Elementy teorii liczb Matematyka dyskretna
Teoria liczb dziedzina matematyki, zajmująca się badaniem własności liczb (początkowo tylko naturalnych). Jej początki sięgają starożytności. Zajmowali się nią Pitagoras, Euklides, Eratostenes, Diofantos i wielu innych. Bujny rozwój teorii liczb datuje się mniej więcej od czasów działalności Pierre'a Fermata (1601-1665). Do dwudziestego wieku powszechną była opinia, iż teoria ta nie ma żadnego zastosowania. Jednak dzięki wielkiemu rozwojowi kryptografii - nauki zajmującej się układaniem i łamaniem szyfrów - pogląd ten musiał zostać zweryfikowany. Uwaga: W tym wykładzie zajmujemy się liczbami naturalnymi (całkowitymi), chyba że wyraźnie jest powiedziane inaczej. Oznaczenia: N = {0, 1, 2, } zbiór liczb naturalnych; Z zbiór liczb całkowitych; R zbiór liczb rzeczywistych.
Podzielność Niech liczba całkowita p > 0. Dla każdej liczby całkowitej a mówimy, że a jest podzielne przez p (p jest dzielnikiem a, p dzieli a, p a), jeśli istnieje liczba całkowita q taka, że a = pq. Dla dowolnych całkowitych a, b, c zachodzi: jeśli a b to a bc, jeśli a b i b c to a c, jeśli a b i a c to a (b + c). Dowolną liczbę wymierną a można wydzielić przez dowolną niezerową liczbę wymierną b i wynik tego działania jest liczbą wymierną. Nie zachodzi dla liczb całkowitych.
Dzielenie liczb całkowitych z resztą. Niech liczba całkowita p > 0. Wtedy dla każdej liczby całkowitej a istnieją jednoznacznie wyznaczone: iloraz q i reszta r spełniające a = pq + r oraz 0 r < p. Resztę r z dzielenia a przez p zapisujemy też jako: Iloraz q zapisujemy jako: a div p = a p a mod p. a div p. a mod p = a p a div p Wartości funkcji modulo p znajdują się w zbiorze {0, 1, 2, p- 1} = Z p.
NWD Największy wspólny dzielnik NWD(a, b) liczb a i b, gdzie chociaż jedna z tych liczb jest różna od 0, to największa liczba d taka, że d a i d b. Oczywiście, 1 NWD(a, b) min(a, b).
Algorytm Euklidesa (1) Wczytaj liczby a, b > 0. (2) Oblicz r jako resztę z dzielenia a przez b. (3) Zastąp a przez b, zaś b przez r. (4) Jeżeli b = 0 to zwróć a w przeciwnym wypadku przejdź do (2).
Rozszerzenie algorytmu Euklidesa Algorytm Euklidesa można zastosować do wskazania dwu dodatkowych liczb całkowitych x, y takich, że ax + by = NWD(a, b). Fakt ten leży u podstaw wielu twierdzeń, jest stosowany do rozwiązywania równań i w przekształceniach kryptograficznych.
Czas działania algorytmu Euklidesa (czasowa złożoność obliczeniowa) Do policzenia NWD(a, b) algorytmem Euklidesa wystarcza O(lg! a) operacji bitowych.
Liczby pierwsze Liczba naturalna jest nazywana pierwszą gdy jest podzielna tylko przez 1 i przez samą siebie, tzn. gdy posiada dokładnie dwa różne dzielniki. Liczba złożona to liczba naturalna, która nie jest pierwsza, a więc ma jakiś dodatni dzielnik różny od 1 i od niej samej.
Fundamentalne twierdzenie arytmetyki Twierdzenie TL. 1. Każdą liczbę naturalna można zapisać jako iloczyn liczb pierwszych. Taki rozkład na czynniki pierwsze jest tylko jeden (z dokładnością do kolejności czynników).
Skąd wziąć kolejne liczby pierwsze do powyższego dzielenia? Obecnie nie jest znany żaden efektywny algorytm faktoryzujący liczby naturalne, tzn. znajdujący rozkład na iloczyn liczb pierwszych. Oczekiwana trudność tego problemu jest sercem wielu współczesnych systemów kryptograficznych (np. RSA). Nie wszystkie liczby są równie trudne w rozkładzie. Póki co, najtrudniejsze wydają się liczby, które są iloczynami dwu liczb pierwszych podobnej długości. Aby choć trochę zrozumieć trudność problemu faktoryzacji proponujemy znaleźć nietrywialny dzielnik liczby złożonej 10721. Na stronie www firmy RSA podane są znacznie większe liczby, za rozkład których RSA skłonna jest płacić nawet 200 tys. USD.
