Proponowana tematyka prac dyplomowych licencjackich na kierunku Matematyka stopień I Rok akademicki 2018/2019 Dr Katarzyna Adrianowicz Wektory i wartości własne oraz ich zastosowania Praca powinna zawierać rozbudowany opis teorii związanej z wartościami i wektorami własnymi, oraz kilka przykładów i zastosowań tych pojęć w różnych dyscyplinach naukowych. Przegląd metod wyznaczania wartości i wektorów własnych - zastosowania Praca powinna zawierać wprowadzenie teoretyczne oraz omówione różne metody (dokładne i przybliżone) wyznaczania wartości i wektorów własnych, przykłady i zastosowania ze zwróceniem uwagi na to, które metody w jakich przypadkach są najlepsze. Arytmetyka modularna Praca powinna zawierać opis teoretyczny różnych rodzajów działań modulo, (m. in. odwracanie macierzy modulo n, logarytm dyskretny itp.) oraz zastosowania arytmetyki modularnej do rozwiązywania różnych zagadnień. Dr inż. Marek Balcer Ciągi Farey'a - ich pochodzenie oraz właściwości Liczby (szeregi) Lukasa jako kontynuacja prac Fibonacciego Oczywiście tytuły prac mogą ulec modyfikacji, natomiast tematy stanowią bardzo ciekawe wyniki prac XIX wiecznej matematyki, które są do dzisiaj wykorzystywane w nawet bardzo odległych dziedzinach. Aby student miał rozeznanie o powyższych zagadnieniach wystarczy jak wejdzie na strony angielskiej wikipedii - otworzy mu się wtedy materiał jaki będzie musiał opracować, a jak będzie dociekliwy może go doprowadzić do całkiem ciekawej pracy Logiki wielowartościowe - geneza oraz przegląd osiągnięć XX wieku Dr inż. Agnieszka Bier Problem Waringa dla ciał skończonych Opis problemu: Liczbą Waringa s=g(k,q) ciała F q względem k nazywamy najmniejszą (jeśli istnieje) taką liczbę s, że każdy element b ciała F q może być zapisany w postaci: 1
Problem Waringa to problem znalezienia wartości g(k,q) dla różnych ciał skończonych i różnych wartości k. W pracy należy wprowadzić podstawowe pojęcia teorii ciał skończonych, omówić ich konstrukcję, sformułować problem Waringa. Należy zaproponować własne rozwiązanie problemu dla wybranych ciał i przedstawić przegląd najważniejszych wyników z literatury. Literatura: Mullen, Panario Handbook of finite fields, tematyczne artykuły naukowe w języku angielskim. Funkcje boolowskie i ich zastosowanie w kodowaniu korekcyjnym W pracy należy zdefiniować funkcje Boolowskie, arytmetykę ciał skończonych charakterystyki 2, podstawowe twierdzenia i własności takich funkcji. Należy zdefiniować pojęcie kodu i zdolności korekcyjnej kodu oraz przedstawić konstrukcję klasy kodów korekcyjnych Reeda-Mullera. Część teoretyczną należy uzupełnić samodzielnie skonstruowanymi przykładami oraz dowodami wybranych twierdzeń. Literatura: Mullen, Panario Handbook of finite fields, tematyczne artykuły naukowe w języku angielskim. Kryteria jednoznacznej dekodowalności kodów W pracy należy wyłożyć podstawy teorii kodowania i kodów jednoznacznie dekodowalnych. Należy omówić podstawowe klasy kodów jednoznacznie dekodowalnych oraz sformułować i udowodnić wybrane kryterium jednoznacznej dekodowalności kodów. Część teoretyczną należy uzupełnić samodzielnie skonstruowanymi przykładami. Literatura: R. McEliece The Theory of Information and Coding, Mullen, Panario Handbook of finite fields, tematyczne artykuły naukowe w języku angielskim. Kody liniowe nad ciałami skończonymi W pracy należy wyłożyć podstawy teorii kodowania i kodów liniowych. Należy sformułować i udowodnić wybrane twierdzenia tej teorii (np. o zdolności korekcyjnej kodu liniowego o zadanych parametrach). Część teoretyczną należy uzupełnić samodzielnie skonstruowanymi przykładami. Literatura: R. McEliece The Theory of Information and Coding, Mullen, Panario Handbook of finite fields, tematyczne artykuły naukowe w języku angielskim. 2
