x = x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3

ÏÝ ¼ ÏÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ö ÙÒ Ù Û ØÓÖÓÛ Ó À ÒÖÝ ÃÙ Ð ËÔ ØÖ ½ ÈÖÞ ØÖÞ Ù Ð ÓÛ ¹ Û ØÓÖ ÔÓ Ó Ò ½ ¾ Ì Ò ÓÖÝ ÖÞ Ù ÖÙ Ó ¾º½ Ê ÔÖ Þ ÒØ Ø Ò ÓÖ ÖÞ Ù ÖÙ Ó Û ÔÖÓ ØÓ ØÒÝÑ Ù Þ ÖØ Þ Ñ ¾º¾ ÈÖÞÝ Ý Ø Ò ÓÖ Û ÖÞ Ù ÖÙ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ä Ò ÓÛ ÔÖÞ ØÖÞ Û ØÓÖÓÛ ÇÔ Ö Ö Ò Þ ÓÛ Ò ÔÓÐ Ð ÖÒÝ Û ØÓÖÓÛÝ º½ Ö ÒØ ÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÇÔ Ö ØÓÖ ÝÛ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º ÇÔ Ö ØÓÖ ÖÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ò Ñ ØÝÞÒ Û ÖÓÛÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÝÖ ÙÐ ÔÓÐ ÔÖ Ó ØÛ Ö Þ Ò ËØÓ ³ º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÏÝ Ö Ò Þ Ð ÒÓ Þ Ó Þ ÔÓÑ ÞÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ grad div rotº ¾ º½ Ä ÔÐ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ Ê ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÏÞÓÖÝ ÓÛ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º½ ÌÛ Ö Þ Ò Ó Ö ÔÖ Þ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º Ï ÒÓ ÙÒ ÖÑÓÒ ÞÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÔØ Ö µïý Ö Ò Þ Ò Ò Þ Ö ÙÒ Ù Û ØÓÖÓÛ Ó ½ ÈÖÞ ØÖÞ Ù Ð ÓÛ ¹ Û ØÓÖ ÔÓ Ó Ò Ó ÓÔ Ù ÔÓ Ó Ò ÔÙÒ ØÙ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò Þ ÑÝ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ Ð ÖØ Þ Ù Û Ô ÖÞ ÒÝ (e 1,e 2,e 3 ) Þ e i ÓÞÒ Þ Û ØÓÖÝ ÒÓ Ø ÓÛ ÖÓÛ Ò Ó ÔÓ¹ Û Ò Ó Û ÖÙÒ Ù Ó i = 1,2,3º ÛÝÞ ÓÛÓ Ó Ù Ý Û Ô ÖÞ ÒÝ Ò ÞÝÛ Ò Ó Ñ (x,y,z)º ÇÞÒ Þ Ò Ò Ó Ò Ñ Ù ØÛ Þ Ô Ð Ö ÞÒÝ Þ Ò ½

½ ÈÊ ËÌÊ ÍÃÄÁ ËÇÏ ¹ Ï ÃÌÇÊ ÈÇ Çë ÆÁ ÊÝ ÙÒ ½ Ï ØÓÖ x Û ÖØ Þ Ñ Ù Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ Þ Þ ÞÒ ÞÓÒÝÑ Ø Ñ Ñ ÞÝ Ó Ñ Û Ô ÖÞ ÒÝ Û ØÓÖ ÙÓ ÐÒ Ò Ò Û Þ Ð Þ ÛÝÑ Ö Ûº Ï Ô ÖÞ Ò Û ØÓÖ x ÛÝÖ ÔÖÞ Þ Ó ÒÙ Ý ÖÙÒ ÓÛ Ò ØÔÙ Ó x 1 = x cosα, x 2 = x cosβ, x 2 = x cosγ ½µ Ï ØÓÖ x Þ Ù Ý Ñ Û ØÓÖ Û ÞÓÛÝ ÑÓ Ò ÔÖÞ Ø Û Ó ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ Ð Þ Ð Ö Ûµ Û ØÓÖ Û ÞÓÛÝ x = x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3 ¾µ ÏÝ Ó Ò Ø ÙÛÓÐÒ Ö ÔÖ Þ ÒØ Û ØÓÖ Û ÔÓ Ø ØÖÞ Ó ÞÛ Þ Ù Þ Ù Ñ Û Ô ÖÞ ÒÝ º Ï ØÓÖ x ÑÓ Ò ÙØÓ Ñ Þ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò ØÖ Ð Þ x = (x 1,x 2,x 3 )º Ö Û ÞÝ Ø ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝ Û ØÖÞ ÐÙ Û µ Ð Þ Ò ÞÛ Û ØÓÖÓÛ µ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ù Ð ÓÛ º Ì ØÖ Ð Þ Þ ÑÝ Ò ÞÝÛ Û ØÓÖ Ñ ÐÙ ÔÙÒ Ø Ñ ÔÖÞ ¹ ØÖÞ Ò Ù Ð ÓÛ º Ð Ñ ÒØÝ Ø ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ô Ò Ô ÛÒ ÓÖÑ ÐÒ Û ÒÓ º Ð Ñ ÒØ Ñ Þ ÖÓÛÝÑ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ù Ð ÓÛ Ø ÔÓÞ Ø Ù Ù Û Ô ÖÞ ÒÝ ØÞÒº Û ØÓÖ Ø Ö Ó Û ÞÝ Ø Û Ô ÖÞ Ò Ö ÛÒ Þ ÖÓº Ï ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ù Ð ÓÛ ÖØ ¹ Þ Ó Ö ÐÓÒ Þ Ò Ó Û Ò ÑÒÓ Ò ÔÖÞ Þ Ð Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø x+y = (x 1 +y 1,x 2 +y 2,x 3 +y 3 ), ax = (ax 1,ax 2,ax 3 ) µ ÏÔÖÓÛ Þ ÐÓÞÝÒ Ð ÖÒÝ Û Û ØÓÖ Û 3 x y = x i y i k=1 µ ÈÖÞÝ ÔÓÑÓÝ ÐÓÞÝÒÙ Ð ÖÒ Ó ÑÓ Ò Þ Ò ÓÛ ÒÓÖÑ Ù Ó µ Û ØÓÖ x = (x x) 1 2 = ( 3 1 x 2 i )1 2 µ ÈÖÞÝ ÔÓÑÓÝ ÐÓÞÝÒÙ Ð ÖÒ Ó ÑÓ Ò Ø Ñ ÖÞÝ Ø Ñ ÞÝ ÛÓÑ Û ØÓÖ Ñ º (x,y) = x y cosφ µ ¾ À ÒÖÝ ÃÙ Ð

½ ÈÊ ËÌÊ ÍÃÄÁ ËÇÏ ¹ Ï ÃÌÇÊ ÈÇ Çë ÆÁ Ò ½º½º Å Û ÑÝ Û Û ØÓÖÝ Ó ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Ý ÐÓÞÝÒ Ð ÖÒÝ Ø Ö ÛÒÝ Þ ÖÙ (x,y) = 0º ÈÓÛÝ ÞÝ Ø ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ Ó Ó Ö Ð Ò Û Ô ÖÞ ÒÝ Û ØÓÖ x Û ÓÖØÓ ÓÒ Ð¹ ÒÝÑ Ù Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ e i º Å ÒÓÛ x i = x e i ÁÐÓÞÝÒ Ð ÖÒÝ Û ØÓÖ x ÔÖÞ Þ Û ØÓÖ ÒÓ Ø ÓÛÝ n Ó ÔÓÛ ÔÖÓ Û ØÓÖ x Ò ÖÙÒ nº Ï ÖØÓ ÐÓÞÝÒÙ Ð ÖÒ Ó Û ØÓÖ Û ÞÓÛÝ ÛÝ Ó Ò Ø Þ Ô ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ Ýѹ ÓÐÙ ÐØÝ ÃÖÓÒ Ö e i e j = δ ij µ Þ ÝÑ ÓÐ δ ij Ò Ù Ò ØÔÙ Ó { 1 Ð i = j δ ij = 0 Ð i jº Ð Ý ÙÔÖÓ Þ Ô ÓÖ ÞÓÛÓ Ò Ô ÞÒ Ù ÙÑÝ Þ ÑÝ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ ÓÒÛ Ò ÙÑ Ý Ò Ð Û Þ ÓÒ ÛÝ ØÔÙ ÔÓÛØ ÖÞ Ý Ò Û ÛÞÓÖÞ Ò iµ ØÓ Þ ÓÒ ÔÓ Ð ÙÑÓÛ Ò Ù Ó i = 1 Ó i = 3 ÐÙ i = 2µº Ï Û x y = x i y i º ÓÛÓ Þ Ò ØÔÙ Ó ØÛ Ö Þ Ò ÌÛ Ö Þ Ò ½º½º Æ x,y,z R 3 Ò a Þ Ð Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø º ÏØ Ý ½º x 0 ¾º x = 0 ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý x = 0 º ax = a x º x y x y º x+y x + y º x z x y + y z  ÒÝÑ Þ ÔÓ Ø ÛÓÛÝ ÔÓ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ ÒÝ Û ÞÝ Û ÞÞ ÐÒÓ Û Ñ ¹ Ò Ó ÖÓ Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û Ø ÔÓ ÔÓÐ º ÈÓ Ù Ù ÑÝ ÔÓÐ Ñ Ð ÖÒÝÑ Û ØÓÖÓÛÝÑ Ø Ò ÓÖÓÛÝѺ Ð ÛÝ Ó Ý Ò Ù ÑÝ Ù Ð ÒÝ Ó Ò Ô ÛÒ Ó ÖÞ ÞÒ Ò Ò Ó Ö Ð ÑÝ Ô ÛÒÝ ÓÔ Ö Ø Ö Ó ÓÒÝÛ Ò Ò ØÝ ÔÓÐ º Ò ½º¾º ÈÓÐ Ñ Ð ÖÒÝÑ Ò ÞÝÛ ÑÝ ÙÒ Ø Ö ÑÙ ÔÙÒ ØÓÛ x,y,z Ô ÛÒ Ó Ó Þ ÖÙ ÔÖÞÝÔÓÖÞ ÓÛÙ Ð Þ º ÈÓÐ Ñ Ð ÖÒÝÑ Ø Û ÙÒ ÖÞ ÞÝÛ Ø º ÈÖÞÝ Ñ ÞÝÞÒÝÑ Ô Ð Ð ÖÒÝ ÖÓÞ Ý Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ ØÓ Ñ Ø Ö Ò Ò º Ï ÖØÓ ÙÒ Ð ÖÒ Þ ÓÛÙ ÛÓ Û ÖØÓ ÔÖÞÝ Þ Ñ Ò Û Ô ÖÞ ÒÝ x 1,x 2,x 3 Ò x 1,x 2,x 3 ÔÖÞ Þ Ó ÓÒ Ò Ó ÖÓØÙ Ù Ù Û Ô ÖÞ ÒÝ º f(x 1,x 2,x 3 ) = f(x 1,x 2,x 3) µ ÁÒÒÝÑ ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝÑ ÔÓÐ Ñ Ð Ñ Ò Ø ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ º ÌÖ ÝÝ Ò Û ¹ ØÓÖ ÖÓÞÙÑ Û Ð Ó ÞÝÞÒ Ø Ö ÔÓ Û Ð Ó ÖÙÒ ÞÛÖÓØ º Ï Ð Ó µ Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û

¾ Ì ÆËÇÊ Ê Í ÊÍ Á Ç ÊÝ ÙÒ ¾ ÈÖÞÝ ÓÛÝ Ó Ö Þ ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ Ó ÔÖ Ó º Ï Ð Ó ØÖÞ Ø ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÐÒ Ó ÑÓ Ù Ù Û ØÓÖ ÔÖ Ó Ø Ó Ö ÞÙ ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ ØÖÞ ¹Ó Ò Û Ø ÖÝ Ù Ó ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÐÒ Ø Ó Û Ð Ó Û ØÓÖ Þ Ó ÔÓÛ Ò Ó ÖÓÛ ÒÝÑ ÖÓØ Ñ ØÖÞ º Ò ½º º ÈÓÐ Ñ Û ØÓÖÓÛÝÑ Ò ÞÝÛ ÑÝ ÙÒ Ø Ö ÑÙ ÔÙÒ ØÓÛ Û Ù Ø ¹ ÐÓÒÝÑ Ó Þ ÖÞ ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÔÖÞÝÔ Ù Û ØÓÖº ÈÖÞÝ ÓÛÓ Ò Ô ÞÞÝõÒ x 1,x 2 ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ v ÓÔ Ò Ø ÔÖÞ Þ Û ÙÒ ÖÞ ÞÝÛ Ø u(x,y) v(x,y) Ø Ö Û Þ Ô ÖØ Þ Ñ Ñ ÔÓ Ø v(x,y) = u(x,y)e 1 +v(x,y)e 2 ½¼µ ¾ Ì Ò ÓÖÝ ÖÞ Ù ÖÙ Ó Ï Ñ Ò Ó ÓÔ Ù Þ Û ÓÔÖ Þ ÙÒ Ð ÖÒÝ Û ØÓÖÓÛÝ ÞÑÙ Þ Ò Ø ÑÝ ÔÓ Ù Û Ö ÛÒ Ó Ø Ñ Ò ÞÛ ÒÝÑ Ø Ò ÓÖ Ñ º ËÞÞ ÐÒ Ò Ñ ÔÓØÖÞ Ò Ø Ò ÓÖÝ ÖÞ Ù ÖÙ Óº Â Ð Û ØÓÖ ÔÖÞ Ø Û ÑÝ Ó ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò ØÖ Ð Þ ØÓ Ø Ò ÓÖ ÖÞ Ù ÖÙ Ó Û Ó ÐÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù ÛÝÑ Þ Û Ùº Ï Ò ÞÝÑ ÛÝ Þ Þ Ø Ò ÓÖ Ñ ÖÞ Ù ÖÙ Ó ÔÓØ ÑÝ ÔÖÞÝ ÓÔ ÓÖÑ Ð Ñ Ø Û Ô ÝÒÙ Ò ÔÖ º Ð Ð ÞÝ Ð Û ÔÖÞ Þ Ø Ò ÓÖ Þ ÑÝ ÖÓÞÙÑ Ð Ð Ò ÓÛ ÙÒ Û ØÓÖÓÛ T Ø Ö ÑÙ Û ØÓÖÓÛ a ÔÖÞÝÔ Ù Ö ÛÒ Û ØÓÖ Ta = bº Ä Ò ÓÛ ÙÒ Û ØÓÖÓÛ Ò ÞÝÛ Ò Ø Ò ÓÖ Ñ Ô Ò Û ÖÙÒ ½º T(a+b) = Ta+Tb Ð Û ÞÝ Ø Û ØÓÖ Û a,b E 3 ¾º T(αa) = αta Ð α R ÓÖ Þ a E 3 Û Ø Ò ÓÖÝ S T ÙÛ ÑÝ Þ Ö ÛÒ Ð S a = T a Ð Û ÞÝ Ø Û ØÓÖ Û a E 3 º Ò Ù Ø Ò ÓÖ ÒØÝÞÒÓ ÓÛÝ I ÓÖ Þ Ø Ò ÓÖ Þ ÖÓÛÝ Oº Ì Ò ÓÖ ÒÓ Ø ÓÛÝ ÔÓÞÓ Ø Û Û ØÓÖ a Ò ÞÑ Ò ÓÒÝ Ia = a Ò ØÓÑ Ø Oa = 0 Ð Ó a E 3 º Ö Û ÞÝ Ø Ø Ò ÓÖ Û ÖÞ Ù ÖÙ Ó ØÛÓÖÞÝ ÔÖÞ ØÖÞ Ð Ò ÓÛ Lº À ÒÖÝ ÃÙ Ð