Sito Eratostenesa Jak wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze niewiększe od n? Jeszcze w czasach starożytnych Eratostenes opisał metodę postępowania rozwiązującą ten problem dla małych n. Oto ten algorytm: (1) Wczytaj n. Wypisz listę wszystkich liczb naturalnych od 2 do n. Na początku wszystkie liczby są nieskreślone. (2) Dopóki istnieje nieskreślona jeszcze liczba na naszej liście niewiększa od n powtarzaj: (*) Weź pierwszą nieskreśloną liczbę p z listy i dodaj do zbioru znalezionych liczb pierwszych. Później skreśl liczbę p z listy i skreśl wszystkie wielokrotności liczby p, które są jeszcze na liście. (3) Wszystkie pozostałe nieskreślone liczby z listy dodaj do zbioru znalezionych liczb pierwszych.
Jak rozłożone są liczby pierwsze? Jak długie są przerwy między kolejnymi liczbami pierwszymi? Są dowolnie długie!
Ile jest liczb pierwszych? Euklides pokazał, że nieskończenie wiele. Twierdzenie TL. 2. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.
Liczby doskonałe Rozważmy wszystkie dzielniki liczby mniejsze od tej liczby. Mówimy, że liczba jest nadmiarowa, gdy suma jej dzielników jest od niej większa. Niedomiarowa gdy suma jej dzielników jest od niej mniejsza. Liczba doskonała to taka, która nie jest ani nadmiarowa, ani niedomiarowa.
Liczby względnie pierwsze Liczby a, b są względnie pierwsze wtw gdy NWD(a, b) = 1, co zapisujemy inaczej jako a b. Lemat TL. 3. (Euklides, Elementy) Jeśli n ab i n a, to n b.
Rozkład na iloczyn liczb pierwszych Lemat TL. 4. Każdą liczbę n > 1 można przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych.
Fundamentalne twierdzenie arytmetyki Każdą liczbę naturalna można zapisać, w sposób jednoznaczny (z dokładnością do kolejności czynników) jako iloczyn liczb pierwszych. Dowód tego twierdzenia w dużej części był już w Elementach Euklidesa, jednak pierwszy, pełny i poprawny dowód przedstawił Carl Friedrich Gauss.
Najmniejsza wspólna wielokrotność Ważnym dualnym pojęciem do NWD jest pojęcie najmniejszej wspólnej wielokrotności dwu liczb, NWW. NWW(a, b) dla dwu liczb to najmniejsza liczba dodatnia w taka, że a w oraz b w. Znając rozkłady dwu liczb możemy, analogicznie do NWD, wyznaczyć ich NWW Wniosek: NWD(a, b) NWW(a, b) = ab Wniosek ten można wykorzystać do szybkiego liczenia NWW dwu liczb bez znajomości ich rozkładów na czynniki pierwsze. Wyznaczywszy najpierw algorytmem Euklidesa wartość NWD(a, b), wystarczy potem podzielić ab przez tą wartość NWW(a, b) = ab NWD(a, b)
Jak liczby pierwsze są rozłożone wśród liczb naturalnych. Twierdzenie TL. 5. Dirichleta [Dirichlet 1837] Dla dowolnych dwu dodatnich i względnie pierwszych liczb a, d istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci nd + a dla n > 0.
Jak liczby pierwsze są rozłożone wśród liczb naturalnych. Twierdzenie TL. 6. Bertranda- Czebyszewa (1845, 1850) Dla dowolnego n > 1 istnieje liczba pierwsza p taka, że n < p < 2n. Bertrand zweryfikował poprawność swojej tezy dla liczb n z zakresu (przedziału) {2,..., 3 10! } (1845). Czebyszew przedstawił pełny dowód w 1850 r.
Jak liczby pierwsze są rozłożone wśród liczb naturalnych. Paulowi Erdos'owi udało się uogólnić Twierdzenie Bertranda- Czebyszewa na kilka sposobów. Twierdzenie TL. 7. Dla każdego k istnieje takie n!, że dla wszystkich n > n! istnieje przynajmniej k liczb pierwszych p!,, p! w przedziale n < p! < 2n. Dla dowolnej liczby naturalnej n > 6, między liczbami n a 2n znajdują się co najmniej dwie liczby pierwsze co najmniej jedna postaci 4k + 1 oraz co najmniej jedna postaci 4k + 3.
