Zale noœæ konwergencji wyrobiska górniczego od czasu w górotworze sprê ysto-lepkim na podstawie badañ modelowych

Transkrypt

1 GOSPODARKA SUROWCAMI MINERALNYMI Tom Zeszyt 3/2 AGNIESZKA MAJ* Zale noœæ konwergencji wyrobiska górniczego od czasu w górotworze sprê ysto-lepkim na podstawie badañ modelowych Wprowadzenie Sól kamienna jest materia³em reologicznym takim, w którym z up³ywem czasu nastêpuj¹ ci¹g³e zmiany stanu naprê enia i odkszta³cenia Czas ma wp³yw na zaciskanie wyrobisk, czyli ich konwergencjê Wyniki pomiarów konwergencji wyrobisk w górotworze solnym w d³ugich okresach czasu wykorzystuje siê do weryfikacji modeli geomechanicznych lub w wê szym zakresie, w analizie odwrotnej, do szacowania wartoœci parametrów przyjêtego w modelu równania konstytutywnego W modelowaniu zachowania wyrobisk solnych zwykle stosuje siê modyfikowane prawo pe³zania Nortona Chocia prawo to znane jest w postaci = Aexp( Q/RT) n t m, a w publikacjach przytaczane s¹ ró ne wartoœci wszystkich parametrów tego prawa (Sobczyk, Kortas 2003), zwykle przyjmuje siê m = 1 (np Œlizowski 2006; Flisiak 2005; van Sambeek 1993) oraz n w zakresie 2 5 W 2005 roku przedstawiono zale noœci konwergencji wyrobisk od czasu dla zmiennych wartoœci parametru m (Kortas, Maj 2005), a w 2007 pokazano dobór wartoœci parametrów prawa pe³zania Nortona do wyników konwergencji w OZG Polkowice Sieroszowice z zastosowaniem m<1 (Maj 2007a; Kortas, Maj 2007) Celem tej pracy by³o porównanie stosowania ró nych wartoœci parametrów m i n i przedstawienie ich wp³ywu na konwergencjê powierzchniow¹ chodnika Praca jest kontynuacj¹ badañ nad konwergencj¹ opublikowanych w pracy (Maj 2008) Jej wyniki pos³u ¹ w przysz³oœci do interpretacji wyników pomiarów konwergencji prowadzonych w wyrobiskach chodnikowych kopalñ * Instytut Mechaniki Górotworu PAN, Kraków; maj@img-pankrakowpl

2 98 1 Model fizyczny, matematyczny i obliczeniowy Model fizyczny stanowi materia³ o cechach liniowo sprê ystych w zakresie odkszta³ceñ objêtoœciowych oraz liniowo sprê ystych i lepkich w zakresie odkszta³ceñ postaciowych W modelu matematycznym zastosowano superpozycjê odkszta³ceñ sprê ystych wed³ug prawa Hooke a i lepkich zgodnie z prawem Nortona Równanie konstytutywne prawa Hooke a jest powszechnie stosowane i przytaczane w licznych publikacjach Do opisu procesu pe³zania górotworu solnego stosowane jest zwykle zmodyfikowane prawo potêgowe Nortona dla oœrodka jednorodnego i izotropowego (Prij 1984; Filcek i in 1994; Œlizowski, Urbañczyk 2004; Kortas, Maj 2005) Mo na je przedstawiæ w formie równania: mb t (1) 2 D n D m ij e ij gdzie: D ij ij m ij dewiator naprê enia, D ij ij m ij dewiator odkszta³cenia, m /3 naprê enie œrednie, m /3 odkszta³cenie œrednie, ij symbol Kroneckera, e naprê enie efektywne (2 niezmiennik dewiatora naprê enia), t czas, A, B, n, m sta³e materia³owe modelu opisuj¹cego pe³zanie, przy czym: B = Aexp[ Q/(RT)]; Q energia aktywacji dla procesu pe³zania, R sta³a gazowa, T temperatura Obliczenia numeryczne przeprowadzono programem metody