Pomiary i jednostki. Wynik pomiaru. Jeżeli powiesz koledze, że zmierzona przez ciebie długość wynosi

Transkrypt

1

2 Pomiary i jednostki Odrysuj na kartce brystolu kształt swojej lewej stopy. Wytnij go i zmierz linijką długość. Napisz swoje imię, nazwisko i zmierzoną długość (w centymetrach). Określ, korzystając z poniższych numeracji, jaki masz numer buta. Wyniki zapisz na odrysowanej stopie. Przynieś ją na lekcję. Wynik pomiaru. Jeżeli powiesz koledze, że zmierzona przez ciebie długość wynosi 100, to może on jedynie zgadywać, czy chodzi o 100 metrów, 100 centymetrów itp. Wynik pomiaru powinien być wyrażony w określonych jednostkach. Długość stopy najwygodniej podać w centymetrach. Jednak kupując buty, należy poprosić o odpowiedni rozmiar w numeracji używanej przez danego producenta. Różne jednostki. Używane dawniej jednostki odpowiadały zazwyczaj wymiarom niektórych części ciała człowieka. Tak powstały między innymi stopy, cale, piędzi i łokcie. Jednak na przykład długości stóp poszczególnych osób różniły się często dość znacznie, co prowadziło do nieporozumień. Aby ich uniknąć, starano się precyzyjniej określać jednostki. Na przykład w XVI wieku w jednym z niemieckich miast co tydzień wyznaczano obowiązującą długość stopy. W tym celu mierzono długości lewych stóp szesnastu kolejnych mężczyzn, którzy wychodzili z niedzielnej mszy, i uśredniano wynik. 10

3 ĆWICZENIE. Ułóżcie jedna za drugą 16 wyciętych z brystolu stóp. Odmierzcie sznurkiem otrzymany odcinek. Następnie złóżcie sznurek cztery razy na pół w ten sposób otrzymacie średnią długość stopy grupy uczniów z waszej klasy. Zmierzcie tę długość linijką. a) Jaka była największa różnica długości wyciętych stóp? b) Czy średnia długość stopy wyznaczona w równoległej klasie będzie bardzo się różniła od wyznaczonej przez was? Wzorzec długości obowiązujący w danym mieście był często wmurowywany w ścianę ratusza lub kościoła, aby dla każdego był łatwo dostępny. Jednak nadal w wielu krajach, a nawet miastach, obowiązywały różne jednostki (np. stopa angielska miała 30,48 cm, a polska 28,8 cm). Coraz częstsze kontakty międzynarodowe wymagały ujednolicenia jednostek w skali światowej. Nasza jednostka. Wyobraźmy sobie, że wasza klasa chciałaby, aby to średnia długość waszych stóp była wzorcem długości. Musielibyście w tym celu wykonać wzorce długości waszej średniej stopy i rozesłać je jak największej liczbie ludzi. Gdyby przekonali się oni do nowej jednostki, wkrótce zaczęto by produkować linijki stopowe, na których odmierzone byłyby w równych odstępach odcinki długości 1 NS (Nasza Stopa). Niestety, koledzy z innej szkoły najprawdopodobniej twierdziliby, że to ich stopa jest lepsza. Dlatego szansę na większe powodzenie miałaby raczej nowa jednostka, niezwiązana z dotychczas używanymi. Podstawowe jednostki. Po Rewolucji Francuskiej podjęto we Francji prace nad stworzeniem nowych jednostek. W tym celu powołano specjalną komisję, która zaproponowała, aby za wzorzec długości przyjąć część odległości od równika do bieguna Ziemi. Wzorzec ten nazwano metrem. Metr wkrótce zaczął wypierać inne jednostki i rozpowszechnił się na całym świecie. Również inne wielkości, m.in. masa, doczekały się wzorców swoich jednostek. Ostatecznie doprowadziło to do utworzenia układu jednostek akceptowanego obecnie na całym świecie. Układ ten nazywa się Międzynarodowym Układem Jednostek Miar SI. Podstawowymi jednostkami w tym układzie są m.in. metr, kilogram i sekunda. CIEKAWOSTKA Obecnie przyjmuje się, że jeden metr to odległość, jaką pokonuje 1 światło w próżni w czasie sekundy. 11

