Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 8 9: Rachunek wariacyjny i hipoteza Keplera

Transkrypt

1 Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 8 9: Rachunek wariacyjny i hipoteza Keplera P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

2 Mit o Dydonie (sztych, Matthias Merian Starszy, 1630) P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

3 Rachunek wariacyjny To dziedzina matematyki, w której chodzi o poszukiwanie optymalnej formy. starożytne korzenie: zagadnienie izoperymetryczne narodziny: 1696, Johann Bernoulli aktywna młodość: XVIII wiek, czasy Eulera i Lagrange a (m.in. początki zagadnienia Plateau, ale nie tylko) druga młodość: środek i druga połowa XX w. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

4 Zadanie izoperymetryczne i stare plany miast Źródło: Braun, Hogenberg, Civitates Orbis Terrarum, P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

9 Zasadniczy cel R.W.: znajdowanie minimów i maksimów takich funkcji, które zależą od nieskończonej liczby zmiennych... Inaczej, z fizycznego punktu widzenia: znajdowanie stabilnych położeń równowagi (minimów energii) takich układów, których pojedynczy stan trzeba opisywać nie za pomocą skończenie wielu liczb, ale za pomocą jednej lub kilku funkcji określonych np. na pewnym podzbiorze przestrzeni Euklidesowej. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

10 Przykład: zagadnienie brachistochrony Johann Bernoulli, 1696, Acta Eruditorum: Ja, Johann Bernoulli, zwracam się do najznakomitszych matematyków na świecie. Dla ludzi inteligentnych nie ma nic bardziej atrakcyjnego od uczciwego, stanowiącego wyzwanie problemu, którego rozwiązanie może zapewnić autorowi sławę i trwały pomnik. Idąc za przykładem Fermata, Pascala etc. mam nadzieję zaskarbić sobie wdzięczność całej społeczności naukowej, stawiając przed najświetniejszymi matematykami naszych czasów problem, który będzie próbą dla ich metod i siły ich umysłu. Jeśli ktoś zakomunikuje mi jego rozwiązanie, zadeklaruję publicznie, że godzien jest pochwały i szacunku. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

11 Zadanie Bernoulliego: krzywa najszybszego spadku Problem: Dane są dwa punkty A i B w płaszczyźnie pionowej; po jakiej krzywej powinien ześlizgiwać się punkt materialny, żeby pod wpływem grawitacji dotrzeć z A do B w najkrótszym czasie? To zadanie rozważał już Galileusz (1638), ale błędnie sądził, że poszukiwana krzywa jest łukiem okręgu; Prawidłowa odpowiedź: krzywa najszybszego spadku to brachistochrona (łuk cykloidy) Rozwiązanie autora zadania: przez analogię z optyką, z wykorzystaniem zasady Fermata. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

12 Współczesne zastosowania rachunku wariacyjnego 1 geodezyjne na powierzchniach i na rozmaitościach 2 powierzchnie minimalne i o stałej / zadanej średniej krzywiźnie (wśród zastosowań: opis kształtów czerwonych krwinek) 3 nowoczesny opis cząstek elementarnych 4 równania materiałów nadprzewodzących 5 modele matematyczne ciekłych kryształów 6... najróżniejsze zastosowania zasady najmniejszego działania P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

13 Powerzchnie Willmore a, 1. Definicja: całka z kwadratu średniej krzywizny jest możliwie najmniejsza Powierzchnie Willmore a są podobne do czerwonych krwinek widzianych pod mikroskopem P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

14 Powerzchnie Willmore a, 2. Inna powierzchnia Willmore a P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

15 Powerzchnie Willmore a, 3. Jeszcze inna powierzchnia Willmore a Pytanie: który z torusów stanowi minimum energii Willmore a? P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

16 Optymalne upakowania Inne zagadnienia z pogranicza geometrii i rachunku wariacyjnego: Hipoteza plastra miodu Problem: czy pszczoły budują komórki plastra w sposób optymalny? Hipoteza Keplera, czyli jak najlepiej układać pomarańcze? P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

