Zastosowanie technik numerycznych do interpretacji wyników badań trójosiowego ściskania

Transkrypt

1 POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA Autoreferat rozprawy doktorskiej Zastosowanie technik numerycznych do interpretacji wyników badań trójosiowego ściskania mgr inż. Dariusz Słowiński Promotor pracy dr hab. inż. Chi Tran, prof. UWM Recenzenci prof. zw. dr hab. inż. Eugeniusz Dembicki Politechnika Gdańska dr hab. inż. Maria Jolanta Sulewska Politechnika Białostocka Białystok 04

2 . Wstęp Podstawą uzyskiwania wiedzy w dziedzinie nauk empirycznych jest doświadczenie oraz wspierająca i objaśniająca je teoria. Jednak aby wyniki eksperymentu mogły być interpretowane przez teorię, muszą wcześniej zostać opracowane matematycznie [Strzałkowski i Śliżyński, 978]. Takie wstępne opracowanie, którego zasadniczym elementem jest aproksymacja danych doświadczalnych, ma na celu uporządkowanie otrzymanych wyników, eliminację występujących w nich oczywistych błędów, zminimalizowanie poziomu szumów i niepewności oraz zapewnienie otrzymanym danym formy, w której będą one mogły być przedmiotem dalszej analizy wykonywanej przy użyciu aparatu matematycznego [Pyle, 999]. Nieodpowiednio dobrana metoda aproksymacji może doprowadzić do przeoczenia związków między badanymi wielkościami, błędnej oceny przebiegu procesu lub niekontrolowanej utraty informacji uzyskanej w wyniku eksperymentu. W badaniach geotechnicznych tradycyjnie wykorzystywany jest dość ograniczony zestaw matematycznych metod numerycznych służących do przybliżania (aproksymacji) otrzymanych wyników. Należą do niego m. in. regresja liniowa metodą najmniejszych kwadratów czy regresja nieliniowa (na przykład oparta o algorytm ruchomej średniej). Współczesne badania i eksperymenty geotechniczne są oparte o teorie mechaniki i fizyki materiałów ciągłych i rozdrobnionych, a ich rezultaty uzyskiwane są coraz powszechniej przy pomocy urządzeń elektronicznych i elektroniczno informatycznych (np. bezprzewodowe sieci czujników) i charakteryzują się ogromną liczbą danych (punktów pomiarowych), obarczonych zakłóceniami, wywoływanymi różnorodnymi czynnikami, w tym o charakterze losowym. W celu zapewnienia odpowiedniej jakości interpretacji tych wyników niezbędne jest rozszerzenie zestawu tradycyjnych narzędzi i zastosowanie nowoczesnych metod matematycznych i technik numerycznych. Takim narzędziem są sztuczne sieci neuronowe, które po przedstawieniu im zbioru danych przeznaczonych do aproksymacji są w stanie nauczyć się zależności łączących prezentowane dane i właściwie je aproksymować.

3 . Cel i zakres rozprawy Jak zostanie zaprezentowane w dalszej części opracowania, wartości parametrów geotechnicznych uzyskiwane na podstawie klasycznych metod interpretacji wyników przeprowadzonego badania trójosiowego ściskania gruntu mogą różnić się między sobą w zależności od zastosowanej metody interpretacji. Jest to zjawisko niekorzystne, wpływające negatywnie na wiarygodność uzyskiwanych wartości parametrów wytrzymałościowych gruntu. Należy zatem uznać, że zastosowanie przed interpretacją wyników badania trójosiowego ściskania gruntów metod obróbki danych zmniejszających rozrzut uzyskiwanych danych jest pożądane i wpływa na zmniejszenie poziomu niepewności, obarczających uzyskiwane wyniki badań. Należy też uznać za najbardziej przydatne metody obróbki danych, przy zastosowaniu których osiągnięta zostanie największa zbieżność uzyskanych wartości parametrów wytrzymałościowych badanego gruntu. Celem rozprawy jest analiza wpływu zastosowania wybranych technik numerycznych na parametry wytrzymałościowe (kąt tarcia wewnętrznego φ i spójność c) gruntu, uzyskane w drodze interpretacji wyników badania trójosiowego gruntu. Fizycznym doświadczeniem, stanowiącym źródło danych dla przeprowadzonej następnie analizy, było badanie trójosiowego ściskania iłu z okolic Klebarka Wielkiego, woj. warmińsko mazurskie. Aby umożliwić przeprowadzenie analizy, interpretację wyników badania trójosiowego ściskania gruntu przeprowadzono trzykrotnie. Jako pierwszej dokonano klasycznej interpretacji wyników badania trójosiowego ściskania, opierając się na danych niepoddanych obróbce numerycznej. Zastosowano interpretacje metodą kół Mohra przy różnych kryteriach zastępczych oraz interpretację metodą ścieżek naprężenia. Z tej grupy wyników wyłoniono wartości referencyjne parametrów wytrzymałościowych badanego gruntu. Po raz drugi dokonano (metodą ścieżek naprężenia) interpretacji wyników badania, opierając się na danych, które zostały aproksymowane tradycyjnymi metodami numerycznymi, o ugruntowanej w geotechnice pozycji. Wykorzystano tu równolegle metodę regresji ruchomą średnią i metodę regresji wielomianowej. Po raz trzeci dokonano (metodą ścieżek naprężenia) interpretacji wyników badania, opierając się na danych, które zostały aproksymowane wielowarstwowymi jednokierunkowymi sztucznymi sieciami

