COMPARISON OF CONJUGATE GRADIENT AND QUASI-NEWTON BFGS ALGORITHMS IN THE OPTIMAL POWER FLOW PROBLEM

Transkrypt

1 ELEKTRYKA 9 Zeyt 3 () Ro LV Bernar BARO Artur PASIERBEK Intytut Eletrotecn Inormaty Poltecna Śląa w Glwcac PORÓWAIE WYDAJOŚCI ALGORYTMÓW GRADIETU SPRZĘŻOEGO I QUASI-EWTOOWSKIEGO BFGS W ZAGADIEIU OPTYMALIZACJI ROZPŁYWU MOCY W SYSTEMIE ELEKTROEERGETYCZYM Strecene. Rowąane aana optymalneo ropływu mocy (OPF) wymaa ormułowana opowene unc celu ora obrana opowenc alorytmów optymalacynyc. Ze wlęu na nelnowy carater aanena poane eneo eyne łuneo poobu potępowana et nemożlwe. Każe aanene nelnowe mu być tratowane nywualne. W publac Autory preentuą wyn eperymentu maąceo na celu oreślene pryatnośc metoy raentu prężoneo ora qua-ewtonowe metoy BFGS w aanenu OPF. Preentowane alorytmy prenacone ą o optymalac be oranceń. Moyuąc ena opoweno uncę celu można wymuć aby pouwane rowąane naowało ę w obare opucalnym. Moyaca ta polea na wprowaenu unc ary. Autory proponuą wyorytane ewnętrne lub ybryowe unc ary. Preentowane metoy otały poane anale tetom na potreby realowaneo proetu baawceo 5 3/85. Słowa lucowe: ytem eletroeneretycny moel ytemu OPF optymalaca COMPARISO OF COJUGATE GRADIET AD QUASI-EWTO BFGS ALGORITHMS I THE OPTIMAL POWER FLOW PROBLEM Summary. Solvn te optmal power low (OPF) problem requre enn an obectve uncton an electn an ecent optmaton alortm. Becaue o nonlnearty o te problem tere no nle perect oluton to t. Eac nonlnear problem a to be treate nepenently. Te paper preent reult o a comparon o te conuate raent an te qua-ewton BFGS alortm n te optmal power low problem. Tee two meto are prmarly ue or non-contrane optmaton. However by mocaton o te obectve uncton (by ntroucn a penalty uncton) one can mae tee alortm only earc or a oluton n te contrane pace. Te autor propoe un an eternal or ybr penalty uncton. Te meto preente were analye an tete n te ramewor o te 5 3/85 reearc proect. Keywor: power ytem power ytem moel optmal power low optmaton

2 5 B. Baron A. Paerbe. WPROWADZEIE Optymalaca ytemu eletroeneretycneo et proceem poleaącym na obore tac mocy enerowanyc w węłac wytwórcyc by poryte otało apotrebowane oborców mocy ( uwlęnenem trat w lnac) acowanem możlwe a namneyc trat ora otów. Ze wlęu na użą lcbę elementów (węłów ln) łaaącyc ę na SEE uła równań tanowący potawę proceu optymalacyneo oąa uże romary. Powoue to onecność toowana wyanyc alorytmów optymalacynyc prytoowanyc pry tym o operowana na macerac rac []. Wśró meto numerycnyc nauącyc atoowane w aanu optymalac ytemu eletroeneretycneo (SE) należy alcyć metoę raentu prężoneo (CG). Metoa ta wymaa ena oblcana macery Heeo w ażym rou optymalac. Alternatywą oną uwa et alorytm Broyena-Fletcera-Golarba-Sanno (BFGS) należący o lay meto qua-ewtonowc wanyc też metoam menne metry. Alorytm carateryue ę użą tablnoścą małą wrażlwoścą na błęy mnmalac erunowe ne oryta macery Heeo. W celu apewnena możlwośc analy porównawce uyanyc wynów Autory pretetowal ałane preentowanyc alorytmów wyorytanem eścu tanarowyc etawów anyc tetowyc IEEE. Tety preprowaono w tworonym o teo celu autorm oproramowanu.. SFORMUŁOWAIE ZAGADIEIA OPTYMALIZACJI W oólne potac aże aane optymalacyne można apać natępuąco mn () () mn (3) ma (4) e: () unca celu () unca wetorowa oranceń równoścowyc () unca wetorowa oranceń nerównoścowyc olnyc () () órnyc () ().

