ANDRZEJ MŁOTKOWSKI (ŁÓDŹ)

MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, (1970) PRZYBLIŻ ONE OBLICZANIE PŁYTY KOŁOWEJ, UŻ EBROWANEJ JEDNOSTRONNIE, OBCIĄ Ż ONE J ANTYSYMETRYCZNIE ANDRZEJ MŁOTKOWSKI (ŁÓDŹ) Oznaczenia stale, a promień zewnę trzny płyty, stałe, b(k) grubość ż ebra, С promień wewnę trzny płyty, Щ к ) sztywność obwodowa płyty, Dr(k) sztywność promieniowa płyty, E moduł Younga, F powierzchnia przekroju poprzecznego ż ebra, F(k) współczynnik, G moduł sprę ż ystośi cpostaciowej, Щ к ) wysokość ż ebra, wysokość ż ebra na promieniu zewnę trznym, H c wysokość ż ebra na promieniu wewnę trznym, kk) grubość płyty, kk) moment bezwładnoś ci przekroju ż ebra przypadają cy na jednostkę obwodu płyty, к indeks okreś lają y c wielkoś ci dotyczą ce kolejnej płyty pierś cieniowej, Af moment obcią ż ają, cy M r (k) moment gną cy promieniowy przypadają cy na jednostkę obwodu płyty, moment gną cy obwodowy przypadają cy na jednostkę promienia, M r o(k) moment skrę cają cy, m liczba płyt pierś cieniowych, Nr(k) siła promieniowa przypadają ca na jednostkę obwodu płyty, Щ к ) siła obwodowa przypadają ca na jednostkę promienia, n liczba ż eber, Q r,qo siły tną ce promieniowe i obwodowe, r promień bież ąy c płyty, S(k) iloczyn modułu Younga i momentu statycznego ż ebra wzglę dem płaszczyzny ś rodkowej przypadają cy na jednostkę obwodu płyty, Tm siła styczna (położ ona w płaszczyź nie ś rodkowej płyty), Щ к ) przemieszczenie promieniowe, "o(*) przemieszczenie promieniowe płaszczyzny ś rodkowej płyty, v<,k) przemieszczenie obwodowe, ^o(jfc) przemieszczenie obwodowe płaszczyzny ś rodkowej płyty,

12 A. MŁOTKOWSKI Vf<*) ugię cie płyty, z współrzę dna okreś lają a c odległość rozpatrywanego punktu od płaszczyzny ś rodkowej, <*i«) a «) в v r Q = a r a r oo r ro a s t a } e > współczynnik, współrzę dna ką towa rozpatrywanego punktu, liczba Poissona, promień bezwymiarowy, naprę ż eni a promieniowe w płycie, naprę ż eni a w ż ebrze, naprę ż eni a obwodowe w płycie, naprę ż eni a styczne w płycie. Poniż sze rozważ ania są rozszerzeniem pracy [1], w której omówiono sposób obliczenia płyt kołowych wzmocnionych ż ebrami po jednej stronie płaszczyzny ś rodkowej i obciąż onej antysymetrycznie parą sił przyłoż oną w ś rodku. Kształt ż eber był jednak tak dobrany, by promieniowa sztywność zginania oraz inne współczynniki, wystę pująe c w układzie równań róż niczkowych płyty uż ebrowanej, były stałe. Rys. 1 W praktyce, płyty wzmacniane są ż ebrami promieniowymi o kształtach, które powodują, że wyż ej wspomniane wielkoś ci są funkcjami promienia. Płyta o zmiennej sztywnoś ci zginania może być w przybliż eniu przedstawiona jako szereg połą czonych ze sobą ortotropowych płyt pierś cieniowych o stałych sztywnoś ciach zginania. Na przykład dla płyty przedstawionej na rys. 1 sztywność zginania moż na przedstawić, jak na rys. 2. Moż na przyjąć sztywnoś ci poszczególnych pierś cieni równe sztywnoś ciom w ich ś rodkach. Podobnie moż na przedstawić wielkoś ci S i F x (oraz ewentualnie D 0 jeś li grubość płyty jest zmienna). Odpowiada to jakby zmianie kształtu ż eber według rys. 3.