elementów skoñczonych Cosmos/M z modu³em nonlinear Model obliczeniowy wyrobiska o bokach a, b (smuk³oœæ = b/a) wraz z otaczaj¹cym je górotworem stanowi tarcza o wymiarach m (rys 1) znajduj¹ca siê w p³askim stanie odkszta³cenia Tarcza zosta³a podzielona na elementy prostok¹tne czterowêz³owe W obrêbie konturu wyrobiska i w jego bliskim otoczeniu wêz³y rozmieszczane by³y równomiernie Wraz ze zbli aniem siê do brzegów tarczy zmniejszano gêstoœæ siatki (rys 2) Liczba stopni swobody modelu wynios³a Warunki brzegowe to zerowe przemieszczenia w kierunku osi x w wêz³ach na pionowych krawêdziach tarczy i zerowe przemieszczenia w kierunku osi z w wêz³ach na krawêdzi dolnej Górna krawêdÿ tarczy, odpowiadaj¹ca powierzchni terenu, by³a nieobci¹ ona i mog³a siê dowolnie przemieszczaæ Przeprowadzano wstêpne symulacje procesu pe³zania tarczy pod w³asnym obci¹ eniem (co najmniej 1000 lat) w celu uzyskania

3 m Z ~ ~ ~ ~ ~ ~ X a b ~ 400 m ~ 800 m Rys 1 Model geometryczny badanego zagadnienia Fig 1 The geometrical model of the investigated problem Rys 2 Model dyskretny badanego zagadnienia i jego fragment Fig 2 The discrete model of the investigated problem and its fragment litostatycznego stanu naprê eñ pierwotnych 1 = 2 = 3, charakterystycznego dla górotworu solnego Wybieranie z³o a odwzorowano przez jednoczesne usuniêcie wszystkich elementów w obrêbie konturu wyrobiska, po czym kontynuowano symulacje w kilku etapach, odpowiadaj¹cych okresowi zaciskania wyrobiska równemu 1 rok, 2 lata, 5, 10, 20,

4 i 100 lat Kroki obliczeniowe dobierano automatycznie, osobno dla okresu przed usuniêciem elementów i dla ka dego nastêpnego etapu W wyniku obliczeñ programem Cosmos/M otrzymywano przemieszczenia wszystkich wêz³ów we wszystkich krokach obliczeniowych Nastêpnie na ich podstawie wyliczano zmiany pola powierzchni wyrobiska dla ka dego etapu symulacji Ujemne przyrosty pola nazwano konwergencj¹ powierzchniow¹ (Kortas 2004) Tak okreœlona konwergencja powierzchniowa jest syntetycznym wskaÿnikiem opisuj¹cym zaciskanie wyrobiska chodnikowego Zakres analizowanych wartoœci parametrów prawa konstytutywnego by³ zgodny z danymi z literatury W prawie pe³zania (1) wartoœci n zawarte s¹ w zakresie od 2,0 do 6,0 awartoœcim najczêœciej w przedziale od 1,00 do 0,33, choæ niektórzy autorzy podaj¹ wartoœci mniejsze, nawet 0,18 (Sobczyk, Kortas 2003; Colin, You 1990) W laboratoryjnych testach pe³zania otrzymuje siê podobne wartoœci m, an nawet poni ej 2,0 (Flisiak 2005) Zwykle nie rozwa a siê zmiennej w czasie prêdkoœci pe³zania, czyli przyjmuje siê m =1 Przyjmuj¹c wprost wyniki oznaczeñ laboratoryjnych do okreœlania konwergencji drog¹ obliczeñ numerycznych wystêpuj¹ znaczne odchylenia modelowych przemieszczeñ od wartoœci obserwowanych in situ (Dickie i in 1993) Wskazuje siê, e spowodowane to jest problemem skali wymiarów Zaznacza siê, e w³aœciwoœci ska³ okreœlane na ma³ych próbkach w laboratorium ró ni¹ siê istotnie pod wzglêdem iloœciowym od w³aœciwoœci górotworu (np Filcek i in 1994, s 98) Dlatego poszukuje siê