3 Porównane wyanośc alorytmów 5 Pouwane optymalneo ropływu mocy w yteme eletroeneretycnym wymaa atem naleena mnmum pewne unc celu (opuące traty w lnac preyłowyc oty wytwarana ener poom bepeceńtwa eletroeneretycneo t.) pry pełnenu oatowyc warunów naywanyc orancenam. Jeżel ałożymy że aanem optymalac et naleene taeo tanu pracy ytemu la tóreo oty wytwarana ener bęą nanże to wówca unca celu et natępuąca: P moc -teo węła wytwórceo. a P b P c (5) a potawe moelu matematycneo ytemu eletroeneretycneo apreentowaneo we wceśneym roale pouwanym weloścam w ta potawonym aanu optymalacynym ą napęca utecne węłowe c ąty aowe ora moce eneratorów. T.. U w.. U P.. P w. (6) U P Zawa ycne acoące w yteme wprowaaą oatowe orancena tóre muą otać uwlęnone w trace pouwana rowąana. Orancena te można poelć na : równoścowe (blanowane mocy we wytc węłac ytemu): P P o Q nerównoścowe (orancena tecncne elementów ytemu): mn ma o (7) P Q U map ma Q mau mai mn P mn Q (8) mn U P Q U I. (9)

4 5 B. Baron A. Paerbe 3. METODA ZEWĘTRZEJ FUKCJI KARY Duża lcba alorytmów optymalacynyc pouue mnmum unc celu be oranceń. Wyorytane c o optymalac orancenam et możlwe pre atoowane tw. unc ary. Funca ta wprowaana et ao oatowy łan unc celu prymue wartość ero wówca y wyte orancena ą pełnone ora wartość węą o era y tóreś oranceń otało prerocone. e K () μ μ mn ma W () mn mn la mn ma mn ma W la () ma ma la - unce oranceń równoścowyc (7) mn mn - unce oranceń nerównoścowyc (8) (9) W(mn ma). -. X mn X ma Ry.. Pryłaowa unca ary W( mn ma) F.. A ample penalty uncton W( mn ma)

5 Porównane wyanośc alorytmów 53 4 MIIMALIZACJA KIERUKOWA ZMODYFIKOWAEJ FUKCJI CELU DLA ZEWĘTRZEJ FUKCJI KARY Do mnmalac moyowane unc otów atoowanem ewnętrne unc ary można toować metoy mnmalac be oranceń. Ze wlęu na naomość potac analtycne raentu te unc nawłaścwym metoam ą metoa raentu prężoneo lub bare wyranowane metoy menne metry a ceólne metoa Broyena-Golarba-Fletcera-Sanno (BGFS). eależne o wyboru tyc meto aża nc wymaa mnmalac erunowe w olenyc roac teracynyc. Dlateo też la potac moyowane unc otów () opracowany bęe poób oboru rou mnmalac w anym erunu. W celu oreślena mnmalac w erunu wetora baa ę uncę K (3) Oreślene rou w erunu wetora można oonać warunu erowana ę pocone unc (3). ' K. (4) Równane (4) e wlęu na parametr rowąuemy prymuąc lnowe pryblżene oranceń równoścowyc nerównoścowyc (5). (6) Dla enowane unc otów (5) c b a (7). a b a b a (8) Uwlęnaąc pryblżena (5) (6) (7) równane (4) prymue potać. (9)

6 54 B. Baron A. Paerbe e () W ma mn '. () Poneważ rua pocona unc et oatna () równana (9) otrymamy ależność opuącą łuość rou. (3) Uwlęnaąc wyrażena () () lcn unc (3) można pretałcć o potac. K (4) Otatecne ro mnmalac erunowe można pretawć a pomocą woru K (5) e wyraża ę worem (). Wyprowaona ależność (5) oreśla poób oboru łuośc rou w erunu wetora może być użyta w alorytme raentu prężoneo. 5. HYBRYDOWA FUKCJA KARY Metoa ewnętrne unc ary powala na tratowane oranceń równoścowyc nerównoścowyc w entycny poób. Metoa wewnętrne unc ary toowana et tylo o oranceń nerównoścowyc. Zatoowane e w ropatrywanym aanenu