Dr Barbara Biły Krzywe Beziera stopnia drugiego i trzeciego Zagadnienia: krzywa Beziera dowolnego stopnia, w szczególności stopnia 2 i 3; różne sposoby przedstawienia krzywych; przykłady ich wyznaczania; krzywizna, długość krzywych; zastosowania. Macierz Sylvestera i jej zastosowania Zagadnienia: elementy teorii eliminacji; określenie macierzy Sylvestera i rugownika; przykłady zastosowań do rozwiązywania układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi; punkty wspólne krzywych algebraicznych. Liczby perturbacyjne i ich zastosowanie Zagadnienia: podstawowe definicje i twierdzenia dotyczące liczb perturbacyjnych rzeczywistych i zespolonych, funkcje perturbacyjne, różniczkowanie. Zastosowanie liczb perturbacyjnych np. w mechanice. Metody perturbacyjne Zagadnienia: historia rozwoju metod perturbacyjnych, różne sposoby podejścia do zagadnień perturbacyjnych, przykłady perturbacji w matematyce, fizyce i mechanice. Dr Józef Burzyk Teoria dystrybucji Głównym celem pracy będzie opis konstrukcji dystrybucji i dowody ich podstawowych własności. Zadaniem dyplomanta będzie również podanie zastosowań przykładowych dystrybucji takich jak dystrybucja delta Diraca. Transformata Laplace a Praca będzie zawierać definicję i dowody podstawowych własności transformaty Laplace a. Zadaniem autora będzie wyszukanie ciekawych zastosowań transformaty Laplace a, zarówno w teorii równań różniczkowych zwyczajnych jak i cząstkowych. Zbieżność ciągów i szeregów funkcyjnych Celem pracy będzie sformułowanie i dowody twierdzeń związanych z różnego rodzaju typami zbieżności ciągów i szeregów funkcyjnych. Celem dyplomanta będzie znalezienie ciekawych przykładów zastosowań twierdzeń o różniczkowaniu i całkowaniu szeregów funkcyjnych. Zbieżność w przestrzeniach topologicznych Zadaniem pracy będzie z jednej strony omówienie ogólnych własności zbieżności w przestrzeniach metrycznych, a z drugiej zbadanie które zbieżności występujących 3
w analizie matematycznej można opisać (i w jaki sposób) poprzez zbieżność zadaną poprzez pewną metrykę. Ogólna teoria zbieżności Celem pracy będzie sformułowanie aksjomatycznej teorii ogólnej zbieżności. Praca będzie poświęcona zbadaniu własności takich zbieżności oraz podaniu ciekawych przykładów ilustrujących powiązania pomiędzy różnego rodzaju ogólnymi własnościami zbieżności. Kryteria zbieżności szeregów Praca będzie poświęcona różnego rodzaju kryteriom zbieżności szeregów liczbowych z szczególnym uwzględnieniem tych kryteriów których nie omawia się na standardowym wykładzie analizy matematycznej. Celem dyplomanta będzie wyszukanie ciekawych przykładów ilustrujących działanie poszczególnych kryteriów. Dr inż. Konrad Kaczmarek Zastosowanie analizy widma wzajemnego Praca powinna zawierać podstawy teoretyczne analizy Fouriera dla dwóch szeregów czasowych. Wiadomości teoretyczne powinny zostać zilustrowane przykładami opracowanymi za pomocą pakietu Statistica lub/i pakietu R. Dane do analizy powinny zostać pozyskane przez dyplomanta np. z GUS. Wybór zmiennych i ich liczby wykorzystywanych do predykcji Praca powinna zbadać wpływ liczby zmiennych i ich wyboru na jakość predykcji. Zasadniczą częścią pracy powinien być przykład opracowany za pomocą pakietu Statistica lub/i R. Losowy las jako metoda klasyfikacyjna Praca powinna zawierać opis metody losowego lasu. Praca powinna zawierać przykłady