FOLIA POMERANAE UNIVERSITATIS TECHNOLOGIAE STETINENSIS Folia Pomer. Univ. Technol. Stetin. 1, Oeconomica (59), 59 7 Zbigniew Mongiało MODELE BOXA-JENKINSA GŁÓWNYCH ZMIENNYCH MAKROEKONOMICZNYCH POLSKI BOX-JENKINS MODELS AS A MAIN POLISH MACROECONOMIC VARIABLES Katedra Zastosowań Matematyki w Ekonomii, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie ul. Klemensa Janickiego 31, 71-7 Szczecin Abstract. The study examined a method to identify the Box-Jenkins model on the real polish macroeconomic variables. Models were constructed for these variables and estimated their parameters. In this study also proposed a different way of identification of Box-Jenkins models. Indicated which information will be needed to construct forecasts for the variables tested on the results of the models. Słowa kluczowe: inflacja, bezrobocie, model Boxa-Jenkinsa, PKB. Key words: Box-Jenkins model, GDP Gross Domestic Product, inflation, unemployment. WSTĘP Kształtowanie się zmiennych ekonomicznych w czasie może być opisane za pomocą modeli, w których szereg czasowy może być traktowany jako realizacja procesu stochastycznego. W metodzie zaproponowanej przez Boxa i Jenkinsa (193) szeregi traktowane są jako realizacje procesów stochastycznych. Zbudowanie i oszacowanie modelu opisującego zmiany w czasie ściśle się wiąże z możliwością przewidywania jej wartości w przyszłości (Welfe 199, Zeliaś ). Szybki rozwój komputerów spowodował, że występująca wcześniej bariera, związana z dużą pracochłonnością obliczeń, przestała istnieć. Niemniej jednak, jak podkreśla wielu użytkowników tej metody (Chrabołowska i Nazarko 3, Dudek 7), jej prawidłowe stosowanie w badaniach empirycznych wymaga znacznego doświadczenia. Celem pracy było oszacowanie modeli (i ich parametrów) opisujących trendy i wahania sezonowe czterech zmiennych makroekonomicznych Polski. METODA Miesięczne lub kwartalne dane, wykorzystane w badaniu, pochodzą z Biuletynów Statystycznych GUS-u z okresu od stycznia 199 r. do maja 9 r. Dane kwartalne dotyczyły przyrostu PKB [%], a dane miesięczne stopy bezrobocia [%], stopy inflacji rocznej [%] oraz podaży pieniądza M1 [mld zł]. Obliczenia związane ze specyfikacją oraz z estymacją modeli wykonano za pomocą odpowiednich modułów pakietu Statistica PL. Posłużono się przede wszystkim w ramach modułu szeregów czasowych procedurą: analiza Fouriera (widmowa). Jej zastosowanie pozwoliło ustalić liczbę opóźnień, którą należy uwzględnić w budowanym modelu. Następnie wyliczono autokorelacje i autokorelacje cząstkowe od 1 do 15 (opcjonalne ustawienie
Z. Mongiało w pakiecie jest wystarczające, żeby określić kształt rozkładu tych współczynników) lub opóźnień. Pozwoliło to na dokonanie wstępnej decyzji o klasie modelu, tzn. o zaliczeniu go do modeli typu: AR, ARI lub SAR, SARI (wiedza na temat wielkości aktualnej wartości badanej cechy zawarta jest we wcześniejszych wartościach tej cechy) czy MA, IMA lub SMA, SIMA (wiedza na temat wielkości aktualnej wartości badanej cechy zawarta jest we wcześniejszych wartościach składnika losowego tej cechy), czy ARMA, ARIMA lub SARMA, SARIMA (wiedza na temat wielkości aktualnej wartości badanej cechy zawarta jest we wcześniejszych wartościach tej cechy i wartościach składnika losowego). Literka I przy typie modelu oznacza, że zastosowano operacje różnicowania w celu uzyskania stacjonarności danych (doprowadzenia do sytuacji braku trendu wzrostowego lub malejącego w analizowanych danych), a litera S oznacza, że w modelu uwzględniono wahania okresowe. Decyzję o uznaniu modelu za dobrze dopasowany do badanych danych oparto na następujących przesłankach: 1) wybrany model powinien mieć wszystkie parametry statystycznie istotne, ) wszystkie współczynniki autokorelacji i