EGZAMIN WSTĘPNY Z MATEMATYKI 1. Przed sobą masz egzamin z matematyki, który składa się z dwóch części. Osoby, które chcą się dostać do klasy matematycznej muszą napisać obie części poniższego egzaminu w przeciągu 150 minut. Pozostałe osoby mają 120 minut i muszą napisać jedynie część pierwszą. Mogą one jednak, w przeciągu tych 120 minut, spróbować rozwiązywać zadania z części drugiej i w ten sposób uzyskać dodatkowe punkty. 2. Na każdej stronie wpisz, w odpowiednim miejscu, kod zdającego. 3. W zadaniach zamkniętych od 1. do 16. są podane 4 odpowiedzi: A, B, C, D, z których tylko jedna jest prawdziwa. Wybierz tylko jedną odpowiedź i zaznacz ją na karcie odpowiedzi, zamalowując pola do tego przeznaczone. Błędne zaznaczenie otocz kółkiem i zaznacz właściwe. 4. Rozwiązania zadań otwartych od 17. do 26. zapisz starannie i czytelnie w wyznaczonych miejscach. Przedstaw swój tok rozumowania prowadzący do ostatecznego wyniku. Wyraźnie zapisz odpowiedzi. 5. Pisz czytelnie. Używaj niebieskiego lub czarnego długopisu. Nie pisz ołówkiem. 6. Nie używaj kalkulatora, telefonu, laptopa i innych urządzeń elektronicznych. 1
NUMER ZADANIA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 KARTA ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH A B C D 2
CZĘŚĆ 1 Zadanie T1. Cenę x pewnego towaru obniżono o 55%, a potem obłożono podatkiem wysokości 25%. Cenę tego towaru po obniżce i opodatkowaniu można zapisać w następujący sposób A. x 55% 125% B. x 125% 55% x C. x 0,45 1,25 D. x 55% 25% Zadanie T2. 0,2% pewnej liczby x wynosi 5. Zatem liczba x to A. 2500 B. 250 C. 25 D. 2,5 Zadanie T3. Rozwiązaniem równania x 3 2x 4 0 jest liczba A. 2 B. -2 C. 0 D. żadna z podpunktów A, B, C. Zadanie T4. Jeden bok prostokąta zwiększono o 30%, zaś drugi zmniejszono o 30%. Zatem pole prostokąta po zmianach jego boków ma pole mniejsze od prostokąta przed zmianami boków o A. 0% B. 9% C. 30% D. 91% Zadanie T5. Liczba 110% 10% to inaczej A. 1100% B. 11% C. 1,1 D. 0,011 Zadanie T6. Liczby całkowite a i b spełniają nierówność 0,05 a b 0,06 o tej własności to. Przykład liczb A. a = 11 i b = 200 B. a = 11 i b = 100 C. a = 5,5 i b = 100 D. a = 5,5% i b = 100% Zadanie T7. Liczba a stanowi 2 5 liczby b. Zatem liczba b to A. 100% liczby a B. 1,5 a C. 2 a D. 2,5 a Zadanie T8. Liczba 32 8 to inaczej A. 40 B. 24 C. 8,48 D. 6 2 3
Zadanie T9. Liczba 1 3 27 9 jest równa A. 18 3 B. Zadanie T10. 3 3 C. 27 D. 9 Oblicz długość odcinka AE wiedząc, że AB CD i AB 6, AC 4, CD 8. A. AE 2 B. AE 4 C. AE 6 D. AE 12 Zadanie T11. Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość 6, a ramię ma długość 5. Wysokość opuszczona na podstawę ma długość A. 3 B. 4 C. 34 D. 61 Zadanie T12. Punkty A, B, C leżące na okręgu o środku S są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Miara zaznaczonego na rysunku kąta środkowego ASB jest równa A. 120 B. 90 C. 60 D. 30 Zadanie T13. Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach 5 3 4 jest równe A. 94 B. 60 C. 47 D. 20 Zadanie T14. Ile miejsc zerowych ma funkcja zadana tabelką podaną poniżej? x 0 1 2 3 4 5 f(x) 0 1 3 0-5 0 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Zadanie T15. Dane są wyrażenia: 3 W x 3x 1 oraz V 2 3 x. Wyrażenie W V jest równe A. 5 4 3 2x 6x 2x B. 6 4 3 2x 6x 2x C. 5 2x 3x 1 D. 5 4 3 2x 6x 2x Zadanie T16. Motocyklista w ciągu 6 sekund przejeżdża drogę 90 m. Jak długo zajmie motocykliście przebycie drogi 2175 m? A. 55 sekund B. 1 minuta i 45 sekund C. 2 minuty i 25 sekund D. 3 minuty i 5 sekund 4
Zadanie 17. (5 pkt) W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz obwód tego trapezu. Wykonaj odpowiedni rysunek. 5
