Alina Kalinowska O dostrzeganiu związków Rozumienie matematyki często wydaje się wyjątkową umiejętnością. Wielu z nas doświadcza w tym obszarze porażek i wówczas przyjmujemy za pewnik, że nie mamy odpowiednich zdolności intelektualnych. Jednocześnie matematyka w powszechnym rozumieniu jest szkołą logicznego myślenia, czyli tą dziedziną, która szczególnie mocno rozwija umiejętność dostrzegania związków przyczynowoskutkowych. Dla jej rozumienia niezbędne jest bowiem dostrzeganie relacji między liczbami czy innymi obiektami matematycznymi. W procesie edukacyjnym rozumienie relacji przyczynowo-skutkowych ma swoje znaczenie nie tylko w aspekcie pojęć matematycznych, ale w każdej właściwie dziedzinie życia. Myślenie matematyczne nie może opierać się jedynie na odtwarzaniu wiedzy. Kompetencje matematyczne łączą się z myśleniem twórczym, które w tym kontekście wydaje się szczególne. Kreatywność w rozumieniu potocznym często przypisywana jest nielicznym osobom, które wydają się nam niejako twórcze z urodzenia, choć badania nie potwierdzają, że jest to jakaś szczególna cecha umysłu. Wprost przeciwnie, psychologowie w większości prezentują pogląd, iż myślenie twórcze jest cechą charakterystyczną każdego umysłu, więc każdy może ją rozwijać. Myślenie matematyczne związane z twórczością może się przejawiać w samodzielnych odkryciach uczniów. Zauważanie relacji matematycznych jest źródłem twórczości, będąc jednocześnie jej efektem. Wytworzona wówczas wiedza jest pewnym twórczym produktem, który ma charakter subiektywny. Twórczość matematyczna jest dostępna również małym dzieciom. Mogą one dokonywać odkryć w zakresie istnienia różnych związków między obiektami matematycznymi. Już najmłodsi uczniowie powinni stać się ich badaczami, próbując dostrzegać prawidłowości. Mogą na przykład samodzielnie badać, czy z dowolnych trzech odcinków zawsze można zbudować trójkąt albo rozwiązywać problem: Pomyśl jakąś liczbę. Pomnóż ją przez 6. Wynik podziel przez dwa, a to co wyjdzie podziel przez 3. Co otrzymasz? Dlaczego tak się dzieje? Nie chodzi tu jedynie o rozwiązanie tego zadania i zapisanie odpowiedzi. Dużo większe znaczenie ma fakt, że uczniowie mają wówczas możliwość dostrzegania różnych związków dotyczących dzielenia, szerszego spojrzenia na 1
odwrotność operacji dzielenia i mnożenia (np. że jeżeli liczba jest dzielnikiem innej liczby, to ta ostatnia również dzieli się przez dzielniki tej pierwszej). Umiejętność myślenia twórczego powinna być rozwijana w szkole, ponieważ kompetencja o charakterze ogólniejszym rozwiązywanie problemów stanowić powinna efekt kształcenia szkolnego. Dostrzeganie związków jest utrudnione w przypadku, gdy nauczyciel podaje gotową receptę postępowania. Przykładem może być strategia związana z umiejętnością obliczania w pamięci. Szukanie wyniku mnożenia 19 razy 3 jest wprowadzane jako korzystanie z rozdzielności mnożenia względem dodawania (10 3 + 10 9). Tymczasem istnieje wiele możliwości obliczenia w inny sposób, a każdy z nich pozwala na zauważanie nieco innego rodzaju zależności. Odwołując się do powyższego przykładu można stwierdzić, że dużo bardziej celowe wydaje się wykorzystanie innego prawa (20 3 3). Dziecko ma wówczas okazję dostrzegania, że strategia może zależeć od rodzaju przykładu (12 3 dużo łatwiej obliczyć sposobem wcześniejszym). Inny uczeń może obliczyć na przykład tak: dwie dwunastki to 24 i jeszcze 12 to razem 36. Każdy ze sposobów, który zostanie zastosowany przez poszczególnych uczniów bogaci ich umiejętności obliczeniowe i generuje elastyczne podejście do arytmetycznego radzenia sobie również w innych nowych przykładach. W tym kontekście ważne jest, aby dzieci już w wieku wczesnoszkolnym (a nawet wcześniej, o ile to możliwe) często mały okazję do odkrywania związków i ich badania. Polscy trzecioklasiści wykazali się w tym zakresie interesującymi kompetencjami. Przyjrzyjmy się następującemu zadaniu. Zadanie. Przyjrzyj się uważnie tej serii obliczeń. Zbudowano ją zgodnie z pewną regułą. Odgadnij, jaka to reguła. Dopisz dwa kolejne działania z tej serii. 1 + 3 + 5 = 9 3 + 5 + 7 = 15 5 + 7 + 9 = 21 7 + 9 + 11 = 27 2
... b) Jak będzie wyglądad 10 działanie z tej serii? Zapisz je. c) A jak będzie wyglądało 20 takie działanie? Zapisz je. Treść tego zadania charakteryzuje się nietypową strukturą, przygotowaną w tym celu, aby dziecko miało okazję zauważenia związku między kolejnymi sekwencjami działań. Interesujące było czy już uczniowie klas najmłodszych potrafią dostrzegać owe relacje. Okazało się, że badani trzecioklasiści wykazują umiejętności w tym zakresie. Aż 48,1% z nich dostrzegło wszystkie prawidłowości niezbędne dla zapisania poprawnie kolejnych dwóch równości. Dalsze 17,5% potrafiło zauważyć jakieś związki, choć nie wyczerpywały one wszystkich możliwości. Prezentowany poniżej przykład rozwiązania pokazuje właśnie taką sytuację. Uczeń dostrzegł związek między kolejnymi wynikami (powiększają się o 6). 3