autokorelacji cząstkowej reszt co najmniej do 15 opóźnienia powinny być nieistotne statystycznie (test Ljunga Boxa), 3) aby nie można było odrzucić hipotezy, że kształt rozkładu reszt jest normalny (test zgodności λ-kołmogorowa). We wszystkich testach istotności przyjmowano poziom istotności równy,5. WYNIKI I DYSKUSJA Za jeden z najważniejszych mierników syntetycznych charakteryzujących stan gospodarki krajowej uważa się wskaźnik PKB (Wyżnikiewicz i in. 9). Miernik ten, wyrażony w stosunku do wartości sprzed roku, informuje, w jakiej fazie znajduje się rozwój gospodarki krajowej. W latach 199 9 wykazywał on na ogół tendencję wzrostową (rys. 1). Można jednak w jego kształtowaniu się wyodrębnić okresy wyhamowywania i 3 okresy przyśpieszania rozwoju gospodarki. Na 137 obserwowanych miesięcy zmiana trendu następowała 7 razy, czyli przeciętnie co miesięcy. Stosując analizę Fouriera (rys. 1) dla danych określających przyrosty PKB, uzyskano periodogram (dla lepszej wyrazistości zależności oś Y została zlogarytmowana). Te punkty osi X, dla których periodogram przyjmuje największe wartości, można traktować jako przybliżony okres wahań badanej zmiennej (Box i Jenkins 193). Z periodogramu można wnioskować, że wielkości okresów dla przyrostów PKB należy poszukiwać w pobliżu liczb 3,, 15 kwartałów. Z kształtu zanikania słupków na rys. przedstawiającego autokorelację i autokorelację cząstkową dla tej zmiennej, można wnioskować, że należy brać pod uwagę model AR rzędu 1. Jednak autokorelacje nie zanikają wykładniczo, lecz mają kształt funkcji okresowej, więc może też należy uwzględnić model MA, czyli w sumie model ARMA. Model ARMA(1 1) okazał się prawie dobry, gdyż miał wszystkie parametry statystycznie istotne i spełniające warunek odwracalności; reszty miały rozkład normalny, niestety występowała w nich autokorelacja cząstkowa istotnie różna od zera na opóźnieniu. Uwzględnienie okresu w modelu ARMA(1 1) i SAR() z okresem lub ARMA(1 1) i SMA(1) z okresem umożliwiało lepsze szacowanie modelu (były to okresy najlepsze wśród
Modele Boxa-Jenkinsa głównych zmiennych... 1 wszystkich rozpatrywanych), jednak nie pozwoliły pozbyć się powyższej niedogodności. Występowanie istotnej autokorelacji przesunęło się na opóźnienie. Stąd w dalszych analizach tej cechy uwzględniano różnicowanie. Modelem, który spełniał wszystkie powyższe kryteria, był model ARIMA( 1 ) i SAR() z okresem wyrażonym następująco (tab. 1): Δy t =,9Δy t,7δy t + σ. 9 9 7 7 5 5 PKB 3 3 1 1-1 3-199 3-1999 3-3-1 3-3-3 3- Data Data 3-5 3-3-7 3-3-9-1,, 3,5 3,5 3, 3,,5,5 Log(periodogram), 1,5 1,, 1,5 1,,5,5,, -,5 -,5 5 1 15 5 3 35 5 Okres Rys. 1. Kwartalne wartości zmiany PKB w Polsce, wyrażone w procentach oraz wykres analizy Fouriera (widmowej) i zlogarytmowane wartości periodogramu
Z. Mongiało 1 +,1,1 +,577,1 3 +,37,19 +,1,139 5 +,,1375 +,3,135 7 -,5,13 -,,133 9 -,91,135 1 -,1,1 11 -,7,1 1 -,33,19 13 -,,13 1 -,1,111 15 +,1,1191 1 -,,1171 17 -,15,1151 1 -,5,113 19 -,391,119 -,73,17 Autokorelacja -1, -,5,,5 1, Q p 3,39,,7, 5,1, 5,, 5,59, 5,9, 5,73, 57,15, 57,3, 5,3, 5,5, 5,, 5,, 5,9, 5,7, 5,7, 59,9,,1, 77,3, 95,9, przedział ufności 1 +,1,191 -,9,191 3 -,7,191 -,35,191 5 +,151,191 -,7,191 7 -,1,191 +,,191 9 +,15,191 1 -,1,191 11 +,3,191 1 +,33,191 13 -,3,191 1 +,11,191 15 +,9,191 1 -,17,191 17 -,35,191 1 -,1,191 19 -,157,191 -,9,191 Autokorelacja cząstkowa -1, -,5,,5 1, Rys.. Wykres autokorelacji i autokorelacji cząstkowej dla PKB w Polsce Tabela 1. Parametry modelu opisującego zmienność PKB Parametr Asymptotyczny błąd standardowy Asymptotyczny t(1) p Dolna granica 95-procentowy poziom ufności Górna granica 95-procentowy poziom ufności Ps(1),,15,31, 1,,3 Ps(),7,153 3,117,3,7,1 Model:(,1,)(,,), opóźnienia dla sezonowości, resztowy MS =,.