7 Porównane wyanośc alorytmów 55 wymaa uwlęnena oranceń w ombnowane wewnętrno-ewnętrne potac unc ary (Facco McCorm) ma mn μ w - K. (6) Koncepca pouwana mnmum unc (6) polea na realac olenyc mnmalac te unc la opowaaącyc m yretnyc monotoncne maleącyc wartośc. Jeżel to otrymane rowąane et pouwanym optymalnym puntem pracy ytemu. Wymaane et ena aby punt tartowy terac należał o boru rowąań opucalnyc e wlęu na orancene nerównoścowe. Teoretycne rec borąc eżel ta punt otał naleony to ne pownnśmy teo obaru opuścć. alepym abepecenem w tac prypaac et roerene wewnętrne unc ary poa obar opucalnyc rowąań. Koncepca Praaa rowąana teo problemu polea na atoowanu natępuące unc ary: ln ln 3 la la (7). μ ma mn - K (8) Punt leana w unc (7) ależy o parametru. Jeżel w procee teracynym to punt leana pownen merać o era a q e.5< q<.5. Parametry oreślaą tałt unc barerowe (7). Jeżel w procee mnmalac moyowane unc otów (8) orancena nerównoścowe pełnaą ależnośc mn la -.. ma ma mn la.. ma mn

8 56 B. Baron A. Paerbe to Praaa proponue pryąć ma natomat parametr pownen pełnać nerówność mn ma MIIMALIZACJA KIERUKOWA ZMODYFIKOWAEJ FUKCJI CELU DLA HYBRYDOWEJ FUKCJI KARY Hybryowa unca ary (poobne a ewnętra unca ary) może być toowana w połącenu raentem prężonym. Wymaa on ena właścweo oboru rou mnmalac erunowe. Potępuąc analocne a w poprenm roale preprowaamy baane unc Φ K (9) Oreślena rou w erunu wetora można oonać warunu erowana ę pocone (3): ' Φ K. (3) Równane (3) e wlęu na parametr rowąuemy prymuąc lnowe pryblżene unc ybryowe oranceń równoścowyc nerównoścowyc. Potawaąc o równana (3) lnowe pryblżene worów na orancene równoścowe (5) ora wór (8) na poconą otrymuemy unce otów e wlęu na parametr. Lnowe pryblżena unc ybryowe (7) we wore na moyowaną uncę otów (8) et równe: mn ' mn mn (3) ma ' ma ma. (3) Pry uwlęnenu pryblżena (5) (8) (3) (3) równana (3) otrymuemy

9 Porównane wyanośc alorytmów 57 ma ' mn ' - (33) e: (34). (35) Po uwlęnenu potawena ma ' mn ' - p. p (36) Poneważ rua pocona unc (9) et oatna (37) równana (33) otrymuemy łuość rou : p. (38) Po uwlęnenu worów (34) (35) wyrażene w lcnu woru (38) można pretałcć natępuąco:. K p p (39)

10 58 B. Baron A. Paerbe Otatecne ro mnmalac erunowe można wyrać worem K (4) e wyraża ę worem (37). Wyprowaona ależność (4) oreśla poób oboru łuośc rou w erunu wetora może być użyta w alorytme raentu prężoneo. 7. GRADIET SPRZĘŻOY Metoa raentu prężoneo należy o rupy eetywnyc meto pouwana mnmum unc welu mennyc. Sorytane te metoy o rowąana ułau równań nelnowyc orancenam wymaa ormułowana opowene unc celu () lub (6). W metoe raentu prężoneo nowy erune pouwań mnmum unc et ta wyberany aby był prężony o wytc poprenc. Proce oblceń prebea w natępuącyc etapac: Etap Zeruemy lcn terac wyberamy punt tartowy erune pouwana rowąana: Etap () X ora wynacamy perwy () () D K ( X ). (4) Doonuemy mnmalac unc K (X ) w erunu D () roem one ależnoścą: X X D ( ) ( ) ( ). (4) Kro oblcamy ależnośc (5) la ewnętrne unc ary lub (4) la ybryowe unc ary. Etap 3 Oblcamy raent unc w punce X (+) ( ) ( ) D K( X ). (43)