PRZYBLIŻ ONE OBLICZANIE PŁYTY KOŁOWEJ 129 Jeś li płytę podzielić na dostatecznie dużą liczbę pierś cieni, wówczas «stopnie» na ż ebrach bę dą praktycznie bez znaczenia dla dokładnoś ci obliczeń. Na styku dwóch kolejnych pierś cieni muszą być spełnione warunki cią głośi c dotyczą ce odkształceń i sił wewnę trznych. Ugię cia, ką ty ugię cia, przemieszczenia promieniowe i obwodowe, momenty promieniowe, siły normalne, styczne oraz zastę pcze siły poprzeczne muszą być na liniach styku płyt pierś cieniowych odpowiednio sobie równe. Щ к ) Щ к + 1)> M R ( K ) = Mrlk+1Ą dw (k) dq d Q Щ к ) (1) Щ к ) W(Jk+l)> П к ) Щ к )= Щ к + i) М г (К к) Q Н к )' д О gdzie к oznacza numer kolejny pierś cienia. M, ro{k + 1 ) Qr(k + i> r do D r =f(p) Rys. 2 Rys. 3 Obliczenia wykonane tą metodą przy podziale płyty na pięć pierś cieni dały wię kszą dokładność niż przy zastosowaniu metody róż nic skoń czonych ze wzglę du na wysoki rząd pochodnych w równaniach równowagi (2.14) w pracy [1]. Jak wykazano w cytowanej pracy, przemieszczenia poszczególnych punktów powierzchni ś rodkowej /с tego pierś cienia płyty moż na wyrazić w nastę pują ce j postaci >*'(*) = [л Н к )е + А 2( к )б\п д + ^A 4)t,o u ;u) +1 ]cos0, (2) «o<*) = [в П к )т В 2{к ) \п (>+ ]?p iik )A iik) o n ia)}coso, j = 5 Щ к ) = [ ^i(t) ^:^ +lri(?j52(t)4 ^Р ц к )1ц к )А ц к)с >"^> sino,

130 A. MLOTKOVVSKI gdzie Ax*) = Eh\ k) 12(1 v 2 ) О ) 5,», г <.,.,я,( я "'+ й '")^ \ 2 / 2naQ irik) 2 т г а 'sr(*>, р 2(Г =^' ^r(fc)(«2 (fc) 1) 3D 0 (*)а (а.ч *) 1 ) (1 +»)«,»,+(3 r) (l v)a? ( k ) (3 v) W Współczynniki a 5(t )4 a (l ) znajdujemy z równania dwukwadratowego (1 v)0s(ł) i? i(*)^r(*))«(*)+[(l : =T')(Fi (W i) ł. (t )+32) 0 )F, ( j k )) ( 4 ) (3 v)(l»)ftttdr(*» (1 + v)% k) D, m + 0 v)f Hk) D nk) 2(2 i^)0&)] [(3 v)(l ^ 0 v)(f Hk) D rik) + 3F 1(k) D m) S 2 k))] = 0. Stałe A 2(k), B l{k), B 2{k ), А 5^к) ^ А щ ) moż na wyznaczyć z warunków brzegowych oraz warunków cią głośi c(1). Siły wewnę trzne okreś lone są wzorami r ( t ) d Q 2 + <>(*> ~Q~ e 2 <)0 2 + * m a~dq (5) 7V r(ł) = 2Ą t ) ^ y g j p w 2fi /,.,<M, W 1 dv 4k) i dv 0(k) \ do Q ' dq j' dm rlk ) dm r e (k) Q, (k) = ( M r(k) M 1 (k) +Q Ł^ = ^ ag \ d Q do ) v