Ê ÔÖ Þ ÒØ Ø Ò ÓÖ ÖÞ Ù ÖÙ Ó Û ÔÖÓ ØÓ ØÒÝÑ Ù Þ ÖØ Þ Ñ ¾º½ Ê ÔÖ Þ ÒØ Ø Ò ÓÖ ÖÞ Ù ÖÙ Ó Û ÔÖÓ ØÓ ØÒÝÑ Ù Þ Ö¹ Ø Þ Ñ ÊÓÞÔ ØÖÞÑÝ ÓÛ Û ØÓÖ b Ó Ø Þ Ò Ø Ò ÓÖ T Ò Û ØÓÖ a = a i e i ÞÝÐ b = Taº Ë ÓÛ b i Û ØÓÖ b Ó Ð Þ ÑÝ Ó b i = e i bº ËØ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ï Ô ÖÞ Ò Ø Ò ÓÖ Ò Ù Ó b i = e i b = e i Ta = e i T(a 1 e 1 +a 2 e 2 +a 3 e 3 ) = a 1 e i Te 1 +a 2 e i Te 2 +a 3 e i Te 1 ½½µ T ij = e i Te j ½¾µ Ö ÛÒ Ò ½½µ Û i ta ÓÛ Û ØÓÖ b = Ta Ø ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ ÙÑ µ ÓÛÝ Ø Ò ÓÖ T Û Ô ÖÞ ÒÝ a i Û ØÓÖ a b i = T ij a j ½ µ Ì Û Û Ô ÖÞ Ò Ø Ò ÓÖ T ij Û Ô ÞÝÒÒ Ñ Ð Ò ÓÛ Ö Ð ÔÓÑ ÞÝ ÓÛÝÑ Û ØÓÖ a Û ØÓÖ bº ÛÝ Ð ÔÖÞ Ø Û Û ÔÓ Ø Ñ ÖÞÝ Û Ô ÞÝÒÒ Û [T] ÛÞ Ð Ñ Ù Ù Û ØÓÖ Û ÞÓÛÝ (e 1,e 2,e 3 ) [T] = T 11 T 12 T 13 T 21 T 22 T 23 T 31 T 32 T 33 ½ µ Þ Ò Ø Ò ÓÖ T ÑÓ Ò ÔÖÞ Ø Û Û Þ Ô Ñ ÖÞÓÛÝÑ b 1 b 2 = T 11 T 12 T 13 T 21 T 22 T 23 a 1 a 2 b 3 T 31 T 32 T 33 a 3 ½ µ ÌÖ Ò ÔÓÞÝ Ñ ÖÞÝ [T] ÓÞÒ Þ Ò Ó [T] T Ó Û Ô ÖÞ Ò ÛÝÖ ÔÖÞ Þ Û Ô ÞÝÒÒ Ñ ÖÞÝ T ij [T] T ij = [T] jiº Ì ÓÛ Û ØÓÖ Þ Ð Ó ÔÖÞÝ Ø Ó Ù Ù Û Ô ÖÞ ÒÝ Ø Ö ÛÒ ÓÛ Ø Ò ÓÖ Þ Ð Ó ÔÖÞÝ Ø Ó Ù Ù Û Ô ÖÞ ÒÝ º Ê ÔÖ Þ ÒØ Ñ ÖÞÓÛ Ø Ò ÓÖ ÔÓÞÛ Ð ØÖ ØÓÛ ÓÐÙÑÒÝ Ñ ÖÞÝ Ó Û ØÓÖÝ Ø Ö Ó Ö Þ Ñ Û ØÓÖ Û ÞÓÛÝ e i º ÈÖÞÝ ÓÛÓ Ð Û ØÓÖ e 1 Ñ ÑÝ Te 1 = T 11 e 1 +T 21 e 2 +T 31 e 3 = T j1 e j ½ µ Û ÙÓ ÐÒ ÛÝÒ Þ Ö ÛÒ Ò ½ µ Te i = T ji e j ½ µ Ê ÔÖ Þ ÒØ Ñ ÖÞÓÛ Ø Ò ÓÖ T ÑÓ Ò Û ÔÖÞ Ø Û Ò ØÔÙ Ó [T] = ([Te 1 ],[Te 2 ],[Te 3 ]) ½ µ Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û

ÈÖÞÝ Ý Ø Ò ÓÖ Û ÖÞ Ù ÖÙ Ó ÊÝ ÙÒ Ç Ö Ø Û ØÓÖ v Ó Þ ÒÝ Ø θº ¾º¾ ÈÖÞÝ Ý Ø Ò ÓÖ Û ÖÞ Ù ÖÙ Ó ½º Ç Ö Ø Û ØÓÖ u Ó Þ ÒÝ Ø θº Þ Ò ÔÖÓÛ Þ Ó Ó ÖÓØÙ Û ØÓÖ u Ó Þ ÒÝ Ø θ ÑÓ Ò ÛÝÖ Þ ÔÖÞ Þ Ø Ò ÓÖ ÖÞ Ù ÖÙ Ó Q ÖÝ º Ï ÞÞ ÐÒÓ Ð ÞÝ e i Ñ Ý Qe 1 = cosθe 1 +sinθe 2, Qe 2 = cosθe 2 sinθe 1, Qe 3 = e 3 ½ µ Å ÖÞ Ø Ò ÓÖ Ó ÖÓØÙ Ñ ÔÓ Ø cosθ sinθ 0 [Q] = sinθ cosθ 0 0 0 1 ¾º Ì Ò ÓÖ ÒØÝÞÒÓ ÓÛݺ Ä Ò ÓÛ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ö Ò ÞÑ Ò Û ØÓÖ Ò ¹ ÞÝÛ Ø Ò ÓÖ Ñ ØÝÞÒÓ ÓÛÝÑ ÓÞÒ Þ Ò Ø ÔÖÞ Þ Iº Å ÑÝ Ia = a Û Û ÞÞ ÐÒÓ Ie i = e i º Ë ÓÛ Ø Ò ÓÖ ÒØÝÞÒÓ ÓÛ Ó Ñ ÔÓ Ø ¾¼µ I ij = e i Ie j = e i e j = δ ij Ñ ÖÞ Û Ô ÖÞ ÒÝ Ñ ÔÓ Ø Ñ ÖÞÝ ÒÓ Ø ÓÛ [I] = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ¾½µ ¾¾µ º Ì Ò ÓÖ ÖÞÙØÓÛ Ò º Þ Ò Ñ Ò ÐÙ ÖÞÙØÓÛ Ò Û ØÓÖ v Ò Þ ÒÝ ÖÙÒ ÛÝÞÒ ÞÓÒÝ ÒÓ Ø ÓÛÝÑ Û ØÓÖ Ñ s ÑÓ Ò ÔÖÞ Ø Û ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ Ø Ò ÓÖ P ÖÝ º Pv = (v s)s ¾ µ º Ì Ò ÓÖ ÞÛ Ö Ð Ò Ó Ó Û ØÓÖ º ÈÖÞ ÞØ Ò Û ØÓÖ v ÔÖÓÛ Þ Ó Ó Ó ÞÛ Ö Ð Ò Ó ÛÞ Ð Ñ Ù Ø ÐÓÒ Ô ÞÞÝÞÒÝ Ò ÔÖÞÝ ÛÞ Ð¹ Ñ Ô ÞÞÝÞÒÝ Ó Ø Ö Û ØÓÖ e 1 Ø ÔÖÓ ØÓÔ Ý ÑÓ Ò ÛÝÖ Þ ÔÖÞ Þ Ø Ò ÓÖ ÖÞ Ù ÖÙ Ó Ò ØÔÙ Ó Z(v) = v 2(v e 1 )e 1 ¾ µ À ÒÖÝ ÃÙ Ð

ÄÁÆÁÇÏ ÈÊ ËÌÊ Ï ÃÌÇÊÇÏ ÊÝ ÙÒ ÊÞÙØÓÛ Ò Û ØÓÖ s Ò ÖÙÒ Û ØÓÖ sº ÛÖ ÑÝ ÙÛ ÖÙ Þ ÛÝÖ Ò ÔÓ ÔÖ Û ØÖÓÒ ÔÖÞ Ø Û ÖÞÙØÓÛ Ò Û ØÓÖ v Ò ÖÙÒ e 1 º ÆÓÛÝ Û ØÓÖ Ñ Û Ô ÖÞ Ò Z(v) = ( v 1,v 2,v 3 ) Ñ ÖÞ Û Ô ÖÞ ÒÝ Ð Ø Ó Ø Ò ÓÖ ØÛÓ ÛÝÞÒ ÞÝ Þ Þ Ð ÒÓ e i Z(e j ) = Z ij Ñ ÔÓ Ø [Z] = 1 0 0 0 1 0 ¾ µ 0 0 1 ÊÝ ÙÒ ÈÖÞ ÞØ Ò Û ØÓÖ v Û Ó Ó ÞÛ Ö Ð Ò º ÈÖÞÝ ½º Ó ÞØÝÛÒ Ó Ö Ó 90 o ÛÞ Ð Ñ Ó ÔÖÓ ØÓÔ Ó Ô ÞÞÝÞÒÝ ÖÝ ÙÒ Ù ÛÞ Ð Ñ Ó e 3 º ÏÝÞÒ ÞÝ Ñ ÖÞ Ö ÔÖ Þ ÒØÙ Ø Ò Ó Ö Øº ÊÓÞÛ Þ Ò º Ä Ò ÓÛ ÔÖÞ ØÖÞ Û ØÓÖÓÛ ÈÓÛÝ Þ Û ÒÓ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ù Ð ÓÛ Ó Þ Ý Ò ÞÛÝ Ð ÔÖÞÝ ØÒ Û Ò Ù ÒÒÝ Ó Ø Û Ñ Ø Ñ ØÝÞÒÝ Þ Ò ÓÛ Ò Ù ØÖ Ý Ò Ð Ò ÓÛ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Û ¹ ØÓÖÓÛ º Ò º½º ÈÖÞ ØÖÞ Ò Û ØÓÖÓÛ Ò ÞÝÛ ÑÝ Þ Ö Ð Ñ ÒØ Û Û ØÓÖ Ûµ Ð Ø ¹ ÖÝ Ô Ò ÓÒ Ò ØÔÙ ÓÑ ØÝ ½º Ð Ô ÖÝ Û ØÓÖ Û u,v ÙÑ Û ØÓÖ Û u+v ØÞÒº ÔÖÞ ØÖÞ Ø ÓÑ Ò Ø Ò ÓÔ Ö Ó Û Ò µ Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û

ÇÈ Ê Â Ê ëæá ÃÇÏ Æ ÈÇÄ À ËÃ Ä ÊÆ À Á Ï ÃÌÇÊÇÏ À ¾º u+v = v+u Ó Û Ò Ø ÔÖÞ Ñ ÒÒ µ º (u+v)+w = v+(u+w) Ó Û Ò Ø ÞÒ µ º ØÒ Ð Ñ ÒØ Þ ÖÓÛÝ Ø Ð Ó u Þ Ó Þ u+0 = u º Á ØÒ ÑÒÓ Ò 1 Ø 1u = u º Ð u,v ÓÖ Þ Ð Ö Û α β Þ Ó Þ (α+β)u = αu+βu ÓÖ Þ α(u+v) = αu+αu Ï Ð ÞÝÑ ØÓ Ù ÛÝ Û Ò Û Ò ÞÝÑ Ð Ò ÔÖÞÝ Ñ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Û ØÓÖÓÛ Þ ÔÖÞ ØÖÞ ÙÒ ÓÛ ÐÒÝ Þ Û Ö Ø Ñº ÈÖÞÝ ÓÛÓ Ð ÙÒ Ò ÞÑ Ò¹ Ò Þ Ö Û ÞÝ Ø ÙÒ Ð Ð Ø Ö ØÒ Ò Ó Ò Ù [a,b] b a f(x)2 < º ÈÖÞ ØÖÞ Ø Þ ÑÝ ÓÞÒ Þ L 2 º ØÛÓ ÔÖ Û Þ Ô Ò ÓÒ ÓÑ ØÝ ÔÖÞ ¹ ØÖÞ Ò Û ØÓÖÓÛ º Ï ÔÖÞ ØÖÞ Ò L 2 ÐÓÞÝÒ Ð ÖÒÝ Ò Ù ÑÝ Ó (f,g) = b a f(x)g(x)dx ¾ µ Û ÒÓÖÑ ÙÒ f(x) Ò ÔÖÞ Þ Ð x [a,b] Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò L 2 Ø f(x) = b a f(x) 2 dx ¾ µ ÈÓ ÔÙÒ Ø ØÛ Ö Þ Ò ½ ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓ Ø Ò Ö ÛÒÓ [ b 2 f(x)g(x)dx] a b a [f(x)] 2 dx b a [g(x)] 2 dx ¾ µ b a ( b (f +g) 2 dx [f(x)] 2 dx a ) 1 2 ( b ) 1 + [g(x)] 2 2 dx. ¾ µ a Æ Ö ÛÒÓ ¾ µ Ò ÞÝÛÒ Ò Ö ÛÒÓ Ë Û ÖÞ Ò Ö ÛÒÓ ¾ µ Ò Ö ÛÒÓ Å Ò¹ ÓÛ Óº ÇÔ Ö Ö Ò Þ ÓÛ Ò ÔÓÐ Ð ÖÒÝ Û ØÓÖÓÛÝ Ï Ö ÙÒ Ù Û ØÓÖÓÛÝÑ Ò ÞÛÝ Ð Û ÒÝÑ ÞÝÒÒ Ñ Ø Ò Û Ò ÓÖÑÙ ÓÑ ÐÙ ÔÖ ¹ ÛÓÑ ÞÝÞÒÝÑ Û Ø Ö ÙÛ Ò ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ ÐÙ Ð ÖÒ ÞÛ Þ Ý ÓÖѺ ËØ ØÓ ÞÞ ÐÒ Û Ò Û Þ ØÓ ÓÛ Ò Û Ø ÖÝ ÔÓ Û ÙÒ Û ÐÙ ÞÑ Ò¹ ÒÝ ÔÓ Ù Ù ÑÝ ÔÓ Ó ÒÝÑ Þ Ø ÓÛÝÑ º Ý ØÛÓÖÞÝ Ñ Ø Ñ ØÝ ÓÑ ÞÝ ÓÑ ÑÓ Ð ÛÓ ÞÛ ÖØ ÞÛ Þ ÔÖ Þ ÒØ ØÛ Ö Þ ÓÖ Þ ÓÖÑÙ ÓÛ Ò Ô ÛÒÝ ÞÝÞÒÝ Û Á Û Ù Ï ÐÐ Ñ ÊÓÚ Ò À Ñ ÐØÓÒ Þ ÒÒÝÑ ÛÔÖÓÛ Þ ÓÔ Ö ØÓÖÝ Ö Ò Þ ÓÛ Ö ÒØÙ ÝÛ Ö Ò ÖÓØ º À ÒÖÝ ÃÙ Ð