Modele Boxa-Jenkinsa głównych zmiennych... 3 Autokorelacja Q p 1 -,199,173 1,,177 -,197,15 3,,17 3 -,33,13 3,71,9 +,1,1,7,3191 5 -,1,11 5,,19 -,,133 5,,5335 7 -,1,13,3,513 +,1,135,,371 9 +,7,13,,9 1 -,59,13,7,5 11 -,,1,7,33 1 +,,1 9,,71 13 -,13,15 1,7,3 1 +,19,1 1,75,757 15 +,111,13 11,59,795 1 +,,111 1,1,731 17 -,19,1159 13,37,71 1 +,3,1137 17,5, 19 +,53,111 17,7,53 -,1,19 19,1,5131-1, -,5,,5 1, przedział ufności 1 -,199,155 -,7,155 3 -,15,155 +,5,155 5 -,75,155 -,7,155 7 -,,155 +,1,155 9 +,,155 1 -,,155 11 +,3,155 1 -,11,155 13 -,1,155 1 -,9,155 15 +,93,155 1 +,113,155 17 -,37,155 1 +,9,155 19 +,173,155 -,33,155 Autokorelacja cząstkowa -1, -,5,,5 1, Rys. 3. Wykres autokorelacji i autokorelacji cząstkowej dla reszt z modelu ARIMA( 1 ) i SAR() z okresem dotyczącym przyrostów PKB w Polsce 1 1 Wartość: SW-W =,91, p =,997, D =,777, p < n.i., p-lillieforsa < 1 Wartość = 3.,5. normal(x; -,15;,977) Liczba obserwacji -3, -,5 -, -1,5-1, -,5,,5 1, 1,5,,5 3, Wartość Rys.. Kształt rozkładu reszt z modelu ARIMA( 1 ) i SAR() z okresem dotyczącym przyrostów PKB w Polsce
Z. Mongiało Z rysunków 3 i wynika, że reszty nie wykazują statystycznie istotnej autokorelacji i autokorelacji cząstkowej oraz że brakuje podstaw do odrzucenia hipotezy o normalności rozkładu tych reszt. Stopa bezrobocia (rys. 5) od września 199 do stycznia roku miała trend rosnący, a od stycznia do października malejący. Można zauważyć, że stopa bezrobocia w końcowych i początkowych miesiącach roku zawsze się zwiększa i pod koniec I kwartału i na początku II kwartału wykazuje tendencję spadkową. Analiza Fouriera stopy bezrobocia w Polsce wskazuje, że wartości okresów, które należy wziąć pod uwagę, znajdują się przy liczbach, 1, i. 1 1 Stopa bezrobocia [%] 1 1 1 1 1 1 1 1 1-199 7-199 1-1999 7-1999 1-7- 1-1 7-1 1-7- 1-3 7-3 1-7- 1-5 7-5 1-7- 1-7 7-7 1-7- 1-9 7-9 Czas 7 7 5 5 Log(periodogram) 3 3 1 1-1 -1 1 3 5 7 9 1 11 1 13 1 15 Okres Rys. 5. Miesięczne zmiany stopy bezrobocia w Polsce oraz wykres analizy Fouriera (widmowej) i zlogarytmowane wartości periodogramu
Modele Boxa-Jenkinsa głównych zmiennych... 5 Z kształtu zanikania słupków na rys., przedstawiającego autokorelację i autokorelację cząstkową dla tej zmiennej, można wnioskować, że należy zacząć poszukiwania modelu od AR rzędu. Model ten nie był dobry, mimo że wszystkie parametry były statystycznie istotne (wartość pierwszego parametru była większa od 1 więc nie spełniał warunku odwracalności); dla reszt autokorelacja była statystyczne istotna już od 11 opóźnienia, a w autokorelacji cząstkowej istotność odnotowano już na 3 opóźnieniu. 