PRZYBLIŻ ONE OBLICZANIE PŁYTY KOŁOWEJ 131 Po podstawieniu (2) do (5) i wykorzystując (1) otrzymano układy równań dla linii styku kolejnych dwóch pierś cieni Q A Hk) + Q\nQA 2(k) + 2^Q a i(k) +i Ank) Ai (k+1) QhxQji^k+i)~ ^V'(* + 1 > + 1 A(* + i) = 0, 1 = 5 i'=5 А ц к ) + (1+1п д )А 2(к ) + 2J (««{*)+l)e a A*) _ ; = 5 А Н Ш ) ~(1 + \п д )А 2(к + 1) ~ ^(а, (» + 1 ) + 1)е в «*+ )Л ц * +1) = 0, в н к +\п ) е ч в к + ) У 1р к ц ) д а и к )А К к ) 1 = 5 1 = 5 B H k + i) 1п (?Я 2(* + 1) ^й (И 1)^«+ )4(Н 1) = 0. < = 5 B Hk) ^~^_~+\riqjb 2ik) + ^ Р ц к ) Я ц к )С а '(к )А ц к ) + (6) + 5, (к + 1 ) + ^ ^~+1п е. 2( * + 1) ^ Р ц к +1)(}ц к + 1)9 а^ + о А К к + 1) = 0, (D r +D Q v\ k) A 2(k) S (k) ab 2a) + + 2J [A <k)«?<*>+ ( Dr(it) + D 0 v 5 (k)^i (k) )a 1(t) ]^i(t) e a «k) 1 = 5 (O r + A>*0(ł + 1) ^2(k + 1) + S(k +1 )OB 2 (k + l) /=5 e + Г я <*,Л (*} ^ ("i(*)+i)j«i(*) e w»a*j + + ^^А (*+1) (^(»+1) 2^^)А (* + 1)^ ^CJ2^ i ( k + 1) [l + ^+i)] +

132 A. MŁOTKOWSKI 2(1 v) ^ B 3 2(k )+ 5J Pum [1 +?*(*)]+qnk)*i(k)\o a ma Kk) (6) H Д г(*+1) + [1 +9i(* + i)] + 9i(* + i) a f(t + i)l? a, ' ( * : + l)^'(* + i) = 0» [Cd.] (3 v)d 0 A 2{k) + 2J { D nk)ccf ik) [a, (ik) +1] + (3 v)d 0 a i(k) + /=5 + S (k) ap m a.f (k) \Q a ma Kk) (3 v)d 0 A 2(k +,, ^ ( Z) r(, +, ; a, 2 (t + 0[a, (» +,, +1] + i 5 + (3 v)aai (t + i ) + S, (k + 1)a^i (t + 1) a 2 (t+1)}o 0 ia+i)/4 i()k+1) = 0. Powyż sze równania wraz z warunkami brzegowymi dla zewnę trznego i wewnę trznego brzegu płyty stanowią układ równań, z którego moż na wyznaczyć wszystkie stałe dowolne. Liczba stałych dowolnych równa jest liczbie przedziałów pomnoż onej przez osiem. Warunki brzegowe dla płyty podpartej na obwodzie zewnę trznym i mają cej sztywną piastę w ś rodku są nastę pują ce : a) dla obwodu zewnę trznego (g = 1, к = m) w (k) =0, M nk) = 0, N r(k) = 0, T (k) = 0, + Я + Я (7), a J Mro^sinOdO a 2 J Q r(k) cosodo = M; n я ponadto, jak udowodniono w [1], stała В ц к ) = 0; b) dla obwodu wewnę trznego (g = g 0 = с ja, к = 1) W (k) = go,» (7) 2 * M (t) sin0 =»((t)coso. W podobny sposób moż na otrzymać warunki brzegowe dla płyty utwierdzonej na obwodzie zewnę trznym i mają cej sztywną piastę w ś rodku: a) dla obwodu zewnę trznego (g = 1, к = m) w w = 0, = 0, И да = 0, v (k) = 0, +я 4я (g) ci f M r{k) cosodo + a j M reik) smddo a z J Q r(k) cosodo = M, я я я + я +я \ N r{k) cosodo j T {k) smodo = 0; я я b) dla obwodu wewnę trznego warunki pozostaną bez zmiany.

