MECHANIKA TERETYCZNA I STSWANA 1, 2 (1964) STATECZNŚĆ RUCHU UKŁADU SCYLATRÓW PRUSZAJĄ CYCH SIĘ P BELCE NA SPRĘ Ż YSTYM PDŁŻU SYLWESTER KALISKI (WARSZAWA) Wstę p W pracy [1] rzważ ny zstał prblem drgań samwzbudnych układu scylatrów mechanicznych pruszają cych się p pwierzchni półprzestrzeni sprę ż ystej. Wyznaczn prę dkś i c krytyczne raz bszary niestatecznś ci, wewną trz których drgania scylatrów mają charakter narastają cy. Praca [1] niezależ nie d jej bezpś rednieg znaczenia w mechanice stanwił a wstę p d znacznie gólniejszeg zagadnienia z dziedziny magnetsprę ż ystś, cid- tyczą ceg samwzbudneg narastania drgań strumienia elektrnów nad dsknałym przewdnikiem sprę ż ystym w pierwtnym plu magnetycznym. Zagadnienie t stanwi temat drę bnej publikacji. Jednakże w zwią zku z pracą [1] nasuwa się pdbne zagadnienie, mianwicie zagadnienie statecznś ci ruchu ukł adu scylatrów pruszają cych się p belce na pdł żu sprę ż ystym. Rzwią zanie teg zagadnienia stanwi cel niniejszej pracy. Pdbne zagadnienie był rzważ ane w pracy [2] przy badaniu ruchu masy pruszają cej się p belce na pdłżu sprę ż ystym przy działaniu na masę kreswej sił y wymuszają cej. Rzważ n tam również kwestię uresrwania masy jednakże pd ką tem drgań wymusznych, nie rzważ annatmiast prblemu drgań samwzbudnych. Prblem ruchu masy p belce rzpatrzn w wielu pracach, których nie cytujemy tutaj (pr. np. [3]). Sfrmuł wane wyż ej zagadnienie psiada liczne bezpś rednie aspekty praktyczne, wspmnimy tutaj chciaż by prblem statecznś ci pjazdów uresrwanych na szynach itp. Prę dkś i ckrytyczne ruchu stateczneg są w takich przypadkach dść wyskie, jednakże birąc pd uwagę craz t wię ksze stswane prę dkśi c eksplatacyjne zagadnienie t nabiera craz wię kszej wagi praktycznej. W pracy zastsujemy metdykę rzwią zania pracwaną w [1]. Pza tym graniczymy się gwli przejrzystś ci wywdów raz trzymania prstych wyników d przypadku najprstszeg, tj. układu liniwych scylatrów bez tł umików, rzł ż nych równmiernie raz pruszają cych się ze stał ą prę dkścią U. czywiś cie ugólnienie rezultatów na przypadek scylatrów rzłż nych gę st na dcinku bą dź scylatra skupineg, jak również uwzglę dnienie tłumie-
SYLWESTER KALISKI nia nie przedstawia przy stswanej metdzie rzwią zania ż adnych trudnś ci. Wyniki jakś ciwe nie ulegają w zasadzie zmianie, pewne sbliwś ci wprwadza jedynie tłumienie, jeś li sią ga pewne wartś ci krytyczne. Inaczej ma się czywiś cie sprawa z scylatrami nieliniwymi; tutaj pjawiają się trudnś ci ddatkwe natury zasadniczej. Niektóre jednak przypadki szczególne zarówn w [1] jak i w rzpatrywanym becnie prblemie mż na rzwią zać; dkładamy je d dalszych prac. W punkcie drugim niniejszej pracy pdajemy równania wyjś ciwe, w punkcie trzecim knstruujemy rzwią zania trzymanych równań raz dyskutujemy warunki niestatecznś ci, w punkcie czwartym bliczamy parametry krytyczne i bszary niestatecznś ci dla róż nych przebiegów parametrów wyjś ciwych zadania, wreszcie w punkcie pią tym pdajemy ugólnine sfrmuł wanie prblemu na przypadek scylatrów zł ż nych kilku stpniach swbdy. 