ANALIZA MES MKEB NIELINIOWEGO PROBLEMU WSPÓ DZIA ANIA AWY FUNDAMENTOWEJ Z POD O EM GRUNTOWYM. 1. Wprowadzenie

Transkrypt

1 Górnctwo Geon ynera Rok 34 Zeszyt Pawe Fedczuk* ANALIZA MES MKEB NIELINIOWEGO PROBLEMU WSPÓ DZIA ANIA AWY FUNDAMENOWEJ Z POD O EM GRUNOWYM 1. Wrowadzene Zwykle w oblczenach numerycznych wykorzystuje s ojedyncze klasyczne metody oblczenowe, take jak metoda elementów sko czonych [1] elementów brzegowych [2]. Rzadko sotyka s zastosowana kombnacj obu tych metod, leej wykorzystuj ce ch zalety. W nnejszym oracowanu rezentuje s koncecj zastosowana kombnacj metod elementów sko czonych (MES) kontaktowych elementów brzegowych (MKEB) do analzy trójwymarowego roblemu wsó dza ana uk adu awa fundamentowa-od o e gruntowe, z uwzgl dnenem sr ysto-lastycznych w asno c gruntu w od o u. aw fundamentow modeluje s zgodne z zasadam erwszej metody [1], natomast od o e gruntowe w sosób w a cwy dla drugej. MKEB stanow odman klasycznej wersj metody elementów brzegowych [2], w której fundamentalne rozw zane Kelvna dla rzestrzen sr ystej zast one jest kombnacj rozw za roblemów Boussnesqa Ceruttego dla zotroowej jednorodnej ó rzestrzen sr ystej. Zastosowane rezentowanej kombnacj ograncza s do fundamentów soczywaj cych na jednorodnym geologczne od o u gruntowym. Zakres nnejszego oracowana obejmuje odstawy teoretyczne tej kombnowanej metody rozw zana, uwzgl dnaj ce sformu owane wyrowadzene odstawowych zale no c oraz rezentacj sosobu ch rozw zana, wykorzystuj cego technk rzyrostowo-teracyjn, oart na metodze Rahsona-Newtona [5, 6]. Zachowane awy modeluje rawo Hooke a, natomast gruntu w od o u sr ysto-lastyczny model Modfed Cam- Clay [7]. Postawy teoretyczne uzue na rzyk ad oblczenowy, lustruj cy zastosowane tej metody analzy. * Katedra Geotechnk Geodezj, Wydza Budownctwa, Poltechnka Oolska, Oole 231

2 2. Za o ena uraszczaj ce awa jest fundamentem bezo rednm, osadowonym w jednorodnym geologczne od o u gruntowym, modelowanym rzez jednorodn ó rzestrze. Dyskretyzuje s j zgodne z zasadam MES [1], zast uj c uk adem r towych elementów sko czonych, natomast od o e stosowne do zasad MKEB [4, 5], wycnaj c z ó rzestrzen rostoad o can o wymarach dostosowanych do rozmarów awy. Powerzchn brzegow wyc tej bry y w obszarze kontaktu z fundamentem dzel s na regularny uk ad rostok tnych elementów kontaktowych o rodkach okrywaj cych s z w z am elementów MES, tworz cych struktur awy. Wn trze rostoad o canu modeluje struktura rostoad o cennych komórek (cel o jednym w le umeszczonym w rodku), skoordynowana z satk elementów brzegowych. Obc ene awy stanow zestaw rzyrostów, symuluj cych roces jego narastana. 3. Przyrostowe sformu owane roblemu Ka dy ze sk adnków uk adu awa fundamentowa-od o e gruntowe rozatrywany jest oddzelne, stosowne do rzyj tej metody analzy. awa analzowana jest w sosób w a cwy dla MES, natomast od o e zgodne z zasadam MKEB. Z o ene otrzymanych oddzelne równa równowag daje komleksow zale no dla ca ego uk adu. Przedstawone sformu owane uj te jest w forme rzyrostowej. Zastosowane MES [1] do analzy awy fundamentowej daje wyj cow osta równana rac rzygotowanych. U yce MKEB [4, 5] do analzy od o a z uwzgl dnenem odza u rzyrostu deformacj na cz c sr yst lastyczn oraz oddzelnym ch zdefnowanem, daje komletne równane, okre laj ce rzyrost uogólnonego rzemeszczena du( ) w unkce brzegu ó rzestrzen (wywo anego rzyrostem obc ena dq(x) w unkce x aszczyzny grancznej). Uzue na je uogólnona zale no transformacyjna [3, 4]. worz one razem zestaw trzech zale no c: u dp u d + # d BddS = #" LB6duB^xh@, D e BLBduBdV ^Sh e du^h= du ^h+ du ^h= 6G^x, h@ dq^xhda + 6C^z, h@ dv' ^zhdv dub^xh= du^xh ^Vh # # (1) ^Ah w których: u, u B oznaczaj uogólnone wrtualne rzemeszczena w z owe owerzchnowe, dp, d rzyrosty uogólnonego obc ena skuonego owerzchnowego, du B, d B rzyrosty sk adnków uk adu: w z owego rzemeszczena lastycznej cz c nar ena. L B D B e to odowedno oerator macerzowy ochodnych macerz konstytutywna sr ysto- c. Sk adowym macerzy Greena G(x, ) s rozw zana zagadne Boussnesqa Ceruttego. Macerz rzemeszcze C(z, ) defnuje oeracja LG(z, ) (gdze L to macerzowy oerator ochodnych), d (x) oznacza lastyczny rzyrost nar ena, a macerz transformacj. ^Vh 232