Twierdzenie o liczbach pierwszych (1796, 1896) Twierdzenie to potwierdza (i w pewnym sensie uogólnia) wszystkie obserwacje o pewnej regularności rozkładu liczb pierwszych w zbiorze liczb naturalnych. Twierdzenie TL. 8. Niech P n będzie zbiorem liczb pierwszych niewiększych od n oraz π n = P n. Wtedy π n ~ n ln n n Twierdzenie o Liczbach Pierwszych sformułował Adrien- Marie Legendre'a w 1796. Zostało ono udowodnione przez Hadamarda w 1896.
Słabe twierdzenie o liczbach pierwszych Twierdzenie TL. 9. π n = O n ln n
Liczby pierwsze bliźniacze Oprócz pary 2, 3 żadne inne liczby pierwsze nie mogą być sąsiednie (bo jedna z nich musiałaby być parzysta). Inaczej przedstawia się sprawa z dwoma kolejnymi liczbami nieparzystymi. Jeśli są one ponadto liczbami pierwszymi to nazywamy je liczbami pierwszymi bliźniaczymi. W pierwszym tysiącu liczb naturalnych takich par jest 35; dalej pojawiają się one coraz rzadziej. Hipoteza: Par liczb pierwszych bliźniaczych jest nieskończenie wiele.
Trojaczki Trojaczki to trójka liczb pierwszych postaci (p, p + 2, p + 4). Lemat TL. 10. Trojaczki, czyli trójka liczb pierwszych postaci (p, p + 2, p + 4) są wyjątkiem. Jest tylko jedna taka trójka 3, 5, 7.
Hipoteza Mersenne a W Cogitata Physico- Mathematica (1644) Mersenne twierdzi, że jeśli p jest liczba pierwszą nie większą od 257, to liczba 2 p 1 jest pierwsza wtw gdy p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257. Ostatnia z tych potęg ma 77 cyfr! Łatwo policzyć, że 2 11 1 nie jest pierwsza. Ale ostatnia z tych liczb ma 77 cyfr! Ostatecznie listę tych liczb zweryfikowano w 1947. Okazało się, że Mersenne pomylił się kilka razy. Jego lista zawiera dwie potęgi, których nie może tam być (67, 257) i brakuje na niej trzech takich, które powinny tam wystąpić (61, 89, 107). Jednak liczby z tej poprawionej listy, a także dalsze liczby pierwsze otrzymane według tego wzoru, nazywamy liczbami pierwszymi Mersenne a. Używa się ich w programach komputerowych zawierających testy pierwszości. Obecnie znamy 47 takich liczb. Ostatnia ma około 13 milionów cyfr.
Małe twierdzenie Fermata (1640) Twierdzenie TL. 11. Jeśli p jest liczbą pierwszą, a jest dowolną liczbą naturalną, a p to a!! 1 jest podzielna przez p (zatem również p a p a). Twierdzenie to jest używane w komputerowych testach pierwszości. Chińska wersja tego twierdzenia (p 2 p 2) jest wcześniejsza o 2 tysiące lat, ale błędnie przyjmowała równoważność, a nie implikację! Dowód indukcyjny tego twierdzenia podany przez Eulera (1736) mozna znaleźć w książce: E. Gracjan. Liczby pierwsze. W drodze do nieskończoności. Seria: Świat jest matematyczny. RBA 2012.
Hipoteza (fałszywa) Fermata 2!n + 1, gdzie n N, jest liczbą pierwszą. Pięć początkowych liczb tak (3, 5, 17, 65537), ale kolejna już nie: F! = 4 294 967 297 = 641 6 700 417 Hipoteza Golbacha (1752) Każda liczba parzysta większa od 2 może być zapisana jako suma dwóch liczb pierwszych (niekoniecznie różnych). Euler sprawdził tę hipotezę do 2500. Obecnie sprawdzono ją do 2 bilionów.
Po co nam liczby pierwsze? W 1975 wymyślono algorytm szyfrowania asymetrycznego. Pomysł polega na stosowaniu funkcji jednokierunkowych. Funkcję taką można porównać z pomieszaniem dwóch losowo wybranych puszek z różnymi farbami. Otrzymany kolor bardzo trudno rozłożyć na te dwie składowe. Teraz, zamiast farb weźmy liczby pierwsze. Jeśli otrzymany iloczyn jest mały (np. 91), to można szybko sprawdzić, jakie liczby pierwsze pomnożono (tu 7 przez 13). Dla dużych liczb może być to trudniejsze. W 1994 roku 1600 ochotników rozłożyło w Internecie liczbę o 129 cyfrach na czynniki pierwsze. Złamanie szyfru o długości 1024 cyfr zajęłoby prawie 14 miliardów lat (jest to szacowany wiek wszechświata).