Metoda elementów skończonych (MES)

Transkrypt

1 Metoda elementów skończonych (MES) Projekt ( wykonany przy wykorzystaniu programu COMSOL Multiphysics 3.4) Prowadzący: Dr hab. Tomasz Stręk Projekt wykonali: Kukiełczyński Piotr Nowak Rafał

2 Spis treści 1. Porównanie przepływu ciepła w ścianie budynku przed i po izolacji Ugięcie wieka trumny pod ciężarem usypanej ziemi Prędkość wypływu cieczy z dyszy w zależności od stosunku jej średnic

3 1. Porównanie przepływu ciepła w ścianie budynku przed i po izolacji. Przedmiotem analizy jest przepływ ciepła przez warstwy oraz skuteczność izolacji cieplnej. Na prostym przykładzie jakim jest izolacja cieplna budynków pokazujemy różnice pomiędzy stosowaniem izolacji oraz jej brakiem. Jest to proste zagadnienie dwuwymiarowe. Ściany budynków są najczęściej ocieplane przy użyciu płyt styropianowych. Styropian to spieniony polistyren. Jest odporny na zawilgocenie i skutecznie izoluje ciepło (przewodność cieplna dla styropianu to 0,042 W/(m K). Sama ściana składa się z warstw cegieł połączonych ze sobą przy użyciu cementu, a także z tynku (może dojść farba, tapeta wraz z klejem itp.). W przypadku zastosowania ocieplenia dochodzą jeszcze: klej do styropianu, styropian, siatka zbrojeniowa, listwy narożne z siatkami oraz kołki, którymi również mocuje się płyty styropianowe do ściany. Na potrzeby projektu model został uproszczony. Przede wszystkim pierwsza warstwa (ściana) została przyjęta jako zbudowana z samych cegieł, tak jak warstwa termoizolacyjna jako sam styropian. Zrobiliśmy tak ponieważ ciężko byłoby ustalić przewodność cieplną dla cementu, bądź kleju, gdyż zależy to przede wszystkim od zmieszania poszczególnych składników tych środków łączących. Siatka natomiast ma głównie umożliwić pokrycie zewnętrznej warstwy izolacji tynkiem. Do obliczeń przyjęto temperaturę w budynku: 22 C (295K), zaś na zewnątrz: -10 C (263K). Różnica temperatur wynosi 32 C [32K]. Z biblioteki COMSOLa wczytano materiał brick (cegła; przewodność cieplna 400W/m K). Rys. 1. Ściana nieizolowana Na powyższym zrzucie ekranowym z programu widać jak ściana oddaje ciepło z budynku. Jest to bardzo niekorzystne zjawisko, gdyż wymaga ciągłego grzania w celu utrzymania 3

4 ciepła w środku. Gdy zastosujemy izolację termiczną uzyskujemy znaczną poprawę co widać na poniższym zrzucie ekranowym. Rys. 2. Ściana z izolacją termiczną w postaci styropianu Dlatego, że w bibliotece COMSOLa nie było polistyrenu (tym bardziej spienionego) musieliśmy znaleźć informację odnośnie przewodności cieplnej styropianu. Znaleźliśmy odpowiednie dane na stronie jednej z hur-towni materiałów budowlanych (firma UNIMEX; w.pl/index.html). Wybraliśmy przewodność dla najzwyklejszej płyty styropianowej. Widać, że ściana Rys. 3. Podanie programowi wartości przewodności cieplnej materiału nie zawartego w bibliotece nagrzała się w całości do zadanych 22 C. Ciepło zostało w niej zatrzymane dzięki warstwie termoizolacyjnej, która zapobiega wychłodzeniu się z budynku (efektywnemu przepływowi ciepła na zewnątrz, gdzie jest go mniej). 4