Na początku próbował wypełnić lewą stronę równości, wstawiając liczby nieparzyste. Okazało się jednak, że nie będą one dawały w sumie odpowiedniej wartości, więc autor zmienił koncepcję i dopasował jakieś trzy liczby w taki sposób, aby suma odpowiadała kolejnej liczbie zwiększonej o 6. Zauważona wcześniej prawidłowość dotycząca zmian w kolejnych wynikach okazała się najsilniej determinującym czynnikiem generowanych rozwiązań. Kolejny przykład pokazuje rozwiązanie ucznia, który pierwszą brakującą równość uzupełnił prawidłowo, umieszczając po lewej stronie kolejne liczby nieparzyste. W następnej jednak kierował się już jedynie tą prawidłowością, która była najłatwiejsza do ogarnięcia (związana ze zwiększaniem się wyników). Ta strategia jest przez niego kontynuowana w rozwiązaniach następnych podpunktów, wskazując na silne w procesie rozwiązywania problemu oddziaływanie mentalne samodzielnie zauważonych związków matematycznych. 4
Kolejny przykład odsłania natomiast bezradność ucznia, który nie widząc w jaki sposób zmieniają się liczby, próbuje jednak je wykorzystać. Odwołuje się prawdopodobnie do strategii polegającej na wykorzystaniu liczb z wcześniejszego wiersza i stworzeniu zapisu podobnego w swojej strukturze do poprzednich. Jest on jednak świadomy, że nie znalazł związków między kolejnymi działaniami w serii. Zgadywanie bowiem jest właśnie szukaniem na chybił trafił i jako strategia postępowania zostaje uruchomiona w przypadku, gdy nie dostrzegamy zależności w badanym problemie. Kolejny trzecioklasista również próbował oswoić problem, nadając mu błędne w tym wypadku znaczenie związane z przemiennością dodawania. Być może 5
pojawianie się tych samych liczb upodobniło jego zdaniem sytuację do znanej mu własności. Mogło być jednak również tak, że uczeń nie wiedział, że może odwoływać się do swojego sposobu myślenia, czyli sam poszukiwać relacji matematycznych. Sięgnął więc do strategii przypomnienia sobie tego, co już było w szkole. Znacznie częściej (prawie połowa badanych trzecioklasistów) uczniowie dostrzegali w podanych sekwencjach działań zależności i potrafili prawidłowo kontynuować serię. Autor przytoczonego poniżej rozwiązania doskonale wiedział, że dodawane są kolejne liczby nieparzyste, choć sam nie trzymał się takiego zapisu. 6
Sposób opisu zastosowany przez dziecko ujawnia zauważone prawidłowości. Uczeń, którego rozwiązanie podajemy poniżej dostrzegł, że każda liczba z kolejnych działań serii zwiększa się o 2. Dostrzeganie związków, zauważanie przyczyny i skutku najbardziej chyba kojarzy się z myśleniem logicznym. Matematyka dostarcza nieustannie przykładów pokazujących potrzebę jego zastosowania. Już małe dzieci potrafią, a przede wszystkim chcą dostrzegać związki przyczynowo-skutkowe. Uczniowie klasy trzeciej potrafią radzić sobie w różny sposób, kiedy szukają prawidłowości. Dobrą strategią jest na przykład metoda prób i poprawek 1. Poniżej zaprezentowane rozwiązanie kolejnego zadania pokazuje właśnie sposób myślenia ucznia, który tworząc na własne potrzeby rodzaj tabeli, sprawdza kolejne możliwości. Nie strzela jednak bez świadomości zależności, ale próbuje wykorzystać te informacje, które już zauważył. Za pierwszym razem wziął za dużo, za drugim za mało, w końcu zauważył, że to będą pełne dziesiątki. 1 Zob. M. Dąbrowski, Pozwólmy dzieciom myśleć. Warszawa 2008. 7
Ten, wydawać by się mogło, dyletancki sposób pozwolił na zauważenie, jakie są relacje między liczbami książek umieszczonych na półkach. Zupełnie inaczej postąpił autor kolejnego rozwiązania tego samego zadania. Zastosował narzędzia matematyczne poznane w szkole (a więc profesjonalne ) takie, jak równanie czy graf. Brak rozumienia, jaki jest związek między bohaterami tej historii uniemożliwił prawidłowe rozwiązanie zadania. Dostrzeganie prawidłowości jest naturalną aktywnością intelektualną człowieka. W każdym zdarzeniu będącym w przestrzeni naszego postrzegania, szukamy w sposób uświadomiony lub nie związków pozwalających rozumieć sytuację. Warto więc zachęcać dzieci do samodzielnych odkryć w tym zakresie. Tego rodzaju trening wspomaga kształtowanie odpowiedniego stosunku do nowej wiedzy. Dzieci próbują poznawać nowe zagadnienia rozumiejąco w odróżnieniu od często spotykanego również na lekcjach matematyki zakuwania na pamięć. 8