyczaj ciepło). W przypadku relatywistycznym energia całkowita i pęd są zawsze zachowane. Musimy zmodyfikować klasyfikację zderzeń. Dzielimy je na: Zderzenia elastyczne
Zderzenia typu (dwie cząstki w stanie począstkowym i dwie w końcowym), przy czym cząstki po zderzeniu są takie same jak cząstki zderzające się (w szczególności nie zmieniają się ich masy: i ) przykład: Zderzenia nieelastyczne Gdy cząstki w stanie końcowym są inne niż przed zderzeniem. przykład: Rozpraszanie elastyczne Rozważmy zderzenie "pocisku" o masie i energii z "tarczą" o masie. Dla układu dwóch ciał mamy ( ): Możemy policzyć współczynniki transformacji do układu środka masy:
Pęd obu ciał w układzie środka masy można zapisać jako: Energie obu ciał w układzie środka masy: Jeśli spełniona ma być zasada zachowania pędu i zasada zachowania energii to, tak jak w przypadku klasycznym
W układzie środka masy wartości pędów nie ulegają zmianie! Zakładamy tutaj, że masy cząstek nie zmieniają siem, i (rozpraszanie elastyczne). Przypadek Uzyskane wyrażenia bardzo się upraszczają dla zderzeń cząstek o równej masie. Energia, pęd i masa niezmiennicza układu dwóch cząstek: Współczynniki transformacji do CMS: Energia i pęd obu ciał w układzie środka masy (z transformacji Lorenza dla spoczywającego ciała):
Wprowadźmy w układzie środka masy kąt opisujący kierunek rozproszenia pierwszej cząstki. Możemy teraz wypisać składowe czterowektora energii-pędu dla pierwszej cząstki w CMS: Transformacja Lorentza do układu laboratoryjnego daje nam: Zauważmy też, że Możliwe wartości i spełniają warunek: Warunek ten odpowiada równaniu elipsy w przestrzeni pędów. Transformacja Lorenza "spłaszcza" rozkład pędów wzdłuż kierunku ruchu pocisku (w przypadku klasycznym mieliśmy okrąg). Kąty rozproszenia mierzone w LAB (liczone ze stosunku poprzecznej i podłużnej składowej):
Możemy wyznaczyć kąt pomiędzy cząstkami po zderzeniu: W przypadku rozproszenia pod kątem prostym w CMS ( ) W przypadku klasycznym kąt między rozproszonym pociskiem i tarczą, dla równych mas, zawsze był równy. W przypadku relatywistycznym kąty rozproszenia są mniejsze. Dla dużych energii pocisku,, kąt między cząstkami W granicy ultrarelatywistycznej rozproszenie zachodzi pod bardzo małymi kątami! Przykład Elektron o energii GeV rozprasza się elastycznie na spoczywającym elektronie ( MeV). Jaki kąt rozproszenia zostanie zmierzony w układzie laboratoryjnym jeśli w CMS rozproszenie nastapiło pod kątem prostym?
Masa niezmiennicza układu: Współczynnik transformacji: co odpowiada Energia i pęd w CMS: Transformacja do układu laboratoryjnego dla cząstki rozproszonej pod kątem orisrtn w CMS (kładąc, ): </math> Kąt rozproszenia wynosi więc: Przypadek Rozważmy zderzenie elastyczne z ciężką "tarczą" lekkiego "pocisku" ( ) o wysokiej energii ( )
Jest to sytuacja z jaką często mamy do czynienia w zderzeniach fizyki cząstek (rozpraszanie elektonów, mionów lub neutrin na tarczach jądrowych). Pomijając wyrazy z mamy: Współczynniki transformacji do układu środka masy (dla ): Pęd pocisku i tarczy w układzie środka masy: Transformacja rozproszonego pocisku do układu laboratoryjnego daje nam: Możliwe wartości i spełniają więc warunek: Odpowiada to ponownie równaniu elipsy. W granicy ( ) pocisk rozprasza się zawsze ``do przodu" ( )!