wykorzystania losowego lasu do klasyfikacji i analizę metody. Dr inż. Marcin Lawnik Odwzorowanie logistyczne, jego modyfikacje i zastosowania Dyplomant przedstawi podstawowe własności odwzorowania logistycznego (punkty stałe, diagram bifurkacyjny, wykładnik Lapunowa, gęstość niezmienniczą) oraz scharakteryzuje wybrane jego uogólnienia. Wkładem własnym Dyplomanta będzie wykonanie stosownych obliczeń (analitycznie i numerycznie) oraz dokonanie stosownego przeglądu literatury. Odwzorowania chaotyczne kawałkami liniowe i ich zastosowania Dyplomant przedstawi znane z literatury chaotyczne odwzorowania kawałkami liniowe i dokona ich analizy (punkty stałe, diagram bifurkacyjny, wykładnik Lapunowa, gęstość 4
niezmiennicza). Następnie wskaże, w jaki sposób można je wykorzystać m.in. w kryptografii i kompresji danych. Wkładem własnym Dyplomanta będzie wykonanie stosownych obliczeń (analitycznie i numerycznie) oraz dokonanie stosownego przeglądu literatury. Generatory rozkładu normalnego Dyplomant przedstawi metody i algorytmy pozwalające na generowanie wartości zmiennych losowych z rozkładu normalnego. Wkładem własnym Dyplomanta będzie dokonanie stosownego przeglądu literatury i implementacja wybranych metod. Dyplomant wykona dodatkowo analizę porównawczą zaimplementowanych metod, której celem będzie określenie metody najefektywniejszej pod kątem przyjętych kryteriów. Wymagana jest dobra znajomość jednego z powszechnie używanych języków programowania. Odwrotne zagadnienie Frobeniusa-Perrona Dyplomant przedstawi metody rozwiązania odwrotnego zagadnienia Frobeniusa-Perrona, którego celem jest znalezienie układu dynamicznego z zadaną z góry gęstością niezmienniczą. Wkładem własnym Dyplomanta będzie dokonanie stosownego przeglądu literatury i wykonanie przykładów ilustrujących przedstawione metody. Wielomiany Czebyszewa i ich zastosowanie w kryptografii Dyplomant scharakteryzuje wielomiany Czebyszewa, a następnie przedstawi ich zastosowanie w kryptografii opartej o teorię chaosu. W pracy powinno się znaleźć omówienie przede wszystkim kryptosystemów asymetrycznych (np. Kocarev'a i jego modyfikacja). Wkładem własnym Dyplomanta będzie dokonanie stosownego przeglądu literatury i implementacja wybranych algorytmów kryptograficznych. Z-liczba jako uogólnienie liczby rozmytej Dyplomant przedstawi podstawowe twierdzenia dotyczące Z-liczb z szczególnym uwzględnieniem zastosowań m.in. w podejmowaniu decyzji. Wkładem własnym Dyplomanta będzie zebranie informacji na temat Z-liczb i opracowanie własnych przykładów zastosowań w podejmowaniu decyzji. 5
Dr inż. Jakub Ludew Formy różniczkowe a twierdzenie Brouwera Zastosowanie maszynerii form różniczkowych do dowodu twierdzenia Brouwera, poprzedzone elementarnym wprowadzeniem do teorii form różniczkowych w kontekście przestrzeni euklidesowych iloczyn Grassmanna, cofnięcie formy, pochodna zewnętrzna i całka formy różniczkowej, ogólne twierdzenie Stokesa. Elementarne wprowadzenie do zagadnienia podprzestrzeni niezmienniczych Geneza problemu podprzestrzeni niezmienniczych twierdzenie Schura i rozkład kanoniczny Jordana, twierdzenie spektralne dla operatorów hermitowskich i normalnych, operatory zwarte, twierdzenie Łomonosowa. Elementarne wprowadzenie do geometrii różniczkowej powierzchni Pierwsza i druga forma fundamentalna powierzchni, krzywizny główne i krzywizna Gaussa,Gaussa Theorema Egregium. Pewne dowody fundamentalnego twierdzenia algebry Zazwyczaj FTA dowodzone jest w ramach kursu teorii funkcji zespolonych, jako wniosek z twierdzenia Liouville a, zasady maksimum czy też