11 Porównane wyanośc alorytmów 59 Etap 4 Jeżel ( ) D wówca ońcymy oblcena a punt X (+) et pouwanym rowąanem. Jeżel warune ne et pełnony ne prerocono maymalne lcby terac wówca wynacamy nowy erune pouwań: ( ) ( ) ( ) D K ( X ) D (44) nrementuemy o een lcn terac ora wracamy o etapu. Wytępuący we wore wpółcynn w ależnośc o warantu metoy enowany et natępuącym ależnoścam: w Fletcera-Reevea (FR) w Polaa-Rbèrea (PR) w Hetenea-Steela ( ) T ( D D ( ) T ( ) D D ) ( ) (45) ( ) T ( ) ( ) D D D ( ) T ( ) D D ( ) (46) ( ) T ( ) ( ) D D D ( ) T ( ) ( ) D D D ( ). (47) Teoretycne e wlęu na tablność alorytmu aleca ę toowane ależnośc Fletcera-Reevea pratycne natomat polecana et ena pootałyc wóc ależnośc yż apewnaą one ybą beżność proceu teracyneo. Jeżel aana lcba terac otała prerocona oblcena aońcyły ę nepowoenem. ależy wówca wybrać nny punt tartowy preprować oblcena ponowne. 8. ALGORYTM BFGS W metoe BFGS ałaa ę że unca et loalne aproymowana w otocenu pouwaneo mnmum uncą waratową T T V (48) V - teracyne atualowane pryblżene owrotnośc eanu. Funca oąa mnmum eżel e raent prymue wartość co można apać:. (49)

12 6 B. Baron A. Paerbe Po pretałcenac uyuemy perwy ro poprawy rowąana: V. (5) Zatem nowy punt pouwana prymue wartość one ależnoścą:. (5) Powtaraąc ałane aż o uyana aowalaące ołanośc otrymuemy punt w tórym unca oąa mnmum. Proce ten można apać w ormalowany poób natępuąco: numer terac α V (5) (53) α wpółcynn oberany w celu pełnena warunów Wole a [4]. Cecą caraterytycną teo alorytmu et teracyna buowa macery V a pomocą uż wceśne wyenerowanyc raentów (). Dla metoy Broyena-Fletcera-Golarba-Sanno ontruca ta ma potać: V γ δ T T T T V δ δ (54) T T γ δ γ δ V γ δ γ V V γ δ γ δ (55). (56) 9. EKSPERYMET UMERYCZY Dałane alorytmów raentu prężoneo BFGS pretetowano a pomocą autoreo oproramowana amplementowaneo w ęyu proramowana C++ [5]. W celu uyana puntu pocątoweo aleeo o rowąana tanarowe etawy anyc IEEE moyowano w natępuący poób: Wyte mouły napęć w węłac wytwórcyc oborcyc utalono na poome. p.u. Wytm arumentom napęć naano wartość º. Moce cynne w węłac wytwórcyc utalono na poome p.u. Otrymane wyn apreentowano w tabel I (alorytm BFGS) ora w tabel II (alorytm CG). a ryunac ora 3 pretawono porównane cau poeynce terac ora lcby terac la obywu baanyc alorytmów.

13 Porównane wyanośc alorytmów 6 Tabela Wyn optymalac metoą BFGS la ytemów tetowyc IEEE Lcba węłów m. Lcba terac Ca oblceń Ca ene terac m Wyn optymalac metoą raentu prężoneo (warant Fletcer-Reeve) la ytemów tetowyc IEEE Lcba węłów Tabela * 3 *.m. Lcba terac Ca oblceń Ca ene terac m * - ne oąnęto aane ołanośc Wyn optymalac metoą raentu prężoneo (warant Fletcer-Reeve) la ytemów tetowyc IEEE Lcba węłów Tabela * 3 *.m. Lcba terac Ca oblceń Ca ene terac m * - ne oąnęto aane ołanośc

14 6 B. Baron A. Paerbe Ca ene terac [m] CG (FR) CG (PR) BFGS Ry.. Porównane cau poeynce terac la alorytmów BFGS ora CG F.. A comparon o nle teraton tme or te BFGS an CG alortm Lcba terac CG (FR) CG (PR) BFGS Ry. 3. Porównane lcby terac la alorytmów BFGS ora CG F. 3. A comparon o teraton count or te BFGS an CG alortm Baana preprowaono równeż la warantu Hetenea-Steela ena nawet la 9-węłoweo ytemu tetoweo IEEE ne uało ę uyać rowąana la lcby terac mnee nż.. PODSUMOWAIE Pretawone w artyule eperymenty ą wynem tetowana meto optymalacynyc tóre moą być toowane w aanenu optymalac ropływu mocy w yteme eletroeneretycnym uwlęnenem oranceń: napęcowyc prąowyc ln mocy enerowanyc.