1 +,93, +,95,5 3 +,9, +,9,39 5 +,,35 +,7,3 7 +,79,9 +,757, 9 +,75,3 1 +,95,19 11 +,,1 1 +,3,13 13 +,591,1 1 +,55, 15 +,57,3 1 +,93,57 -,,57 3 -,119,57 -,19,57 5 -,9,57 -,,57 7 -,3,57 +,,57 9 +,59,57 1 +,1,57 11 -,9,57 1 -,1,57 13 -,13,57 1 -,5,57 15 -,1,57 Autokorelacja -1, -,5,,5 1, Autokorelacja cząstkowa Q p 13,,,7, 3,1, 9,1,,, 73,, 79,5, 7,5, 95,, 1,, 19,, 1155,, 1,, 15,, 19,, przedział ufności -1, -,5,,5 1, Rys.. Wykres autokorelacji i autokorelacji cząstkowej dla stopy bezrobocia w Polsce Modelem, który spełniał wszystkie założenia (rys. 7, ), był bardzo rozbudowany model (tab. ) ARIMA( ) i SAR() z okresem 1, wyrażony Δ y t =,53Δ y t 1,57Δ y t,31δ y t 3,197Δ y t +,5Δ y t 1 +,Δ y t +,177Δ y t 3 +,1Δ y t
Z. Mongiało +,35Δ y t,713δ y t 7 +σ. Można było znaleźć prostszy model opisujący stopę bezrobocia w Polsce, rezygnując z założenia o normalności kształtu reszt. Na przykład w modelu ARMA( 1) i SAR() z opóźnieniem 1 (błąd MS =,79) hipotezy o normalności rozkładu nie można odrzucić dopiero wtedy, gdy wykluczy się jedną odstającą wartość reszt. Wartość tej reszty wynika z dużego wzrostu bezrobocia w styczniu roku. 1 -,,5 -,3, 3 -,9,39 -,53,3 5 -,5,33 -,7,9 7 -,71, -,3,3 9 +,, 1 -,7,17 11 +,79,13 1 +,5,1 13 +,,7 1 +,7, 15 -,19, 1 +,1,797 17 -,,79 1 -,53,791 19 -,3,77 -,,7 Autokorelacja -1, -,5,,5 1, Q p,9,33 1,1,55 1,,15,,953,1,71 3,9,755,3,753,3,1,, 5,,7,17,19,1,97 7,1,95,,9,1,9179,1,95,,95,,9,,975 9,7,97 przedział ufności 1 -,,5 -,5,5 3 -,77,5 -,,5 5 -,71,5 -,13,5 7 -,19,5 -,,5 9 -,3,5 1 -,11,5 11 +,,5 1 +,3,5 13 +,3,5 1 +,77,5 15 +,3,5 1 +,19,5 17 -,15,5 1 -,31,5 19 +,,5 -,53,5 Autokorelacja cząstkowa -1, -,5,,5 1, Rys. 7. Wykres autokorelacji i autokorelacji cząstkowej dla reszt z modelu ARIMA( ) i SAR() z okresem 1 dotyczącym stopy bezrobocia w Polsce Kolejną zmienną poddaną analizie był stopień inflacji w Polsce, wyliczany miesięcznie w stosunku rocznym (rys. 9). W badanym okresie inflacja w Polsce miała trzy dłuższe okresy zmniejszania się i zwiększania się. W przebiegu stopnia inflacji można wyróżnić trend spadkowy do stycznia roku, a następnie trend wzrostowy. Inflacja od września 1
Modele Boxa-Jenkinsa głównych zmiennych... 7 roku nie przekraczała wartości 5%. Analiza Fouriera stopnia inflacji w Polsce wskazuje, że wartości okresów, które należy wziąć pod uwagę, znajdują się przy liczbach 5, 7,, 9, 1, 15, 17,, 3 i, 3,. 7 d Kołmogorowa-Smirnowa,175, p <,5, p Lillieforsa <,1 Test chi-kwadrat = 11,5591, df = 1 (dopasow.), p =,71 Liczba obserwacji 5 3 1-1, -, -, -, -,,,,,, 1, 1, 1, 1, 1, Kategoria (górna granica) Rys.. Kształt rozkładu reszt z modelu ARIMA( ) i SAR() z okresem 1 dotyczącym stopy bezrobocia w Polsce Tabela. Parametry modelu opisującego zmienność stopy bezrobocia w Polsce Parametr Asymptotyczny błąd standardowy Asymptotyczny t(17) p Dolna granica 95-procentowy poziom ufności Górna granica 95-procentowy poziom ufności p(1),53,119,571,,57,553 p(),57,113 3,911,133,91,39 p(3),315,197,917,3,535,19 p(),197,933,1757,3531,3735,157 