twierdzenia Rouchego. Celem pracy jest szczegółowe i elementarne zaprezentowanie pewnych dowodów FTA o charakterze geometrycznym i topologicznym, z którymi student nie zetknie się w ramach standardowych kursów, a które ze względu na angażowane pojęcia i metody (rzut stereograficzny, punkty krytyczne odwzorowania, pierwsza grupa homotopii) są interesujące same w sobie. Dwa podejścia do dowodu twierdzenia Picarda-Lindelöfa Istnienie i jednoznaczność rozwiązania układu równań różniczkowych zwyczajnych, rzędu pierwszego, z zadanymi warunkami początkowymi oraz gładka zależność od warunków początkowych (przy stosownych założeniach) dowód klasyczny a nieskończeniewymiarowy rachunek różniczkowy. O pewnych własnościach funkcji gładkich Pewne (fundamentalne m.in. dla topologii różniczkowej) własności odwzorowań gładkich i ich zastosowania (gładki rozkład jedności, gładka wersja lematu Ursona i twierdzenia Tietzego, lemat Borela, twierdzenie aproksymacyjne Whitneya, istnienie funkcji gładkich o dowolnie zadanym, domkniętym, zbiorze zer) Dr Ewa Łobos Całki niewłaściwe i przykłady ich zastosowań Praca będzie się składała z dwóch części. W pierwszej będą podane definicje całek niewłaściwych, a w drugiej zostaną omówione przykłady ich zastosowań (transformata Laplace a, całki niewłaściwe w rachunku prawdopodobieństwa, w teorii niezawodności itp.), wybrane przez autora. 6
Definicje całki oznaczonej W pracy zostaną podane sposoby definiowania całki oznaczonej: przez całkę górną i dolną, przez sumy Riemanna, podejście aksjomatyczne. Zgodnie z tymi definicjami zostaną udowodnione niektóre twierdzenia rachunku całkowego. Dowody będą punktem wyjścia do porównania definicji. Uwaga: część literatury tylko w języku angielskim. Składowe główne i korelacje kanoniczne Praca będzie zawierała przedstawienie problemu, wyprowadzenia wzorów oraz przykłady ilustrujące zastosowanie metody. Obliczenia będą wykonane w pakiecie STATISTICA. Uwaga: część literatury w języku angielskim; konieczna jest znajomość statystyki, macierzy i metody mnożników Lagrange a. dr inż. Bożena Piątek Twierdzenie selekcyjne Michaela Twierdzenie selekcyjne Michaela jest jednym z podstawowych narzędzi w zakresie analizy wielowartościowej (funkcji, których wartościami są zbiory niepuste), gdyż pozwala na sformułowanie analogicznego problemu w przypadku ciągłych funkcji jednowartościowych. W pracy zostaną przedstawione definicje i podstawowe własności odwzorowań wielowartościowych oraz ich liczne (własne!) przykłady, w ostatnim rozdziale proponuję pokusić się o naświetlenie zastosowań tego twierdzenia w jednym z dwóch przypadków: teorii punktów stałych bądź w inkluzjach różniczkowych. Podstawowa wersja twierdzenia Michaela została sformułowana dla przypadku przestrzeni parazwartych. Jednakże my, dostosowując temat do biegłości studenta w zakresie topologii, w pracy będziemy rozważać jedna z trzech klas przestrzeni: podzbiory przestrzeni Rn, przestrzenie metryczne bądź przestrzenie parazwarte. Ambitniejszy student może pokusić się o powiązanie tych klas poprzez przedstawienie dowodu twierdzenia Stone a. Drzewa metryczne Drzewa metryczne są ciekawym uogólnieniem prostej rzeczywistej R (ze standardowa metryka d(x; y) = x y, mających jednakże szeroką gamę zastosowań między innymi w biologii i informatyce. W pracy proponuję omówienie równych typów odwzorowań wielowartościowych półciągłych postaci F : M 2 M oraz zależności między nimi. Każde z omówionych typów zilustrowane powinno zostać samodzielnie skonstruowanym przykładem. W ostatnim rozdziale pracy 7