Ö ÒØ ÙÒ º½ Ö ÒØ ÙÒ Ï Ò Ð Þ ÙÒ Û ÐÙ ÞÑ ÒÒÝ Ö ÙÒ Ù Û ØÓÖÓÛÝÑ Þ Ö ÒØ Ñ ÙÒ φ(x,y,z) ÔÓØÝ ÑÝ ÔÖÞÝ Ó Ð Þ Ò Ù Ð Ò ÓÛ Ó ÔÖÞÝÖÓ ØÙ ÞÑ Òݵ Ø ÙÒ ÔÖÞÝ ÞÑ Ò Û Ö¹ ØÓ ÞÑ ÒÒÝ (x 1,x 2,x 3 ) Ò (x 1 + x 1,x 2 + x 2,x 3 + x 3 )º Ñ ÒÓÛ dφ = φ(x 1 + x 1,x 2 + x 2,x 3 + x 3 ) φ(x 1,x 2,x 3 ) = φ x 1 x 1 + φ x 2 x 2 + φ x 3 x 3 = ( φ x 1, φ x 2, φ x 3 ) ( x 1, x 2, x 3 ) Ï ØÓÖ ÙØÛÓÖÞÓÒÝ Þ ÔÓ Ó ÒÝ Þ Ø ÓÛÝ ÙÒ Ð ÖÒ Ò ÞÝÛ ÒÝ Ø Ö ÒØ Ñ ÙÒ Ò º½º Ö ÒØ Ñ ÙÒ f(x,y,z) Ø ÖÝ Þ ÑÝ ÓÞÒ Þ Ó f ÐÙ gradf Ò ÞÝÛ ÑÝ Û ØÓÖ f = ( f x, f y, f z ) ½µ Ö ÒØ ÙÒ f ÔÓ Û Û ÛÞÓÖÞ Ò ÔÓ Ó Ò ÖÙÒ ÓÛ ÙÒ º Æ s o = (cosα 1,cosα 2,cosα 3 ) Þ Û ØÓÖ Ñ ÒÓ Ø ÓÛÝÑ ÓÔ Ù ÝÑ ÖÙÒ ÔÖÓ Ø l Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò R 3 º à ØÝ α i Ø Ñ Ò ÝÐ Ò ÔÖÓ Ø l ÛÞ Ð Ñ Ó Ù Ù e i º ÏÝ ÖÞÑÝ Ò ÔÖÓ Ø l ÔÙÒ Ø P(x 1,x 2,x 3 ) Ù Ý Þ Ò Ñ ÔÙÒ Ø P (x 1 +tcosα 1,x 2 +tcosα 2,x 3 + tcosα 3 )º ¼µ ÊÝ ÙÒ ÈÓ Ó Ò ÖÙÒ ÓÛ ¹ ÞÝ Ó ÞÑ ÒÝ ÙÒ f Û ÛÞ Ù ÔÖÓ Ø Ø Ö ÖÙÒ Þ ÒÝ Ø Û ØÓÖ Ñ ÒÓ Ø ÓÛÝÑ s o Ò º¾º ÈÓ Ó Ò ÖÙÒ ÓÛ ÙÒ φ Û ÔÙÒ x Û ÖÙÒ Ù Û ØÓÖ ÒÓ Ø¹ ÓÛ Ó s o Ò Ù ÑÝ Ó f(p ) f(p) f(x+ts o ) f(x) lim P P 0 P = lim P t 0 t ¾µ Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û

ÇÔ Ö ØÓÖ ÝÛ Ö Ò ÓÛÓ Þ Ò ØÔÙ Ó ØÛ Ö Þ Ò ÌÛ Ö Þ Ò º½º ÑÝ ÙÒ f(x,y,z) Ñ ÔÓ Ó Ò Þ Ø ÓÛ Ò ÖÙÒ ÔÖÓ Ø l Þ ÒÝ Ø Û ØÓÖ Ñ ÒÓ Ø ÓÛÝÑ s 0 = (cos(α 1 ),cos(α 2 ),cos(α 3 )) Þ α i Ø Ñ Ò ÝÐ Ò ÔÖÓ Ø ÛÞ Ð Ñ Ó Ù Ùº ÈÓ Ó Ò ÖÙÒ ÓÛ ÙÒ f(x 1,x 2,x 3 ) Û ÖÙÒ Ù ÔÖÓ Ø l ÛÝÖ ÛÞÓÖ Ñ df dl = f s0 µ ÙÛ ÑÝ ÔÓ Ó Ò ÖÙÒ ÓÛ Ò ÓÒ ÞÒ ÑÙ ÑÝ Ð ÞÝ ÛÞ Ð Ñ ÔÖÓ Ø lº Â Ð Þ Ò Ø ÖÞÝÛ R R 3 c(t) = (x(t),y(t),z(t)) ØÓ ÔÓ Ó Ò ÙÒ f(c(t)) = h(t) ÛÞ Ù ÖÞÝÛ c(t) Ò ÑÓÝ ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ò Þ ÓÛ Ò Ù ÙÒ Þ Ó ÓÒ ÛÝÖ ÛÞÓÖ Ñ dh dt = f dx x dt + f dy y dt + f dz z dt = f(c(t)) c (t). µ º¾ Ï Ö ÙÒ Ù Û ØÓÖÓÛÝÑ ÔÖÞ Ø Û Ö ÛÒ Û ÔÓ Ø ÓÔ Ö ØÓÖÓÛ Ó = ÇÔ Ö ØÓÖ ÝÛ Ö Ò ( e 1 + e 2 + ) e 1 x 1 x 1 x 1 ÇÔ Ö ØÓÖ ÝÛ Ö Ò Þ ÑÝ ÓÞÒ Þ Ó div ÐÙ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Þ ÖÓÔ ÓÞÒ Þ ¹ ÐÓÞÝÒ Ð ÖÒÝ º Æ v Þ Þ ÒÝÑ ÔÓÐ Ñ Û ØÓÖÓÛÝÑ v = (v 1 (x,y,z),v 2 (x,y,z),v 3 (x,y,z)) Ò º º ÝÛ Ö Ò ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ Ó v Ò ÞÝÛ ÑÝ ÙÒ Ð ÖÒ µ div v = v 1 x + v 2 y + v 3 z µ Í ÝÛ ÓÒÛ Ò ÙÑ Ý Ò ÓÞÒ Þ ÞÑ ÒÒ (x,y,z) Ó (x 1,x 2,x 3 ) ÝÛ Ö¹ Ò ÑÓ Ò ÛÝÖ Þ Ò ØÔÙ Ó divv = v = v i x i µ ÁÒ Þ ÝÛ Ö Ò ÛÝÖ Ó ÐÓÞÝÒ Ð ÖÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ØÓÖ vº ÅÓ Ò ÔÓ Ù¹ Ó Ö ÞÙ Ó Ò Ò ÝÛ Ö Ò Ô ÛÒ ÒØ ÖÔÖ Ø ÞÝÞÒ º Æ Ô ÖÛ ÛÝÓ Ö õñý Ó Þ Ò Ø ÒÓÛÝÑ ÖÓÛ ÔÓÐ ÔÖ Ó v = v(x)e 1 º  ÒÓÛÝÑ ÖÓÛÝÑ Ó ¹ ÔÓÛ Ò Ñ Û ÖØÓ ÝÛ Ö Ò Ð Ø Ó ÔÓÐ Ø Û ÖØÓ ÔÓ Ó Ò dv dx º Â Ð Ò Þ ÒÝÑ Ó Ò Ù [a x b] ÝÛ Ö Ò fracvdx > 0 ØÓ ÞÒ ÞÝ Ô ÝÒ Þ ÓÔÙ Þ¹ Þ Ø Ò Ó Ò º  Рfracvdx < 0 ØÓ ÞÒ ÞÝ Ô ÝÒ Þ ÙÑÙÐÓÛ Ò Þ ¹ ÒÝÑ Ó Ò Ùº Ï ÔÖÞÝÔ Ù Û ÐÓÛÝÑ ÖÓÛÝÑ ÝÛ Ö Ò Ø ÓÑ Ò ÔÓ Ó ÒÝ ÔÓ ÓÛÝ ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ Ó Þ ÛÝÖ ÞÝÞÒ Ø ÞÝ Ô ÝÒ Þ ÛÝÔݹ ÒÝ Ô ÝÒ Þ ÖÓÞ ÐÙ Ò Þ ÔÓ Ð ÝÛ Ö Ò µ Þ Ó Þ ÖÙ ÓÒØÖÓÐÒ Ó ½¼ À ÒÖÝ ÃÙ Ð

ÇÔ Ö ØÓÖ ÝÛ Ö Ò ÊÝ ÙÒ Ë Ñ ØÝÞÒ ÔÖÞ Ø Û Ò ÞÒ Ù ÝÛ Ö Ò divv div v > 0µ ÞÝ Ø Þ Û Ò Ñ ÙÑÙÐÓÛ Û Ó Þ ÖÞ div v < 0 ÖÝ º µº Á ØÒ ÞÛ Þ ÔÓÑ ÞÝ Ó ØÓ ÞÝ ÓÔÙ ÞÞ Ó Þ Ö Ó Ö Ò ÞÓÒÝ ÔÓÛ ÖÞ Ò S ÝÛ Ö Ò º Ý ÛÝ Ó Ý Ô ÛÒ Ö Þ ÞÝÞÒ Û ÒÓ ÝÛ Ö Ò ÔÓ Ó ÝÑÝ Ñ ØÓ ÔÓÛ Þ Ò ØÓ ÓÛ Ò Û Û ÐÙ ÔÓ ÖÞÒ Ð Ò Ù Ñ Ý Ð Ñ Ý Ó ØÓ Þ Ò Ûµ º ÊÓÞÛ ÑÝ Ò Ò Ø ÞÝÑ ÐÒÝ Þ Ò Ó Ó ØÓ dυ = dxdydz ÖÝ º µ Ç ØÓ ÞÝ Ø Ö ÊÝ ÙÒ ËØÖÙÑ Ó ØÓ ÓÔÙ ÞÞ Ý Ò Ó Þ Ò Ñ Ý Þ Ò Ó Ó dx 1,dx 2,dx 3 ÔÖÞ Þ Û Ö ÛÒÓÐ ÒÝ Ó Ð Ð Ó Ó dx 1 ÓÔÙ ÞÞ Þ Ò Û ÒÓ Ø Þ Ù ÔÖÞ Þ ÔÖ Û Ò Þ ÒÙ ÔÖÓ ØÓÔ Ó Ó e 1 ÑÓ Ò Ò Ô Ö ÛÒ v n = v 1 (x 1 +dx,x 2,x 3 )dx 2 dx 3 n = e 1 µ Ò ØÓÑ Ø ÔÖÞ Þ ÔÓ¹ Û ÖÞ Ò Ð Û ÔÖÓ ØÓÔ Ó Ó e 1 Ö ÛÒ v n = v 1 (x 1,x 2,x 3 )dx 2 dx 3 n = e 1 µº Ò ÞÝ ØÓ Ó ØÓ ÞÝ ÛÝÔ ÝÛ Þ Ø Ó Þ ÒÙ ÔÖÞ Þ Ø Û ÒÝ Ó ¹ Ö ÛÒÓÐ Ø Ö ÛÒ (v 1 (x 1 +dx 1,y,z) v 1 (x 1,x 2,x 3 ))dυ = v 1 x 1 dυº ÈÓÛØ ÖÞ ØÓ ÖÓÞÙÑÓÛ Ò Ð ÔÓÞÓ Ø Ý Û ÖÙÒ Û Ó x 2 x 3 Ò ØÔÒ Ó Ó Ø Ð Ò Ù Ó ØÓ ÞÝ ÓÔÙ ÞÞ Ó Þ Ò ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÙÑ ÖÝÞÒ Ó ¹ ØÓ ÞÝ ÓÔÙ ÞÞ Þ Ò Û ÒÓ Ø Þ Ù Ø Ö ÛÒ ( v1 dq v = + v 2 + v ) 3 dυ = vdυ µ x 1 x 2 x 3 Þ dυ = dx 1 dx 2 dx 3 Ø Ó ØÓ Þ ÒÙº Û divv = dqv dυ ÛÝÖ ÛÞ Ð Ò ÞÑ Ò Ó ØÓ ÞÝ ÓÔÙ ÞÞ Ò Ò Ø ÞÝÑ ÐÒ Ó ØÓ dυº Á ØÒ ÞÛ Þ ÓÛÝ ÔÓÑ ÞÝ ÐÓ Ô ÝÒÙ ÓÔÙ ÞÞ Þ Ò Ó ØÓ Û ÒÓ Ø Þ Ù ØÖÙÑ Ò Ñµ Þ ÝÛ Ö Ò º Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û ½½

ÇÔ Ö ØÓÖ ÝÛ Ö Ò ÈÓ ÑÝ Ø Ö Þ Ò ØÖÙÑ Ò ÔÓÐ ÔÖ Ó º Æ Þ Þ Ò ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ v = v 1 (x 1,x 2,x 3 )e 1 +v 2 (x 1,x 2,x 3 )e 2 +v 3 (x 1,x 2,x 3 )e 3 µ ÓÖ Þ ÔÓÛ ÖÞ Ò S Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò Rº Æ Û ÝÑ ÔÙÒ ÔÓÛ ÖÞ Ò S Þ ÒÝ Ø ÒÓ Ø ÓÛÝ Û ØÓÖ n ÒÓÖÑ ÐÒÝ ÖÓÛ ÒÝ Ò Þ ÛÒ ØÖÞ ÔÓÛ ÖÞ Ò S ÖÝ º µº ÈÖÞ ¹ ÒÓ Ø ÓÛ Ó Û ØÓÖ ÒÓÖÑ ÐÒ Ó Þ Ò Ó ÞÛ Þ Ò Ó Þ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÔÓÛÓ Ù ÔÓÛ ÖÞ Ò Ø ÞÓÖ ÒØÓÛ Ò º Ï ØÓÖ ÒÓÖÑ ÐÒÝ ÔÖÞÝÔ ÒÝ Ø Ó ØÖÓÒÝ Ó Ø¹ Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò S Û ÞÙ ÖÙÒ Ó ØÖÓÒÝ Ù ÑÒ Ó ØÖÓÒÝ Ó ØÒ ÔÓÛ ÖÞ Ò º Ò º º ËØÖÙÑ Ò Ñ Ó ØÓ q v ÔÖÞ Þ ÔÓÛ ÖÞ Ò S Ò ÞÝÛ ÑÝ ÔÓÛ ÖÞ ¹ Ò ÓÛ q v = S u nds. ¼µ ÊÝ ÙÒ ÈÓÛ ÖÞ Ò ÞÓÖ ÒØÓÛ Ò Þ ÒÓ Ø ÓÛÝÑ Û ØÓÖ Ñ ÒÓÖÑ ÐÒÝÑ Ó ÔÓÛ ÖÞ Ò Ï ÖØÓ ØÖÙÑ Ò Ø Ù ÑÒ Ð ÖÙÒ ÔÖÞ Ô ÝÛÙ Ø ÔÖÞ ÛÒÝ Ó ÖÙÒ Ù Û ØÓÖ ÒÓÖÑ ÐÒ Óº ÙÛ ÑÝ Û ÛÞÓÖÞ ¼µ ÛÝ ØÔÙ ÐÓÞÝÒ Ð ÖÒÝ u n = u i n i º Ï ÖØÓ Ø Ó ÐÓÞÝÒÙ Ð ÖÒ Ó Ö ÛÒ ÖÞÙØÓÛ Û ØÓÖ v Ò ÖÙÒ ÒÓÖÑ ÐÒݺ Æ ÖÝ ÙÒ Ù ÔÓ Þ ÒÓ Û ØÓÖ v ÒÓ Ø ÓÛÝ Û ØÓÖ ÒÓÖÑ ÐÒÝ n ÖÞÙØ Û ØÓÖ v Ò ÖÙÒ Û ØÓÖ ÒÓÖÑ ÐÒ Ó Ö ÛÒ Ö Ò Þ ÓÛÝ Ð Ñ ÒØ ÔÓÛ ÖÞ Ò º ÔÓ ÔÓÛ ÖÞ ¹ Ò ÓÛ ÔÓ ÔÓÛ ÖÞ Ò S Ø ÙÑ ÓÛ ÒÓÖÑ ÐÒ ÔÓÑÒÓ ÓÒ ÔÖÞ Þ Ó ÔÓÛ Ð Ñ ÒØÓÛ Ö Ò Þ ÓÛ ÑÙ ÔÓÛ ÖÞ Ò º Û Þ ÔÓÑ ÞÝ Ó ØÓ ÓÛ Þ ÝÛ Ö Ò ØÖÙÑ Ò Ñ Ó ØÓ Þ Û Ö Û ØÛ Ö Þ Ò Ù Ù ¹Ç ØÖÓ Ö Þ Ó º ½¾ À ÒÖÝ ÃÙ Ð