5 Rys. 4. Porównanie dwóch różnych przypadków (przed i po izolacji) Podsumowanie: Spieniony polistyren bardzo dobrze poradził sobie z zatrzymaniem ciepła. Ściana z powodu swojego dużego przewodnictwa cieplnego oddawała je na zewnątrz. Styropian dzięki niewielkiemu przewodnictwu cieplnemu (0,042 W/(m K)) pozwolił zatrzymać przepływ ciepła. Dokładnie mówiąc: spowolnił tak, że jest to prawie niezauważalne. Dowodem na to jest fakt, że ściana w całości nagrzała się do 22 C (w całym swoim przekroju). Styropian dzięki swej budowie (zamknięte obłe kulki wypełnione pianką polistyrenową, połączone ze sobą, z pustkami powietrznymi między sobą) jest znakomitym izolatorem. W budownictwie wykorzystywany jest od lat. Dzięki samej izolacji cieplnej budynków można zaoszczędzić na ogrzewaniu (ciepło utrzymuje się w nim bardzo długo). Latem zaś ściany nie nagrzewają się tak mocno, jak bez izolacji, dzięki czemu w budynku nie jest zbyt gorąco. Jest to lekki materiał o gęstości ~10 40 kg/m 3. Ta część naszego projektu pokazała jak ważne jest ocieplanie budynków (zarówno pod względem komfortu jak i ekonomicznym). 5

6 2. Ugięcie wieka trumny pod ciężarem usypanej ziemi. Tym razem przeprowadziliśmy zagadnienie 3D dotyczące ugięcia się wieka trumny pod ciężarem ziemi, przyjmując, że trumna spoczywa na głębokości 1,5m. W celu ułatwienia komputerowi analizy zaprojektowaliśmy płaskie wieko o szerokości 730mm i wysokości 2060mm. Rys. 5. Wieko trumny zaprojektowane w programie SolidWorks. Od lewej: widok z góry i z dołu Założyliśmy, że materiałem będzie drewno dębowe. Należy jednak pamiętać, że jest to materiał anizotropowy. Z Małego poradnika mechanika, t.1. wiemy, że gęstość wynosi 710kg/m 3. Poradnik podaje też wartości dopuszczalne na ściskanie, rozciąganie oraz ścinanie w poprzek oraz wzdłuż włókien. Jest też informacja o dopuszczalnym naprężeniu przy zginaniu statycznym (takie Rys. 7. Okno programu, w którym wczytujemy materiał, bądź podajemy wymagane dane jakie występuje w naszym przypadku), jednakże nie interesują nas naprężenia, lecz wartość ugięcia. Jak widać na rys. 6. Comsol pytał jedynie o gęstość, współczynnik Poissona i moduł Younga. Znaleźliśmy potrzebne dane i pozostało jedynie obliczyć ciśnienie działające na trumnę: [ ] (1) 6

7 gdzie p to ciśnienie, Q ciężar usypanej ziemi, a P to powierzchnia wieka. Ciężar opisuje się wzorem: gdzie m jest masą, natomiast g jest przyspieszeniem ziemskim (g=9,81m/s 2 ). Masę możemy policzyć z kolei wzorem: (3) gdzie ρ jest gęstością usypanej ziemi, V jej objętością (spoczywającą na wieku trumny), zaś h głębokością. Podstawiając wzór (3) do (2), a później (2) do (1) otrzymujemy: (2) (4) Jak widać nie musimy znać powierzchni wieka, wystarczy głębokość h=1,5m, przyspieszenie ziemskie oraz gęstość ρ=2620kg/m 3. Po podstawieniu danych do wzoru uzyskujemy ciśnienie 38553,3Pa ( MPa). Rys. 8. Zrzut ekranu pokazujący ugięcie oraz pokazujący miejsca największego ugięcia wieka trumny 7