3 4. Równane równowag uk adu Zastosowane do zdyskretyzowanej struktury awy standardowych formu MES na uogólnone rzemeszczene u B (x) macerz odkszta ce B B (x), oraz zast ene obc ena c g ego d ekwwalentnym obc enem skuonym dq srowadza wyra ene (1.a) do ko cowego równana równowag MES dla tej substruktury: dp = KBduB dp = dp+ dq = dp+ dds K B = # ^Vh B BD e BB B dv # ^Sh (2) W rzyadku od o a rozw zane wymaga oddzelnego otraktowana cz c sr ystej lastycznej ko cowego równana (1.b). Wyra ene rzyrostu obc ena dq(x) w dowolnym elemence kontaktowym (k) tyow dla MES formu nterolacyjn dla j w z ów elementu (k), rzekszta ca równane Somglany (erwszy fragment relacj (1.b)) w zale no okre laj c lnowo-sr yst cz rzyrostu rzemeszczena w w le elementu kontaktowego (): / # / / du e = 6G^x, h@ 6N j^xhidq k j@ dak = Ajdq ^kh ^Akh ^ jh ^jh j (3) gdze A j elementarna macerz odatno c od o a. Plastyczn cz rzemeszczena w w le elementu kontaktowego () okre la druga cz zale no c (1.b), w której o o ene komórk (h) ustalaj wsó rz dne z: / # du = C ^z, h dv' ^zhdvh ^hh ^Vhh (4) Pe ny rzyrost rzemeszczena w w le okre la równane z o one z zale no c (3) (4), które o uogólnenu na wszystke w z y struktury od o a daje zw zek: du = Adq+ du = Adq+ dw (5) Wstawa s go o rzekszta cenu do zale no c na rzyrost s w z owych df g, otrzymanej z zasady rac rzygotowanych, uzyskuj c relacj : 1 dfg = Kdq = KA - ^du-dwh (6) Ko cowe równane równowag dla od o a defnuje zale no : 233

4 dfg = Kgdu-dF -1-1 Kg = A = KA df = KgdW (7) w której K g to macerz sztywno c od o a, df lastyczna cz rzyrostu s w z owych, a macerz owerzchn brzegowych elementów kontaktowych. Integracja ca ego uk adu awa fundamentowa od o e gruntowe wymaga z o ena równa (2) (7) z uwzgl dnenem zale no c transformacyjnej (1.c). Przyrost s w w z ach rozwa anego uk adu dr równowa y suma reakcj: dr = dp+ dfg = KBduB+ ^KGdu- df h = KgduB+ 6 Kg^ dubh (8) Po elementarnych rzekszta cenach otrzymuje s ko cowe równane równowag dla ca ego uk adu: Ku d B = dr+ df K = KB+ Kg df = df (9) w którym K oznacza globaln macerz sztywno c uk adu, natomast df srowadzony rzyrost s w z owych. 5. Procedura rzyrostowo-teracyjna Do rozw zana ró nczkowego równana równowag (9) dla analzowanego zagadnena wsó dza ana uk adu awa fundamentowa-od o e gruntowe, stosuje s technk numeryczn, oart na metodze Newtona-Rahsona. Algorytm oeracyjny tej rzyrostowo-teracyjnej rocedury (wykorzystuj cej sta styczn macerz sztywno c uk adu K) obejmuje: (l) 1) odza obc ena R na szereg rzyrostów dr =1 ( rzyj ce kroku rzyrostowego l = 1), 2) utworzene (w teracj = 1 kroku l) macerzy sztywno c substruktury awy fundamentowej K B, od o a K g ca ego uk adu K, 3) oblczene rzyrostów rzemeszcze s w z owych, oraz aktualzacj rzemeszcze s w z owych: du -1 ^ l h -1 B = K dr = 1 du = dub dfg = Kgdu ^ u l ^ B u l -1 ^ l ^l-1 ^ B dub u u du F l ^ g F l -1 = + = + = g + df h h h h h h (10) g 4) wyznaczene (w teracj = + 1) rzyrostu nar e d w rodkach komórek od o a (wywo anego obc enem elementów kontaktowych df g ) odowadaj cego m rzyrostu odkszta ce d : df = ^ D e - h 1 dv' (11) 234

