LABORATORIUM 4 1. Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz. I)
WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE (STATISTICAL INFERENCE) Populacja generalna zbiór dowolnych elementów, nieidentycznych z punktu widzenia danej cechy, który jest obiektem zainteresowania statystyki. Próba (statystyczna) podzbiór populacji generalnej, powinna być miniaturą populacji. Jest ona bezpośrednim przedmiotem badań (wnioskowanie statystyczne)
ZMIENNA LOSOWA CIĄGŁA Populacja Generalna (PG) funkcja gęstości prawdopodobieństwa : f(x) - <x < Próba (P n ) 1) mała n<30 2) duża n 30 Parametry PG: Estymatory: Wartość oczekiwana (, EX) Średnia arytmetyczna (, x sr ) Wariancja ( 2, V(X) ) Wariancja z próby (kwadrat odchylenia standardowego)
Kryterium 3 2* 0,15 % na 1000 wyników przeciętnie 3 znajdują się poza przedziałem ( -3, +3 )
ĆWICZENIE 1 Celem określenia przeciętnej masy (wartości oczekiwanej) cegieł produkowanych w cegielni pobrano losowo partię (próbę) 10-ciu cegieł ich masa wynosiła w kg: 3,12; 3,40; 2,41; 2,84; 3,32; 2,96; 3,47; 3,21; 3,06; 3,28 1. Wprowadzić wartości do kolumny ECELA bez wyniku wątpliwego 2,41 : 2. Wyznaczyć średnią arytmetyczną- x sr (Excel:ŚREDNIA) oraz błąd standardowy s (Excel:ODCHYLENIE STANDARDOWE) 3. Stosując kryterium 3 podjąć decyzję czy wynik 2,41 odrzucić lub nie ( sprawdzić czy wynik ten znajduje się w przedziale: x sr -3s, x sr +3s ) 4. Jeśli w wyniku pktu 3 stwierdzono, że brak jest podstaw do odrzucenia wyniku wątpliwego, dołączyć go do pozostałych i obliczyć: x sr oraz s
ESTYMATORY µ i σ 2 ESTYMATOREM WARTOŚCI OCZEKIWANEJ µ=ex Jest: ŚREDNIA ARYTMETYCZNA ESTYMATOREM WARIANCJI jest: KWADRAT ODCHYLENIA STANDARDOWEGO Z PRÓBY, s 2 (BŁĘDU STANDARDOWEGO)
ROZKŁAD ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ PRÓB Przykład: Populacja generalna: wielokrotne (nieskończone) rzuty kością do gry. Niech zmienną losową będą liczby oczek w każdym pojedynczym rzucie. Rozkład zmiennej losowej podany jest w Tabeli 1. Tabela 1 Parametry rozkładu populacji: x 1 2 3 4 5 6 p(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Przypuśćmy, że nie znamy µ, celem jej oszacowania wyznaczamy z prób o liczebności n=2. Zwykle ograniczamy się do jednej próby, lecz aby określić jak dokładnie przybliża µ, określmy dla wszystkich możliwych prób o n=2.
ROZKŁAD ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ PRÓB c.d POPULACJA Nieskończenie wiele wyników: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Parametry: µ =3,5 σ 2 =2,92 Tabela 2 wyniki wszystkich prób n=2 Próba Próba Próba 1; 1 1,0 1; 2 1,5 1; 3 2,0 1; 4 2,5 1; 5 3,0 1; 6 3,5 2; 1 1,5 2; 2 2,0 2; 3 2,5 2; 4 3,0 2; 5 3,5 2; 6 4,0 3; 1 2,0 3; 2 2,5 3; 3 3,0 3; 4 3,5 3; 5 4,0 3; 6 4,5 4; 1 2,5 4; 2 3,0 4; 3 3,5 4; 4 4,0 4; 5 4,5 4; 6 5,0 5; 1 3,0 5; 2 3,5 5: 3 4,0 5; 4 4,5 5; 5 5,0 5; 6 5,5 6; 1 3,5 6; 2 4,0 6; 3 4,5 6; 4 5,0 6; 5 5,5 6; 6 6,0 PRÓBA Tabela 3 Rozkład 1,0 1/36 1,5 2/36 2,0 3/36 2,5 4/36 3,0 5/36 3,5 6/36... w próbach 4,0 5/36 4,5 4/36 5,0 3/36 5,5 2/36 6,0 1/36 =1,0
ROZKŁAD ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ PRÓB c.d OGÓLNIE: (dla populacji) ma w przybliżeniu rozkład normalny! n=2