skupimy się na istnieniu punktów stałych tego typu odwzorowań, czyli punktów których., dla Wokół twierdzenia Banacha o punkcie stałym Dowód twierdzenia Banacha o punkcie stałym dla kontrakcji zdefiniowanych na przestrzeniach metrycznych zupełnych należy do kanonu metod dowodzenia jakie prezentuje się studentom na przedmiocie analiza matematyczna. Jednak w przeciągu prawie stu lat od daty jego publikacji przez Stefana Banacha pojawiło się mnóstwo jego uogólnień dla szerszych klas odwzorowań na tych samych przestrzeniach. W pracy zawartych zostanie kilka przykładowych rozszerzeń, każde z nich uzupełnione będzie samodzielnie skonstruowanym przykładem pokazującym, że rzeczywiście jest to (w większym lub mniejszym stopniu) uogólnienie słynnego wyniku. Funkcje o wahaniu skończonym W pracy omówiona zostanie definicja funkcji o wahaniu skończonym, różne (własne!) przykłady i kontrprzykłady takich funkcji, ich podstawowe własności oraz warunki konieczne i dostateczne na to, aby funkcja miała wahanie skończone. Ostatni rozdział pracy proponuję poświęcić którymś z licznych zastosowań funkcji o wahaniu skończonym, na przykład w teorii całki krzywoliniowej. Dr inż. Mariusz Pleszczyński Implementacja wybranych algorytmów tomografii komputerowej Zadaniem dyplomantów będzie implementacja wybranego/wybranych algorytmów tomografii komputerowej i badanie jego/ich użyteczności (szybkość zbieżności, stabilność itp.) Numeryczne metody rozwiązywania wybranych typów równań różniczkowych Zadaniem dyplomantów będzie implementacja wybranych algorytmów rozwiązywania zwyczajnych równań różniczkowych i badanie ich użyteczności. Testy statystyczne w Marhematica Mathematica jest potężnym narzędziem wykorzystywanym przez matematyków, jednak jej znaczenie w statystyce bywa marginalizowane - np. testy statystyczne wykonywane w programie Statistica czy w języku R. Zadaniem dyplomantów będzie pokazanie użyteczności programu Mathematica również na tym polu poprzez implementację algorytmów rozwiązujących i pomagających w rozwiązywaniu tego typu zagadnień. Wybrane pakiety języka R Zadaniem dyplomantów będzie omówienie wybranych pakietów języka R oraz wskazanie przykładów i sposobu ich zastosowań w zadaniach statystyki matematycznej 8
Dr inż. Jan Pochciał Zbieżność ciągów w przestrzeniach metrycznych Najważniejsze pojęcia i własności związane z przestrzeniami metrycznymi, przykłady, ciągi w przestrzeniach metrycznych (domkniętość, zwartość, zupełność), własności specyficzne, metryzowalność zbieżności - przykłady pozytywne i kontrprzykłady. Aksjomatyczna teoria zbieżności Klasyczne aksjomaty teorii zbieżności (F,U,S,H), zbieżności topologiczne, topologie zbieżnościowe, warunki przekątniowe, warunek K -zupełność, przykłady i kontrprzykłady. Wybrane przykłady krzywych płaskich Szczegółowe przedstawienie wybranych przez dyplomanta przykładów krzywych płaskich; obliczenia długości, pól ograniczonych krzywymi, opis własności specyficznych. Przykłady fizycznych zastosowań metod analizy wektorowej Podstawowe pojęcia analizy wektorowej, gradient, dywergencja rotacja -własności, pole potencjalne i bezźródłowe, twierdzenia Gaussa i Stokesa, przykłady. Dr Alicja Samulewicz Odwzorowania peanowskie Przykłady odwzorowań ciągłych z przedziału domkniętego na kwadrat [0,1] [0,1] i sześcian [0,1] [0,1]] [0,1]. Przestrzenie, które mogą być ciągłymi obrazami przedziału [0,1]. Zbiory punktów różniczkowalności odwzorowań peanowskich i ich współrzędnych. Wyznaczanie najkrótszych dróg w przestrzeniach łukowo spójnych Drogi w przestrzeniach metrycznych łukowo