PŁOCKA MIĘDZYGIMNAZJALNA LIGA PRZEDMIOTOWA MATEMATYKA marzec 2013

Transkrypt

1 PŁOCKA MIĘDZYGIMNAZJALNA LIGA PRZEDMIOTOWA MATEMATYKA marzec 03 KARTA PUNKTACJI ZADAŃ (wypełnia komisja konkursowa): Numer zadania Zad. Zad. SUMA PUNKTÓW Poprawna Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 Zad. 6 Zad. 7 odpowiedź Max liczba punktów Wybrana odpowiedź Liczba uzyskanych punktów Drogi Uczniu! Przed Tobą arkusz z ciekawymi zadaniami z matematyki. Przy każdym zadaniu podano liczbę punktów, jaką możesz uzyskać. Swoje rozwiązania i odpowiedzi do zadań umieszczaj wyłącznie w przeznaczonym do tego miejscu. W zadaniach zamkniętych o numerach i podane są cztery odpowiedzi. Wybierz tylko jedną z nich i wpisz w odpowiednią kratkę. Zapisuj szczegółowe komentarze do rozwiązań zadań otwartych. Pominięcie argumentacji lub istotnych obliczeń może spowodować, że za rozwiązanie nie będziesz mógł otrzymać maksymalnej liczby punktów. Rozwiązując zadania nie możesz korzystać z kalkulatora. Test trwa 90 minut. POWODZENIA! KOD ucznia

2 BRUDNOPIS

3 Zadanie. ( punkt) Bok rombu ma długość Kąt ostry w tym rombie ma miarę: cm, zaś pole tego rombu wynosi cm. A. 30 B. 45 C. 60 D. nie można określić Zadanie. Zadanie. ( punkt) b Jeżeli a to b wynosi: b A. a a B. a a C. a a D. a Zadanie. Zadanie 3. (4 punkty) Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o ten sam procent kurtka kosztuje o 36% mniej niż przed obniżkami. Ile procent ceny początkowej stanowiła cena kurtki po pierwszej obniżce? Odpowiedź: 3

4 Zadanie 4. (4 punkty) Uzasadnij, że istnieje tylko jedna liczba całkowita spełniająca równanie x x x. Odpowiedź: 4

5 Zadanie 5. (3 punkty) Sumę S miar kątów wewnętrznych n-kąta wypukłego można opisać wzorem funkcji. a) podaj dziedzinę funkcji określonej powyższym wzorem, b) narysuj wykres tej funkcji dla c) ile boków ma wielokąt, którego suma S miar kątów wewnętrznych spełnia warunek S n 80 n S 500? n 6, Odpowiedź: 5

6 Zadanie 6. (5 punktów) W kąt prosty wpisano dwa okręgi zewnętrznie styczne i styczne do ramion kata. Promień mniejszego okręgu ma długość cm. Oblicz długość promienia większego okręgu. Odpowiedź: 6

7 Zadanie 7. (4 punkty) Pan Jabłoński planując nowy sad, chce zasadzić drzewka tak, by ich liczba w każdym rzędzie była równa liczbie rzędów. Zakupu drzewek do sadu dokonała jego żona, która kupiła o 6 drzewek więcej niż planował mąż. Pan Jabłoński obliczył, że jeśli doda jeszcze jeden rząd i po drzewku w każdym rzędzie, to zabraknie mu 9 drzewek. Oblicz, ile drzewek kupiła żona pana Jabłońskiego. Odpowiedź: 7

8 BRUDNOPIS 8

9 Nr zad. Czynności ucznia Analizuje warunki zadania wybiera poprawną odpowiedź Analizuje warunki zadania wybiera poprawną odpowiedź 3 Analizuje warunki zadania, ustala strategię rozwiązania, zapisuje ceny po kolejnych obniżkach Układa równanie Przekształca wyrażenie i oblicza procent obniżek Zapisuje odpowiedź podając ile procent ceny początkowej stanowiła cena po pierwszej obniżce. PŁOCKA MIĘDZYGIMNAZJALNA LIGA PRZEDMIOTOWA marzec 03 punkty KARTOTEKA TESTU A. 30 G B. Cena początkowa a Procent obniżek x Cena po I obniżce xa x Cena po dwóch obniżkach a Cena po dwóch obniżkach x x 0,8 x 0, 0,64 0,64 a a a Odpowiedź: II cena stanowiła 80% ceny początkowej. Zakres wymagań WA LR WA 4 Zauważa, że iloczyn liczb po lewej stronie równania musi być równy Uzasadnia, że nie jest możliwe, żeby oba czynniki były równe (przypadek.). Zauważa, że oba czynniki muszą być równe - Wyprowadza wniosek uzasadniający tezę twierdzenia (jedyną liczbą spełniającą równanie jest -) Aby iloczyn dwóch liczb całkowitych wynosił musi zachodzić:. x x x lub. x x x Układ równań w przypadku. nie ma rozwiązań, bo z drugiego równania wynika, że pierwsze równanie spełnia tylko x = 0 Rozwiązując układ równań w przypadku. otrzymujemy: x Wniosek: liczba (- ) jest jedynym pierwiastkiem tego równania x 0, a DT RiN Zadania opracowano wykorzystując podręczniki do matematyki dla gimnazjów oraz ogólnie dostępne zbiory zadań 9