ROZKŁAD ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ OGÓLNIE: σ śr2 = = x śr ma rozkład normalny N(μ, σ śr )
ROZKŁAD ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ PRÓB DLA PRÓBY:
ROZKŁAD ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ PRÓB c.d
Estymacja wartości oczekiwanej ( ) P.G. populacja generalna X- zmienna losowa; f(x) funkcja gęstości prawdopodobieństwa -wartość oczekiwana; - odchylenie standardowe P n - próba n-elementowa ; x sr N(, sr )
Estymacja wartości oczekiwanej ( ) Poziom ufności Przedział ufności P ( - z α/2 < z < z α/2 ) = 1 α
TEORIA ESTYMACJI I ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA dla μ: μ=x sr ±Δμ Dane: próba losowa: P (n), poziom ufności: 1-α 3. ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA : PRÓBA LOSOWA P (n) (n-elementowa) Gdy: σ znane (jest to słuszne też dla małej próby) Gdy: σ nieznane TYLKO dla dużej próby Mała (n <30) z α z N(0,1) : ROZKLAD.N.S.ODW (wstawić α/2, uzyskujemy -z α ) t α z rozkładu t-studenta ROZKŁAD.T.ODW (prawdopodobieństwo: α/2, stopnie swobody: k=n-1 uzyskujemy t α )
ZADANIA (1) Celem określenia przeciętnej masy (wartości oczekiwanej) cegieł produkowanych w cegielni pobrano losowo partię (próbę) 9-ciu cegieł ich masa wynosiła w kg: 3,12; 3,40; 2,84; 3,32; 2,96; 3,47; 3,21; 3,06; 3,28 1. Obliczyć: x sr oraz s(x). 2. Wyznaczyć błąd standardowy średniej arytmetycznej s( x ) s( x) n 6. Oszacować wartość przeciętną populacji- (estymacja punktowa) z uwzględnieniem błędu bezwzględnego: x s( x sr ) oraz błędu względnego w % : sr x *100% sr sr s( x x sr ) sr [kg]
ZADANIA (c.d.) 1. Dokonano 100 pomiarów ciśnienia wody na ostatnim piętrze budynku i uzyskano p sr =2,21 atm; s 2 = 4,41 atm 2. Wyznaczyć przedział ufności wartości oczekiwanej p, przyjmując poziom ufności 1- : a) 0,99; b) 0.98; c) 0,95. Odp: a) ( 1,67 ; 2,75) b) (1,72; 2,70); c) (1,80; 2,62). 2. Przeprowadzono 10 pomiarów grubości spieku ceramicznego i uzyskano wyniki w mm: 7,0; 7,5; 8,5; 8,0; 6,0 ; 7,5; 6,5; 5,5; 7,5; 6,0. Wyznaczyć przedział ufności w przypadkach: A) σ = 1mm; 1-α; a) 0,99; b) 0,98; c) 0,95 B) wykonać analog. obliczenia gdy nieznane oraz 1-α; a) 0,99; b) 0,98; c) 0,9
ZADANIA (3) Celem określenia przeciętnej masy (wartości oczekiwanej) cegieł produkowanych w cegielni pobrano losowo partię (próbę) 10-ciu cegieł ich masa wynosiła w kg: 3,12; 3,40; 2,41; 2,84; 3,32; 2,96; 3,47; 3,21; 3,06; 3,28 1. Wprowadzić wartości do kolumny ECELA bez wyniku wątpliwego 2,41 : 2. Wyznaczyć średnią arytmetyczną- x sr (Excel:ŚREDNIA) oraz błąd standardowy s (Excel:ODCHYLENIE STANDARDOWE) 3. Stosując kryterium 3 podjąć decyzję czy wynik 2,41 odrzucić lub nie ( sprawdzić czy wynik ten znajduje się w przedziale: x sr -3s, x sr +3s ) 4. Jeśli w wyniku pktu 3 stwierdzono, że brak jest podstaw do odrzucenia wyniku wątpliwego, dołączyć go do pozostałych i obliczyć: x sr oraz s 5. Wyznaczyć błąd standardowy średniej arytmetycznej s( x ) 6. Oszacować wartość przeciętną populacji- (estymacja punktowa) z uwzględnieniem błędu bezwzględnego: x s( x sr ) kg oraz błędu względnego w % s( xsr) xsr *100% x sr sr sr s( x) n