Ps(1),55,135,393,,73,57 Ps(),,33 3,5137,557,991,39795 Ps(3),17731,7519,5,5599,197,3373 Ps(),111,935,99355,3315,13,399 Ps(5),35799,597,11,,37,755 Ps(),717,9 7,11,,975,5777 *D(1), model: (,,) (,,), opóźnienia dla sezonowości: 1, resztowy MS =,73. Z kształtu zanikania słupków na rys. 1, przedstawiającym autokorelację i autokorelację cząstkową dla stopnia inflacji, można wnioskować, że należy zacząć poszukiwania modelu (tak jak w poprzednim przypadku) od AR rzędu. Model ten z uwzględnieniem stałej był prawie dobry, bo wszystkie parametry były statystycznie istotne. Niestety, wartość pierwszego parametru była większa od 1 (a więc nie spełniał on warunku odwracalności); dla reszt autokorelacja była statystyczne istotna już od 1 opóźnienia, a w autokorelacji cząstkowej istotność wystąpiła także na 1 opóźnieniu. Dla kształtu rozkładu reszt prawie nie można było odrzucić hipotezy o jego normalności. Niewielkie poprawienie tego modelu poprzez dorzuce-
Z. Mongiało nie SMA(1) z okresem 1 pozbawiło istotności autokorelację i autokorelację cząstkową; uzyskano brak podstaw do odrzucenia hipotezy o normalności kształtu reszt (MS =,179). 1 1 1 1 1 1 Stopień inflacji I [%] 1 1 7-1-199 7-199 1-1999 7-1999 1-7- 1-1 7-1 1-7- 1-3 7-3 1-7- 1-5 7-5 1-7- 1-7 7-7 1-7- 1-9 7-9 Okres 7-5 5 Log(periodogram) 3 3 1 1-1 -1 1 3 5 7 9 1 11 1 13 1 15 Okres Rys. 9. Miesięczne zmiany stopnia inflacji w Polsce, wyrażone w procentach, oraz wykres analizy Fouriera (widmowej) i zlogarytmowane wartości periodogramu
Modele Boxa-Jenkinsa głównych zmiennych... 9 Autokorelacja Q 1 +,97,39 13,9, +,9,3 5,, 3 +,7,33 3,7, +,,3 3,, 5 +,77,7 55,, +,7, 7,, 7 +,71,1 9,, +,1,1 75,, 9 +,573,1 1,5, 1 +,5,11 3,9, 11 +,,,1, 1 +,9,5 911,3, 13 +,, 939,7, 1 +,1,799 9,9, 15 +,5,795 99,, -1, -,5,,5 1, p przedział ufności 1 +,97, -,, 3 -,1, -,5, 5 -,, +,1, 7 -,, -,1, 9 -,, 1 +,1, 11 +,5, 1 +,, 13 +,191, 1 +,71, 15 -,77, Autokorelacja cząstkowa -1, -,5,,5 1, Rys. 1. Wykres autokorelacji i autokorelacji cząstkowej dla stopnia inflacji w Polsce Tabela 3. Parametry modelu opisującego zmienność stopnia inflacji w Polsce Parametr Asymptotyczny błąd standardowy Asymptotyczny t(17) p Dolna granica 95-procentowy poziom ufności Górna granica 95-procentowy poziom ufności p(1),9337,7,719,,315,59 Qs(1),555,157 5,5,,13,779 D(1), model: (1,1,) (,,1), opóźnienia dla sezonowości: 1, resztowy MS =,17. Jednak ciągle pierwszy parametr AR miał wartość większą od 1. Warto zauważyć, że wzbogacanie modelu o części SAR, SMA, lub SARMA z okresami sugerowanymi przez periodogram nie poprawiało modelu. Dopiero zróżnicowanie stopnia pierwszego tej cechy pozwoliło znaleźć model spełniający wszystkie założenia (tab. 3, rys. 11 i 1). Był to model ARIMA(1 1 ) i SMA(1) z okresem 1, wyrażony wzorem: Δy t =,93Δy t 1 +,55ε t 1 + σ.