spójnych. Przestrzenie, w których nie istnieje najkrótsza droga między dwoma ustalonymi punktami. Sposoby wyznaczania najkrótszych dróg w wybranych klasach przestrzeni, np. w grafach i na powierzchniach gładkich. Geometrie nieeuklidesowe Aksjomaty Euklidesa. Geometria absolutna. Proste i trójkąty w przestrzeniach nieeuklidesowych. Modele przestrzeni nieeuklidesowych. Zastosowania. Przestrzenie metryczne zupełne i ich własności W pracy omówione zostaną wybrane twierdzenia dotyczące przestrzeni metrycznych zupełnych oraz przykłady ich zastosowań w różnych dziedzinach matematyki. 9
Normy w przestrzeniach liniowych Przykłady norm w przestrzeniach liniowych. Twierdzenie o równoważności wszystkich norm w przestrzeniach liniowych skończonego wymiaru. Przykłady nierównoważnych norm w przestrzeni liniowej nieskończenie wymiarowej. Dr inż. Andrzej Starosolski Ultrafiltry na zbiorze liczb naturalnych Tak na prawdę wprowadzenie do teorii ultrafiltrów, trochę o specjalnych typach u.filtrów ze szczególnym naciskiem na I-ultrafiltry i idąc w kierunku diagramu Flaskovej, ale też w nawiązaniu do 2. tematu. O niehomogeniczności narostu Cecha-Stone'a zbioru liczb naturalnych Narost to u.filtry wolne. Długo był otwarty problem czy jest on homogeniczny - tzn. czy dla każdej paru u.filtrów wolnych istnieje homeomorfizm przestrzeni na siebie taki, że przeprowadza pierwszy z nich na drugi. Pierwsza odpowiedź (negatywna) to tw. Rudina o istnieniu P-punktów i nie P-punktów przy założeniu CH (P-punkt nie może przechodzić na nie P-punkt)., później osłabione do założenia MA w miejsce CH. Następne rozwiązanie już w ZFC to istnienie słabych P-punktów i nie słabych P-punktów. Pełne rozwiązanie należy do Frolika - w ZFC pokazuje istnienie 2^c klas u.filtrów nie mogących przejść na siebie przez homeomorfizm. Małe liczby kardynalne To liczby większe od \aleph_0 i mniejsze bądź równe continuum. Bardzo często są to najmniejsze moce zbiorów mających pewne własności. kombinatoryczne własności niektórych z liczb poisuje diagram Cichonia. Co ciekawe wiele nierówności między nimi jest ZFC niezależnych a zależne są ładnymi konstrukcjami kombinatorycznymi. Dodatkowo niektóre dodatkowe aksjomaty teoriomnogościowe mogą być opisywane równościami między tymi liczbami. Praca miała by się zając właśnie własnościami kombinatorycznymi i skutkami niektórych równości/nierówności między tymi liczbami. CH, MA i inne "dodatkowe" założenia teoriomnogościowe Wiele zagadnień jest nierozwiązanych lub ma trudne rozwiązania w ZFC a jest łatwiej rozwiązywalna przy dodatkowych założeniach np. CH, MA i innych. Praca miała by na przykładach pokazać jak się posługiwać tymi założeniami i np. dla CH wymaga pewnej znajomości liczb porządkowych, dla MA samych porządków. 10
Dr inż. Witold Tomaszewski Przestrzenie unitarne i euklidesowe Celem pracy jest opisanie algebraicznych i geometrycznych aspektów teorii przestrzeni euklidesowych i unitarnych. W pracy będą zaprezentowane najważniejsze konstrukcje i algorytmy oraz będą opisane ważne w tych przestrzeniach przekształcenia. Grupy permutacji Celem pracy będzie omówienie najważniejszych aspektów teorii grup permutacji. Podane zostaną podstawowe konstrukcje oraz przedstawione zostaną najważniejsze typy grup permutacji. Izometrie przestrzeni R 2 i R 3 w układzie współrzędnych Praca poświęcona będzie izometriom płaszczyzny i przestrzeni trójwymiarowej. Najpierw podana będzie klasyfikacja izometrii oraz opis grup izometrii płaszczyzny i przestrzeni trójwymiarowej. W dalszej części pracy izometrie opisane będą jako