tak e metod opartych na wynikach pomiarów w warunkach kopalnianych 2 Konwergencja powierzchniowa wyrobisk w oœrodku o sta³ym m Wczeœniejsze badania zaciskania wyrobisk na drodze obliczeñ numerycznych wykaza³y wp³yw kszta³tu wyrobiska na wartoœæ konwergencji (Maj 2007b, 2008) Badaj¹c wp³yw czasu wybrano do analiz wyrobisko chodnikowe o przekroju kwadratowym Badanie konwergencji poprzedzone zosta³o okreœleniem kryterium przyporz¹dkowywania zadawanym wartoœciom n wartoœci parametru B (1) Wartoœæ B dobierano tak, eby przy naprê eniu efektywnym e = 10 MPa otrzymywaæ jednakowe wartoœci prêdkoœci odkszta³cenia efektywnego d e /dt = 0,47 /rok, przyjêtej na podstawie wczeœniejszych prac dotycz¹cych kopalni Bochnia (Kortas 2004 s 84) Zasadê ustalonego d e /dt w prawie konstytutywnym ilustruje wykres na rysunku 3 Wp³yw wyk³adnika przy naprê eniu n na konwergencjê w funkcji czasu badany by³ dla chodnika o przekroju kwadratu, znajduj¹cego siê na g³êbokoœci H = 400 m w oœrodku o E =5,0GPai = 0,3 Przyjmuj¹c wartoœæ parametru m =1,00 rozpatrywano nastêpuj¹ce wartoœci parametrów B i n prawa pe³zania: 0, Pa 1,5 s 1 i1,5;0, Pa 2,0 s 1 i2,0;0, Pa 2,5 s 1 i2,5;0, Pa 3,0 s 1 i3,0;0, Pa 4,0 s 1 i4,0 Wyniki obliczeñ numerycznych konwergencji powierzchniowej kwadratowego chodnika pokazano na rysunku 4 oznaczaj¹c je krzy ykami; linie ci¹g³e przedstawiaj¹ funkcje aproksymuj¹ce te wyniki

5 101 Rys 3 Okreœlanie wartoœci par B, n prawa Nortona Fig 3 Determination of the value of the B, n parameters of the Norton law Rys 4 Wp³yw wyk³adnika przy naprê eniu n na konwergencjê powierzchniow¹ przy e <10 MPa Fig 4 Effect of the exponent for n stress on areal convergence Wartoœci konwergencji natychmiastowej e p (t = 0) jest jednakowa dla wszystkich rozpatrywanych parametrów B i n Ze wzrostem czasu modu³y (wartoœci bezwzglêdne) rosn¹ Funkcje opisuj¹ce zale noœæ wzglêdnej konwergencji powierzchniowej od czasu p (t)mo - na przedstawiæ prostym wzorem w postaci:

6 102 c p () e t t p c 2 (2) 1 t 0 gdzie c 1 i c 2 s¹ wspó³czynnikami zale nymi od parametru n Ich wartoœci zebrano w tabeli 1 (rozdz 4) Z analizy wymiarowej wynik³a koniecznoœæ wprowadzenia do wzoru (2) sta³ej t 0 = 1 rok Wspó³czynnik c 2 =f(n) dla badanego kryterium w pierwszym przybli eniu mo na zapisaæ w postaci funkcji liniowej n: c2 ( n) ( 1 c) n c, c 10957, (3) Takie same badania przy innym kryterium (d e dt = 3,65 /rok) wykaza³y tak¹ sam¹ postaæ funkcji aproksymuj¹cych wyniki obliczeñ konwergencji (2) z innymi wartoœciami c 1 i c 2 3 Konwergencja powierzchniowa wyrobiska w oœrodku o sta³ym n W poprzednim rozdziale rozpatrywano prawo konstytutywne (1), w którym m=1, czyli prêdkoœæ odkszta³cenia efektywnego nie zale y od czasu przy sta³ej wartoœci naprê enia efektywnego Dla m < 1 prêdkoœæ ta maleje w czasie Aby okreœliæ wp³yw m na konwergencjê przyj¹æ trzeba kryterium doboru parametrów B i m uwzglêdniaj¹ce czas Za³o ono, e dla czasu t =10 lat dla wszystkich par B i m odkszta³cenia efektywne w prawie konstytutywnym (1) bêd¹ jednakowe przy tym samym naprê eniu efektywnym Ilustruje to rysunek 5 Rys 5 Dobór B do wartoœci wyk³adnika czasu m dla e =10MPa Fig 5 Selection of the B value for the time exponent value m for e =10MPa