2. Równania ruchu Rzważ my belkę na pdłżu sprę ż ystym, p której prusza się gę st równmiernie rzł ż ny ukł ad scylatrów mechanicznych (rys. 1) masie m raz stałej sprę ż yste j c, dniesinych d jednstki dł ugś ci belki. Rys. 1 Układ scylatrów prusza się w kierunku x x ze stałą prę dkś ci ą U. Rzważ ymy dwa ukł ady współ rzę dnych, jeden zwią zany z ruchmym ukł adem scylatrów, drugi z belką (rys. 2). Rys. 2 N iech na belkę dział a ruchme kreswe ciś nienie (2.1) p i (x u t)=ptfl»'<*- <»t>,
STATECZNŚĆ RUCHU UKŁADU SCYLATRÓW analgicznie na ukł ad scylatrów (2.2) p % {x, t) = p e^ ta. - v... Ciś nienie dział ają ce na ukł ad scylatrów dział a na sprę ż yny w pł aszczyź nie kntaktu z belką (rys. 1). Równanie ruchu belki przyjmie w zwią zku z tym pstać scylatrów (2.3) El^'+g^ + by^ p^ t), gdzie El znacza sztywnść belki, Q masę belki na jednstkę długś ci, b stalą sprę ż yst ą pdłża na jednstkę dł ugś ci belki. Równania ruchu ukł adu scylatrów mają pstać (2.4) my, + c [y 2 - y iq ) = 0, gdzie y w J est przemieszczeniem punktu styku scylatra z belką. Funkcje y 2 raz 3»2 zależą d x 2 i t. Przy drganiach kreswych y 2 wyrazi się czywiś cie przez y z0 za pmcą warunku brzegweg (2.5) c(y 2 y w ) = - p 2 (x^, t). Jeż el i ba ukł ady współ rzę dnych, tj. dla belki i scylatrów są zwią zane ze sbą, wtedy muszą ddatkw zachdzić zwią zki zgdnś ci przemieszczeń r a z y x i y 20 zgdnś ci ciś nień p t, p 2 : (2.6) p! =p 2, y 1 = y aa. Warunki (2.6) są już zapisane w jednlitym układzie współrzę dnych (zwią zanym z belką ). Zwią zki pmię dzy bu układami współrzę dnych (rys. 2) są nastę pują ce: (2.7) Xl+ x,=ut, y gdzie U jest prę dkś ci ą przemieszczania się układu scylatrów p belce. Przytczne wyż ej ba układy równań raz zwią zki (2.6) i (2.7) kreś laj ą w peł ni nasz prblem. Bę dziemy pszukiwali takich bszarów zmiany U, przy których rzwią zania zagadnienia w pstaci fal bież ą cych przestaną być stateczne, tj. przy których amplitudy drgań bę dą narastać w czasie. Przejdź my becnie d dyskusji rzwią zań pwyż szych równań raz warunku niestatecznś ci drgań. 3. Rzwią zanie równań i warunki niestatecznś ci drgań Rzwią zań równań (2.3) i (2.4) pszukiwać bę dziemy w pstaci: (3.1) y 1 sa^eftft- uit), jy 30 = _B e i*i(*«-»i0 j y t = Ce'*«C*»-»i), Pdstawiają c (3.1) d układu równań (2.3) i (2.4) znajdujemy (2.1) i (2.2) raz (2.5) wykrzystują c
SYLWESTER KALISKI (3-2) A ~ Ełki - e*f»! + b ~ qią (R - j) gdzie raz - a ZS- L = * a a 2/2 c m gdzie al = Rzwią zania niestateczne, a wię c drgania samwzbudne, wystą pią wtedy, gdy (3.5) Im(kiVi) >0. Dla trzymania równania charakterystyczneg, z któreg wyznaczymy parametry krytyczne U, zwią ż emy ba układy rzwią zań (3.2), (3.3) i (3.4) z warunkami (2.6) i (2.7). Mianwicie z pierwszeg z warunków (2.6) przy wykrzystaniu również pierwszeg z