ÇÔ Ö ØÓÖ ÖÓØ ÌÛ Ö Þ Ò º¾º Ð ÓÛÓÐÒ Ó Ó Ø Ø ÞÒ Ó Ö Ò Þ ÓÛ ÐÒ Óµ ÔÓÐ Û ØÓÖÓ¹ Û Ó v Þ Ò Ó Û Ó Þ ÖÞ Ω Ó Ö Ò ÞÓÒ Ó Ó Ø Ø ÞÒ ÔÓÛ ÖÞ Ò S Þ Ó Þ Ω div vdυ = S v nds ½µ ÊÝ ÙÒ ½¼ ÌÛ Ö Þ Ò Ù Ç ØÖÓ Ö Þ Óº Ç ØÓ Ω Ø Ó Ö Ò ÞÓÒ ÔÓÛ ÖÞ ¹ Ò Þ Ñ Ò Ø Sº Þ ÝÛ Ö Ò ÔÓ Ó ØÓ Ö ÛÒ ÔÓ ÔÓÛ ÖÞ Ò Þ ØÖÙ¹ Ñ Ò ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ Ó º ÇÔ Ö ØÓÖ ÖÓØ ÇÔ Ö ØÓÖ ÖÓØ Ð ÓÛÓÐÒ Ó Ó Ø Ø ÞÒ Ó ÔÓÐ ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ Ó v = (v 1,v 2,v 3 ) Û Û Ô ÖÞ ÒÝ ÖØ Þ Ø Þ Ò ÓÛ ÒÝ Ò ØÔÙ Ó rotv = ( v3 v ) ( 2 v1 e 1 + v ) ( 3 v2 e 2 + v ) 1 e 3 x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 x 2 Û Þ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ rot Ò Û ØÓÖ Û ÛÝÒ Ù Ö ÛÒ Û ØÓÖº ÏÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÔÓ Ø Û ØÓÖÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÖÞ Ø Û ÓÒ Û Ö ÛÒ Ò Ù ½µ ÖÓØ ÑÓ Ò ÛÝÖ Þ Ó ÐÓÞÝÒ Û ØÓÖÓÛÝ ÓÔ Ö ØÓÖ = ( x 1, x 2, x 3 ) Û ØÓÖ v e 1 e 2 e 3 v = x 1 x 2 x 3 v 1 v 2 v 3 µ = x 2 x 3 v 2 v 3 e 1 x 1 x 2 v 1 v 2 e 2 + x 1 x 2 v 1 v 2 e 3. Í Ý Þ Ô Ù ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ ÛÝÞÒ ÞÒ Ù Ý ÝÒ Ó ØÛ Ó Þ Ô Ñ Ø Ò Ó Ð Þ ÓÛ Û ØÓÖ rotvº ÁÐÓÞÝÒ Û ØÓÖÓÛÝ ÑÓ Ò Þ Ô Û ÓÒÛ ÙÑ Ý Ò Þ ¾µ Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û ½

ÇÔ Ö ØÓÖ ÖÓØ ÔÓÑÓ Ò Ûº Ï ØÝÑ ÐÙ ÛÔÖÓÛ Þ ÝÑ ÓÐ Ô ÖÑÙØ Ý ÒÝ Ä Ú Ó Ú ØÝ ε ijk 1 Ð ijk Ø ÒÓÛ Ô ÖÞÝ Ø Ô ÖÑÙØ Ò Û 123 ε ijk = 1 Ð ijk Ø ÒÓÛ Ò Ô ÖÞÝ Ø Ô ÖÑÙØ Ò Û 123 0 Ð Ò Ý ÔÓÛØ ÖÞ Ä Þ Û ÞÝ Ø ÑÓ Ð ÛÝ Ô ÖÑÙØ Ý Ö 1 2 3 ÛÝÒÓ 6º Ð ØÛ Ó Þ Ô Ñ ØÝÛ Ò Ô ÖÞÝ ØÝ Ô ÖÑÙØ Û ÝØÙ Ý ε ijk = 1 Ò Ô ÖÞÝ ØÝ Ý ε ijk = 1 ÑÓ Ò ÔÓ Ù Ý ÖÝ º ½½µº ÁÐÓÞÝÒ Û ØÓÖÝ Û ØÓÖ Û u v ÑÓ Ò ÛÝÖ Þ Ò ØÔÙ Ó ÊÝ ÙÒ ½½ È ÖÞÝ Ø +1 Ò Ô ÖÞÝ Ø 1 Ô ÖÑÙØ Ò Û 1 2 3 w = u v = ε ijk u j v k e i Ë ÓÛ Û ØÓÖ w = (w 1,w 2,w 3 ) ÛÝÖ Ò ØÔÙ Ó w i = ε ijk u j v k i,j,k = 1,2,3 ËÙÑÓÛ Ò ÔÓ Û õò ØÛÓ Ó ÓÒ ÔÓÒ Û Ý Ò Þ Ò Û Ø Ù Ø ÐÓÒÝ ØÓ ÔÓÞÓ Ø Û ÑÓ ÔÖÞÝ ÑÓÛ ØÝÐ Ó Û ÖØÓ Ö Ò Ó Ø Ó Ù Ø ÐÓÒ Ó Û w 1 = u 2 v 3 u 3 v 2 w 2 = u 3 v 1 u 1 v 3 w 3 = u 1 v 2 u 2 v 1  ٠ÔÓÛ Þ ÒÓ ÛÝ ÓÛ Û ØÓÖ Ó ÐÓÞÝÒ Ñ Û ØÓÖÓÛÝÑ Û ØÓÖ Û u ÓÖ Þ u Ö ÛÒ ÑÓ Ò ÛÝÞÒ Þ ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ ÛÝÞÒ ÞÒ µ u u = e 1 e 2 e 3 u 1 u 2 u 3. ¼µ v 1 v 2 v 3 Ï ØÓÖ u v Ø ÔÖÓ ØÓÔ Ý Ó Ô ÞÞÝÞÒÝ ÖÓÞÔ Ø Ò Û ØÓÖ u v Ó ÑÓ Ù u v Ø Ö ÛÒÝ ÔÓÐÙ Ö ÛÒÓÐ Ó Ó Ù ÖÓÞÔ Ø Ó Ò Û ØÓÖ u vº ÁÐÓÞÝÒ Û ØÓÖÓÛÝ Ò Ø ÔÖÞ Ñ ÒÒÝ Ð Ô Ò Û ÖÙÒ Ó Ò ÝÑ ØÖ ½ À ÒÖÝ ÃÙ Ð

ÇÔ Ö ØÓÖ ÖÓØ ÊÝ ÙÒ ½¾ ÁÐÓÞÝÒ Û ØÓÖÓÛÝ u u u v = v u ½µ ÈÖÞÝ ÔÓÑÓÝ ÐÓÞÝÒÙ Ð ÖÒ Ó ÐÓÞÝÒÙ Û ØÓÖÓÛ Ó ÓÛÓÐÒÝ Û ØÓÖ a Û ÔÓ Ð Ù Ô ÞÞÝÞÒÝ Þ Û ØÓÖ Ñ ÒÓ Ø ÓÛÝÑ ÒÓÖÑ ÐÒÝÑ n ÑÓ Ò ÖÓÞ Ó Ý Ò ÓÛ ÒÓÖ¹ Ñ ÐÒ Ó Ô ÞÞÝÞÒÝ ØÝÞÒ Ô ÞÞÝÞÒÝ Ò ØÔÙ Ó a = (a n)n+(n a) n ¾µ ÈÖ Û Þ ÛÓ ÛÞÓÖÙ ¾µ ÑÓ Ò ÔÖ Û Þ Ò ØÔÙ ÝÑ Ö ÙÒ Ñ a i = a j n j n i +ε ijk (ε jlm n l a m )n k = a j n j n i +ε ijk ε jlm a m n l n k = a j n j n i +(δ kl δ im δ km δ il )a m n l n k µ = a j n j n i +a i n k n k a k n i n k = a i n k n k Ï ÔÓÛÝ ÞÝÑ Ö ÙÒ Ù ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÒÓ Ø Û ØÓÖ n Ø Û ØÓÖ Ñ ÒÓ Ø ÓÛÝÑ n k n k = 1 ÓÖ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÒÓ Ò ØÔÙ ØÓ ÑÓ Û ÐØ ÃÓÖÒ Ö Þ ÝÑ ÓÐ Ñ Ô ÖÑÙØ Ý ÒÝÑ ε ijk ε imn = δ jm δ kn δ jn δ km Ò ½ ÏÝ ÓÖÞÝ ØÙ ØÓ ÑÓ ÛÝ Þ ε ijk ε ijk = 6 Ò Ù ÑÝ ÞÞ ÐÓÞÝÒ Ñ Þ ÒÝ ØÖÞ Û ØÓÖ Û [u,v,w] = (u v) w = u (v w) ÁÐÓÞÝÒ Ñ Þ ÒÝ ØÖÞ Û ØÓÖ Û Ø Ö ÛÒÝ Ó Ó Û ÖØÓ ÞÛÞ Ð Ò Ó ØÓ Ö Û¹ ÒÓÐ Ó ÒÙ ÖÓÞÔ Ø Ó Ò ØÖÞ Û ØÓÖ V(u,v,w) = [u,v,w] = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 ÁÐÓÞÝÒ Ñ Þ ÒÝ Û ØÓÖ Û ÞÓÛÝ [e i,e j,e k ] Ø Ö ÛÒÝ ÝÑ ÓÐÓÛ Ô ÖÑÙØ Ý Ò ÑÙ Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û ½

ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ò Ñ ØÝÞÒ Û ÖÓÛÓ ÊÝ ÙÒ ½ ÁÒØ ÖÔÖ Ø ÓÑ ØÖÝÞÒ ÐÓÞÝÒÙ Ñ Þ Ò Ó ØÖÞ Û ØÓÖ Û u (v w) Ä Ú Ó¹ Ú ØÝ ε ijk (e i e j ) e k = ε ijk ÁÐÓÞÝÒ Ñ Þ ÒÝ Ö ÛÒÓ Þ ÖÙ Ð Û Û ØÓÖÝ ÛÝ ØÔÙ Û ÐÓÞÝÒ [u,v,w] Ø Ñ ÐÙ Ó Ö ÛÒÓÐ Ð º ÌÖÞÝ Û ØÓÖÝ u,v,w Ð Ò ÓÛÓ Ò Þ Ð Ò Û ÑÓ ØÛÓÖÞÝ Þ Ð ÐÓÞÝÒ Ñ Þ ÒÝ Ø Ö ÒÝ Ó Þ Ö u (v w) 0º ÌÖ ØÙ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ØÓÖ Ó ÓÛÝ ( x 1, x 2, x 3 ) ÖÓØ Û ØÓÖ v ÑÓ Ò ÛÝÖ Þ Ó v = ε ijk x j v k e i Ï Ñ Ò Ô ÝÒ Û Ø Ö Þ ÑÝ Þ ÑÓÛ Ð Û ØÓÖ rot Þ ÔÓÐ ÔÖ Ó Ó ÖÝÛ Ô ÖÛ ÞÓÖÞ Ò ÖÓÐ Û Ò Ò ÖÙ Ñ Ô ÝÒ Ûº Ï ØÓÖ Ø Ò ÞÓ Ø Ò ÞÛ ÒÝ Û ÖÓÛÓ º Ð Ø Ó ÔÓ Û ÑÝ ÞÞ ØÖÓ Ñ Ò ÒØ ÖÔÖ Ø Ò Ñ ØÝÞÒ ÔÓÐ Û ÖÓÛÓ º º ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ò Ñ ØÝÞÒ Û ÖÓÛÓ ÊÓÞÔ ØÖÞÝÑÝ Þ Ó Þ ÞÛ Þ ÔÓÑ ÞÝ ÖÓØ ÔÓÐ ÔÖ Ó Ð Ò ÓÛ ÔÙÒ Ø Û Ó Ö Ó ÓÓ Ó Ó Þ ÔÖ Ó ØÓÛ ω os = (ω os1,ω os2,ω os3 ) ÖÝ º½ µº ÑÝ Ó Ó ÖÓØÙ ÔÖÞ Ó Þ ÔÖÞ Þ ÔÓÞ Ø Ù Ù Û Ô ÖÞ ÒÝ ÔÖÓÑ ÛÓ Þ Ý Ñ Û Ô ÖÞ Ò r = (x 1,x 2,x 3 )º ÈÖ Ó Ð Ò ÓÛ ÓÛÓÐÒ Ó ÔÙÒ ØÙ (x 1,x 2,x 3 ) ÛÝÖ ÛÞÓÖ Ñ v(x,t) = ω os r Ó Ò Þ ÛÞÓÖ Ñ ¾µ ÔÓÐ ÔÖ Ó ÑÓ Ò Þ Ô Ó e 1 e 2 e 3 v = x 1 x 2 x 3 ω os1 ω os2 ω os3 ¼µ ½ À ÒÖÝ ÃÙ Ð

ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ò Ñ ØÝÞÒ Û ÖÓÛÓ ËØ ÖÓØ ÔÓÐ ÔÖ Ó Ð Ò ÓÛ ÖÝ Ý ÞØÝÛÒ ÛÝÒÓ [ rot v = (ω os1 x 2 ω os2 x 1 ) ] (ω os3 x 1 ω os1 x 3 ) e 1 + x 2 x 3 [ (ω os2 x 3 ω os3 x 2 ) ] (ω os1 x 2 ω os2 x 1 ) e 2 + x 3 x 1 [ (ω os3 x 1 ω os1 x 3 ) ] (ω os3 x 3 ω os3 x 1 ) e 3 x 1 x 2 ½µ = 2(ω os1 e 1 +ω os2 e 2 +ω os3 e 3 ) = 2ω os ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝ ÛÝ Ö ÙÒ Û Û Ó Ö Ø ÖÝ Ý ÞØÝÛÒ Þ ÔÖ Ó ØÓÛ ω os Û ÖÓÛÓ ÔÓÐ ÔÖ Ó ÔÙÒ Ø Û ÖÝ Ý ÞØÝÛÒ Ö ÛÒ ÔÓ ÛÓ ÓÒ Û ÖØÓ Û ØÓÖ ÔÖ Ó ØÓÛ ÖÝ Ý ω os = 1 rot v. 2 ¾µ ÊÝ ÙÒ ½ Ç Ö Ø ÞØÝÛÒ Ó ÛÓ Ó ω cs Â Ð Û ØÓÖ ÔÖ Ó ØÓÛ ÔÓ ÖÝÛ ÐÙ Ø Ö ÛÒÓÐ Ý Ó Ó z ØÓ ÔÓÐ ÔÖ ¹ Ó ÖÝ Ý ÞØÝÛÒ Ñ ØÝÐ Ó Û ÓÛ ÔÖ Ó Ö Ò Ó Þ Ö Û v = (u,v,0)º Ï Ø Ñ ÔÖÞ Ô Ù ØÛÓ ÔÖ Û Þ ÓÖÞÝ Ø Þ ÛÞÓÖÙ µ Û ØÓÖ Û ÖÓÛÓ Ñ Ö Ò Ó Þ Ö ØÝÐ Ó Ò ÓÛ ÖÓÛ Ò ÛÞ Ù Ó z ω = (0,0,ω 3 ) ω 3 = v x u y º ÁÒÒÝÑ ÓÔÖ Þ Ó ÖÓØÙ Ø Ó Ò ÞÛÝ Ð Û ÒÝÑ Þ ÔÙÒ ØÙ Û Þ Ò Ñ Ò Ô Ý¹ Ò Û Ò Ñ ØÝÞÒ ÔÖÞÝÞÝÒ Ò ÖÙ Û ÖÓÛÓ Ø ÔÖÞ Ô ÝÛ Þ Ò Ò Ñº Â Ø ØÓ ÔÖÞ ¹ Ô ÝÛ Ð Ø Ö Ó ÔÖ Ó ÞÑ Ò Û ÖÙÒ Ù ÔÖÓ ØÓÔ ÝÑ Ó ÖÙÒ Ù ÔÖÞ Ô ÝÛÙº Ð ÔÖÓ ØÓØÝ ÖÓÞÔ ØÖÞÑÝ ÒÓÛÝÑ ÖÓÛÝ ÖÓÞ ÔÓÐ ÔÖ Ó Ô ÝÒÙ Û ÔÓ Ð Ù ÒÝ v = (u(y),0,0) ÖÝ º µº Æ Ò Û ÙØ Ð Ô Ó ÔÖ Ó Ô ÝÒÙ Ø Þ Û Þ Ö ÛÒ ÔÖ Ó Òݺ Û Ð Ò ÖÙ ÓÑ ÒÝ ÔÖ Ó Ô ÝÒÙ Ø Ö ÛÒ Þ ÖÙº Ï ÔÖ ¹ ØÝ Ó ÞÙ Þ Ô ÛÒÝÑ ÔÖÞÝ Ð Ò Ñ Þ Ò Ð Ô Ó Ó Ö Ò Þ Ó Û Ö ØÛÝ Ó ÖÙ Ó δ Û ÔÓ Ð Ù Òݺ Ï Û Ö ØÛ ÖÓÞ ÔÖ Ó u(y) ÑÓ Ò ÔÖÓ ÝÑÓÛ ÒÔº Û ÐÓÑ Ò Ñ { ( ) U 2y u(y) δ y2 Ð 0 y δ δ 2 µ U Ð y > δ º Ï ÐÓÑ Ò Ø Ø Ó Ö ÒÝ Ý Ò Ö Ò Ý Û Ö ØÛÝ Ô Ò ÓÒ Ý Ý Û ÖÙÒ u(δ) = U ÓÖ Þ du/dy y=δ = 0 Ò Ò Ò Ð y = 0,u(0) = 0 Ï ÖÓÛÓ Ñ Û ÖØÓ Ñ ÝÑ ÐÒ Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û ½