PRZYBLIŻ ONE OBLICZANIE PŁYTY KOŁOWEJ 133 Naprę ż eni a promieniowe w płycie i ż ebrach oraz naprę ż eni a obwodowe i styczne w płycie obliczyć moż na ze wzorów ([1]) r ( k ) E Г Щ к ) д Щ (к,) v д щ (к ) _ z ld 2 w ik ) v ć >w w v <Р Щ к А ~ (l+v 2 )a[ V Q + + д е Q д в а \ dg 2 Q dg Q 2 д в 2 }}' Е I ho (ł) z d 2 w (k ) \ = Т \ "7 с Т ~д ^~)' (i_ r 2 ) a _~e ~de~~ + e ~ f l \ v «v + e a e + e 2 <э е 2 / J' T ik) r ir z 1 d w l w = G Yr e = 2 G я ^2 ^0 (k)\,g(ldu 0(k) + ^(j Je v m,dv 0(k) \ Ę + Sf) d2w Przykład. Obliczenie naprę żń e i przemieszczeń płyty kołowej wzmocnionej ż ebrami według rys. 1 i 4. Płyta podparta jest przegubowo na obwodzie zewnę trznym. Dane: a = 22 cm, с = 5,5 cm, H a = 1,5 cm, H c = 3,0 cm, b = 0,3 cm, n = 6. Rys. 4 Płytę podzielono na m = 5 pierś cieni o jednakowej szerokoś ci. Dla ś redniego promienia każ dego z pierś cieni obliczono wielkoś ci D r, S, F l według wzorów (3) podstawiając za b(k), H( k )\ Qir(k) wartoś ci gruboś ci, wysokoś ci ż ebra i promienia w ś rodku pierś cienia. Nastę pnie dla każ dego pierś cienia rozwią zano równanie (4) uzyskując wartoś ci а г (к ). Obliczone wielkoś ci podstawiono do wzorów (7) na warunki brzegowe po uwzglę dnieniu (2) i (5) oraz do wzorów (6). Ponieważ równania (6) muszą być spełnione na liniach styku kolejnych dwóch pierś cieni, to przy podziale na 5 pierś cieni otrzymano układ 40 liniowych równań algebraicznych umoż liwiają cyc h obliczenie stałych A 4k ) А ц к ) dla każ dego pierś cienia. Nastę pnie z wzorów (2) obliczono przemieszczenie poszczególnych pierś cieni. Obliczenia wykonano na elektronowej maszynie cyfrowej ZAM 2 Beta. Powyż sza metoda podziału płyty na pierś cienie nie zapewnia cią głośi c naprę żń e na styku pierś cieni. W zwią zku z tym najbardziej miarodajne są naprę ż eni a obliczone dla ś rodków pierś cieni według wzorów (9). Na wykresie rys. 5 pokazano naprę ż eni a w ż ebrach

б [к В /с 2 ] т 1000 Naprę ż eniapromieniowe w ż ebrze (dla 6=0 r1=4000 kgcm) 600 400 i N \ 4 \, \ 200 V I SN 0,3 Ц 4 0.5 0,6 0,7 0, 0,9 1,0 p 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 Ąg 0,9 1fl P 100 200 Naprę ż eniana powierzchni ptyty о [Ш с т г ] Rys. 5 Naprę ż eni a w płycie wzmocnionej n = 6 ż ebrami o zmiennej wysokoś ci, podpartej przegubowo na obwodzie zewnę trznym. Naprę ż eni a teoretyczne na krawę dzi ż ebra linia przerywana, a na wysokoś ci naklejenia tensometrów linia cią gła. Wyniki pomiarów naprę żń e promieniowych ( ) i obwodowych ( ) [134]