15 Porównane wyanośc alorytmów 63 Z trec pretetowanyc warantów raentu prężoneo ecyowane ne należy toować metoy Hetenea-Steela. awet la naproteo ytemu tetoweo ne uało ę ę te metoe uyać aowalaącyc wynów mmo że ę pootałym wóm metoom wyn tae uało ę oąnąć. Różnce pomęy warantam Fletcera-Reevea Polaa-Rbèrea ą newele ne można enonacne oreślć tóra nc et yba. awęą aletą metoy BFGS et roleły obar beżnośc umożlwaący prowaene aana optymalacyneo w poblże rowąana neależne o utaloneo puntu pocątoweo. Ca realac poeynce terac w prypau alorytmu BFGS et łuży nż w prypau alorytmu raentu prężoneo. Reompenue to nża lcba terac nebęnyc o uyana rowąana. W eece umarycny ca realac wytc oblceń w prypau alorytmu BFGS et róty nż w prypau alorytmu CG. Ponato la baanyc prypaów alorytm BFGS prerwał oblcena w eece oąnęca aane ołanośc oblceń poca y la wóc nawęyc baanyc ytemów tetowyc alorytm CG otał prerwany powou prerocena lmtu lcby terac ne oąnął optymalneo rowąana. BIBLIOGRAFIA. Baron B. Paerbe A. Połom M. Soół R.: Revew o electe pare matr torae ormat. Męynaroowa Konerenca Potaw Eletrotecn Teor Obwoów IC SPETO Pola Utroń 8 CD.. Wt R.: Metoy proramowana nelnoweo. WT Warawa Pre W. H. Teuoly S. A. Vetterln W. T. Flannery B. P.: umercal Recpe 3 r Eton: Te Art o Scentc Computn. Cambre Unverty Pre oceal J. Wrt S. J.: umercal Optmaton. Sprner-Verla ew Yor Baron B. Pąte Ł.: Metoy numerycne w C++ Buler. Wyawnctwo Helon Glwce Kremen Z. Sobera M.: Anala ytemów eletroeneretycnyc. WT Warawa Sanno D.F.: Conuate Graent Meto wt Ineact Searce. Mat. Oper. Re. 978 no. 3 p Powell M.J.D.: onconve Mnmaton Calculaton an te Conuate Graent Meto. Lecture ote n Matematc 984 Vol. 66 p Fletcer R. an Reeve C.M.: Functon Mnmaton by Conuate Graent. Comp J. 964 no. 7 p Glbert J.C. an oceal J.: Global Converence Properte o Conuate Graent Meto or Optmaton. SIAM J. 99 Opt. p. -4.

16 64 B. Baron A. Paerbe. Geore A. an Lu J.W.: Computer Soluton o Lare Spaare Potve Dente Sytem Prentce-Hall Enlewoo Cl ew Jerey 98. Wpłynęło o Reac na 6 runa 9 r. Recenent: Pro. r ab. nż. Wocec Maccyń Abtract A proce o etermnn te optmal tate o a power ytem cont n nn a power eneraton level tat ucent to cover conumer nee an power loe wle eepn tee loe (an power eneraton cot) at a lowet poble level. Becaue o number o element a typcal power ytem cont o a et o equaton ecrbn t tate row very lare. In eect etermnn an optmal power ytem tate requre un ecent alortm an pare matr torae tecnque []. Amon meto ue to olver te OPF problem te conuate raent (CG) meto conere to be ecent an relable. However t meto requre te Hee matr to be recalculate n every tep o te optmaton proce. T avantae can be remee wt te Broyen-Fletcer-Golarb-Sanno (BFGS) qua-ewton alortm. Te BFGS alortm caractere by tablty an low entvty on rectonal mnmaton error. It alo oe not ue te Hee matr. To relably etmate perormance o bot alortm te Autor ave perorme an optmaton proce or tanar IEEE power ytem tet ata. Te paper preent reult o te eperment wt a concluon tat bot te conuate raent an te qua-ewton BFGS alortm can be approprately ue to olve te OPF problem. Te two meto ecrbe are prmarly ue or non-contrane optmaton. However by a mocaton o te obectve uncton (by mean o ntroucn a penalty uncton) one may mae tee alortm to only earc or a oluton n a contrane pace. Te Autor propoe un an eternal an ybr penalty uncton.