4 Jest to tzw. metryczny układ jednostek, w którym stosuje się dziesiętne wielokrotności i podwielokrotności jednostek. Przykładowo, 1 km = 1000 m, 1 dm = 0,1 m. Często używa się również jednostek nienależących do układu SI. Na przykład w USA odległości podaje się w milach, a masy w funtach. Znajomość zależności pomiędzy tymi jednostkami a jednostkami układu SI może okazać się przydatna. Przykłady takich zależności podano na str Wielkość Jednostka Skrót długość metr m masa kilogram kg czas sekunda s Niepewność pomiaru. Każdy pomiar jest wykonywany z pewną dokładnością, zależną m.in. od dwóch czynników, które od siebie nie zależą: od technicznych możliwości użytego przyrządu oraz staranności wykonywania pomiaru. Dlatego między otrzymanym wynikiem a faktyczną wartością mierzonej wielkości występuje pewna różnica. Nazywamy ją niepewnością pomiaru. Gdy mierzymy nieznaną wielkość, uzyskujemy określony wynik pomiaru, natomiast nie znamy prawdziwej wartości tego, co mierzymy. Dlatego niepewność pomiaru możemy jedynie szacować na podstawie dokładności jego wykonania. Niepewność pomiaru często oznacza wartość najmniejszej działki przyrządu. Pokazane na zdjęciach wagi podają wyniki pomiarów z różną dokładnością. Jedna z wag podaje wynik z dokładnością do jednego grama (6 g), druga z dokładnością do części setnych grama (6,49 g). Niepewność pomiaru masy monety wykonanego za pomocą pierwszej wagi nie może być większa od 1 g. Oznacza to, że masa monety na pewno mieści się pomiędzy 5 g a 7 g (co można zapisać jako 6 g±1 g). Gdy użyjemy drugiej wagi, niepewność pomiaru nie będzie większa niż 0,01 g, zatem masa monety mieści się pomiędzy 6,48 g a 6,50 g (co można zapisać jako 6,49 g ± 0,01 g). Zauważmy też, że zapis wyniku pomiaru 6 g oznacza coś innego niż zapis 6,00 g. W obu zapisach jest uwidoczniona dokładność, z jaką dany pomiar został wykonany drugi pomiar jest dokładniejszy. Bardziej skomplikowana jest ocena niepewności pomiaru, gdy oprócz dokładności przyrządów na wynik wpływają także inne czynniki, np. refleks mierzącego. Tak jest z pomiarem czasu za pomocą ręcznego stopera, na przykład na szkolnych zawodach pływackich. 12

5 Mimo że dokładność samego przyrządu wynosi 0,01 s, niepewność pomiaru jest dużo większa, ponieważ sam moment zatrzymania stopera może nie pokrywać się z momentem dotknięcia ściany basenu przez zawodnika różnica może wynieść nawet 0,2 s. Dlatego niepewność takiego pomiaru może być większa niż 0,2 s. Taka sytuacja jest nie do przyjęcia na współczesnych zawodach sportowych, ponieważ niepewność pomiaru czasu mogłaby być większa od różnicy między czasami osiągniętymi przez zawodników. Dlatego czas mierzy się urządzeniami elektronicznymi, co znacznie zmniejsza niepewność otrzymanego wyniku. Niepewność względna. Niepewność dwóch pomiarów równa 1 m nie zawsze oznacza, że oba pomiary były wykonane z taką samą precyzją. Zmierzenie z taką niepewnością odległości między powierzchniami Ziemi i Księżyca jest niewątpliwie dużym osiągnięciem, ale taka sama niepewność uzyskana przy pomiarze długości sali gimnastycznej będzie raczej dowodem bardzo niestarannego pomiaru. Mówimy, że oba pomiary różnią się tzw. niepewnością względną. Niepewność względna to stosunek niepewności pomiaru do wartości otrzymanej w wyniku tego pomiaru. Przykładowo, gdy zmierzymy długość stołu i otrzymamy wynik 100 cm z niepewnością 1 cm, to niepewność względna wyniesie 0,01. Innymi słowy, niepewność pomiaru będzie stanowić jedynie 1% mierzonej wartości. Gdy natomiast zmierzymy szerokość kartki i otrzymamy wynik 20 cm, to niepewność 1 cm będzie stanowiła aż 5% mierzonej wartości. Niepewność względna takiego pomiaru wyniesie 0,05. Przy planowaniu i wykonywaniu pomiarów należy się starać, aby niepewność względna była możliwie mała. długość stołu: 100 cm niepewność pomiaru: 1 cm 1 cm niepewność względna: 100 cm = 0,01, czyli 1% Obliczenia. Często po wykonaniu pomiaru wykonuje się różne obliczenia z wykorzystaniem otrzymanego wyniku pomiaru. Przykładowo, gdy chcemy zmierzyć grubość kartki papieru kserograficznego, najpierw raczej zmierzymy grubość większej liczby kartek np. 600 po czym otrzymany wynik np. 49 mm podzielimy przez 600, czyli 49 mm : 600 = 0, mm. 600 kartek ma grubość 49 mm jedna kartka ma grubość: 49 mm : 600 = 0, mm 0,08 mm 13

