1 k trmłość mtrłó Wkłd Nr 9 rktrstk gomtr fgur płsk momt stt, środk ężkoś fgur jgo, momt błdoś, głó trl os błdoś, głó trl momt błdoś, prom błdoś, trd Str Wdł Iżr j Robotk Ktdr Wtrmłoś, Zmę trłó Kostrukj Dr b ż oms B2, II p, pok 206 E-ml: m@gdupl
91 Z prmtró gomtr fgur płsk pr o trmłoś obktó Fgurm płskm są prkroj obktó, któr są sł ętr pręż Podstom prmtrm rktrująm fgurę jst jj pol por lkość mo rktrują romr fgur Pol por (A rprtuj pł gomtr obktu jgo trmłość jd ( któr prpdk obążń, jk: roąg/śsk ś t dosk poro 𝑵 𝝈𝒓 (𝝈𝒄 𝒌𝒓 (𝒌𝒄 𝑻 𝝉 𝒌𝒕 𝒕 𝑭 𝒑𝒅 𝒌𝒅 𝒅 Iż Bomd, k trmłość mtrłó, Wkłd r 9 2
91 Pol por fgur W prpdk tk obążń, jk g lub skrę, trmłość lmtu lż tlko od lkoś l od kstłtu pol prkroju poprgo, pr gu tkż od orto tgoż kstłtu ględm kruku momtu gjągo Do opsu t ko jst prod o lkoś gomtr rktrują prkrój lmtu, tj momtó gomtr druggo stop t momtó błdoś ttp://projtskmopuk Rdukj sł ętr prkroju lmtu mg jomoś położ jgo gomtrgo środk ężkoś, prjmogo jko bgu rdukj rożgo ukłdu sł W spółręd środk ężkoś fgur płskj mg jomoś momtó gomtr prsgo stop, l t momtó stt ( Iż Bomd, k trmłość mtrłó, Wkłd r 9 3
92 omt prsgo stop - momt stt da omt stt (ds lmtu pol (da oblm: A ględm os, jko: 𝒅𝑺𝒙 𝒚 𝒅 ględm os, jko: 𝒅𝑺𝒚 𝒙 𝒅 Stąd: ( omt stt fgur o polu A ględm os dfujm odpodo jko: 𝑺𝒙 න 𝒚 𝒅 gd 𝑺𝒚 න 𝒙 𝒅 jdostk: ( mm3, m3, m3 න o łkę loą po łm polu fgur A Ug: omt stt mogą mć rtość dodtą, ujmą lub róą ru Iż Bomd, k trmłość mtrłó, Wkłd r 9 4