10 Określa dziedzinę funkcji a) dziedziną tej funkcji są liczby naturalne n 3 Oblicza współrzędne punktów i rysuje wykres funkcji w podanej dziedzinie b) aby narysować wykres należy obliczyć współrzędne punktów (wykres składa się z 4 punktów o podanych współrzędnych): n Rozwiązuje układ nierówności, wyznacza liczbę n (liczbę boków wielokąta spełniającą podany warunek) 80 n n 900 S(n) n n wniosek: n F RiN Odpowiedź: wielokąt spełniający podany warunek to jedenastokąt. Wykonuje rysunek, zaznaczając na nim ważne dla rozwiązania zadania elementy 6 G WA Zauważa, że trójkąt ABS (mały okrąg) oraz trójkąt ACO (duży okrąg) są prostokątne równoramienne i oblicza długości odcinków AS oraz AO (przekątne kwadratów) Zapisuje długość odcinka AO jako zależność między odcinkiem AS, promieniem małego i dużego okręgu Układa i rozwiązuje równanie, ABS ACO - prostokątny, równoramienny, - prostokątny, równoramienny, Mamy więc: AS AO R AO R R R 0

11 wyznaczając długość promienia dużego okręgu. Uwaga: Jeżeli uczeń nie usunie niewymierności z mianownika ułamka, za ostatnią czynność otrzymuje pkt. R( ) R R 3 Odpowiedź: promień dużego okręgu ma długość 3. Analizuje warunki zadania (może wykonać pomocniczy rysunek), zapisuje wyrażenie określające liczbę drzewek zaplanowanych praz męża liczba drzewek planowana przez męża - n n liczba drzewek zakupionych przez żonę n 6 7 Zapisuje równanie opisujące nową sytuację w sadzie Przekształca wyrażenie, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia, rozwiązuje równanie Oblicza, ile drzewek kupiła żona nowa liczba drzewek n n n 6 9 n n n n 4 n 5 Żona kupiła n drzewek ZL WA RiN ZAKRES WYMAGAŃ: LR WA RN DT F G ZL Działania w zbiorze liczb rzeczywistych z uwzględnieniem działań na potęgach i pierwiastkach, zastosowanie tych działań w rozwiązywaniu zadań tekstowych. Wyrażenia algebraiczne. Przekształcanie jednomianów i sum algebraicznych. Wzory skróconego mnożenia. Rozwiązywanie równań i nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, zastosowanie w rozwiązywaniu zadań tekstowych. Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną (bez równań wymiernych). Dowodzenie twierdzeń z zastosowaniem: cech podzielności liczb, działań na wyrażeniach algebraicznych, działań na potęgach i pierwiastkach Funkcja liniowa i jej własności. Uzasadnianie i opisywanie za pomocą wzoru zależności funkcyjnych. Ilustracje w układzie współrzędnych. Pola i obwody figur płaskich. Zastosowanie w rozwiązywaniu zadań tekstowych Zadania i zagadki logiczne. UMIEJĘTNOŚCI: stosowanie języka matematycznego przy zapisywaniu rozwiązań zadań i uzasadnianie strategii postępowania; formułowanie wniosków na podstawie analizy podanego tekstu matematycznego; sprawdzanie, czy otrzymany wynik spełnia warunki zadania; rozwiązywanie łamigłówek logicznych, dostrzeganie prawidłowości.