warunków (2.7) znajdujemy w jednlitym ukł adzie współ rzę dnych (3.6) *i+ *«= 0, ską d przyjmiemy (3.7) k 1 =k, & 2 = -& raz (3.8) Vl + v z =U. Nastę pnie na pdstawie drugieg z warunków (2.6) raz (2.7) trzymamy p wykrzystaniu (3.7) raz pierwszeg z warunków (2.6) (39) 1 lub 1 =J_4z^, ' gk*(r- vl) mw a\ vl (3.10) w! = = j R _ I ^ rj ag - vi gdzie rj =Q\m. Ukł ad równań (3.8) i (3.10) stanwi stateczny ukł ad równań charakterystycznych wzglę dem v 1,v i, z któreg bliczyć mż emy U kr raz bszary niestatecznś ci. Wprwadzają c znaczenia ( 3 n ) * V *
SYLWESTER KALISKI wdu teg nie przytczymy tutaj, gdyż zstał n przedstawiny w pracy [1], spsób zaś pstę pwania w naszym przypadku bę dzie identyczny. Gdy U wzrastają c sią gnie pnwnie wartś ci, przy których pjawiają się pierwiastki rzeczywiste, t bę dzie t górna granica U przedziału (bszaru) niestatecznś ci drgań. bszar badania rzwią zań we współ rzę dnych v lf v z mż na graniczyć dla v x d pierwszej ć wiartki płaszczyzny zesplnej, zaś dla v 2 d czwartej. Z pierwszeg z równań (3.12) wynika, że rzwią zania dla Vi muszą mieć pstać (3.14) v x = r 1 + ie, v 2 r 2 ie. Pza tym z drugieg z równań (3.12) wynika, że wielkś ci (3.15) v x r x 4- t'e, v 2 = r t te jak również (3.16) v x =r x ie, v 2 czynią zadść układwi równań (3.12), przy czym dla (3.15) należy zamiast U przyjmwać U. Stą d wię c wynika pprawnść przyję teg uprszczenia i w dalszym cią gu bę dziemy badali układ dla pstaci rzwią zań (3.14) przy r x, r 2 >0 raz e > 0, tzn. stsują c pisaną wyż ej metdę kreś lania ^Atr pprzez pszukiwanie krzywej v x = / (») dla rzeczywistych~v y, ~v 2 i punktów przecię cia z prstą v 2 = U v x. graniczymy się d ddatnich x, v 2, tj. d pierwszej ć wiartki w pł aszczyź nie zmiennych rzeczywistych v x, v 2. Przejdziemy becnie d kreś lenia liczbweg krytycznych prę dkś i c raz bszarów niestatecznś ci rzwią zań dla róż nych zakresów zmiany parametrów naszeg ukł adu, c wyczerpie mż liwe praktyczne warianty rzwią zań prblemu. 4. Parametry krytyczne bszary niestatecznś ci W celu liczbweg wyznaczenia prę dkś c i krytycznych raz bszarów niestatecznś ci przy róż nych parametrach zadania przeprwadzimy tabelaryzację równania (3.12) (drugieg) dla róż nych a 2, k raz r\, c pzwli wyznaczyć numerycznie przebieg krzywych v x = / (w 2 ), gdzie / 2 (w 2 ) jest prawą strną drugieg z równań (3.12). Przy sprzą dzaniu tabeli stswan dkładnść mż liwą d trzymania na suwaku. Dane pwyż sze zestawine zstał y w tablicy 1. Zgdnie z dyskusją, przeprwadzną w pprzednim punkcie, drgania układu scylatrów są niestateczne w bszarze, w którym ukł ad równań (3.12) nie psiada rzwią zań rzeczywistych. Granice teg bszaru wyznaczamy badają c ukł adjrównań (3.12) dla zmiennych rzeczywistych v lt v 2 i pszukują c takich U = U kt, przy których prsta w a = U v l jest styczną d krzywej v x =f(v%). Zauważ my jeszcze, że p wyznaczeniu na pdstawie układu równań (3.12) [/ kr, sam C/ kr bliczamy ze stsunku (3.11), pamię tając że JR zależy również d k,