92 omt prsgo stop - momt stt Prkłd 1: Oblć momt stt prostokąt o srokoś b sokoś ględm os prodą pr jgo bok 𝑺𝒙 𝒉 𝒃 𝒃 b Ab ( b 𝒙 𝒉 𝑺𝒚 න 𝒙 𝒅 න 𝒙 𝒉 𝒅𝒙 0 𝑺𝒚 𝒃 𝒉 𝒉 Iż Bomd, 𝟎 𝒉 𝒃 𝑺𝒙 𝒚𝒄 środk ężkoś prostokąt 𝒉 𝒃 𝟎 d da d 𝒃 𝒉 𝑺𝒚 𝒙𝒄 k trmłość mtrłó, d 𝒚 𝒃 𝑺𝒙 න 𝒚 𝒅 න 𝒚 𝒃 𝒅𝒚 0 dab d b Wkłd r 9 Ab 5
92 omt prsgo stop - momt stt rd 1 omt stt doolj fgur jst lom pol tj fgur odpodj spółrędj jj środk ężkoś, okrśljąj jgo odlgłość od os, ględm którj momt stt jst lo 𝑺𝒚 𝒙𝒄 𝑺𝒙 𝒚𝒄 rd 2 𝒚𝒄 𝒙𝒄 omt stt obl ględm os smtr lub ględm prost prodą środk smtr są ró ro rd 3 Jśl fgur o polu A podlo ostł sposób łkot ęś o pol A, to momt stt łj fgur A ględm dj os (𝑺 ró jst sum momtó stt sstk ęś tj fgur (𝑺 𝒊 lo ględm tj smj os 𝑺𝒙 𝒊𝟏 ( 𝑺𝒙 𝒊 𝑺𝒚 Iż Bomd, 𝒊𝟏 𝑺𝒌 𝟎 k 𝑺𝒙 𝑺𝒚 A 𝑺𝒚 𝒊 k trmłość mtrłó, σ 𝑺𝒙𝒊 σ 𝑺𝒚𝒊 A1 A A2 A 𝑺𝒍 𝑺𝒍 𝑺𝒍 l Wkłd r 9 6
93 Środk ężkoś fgur Y 𝐱𝐂 X Środkm ężkoś fgur płskj m pukt o spółręd: A 𝑺𝒚 𝐲𝐂 𝑺𝒙 gd: S, S momt stt fgur odpodo ględm os, A pol por fgur Os ukłdu spółręd prodą pr środk ężkoś fgur m osm trlm rd 4 ( Jżl fgur m oś smtr to oś t prod pr środk ężkoś fgur rd 5 Jżl fgur m środk smtr to jst o róoś środkm ężkoś tjż fgur Iż Bomd, k trmłość mtrłó, Wkłd r 9 7
94 Sposób środk ężkoś fgur A A1 A2 A A 1 Prjmujm ukłd spółręd - 1 D jst dool fgur o polu por A 2 Dokoujm podłu fgur A ęś, tk sposób b dl kżdj t ęś mó łt sposób oblć pol 𝑺𝒊 𝒊𝟏 skć jj środk ężkoś 3 Oblm momt stt fgur (A, ględm łj 1 obdu os ukłdu spółręd (𝑺𝒙, 𝑺𝒚, jko sum momtó stt (𝑺𝒙 𝒊, 𝑺𝒚 𝒊 ględm odpod os sstk ęś fgur (A jk podloo ł pol A ( 𝑺𝒙 𝑺𝒚 𝒊𝟏 𝒊𝟏 𝑺𝒙 𝒊 𝑺𝒚 𝒊 4 Oblm spółręd środk ężkoś łj fgur A jko: 𝑺𝒚 σ𝒊𝟏 𝑺𝒚 𝒊 σ𝒊𝟏 𝒙𝑪𝒊 𝒊 𝒙𝑪 σ𝒊𝟏 𝒊 σ𝒊𝟏 𝒊 Iż Bomd, 𝑺𝒙 σ𝒊𝟏 𝑺𝒙 𝒊 σ𝒊𝟏 𝒚𝑪𝒊 𝒊 𝒚𝑪 σ𝒊𝟏 𝒊 σ𝒊𝟏 𝒊 k trmłość mtrłó, Wkłd r 9 8