12 PŁOCKA MIĘDZYGIMNAZJALNA LIGA PRZEDMIOTOWA marzec 0 SZKICE PRZYKŁADOWYCH ROZWIĄZAŃ ZADAŃ UWAGA: Za prawidłowe rozwiązanie każdego zadania metodą inną niż podane poniżej przyznajemy maksymalną liczbę punktów Zadanie. Zadanie. Odpowiedź A. Odpowiedź B. Zadanie 3. (4 punkty) Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o ten sam procent telewizor kosztuje o 36% mniej niż przed obniżkami. Ile % ceny początkowej stanowiła cena telewizora po pierwszej obniżce? Rozwiązanie: Cena początkowa a Procent obniżek x x Cena po I obniżce a Cena po dwóch obniżkach x a Cena po dwóch obniżkach 0,64 a x x 0,8 x 0, 0,64 Odpowiedź: Druga cena stanowiła 80% ceny początkowej. Zadanie 4. (4 punkty) Uzasadnij, że istnieje tylko jedna liczba całkowita spełniająca równanie x x. x Rozwiązanie: Aby iloczyn dwóch liczb całkowitych wynosił musi zachodzić: x. x lub. x Układ równań w przypadku. nie ma rozwiązań, bo z drugiego równania wynika, że x 0, a pierwsze równanie spełnia tylko x = 0 x Rozwiązując układ równań w przypadku. otrzymujemy: Wniosek: liczba (- ) jest jedynym pierwiastkiem tego równania x x x

13 Zadanie 5. (3 punkty) Sumę S miar kątów wewnętrznych n-kąta wypukłego można opisać wzorem funkcji. a) podaj dziedzinę funkcji określonej powyższym wzorem, b) narysuj wykres tej funkcji dla c) ile boków ma wielokąt, którego suma S miar kątów wewnętrznych spełnia warunek S n 80 n S 000? Rozwiązanie: n 6, a) dziedziną tej funkcji są liczby naturalne n 3 b) aby narysować wykres należy obliczyć współrzędne punktów (wykres składa się z 4 punktów o podanych współrzędnych): n c) 80 n n n n S(n) wniosek: n Odpowiedź: wielokąt spełniający podany warunek to jedenastokąt. Zadanie 6. (5 punktów) W kąt prosty wpisano dwa okręgi zewnętrznie styczne i styczne do ramion kata. Promień mniejszego okręgu ma długość cm. Oblicz długość promienia większego okręgu. Rozwiązanie: - prostokątny, równoramienny, ABS AS - prostokątny, równoramienny, ACO AO R AO R Mamy więc: R R R( ) R R 3 Odpowiedź: promień dużego okręgu ma długość 3. 3

14 Zadanie 7. (4 punkty) Pan Jabłoński planując nowy sad, chce zasadzić drzewka tak, by ich liczba w każdym rzędzie była równa liczbie rzędów. Zakupu drzewek do sadu dokonała jego żona, która kupiła o 6 drzewek więcej niż planował mąż. Pan Jabłoński obliczył, że jeśli doda jeszcze jeden rząd i po drzewku w każdym rzędzie, to zabraknie mu 9 drzewek. Oblicz, ile drzewek kupiła żona pana Jabłońskiego Rozwiązanie: liczba drzewek planowana przez męża - n n liczba drzewek zakupionych przez żonę n n n 6 n 6 nowa liczba drzewek 9 n n n n 4 n 5 Żona kupiła n drzewek Odpowiedź: Żona pana Jabłońskiego kupiła 50 drzewek.. LR WA RN DT F G ZL ZAKRES WYMAGAŃ : Działania w zbiorze liczb rzeczywistych z uwzględnieniem działań na potęgach i pierwiastkach, zastosowanie tych działań w rozwiązywaniu zadań tekstowych. Wyrażenia algebraiczne. Przekształcanie jednomianów i sum algebraicznych. Wzory skróconego mnożenia. Rozwiązywanie równań i nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, zastosowanie w rozwiązywaniu zadań tekstowych. Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną (bez równań wymiernych). Dowodzenie twierdzeń z zastosowaniem: cech podzielności liczb, działań na wyrażeniach algebraicznych, działań na potęgach i pierwiastkach Funkcja liniowa i jej własności. Uzasadnianie i opisywanie za pomocą wzoru zależności funkcyjnych. Ilustracje w układzie współrzędnych. Pola i obwody figur płaskich. Zastosowanie w rozwiązywaniu zadań tekstowych Zadania i zagadki logiczne. UMIEJĘTNOŚCI: stosowanie języka matematycznego przy zapisywaniu rozwiązań zadań i uzasadnianie strategii postępowania; formułowanie wniosków na podstawie analizy podanego tekstu matematycznego; sprawdzanie, czy otrzymany wynik spełnia warunki zadania; rozwiązywanie łamigłówek logicznych, dostrzeganie prawidłowości. Zadania opracowano wykorzystując podręczniki do matematyki dla gimnazjów oraz ogólnie dostępne zbiory zadań 4