ÝÖ ÙÐ ÔÓÐ ÔÖ Ó ØÛ Ö Þ Ò ËØÓ ³ ÊÝ ÙÒ ½ Ç Ö Ø ÞØÝÛÒ Ó ÛÓ Ó ω cs Ö ÛÒÓÐ Ó Ó zº Ï ØÓÖ Û ÖÓÛÓ ÔÓ ØÝÐ Ó Ò ÓÛ Ö Ò Ó Þ Ö ω 3 = v x u y Ò º ÈÓÞ Û Ö ØÛ y > δ Û ÖÓÛÓ ω 0 ËØ Ñ ÑÝ ÔÖÞ Ò Ò ÞØÝÛÒ Ø õö Ñ Û ÖÓÛÓ º Ï ÖÓÛÓ Ø Ö ÛÒ ÊÝ ÙÒ ½ ÈÖÞ Ô ÝÛ Þ Ò Ò Ñ Û ÔÓ Ð Ù Òݺ Ï ÖÓÛÓ Ø Ö Ò Ó Þ Ö Û Û Ö ØÛ Ó ÖÙ Ó δº v = u y e 3 = 2Aye 3. ÊÓØ ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ Ó Ð Û Þ ÔÓ Ñ ÝÖ ÙÐ º ÝÖ ÙÐ ÞÛ Þ Ò Ø ÔÖÞ Þ ØÛ Ö Þ Ò ËØÓ ³ Þ ØÖÙÑ Ò Ñ Û ÖÓÛÓ º º ÝÖ ÙÐ ÔÓÐ ÔÖ Ó ØÛ Ö Þ Ò ËØÓ ³ ÛÝ Û Þ ÞÝ Û ÑÝ Ý Ó Ð ÞÝ ÔÖ ÔÓÐ F = (F 1,F 2,F 3 ) ÛÞ Ù ÖÞÝÛ C Ó ÔÓÞ Ø Ù C(a) Ó Ù C(b) ÐÓÞÝÒ ÓÛ ØÝÞÒ ÔÓÐ Û F s 0 = F s Ù Ó Ù Ù ÖÞÝÛ s ÑÙ Ý ÛÝ ÙÑÓÛ ÒÝ F s sº Ï Ö Ò Ý Ý s 0 ÙÑ ½ À ÒÖÝ ÃÙ Ð

ÝÖ ÙÐ ÔÓÐ ÔÖ Ó ØÛ Ö Þ Ò ËØÓ ³ Þ ØÔÙ ÑÝ º  РÖÞÝÛ Cc Þ Ò Ø Ô Ö Ñ ØÖÝÞÒ C(t) = (x(t),y(t),z(t)) ÞÑ ÒÒ t ÔÖÞ Ó Ò [a,b] ØÓ s = C(t+ t) C(t) Cc (t) tº ÈÖÞÝ ÑÙ Ò ØÔÙ Ò Ð Ò ÓÛ Þ ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ Ó F = (F 1 (x,y,z),f 2 (x,y,z),f 3 (x,y,z)) Ò º º Æ Þ Þ Ò ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ F Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Ø Ö Ø ÛÞ Ù ÖÞÝÛ C : [a,b] R 3 º Ð Ò ÓÛ Þ ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ Ó F ÛÞ Ù ÖÞÝÛ C Ò ÞÝÛ ÑÝ ÛÝÖ Ò c F s 0 ds = b a F(c(t)) c (t)dt ÛÞ Ð Ù Ò Ø s 0 ds = (dx,dy,dz) ÔÓÔÙÐ ÖÒÝÑ Þ Ô Ñ Ð Ò ÓÛ Ø ÓÖÑ Ò ØÔÙ c(t) F s 0 ds = c(t) F 1 dx+f 2 dy +F 3 dz = b a ( dx F 1 dt +F dy 2 dt +F 3 ÈÖÞÝ ¾º Ç Ð ÞÝ Ð Ò ÓÛ Þ ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ Ó F(x,y,z) = (cosz,e x,e y ) ÛÞ Ù ÖÞÝÛ c(t) = (1,t,e t ) Ð 0 t 2º Æ Ô ÖÛ Ó Ð Þ ÑÝ s 0 = c (t) = ( dx dt, dy dt, dz dt ) = (0,1,et )º ËØ C F s 0 ds = = 2 0 2 0 ( cosz dx ddt +eydy dt +eydz dt ) dt (0+e+e 2t )dt = 2e+ 1 2 e4 1 2 Ï Ñ Ò Ô ÝÒ Û ØÓØÒ ÖÓÐ Ó ÖÝÛ Ð Ò ÓÛ ÔÓ ÖÞÝÛ Þ Ñ Ò Ø Þ ÔÓÐ ÔÖ Ó º Ø Ò ÞÝÛ ÝÖ ÙÐ Þ ÑÝ ÓÞÒ Þ ÔÖÞ Þ Γº Γ = v ds C dz dt ) dt ÊÝ ÙÒ ½ ÃÖ Ò ÝÖ ÙÐ µ ÊÝ ÙÒ ½ Ç Ö ÞÓÛ ÔÖÞ Ø Û ¹ ÛÞ Ù ÖÞÝÛ C Ò ØÐ ØÖ ØÓÖ Ò ÝÖ ÙÐ ÛÓ Þ Ñ Ò ØÝ ÖÙ Ù Þ Ø ÖÞÝÛÝ C Þ Ö ÒÝÑ ÞÒ Ñ Â Ð ÝÖ ÙÐ Γ Ø Ö Ò Ó Þ Ö Ò ÔÖÞÝ Ó ØÒ ØÓ ÞÒ ÞÝ Ô ÝÒ Ö Ý ÝÖ ÙÐÙ ÛÞ Ù ÖÞÝÛ Þ Ñ Ò Ø ¾ µº ÈÖÞÝ ÑÙ ÝÖ ÙÐ Þ Ó ØÒ Ð Þ Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û ½

ÝÖ ÙÐ ÔÓÐ ÔÖ Ó ØÛ Ö Þ Ò ËØÓ ³ ÝÖ ÙÐÙ Û ÖÙÒ Ù ÔÖÞ ÛÒÝÑ Ó ÖÙ Ù Û Þ Û Þ Ö º Û Ð ÖÞÝÛ ÔÖÞÝ ¹ ÑÙ ÓÖ ÒØ º Þ ÑÝ ÙÛ ÓÖ ÒØ ÖÞÝÛ Ø Ó ØÒ Ý ÔÓ ÖÞÝÛ Ó Þ Ö Þ Ñ Ò ØÝ ÖÞÝÛ ÔÓÞÓ Ø Þ Û Þ ÔÓ Ð Û Ö Û ØÓÖ ÒÓÖÑ ÐÒÝ Ó ÔÓÛ ÖÞ Ò ÖÓÛ ÒÝ Ø Ò Þ ÛÒ ØÖÞº ÁÒ Þ Ø ØÓ Ö Ù ÔÖ Û ÓÒ º  РÖÙÒ Ó Ù ÔÓ ÖÞÝÛ Û ÞÝÛ Ò ÔÖÞ Þ Ô Ð ÔÖ Û ÓÒ ØÓ Ó ÝÐÓÒÝ Ù Û ÞÙ Ó ØÒ ÖÙÒ Û ØÓÖ ÒÓÖÑ ÐÒ Ó Ó ÔÓÛ ÖÞ Ò ÖÓÞÔ Ø Ò ÖÞÝÛ Cº ÌÛ Ö Þ Ò ËØÓ ³ Û ÝÖ ÙÐ Û Ð Ò ÓÛ Þ ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ Ó ¹ Ð Þ ÑÝ ÔÖÞÝ ÑÓÛ ÔÓÐ ØÓ Ó ÔÓÛ ÔÓÐÙ ÔÖ Ó µ ÛÞ Ù ÖÞÝÛ C = (x(t),y(t),z(t)) Þ ØÖÙÑ Ò Ñ ÔÓÐ Û ÖÓÛÓ ÔÖÞ Þ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÖÓÞÔ Ø Ò ÖÞÝÛ Cº ÈÖÞÝ Ñ ÑÝ C : [a,b] R 2,c(t) = (x(t),y(t)) Ø ÖÞ Ñ Ó Þ ÖÙ D ÞÓÖ ÒØÓÛ Ò Ó ØÒ Óº Æ Ò Ó Þ ÖÞ D Þ Þ Ò ÙÒ f(x,y) Ó Ö Ð ÔÓÛ ÖÞ Ò S ÖÞ Ø Ó Ó Þ ÖÙ S Þ Ó Ö Þ Ñ ÖÞÝÛ C(t) Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ ÔÖÞ Þ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò t ((x,t),y(t),f(x(t),y(t)) º ÌÛ Ö Þ Ò º º ÌÛ Ö Þ Ò ËØÓ ³ º Æ S Þ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÞÓÖ ÒØÓÛÒ Ó ¹ ÔÓÛ Ò Ó Þ Ò ÙÒ z = f(x,y),(x,y) D Ò v Þ Û ØÓÖÓÛÝÑ ÔÓÐ Ñ ÔÖ Ó Ó Ö ÐÓÒÝÑ Ò S ÖÞ S Ø Ö ÛÒ ÖÞÝÛ ÞÓÖ ÒØÓÛÒ ØÓ Þ Ó Þ rot v n ds = v s ds S S ÊÝ ÙÒ ½ ÌÛ Ö Þ Ò ËØÓ º Æ Ð Ý ÞÛÖ ÙÛ Ò ÓÖ ÒØ ÖÞ Ù S Û ØÓÖ ÒÓÖÑ ÐÒ Ó n ÏÝ ØÔÙ Û ØÛ Ö Þ Ò Ù ÔÓÛÝ ÞÝÑ ÙÒ z = f(x,y) ÔÓ Ö Ð Ø ÔÓ¹ Û ÖÞ Ò S ÑÙ Ý Ó Ø Ø ÞÒ Ö ÙÐ ÖÒ Ó ØÓ Þ Û ÖØ ÔÓÑ ÞÝ ÖÞ Ñ S Ñ ÔÓÛ ÖÞ Ò S ÑÙ Ý Ó Þ Ö Ñ ÒÓ Ô ÒÝѺ Ç Þ Ö Ñ ÒÓ Ô ÒÝÑ Ò Þݹ Û ÑÝ Ø Ó Þ Ö Û Ø ÖÝÑ ÓÛÓÐÒ ÖÞÝÛ Þ Ñ Ò Ø Û ØÝÑ Ó Þ ÖÞ Ò Ó ÔÙÒ ØÙ Û ÝÑ ÑÓÑ Ò Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Þ Û Ö ÔÙÒ Ø Û Ò Ò Ð Ý Ó Ø Ó Ø Ó Ó Þ ÖÙº ÈÖÞÝ ÓÛÓ Ô ÞÞÝÞÒ Þ Ù ÙÒ ØÝÑ ÔÙÒ Ø Ñ Ø Ó Þ Ö Ñ Û ÐÓ¹ Ô ÒÝÑ Ò ØÓÑ Ø ÔÖÞ ØÖÞ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Þ Ø Ö Ù ÙÒ ØÓ Ø ÔÙÒ Ø Ø Ó Þ Ö Ñ ÒÓ Ô ÒÝѺ ÌÛ Ö Þ Ò ËØÓ ÑÓ Ò ÙÓ ÐÒ ÔÖÞ Þ Ó ÔÓÛ Ò Ô Ö Ñ ØÖÝÞ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ò ÝØÙ Ý ÖÞ S Ò Ø Ó Ö Þ Ñ Ô ÖÞÝÛ Ð Ò Ô Þ¹ ÞÝõÒ (x,y) º Ö Þ Ó ÐÒ ØÛ Ö Þ Ò ËØÓ ÑÓ Ò ÓÖÑÙ ÓÛ Ò ØÔÙ Ó ¾¼ À ÒÖÝ ÃÙ Ð

ÝÖ ÙÐ ÔÓÐ ÔÖ Ó ØÛ Ö Þ Ò ËØÓ ³ ÌÛ Ö Þ Ò º º ÌÛ Ö Þ Ò ËØÓ ³ º ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÛ ÔÓ ÔÓÛ ÖÞ Ò S Þ Þ ÓÛ ÒÓÖÑ ÐÒ ÔÓÐ Û ÖÓÛÓ rot v n Ö ÛÒ Ð Ò ÓÛ Þ ÓÛ ØÝÞÒ Ø Ó ÔÓÐ v s 0 ÛÞ Ù ÖÞ Ù Sº S rot v n ds = S v s ds ÊÝ ÙÒ ¾¼ ÌÛ Ö Þ Ò ËØÓ º Ð Ò ÓÛ ÔÓ ÖÞ Ù S Þ ÓÛ ØÝÞÒ ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ Ó Ö ÛÒ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÛ Þ ÓÛ ÒÓÖÑ ÐÒ Û ØÓÖ Û ÖÓÛÓ ÒÓÖÑ ÐÒ Ó n ÓÛ ØÛ Ö Þ Ò ËØÓ ÔÖÞ Ø ÔÓÛ ÖÞ Ò S Þ Ð Ò Ñ ÞÛÓ¹ ÖÓ Øݺ ÝÖ ÙÐ ÔÓ ÖÞ ÞÛÓÖÓ Ø Û Ð Ý Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò S ÞÒÓ Þ Ò ÛÞ ¹ Ѻ Û ÙÑ ÝÖ ÙÐ ÔÓ Û ÞÝ Ø ÞÛÓÖÓ Ø Ö ÛÒ ÝÖ ÙÐ ÔÓ ÖÞÝÛ S Ò Ø Ö ÖÓÞÔ Ø Ø ÔÓÛ ÖÞ Ò Sº Á ØÓØÒÝÑ ÖÓ Ñ Û ÓÛÓ Þ ØÛ Ö Þ Ò ÊÝ ÙÒ ¾½ ÁÐÙ ØÖ Ó ÓÛÓ Ù ØÛ Ö Þ Ò ËØÓ º ÈÓÛ ÖÞ Ò S ÔÓ Þ ÐÓÒÓ Ò Ñ ÞÛÓÖÓ Øݺ ÝÖ ÙÐ ÔÓ Û ÛÒØÖÞÒÝ Ö Û Þ ØÝ ÞÛÓÖÓ Ø Û ÞÒÓ Þ Ò ÛÞ ¹ Ѻ ËÙÑ ÝÖ ÙÐ ÔÓ Ñ Ý ÞÛÓÖÓ Ø Ö ÛÒ ÝÖ ÙÐ ÔÓ ÖÞ Ù Þ ÛÒØÖÞÒÝѺ ËØÓ Ø Þ ØÓ ÓÛ Ò ØÛ Ö Þ Ò Ö Ò Ø Ö Ø ÒÓÛ ÛÙÛÝÑ ÖÓÛ ØÓ ÞÒ ÞÝ Ò Ô ÞÞÝõÒ Ü Ýµ Û Ö ØÛ Ö Þ Ò ËØÓ º Ý ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ Ø ÛÙÛÝÑ ÖÓÛ v = (u(x,y),v(x,y),0) ØÓ Ù ÔÓÛ Þ Ð ÑÝ ÛÞ Ò Û Ø Ñ ÔÖÞÝÔ Ù Û ÖÓÛÓ ÔÓ ØÝÐ Ó Ò ÓÛ Ö Ò Ó Þ Ö ω = (0,0,ω))º ÌÛ Ö Þ Ò Ö Ò ÑÓ Ò ÓÖÑÙ ÓÛ Ò ØÔÙ Ó Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û ¾½