4 neuronowymi. Wygładzanie danych przeprowadzono tu równolegle dwoma sposobami. Pierwszy polegał na zastosowaniu do danych uzyskanych ze wszystkich przeprowadzonych testów trójosiowych SSN o jednakowej strukturze. Drugi sposób polegał na zastosowaniu do danych uzyskanych z testów trójosiowych SSN o odmiennych strukturach dla każdego zestawu danych. Opisaną wyżej równoległą interpretację wyników badania trójosiowego ściskania określono mianem interpretacji podstawowej. Na podstawie numerycznych modeli badanego gruntu uzyskanych podczas podstawowej interpretacji danych, opartej o dane ulepszone numerycznie (zawierających wygładzone wartości naprężeń głównych σ i σ), przeprowadzono następnie rozszerzoną interpretację wyników badania trójosiowego ściskania. Polegała ona na modelowaniu wartości odkształcenia względnego ε na podstawie wygładzonych wartości naprężeń głównych σ i σ. Uzyskany i zaprezentowany w ten sposób numeryczny model regresyjny badanego gruntu umożliwia precyzyjne określenie wpływu każdej ze składowych głównych stanu naprężenia w próbce (σ i σ) na odkształcenie względne próbki (ε).. Zastosowane techniki numeryczne Dane uzyskane bezpośrednio z przeprowadzonego badania określa się mianem danych surowych. Przed dalszym ich przetwarzaniem metodami numerycznymi należy poddać je procedurom przygotowującym do aproksymacji, zapewniającym spójność danych i jednoznaczne odwzorowanie danych wejściowych na wyjściowe. Pierwsza z tych procedur to filtrowanie (usunięcie punktów danych o wyraźnie błędnym charakterze), druga to skracanie danych, polegające na zastępowaniu wartości jednego punktu danych wartością średnią określonej liczby punktów przyległych. Dane poddane tym dwóm procedurom, określone jako dane doświadczalne lub dane niewygładzone, gotowe są do zasadniczego etapu procedury odszumiania, czyli wygładzania danych, pod względem matematycznym będącego aproksymacją danych... Regresja metodą ruchomej średniej Zastosowana w niniejszych badaniach regresja danych metodą ruchomej średniej

5 4 odbywa się poprzez zastąpienie wartości pojedynczego punktu danych średnią wartością określonej liczby punktów przyległych. Metoda może dać dobre dopasowanie punktów, natomiast problemem jest właściwy dobór szerokości okna wygładzania (Rys..), czyli liczby punktów, z których liczona jest wartość średnia. Zbyt wąskie okno spowoduje w rezultacie zbyt małe wygładzenie danych, a więc słabe odszumienie sygnału i możliwe problemy z ciągłym różniczkowaniem, natomiast zbyt szerokie okno (zbyt duże wygładzenie danych) może spowodować dużą utratę informacji. Rys... Metoda ruchomej średniej: zależność między szerokością okna wygładzania danych a promieniem wygładzania danych W celu zapewnienia, osobno dla danego zbioru punktów, takiej szerokości okna wygładzania metody ruchomej średniej, która zapewni najlepsze dopasowanie krzywej aproksymacyjnej do rzeczywistych danych punktów pomiarowych, z badań trójosiowego przed wykonaniem ściskania aproksymacji gruntu przeprowadzono konfigurację metody aproksymacji. W jej wyniku dla każdego ze zbiorów danych ustalono liczby punktów przyległych, z których zliczane będą wartości średnie, zastępujące wartości kolejnych punktów pomiarowych. Wyznaczone szerokości okien przedstawiono w Tabeli.. Tabela.. Wyniki konfiguracji metody ruchomej średniej LP Zbiór danych z testu trójosiowego Wyznaczony promień wygładzania danych [-] Wyznaczona szerokość okna wygładzania danych [-] 4 5 Dane z badań σ = 50kPa 7 5 Dane z badań σ = 00kPa 4 9 Dane z badań σ = 50kPa 6