cś r-h H 1 ta r-h T-. *- * 5s W H 1 "a es c T 1 00 *-* -H 11 ' a; er TH T R- 0011 > < CN 0,8 N C N N r-t,20 N N c n N 0,9 r/ 1 N vd 0,9 N N c C 00 m 00 in 00 U") g tn 0,9 r 0,9 c C 125 in «* 0,4 + 00 N N 0,9 c c N c N C N 0,8 N 116 N in in CN C m HN N 114 ir, c C c N N N N N a 8 es 8 C 8 M 1 *-< LT) iri N c c 1,0 c - * ft rs 1,1 m c m y 8 cs TH T-t N ( 1 *-H m u-. cs I T-l 8 i r- c r- > 1,0 CM T-ł 8
10 SYLWESTER KALISKI tzn. d długś ci fali. gólna pstać wykresów lewej i prawej strny drugieg z równań (3.12) pdana jest na rys. 4. a 1721 rk b I r V 2 Rys. 4 Przebieg krzywych v 1 / j,^) raz wartś ci t/ kr dla kilku wybranych układów parametrów a 2, k i r\ z tablicy 1 przedstawiny jest na rys. 5. Jeż el i pwtórzyć knstrukcję wyznaczania U kr przedstawiną na rys. 5 dla zagę szcznych wartś ci parametrów k, przy ustalnym r\ raz danych c, El, b, 3,5 Ą D 1 - tj- 10,0; a z =1,0; R"!0 a 2- r/ - 1ft; a z =1,0; R~10 e 3- i'1,0; k z - t0' 4 ; a 2-0,1; R- 10 3 2 ^ ; a 2 =5; R=2-10 s 1,0 2,0 3J3 4,0 5,0 S Rys. 5
STATECZNŚĆ RUCHU UKŁADU SCYLATRÓW 11 wtedy mż na zbudwać wykres zależ nśi c dlnej (f/ kr ) i górnej granicy zredukwaneg bszaru niestatecznś ci d k. Wykres taki w skali lgarytmicznej przedstawiny zstał na rys. 6, przy czym przyję t róż ną skalę pinwą dla dlnej 1,0 Rys. 6 tg * 2 / / 0~ 7 i górnej granicy zredukwaneg bszaru niestatecznś ci. Pza tym przyję t pewne k 2 charakterystyczne, mianwicie k 2 = 10~ 7 jak wielkść dniesienia. Wielkść ta zstał a przyję ta dwlnie, tak aby dpwiadał a pewnym typwym danym praktycznym. Rys. 7 Wykres na rys. 6 sprzą dzn dla ustalneg r\, mianwicie r] 0 = 1. Aby mieć pełny braz przebiegu zjawiska na rys. 7, sprzą dzn wykresy przebiegu bu granic zredukwaneg bszaru niestatecznś ci w funkcji rj (w skali lgarytmicznej) przy ustalnych c, El, b i k lub inaczej przy ustalnych wartś ciach a 2 i R. Budują c wykresy przy danych parametrach a 2 i R nie trzeba specyfikwać wzajemnych zwią zków pmię dzy c, El, b i k. Jednakże dla wyznaczenia przebiegu U VT jak funkcji k (rys. 6) trzeba był przyją ć ustalne wartś ci
12 SYLWESTER KALISKI c, El, b. Wykresów ddzielnych dla róż nych wzajemnych stsunków c, El, b nie przytaczamy, mieszczą się ne w tablicy 1 przy uzależ nianiu v x,v 2 wedł ug parametrów a 2 raz R. Z rysunku 7 wynika, że przy rsną cym r\ (przy ustalnych pewnych wartś ciach pzstał ych parametrów) dlna i górna granica zredukwaneg bszaru niestatecznś ci zbiegają się, tzn. bszar niestatecznś ci maleje d zera, przy maleją cym natmiast r) na dwrót rś nie d nieskńcznś ci. Nie mawialiś my rys. 6, gdyż przedstawia n U kc dlne i górne w zależ nśi cd k, nie zaś sam / kr. Krzystając ze zwią zku (3.11) sprządzn na rys. 8 wykres przebiegu U kt dlne i górne jak funkcję k, tj. zmianę, w funkcji k dlnej i górnej granicy bszaru niestatecznś ci. Wykres sprzą dzn w parciu wykres i dane z rys. 6. Z rysunku 8 wynika, że przy