ÝÖ ÙÐ ÔÓÐ ÔÖ Ó ØÛ Ö Þ Ò ËØÓ ³ ÌÛ Ö Þ Ò º º Æ D R 2 Þ Ó Þ Ö Ñ ÒÓ Ô ÒÝÑ D Ó ÖÞ Ñ Ó Ø Ø ÞÒ Ñº Æ v = (u(x,y),v(x,y)) Þ ÔÓÐ Ñ Û ØÓÖÓÛÝÑ Þ ÒÝÑ Ò Dº ÏØ Ý Þ Ó Þ D v s 0 dc = D rot nds = D ( v x u y )ndxdy ÊÝ ÙÒ ¾¾ ÌÛ Ö Þ Ò Ö Ò Ó ÛÙÛÝÑ ÖÓÛ Û Ö ØÛ Ö Þ Ò ËØÓ º ÓÛ º ÊÓÞÔ ØÖÞÝÑÝ Ñ Ý ÔÖÓ ØÓ Ø Ð Ý Ò (x,y) Ô ÞÞÝõÒ Û ÖÓ Ù Ø Ö Ó Ð Ý ÔÙÒ Ø P(x,y) ÝÖ ÙÐ ÛÓ Û Ö ØÙ Þ ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ Ó v = (u(x,y),v(x,y)) ÊÝ ÙÒ ¾ Ê Ò Þ ÓÛÝ ÔÖÓ ØÓ Ø Ó Ó x y Ò Ô ÞÞÝõÒ Ø Ö ÛÒ ABCD (udx+vdy) = AB udx+ vdy + udx+ vdy BC CD DA ¾¾ À ÒÖÝ ÃÙ Ð

ÝÖ ÙÐ ÔÓÐ ÔÖ Ó ØÛ Ö Þ Ò ËØÓ ³ ÏÞ Ù Ö Û Þ AB Ö Ò Û ÖØÓ ÝÖ ÙÐ ÛÝÒÓ v e 1 dx = u(x,y y y )dx = u(x,y 2 2 ) x AB AB ÈÓ ØÔÙ ÔÓ Ó Ò Ð ÛÞ Ù Ð Ò CD ÓØÖÞÝÑ ÑÝ v ( e 1 )dx = u(x,y + y y )dx = u(x,y + 2 2 ) x AB CD CD CD Û Ö Ò Û ÖØÓ ÝÖ ÙÐ ÛÞ Ù Ö Û Þ AB CD ÛÝÒÓ ve 1 dx+ v( e 1 )dx = u(x,y y y ) x u(x,y + ) x = u 2 2 y x y ÈÓ Ó Ò ÔÓ ØÔÙ Ð Ö Û Þ BC DA ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ve 2 dy + v( e 2 )dy = v(x+ x x v,y) y v(x,y) x = 2 2 x x y BC DA Ó Ó ÔÓÛÝ Þ Ö ÞÙÐØ ØÝ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ v s o ds = ABCD ( v x u y ) x y Ï ÖØÓ Ö Ò v ØÓ ÔÓ ÔÖ Û ØÖÓÒÝ Ö ÛÒ Ò ÛÞ Ð Ñ ÔÙÒ ØÙ P(x,y) ÛÝÒÓ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ( v ( v) nds = ( v) n x y = S ABCD x u ) x y ½µ y ÏÝÒ ÔÓ ÔÖ Û ØÖÓÒ Ö ÛÒ Ò ½µ Ø Ø Ñ ¼µº Û ÝÖ ÙÐ ÛÓ ÔÙÒ ØÙ P Ø Ö ÛÒ ØÖÙÑ Ò ÓÛ ÖÓØ Û ÖÙÒ Ù e 3 = nº ÈÓ ÖÝÛ ÔÓÛ ÖÞ Ò S Ñ ÝÑ ÞÛÓÖÓ Ø Ñ ÙÑÙ ÝÖ ÙÐ ÔÓ Û ÞÝ Ø ÞÛÓÖÓ Ø ÔÓ ÖÝÛ Ý ÔÓÛ ÖÞ Ò S ÖÝ º ¾¾µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ØÛº ËØÓ rot v nds = v ds ¾µ S ÙÛ ÑÝ ØÛ Ö Þ Ò Ó ÒÓ Ó Û ÞÝ Ø ÔÓÛ ÖÞ Ò ÖÓÞÔ ØÝ Ò ÖÞÝÛ Cº  РÛÝÓ Ö õñý Ó ÔÓÛ ÖÞ Ò S Ò ÖÝ ÙÒ Ù ¾¼µ Ø ÛÝ ÓÒ Ò Þ ÙÑÝ Þ ¹ ÑÓÓÛ Ò Ò Ò ÖÞÝÛ C Û ÔÓ Ý ÔÓ Ð ÓÖÑ ØÓ Ó Û ÞÝ Ø ØÝ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÞÒ Ù Þ ØÓ ÓÛ Ò ØÛ Ö Þ Ò ËØÓ º Ý ÔÓÛ ÖÞ Ò ÔÓ Ð ÓÖ¹ Ñ ØÓ Û ØÓÖ ÒÓÖÑ ÐÒÝ Ø ÔÖÞ ÙÛ ÛÞ Ù ÔÓÛ ÖÞ Ò º ÛÖ ÑÝ ÙÛ Û ¹ ÖÓÛÓ Ø ÔÓÐ Ñ Þ õö ÓÛÝѺ ØÛÓ ÔÖ Û Þ ÓÖÞÝ Ø Þ Ò ÝÛ Ö Ò Ò Û ÖÓÛÓ Þ Ó Þ ØÓ ÑÓ C ¼µ divω = div( v) = 0 µ ÑÝ Û ÔÓÛ ÖÞ Ò S 1 S 2 ÖÓÞÔ Ø Ò Ø Ñ ÖÞÝÛ ÔÖÞÝ ÞÝÑ S 1 Ð Ý ÔÓ ÔÖÞ ÛÒ ØÖÓÒ ÖÞÝÛ C Ò Ð S 2 º Ó Þ Ò ØÔÙ Ö Ð Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û ¾

ÝÖ ÙÐ ÔÓÐ ÔÖ Ó ØÛ Ö Þ Ò ËØÓ ³ ÊÝ ÙÒ ¾ Æ ÖÞÝÛ C ÖÓÞÔ Ø Û ÔÓÛ ÖÞ Ò S 1 S 2 Ó ÔÖÞ ÛÒ ÓÖ ÒØ º ØÛ Ö Þ Ò ËØÓ ÛÝÒ ØÖÙÑ Û ÖÓÛÓ ÔÖÞ Þ ÔÓÛ ÖÞ Ò Þ Ñ Ò Ø Ø Ö ÛÒÝ ¼º Ì Û 0 = Ω divωdυ = ω nds = ω nds + ω nds S 1 S 2 S 1 S 2 ω nds = ω nds S 1 S 2 ÏÞ Ö Û ÞÙ ÞÞ Ö Þ Ò Û Ò Ð Ý ÔÖÞÝÛ ÞÝÛ Ó ÓÖ ÒØ ÖÞݹ Û Cº ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÛ ÔÓ S 1 Þ ÓÛ ÒÓÖÑ ÐÒ Û ÖÓÛÓ ω n Ø Ö ÛÒ ÝÖ ÙÐ ÔÓ ÖÞ Ù S 1 = Cº Æ ØÓÑ Ø Ø Ñ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÛ ÔÓ ÔÓÛ ÖÞ Ò S 2 Ø Ö ÛÒ Ø Ñ ÝÖ ÙÐ ØÝÐ Ó Þ ÞÒ Ñ ÔÖÞ ÛÒÝÑ ÔÓÒ Û Ø Ö Þ ÓÖ ÒØ ¹ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÞÑ Ò ÞÒ Ò Ù ÑÒݺ ÈÓÖ ÛÒÙ Þ Ó ØÖÙÑ Ò ÔÓÐ ÔÖ Ó v n ÓÖ Þ ØÖÙÑ Ò ÖÓØ ω n Ò Ð Ý ØÛ Ö Þ Ó Ð Ù Û ÖØÓ ØÖÙÑ Ò ÔÓÐ ÔÖ Ó ÔÖÞ Ò Ù Û ÖØÓ ØÖÙÑ Ò Ó ØÓ ÛÝ Ó Þ Ó Þ Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò Ø Ù Û ÖØÓ ØÖÙÑ Ò ÖÓØ ÔÖÞ Þ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ñ Û ÔÓÞÓ Ø Û Ò Ù ÔÓÐ ÔÖ Ó Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò Ó Ù ÝÖ ÙÐ Ö Ò µ Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò º ÊÝ ÙÒ ¾ Ù Û ÖØÓ ØÖÙÑ ¹ ÊÝ ÙÒ ¾ Ù Ý ØÖÙÑ ÔÓÐ Ò Û ÖÓÛÓ Ñ Û Ó ÔÓÞÓ Ø Û Ò Ù ÔÖ Ó v n Ñ Û Ó ÛÝ Ó Þ Ò Ù Û ØÓÖ ÔÖ Ó Û Ô ÞÞÝõÒ Û ØÓÖ Û ÔÖ Ó Þ ÔÓÛ ÖÞ Ò º Ù ÝÑ Ö Ò Ù ¾ À ÒÖÝ ÃÙ Ð

Ä ÔÐ Ò ÈÖÞÝ º Ò Ø ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ v = 0e 1 +xe 2 º ËÔÖ Û Þ ØÛ Ö Þ Ò Ö Ò Ð ÔÖÞÝÔ Ù Ý Ó Þ Ö D Ø Ó Ñ x 2 +y 2 < r 2 º ÊÓÞÛ Þ Ò º ÖÞ Ó Þ ÖÙ ÑÓ Ò ÛÝÖ Þ ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ Ö ÛÒ Ô Ö Ñ ØÖÝÞÒÝ x = (rcost,y = rsint) Ð 0 t 2π Û ÖØÓ ÝÖ ÙÐ Ó Ð Þ ÑÝ Ó 2π 2π v s 0 ds = (0e 1 +rcoste 2 ) ( rsint,rcost)dt = r 2 cos 2 tdt = r 2 π D 0 Ï ÖØÓ ØÖÙÑ Ò Û ÖÓÛÓ Û ÖÙÒ Ù e 3 Ø Ö ÛÒ v nds = ds = r 2 π Â Ò Ð Ó ÓÞ Û Ó ÛÝÒ Ø Ñ º D ÈÖÞÝ º Ò Ø ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ v = (2yz,x,x 2 )º Ç Ð ÞÝ ÝÖ ÙÐ Ø Ó ÔÓÐ ÔÓ Ó Ö Ù x 2 +y 2 = 1 ÓÖÞÝ Ø Þ ØÛ Ö Þ Ò ËØÓ º ÊÓÞÛ Þ Ò º ÊÓØ Þ Ò Ó ÔÓÐ ÛÝÒÓ rot v = v = (0,2y,(1 2z)º ØÛ Ö¹ Þ Ò ËØÓ Ñ ÑÝ v s 0 ds = C S v nds = S D (2ye 2 +(1 2z)e 3 ) nds ÈÓÛ ÖÞ Ò S Ø Ö ÖÓÞÔ Ø Ø Ò ÖÞ C ÑÓ Ý ÓÛÓÐÒ º ÏÝ Ö ÑÝ Û Ò ¹ ÔÖÓ Ø Þ ÓÖÑ Ø ÔÓÛ ÖÞ Ò Ð Û Ô ÞÞÝõÒ z = 0º ÏØ Ý n e 3 = (0,0,1) Ø ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ v s 0 ds = ds = π. C S ÏÝ Ö Ò Þ Ð ÒÓ Þ Ó Þ ÔÓÑ ÞÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ grad div rotº Ù ÞÒ Þ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û grad div rot ÑÓ Ð ÛÓ ÛÝÖ Ò Ô ÛÒÝ ÞÝÞ¹ ÒÝ ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ ØÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Û Þ Û Ö Û ÞÛ Þ Þ Ó Þ Ý Ñ ÞÝ Ò Ñ ØÓ ÑÓ ÓÛÝ Û Ø ÖÝ ÓÒ ÙÛ Ò Ö ÛÒ Ò ÞÝ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ º ÈÖÞÝØÓÞÝÑÝ Ø Ö Þ Ô ÛÒ ØÓ ÑÓ Û ØÓÖÓÛ ÓÛ Ø Ö ÔÖÞ Û ÔÖÞ Þ Ý ÛÝ º ÞÒ ÑÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ò ÞÝÛ Ò Ó Ð ÔÐ Ò Ñ º½ Ä ÔÐ Ò Â Û ÑÝ Þ Ò ÝÛ Ö Ò Ò ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ Û ÛÝÒ Ù ÔÓÐ Ð ÖÒ º Ï ÞÞ ÐÒÓ Ð ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ ÛÝÖ ÔÖÞ Þ Ö ÒØ Þ ÙÒ Ð ÖÒ ØÓ ÝÛ Ö Ò Þ Ø Ó ÔÓÐ Ð ÖÒ Ó Ø Ö ÛÒ Ð ÖÒ ÛÝÖ ÔÖÞ Þ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Þ ÓÛÝ Ò ÞÝÛ ÒÝ Ò Ð ÔÐ Ò Ñº div ϕ = div ( ϕ x 1, ϕ x 2, ϕ x 3 ) = 2 ϕ x 2 1 = ϕ + 2 ϕ x 2 2 + 2 ϕ x 2 3 0 Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û ¾