94 Sposób środk ężkoś fgur Prkłd 2: Wć położ środk ężkoś prkroju jk rsuku 60 𝒙𝑪 𝟎 (god trdm 4 20 20 ( 100 Iż Bomd, 𝑺𝒙 170 𝒙𝑪 20 𝒚𝑪 3 70 𝒚𝑪 𝟏𝟎 160 𝐲 𝒚𝑪 𝑺𝒙 𝒊𝟏 𝒙 𝑺𝒙 𝒊 𝒚𝑪𝒊 𝒊 𝒊𝟏 𝑺𝒙 𝟔 𝟕 + 𝟎 + 𝟏𝟎 𝟕 𝟓𝟔 𝐜𝐦𝟑 𝒊 𝟔 + 𝟏 + 𝟏𝟎 𝟓𝟔 𝐜𝐦 𝒊𝟏 𝒚𝑪 𝑺𝒙 𝟓𝟔 𝟏 𝐜𝐦 𝟓𝟔 k trmłość mtrłó, Wkłd r 9 9
94 Sposób środk ężkoś fgur Prkłd 3: Jk oblć momt stt prkroju jk rsuku? 𝒙 ( 𝒙 𝑺𝒙 𝑺𝟏𝒙 𝑺𝒙 𝒙 𝑺𝒙 𝑺𝟏𝒙 + 𝑺𝒙 + 𝑺𝟑𝒙 Iż Bomd, k trmłość mtrłó, Wkłd r 9 10
95 omt druggo stop - momt błdoś da Dl fgur płskj o polu por A, opsj krtjńskm ukłd spółręd - dfuj sę stępują gomtr momt druggo stop (momt błdoś: A 𝑱𝒙 න 𝒚 𝒅 O omt stt (prsgo stop 𝑺𝒙 න 𝒚 𝒅 ( 𝑺𝒚 න 𝒙 𝒅 𝑱𝒚 න 𝒙 𝒅 𝑱𝑶 න 𝒓 𝒅 jdostk: 𝐦𝐦𝟒 𝐜𝐦𝟒 𝐦𝟒 𝑱𝒙𝒚 (𝑫𝒙𝒚 න 𝒙 𝒚 𝒅 Ug: omt oso momt bguo mogą bć tlko dodt, momt dj moż bć dodt ujm lub ró ru Iż Bomd, k trmłość mtrłó, Wkłd r 9 11
95 omt druggo stop - momt błdoś rd 6 omt błdoś (JO, obl ględm bgu ukłdu spółręd -, ró jst sum momtó oso J or J 𝑱𝑶 𝑱𝒙 + 𝑱𝒚 Doód: da A 𝑱𝑶 න 𝒓 𝒅 න (𝐱 +𝐲 𝒅 න 𝐲 𝒅 + න 𝐱 𝒅 𝑱𝒙 + 𝑱𝒚 rd 7 omt błdoś są ddt (podob jk momt stt, t: 𝑱𝒙 𝑱𝒚 𝒊𝟏 𝒊𝟏 ( 𝑱𝒙 𝒊 𝑱𝑶 𝑱𝒚 𝒊 𝑱𝒙𝒚 O Np 𝒊𝟏 𝑱𝑶𝒊 Iż Bomd, 𝒊𝟏 𝑱𝒙𝒚𝒊 𝑱 + 𝑱 k trmłość mtrłó, + 𝑱 Wkłd r 9 𝑱 12
95 omt druggo stop - momt błdoś rd 8 Jżl fgur posd oś smtr, którą pokr sę oż jd os ukłdu spółręd, to momt dj J obl ględm tkgo ukłdu os jst ró ro Dl kżdgo k pol por 𝒅𝒊 stj tk smtr k 𝒅𝒊 𝒅𝒊, ż: 𝒙 𝒚 𝒅𝒊 𝒙 𝒚 𝒅𝒊 𝒅𝒊 ( stąd: 𝒅𝒊 Iż Bomd, න 𝒙 𝒚 𝒅 (𝒙>𝟎 න 𝒙 𝒚 𝒅 (𝒙<𝟎 ę: 𝑱𝒙𝒚 න 𝒙 𝒚 𝒅 𝟎 k trmłość mtrłó, Wkłd r 9 13