PRZYBLIŻ ONE OBLICZANIE PŁYTY KOŁOWEJ 135 w płycie przedstawionej na rys. 1 i 4, dla ką ta 0 = 0 (płaszczyzna działania momentu M); krzywe poprowadzono przez punkty odpowiadają ce ś rodkom pierś cieni. Płyta poddana została ponadto badaniom tensometrycznym na specjalnym stanowisku umoż liwiają cym realizację warunków brzegowych oraz obcią ż enia. Wyniki pomiarów naniesiono na rys. 5. Podobnie wykonano obliczenia i pomiary dla płyty przedstawionej na rys. 6 (wzmocnionej sześ cioma ż ebrami o jednakowej wysokoś ci i gruboś ci). Wyniki przedstawiono na rys. 7. Przeprowadzone badania tensometryczne wykazują dobrą zgodność z wynikami teoretycznymi. Należy podkreś lić, że doś wiadczenia i obliczenia zostały przeprowadzone dla małej liczby ż eber, co jest czę sto spotykane w konstrukcjach maszynowych. Rys. 7. Naprę ż eni a w płycie wzmocnionej n = 6 ż ebrami o stałej wysokoś ci i gruboś ci, podpartej przegubowo na obwodzie zewnę trznym. Naprę ż eni a teoretyczne na krawę dzi ż ebra linia przerywana, na wysokoś ci naklejenia tensometrów linia cią gła. Wyniki pomiarów naprę żń e promieniowych ( ) i obwodowych ( )

136 A. MŁOTKOWSKI Literatura cytowana w tekś cie 1. A. MŁOTKOWSKI, Wytrzymałoś ć płyty kołowej jednostronnie uż ebrowanej poddanej antysymetrycznemu zginaniu. Mech. Teor. i Stos., 4, 6 (196). 2. S. TIMOSHENKO, S. WOYNOWSKY KRIEGER, Teoria płyt i powłok, Arkady, 1962. Р е з ю ме П Р И Б Л И Ж Е Н Е Н ОР Е Ш Е Н Е И П О Д В Е Р Г Н У Й Т О А Н Т И С И М М Е Т Р И Ч У Н О ИМ З Г И У Б К Р У Г О ВЙ О П Л А С Т И НИ К П О Д К Р Е П Л Е Н Й Н ОО Д Н О С Т О Р О Н Н И И М Р А Д И А Л Ь Н ЫИ М Р Е Б Р А И М П р и б л и ж е нм н мы е т о дм о р е ш е а н з а д а а ч о н а п р я ж е нх и и я д е ф о р м а и ц ив к р у г о вй о п л а с т ие н п о д к р е п л е й н нр оа д и а л ь н и ы рм е б р аи м л ю б ой ф о р м ы, р а с п о л о ж е н и н ыо мс е с и м м е т ро и пч о н о д ну с т о р оу н о т с е р е д и н й н оп о в е р х н о. с т и Р е ш е не и н а х о д и я т сп у т м е р а з д е л ея н ип л а с т и и н кн а н е с к о л о ь ко р т о т р о п х н кы о л ь ц е вх ы п л а с т и н к о п о с т о я н й н жо с и л. Р а с с м о т ры е сн л у ч и а ш ч е ты и т е н з о м с е ч е н и. й е с т к о и с тп ри с о б л ю е т р и ч е е си кз им а р н и ро ни ж д еи н уи с л о вй и н е п р е р ы в ни о дс ет ф о р м а и ц и в н у т р е н х н и е с т о к з а к р е п л е нх н кы р а в е п л а с т и н. к Пи р о и з в е ды е нр а с е р е я н ид ля п л а с т и к н ос 6 ю р е б р аи м п е р е м е н но о и г п о с т о я н но о г Summary APPROXIMATE SOLUTION OF A CIRCULAR PLATE WITH ONE SIDED RIBS SUBJECTED TO ANTISYMMETRIC BENDING An approximate method of determination of the state of strain and stress in circular elastic plate reinforced by radial ribs of arbitrary shape, eccentric with respect to the middle surface, has been discussed. The plate is loaded by a skew symmetric bending couple acting on the hub. In order to establish the state of stress and strain, the plate was divided into several orthotropic rings of constant f Iexural rigidity. Continuity conditions (6) at the lines of contact between the rings have to be satisfied, the outside edge of the plate being either simply supported or clamped. Numerical example comparing the theoretical and experimental results are given. POLITECHNIKA ŁÓDZKA Praca została złoż ona w Redakcji dnia 26 maja 1969 r.