Nawet dla, jeśli pocisk może przekazać tarczy znaczną część swojej energii. Rysunek obok pokazuje możliwe wartości pędu dla przypadku,. Dla nawet bardzo lekka sonda może "wybić" cząstkę tarczy... Masa cząstki pocisku, dla dużych energii, przestaje być istotna. Rozpraszanie nierelatywistyczne Przypomnijmy, że w podejściu klasycznym, w granicy tarcza przejmuje bardzo niewielką część energii pocisku. Rozproszony pocisk ma praktycznie niezmienioną energię i wartość pędu. Przykład Elektron o energii GeV rozprasza się na spoczywającym protonie ( GeV). Jaka jest maksymalna energia jaką może uzyskać proton? Masa niezmiennicza układu Współczynnik transformacji: Energia i pęd protonu w CMS: \; \;
Transformacja do LAB (maksymalna energia gdy ): Proton może przejąć praktycznie całą energię elektronu! Nie pomijając członu w wyrażeniu na masę niezmienniczą otrzymujemy dokładniejszy wynik rozproszony elektron zachowa 1% swojej energii całkowitej... Zderzenia nieelastyczne Klasyfikacja zderzeń Zderzenia elastyczne to reakcje typu zderzające się. W szczególności: i, w których cząstki rozproszone są takie same jak cząstki W zderzeniach cząstek jest to jednak wyjątek (!) W oddziaływaniach cząstek elementarnych, zwłaszcza przy wysokiej energii, obserwujemy bardzo wiele reakcji, w których powstają nowe cząstki: Rozpady cząstek: Produkcja pojedyńczej cząstki (tzw. "rezonansu"): Rozproszenie nieelastyczne dwóch cząstek: (przy czym jedna z cząstek na końcu może być cząstką stanu początkowego) Produkcja wielu cząstek: (gdzie oznacza dowolny stan wielocząstkowy) Świat cząstek elementarnych Zanim zajmiemy się szerzej zderzeniami nieelastycznymi cząstek poznajmy obiekty, które w takich zderzeniach mogą uczestniczyć. Fermiony Fermiony są podstawowymi składnikami otaczającej nas materii. Świat "codzienny" zbudowany jest z 3 fundamentalnych "cegiełek": elektron oraz kwarków i.
Elektron występuje jako cząstka swobodna, natomiast kwarki są "uwięzione" w nukleonach. Każdy nukleony składa się z 3 kwarków: proton to (uud), neutron - (udd). Fizyka cząstek znalazła łącznie 12 fundamentalnych "cegiełek" materii, cząstek zwanych fermionami (cząstek o spinie 1/2). Znamy 6 leptonów i 6 kwarków, które można podzielić na 3 tzw. pokolenia: leptony kwarki pokolenie 1 elektron neutrino el. down up d u pokolenie 2 mion neutrino mionowe strange charm s c pokolenie 3 taon neutrino taonowe beauty top b t ładunek [e] 0 Każda z wymienionych cząstek ma też swoją antycząstkę (kolejne 12). Wszystkie leptony obserwujemy jako cząstki swobodne. Natomiast kwarki są zawsze "uwięzione" w hadronach (cząstkach oddziałujących silnie) Bozony "Cegiełki" materii oddziałują ze sobą poprzez wymianę nośników oddziaływań. Nośnik przekazuje część energii i/lub pędu jednej cząstki drugiej cząstce. oddziaływanie źródło nośnik moc grawitacyjne masa grawiton G elektromagnetyczne ładunek el. foton silne "kolor" gluony 1 słabe "ładunek słaby" "bozony pośredniczące", gdzie jako "moc" pokazano przykładowe porównanie wielkości oddziaływań dla dwóch sąsiadujących protonów
Rozpady cząstek Rozawżmy rozpad cząstki o masie na cząstek o masach {( )}. Masa niezmiennicza przed rozpadem: Masa niezmiennicza po rozpadzie: Dla dowolnej pary cząstek, mamy ( ): Czyli Ostatecznie otrzymujemy więc warunek: Warunek konieczny, aby mógł mieć miejsce rozpad do określonego stanu cząstkowego można więc zapisać w postaci:
gdzie jest minimalną wartością kwadratu masy niezmienniczej stanu końcowego. Rozważmy najprostszy przypadek rozpadu dwuciałowego. W układzie rozpadającej się cząstki produkty rozpadu mają równe co do wartości lecz przeciwnie skierowane pędy: Jaka będzie wartość pędu produktów rozpadu? Wyraźmy masę niezmienniczą przez pęd produktów: Wydzielając pierwiastek i podnosząc do kwadratu Większość wyrazów z pędem skróci się. Zostaje Ostatecznie otrzymujemy: Wyrażenie to bardzo się upraszcza w przypadku rozpadu na dwie cząstki o równych masach, : Energia produktów rozpadu wyniesie wtedy