17 Wielościan Totha: czego nie wiedzą pszczoły? 1 Z lewej: kształt komórki plastra miodu. 2 Z prawej: wielościan Totha (1964), około 3,5 promila oszczędności powierzchni ścianek przy danej objętości. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

18 Historia hipotezy Keplera, 1. Sir Walter Raleigh ( ): pisarz, poeta, królewski pirat P. Strzelecki (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

19 : kolonizacja Wirginii i Pn. Karoliny P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

20 Thomas Harriot ( ): astronom, matematyk, etnograf : podróż do Ameryki Płn., pobyt na Wyspie Roanoke przy wybrzeżu dzisiejszej Pn. Karoliny : Krótki i Prawdziwy Raport o Nowo Znalezionym Kraju Wirginii... można zatem mieć nadzieję, że pod dobrym rządem uczyni się ich szybko obywatelami i doprowadzi do przyjęcia prawdziwej religii Prace z optyki, mapy Księżyca, badanie plam na Słońcu, atomizm P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

21 Harriot: mapa Księżyca i raport z Wirginii P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

22 Upakowania kul 1591: na życzenie Raleigha (zainteresowanego oszczędnym magazynowaniem kul armatnich), Harriot szykuje tabelę ułożeń kul, podając liczbę kul w stosie w zależności od jego wysokości. W ramach dalszego ciągu raportu dla Raleigha, Harriot bada: teorię sum kwadratów zestaw możliwych ułożeń cząsteczek w kształcie kul P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

23 : korespondencja Harriota z Keplerem Pytanie: dlaczego promień świetlny, padając na powierzchnię przezroczystego ośrodka, zostaje częściowo odbity, a częściowo załamany? Odpowiedź Harriota (we współczesnym języku): bo materia ma strukturę atomistyczną i dlatego gładkie na pozór powierzchnie nie są wcale jednorodne. Kepler: nie (ale później jednak przyjął pogląd atomistyczny) Kepler, : hipoteza o najgęstszym możliwym ułożeniu kul w przestrzeni trójwymiarowej. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

24 Najgęstsze upakowanie kul Przestrzeń wypełniona jednakowymi sześcianami; środki kul w wierzchołkach sześcianów i w środkach ścian sześcianów; kule jednakowe, jak największe. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

25 Te same kule inaczej Po lewej: stos kul. Po prawej: = 14 kul z trzech kolejnych warstw. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

26 Gęstość takiego upakowania? W jednym sześcianie jest 8 fragmentów kul w wierzchołkach i 6 połówek kul o środkach w środku ścian: ( ) πr3 = 16πr3 = A. 3 Przekątna ściany sześcianu = 4r, więc krawędź sześcianu = 2r 2. Objętość sześcianu to (2r 2) 3 = 16r 3 2 = B. Gęstość = A/B = π/3 2 = π/ 18 0, 74. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

27 Różne sposoby układania warstw kul Różne nałożenia trzeciej warstwy kul na dwie warstwy. Z lewej: rytm warstw A, B, C, A, B, C,.... Z prawej: A, B, A, B,... P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

28 Ułożenie HCP (rytm warstw A, B, A, B,... ) Po lewej: podwójna kopuła trójkątna, inaczej J27. W wierzchołkach tej bryły można umieścić 12 kul, dotykających trzynastej, identycznej. HCP: hexagonal close packing P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

29 Ułożenie FCC (rytm warstw A, B, C, A,... ) Po lewej: Kula wpisana w dwunastościan rombowy. Po prawej: dwunastościany rombowe szczelnie wypełniają przestrzeń. FCC: Face centered cubic packing (ułożenie w stos kul armatnich) P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

30 Hipoteza Keplera w XX w. 1900: Hilbert umieszcza hipotezę Keplera na liście swoich problemów, jako problem : Fejes Tóth dokonuje redukcji hipotezy Keplera do skończonego (olbrzymiego) zestawu obliczeń (dość rutynowej natury). 1976: John Milnor pisze: jest rzeczą skandaliczną, że hipoteza Keplera wciąż jest nierozwiązana! P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