zmiennych k Rys. 8 lg #vi- 7 i pewnych ustalnych wartś ciach pzstał ych parametrów f7 kr dlne i górne psiadają minima, przy czym ba minima na gół nie pkrywają, się, leżą natmiast blisk siebie. Na pdstawie tablic i wykresów przytcznych w niniejszym punkcie mż na w zasadzie prześ ledzić przebieg U kr i bszaru niestatecznś ci w zależ nśic d zmiany i wzajemneg stsunku wchdzą cych w rzwią zanie parametrów w zakresach ich praktycznej zmiennś ci. Z rzwią zań tych wynikają nastę pują ce wniski: 1. Przy ustalnych k, El, b, c w zależ nśi cd r\ = m\ą dlna granica bszaru niestatecznś ci rś nie z r\ d pewnej asymptty, górna zaś rś nie z maleją cym r\ pczą wszy d pewnej wartś ci asympttycznej d nieskń cznś. cibszar niedtatecznś ci maleje przy rsną cym r\ d zera i rś nie przy maleją cym d nieskń cznś. ci 2. Przypadek ruchu sztywnej masy p belce trzymamy przy danych 77, k, El, b, jeż el i przyjąć c ->, tj. a 2 - *00. Wtedy (4.1)»} 1
STATECZNŚĆ RUCHU UKŁADU SCYLATRÓW 13 i górna granica bszaru niestatecznś ci dą ży d nieskń cznś, cidlna zaś zmierza d asymptty zależ nej d pzstałych parametrów (pr. tablica 1). Stą d wnisek, że przy przekrczeniu Z7 kr ruch bę dzie niestateczny dla dlneg U. 3. Przy ustalnych r\, El, b, c górna i dlna granica bszaru niestatecznś ci psiadają minimum wzglę dem k. Minima te są na gół płż ne blisk siebie, nie pkrywają się jednak. 5. scylatry kilku stpniach swbdy Na zakń czeni e niniejszej pracy rzważ my jeszcze pkrótce przypadek bardziej zł ż neg ukł adu scylatrów pruszają cych się p belce, mianwicie ukł adu zł ż neg z scylatrów kilku stpniach swbdy. Tk gólny rzwią zania pzstaje taki sam jak pprzedni, zmieni się jedynie pstać prawej strny równania (3.9). Na przykł ad dla scylatra dwóch stpniach swbdy (rys. 9) przyjmie na pstać (c x k 2 v\ mi ) (Cj, + c a &v\m % c?) braz jakś ciwy rzwią zań zachwuje się w tym przypadku pdbnie jak dla ukł adu scylatrów jednym stpniu" swbdy z tym, że becnie djdą pewne sbliwś ci zwią zane z ddatkwymi czę stś ciami drgań własnych scylatrów. Pza tym przy specjalnie dbranych zwią zkach pmię dzy parametrami zadania wynika szereg specjalnych zwią zków dtyczą cych wzajemneg stsunku amplitud mas i belki itp. Zagadnienia teg hie bę dziemy rzważ al i ddzielnie, pnieważ w tku rzwią zania nie zachdzą ż adne isttne zmiany. Rys. 9 T sam dtyczy kwestii tł umienia (tłumiki scylatrów i tłumienie w belce) raz graniczneg ukł adu scylatrów bą dź scylatra pjedynczeg. Przy uwzglę dnieniu tłumienia metda knstrukcji rzwią zania pzstaje niezmienina, natmiast zmianie ulegają wyniki ilś ciwe. Jakś ciwe róż nice trzymuje się przy pewnych (stsunkw bardz duż ych) krytycznych wartś ciach tłumienia. Aby nie kmplikwać brazu ddatkwymi parametrami, w pracy rzważ aliś my najprstszy układ. Tk rzwią zania, jak stwierdziliś my, nie ulega zmianie. Rzwią zanie kmplikuje się w spsób isttny i zmienia się metda pstę pwania, gdy mamy d czynienia z scylatrami nieliniwymi.