7 Dla zbadania wp³ywu parametru m na konwergencjê sformu³owano kolejny zestaw zadañ dla n = 3,0 Rozpatrywano (B, m)=(1, Pa 3 s 1,0, 1,0); (8, Pa 3 s 0,9,0,9); (5, Pa 3 s 0,8, 0,8); (4, Pa 3 s 0,7, 0,7); (1, Pa 3 s 0,3, 0,3) Na wykresie (rys 6) pokazano wyniki obliczeñ konwergencji dla ró nych m w kilku krokach czasowych od t =0dot = 100 lat Wspó³czynniki funkcji aproksymacyjnych zebrano w tabeli 1 (rozdz 5) 103 =0,3 =0,7 =0,8 =0,9 Rys 6 Wp³yw wyk³adnika przy czasie m na konwergencjê powierzchniow¹ przy e <10 MPa Fig 6 Effect of the time exponent value m on the areal convergence Zale noœæ wzglêdnej konwergencji powierzchniowej od czasu tak e wyra a funkcja (2) Wspó³czynniki c 1 i c 2 zale ¹ tutaj od parametru m Stwierdzono, e c 2 wpierwszym przybli eniu jest funkcj¹ liniow¹ m: c 2 (m) = 0,747m + 0,010 ok Konwergencja powierzchniowa chodników prostok¹tnych Po wy³onieniu zale noœci funkcyjnych dla chodnika o przekroju kwadratowym wykonano analogiczne obliczenia numeryczne dla chodnika prostok¹tnego o smuk³oœci = 0,25 Zachowano zastosowane wczeœniej kryteria doboru B do parametrów n i m Na rysunku 7 przedstawiono wyniki obliczeñ i funkcje aproksymacyjne dla m =1,0in od 1,5 do 4,0 (linie ci¹g³e) Dodatkowo liniami przerywanymi powtórzono funkcje z rysunku 4 Rysunek 8 obrazuje wyniki obliczeñ dla n =3,0im od 0,3 do 1,0 Wyniki obliczeñ numerycznych aproksymowano funkcjami typu (2) W tabeli 1 zestawiono wartoœci wspó³czynników funkcji aproksymuj¹cych wyniki przeprowadzonych obliczeñ numerycznych dla m = const = 1,0 i n = const = 3,0

8 104 Rys 7 Konwergencja powierzchniowa chodników przy e <10 MPa, m =const Fig 7 Areal convergence of the galleries, m =const Rys 8 Konwergencja powierzchniowa chodników przy e <10 MPa, n =const Fig 8 Areal convergence of the galleries, n = const Wyk³adniki funkcji aproksymacyjnych dobierano tak, aby c 2 dla chodnika kwadratowego i prostok¹tnego by³y jednakowe Konsekwencj¹ tego by³ odpowiedni dobór wspó³czynnika c 1 w poszczególnych aproksymacjach (rys 4, 6, 7, 8 i tab 1) Okaza³o siê, e stosunek wspó³czynników c = kw c 1 / pr c 1 jest w przybli eniu sta³y i wynosi oko³o 0,64

9 105 Zestawienie wspó³czynników funkcji aproksymacyjnych The coefficients of the approximating functions TABELA 1 TABLE 1 m = const = 1,0 n c 2 (n) kw c 1 (n) pr c 1 (n) c = kw c 1 (n)/ pr c 1 (n) 1,5 0,95 1,15 1,81 0,635 2,0 0,91 0,90 1,40 0,643 2,5 0,86 0,77 1,20 0,642 3,0 0,81 0,70 1,10 0,636 4,0 0,70 0,69 1,07 0,645 * indeksy kw i pr oznaczaj¹ chodnik kwadratowy i prostok¹tny œrednio: 0,640 n =const=3,0 m c 2 (m) kw c 1 (m) pr c 1 (m) c = kw c 1 (m)/ pr c 1 (m) 1,0 0,772 4,04 6,25 0,646 0,9 0,674 5,01 7,75 0,646 0,8 0,597 5,68 8,83 0,643 0,7 0,531 6,19 9,59 0,645 0,3 0,239 9,50 14,75 0,644 * indeksy kw i pr oznaczaj¹ chodnik kwadratowy i prostok¹tny œrednio: 0,645 Po otrzymaniu powy szej