5 5) oblczene (w rodkach komórek od o a) cz c lastycznej rzyrostu nar e d odkszta ce d dla sr ysto-lastycznego modelu gruntu, 6) okre lene korekty rzemeszcze w rodkach elementów kontaktowych d srowadzonej lastycznej cz c rzyrostu s w z owych df : dw = Ct dv' = c C dv mdv' df = ^KgdWh V # (12) (l) 7) wyznaczene wektora obc e resdualnych dla ca ego uk adu dr z zale no c: dr ^l h = df (13) 8) oblczene rzyrostów rzemeszcze s w z owych oraz aktualzacj rzemeszcze obc ena wed ug relacj: du -1 ^ l h B = K dr, u l B u l -1 = B + dub, -1 du = dub, dfg = Kgdu l l-1 u u du, F l g F l -1 = + = g - df + Kgdu ^ h ^ h ^ h ^ h ^ h ^ h (14) 9) srawdzene warunku zbe no c oblcze : du du 6 B@ B = x6dub@ du 1 1 B (15) gdze: du B1, du B rzyrosty rzemeszcze wywo ane odowedno rzeczywstym kolejnym resdualnym rzyrostem obc ena fundamentu, sta a rz du wymagaj cego w rzyadku: nese nena realzacj oblcze od unktu (4) dla nast nej teracj, se nena kontynuacj oblcze od unktu (2) (w kroku l = l + 1) dla nast nego rzyrostu obc ena dr (l) (lub ch zako czena), orzedzon aktualzacj arametrów model. Cz c lastyczne rzyrostów nar e odkszta ce dla sr ysto-lastycznego modelu gruntu ustala s w kroku (5) za omoc rocedury Nayaka-Zenkewcza [6]. Numeryczn mlementacj odanego algorytmu stanow autorsk rogram S2BF nasany w j zyku Fortran. Uzue na go ara dodatkowych rogramów: S2BFa edytor danych wynków oraz S2BFb wyznaczaj cy w rodkach komórek ocz tkowe warto c wektora nar e erwotnych, arametrów modelu gruntu, globalnej macerzy ca k z macerzy rzemeszcze (dla jednostkowych obc e elementów brzegowych) sk adowych funkcj zanku nar e (dla jednostkowych nacsków onowego ozomego na kontaktowe elementy). 235

6 6. Modele konstytutywne medów Zachowane awy fundamentowej modelowanej rzez belkowy ustrój r towy osuje lnowo sr yste rawo Hooke a, secyfkowane rzez ar sta ych matera owych: modu odkszta cena matera u E B wsó czynnk Possona v B. Zachowane gruntu w rodku dowolnej komórk od o a osuje sr ysto-lastyczny model Modfed Cam-Clay [7] o owerzchn lastyczno c rawe wzmocnena (w cym aktualne warto c c nena rekonsoldacj c wska nka orowato c e zdefnowanych równanam: 2 2 Fq ^, h = q+ M ^ -ch e0 -e-l ln^ c c ex c0h = 0 ; E m- l (16) gdze: M nachylene ln stanu krytycznego, q, nar ene cnaj ce redne, c c nene rekonsoldacj,, sta e modelu, e 0, c0 ocz tkowe warto c wska nka orowato c c nena rekonsoldacj. Wn trze owerzchn lastyczno c modeluje lnowo-sr yste zachowane gruntu, secyfkowane rzez modu odkszta cena E wsó czynnk Possona v dla gruntu od o a. 7. Przyk ad oblczenowy Do lustracj zastosowana osanej koncecj analzy MES-MKEB trójwymarowego roblemu wsó dza ana uk adu awa fundamentowa od o e gruntowe wybrany zosta rzyk ad awy fundamentowej (rys. 1, rezentuj cy o ow symetrycznego uk adu) o d ugo c 10 m rostok tnym rzekroju orzecznym 0,4 1,0 m, osadowonej na g boko c 1,0 m on ej ozomu terenu w jednorodnym od o u z asku. Obc a j uk ad 3 onowych s skuonych rozmeszczonych symetryczne. Modeluje j ustrój r towy zbudowany z 10 jednakowych elementów r towych o d ugo c L = 1,0 m charakterystyce geometrycznej: olu rzekroju F B = 0,5 m 2, momence bezw adno c J B = 0, m 4. Pod o e modeluje rostoad o cenna bry a z o ona z 2880 komórek rozmeszczonych symetryczne. Obszar kontaktu od o a z aw odzelony jest na 11 brzegowych elementów kontaktowych o wymarach 1,0 1,0 m. Zachowane betonowej awy osuje rawo Hooke a, natomast asku sr ysto-lastyczny model Modfed Cam-Clay [7]. Parametry obu model wysecyfkowane s w tabel 1. Obc ene odzelone zosta o na 9 jednakowych rzyrostów, narastaj cych stosowne do schematu krokem co 0,1P (w stosunku do bazowej warto c P = 100 kn). 236