Ê ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ Þ = 2 x 2 + 2 1 x 2 + 2 2 x 2 3  РÝÑ ÓÐ ÔÓØÖ ØÙ ÑÝ Ó Û ØÓÖ Ó ÓÛÝ ( 2 x 1, x 2, 2 x 3 ) ØÓ Ð ÔÐ Ò ÑÓ Ò ØÖ ØÓÛ Ó ÛÝÒ ÐÓÞÝÒÙ Ð ÖÒ Ó = = 2 º Ä ÔÐ Ò Ø Ò ÞÛÝ Ð Û ÒÝÑ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Ö Ò Þ ÓÛÝÑ Û ÞÝ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ º Ï Ó Þ Û Ó Þ Ö ÛÒ Û Ð ØÖ ÞÝ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ º¾ u ½º t = α u ¹ Ö ÛÒ Ò ÔÖÞ ÛÓ Ò ØÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÓÛ Ó Ò ÞÝÛ Ò Ö ÛÒ Ò Ñ ¹ Ô µ ÐÙ Ö ÛÒ Ò Ñ Ý ÙÞ Þ u(t,x 1,x 2,x 3 ) ÛÝÖ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÐÙ ÓÒ Ò¹ ØÖ Ñ Ø Ö Þ Ð Ò Ó Þ Ù Û Ô ÖÞ ÒÝ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ x 1,x 2,x 3 α¹ ÓÞÒ ¹ Þ Û Ô ÞÝÒÒ ÔÖÞ ÛÓ Ò ØÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÓÛ Ó ÐÙ Û Ô ÞÝÒÒ Ý ÙÞ º ËÞÝ ¹ Ó ÞÑ ÒÝ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ u t Þ Ð Ý Ó Û Ð Ó ÖÙÒ Ù ÛÝÔÙ Ó ÔÓÛ ÖÞ Ò u(x,t) ÞÝÐ Û ÖØÓ Ð ÔÐ ÒÙ uº  РÛÝÔÙ Ó Ø Ù ÖÞ ØÓ Û ÖØÓ Ð ÔÐ ¹ ÒÙ Ø Ù ÑÒ ØÓ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Þ Ñ Ð u t < 0º  РÛÝÔÙ Ó ÔÓÛ ÖÞ Ò Þ Ó Ó Ù ØÓ ØÓ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Þ ÖÓ u t > 0º ¾º 2 ψ t 2 = c 2 ψ ¹Ö ÛÒ Ò ÐÓÛ ÓÔ Ù ÖÓÞ Ó Þ Ò Ð Þ ÙÖÞ µ Þ ψ(t,x 1,x 2,x 3 ) ÓÞÒ Þ ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò ÛÝ ÝÐ Ò Ó ÔÓ Ó Ò Ö ÛÒÓÛ º ϕ = ρ(x 1,x 2,x 3 ) ¹ Ö ÛÒ Ò ÖÓÞ Ù ÔÓØ Ò Ù Ò ÞÝÛ Ò Ö ÛÒ Ò Ñ ÈÓ ÓÒ º  Рρ(x 1,x 2,x 3 ) = 0 ØÓ Ö ÛÒ Ò Ò ÞÝÛ Ö ÛÒ Ò Ñ Ä ÔÐ ³ Ê ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³  ÔÖÞ ÓÒ ÒÝ Ö ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ Û Ñ Ò Ô ÝÒ Û Ó ÖÝÛ Ö ÞÓ Û Ò ÖÓк Å ÓÒÓ Ö ÛÒ ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒ ÞÒ Þ Ò Û Ó ÐÒ Ø ÓÖ Ö ÛÒ Ö Ò Þ ÓÛÝ Þ Ø Ó¹ ÛÝ º ÙÒ Ø Ö Ô Ò Ö ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ ϕ = 0 Ò ÞÝÛ Ò ÙÒ Ñ ÖÑÓÒ ÞÒÝÑ º ÊÓÞÛ Þ Ò Ö ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ ÐÙ ÈÓ ÓÒ Ò ÞÝÛ Ò Ö ÛÒ ÙÒ ¹ ÔÓØ Ò ÐÒÝÑ ÔÓÒ Û ÔÓÐ Ð ØÖÝÞÒ E ÛÝÞÒ Þ Þ Þ Ð ÒÓ E = ϕº ÈÓÐ Û ØÓÖÓÛ F Ð Ø ÖÝ Þ Ó Þ F = ϕ Ò ÞÛ Ò ÔÓØ Ò ÐÒÝÑ º  ØÓ Ù Û ÔÓ¹ ÑÒ ÒÓ ÛÝ Û Ô Øº Ö ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ Ñ ÔÓ Ø ϕ = 2 ϕ x 2 1 + 2 ϕ x 2 2 + 2 ϕ x 2 3 Ï ÞÝ Þ ØÓ ÞÒ Ù Þ ØÓ ÓÛ Ò ÔÓØ Ò Ø ÖÝ ÞÐ Ý Ó Ó Ð Ó Ó ÛÝ Ö Ò Ó ÒØÖÙÑ ϕ = ϕ(r) Þ r = (x 2 +y 2 +z 2 )º ÓØÝÞÝ ØÓ Ò ÔÖÞÝ Ô Ð ÒØÖ ÐÒÝ Þ Ý ÛÞ ÑÒ Ó Ó Þ ÝÛ Ò Þ ÛÞ Ù ÔÖÓ Ø Þ Û ÔÙÒ ØÝ ÞÛ ¹ Þ Ò Þ ÔÓ Ó Ò Ñ ÒÔ Ñ Ý ÙÒ Ù ØÔº Ï ÛÝÞÒ Þ Ò Ø Ó ÔÓØ Ò Ù ÙÛ Ò ÖÓÞÛ Þ Ò Ö ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ Ò ÞÝÛ Ò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝÑ º Ð ØÖÞ ÛÝÑ Ö Û Û Ò ¹ Ó Ö Ò ÞÓÒ ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÖÓÞÛ Þ Ò ØÓ Ñ ÔÓ Ø ϕ = 1 r Ð Û ÛÝÑ Ö Û Ø ÓÒ ÔÓ Ø ϕ = ln 1 r º ÈÖÞ Ø Û ÑÝ Ø Ò ÛÝÒ Û ÔÓ Ø Ð Ñ ØÙ Ä Ñ Ø º½º Ï ÔÖÞ ØÖÞ Ò ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ (n = 3) ÙÒ ϕ = 1 r = 1 (x1 x 10 ) 2 +(x 2 x 20 ) 2 +(x x 30 ) 2 ¾ À ÒÖÝ ÃÙ Ð

Ê ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ Ø ÙÒ ÖÑÓÒ ÞÒ Þ ÛÝ Ø Ñ ÔÙÒ ØÙ (x 10,x 20,x 30 )º Ï ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÛÙ ÛÝÑ ÖÓÛ (n = 2) ÙÒ ÖÑÓÒ ÞÒ Ó ÝÑ ØÖ Ö ÐÒ Ø ÙÒ ϕ = lnr = lnfrac1 ((x 1 x 10 ) 2 +(x 2 x 20 ) 2 ) ¼µ Þ ÛÝ Ø Ñ ÔÙÒ ØÙ (x 10,x 20 ) ÓÛ º ÛÞ Ð Ù Ò ÝÑ ØÖ Ö ÐÒ ÛÝ Ó Ò Ø ÔÖÞÝ Ó ÔÓÛ Ò Ù Ý Û Ô ÖÞ ÒÝ º Á Ø Ð Ö ÛÒ Ò ÛÝ Ó ÒÝ Ø ÖÝÞÒÝ Ù Û Ô ÖÞ ÒÝ º Ó Ó¹ ÒÙ Þ Ñ ÒÝ ÞÑ ÒÒÝ x = rsinθcosφ y = rsinθsinφ z = rcosθ Ö ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ Û Û Ô ÖÞ ÒÝ ÖÝÞÒÝ ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓ Ø ϕ = 1 2 r r 2 (rϕ)+ 1 2 ( ϕ r 2 sin 2 θ φ 2 + 1 r 2 sin 2 sinθ ϕ ) = 0 ½µ θ θ θ ÈÓÒ Û Þ Þ Ó Ò ÙÒ ϕ Þ Ð Ý ØÝÐ Ó Ó r Ö ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓ Ø ϕ = 1 r 2 r 2 (rϕ) = 0 Ù ÔÓÛÝ Þ Ö ÛÒ Ò ÛÙ ÖÓØÒ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Þ Ó ÒÓ Ó Ø ϕ = a 1 1 r + a 2 º Ï ÞÞ ÐÒÓ ÖÓÞÛ Þ Ò ØÓ Ø ÙÒ ÖÑÓÒ ÞÒ Ð a 2 = 0 a 1 = 1 Ð Ö ÛÒ Ò ¼µ ÔÖÞÝ ÑÙ ÑÝ ÝÐ Ò ÖÝÞÒÝ Ù Û Ô ÖÞ ÒÝ (x,y) (rcosφ,rsinφ) Ö ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓ Ø ¾µ ϕ = 2 ϕ r 2 + 1 ϕ r r + 1 2 ϕ r 2 φ 2 = 0 µ ÛÞ Ð Ù Ò Ø ϕ Ò Þ Ð Ý Ó φ Ö ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓ Ø 2 ϕ r 2 + 1 ϕ r r = 0 ÈÓ ÔÓÑÒÓ Ò Ù ÔÓÛÝ Þ Ó Ö ÛÒ Ò ØÖÓÒ Ñ ÔÖÞ ÞrÑÓ Ò Þ Ô Û ÔÓ Ø r 0º ÈÓ ÛÙ ÖÓØÒÝÑ ÓÛ Ò Ù ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Þ Ó ÒÓ Ó Ø ϕ = c 1 lnr +c 2 º Û Ð ÞÞ ÐÒ Ó ÔÖÞÝÔ Ù c 1 = 1 c 2 = 0 ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÖÓÞÛ Þ Ò ÞÞ ÐÒ ¼µº Ý ÓØÖÞÝÑ ÒÓÞÒ ÞÒ ÖÓÞÛ Þ Ò Ö ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ Ò Ð Ý ÔÓ Ø Û Û ÖÙÒ Ò ÖÞ Ù Ø Ö ÑÙ Ô Ò ÖÓÞÛ Þ Ò Ö ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ º ËØ Ò Ö ÓÛ Û ÖÙÒ ÖÞ ¹ ÓÛ ÔÖÓÛ Þ Ó Þ Ò Ò Ö Ð Ø ÐÙ Þ Ò Ò Æ ÙÑ ÒÒ º Ò º½º Ò Ò Ö Ð Ø Ð Ö ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ ÔÓÐ Ò ÛÝÞÒ Þ Ò Ù ÙÒ ¹ ÖÑÓÒ ÞÒ Û ÛÒ ØÖÞ Ó Þ ÖÙ D Þ Û ÖÙÒ Ñ ( r ϕ r u(x 1,x 2,x 3 ) = f(x 1,x 2,x 3 ) Ð (x 1,x 2,x 3 ) D ) = Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û ¾

Ê ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ ÊÝ ÙÒ ¾ Ò Ò Ö Ð Ø Ð Ö ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ º ÁÒ Þ Þ Ò Ò Ö Ð Ø Ð Ö ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ ÑÓ Ò ÓÖÑÙ ÓÛ Ò ØÔÙ¹ Ó Ò Ð Ý ÛÝÞÒ ÞÝ ÙÒ ÖÑÓÒ ÞÒ ϕ(x 1,x 2,x 3 ) Û ÛÒ ØÖÞ Ó Þ ÖÙ D Ø Ý ÙÒ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ Ö ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ ÔÖÞÝ ÑÓÛ ÓÒÓ Ò ÖÞ Ù Ó Þ ÖÙ D Þ Ò Û ÖØÓ ϕ = fº Ç Þ ÖDÑÓ Ý Ó ÞÓÒÝÑ Ó Ö Ò ÞÓÒÝ Þ Ñ Ò Ø ÖÞÝÛ D ÐÙ Ò Ó ÞÓÒݺ Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ó Þ ÖÙ Ó ÞÓÒ Ó Ñ Û ÑÝ Ó Û ÛÒØÖÞÒÝÑ Þ Ò Ò Ù Ö Ð Ø º Â Ð Ó Þ Ö Ø Ò Ó ÞÓÒÝ Ð Ý Ò Þ ÛÒ ØÖÞ Ó Þ ÖÙ D ØÓ Þ Ò Ò ¹ Ö Ð Ø Ò ÞÝÛ Þ ÛÒØÖÞÒÝѺ Ð Þ Ò Ò Þ ÛÒØÖÞÒ Ó Ó Ø ÓÛÓ Ý ÖÓÞÛ Þ Ò Û Ò Ó ÞÓÒÓ Ý Ó Ó Þ Ö º ÈÓ Ó Ò Ò Ù ÑÝ Þ Ò Ò Ö Ð Ø Ò Ô ÞÞÝõÒ Ý ÖÓÞÛ Þ Ò ϕ Þ Ð Ý ØÝÐ Ó Ó Û ÞÑ ÒÒÝ (x 1,x 2 ) ÔÖÞÝ ÞÝ Ð Þ Ò Ò Þ ÛÒØÖÞ Ò ÛÓ Û Û ÛÝÑ Ö Ý ÖÓÞÛ Þ Ò Û Ò Ó ÞÓ¹ ÒÓ Ý Ó Ó Ø Û ÖØÓ º Ò º¾º Ò Ò Æ ÙÑ ÒÒ Ð Ö ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ ÔÓÐ Ò ÛÝÞÒ Þ Ò Ù ÙÒ ÖÑÓÒ ÞÒ Û ÛÒ ØÖÞ Ó Þ ÖÙ D Þ Û ÖÙÒ Ñ u(x 1,x 2,x 3 ) n = g(x 1,x 2,x 3 ) Ð (x 1,x 2,x 3 ) D ÊÝ ÙÒ ¾ Ò Ò Æ ÙÑ ÒÒ Ð Ö ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ º ØÛÓ Þ ÙÛ Ý Ð ÙÒ ϕ Ø ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ Þ Ò Ò Æ ÙÑ ÒÒ ØÓ Ö Û¹ Ò ÙÒ ϕ 1 = ϕ+c Þ c Ø ÓÛÓÐÒ Ø Ø Ö ÛÒ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ Ø Ó Þ ¹ Ò Ò º Ì Û Þ Ò Ò Æ ÙÑ ÒÒ Ø ÛÝÞÒ Þ Ò Þ Ó ÒÓ Ó Ø º ÈÓÒ ØÓ ØÒ Û ÖÙÒ ÖÓÞÛ ÞÝÛ ÐÒÓ Þ Ò Ò Æ ÙÑ ÒÒ º ØÙ ϕ Ø ÙÒ Ö¹ ¾ À ÒÖÝ ÃÙ Ð

ÏÞÓÖÝ ÓÛ Ö Ò ÑÓÒ ÞÒ ÓÖ Þ ØÛ Ö Þ Ò Ù ÛÝÒ 0 = ϕ = div ϕ dυ = D D ϕ n ds ÛÞÓÖÙ ÓÖ Þ Þ Û ÖÙÒ Ù ÛÝÒ ÙÒ g Ø Ö ÛÝ ØÔÙ Û Û ÖÙÒ Ù Æ ÙÑ ÒÒ ÑÙ Ô Ò Þ Ð ÒÓ D g ds = 0 Ð Ý ÔÓ Þ Ð Þ Û ÒÓ ÙÒ ÖÑÓÒ ÞÒÝ ÔÓ Ù ÝÑÝ ÛÞÓÖ Ñ ØÓ ¹ ÑÓ Ñ µ Ö Ò º º ÏÞÓÖÝ ÓÛ Ö Ò ÈÙÒ Ø Ñ ÛÝ Þ Ð Ò Ò ØÔÙ ØÓ ÑÓ div (ϕv) = ϕ div v+v gradϕ Í ÝÛ ÝÑ ÓÐÙ ÓÔ Ö ØÓÖ = ( Ó x 1, x 2, (ϕv) = ϕ v+v ϕ x 3 ) ØÓ ÑÓ ÑÓ Ò Þ Ô Ò ØÔÙ¹ Ï ÖØÓ Þ Ô Ñ Ø Þ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Þ ÓÛÝ Û ØÓÖº Â Ð Þ Ò ÐÓÞÝÒ ϕv ØÓ Ò Ô ÖÛ Þ Ò Û ØÓÖ v ÔÖÞÝ Ù Ø ÐÓÒÝÑ ϕ Ò ØÔÒ Ò ϕ ϕ = ( ϕ x 1, ϕ x 2, ϕ x 3 ) ÔÖÞÝ Ù Ø ÐÓÒÝÑ vº ÈÓ Ø ÛÑÝ Û ÛÞÓÖÞ ¼µ v = ψº ÇØÖÞÝÑ ÑÝ ¼µ (ϕ ψ) = ϕ ψ +ϕ ψ ½µ Ù ØÖÓÒ Ñ ½µ ÔÓ Ó Þ ÖÞ D ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ØÛ Ö Þ Ò Ù Ç ØÖÓ Ö Þ Ó ½µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ô ÖÛ Þ ØÓ ÑÓ Ö ÒÒ D ϕ ψ +ϕ ψ dυ = D ϕ ψ n ds ÈÖÞÝÔÓÑÒ ÑÝ ψ n = ψ nº Ô ÖÛ Þ ØÓ ÑÓ Ö ÒÒ ¾µ ÛÝÒ Û Ò Û ÒÓ ÙÒ ÖÑÓÒ ÞÒ Ø Ö ÑÓ Ò ÓØÖÞÝÑ Ò ØÔÙ Óº ÓÖÑÙ ¾µ Ø Ù ÞÒ Ð ÓÛÓÐÒÝ Ó Ø Ø ÞÒ Ö ÙÐ ÖÒÝ ÙÒ º Â Ð Þ ϕ ÔÓ Ó ÝÑÝ ÙÒ Ø ÒÔº ϕ 1 Ó ÙÒ ψ Þ Ó ÝÑÝ Ø ÙÒ ÖÑÓÒ ÞÒ ØÓ Þ ØÓ ÑÓ ¾µ Ð ÙÒ ÖÑÓÒ ÞÒ Û Ó Þ ÖÞ D Þ Ó Þ D ψ n ds = 0 ¾µ µ Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û ¾