96 Prom błdoś da A Promń błdoś ględm os k (lub bgu O jst to tk odlgłość k od prostj k (lub O od bgu O, którj skupo ł pol fgur (A dj momt błdoś ględm tj prostj (lub tgo bgu ró rstmu momto rożj fgur O 𝑱𝒙 𝑱𝒙 න𝒊𝒙𝒚 𝒅 rd 9 omt stt błdoś ględm os ukłdu Pomęd promm spółręd (𝒊𝒙 𝒊𝒚, promm błdoś 𝑱𝒚 𝑺𝒙 න 𝒚 𝒅 𝑺𝒙 𝒚𝑪 ględm bgu tgo ukłdu (𝒊𝑶 od lżość: 𝑱𝒚 න𝒊𝒚𝒙 𝒅 ( 𝒊𝑶 𝒊𝒙 + 𝒊𝒚 𝑺𝒚 න 𝒙 𝒅 𝑺𝒚 𝒙𝑪 Doód: 𝑱𝑶 𝑱𝒙 + 𝑱𝒚 gd: 𝑱𝑶 𝒊𝑶 𝑱𝒙 𝒊𝒙 𝒊𝑶 𝒊𝒙 + 𝒊𝒚 Iż Bomd, 𝑱𝒚 𝒊𝒚 𝑱𝒙 𝒊𝒙 𝑱𝒚 𝒊𝒚 𝑱𝟎 𝑱𝟎 න𝒊𝑶 𝒓 𝒅 𝑱𝑶 𝒊𝑶 𝒊𝑶 𝒊𝒙 + 𝒊𝒚 k trmłość mtrłó, Wkłd r 9 14
97 Głó trl momt błdoś 𝑱𝒙 + 𝑱𝒚 𝑱𝑶 𝑱𝜼 + 𝑱𝝃 A O Sum momtó błdoś ględm os ukłdó spółręd o spólm bgu jst stł, oż rtoś posgól momtó oso mją sę r obrotm ukłdu spółręd ględm bgu us stć tk kąt dl którgo momt oso będą prjmoć rtoś kstrml Położ tk róż ro rtość momtu dj logo ględm dgo ukłdu os Ukłd os ględm którgo mmt dj J0 m głóm osm błdoś omt błdoś obl ględm t os prjmują rtoś kstrml m j głóm momtm błdoś Jżl którkolk os ukłdu spółręd pokr sę osą smtr rożj fgur, to os t są głóm osm błdoś (por trd 8 Głó os błdoś prodą pr środk ężkoś fgur m głóm trlm osm błdoś, obl ględm momt druggo stop to głó trl momt błdoś ( Iż Bomd, k trmłość mtrłó, Wkłd r 9 15
97 Głó trl momt błdoś d da d prostokąt o srokoś b sokoś 𝒉 𝒃 𝒂𝟒 𝟏 Iż Bomd, 𝒃 𝒃 𝒉 𝒃𝟑 𝒃 𝟏 N pmęć!! 𝑱𝒙𝒄 𝑱𝒚𝒄 ( 𝟑 Ab 𝒉 𝒙 𝑱𝒚 න 𝒙 𝒅 න 𝒙 𝒉 𝒅𝒙 𝒉 𝟑 𝒃 𝒉𝟑 𝟏 /3 𝒉 b b 𝑱𝒙𝒄 𝒃 𝒉𝟑 𝟏 𝑱𝒙𝒄 𝒃 𝒉𝟑 𝟑𝟔 𝑱𝒚𝒄 𝒉 𝒃𝟑 𝟏 𝑱𝒚𝒄 𝒉 𝒃𝟑 𝟒𝟖 𝑱𝒙𝒄 𝑱𝒚𝒄 𝝅 𝒅𝟒 𝟔𝟒 k trmłość mtrłó, Wkłd r 9 N pmęć!! 𝟑 𝒚 𝑱𝒙 න 𝒚 𝒅 න 𝒚 𝒃 𝒅𝒚 𝒃 𝟑 b 𝒉 Prkłd 4: Oblć głó trl momt błdoś d dab d 16