6 Jeżeli niepewność pomiaru wynosiła 1 mm, to faktyczna grubość 600 kartek mieści się pomiędzy 48 mm a 50 mm, a grubość jednej kartki pomiędzy mniej więcej 0,080 mm a 0,0834 mm. Dlatego otrzymaną wartość 0, mm należy zaokrąglić, ponieważ równie dobrze prawdziwą grubością kartki może być np. 0, mm. CIEKAWOSTKA Dzięki specjalnym układom luster umieszczonym na Księżycu jest możliwy laserowy pomiar odległości Ziemi i Księżyca z niepewnością nie większą niż 3 cm. Wieloletnie pomiary pozwoliły stwierdzić, że odległość ta rośnie w tempie 38 mm na rok. Jak widać, pewni możemy być jedynie tego, że trzy początkowe cyfry szukanej wartości to 0,08 i tak też należy zapisać wynik obliczeń. Oczywiście należy mieć świadomość, że również ten wynik jest obarczony jakąś niepewnością w tym wypadku nie większą niż 0,0034 mm. Wykresy. W pewnej firmie produkującej farby postanowiono sprawdzić wydajność nowego produktu. W tym celu kilku malarzom rozdano różne ilości takiej samej farby i polecono pomalować nią w ściśle określony sposób fragment ściany. Następnie zmierzono pole pomalowanej przez każdego malarza powierzchni (z dokładnością do 1 m 2 ) i zużycie farby (z dokładnością do 0,1 l). Wyniki zapisano w tabeli, po czym naniesiono je w postaci punktów na przygotowany arkusz. Każdy punkt odpowiada wynikowi uzyskanemu przez innego malarza. Numer malarza Pole pomalowanej powierzchni [m 2 ] Ilość zużytej farby [l] 0,5 0,9 1,5 1,8 2,5 3,1 Ze względu na ograniczoną dokładność pomiaru zarówno ilości zużytej farby, jak i pola pomalowanej nią powierzchni naniesione punkty otoczono prostokątami. Informują nas one, że nawet jeżeli dokonalibyśmy ponownie pomiarów, to być może punkty należałoby nieco przesunąć, ale nie wyszłyby one poza obszar wyznaczony przez prostokąty. 14