przekształcenia afiniczne przestrzeni R 2 i R 3. Pokazane też będzie w jaki sposób mając dany wzór przekształcenia afinicznego można rozpoznać czy przekształcenie jest izometria, jakim jest rodzajem izometrii i w jaki sposób można wyznaczyć ważne parametry przekształcenia (środek obrotu, kat obrotu, os symetrii itp.). Opisana teoria poparta będzie licznymi przykładami. Teoria Polyà Celem pracy jest zaprezentowanie podstawowych twierdzeń teorii Polyà. Najpierw opisane zostaną (ważne z punktu widzenia tematu pracy) pojęcia związane z grupami (a w szczególności grupami permutacji): przesunięcia, sprzężenia, indeksy cyklowe, typy permutacji itp. Następnie omówione będą koncepcje związane z działaniami grup na zbiorach: definicje działań, orbity, stabilizatory i różne fakty dotyczące tych pojęć. W dalszej części pojawi się Lemat Cauchy-Frobeniusa-Burnside a (jako wstęp do opisu podstawowych twierdzeń) wraz z licznymi przykładami. Na końcu zaprezentowane zostaną twierdzenia Teorii Polyà, być może wraz z dowodami i przykładami. Dr inż. Adam Woryna Automaty Mealyy ego i grupy generowane przez te automaty W teorii automatów wyróżniamy dwa najważniejsze ich rodzaje: akceptory (automaty Rabina-Scotta) służące do rozpoznawania słów i przetworniki (automaty Mealy ego) przekształcające słowa. Celem pracy jest omówienie pojęcia automatu Mealy ego jako narzędzia do definiowania i badania grup automorfizmów pewnych drzew z korzeniem. Wprowadzi się podstawowe definicje, m.in. automatu Mealy ego, przekształcenia automatowego oraz grupy G(A) generowanej przez automat permutacyjny A. Omowi się podstawowe własności tych pojęć. Wprowadzi się pojęcie permutacyjnego splotu grup 11
(rekursji splotowej) i pokaże jak definiować i badać grupy G(A) za pomocą rekursji splotowej. Grupa Grigorchuka i jej własności W teorii grup wyróżnia się konstrukcję grupy Grigorchuka G. W ciągu ostatnich trzydziestu lat ukazało się wiele prac, w których dowodzi się ciekawych własności grupy G. Celem pracy jest przedstawienie niektórych wyników. W szczególności pokaże się, że grupa G rozwiązuje problem Milnora dotyczący istnienia grupy o wzroście pośrednim, jak również problem Burnside a istnienia nieskończonej, skończenie generowanej grupy torsyjnej. Kody jednoznacznie dekodowalne o dwóch i trzech słowach kodowych W literaturze znana jest elegancka i prosta w opisie charakteryzacja kodów jednoznacznie dekodowalnych o dwóch słowach kodowych. Nie jest natomiast znana pełna charakteryzacja takich kodów o trzech słowach kodowych znane są jedynie częściowe wyniki. Celem pracy jest omówienie rożnych własności kodów j.d. o dwóch lub trzech sowach kodowych. W szczególności wyprowadzi się wspomnianą wyżej charakteryzację kodów o dwóch słowach kodowych oraz niektóre znane rezultaty dot. kodów j.d. o trzech słowach kodowych. O problemie sekretarek Celem pracy jest wyprowadzenie rozwiązania klasycznej wersji problemu sekretarek, tj. problemu zatrudnienia najlepszej sekretarki spośród ustalonej liczby n sekretarek (klasyczna wersja problemu optymalnego zatrzymywania się). Przedstawi się uogólnienie tego problemu na wybór jednej spośród k najlepszych sekretarek, gdzie k jest ustaloną liczbą mniejszą niż n, czyli wersję Gusein-Zade problemu sekretarek. W wersji tej rozwiązanie wyraża się w postaci pewnego niemalejącego ciągu (s 1,, s k ) liczb naturalnych. Stosując analizę kombinatoryczną, wyprowadzi się postać ciągu optymalnego oraz odpowiadające mu prawdopodobieństwo sukcesu w przypadku k = 2. Omowi się także asymptotyczne zachowanie się ciągów optymalnych. 12