7 Z. Mongiało 1 -,79, +,1,39 3 -,15,3 +,,33 5 +,11,3 -,,7 7 +,9,3 +,5, 9 +,33,17 1 +,13,1 11 -,5,11 1 -,3, 13 -,5, 1 -,5,1 15 -,3,79 1 +,,795 17 -,,791 1 -,135,7 19 +,95,75 -,71,7 Autokorelacja -1, -,5,,5 1, Q p,,37,95,5,9,5 1,,13 3,, 3,71,7155,91,79 5,1,75 5,17,19,7,77,,15,, 7,3,1 7,3,9191 7,3,9 7,51,91 7,5,975 1,,91 11,9,91 1,75,7 przedział ufności Autokorelacja cząstkowa 1 -,79,51 +,15,51 3 -,13,51 +,,51 5 +,1,51 -,11,51 7 +,7,51 +,,51 9 +,19,51 1 +,11,51 11 -,1,51 1 -,35,51 13 -,,51 1 -,7,51 15 -,3,51 1 +,,51 17 -,1,51 1 -,13,51 19 +,,51 -,57,51-1, -,5,,5 1, Rys. 11. Wykres autokorelacji i autokorelacji cząstkowej dla reszt z modelu ARIMA(1 1 ) i SMA(1) z okresem 1 dotyczącym stopnia inflacji w Polsce Liczba obserwacji 35 3 5 15 1 5 Wartość: SW-W =,95; p =,; D =,7; p < n.i.; p-lillieforsa <,1 Wartość = 13.,. normal(x; -,1;,399) -1, -1, -1, -1, -, -, -, -,,,,,, 1, 1, 1, 1, Wartość Rys. 1. Kształt rozkładu reszt z modelu ARIMA(1 1 ) i SMA(1) z okresem 1 dotyczącym stopnia inflacji w Polsce
Modele Boxa-Jenkinsa głównych zmiennych... 71 5 5 35 35 Podaż pieniądza M1 [mld zł] Podaż pieniądza M1 [mld zł] 3 5 15 1 3 5 15 1 5 5 1-199 7-99 1-1999 7-1999 1-7- 1-1 7-1 1-7- 1-3 7-3 1-7- 1-5 7-5 1-7- 1-7 7-7 1-7- 1-9 Okres 1 1 1 1 Log(periodogram) - - 1 3 5 7 9 1 11 1 13 1 15 Okres Rys. 13. Miesięczna podaż pieniądza w Polsce mierzona parametrem M1 oraz wykres analizy Fouriera (widmowej) i zlogarytmowane wartości periodogramu Ostatnią ze zmiennych poddaną analizie była podaż pieniądza mierzona wskaźnikiem agregatowym M1 (gotówka w obiegu oraz depozyty). Zmienna ta w przybliżeniu miała trend rosnący (rys. 13), chociaż można w zmienności tej cechy wskazać dwa okresy występowania trendu stałego (pierwszy od listopada 1999 r. do listopada 1 r., drugi od maja 5 r. do kwietnia 9 r.). Analiza Fouriera podaży pieniądza w Polsce wykazała (rys. 13), że wartości okresów, które należy wziąć pod uwagę, znajdują się przy liczbach 3,, 11, 1, 17, 3 i 3,. Z kształtu zanikania słupków na rys. 1, przedstawiającego autokorelację i autokorelację cząstkową dla podaży pieniądza, można wnioskować, że należy zacząć poszukiwania modelu od AR rzędu 1. Model ten był statystycznie istotny, ale nie spełniał założeń braku istotnych autokorelacji i autokorelacji cząstkowych dla reszt. Dodatkowo ze względu na niestacjonar-
7 Z. Mongiało ność badanej cechy należało badany szereg poddać operacji różnicowania. Różnicowanie stopnia pierwszego doprowadziło badany szereg czasowy do stacjonarności. Modelem, który spełniał założenia, był (tab. oraz rys. 15 i 1) model ARIMA(1 1 ) x SAR () z okresem, wyrażony następującym wzorem: Δy t = 1,959,57Δy t 1 +,15Δy t +,35Δy t 1 + σ. Autokorelacja Q p 1 +,977, 13,5, +,955,39,1, 3 +,935,3 39,3, +,913,33 59,3, 5 +,9,3,9, +,7,7 73,1, 7 +,9,3,3, +,, 93,, 9 +,3,17 1,, 1 +,77,1 113,, 11 +,75,11 11,, 1 +,77, 199,, 13 +,99, 137,, 1 +,73,1 15,, 15 +,9,79 1511,, -1, -,5,,5 1, przedział ufności 1 +,977,51 +,3,51 3 +,1,51 -,55,51 5 +,,51 +,,51 7 -,9,51 -,11,51 9 -,1,51 1 -,,51 11 -,5,51 1 -,13,51 13 -,1,51 1 +,15,51 15 +,1,51 Autokorelacja cząstkowa -1, -,5,,5 1, Rys. 1. Wykres autokorelacji i autokorelacji cząstkowej dla podaży pieniądza (M1) w Polsce Tabela. Parametry modelu opisującego zmienność podaży pieniądza (M1) w Polsce Parametr Asymptotyczny błąd standardowy Asymptotyczny t(17) p Dolna granica 95-procentowy poziom ufności Górna granica 95-procentowy poziom ufności Stała 1,9591,77,19,11,755 3,313 P(1),579,777,5719,1119,3993,511 Ps(1),177,5917,73,157,53,317 Ps(),39,3,55,1,777,579171 Przekształcenia: D(1), model: (1,1,)(,,), opóźnienia sezonowości:, resztowy MS =,71.
Modele Boxa-Jenkinsa głównych zmiennych... 73 1 -,,5 +,13, 3 +,1,39 -,91,3 5 +,17,33 +,19,9 7 -,7, +,5,3 9 +,35, 1 +,5,17 11 -,9,13 1 +,,1 13 -,117,7 1 +,55, 15 +,, 1 -,,797 17 -,9,79 1 -,59,791 19 +,5,77 +,7,7 Autokorelacja -1, -,5,,5 1, Q,,91,3,95 1,,51,1,597 5,93,31 5,99, 5,99,55,,7,1,71,,791,9,535,3,9,39,17,,399 9,5,5 1,,5 1,97,579 11,53,7 11,9,73 11,97,917 p przedział ufności Autokorelacja cząstkowa 1 -,,5 +,13,5 3 +,1,5 -,91,5 5 +,17,5 +,,5 7 +,1,5 -,35,5 9 +,3,5 1 +,,5 11 -,1,5 1 -,,5 13 -,111,5 1 +,5,5 15 +,1,5 1 -,,5 17 -,17,5 1 -,,5 19 +,9,5 -,5,5-1, -,5,,5 1, Rys. 15. Wykres autokorelacji i autokorelacji cząstkowej dla reszt z modelu ARIMA( 1 ) i SAR(1) z okresem 1 dotyczącym podaży pieniądza (M1) w Polsce 7 Wartość: SW-W =,95; p =,3; D =,955; p <,; p-lillieforsa <,1 Wartość = 137. 5. normal(x;,1;,711) Liczba obserwacji 5 3 1-15 -1-5 5 1 15 5 Wartość Rys. 1. Kształt rozkładu reszt z modelu ARIMA( 1 ) i modelu SAR(1) z okresem 1 dotyczącym podaży pieniądza (M1) w Polsce
7 Z. Mongiało PODSUMOWANIE Rachunki narodowe są jednym z podstawowych narzędzi ekonomistów. Stanowią one stosunkowo pełny obraz gospodarki narodowej i zmian jej struktury w czasie. Dodatkowo są one spójne pod względem pojęć i klasyfikacji z innymi statystykami społecznymi i gospodarczymi. Daje to możliwość prowadzenia szerokich analiz społecznych i gospodarczych wykraczających poza zakres rachunkowości narodowej. Porównywalne dane, obejmujące od kilku do kilkunastu lat, umożliwiają obserwowanie długookresowych zjawisk zachodzących w gospodarce. Natomiast dzięki zgodności metodologicznej z innymi krajami możliwe staje się także prowadzenie porównań międzynarodowych (Lada ). Na problem budowania modeli dla makroekonomicznych cech zwracało uwagę wielu badaczy (niektórych z nich wymieniono w Piśmiennictwie); podstawą do porównywania takich analiz powinna być uzyskana przez nich postać modelu. Należy zauważyć, że postaci końcowe uzyskanych modeli różniły się od postaci sugerowanych w procesie identyfikacji. Z uwagi na ogólną dostępność komputerów procedury