Zadanie 18. (4 pkt) Średnica wewnętrzna szklanego naczynia mającego kształt walca ma długość równą 10 cm. Wysokość tego naczynia jest równa 12 cm, a grubość jego dna jest równa 0,5 cm. Czy w tym naczyniu zmieści się 1 litr wody? Odpowiedź uzasadnij. Przyjmij, że 3,14. Wykonaj odpowiedni rysunek. 6
Zadanie 19. (7 pkt) Na rysunku przedstawiono wykres pewnej funkcji f. a) Podaj miejsca zerowe funkcji f. b) Podaj wartość funkcji f dla argumentu 0. c) Dla jakich argumentów wartość funkcji f wynosi 1? d) Oblicz wartość wyrażenia f ( 1) f (0) 2 f (3). e) Podaj najmniejszą wartość funkcji f i argument dla którego funkcja przyjmują tę wartość. f) Podaj największą wartość funkcji f i argument dla którego funkcja przyjmują tę wartość. 7
Zadanie 20. (3 pkt) Za dwa lata Julka będzie dwa razy starsza niż była osiem lat temu. Ile lat ma Julka? Przedstaw swoje rozumowanie, ułóż odpowiednie równanie, przedstaw obliczenia. 8
Zadanie 21. (8 pkt) Od domu Ani do domu jej koleżanki Magdy prowadzi droga w linii prostej. Pewnego dnia Ania udała się z wizytą do Magdy. Poniższy wykres przedstawia odległość Ani od jej domu podczas tej wycieczki. Przeanalizuj wykres, a następnie uzupełnij poniższy tekst. Pierwsze 4 km Ania pokonała idąc z prędkością... km/h. Przez... minut czekała przy drodze, aby zabrać się w dalszą podróż autostopem. Samochodem przebyła drogę długości... km jadąc z prędkością... km/h. Następnie przez... godziny przeszła... km, by znaleźć się w końcu u celu. Z Magdą spędziła... godziny na plotkach. Podróż powrotna trwała tylko 25 minut, ponieważ odwiózł ją samochodem ojciec Magdy jadąc z prędkością... km/h. 9
Zadanie 22. (12 pkt) Na osi zaznaczono liczby 5 a oraz 9 2 b. 9 a) Zaznacz na osi liczę 0 oraz liczbę c b) Oblicz średnią arytmetyczną liczb a i b. Przedstaw ją w postaci ułamka zwykłego. 4 9 c) Zapisz wyrażenie algebraiczne a b 2 a 3 2 b w najprostszej postaci i następnie oblicz jego wartość dla podanych na osi liczb a i b. 10
d) Dana jest liczba 2 2 6 2 : 2 4 3 14 13 20 81 9 1 3 39 większa czy też mniejsza od liczby d 3 27 2 a.. Uprość liczbę d i zbadaj czy jest ona 11
Zadanie 23. (5 pkt) Konwój złożony z dziesięciu ciężarówek ma przewieźć ziemię na plac budowy. Ile potrzeba ciężarówek o ładowności trzech ton i ile o ładowności czterech ton, aby konwój przewiózł 37 ton ziemi na plac budowy? 12
CZĘŚĆ 2 Zadanie 24. (6 pkt.) Podczas napełniania zbiornika uszkodzony został zawór odpływowy, przez który zaczęła wydostawać się woda z prędkością 10 m 3 / min. Awarię usunięto po 9 minutach. Na wykresie pokazano, jak zmieniała się ilość wody w zbiorniku od momentu wystąpienia awarii do momentu jej usunięcia. a) Oblicz: 1) ile m 3 wody dostarczono do zbiornika w ciągu dwóch początkowych minut, 2) z jaką prędkością (w m 3 / min.) dostarczano wodę do zbiornika w ciągu piątej i szóstej minuty 3) ile m 3 wody wydostało się ze zbiornika w czasie trwania awarii. b) W jakim przedziale czasu dostarczano wodę do zbiornika z prędkością 10 3 / m min.? c) W którym momencie przestano dostarczać wodę do zbiornika? 13
Zadanie 25. (8 pkt.) W trójkącie ABC kąty przy wierzchołkach A, B, C mają odpowiednio miary 90,30, 60. Zmienna x to długość boku AC. a) Zapisz za pomocą zmiennej x długość boków BC oraz AB. b) Na każdym z boków trójkąta ABC zbudowano trójkąt równoboczny (patrz rysunek). Za pomocą zmiennej x zapisz pola trójkątów: ABD, CBE, ACF. c) Pole pięciokąta ADBEF wynosi 10 3. Oblicz x. 14
15
Zadanie 26. (6 pkt.) Wyznacz wartość parametru a dla której liczba 4 x jest rozwiązaniem równania x a x a x a 2 8 16