98 rd Str da D:, b, r, J, J, J, J v b A Stąd: 𝑱𝒖 𝑱𝒙𝑪 + 𝒂 Podob: 𝑱𝒗 𝑱𝒚𝑪 + 𝒃 ( 𝑱𝑾 𝑱𝑶 + 𝒓 𝑱𝒖𝒗 𝑱𝒙𝒚 + 𝒂 𝒃 Suk: Ju, Jv, JW, Juv 𝑱𝒖 න 𝒗 𝒅 න 𝒚 𝒂 O Prjmujm prostokąt ukłd spółręd (, o poątku lżąm środku ężkoś pol A fgur Iż Bomd, 𝒅 to oś trl න 𝒚 𝒅 𝒂 න 𝒚 𝒅 + 𝒂 න 𝒅 𝑱𝒙𝑪 𝑺𝒙𝑪 𝟎 𝑱𝑾 𝑱𝒖 + 𝑱𝒗 𝑱𝒙𝑪 + 𝑱𝒚𝑪 + 𝒂 + 𝒃 𝑱𝑶 𝒓 omt błdoś pol A fgur płskj ględm doolj prostj jst ró momto błdoś tj fgur ględm os trlj róolgłj do rożj prostj, poęksomu o lo pol tj fgur kdrtu odlgłoś męd osm k trmłość mtrłó, Wkłd r 9 17
94 Sposób środk ężkoś fgur Prkłd 4: Oblć głó trl momt błdoś dutok jk rsuku 80 Oś jst osą trlą gdż pokr sę osą smtr fgur 𝒚𝑪 𝒙𝑪𝟏 10 20 150 320 𝒙𝑪 𝒙 375 150 O 𝑺𝒙𝟏 + 𝑺𝒙 + 𝑺𝒙𝟑 𝟖 𝟏𝟓 + 𝟎 + 𝟏𝟖 ( 𝟏𝟓 𝑺𝒙 𝟏 + + 𝟑 𝟖 + 𝟖 𝟏 + 𝟏𝟖 𝟑𝟎𝟎 𝒚𝑪 𝟑𝟕 𝟓 𝐦𝐦 𝒚𝑪 𝟑 𝟕𝟓 𝐜𝐦 𝟕𝟒 b W głó trl momtó błdoś 𝒚𝑪 𝒙𝑪 𝑱𝒚𝑪 𝑱𝒚𝒄 + 𝑱𝒚𝒄 + 𝑱𝒚𝒄 𝑱𝒚𝑪 𝟖𝟑 𝟖 𝟏𝟑 𝟏𝟖𝟑 + + 𝟏 𝟏 𝟏 20 ( W środk ężkoś fgur (spółrędj 𝐜𝐦𝟒 b 𝑱𝒚𝑪 𝟏𝟎𝟓𝟗 𝟔𝟔𝟕 𝐜𝐦𝟒 𝑱𝒚𝒄 𝒙𝑪𝟑 𝒉 𝒃𝟑 𝟏 180 Iż Bomd, k trmłość mtrłó, Wkłd r 9 18
94 Sposób środk ężkoś fgur Prkłd 4: Oblć głó trl momt błdoś dutok jk rsuku 80 W środk ężkoś fgur (spółrędj 𝒚𝑪 𝒙𝑪𝟏 𝑱𝒚𝑪 𝟏𝟎𝟓𝟗 𝟔𝟔𝟕 𝐜𝐦𝟒 150 b W głó trl momtó błdoś 10 𝑱𝒙𝑪 𝑱𝒙𝒄 + 𝑱𝒙𝒄 + 𝑱𝒙𝒄 𝟑 20 150 320 375 𝒙𝑪 𝒙 ( O 𝒙𝑪 180 Iż Bomd, 𝑱𝒙𝒄 𝟖 + 𝟖 𝟏𝟓 + 𝟑 𝟕𝟓 𝟏 Str: 𝑱𝒖 𝑱𝒙𝑪 + 𝒂 𝐜𝐦𝟒 𝟏 𝟖𝟑 𝑱𝒙𝒄 + 𝟏 𝟖 𝟑 𝟕𝟓 𝐜𝐦𝟒 𝟏 𝟏𝟖 𝟑 𝑱𝒙𝒄 + 𝟏𝟖 𝟏𝟓 𝟑 𝟕𝟓 𝐜𝐦𝟒 𝟏 𝑱𝒙𝑪 𝟓𝟔𝟑𝟎 𝟑𝟑𝟑 + 𝟑 𝟎𝟖𝟑 + 𝟒𝟓𝟔𝟖 𝟓 𝐜𝐦𝟒 𝒙𝑪𝟑 20 𝒚𝑪 𝟑𝟕 𝟓 𝐦𝐦 b 𝑱𝒙𝒄 𝒃 𝒉𝟑 𝟏 𝑱𝒙𝑪 𝟏 𝟒𝟏 𝟔𝟔𝟔 𝐜𝐦𝟒 𝑱𝑶 𝑱𝒙𝒄 + 𝑱𝒚𝒄 k trmłość mtrłó, 𝑱𝑶 𝟏𝟑 𝟒𝟖𝟏 𝟑𝟑𝟑 𝐜𝐦𝟒 Wkłd r 9 19