ÏÞÓÖÝ ÓÛ Ö Ò ÏÝÔÖÓÛ Þ ÑÝ Ø Ö Þ ÖÙ ØÓ ÑÓ Ö Ò º Â Ð Û ÛÞÓÖÞ ½µ Þ Ñ ÑÝ ÖÓÐ Ñ ÙÒ ϕ ψ ØÓ ÔÖÞ Ô Ù ÛÞ Ö ½µ ÓÔ Ù ÛÞ Ö ÔÓÛ Ø Ý ÔÓ Þ Ñ Ò Ñ Ñ ϕ ÓÖ Þ ψ Ñ ÑÝ (ϕ ψ) = ϕ ψ +ϕ ψ, (ψ ϕ) = ϕ ψ +ψ ϕ. Ç ÑÙ ØÖÓÒ Ñ ÔÓÛÝ Þ Û Ö ÛÒ Ò ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ (ϕ ψ ψ ϕ) = ϕ ψ ψ ϕ Ù Ö ÛÒ Ò ÔÓ Ó Þ ÖÞ DÓÖ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ØÛ Ö Þ Ò Ù Ç ØÖÓ Ö Þ Ó ½µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ö ÛÒÓ Ò ÞÝÛ Ò ÖÙ ØÓ ÑÓ Ö Ò D (ϕ ψ ψ ϕ) dυ = D ( ϕ ψ ) n ψ ϕ n ÈÓ ÝØ ÞÒÝÑ Þ Ö Þ Ñ ÔÓ Ö Ð ÝÑ ÞÒ Þ Ò Ð ÔÐ ÒÙ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ø ÑÓ Ð ¹ ÛÓ ÔÖÞ Ø Û Ò ÓÛÓÐÒ ÙÒ u Ó ÔÓÛ Ò Ó Ö ÙÐ ÖÒ Ó Þ ÖÞ D Þ ÔÓÑÓ Û ÖØÓ ÔÓ Ó Ò Ò ÖÞ Ù D ÓÖ Þ Þ Ð ÔÐ ÒÙ ÙÒ ÔÓ ÝÑ Ó Þ ÖÞ D º º½ ÌÛ Ö Þ Ò Ó Ö ÔÖ Þ ÒØ ÌÛ Ö Þ Ò º½º ÌÛ Ö Þ Ò Ó Ö ÔÖ Þ ÒØ µ Ï ÖØÓ ÙÒ u ÛÖ Þ Þ ÛÓ Ñ ÔÓ Ó ÒÝÑ Û Ô ÖÛ ÞÝ ÖÞ Û Ó ÔÓÛ ÖÞ Ò D Û ÛÒ ØÖÞ ÓÛÓÐÒ Ó ÔÙÒ ØÙ x 0 D ÛÝÖ Ó ÙÑ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÓÛ Ó ØÓ ÓÛ Û ÔÓ Ø Ð Ò Ó u(x 0 ) = 1 ( 1 4π D r u n u n ) 1 r ds ds 1 u 4π D r dυ Ð Ò ¾ u(x 0 ) = 1 ( ln 1 u 2π D r n u n ln 1 ) r ds 1 uln 1 2π D r ds ÓÛ º Ó ÛÝ Þ Ò ÛÞÓÖ Û ÓÖ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÑÝ ÖÙ ÛÞ Ö Ö Ò º Æ ÙÒ ψ = 1 r Ø Ö Û ÑÝ Ø ÙÒ ÖÑÓÒ ÞÒ º Â Ø ÓÒ ψ Ò Ó Ö ÐÓÒ ÔÖÞÝ ÑÙ Û ÖØÓ Ò Ó ÞÓÒ Û ÔÙÒ x = x 0 º Ø Ó ÔÓÛÓ Ù ÑÙ ÑÝ ÛÝ Þ Ó Þ ÖÙ D ÓØÓÞ Ò ÔÙÒ ØÙ x 0 Û ÔÓ Ø ÙÐ B ε (x 0 ) Ó Ñ ÝÑ ÔÖÓÑ Ò Ù ε ÖÓ Ù Û ÔÙÒ x 0 º Ð Ø ÞÑÓ Ý ÓÛ Ò Ó Ó Þ ÖÙ Þ ØÓ Ù ÑÝ D 1 = D \B ε (x 0 ) ÑÓ ÑÝ Ù Þ ØÓ ÓÛ ÛÞ Ö Ô ØÖÞ ÖÝ ÙÒ ¾ µº ÇØÖÞÝÑÙ ÑÝ [u ( 1r ) 1r ] [ u dυ = u ( ) 1 1 ] u ds+ D 1 S n r r n [ + u ( ) 1 1 ] u ds n r r n B ε ¼ À ÒÖÝ ÃÙ Ð

ÏÞÓÖÝ ÓÛ Ö Ò ÊÝ ÙÒ ¾ Ç Þ Ö Þ ÛÝ ØÝÑ ÓØÓÞ Ò Ñ B ε º Æ ÙÐ B ε ε ÒÓÖÑ ÐÒ ÖÓÛ Ò Ø Ó ÛÒØÖÞ Ø ÙÐ ÔÓÒ Û Ó ÓÛ ÞÙ ÓÒÛ Ò ÔÖÞÝ ÑÓÛ Ò ÖÙÒ Ù ÒÓÖÑ ÐÒ Ò Þ ÛÒ ØÖÞ Ó Þ ÖÙ ÔÓ Ø ÖÝÑ Ó ÝÛ ÓÛ Ò º Ì Û n ( ) 1 Bε = r r ( ) 1 r=ε = 1 r ε 2 ½¼¼µ ÏÞ Ö ÑÓ Ò Þ Ô Û ÔÓ Ø [ 1 u dυ + u D 1 r S n + ( ) 1 1 r r 1 B ε ε2u ds ] u ds+ n 1 u B ε ε n ds = 0 ½¼½µ Æ Ø Ö Þ ÔÖÓÑ ÙÐ B ε Ý Ó Þ Ö º ÏØ Ý Ô ÖÛ Þ Þ Ý Ó Ó ØÓ ÓÛ ÔÓ ÝÑ Ó Þ ÖÞ Dº ÖÙ Þ Ò Þ Ð Ý Ó ÔÖÓÑ Ò εº Æ ØÓÑ Ø Ð ØÖÞ Ò ÑÓÝ ØÛ Ö Þ Ò Ó Û ÖØÓ Ö Ò Ý Ó Û ÖØÓ 4πu(x 0 ) 1 ε 2 u ds = 1 B ε ε 2u(x ε)4πε 2 = 4πu(x ε ) 4πu(x 0 ) ÔÖÞÝ ε 0. ½¼¾µ Þ x ε Ø Ô ÛÒÝÑ ÔÙÒ Ø Ñ ÙÐ B ε Ô Ò ÝÑ ØÛ Ö Þ Ò Ó Û ÖØÓ Ö Ò º ÈÓ¹ Ó Ò ÑÓ ÑÝ Ó Ð ÞÝ Ö Ò Ó Ø ØÒ Ý ε 0º ÙÒ u ÔÓ Ð ÔÓ¹ Ó Ò Ó ÖÙ Ó ÖÞ Ù Û ÞÒ Û ÓÒ Û Ó Þ ÖÞ D Ó Ö Ò ÞÓÒ º Å ÑÝ 1 B ε ε u n ds = 1 u ε B ε n ds = 1 u ε n x ε 4πε 2 0 Ý ε 0. ½¼ µ ËØ ÛÝÒ ÛÞ Ö ÔÓ ÒÝ Û Ø Þ ØÛ Ö Þ Ò º Ò ÐÓ ÞÒ ÖÓÞÙÑÓÛ Ò ÔÖÞ ÔÖÓÛ Þ Ð Ô ÞÞÝÞÒÝ n = 2 ÔÖÞÝ ÑÙ ψ = lnr ÈÓ Ö ÐÑÝ ÞÞ Ö Þ ÛÞÓÖÝ Ó ÓÛ ÞÙ Ð ÓÛÓÐÒ ÙÒ u Ó ÖÞ Ù S ÞÒ Þ ÛÓ Ô ÖÛ Þ ÖÙ ÔÓ Ó Ò º Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û ½

Ï ÒÓ ÙÒ ÖÑÓÒ ÞÒÝ º Ï ÒÓ ÙÒ ÖÑÓÒ ÞÒÝ Â Ð ÛÞ Ö Þ ØÓ Ù ÑÝ Ó ÙÒ ÖÑÓÒ ÞÒ ØÓ ÓØÖÞÝÑ ÑÝ Ð Ò Ó Ð Ò ¾ Í ÓÛÓ Ò Ð ÑÝ Û ØÛ Ö Þ Ò u(x 0 ) = 1 ( 1 4π D r u(x 0 ) = 1 ( ln 1 2π D r u n u n ) 1 ds r u n u n ln 1 ) r ds ½¼ µ ½¼ µ ÌÛ Ö Þ Ò º¾º Ï ÖØÓ ÙÒ ÖÑÓÒ ÞÒ Û Ó Þ ÖÞ D Û ÓÛÓÐÒÝÑ ÔÙÒ Û ¹ ÛÒ ØÖÞ Ó Þ ÖÙ ÛÝÖ ÛÞÓÖ Ñ ½¼ µ Ð n = 3 ÐÙ ½¼ µ Ð n = 2 Û Þ Ð ÒÓ Ó Û ÖØÓ Ø ÙÒ ÔÓ Ó ÒÝ ÛÞ Ù ÒÓÖÑ ÐÒ Ó ÖÞ Ù Ø Ó Ó Þ Ö Dº Ï ÖØÓ Þ ÙÛ Ý Ø ÙÒ ÖÑÓÒ ÞÒ ÛÝÖ ÔÖÞ Þ Û ÖØÓ ÙÒ Û ÖØÓ Ô ÖÛ Þ ÔÓ Ó Ò º Ï ÛÞÓÖÞ Ò ÛÝ ØÔÙ ÔÓ Ó Ò ÖÞ Ù ÖÙ Óº Â Ø ØÓ ÔÓ Ø Û Û ÓÛÓ Þ Ò ØÔÙ Ó ØÛ Ö Þ Ò Ø Ö Ó ÓÛ ÔÓÑ ÑÝ º ÌÛ Ö Þ Ò º º ÙÒ ÖÑÓÒ ÞÒ u(x) Û ÛÒ ØÖÞ Ó Þ ÖÙ D Ñ ÔÓ Ó Ò Û ÛÒ ØÖÞ Ó Þ ÖÙ D Û ÞÝ Ø ÖÞ Ûº Ï Ò Û ÒÓ ÓÛ ÙÒ ÖÑÓÒ ÞÒÝ Ø ØÛ Ö Þ Ò Ó Û ÖØÓ Ö Ò º ÌÛ Ö Þ Ò º º Ï ÖØÓ ÙÒ ÖÑÓÒ ÞÒ Û ÖÓ Ù ÙÐ Ð n = 3µ Ó Ð n = 2µ Ö ÛÒ Ö Ò ÖÝØÑ ØÝÞÒ Ø ÙÒ ÔÓ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÙÐ ÔÓ ÖÞ Ù Ó Ð n = 2µº Ò Ò ¾ u(x 0 ) = 1 4πR 2 u ds B R u(x 0 ) = 1 u ds 2πR B R ½¼ µ ½¼ µ ÓÛ º ÈÖÞÝ Ñ ÑÝ ÙÒ u(x 0 ) Ø ÙÒ ÖÑÓÒ ÞÒ Û ÛÒ ØÖÞ ÙÐ x x 0 = Rº ÛÞÓÖÙ ½¼ µ Ñ Ò ÙÛ Þ Ø ( 1 ) n r r=r = 1 R ÓÖ Þ Û ÒÓ µ Ó Ö ÞÙ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÛÞ Ö ½¼ µº 2 ÈÓ Ó Ò ÓÛ ÔÖÞ Ð Ô ÞÞÝÞÒÝ n = 2º ØÛ Ö Þ Ò Ó Û ÖØÓ Ö Ò ÑÓ Ò ÛÝÔÖÓÛ Þ Û Ò Û ÒÓ ÙÒ ÖÑÓ¹ Ò ÞÒÝ Ò ÞÝÛ Ò Þ Ñ ÑÙѺ ÌÛ Ö Þ Ò º º Å ÑÙѵ Ê Ò Ó Ø ÙÒ ÖÑÓÒ ÞÒ Û ÛÒ ØÖÞ Ó Þ ÖÙ D Ó ÖÞ Ù Ó Þ ÖÙ D Ó ÛÓ Û ÖØÓ Ò Û Þ Ò ÑÒ Þ ØÝÐ Ó Ò ÖÞ Ù Ó Þ ÖÙ ¾ À ÒÖÝ ÃÙ Ð

Ï ÒÓ ÙÒ ÖÑÓÒ ÞÒÝ ÊÝ ÙÒ ¼ ÃÙÐ Ó ÔÖÓÑ Ò Ù Ê Û ÛÒ ØÖÞ Ø Ö ÙÒ u Ô Ò Ö ÛÒ Ò Ä ÔÐ ³ u = 0º Æ ÓÒ ÞÛÖ ÑÝ ÙÛ ÞÞ Ò Ø ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö ÔÖ Þ ÒØ ÙÒ ÔÓÞÛ Ð Ö ÛÒ ÛÝÖ Þ ÖÓÞÛ Þ Ò Ö ÛÒ Ò ÈÓ ÓÒ D u = ρ(x) Þ ρ Ø Þ Ò ÙÒ ÔÓ Ó Ò Û ÔÓ Ò ØÔÙ Ý u(x 0 ) = 1 ( 1 u 4π r n u ) 1 ds + 1 nr 4π D ρ(x) r dυ ½¼ µ ½¼ µ Â Ð ÖÞ Ù Ó Þ ÖÙ D ÙÒ u ÔÓ Ó Ò Ö ÛÒ Þ ÖÙ ÒÔº ÒÓ Ò ÙÒ ρ Ø Ó Ö Ò ÞÓÒÝ ÔÖÓÑ Ó Þ ÖÙ D Ý Ó Ò Ó ÞÓÒÓ ØÓ ÖÓÞÛ Þ Ò Ö ÛÒ Ò ÈÓ Ò Ò Ø ÛÞÓÖ Ñ u(x 0 ) = 1 ρ(x) dυ ½½¼µ 4π D r Ð Û ÛÝÑ Ö Û ÖÓÞÛ Þ Ò ÈÓ ÓÒ Û Ó Þ ÖÞ Ò Ó Ö Ò ÞÓÒÝÑ ÔÖÞÝ Ö ÔÓ Ø u(x 0 ) = 1 2π D ρ(x)ln 1 r ds ½½½µ Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û