Z kolei w granicy, gdy jeden z produktów rozpadu jest bardzo lekki,, otrzymujemy: Energie cząstek po rozpadzie nie są równe! Mierząc pęd (lub energię) jednego z produktów rozpadu, możemy wnioskować o masach pozostałych cząstek. Przykład Pion o masie MeV rozpada się na mion (o macie MeV) i bezmasowe neutrino: Pędy produktów rozpadu: Energie liczymy z definicji masy niezmienniczej ( ): Neutrino wynosi większość energii kinetycznej! Prawo rozpadu Wszystkie cząstki danego rodzaju (np. elektrony lub neutrony) są identyczne. Nie mają też "pamięci" - ich własności nie zależą od czasu. Dla cząstek nietrwałych oznacza to, że prawdopodobieństwo ich rozpadu w zadanym przedziale czasu jest zawsze takie samo. Rozważmy bardzo mały przedział czasu (znacznie mniejszy niż typowy czas rozpadu). Jeśli próbka
zawiera cząstek to liczba oczekiwanych rozpadów musi być proporcjonalna do i do : Całkując to równanie otrzymujemy: Ostatecznie otrzymujemy prawo rozpadu promieniotwórczego Pozostaje nam jednak nieznany parametr, który musimy powiązać z własnościami cząstki. Prawdopodobieństwo rozpadu na jednostkę czasu (dla pojedynczej cząstki) dane jest przez: Parametr możemy więc powiązać ze średnim czasem życia cząstki cząstki: Ptrzymujemy więc wzory na prawdopodobieństwo rozpadu oraz Jeśli cząstka o masie i średnim czasie życia (zawsze defniowanym w układzie cząstki) ma w układzie obserwatora O' energię i pęd, to obserwator zmierzy: zgodnie z formułą na dylatację czasu. Możemy też zdefiniować średnią drogę swobodną:
Przykład Jaki powinien być pęd mionu produkowanego w górnych warstwach atmosfery ( km), żeby mógł dolecieć do powierzchni Ziemi zanim się rozpadnie? Prawdopodobieństwo rozpadu w funkcji odległości: Prawdopodobieństwo, że mion doleci do powierzchni Ziemi: Prawdopodobieństwo to jest formalnie niezerowe dla dowolnego pędu. Duże szanse dolecieć mają jednak tylko miony, dla których : Dla mionu: ( ), MeV: Zderzenia Przekrój czynny na produkcję kwarków (rejestrowanych w postaci hadronów) w funkcji dostępnej energii w zderzeniu :
W całym zakresie zbadanych energii mamy niezerowy przekrój czynny na produkcję kwarków. Proces ten opisujemy jako anihilację w wirtualny foton, który następnie rozpada sie na parę. Schematycznie przedstawia to poniższy diagram: Produkcja rezonansów Przy pewnych wartościach obserwujemy wzrost produkcji kwarków o kilka rzędów wielkości. Jest to efekt rezonansowej produkcji cząstek, którą można przedstawić schematycznie na diagramie: Przy czym cząstka jest nietrwała i rozpada się nastepnie (np. na parę kwarków). Aby w zderzeniu dwóch cząstek powstała jedna cząstka (np: ) masa niezmiennicza zderzających się cząstek musi być równa masie cząstki którą produkujemy
Produkcja w eksperymencie L3 przy akceperatorze LEP Najbardziej masywnym rezonansem produkowanym dotychczas w zderzeniach jest bozon : Maksimum przekroju czynnego obserwujemy dla ale ma ono skończoną szerokość, opisaną tzw. rozkładem Breita-Wignera: Szerokość rezonansu wiąże się (zasada nieoznaczoności) z czasem życia produkowanej cząstki: Produkcja wielu cząstek
Produkcja par w eksperymentach przy akceperatorze LEP Aby w zderzeniu dwóch cząstek powstały dwie lub więcej nowych cząstek, np: masa niezmiennicza zderzających się cząstek musi być większa lub równa sumie mas produkowanych cząstek: W przypadku produkcji par bozonów masa niezmiennicza zderzających się elektronów musi spełniać warunek 160 GeV Energia dostępna Mase niezmienniczą zderzających się cząstek określamy też jako energię dostępną w układzie środka masy. Energia dostępna jest to część energii kinetycznej, która może zostać zamieniona na masę (energię spoczynkową) nowych cząstek. mówi nam ile energii możemy zużyć na wyprodukowanie nowych cząstek.