zale noœci zbadano wyniki obliczeñ prêdkoœci konwergencji powierzchniowej dla ró nych par B i n oraz smuk³oœci chodnika =1,0i = 0,25 pokazanych w pracy (Maj 2008) Prêdkoœæ liczona by³a tam jako przyrost konwergencji w 20 roku zaciskania wyrobiska Dla wszystkich przeprowadzonych tam obliczeñ wartoœæ stosunku zawiera³a siê w przedziale 0,63 0,67 Porównuj¹c te wartoœci z otrzymanymi w ramach tej pracy stwierdza siê, e wartoœæ 0,64 jest niezale na od czasu Wspó³czynniki kw c 1 i pr c 1 s¹ zale ne od n i m, ale ich stosunek jest od nich niezale ny i okreœla relacjê pomiêdzy konwergencjami powierzchniowymi chodników o smuk³oœci kw =1,0i pr = 0,25 Podsumowanie W pracy badano zale noœæ konwergencji powierzchniowej chodnika o przekroju kwadratowym = 1,0 i prostok¹tnym = 0,25 w funkcji czasu Wartoœci parametrów prawa pe³zania Nortona B, n i m (1) by³y dobierane wed³ug kryteriów omówionych w rozdz 3 i 4 Wyniki obliczeñ konwergencji powierzchniowej dla wszystkich rozpatrywanych kombinacji parametrów B, n i m mo na wyraziæ funkcjami w postaci: p (t) e p = c 1 (t/t 0 )c 2

10 106 Wyk³adnik c 2 dla m = const mo na w pierwszym przybli eniu opisaæ liniow¹ funkcj¹ parametru n Wartoœci funkcji malej¹ od 0,95 dla n = 1,5 do 0,70 dla n=4,0 Wyk³adnik c 2 dla n = const mo na w pierwszym przybli eniu opisaæ liniow¹ funkcj¹ parametru m Wartoœci funkcji malej¹ od 0,772 dla m =1,0 do 0,239 dla m=0,3 Wspó³czynniki kw c 1 i pr c 1 s¹ zale ne od n i m, ale ich stosunek jest od nich niezale ny i okreœla relacjê pomiêdzy konwergencjami powierzchniowymi chodników o smuk³oœci kw =1,0i pr = 0,25 Analiza jest kontynuacj¹ prac nad modelem zaciskania wyrobiska chodnikowego w górotworze solnym, odwzorowanym oœrodkiem sprê ysto-lepkim z potêgowym prawem pe³zania LITERATURA C o l i n P, Y o u T, 1990 Salt geomechanics seen through 20 years experience at the Manosque Facility Int Congr SMRI, Pary (materia³y konferencyjne wydane w formie ksi¹ kowej, nieopublikowane) D i c k i e DE, B u l l G S, S e r a t a S, 1993 Rock Mechanics and Mining: Their Interrelationship ot Sifto Canada Inc s Goderich Mine Seventh Symposium on Salt Vols 1 2, Elsevier Science Publishers, s Filcek H,Walaszczyk J,Tajduœ A,1994 Metody komputerowe w geomechanice górniczej Katowice Œl¹skie Wydawnictwo Techniczne F l i s i a k D, 2005 Badania procesów reologicznych w górotworze solnym wywo³anych u ytkowaniem podziemnych magazynów gazu (kier D Flisiak) Projekt badawczy KBN nr 5 T12A , Kraków (maszynopis) K o r t a s G (red), 2004 Ruch górotworu i powierzchni w otoczeniu zabytkowych kopalñ soli Kraków, Wyd IGSMiE PAN K o r t a s G, M a j A, 2005 Modelowanie konwergencji w modularnej strukturze wielopoziomowej kopalni soli Prace Instytutu Mechaniki Górotworu PAN, T 7, Nr 3 4, s K o r t a s G, M a j A, 2007 Zaciskanie wyrobisk w z³o u soli Sieroszowice, modelowanie i geomechaniczna interpretacja pomiarów Przegl¹d Solny, Gosp Sur Min t 23, z spec 1 M a j A, 2007 Okreœlenie konwergencji i w³aœciwoœci lepkich górotworu solnego na przyk³adzie