14 SYLWESTER KALISKI Niektóre jednakże przypadki nieliniwych scylatrów pruszają cych się p belce dają się stsunkw prst rzwią zać. Zagadnienie t bę dzie tematem sbneg kmunikatu. Literatura cytwana w tekś cie [1]. S. KALISKI, Self- excited vibratins f an scillatr system mving n the surface f an elastic half- space,prc. Vibr. Prbl., w druku. [2]. E. F. FJICKKBj A. I I. HJlunBj ycmaueueiuuech KAedmun Sa/ iku na ynpyem chbanuu npu dsuice)iuu 3py3a c ncmnuhii expcmbw, Tp. JlaSp. raflpabji. jviaiilhh, AH yccp, B. 10, 1962. [3]. B. M. MytiHHKBj, HcKmpue Membu pacuema ynpyeux cuctnem na KneBauuH npu ndeuichii Haspy3Ke, H3flaT. JIHT, Grp. Apx., McKBa 1953. P e 3 i m e YCTH^HBCTL HBH5KEHHH CHCTEMBI CUHJIJMTPB n BAJIKE H A ynpyrm CHBAHHH I'accMTpena 3a#aqa flbhwcenhh chcrembi jihheiihbix CUHJIJTHTPB n 6ajiKe Ha ynpyrm cubahhh. ni<a3ah, MT B 3TM cjiy^ae cymectbyit 6jiacTH CKpcTeń HBUJKCHHH CHCTeMŁI CIłHJIJIHTpBj npu KTpblX nhbjihitch KJie6aHHH C CaM0B036y>KfleHHeM, CJieflBa- BHHteHHe HeycrTHB. npeaejienw KPHTH^CCKHC ckpcth fljia HHWHeii H BepxHeft QjiaCTH HeyCTHIHBCTH. JXaWbl AHarpaMMbI 3aBHCHMCTH KpHTH^eCKHX CKpCTeS T pa3hłix nepeiviehhbix napaiwetps CHCTeMbi. 6cyjj<fleH pafl npeflejithbix cnyvasb, Hanp. >KecTK0H, Heynpyr nflbeulehnfi Maccti, BectMa SJIBIH niaccw H T. n. Summary STABILITY F THE MTIN F A SYSTEM F SCILLATRS MVING N A BEAM N ELASTIC FUNDATIN In the paper the prblem f the mtin f a system f linear scillatrs mving n a beam n elastic fundatin has been cnsidered. It is shwn that fr such a mtin there exist dmains f velcity f the mtin f a system f scillatrs fr which selfvibratins appear, thus the mtin is unstable. The critical velcities are determined fr the upper and lwer bundaries f the unstable dmain. The diagrams f the critical velcities as the functins f different parameters f the system are pltted and several limit cases as, fr example, a mtin f a rigid mass withut springing r a mtin f a very large mass are discussed. ZAKŁAD BADANIA DRGAŃ INSTYTUTU PDSTAWWYCH PRBLEMÓW TECHNIKI PAN Praca zstała złż na w Redakcji dnia 3 paź dziernika 1963 r.