7 Przykładowo malarz nr 4 zużył 1,8 l ± 0,1 l farby (czyli ilość pomiędzy 1,7 l a 1,9 l) i pomalował nią powierzchnię o polu 19 m 2 ± 1 m 2 (czyli o polu pomiędzy 18 m 2 a 20 m 2 ). Jeżeli przez wszystkie prostokąty można przeprowadzić prostą, to możemy przyjąć, że zależność między wielkościami odłożonymi na osiach jest wprost proporcjonalna. Prowadząc linię tak, aby znalazła się możliwie blisko wszystkich zaznaczonych punktów, otrzymujemy zależność ilości potrzebnej farby od wielkości powierzchni, jaką chcemy pomalować. Z zależności tej można odczytać, że np. do pomalowania ściany o powierzchni 20 m 2 potrzeba około 2 l farby, zatem do pomalowania każdego metra kwadratowego powierzchni potrzeba 20 razy mniej, czyli w przybliżeniu 0,1 litra farby. ZADANIA Pytania kontrolne (str. 43) Podstawową jednostką masy w układzie SI jest: A. gram C. kilogram B. tona D. uncja 2. Rekord świata mężczyzn w biegu na dystansie m (z 1983 r.) wynosi 1 godzinę 13 minut i 55,8 sekundy. Z jaką niepewnością został podany ten wynik? A. 8 s C. 0,1 s B. 1 s D. 0,8 s 3. Ania przyjęła za jednostkę długości szerokość swojego kciuka (zobacz rysunek poniżej). Ile kciuków ma długość spinacza? A. 1 kciuk C. 3 kciuki B. 2 kciuki D. 4 kciuki 5. W 1807 r. wojska napoleońskie zdobyły Gdańsk. W traktacie podpisanym w Tylży odnotowano, że Miasto Gdańsk wraz z obszarem o promieniu dwóch mil wokół jego obwodu odzyska niepodległość [...]. Zapis ten, określający orientacyjny zasięg granic niepodległego obszaru, okazał się nieprecyzyjny. Pruscy dyplomaci twierdzili, że w traktacie chodziło o mile francuskie, a Francuzi i gdańszczanie że o mile pruskie. Mila francuska liczyła w przybliżeniu 3,9 km, a pruska w przybliżeniu 7,5 km. Po zażartych negocjacjach wytyczono granice, których fragment pokazano na poniższej mapce. 4. Kasia zmierzyła linijką grubość przeczytanej książki (bez okładek) i odczytała wartość 17 mm. Książka miała 260 stron. Jaka jest grubość kartki w tej książce? Źródło: Historia Gdańska, t. III/2, str. 92 Jak sądzicie, którą interpretację zapisu w traktacie przyjęto za punkt wyjścia negocjacji? 15

8 Często się zdarza, że trzeba wykonać kilka pomiarów różnych wielkości fizycznych, aby móc wyznaczyć wartość szukanej wielkości. Wówczas bardzo ważne jest wykonanie wszystkich pomiarów z podobną niepewnością względną. Basen o wymiarach olimpijskich ma długość 50 m. Rekord świata stylem dowolnym mężczyzn na takim dystansie wynosi 21,28 s (2008 r.). Został on zmierzony z dokładnością do 0,01 s, zatem niepewność względna pomiaru wynosi 0,01 s 21,28 s = ,00047, tj. około 0,047%. Aby jednak można było porównywać wyniki uzyskiwane na różnych basenach, trzeba mieć pewność, że nie tylko pomiary czasu są wykonywane z odpowiednią dokładnością, ale też że baseny mają identyczną długość. Jakie zatem baseny uchodzą za identyczne pod względem długości? Mówią o tym przepisy sformułowane przez międzynarodową organizację pływacką FINA. Według nich długość basenu dopuszczonego do międzynarodowych zawodów musi wynosić co najmniej 5000 cm i nie może przekroczyć 5003 cm. To oznacza, że baseny różnią się długością nie więcej niż o czyli o 0,06% tego dystansu dystansu pięćdziesięciometrowego, 1. Jaka powinna być maksymalna niepewność pomiaru długości basenu, aby niepewność względna tego pomiaru była taka sama jak niepewność względna pomiaru czasu rekordu świata stylem dowolnym mężczyzn, czyli 0,047%? 2. Tomek twierdzi, że jeżeli rekord świata zostanie ustanowiony na basenie o górnej dopuszczalnej granicy długości (czyli 5003 cm), to zawodnik płynący na najkrótszym dopuszczalnym basenie (czyli 5000 cm) z taką samą prędkością jak rekordzista uzyska lepszy czas o ponad 0,01 s. Czy to prawda? Odpowiedź uzasadnij. 16