Przykład Aby wyprodukować antyproton w reakcji musimy mieć Należy zwrócić uwagę, że liczymy wszystkie cząstki w stanie końcowym, także cząstki pierwotne. Określoną wartość energii dostępnej możemy uzyskać na rózne sposoby: Zderzenia z tarczą Cząstka "pocisk" o energii uderza w nieruchomą tarczę. Kwadrat masy niezmienniczej: w granicy Wiązki przeciwbieżne Zderzenia wiązek o energiach i : w granicy Uzyskujemy dużo wyższe wartości energii dostępnej niż w przypadku zderzenia "z tarczą"!!! Przykład Wiązka protonów o energii 50 GeV ( ) na tarczy wodorowej (protony):
dwie wiązki przeciwbieżne: Energia progowa Jest to minimalna energia wiązki przy której możliwa jest dana reakcja. Sprowadza się to do warunku przekroczenia przez masę niezmienniczą pocisku i tarczy minimalnej masy niezmienniczej danej przez masy produktów reakcji. Kwadrat minimalnej masy niezmienniczej: Zderzenia z tarczą W zderzeniach z nieruchomą tarczą: Możemy policzyć jaka jest minimalna energia całkowita pocisku: Minimalna energia kinetyczna pocisku: Minimalna energia kinetyczna pocisku, w zderzeniach z tarczą, więże się z przyrostem masy: Energia kinetyczna pocisku jest "zużywana" na zwiększenie masy układu...
Przykład 1 Produkcja anty-protonów w reakcji Minimalna masa niezmiennicza: Podstawiając otrzymujemy: Wiązki przeciwbieżne Dla wiązek przeciwbieżnych (dla uproszczenia przyjmujemy, ) mamy Minimalna energia wiązki przy której możliwe jest wyprodukowanie danego stanu dana jest przez Minimalna energia kinetyczna Należy zauważyć, że energia rośnie liniowo z masą produkowanego stanu (na tarczy: kwadratowo!). Dużo niższe energie potrzebne są do wytworzenia tego samego stanu w zderzeniach wiązek przeciwbieżnych Przykład 1 (c.d.) Produkcja anty-protonów w reakcji Minimalna energia kinetyczna protonów w przypadku zderzenia wiązeg przeciwbieżnych
(na tarczy: 5.63 GeV) Przykład 2 Produkcja par bozonów w zderzeniach elektron-pozyton: Gdybyśmy chcieli użyć pojedyńczej wiązki pozytonów i tarczy, minimalna energia wiązki wyniosłaby (, ) Tak ogromnych energii nie jesteśmy w stanie wytworzyć! Dotychczas uzyskiwane wiązki pozytonów miały energie, projektowane przyszłe akceleratory mogą dostarczyć energii... Dla przeciwbieżnych wiązek elektron-pozyton: Takie energie to już nie problem (uzyskiwane były w akceleratorze LEP)...