obserwacji w ZG Polkowice Sieroszowice Przeg Górn nr 6, s M a j A, 2007 Salt mine gallery convergence interpretation by means of finite elements method (FEM) Proceedings XIII Int Congr International Society for Mine Surveying, Budapeszt M a j A, 2008 Wp³yw parametrów oœrodka sprê ysto-lepkiego na konwergencjê powierzchniow¹ prostok¹tnego chodnika na podstawie obliczeñ numerycznych Górnictwo i geoin ynieria, Kwartalnik AGH, R 32, z 1 P r i j J, 1994 Finite elementenanalyse am gebirgmechanischen verhalten von steinsalz Sympozjum Górnictwo Surowców chemicznych zbiorniki podziemne œrodowisko naturalne, AGH (wyd), s S o b c z y k J, K o r t a s G, 2003 Okreœlenie wspó³czynników potêgowego prawa pe³zania soli kamiennej na podstawie testów laboratoryjnych Prace Instytutu Mechaniki Górotworu PAN, t 5, nr 3 4, s Œ l i z o w s k i J, 2006 Geomechaniczne podstawy projektowania komór magazynowych gazu ziemnego w z³o- ach soli kamiennej Studia Rozprawy Monografie nr 137, Wyd IGSMiE PAN, Kraków Œ l i z o w s k i J, U r b a ñ c z y k K, 2004 Influence of depth on rock salt effort around the single chamber Kraków, Wyd IGSMiE PAN Van S a m b e e k LL, 1993 Evaluating Cavern Tests and Surface Subsidence Using simple numerical models 7th Symp On Salt, Vol 1, Elsevier, Amsterdam, s

11 107 ZALE NOŒÆ KONWERGENCJI WYROBISKA GÓRNICZEGO OD CZASU W GÓROTWORZE SPRÊ YSTO-LEPKIM NA PODSTAWIE BADAÑ MODELOWYCH S³owa kluczowe Konwergencja chodnika, górotwór solny, oœrodek sprê ysto-lepki, MES Streszczenie Celem tej pracy by³o porównanie stosowania ró nych wartoœci parametrów m i n i przedstawienie ich wp³ywu na konwergencjê powierzchniow¹ chodnika w górotworze solnym Praca jest kontynuacj¹ badañ nad konwergencj¹ opublikowanych w pracy (Maj 2008) Jej wyniki pos³u ¹ w przysz³oœci do interpretacji wyników pomiarów konwergencji prowadzonych w wyrobiskach chodnikowych kopalñ W modelu matematycznym stosuje siê superpozycjê odkszta³ceñ sprê ystych wed³ug prawa Hooke a i lepkich zgodnie z prawem Nortona: = B n t m Obliczenia numeryczne przeprowadzono programem metody elementów skoñczonych Cosmos/M z modu³em nonlinear Model obliczeniowy wyrobiska prostok¹tnego, o bokach a i b w wariancie a=bi a>b, wraz z otaczaj¹cym je górotworem stanowi tarcza o wymiarach m (rys 1) znajduj¹ca siê w p³askim stanie odkszta³cenia Warunki brzegowe to zerowe przemieszczenia w kierunku osi x w wêz³ach na pionowych krawêdziach tarczy i zerowe przemieszczenia w kierunku osi z w wêz³ach na krawêdzi dolnej Górna krawêdÿ tarczy, odpowiadaj¹ca powierzchni terenu, by³a nieobci¹ ona i mog³a siê przemieszczaæ Warunkiem pocz¹tkowym by³ litostatyczny stan naprê enia pierwotnego Wybieranie z³o a odwzorowano przez jednoczesne usuniêcie wszystkich elementów w obrêbie konturu wyrobiska Obliczenia przyrostów pola powierzchni wyrobiska przeprowadzono dla 1 roku, 2, 5, 10, 20, 50 i 100 lat Kroki obliczeniowe dobierano automatycznie, osobno dla okresu przed usuniêciem elementów i dla ka dego nastêpnego etapu Ujemne przyrosty pola nazywa siê konwergencj¹ powierzchniow¹ (Kortas 2004) Obliczenia numeryczne przeprowadzono dla chodnika o przekroju kwadratowym ( = 1,0) i prostok¹tnym ( = 0,25) dla kilku zestawów dobranych wed³ug ustalonych w pracy kryteriów parametrów prawa pe³zania B, n i m (1) Rozwa ano dwa przypadki: n = const i m = const Wyniki obliczeñ numerycznych pokazano na poni szych rysunkach (rys 7 i 8 w artykule) oznaczaj¹c je krzy ykami; linie ci¹g³e ( = 0,25) i przerywane ( = 1,0) przedstawiaj¹ funkcje aproksymuj¹ce te wyniki Wyniki obliczeñ przedstawiono w formie funkcji w postaci: p (t) e p = c 1 (t/t 0 )c 2,gdziec 1 i c 2 s¹ wspó³czynnikami zale nymi od parametru n lub m Ich wartoœci zebrano w tabeli 1 Konwergencja powierzchniowa chodników przy e <10 MPa Analiza wspó³czynników funkcji wykaza³a, e: wspó³czynniki kw c 1 i pr c 1 s¹ zale ne od n i m ale ich stosunek c = kw c 1 / pr c 1 0,64 jest od nich niezale ny i okreœla relacjê pomiêdzy konwergencjami powierzchniowymi chodników o smuk³oœci kw = b/a =1,0 i pr = b/a =0,25, wyk³adnik c 2 dla m = const mo na opisaæ liniow¹ funkcj¹ parametru n: c 2 (n)=1,0957 0,0957n;wartoœci funkcji malej¹ od 0,95 dla n =1,5 do 0,70 dla n=4,0,

12 108 Zestawienie wspó³czynników funkcji aproksymacyjnych m = const = 1,0 n c2(n) kw c1(n) pr c1(n) c = kw c1(n)/ pr c1(n) 1,5 0,95 1,15 1,81 0,635 2,0 0,91 0,90 1,40 0,643 2,5 0,86 0,77 1,20 0,642 3,0 0,81 0,70 1,10 0,636 4,0 0,70 0,69 1,07 0,645 * indeksy kw i pr oznaczaj¹ chodnik kwadratowy i prostok¹tny œrednio: 0,640 n = const = 3,0 m c2(m) kw c1(m) pr c1(m) c = kw c1(m)/ pr c1(m) 1,0 0,772 4,04 6,25 0,646 0,9 0,674 5,01 7,75 0,646 0,8 0,597 5,68 8,83 0,643 0,7 0,531 6,19 9,59 0,645 0,3 0,239 9,50 14,75 0,644 * indeksy kw i pr oznaczaj¹ chodnik kwadratowy i prostok¹tny œrednio: 0,645 wyk³adnik c 2 dla n = const mo na opisaæ liniow¹ funkcj¹ parametru m,ac 2 (m) = 0, ,747m;wartoœci funkcji malej¹ od 0,772 dla m =1,0 do 0,239 dla m=0,3 MODEL RESEARCH OF THE TIME DEPENDENCE OF THE CONVERGENCE OF A MINE GALLERY INTO AN ELASTIC-VISCOUS ROCK MASS Key words Convergence of gallery, salt rock mass, elastic-viscous body, FEM Abstract The present research was aimed at comparing the application of various values of the m and n parameters and then presenting their influence on the areal convergence of the gallery in the salt rock mass The present paper is a continuation of the previous research (Maj 2008) that was conducted on convergence The results of this present research will be useful for interpreting the convergence measurement results in the future that are carried out for the gallery of salt mines The mathematical model applies the superposition of elastic strains according to Hooke s law and viscous strains according to Norton law: = B n t m The Cosmos/M software of the finite element method with a non-linear module was used for the numeric calculations The calculation model of a rectangular (a by b) gallery into two variants: a = b and a > b, together with the surrounding rock mass, constitutes a shield that is 800 m by 800 m (Fig 1 in full text) in a plain strain state The boundary conditions are: zero displacement along the x axis in the nodes on the vertical edges of the shield and a zero displacement along the z axis in the nodes of the lower edge The upper edge of the shield, which corresponds with the area surface, was not loaded and, therefore, was displaceable The initial condition was the lithostatic state of the initial stress The deposit exploitation was represented by the simultaneous elimination of all the elements within the gallery contour The increase of the area of the gallery cross-section was calculated for 1, 2, 5, 10, 20, 50, and 100 years The time steps for the calculations were chosen automatically, in turn separately for the period preceding the elimination of the elements and for each subsequent period The decrease of the area of the gallery cross-section is called areal convergence (Kortas 2004)

13 109 Time t, years Areal convergence of the galleries, e <10 MPa The numeric calculations were carried out for those galleries with a square ( = 10) and a rectangular ( = 025) cross-section for several series of the B, n, and m parameters of creep law (1) that were chosen in accordance with the defined criteria Two options were taken into consideration: n = const and m =constthe results of the numeric calculations are shown in figures below marked with obelisks; the solid lines ( = 025) and dashed lines ( = 10) constitute functions approximating these results The calculation results are presented in the form of a p (t) e p = c 1 (t/t 0 )c 2 function, where c 1 and c 2 are coefficients that depend on the n and m parameters, respectively Their values are shown in Table 1 Comparison of the coefficients of the approximating functions m = const = 1,0 n c2(n) kw c1(n) pr c1(n) c = kw c1(n)/ pr c1(n) 1,5 0,95 1,15 1,81 0,635 2,0 0,91 0,90 1,40 0,643 2,5 0,86 0,77 1,20 0,642 3,0 0,81 0,70 1,10 0,636 4,0 0,70 0,69 1,07 0,645 *the kw and pr indices mean the square and rectangular cross-section of the galleries, respectively average: 0,640 n = const = 3,0 m c2(m) kw c1(m) pr c1(m) c = kw c1(m)/ pr c1(m) 1,0 0,772 4,04 6,25 0,646 0,9 0,674 5,01 7,75 0,646 0,8 0,597 5,68 8,83 0,643 0,7 0,531 6,19 9,59 0,645 0,3 0,239 9,50 14,75 0,644 the kw and pr indices mean the square and rectangular cross-section of the galleries, respectively average: 0,645 It follows from the analysis of these coefficients, that: the kw c 1 and pr c 1 coefficients depend on the n and m but their proportion c = kw c 1 / pr c is independent, and it defines the relation between the areal convergences of the galleries for the slenderness ratios kw = b/a =10and pr = b/a =025, the c 2 coefficient for m = const can be expressed as a linear function of the n parameter: c 2 (n) = n; the function value decreases from 095 for n =15downto070forn=40, the c 2 coefficient for n = const can be expressed as a linear function of the m parameter: c 2 (m) = m; the function value decreases from 0772 for m = 10 down to 0239 for m=03