8 Maksymalne ugięcie wyniosło 5, m (0,1154mm) co było dla nas zaskoczeniem. Grubość ścianek wieka przyjęliśmy jako 30mm. Prawdopodobnie wynika to z niewielkiego ciężaru jaki spoczywa na wieku. Dobrze natomiast przewidzieliśmy miejsce największego ugięcia sam środek wieka w miejscu przecięcia się płaszczyzny symetrii wieka z największą jego szerokością. Podsumowanie: Wieko ugięło się najmocniej w jego centralnej części, co było zgodne z naszymi przewidywaniami. Ugięcie jest niewielkie, bo niewielka działa na nie siła w stosunku do powierzchni. Zależy od rodzaju gruntu (przyjęliśmy w obliczeniach gęstość ziaren kwarcu), oraz od głębokości na jakiej trumna została zakopana. Trumna ma za zadanie chronić zwłoki (ciało zmarłego), dlatego powinna wytrzymać ciężar spoczywającej na niej ziemi. Powinna także być odporna między innymi na wilgoć. Ze względu na szacunek do zmarłego nie zakopuje się go bezpośrednio pod ziemią, lecz zawsze umieszcza się go w trumnie. 3. Prędkość wypływu cieczy z dyszy w zależności od stosunku jej średnic. Przedmiotem analizy są dwie dysze o stosunkach średnic 1/2, 1/3 i 1/4. Zadając różne wartości prędkości na wejściu, chcemy pokazać zależność prędkości cieczy na wyjściu od prędkości na wejściu oraz różnicy średnic. Można to przedstawić w zagadnieniu dwuwymiarowym. Dokonując tej analizy policzymy prędkości wypływu dla początkowych jej wartości: 10, 15, 20, 25 oraz 35m/s, a następnie wyniki przedstawimy na wykresie. Z przepływem przez dyszę często spotykamy się np. korzystając z węży ogrodowych. Jest to zjawisko towarzyszące nam przez sporą część naszego życia, dlatego postanowiliśmy to przedstawić w naszym projekcie. Wczytując z biblioteki Comsola materiał water (woda), program nie potrafił sobie poradzić z obliczeniami. Dlatego wpisaliśmy jej gęstość i lepkość dynamiczną (ρ=1000kg/m 3, η=1, Pa s). Rys. 9. Podajemy dane dotyczące materiału przepływającego przez dyszę. 8

9 Zaczęliśmy od dyszy o stosunku średnic 1/2, następnie zwiększaliśmy różnicę między średnicami wlotu i wylotu dyszy. Poniżej znajdują się zrzuty ekranowe z prędkością wlotową cieczy do dyszy v=30m/s oraz wykres końcowy utworzony na podstawie uzyskanych wartości prędkości wylotowej cieczy z dyszy. Rys. 10. Wynik dla dyszy o stosunku średnic 1/2 Rys. 11. Wynik dla dysz o stosunku średnic 1/3 9

10 Prędkość wylotowa [m/s] Rys. 12. Wynik dladyszy o stosunku średnic 1/4 (na tym zrzucie przedstawiono wynik dla prędkości początkowej v=25m/s) 120 Prędkość wylotowa wody z dyszy w zależności od prędkości wlotowej oraz stosunku średnic dyszy Stosunek 1/2 Stosunek 1/3 Stosunek 1/ Prędkość wlotowa [m/s] Nie udało się policzyć dla prędkości wylotowej dla dyszy o stosunku średnic 1/4 przy prędkości początkowej v=30m/s. Comsol wyrzucił błąd Failed to find a solution: Maximum number of Newton iterations reached. Returned solution has not converged. Jednakże od razu widać, że niezależnie od stosunku średnic dyszy zależność między prędkościami wlotową oraz wylotową jest liniowa. Podsumowanie: Stosunek prędkości wlotowej do wylotowej jest zależnością liniową. Wraz ze wzrostem różnic między średnicami prędkość wzrasta jeszcze bardziej. Można zauważyć, że: 10

11 Stosunek średnic dyszy 1/2 1/3 1/4 Średnia krotność wzrostu prędkości na wejściu 2,26 3,38 4,51 Jak widać, kontrolując prędkość początkową cieczy w dyszy lub jej średnice, możemy dowolnie sterować prędkością strumienia cieczy na wylocie dyszy. Oddzielną kwestią pozostaje ciśnienie panujące w dyszy. Na powyższych zrzutach ekranowych widać też, że przy ściankach dyszy prędkość cieczy jest praktycznie równa zero. Wynika to z lepkości cieczy, czyli jej tarcia wewnętrznego. Z powodu istnienia lepkości, przekrój prędkości cieczy przez dyszę, kanał itp. zawsze będzie miał rozkład taki jak na rysunku 13. Rys. 13. Rozkład prędkości cieczy 11