31 Zadanie o 12 kulach Zbliżony stary problem: mamy kulę o promieniu 1 w przestrzeni; ile jednakowych kul o promieniu 1 może dotykać jej od zewnątrz, nie przecinając się? Newton: 12. Gregory: 13. (Rację miał Newton). Pierwszy poprawny dowód: van der Vaerden i Schütte, 1953 P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

32 Komórki Woronoja Każdemu upakowaniu jednakowych kul odpowiada rozkład przestrzeni na komórki Woronoja (K.W.). K.W. danej kuli to zbiór punktów położonych bliżej środka tej kuli, niż środka dowolnej innej kuli w danym upakowaniu. Hipoteza dwunastościenna Tótha (1942): komórka Woronoja o minimalnej objętości to dwunastościan foremny opisany na kuli o promieniu 1. Kula wpisana w dwunastościan foremny zajmuje 0, objętości bryły. Tymczasem gęstość upakowań FCC i HCP to 0, 74. Dlaczego? P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

33 Komórki Woronoja Po lewej: 2300 kulek w walcu i ich komórki Woronoja Po prawej: projekt studentów architektury (M. Knauss, S. Oesterle) z Politechniki w Zurychu P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

34 12-ściany foremne nie wypełniają przestrzeni Po lewej: dwunastościan foremny Po prawej: trzy dwunastościany o wspólnej krawędzi. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

35 Hipoteza Keplera w drugiej połowie XX w. 1 Kilka błędnych dowodów (Buckminster Fuller, Hsiang) Thomas Hales i Sam Ferguson: dowód hipotezy Keplera wspierany komputerowo. 3 Objętość dowodu: kilka prac o łącznej długości 250 stron + część wykonywana komputerowo (kilka GB danych... ). 4 Pytanie (wieloznaczne): czy to naprawdę jest dowód? P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

36 Metody i środki w dowodzie Halesa Teoria optymalizacji (liniowej i nieliniowej). Teoria grafów i kombinatoryka. Rozmiary obliczeń: około 10 5 zagadnień programowania liniowego; każde z nich: około zmiennych i warunków do spełnienia. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

37 Czternastościany i pianka Phelana Weaire a Jeszcze inne pytanie: jak dzielić przestrzeń na komórki o jednakowej objętości tak, żeby przeciętne pole powierzchni ścian komórki było minimalne? Lord Kelvin (XIX wiek): brać czternastościany i lekko wyokrąglać ich ścianki Phelan, Weaire, 1993: propozycja lepszego rozwiązania, z dwóch rodzajów dwunastościanów. Phelan i Weaire to fizycy. Motywacją ich poszukiwań były (prowadzone metodą symulacji komputerowych) badania struktury piany i powierzchni ścian w strukturach krystalicznych. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

38 Czternastościany wypełniają przestrzeń Po lewej: czternastościan. Po prawej: dziewięć takich brył. P. Strzelecki (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

39 Model pianki Phelana-Weaire a Pływalnia olimpijska w Pekinie. Hipoteza Kelvina pytanie o podział przestrzeni na jednakowe komórki o najoszczędniejszej powierzchni ścianek jest wciąż otwarta. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

40 Projekt FLYSPECK (2003?) inicjator: Hales, cel: FPK, czyli Formal Proof of Kepler. narzędzia: języki do formalnego dowodzenia i sprawdzania poprawności dowodów (Coq, HOL Light) obecny poziom osiągnięć w formalnym dowodzeniu: można w ten sposób udowodnić twierdzenie Jordana o rozcinaniu płaszczyzny przez krzywą zamkniętą (Hales, styczeń 2005). P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41

41 Quod erat demonstrandum...? The development of mathematics toward greater precision has led, as is well known, to the formalization of large tracts of it, so that one can prove any theorem using nothing but a few mechanical rules. If civilization continues to advance, in the next two thousand years the overwhelming novelty in human thought will be the dominance of mathematical understanding. K. Goedel A. N. Whitehead P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Hipoteza Keplera etc / 41