7 Rys. 1. Schemat substruktur awa fundamentowa od o e gruntowe ABELA 1 Parametry model matera u awy gruntu od o a E b [kpa] v b E [kpa] v m , ,3 1,348 0,034 0,17 Rys. 2. Wykresy: (a) momentów zgnaj cych, (b) nacsków, (c) osada, (d) charakterystyka nacsk-osadane 237

8 Wynk oblcze (wykonanych za omoc rogramu S2BF) rzedstawono na rysunku 2. Zaweraj one komlet charakterystyk (ogranczonych do o owy symetrycznego uk adu), obejmuj cych narastaj ce w kolejnych 9 rzyrostach rozk ady momentów zgnaj cych, onowych nacsków osada brzegu od o a od aw. Dla dwóch rodków elementów kontaktowych (le cych od w z am awy (3) (5)) wykre lona zosta a charakterystyka nacsk osadane. Wzrostow obc ena awy fundamentowej towarzyszy narastane wykresów momentów osada (stonowo rosn cych od rodkem malej cych od ko cam), oraz bardzej z o ony rzyrost nacsków od aw (charakteryzuj cy s ocz tkowo zdecydowane szybszym ch narastanem od rodkem n na ko cach, z ó nejszym odwrócenem trendu tzn. szybszym rzyrostem od ko cam n od rodkem). Charakterystyk nacsk-osadane (dla rodków elementów brzegowych le cych od w z am awy (3) (5)) o ocz tkowo rawe lnowym fragmence, maj ó nej zdecydowane nelnowy kszta t. 8. Podsumowane Przedstawona koncecja analzy MES-MKEB trójwymarowego roblemu wsó dza- ana uk adu awa fundamentowa od o e gruntowe stanow efektywne narz dze oblczenowe. Posada ona szereg zalet, których ozbawone s stosowane klasyczne metody sk adowe. Najstotnejsz z nch jest znaczne ogranczene rozmarów macerzy sztywno c uk adu g ównego uk adu równa do w z ów substruktury awa fundamentowa od o e, uwzgl dnaj cej jedyne w z y kontaktowe od o a. Dalszy rozwój metody wymaga uwzgl dnena nejednorodno c geologcznej od o a. LIERAURA [1] Zenkewcz O. C., aylor R.L.: he Fnte Element Method. Fourth Edton, Vol. 1 & 2, McGraw-Hll Book Comany, London 1991 [2] Banerjee P.K., Butterf eld R.: Boundary Element Methods n Engneerng Scence. McGraw- Hll Book Comany, London 1981 [3] Cheung Y.K.: Beams, Slabs and Pavements, [w:] Desa Ch. S. and Chrstan J.., Numercal Methods n Geotechncal Engneerng, McGraw-Hll Book Comany, New York 1977, [4] Gryczma sk M.: Metoda elementów kontaktowych jej zastosowane do oblczana belek na ó rzestrzen sr ysto-lekolastycznej, Zeszyty Naukowe WSI w Oolu, Budownctwo z. 21, Nr 97/1984, Oole 1984, s [5] Fedczuk P.: awa fundamentowa na od o u nelnowo odkszta calnym. Praca doktorska, Wy sza Szko a In ynerska w Oolu, Oole 1992 [6] Nayak G.C., Zenkewcz O.C.: Elasto-lastc Stress Analyss. A Generalzed for Varous Consttutve Relatons Includng Stran Softenng. Internatonal Journal for Numercal Methods n Engneerng, Vol.5, 1972, [7] Roscoe K.H., Burland J.B.: On the Generalzed Stress-stran Behavor of wet Clay. [w:] Heymann J., Lecke F. A., Engneerng Plastcty, Cambrdge Unversty Press, 1968,