znajdowania modelu końcowego powinny przebiegać w sposób automatyczny poprzez rozpatrzenie wszystkich postaci modeli dla z góry zadanego rzędu krańcowego modelu i krańcowej wielkości okresu. Natomiast rozpatrywanych powinno być ostatecznie kilka modeli o najmniejszym MS, charakteryzujących się statystycznie istotnymi parametrami, brakiem autokorelacji i autokorelacji cząstkowych reszt oraz jednocześnie brakiem podstaw do odrzucenia hipotezy o normalności ich rozkładu. Pewną niedogodnością programu Statistica PL jest brak możliwości generowania postaci modelu przez z góry zadane parametry, z uwzględnieniem składnika losowego, który może być losowo generowany przez zadany typ i parametry rozkładu. Analiza takich modeli na tle rzeczywistych danych wzbogaciłaby ich diagnostykę. Na podstawie budowy uzyskanych modeli można zauważyć, że informacja o przyszłej wartości: 1) zmiany PKB zawarta jest w obecnej zmianie wartości PKB i, 5, oraz 9 kwartale wcześniej; ) inflacji zawarta jest w obecnej i wcześniejszej wartości inflacji oraz w błędzie prognozy dla wartości inflacji sprzed 1 obserwacji wcześniej; 3) ilości pieniądza na rynku (M1) zawarta jest w obecnej wartości M1 oraz w M1 z, 7, 1, 13 okresów wcześniejszych; ) stopy bezrobocia zawarta jest w obserwacjach wcześniejszych (z opóźnieniem sięgającym nawet 7 miesięcy). PIŚMIENNICTWO Box G.E.P., Jenkins G.M. 193. Analiza szeregów czasowych. Warszawa, PWN. Chrabołowska J., Nazarko J. 3. Zastosowanie modeli ARIMA w prognozowaniu przychodów ze sprzedaży na przykładzie przedsiębiorstwa handlowego typu Cash&Carry. Taksonomia 1. Klasyfikacja i analiza danych, teoria i zastosowania, 3. Dudek H. 7. Prognozowanie skupu cen mięsa drobiowego za pomocą sezonowego modelu ARIMA. Stow. Ekonom. Rol. Agrobiz., Rocz. Nauk. 7 (5), 19 5.
Modele Boxa-Jenkinsa głównych zmiennych... 75 Lada K.. Znaczenie rachunków narodowych w analizach ekonomicznych, w: Rachunki narodowe Wybrane problemy i przykłady zastosowań. Warszawa, GUS, Departament Rachunków Narodowych, UŁ Wydział Ekonomiczno-Socjologiczny, 7 3, /www.stat.gov.pl/cps/rde/xbcr/gus/ PUBL_rachunki_narodowe-wybr_probl_i_przyk_zastos.pdf, dostęp dn. 1.11.1 r. Welfe A. 199. Ekonometria. Warszawa, PWE. Wyżnikiewicz B., Fundowicz J., Kowalska I., Lada K., Łaciński K., Peterlik M. 9. Stan i prognoza koniunktury gospodarczej. Kwartalne Prognozy Makroekonomiczne, Warszawa, Instytut Badań nad Gospodarką Rynkową Oddział w Warszawie, www.ibngr. PLindex. php/pl/content/ download/17/131/file/prognozy_9_.pdf, dostęp dn. 1.11.1 r. Zeliaś A.. Przyczynek do dyskusji o trudnych problemach prognozowania ekonomicznego. Zesz. Nauk. USzczec. 39, Prace Katedry Ekonometri i Statystyki 15, 33 35. Główny Urząd Statystyczny. Wskaźniki makroekonomiczne, www.stat.gov.pl/gus/wskazniki_makroekon_plk_html.htm, dostęp dn. 1.11.1 r.
7 Z. Mongiało