6 .. 5 Regresja metodą wielomianową Metoda regresji wielomianowej przybliżającej funkcję F(x) określoną na dyskretnym zbiorze punktów, polega na znalezieniu (metodą najmniejszych kwadratów) takich wartości współczynników am, am-,, a, a0 tworzących zależność wielomianową: m m f ( x)=am x j +a m x j (.) a x j + a0 +a x j +a0 aby otrzymać jak najmniejszą wartość wyrażenia: F ( x) f (x ) = F (x) am x mj am x m... a x j a 0 a x j a 0. j (.) Parametrem, który decyduje o sposobie pracy tej metody regresji, jest stopień wielomianu, który przybliża zbiór punktów pomiarowych. Wyboru właściwego stopnia wielomianu musi dokonać badacz. W celu zapewnienia zastosowania właściwego stopnia wielomianu, przed wykonaniem aproksymacji rzeczywistych danych z badań trójosiowego ściskania gruntu przeprowadzono konfigurację tej metody aproksymacji i w wyniku tej konfiguracji do aproksymacji danych pomiarowych z badań trójosiowego ściskania gruntu przyjęto dla wszystkich zbiorów wielomiany stopnia 6. W Tabeli. zestawiono obliczone współczynniki wielomianów 6 stopnia, którymi aproksymowano wyniki badań trójosiowego ściskania a(ε )=am εm + am εm a ε+ a0 +a ε +a0 gruntu. Wielomiany (.) wykorzystano do aproksymacji danych z=σ(ε), natomiast do aproksymacji danych z=σ(ε) wielomiany a ( ε)=am εm + am εm +...+a ε+ a0 + a ε+ a 0. (.4)

7 6 Tabela.. Współczynniki ai wielomianów 6 st. aproksymujących dane pomiarowe Współczynniki ai wielomianów 6 stopnia aproksymujących dane rzeczywiste Ciśnienie σ 50 kpa 00 kpa 50 kpa a -0,0097 0,09 -,867 8,46 -,9678 7,576 0,085 a -0,000 0,006-0,059 0,646-0,8886,668 54,08 a -0,0,905 -,984 50,96-99,444 0,845 4,679 a -0,0005 0,007-0,086 0,0707 0,05-0,54,656 a -0,0067 0,084 -,5708 5,876-5, ,857 97,074 a -0,000 0,00-0,066 0,76-0,66,4 5,5 Regresja sztucznymi sieciami neuronowymi Istotnymi z punktu widzenia użytkownika cechami sztucznych sieci neuronowych są: zdolność do prognozowania wartości danych wyjściowych wyłącznie na podstawie wartości danych wejściowych (zdolność do uczenia się poprzez trening), nie wymagając założeń dotyczących charakteru zależności między danymi wejściowymi a wynikami [Tadeusiewicz i inni, 007, cyt. za Sulewska, 009] oraz zdolność uogólniania nabytej wiedzy [Tadeusiewicz, 99]. W przypadku wykorzystywania SSN rola badacza ogranicza się niemal wyłącznie do wyboru metodą prób i błędów odpowiedniej architektury SSN i przedstawienia sieci neuronowej zbioru danych. Badacz może również wybrać algorytm uczenia się SSN (najczęściej jest jedna z metod opartych na wstecznej propagacji błędów). W niniejszych badaniach wykorzystano funkcje i narzędzia pakietu Neural Network Toolbox programu Matlab R00b. Wykorzystywana sieć należy do rodziny sieci określanych mianem perceptronu wielowarstwowego (MLP). Zestaw danych prezentowany sieci został podzielony jest na zbiór treningowy (70%), walidacyjny (5%) i testowy (5%) liczby elementów zestawu danych. Wszystkie zastosowane ostatecznie do aproksymacji naprężeń σ i σ sieci miały strukturę typu _X_, co oznacza sieć o jednym węźle wejściowym (wartości odchylenia względnego ε), dwóch neuronach warstwy wyjściowej (po jednym dla każdej danej wyjściowej: naprężenia σ i σ) oraz jednej warstwie ukrytej o X neuronach. We wszystkich obiektach sieci zastosowano dwie funkcje wstępnej obróbki danych: removeconstantrows oraz mapminmax. Wszystkie

8 7 neurony warstw ukrytych wykorzystywanych obiektów sieci jako funkcji sumowania ważonych sygnałów wejściowych stosowały funkcję netsum, natomiast ich funkcją aktywacji była bipolarna funkcja sigmoidalna tansig. Neurony warstwy wyjściowej jako funkcję sumowania ważonych sygnałów wejściowych wykorzystywały funkcję netsum zaś ich funkcją aktywacji była liniowa funkcja purelin. Do trenowania obiektów SSN wykorzystywana była zawsze funkcja trenująca trainlm (wykorzystująca algorytm Levenberga Marquardta), do oceny jakości dopasowania stosowany był błąd średniokwadratowy (MSE), zaś do wydzielenia z danych zbioru treningowego, walidacyjnego i testowego wykorzystywana była funkcja dividerand, dzieląca dane na poszczególne zbiory przy użyciu algorytmów losowych. SSN w prezentowanych badaniach zastosowano na dwa różne sposoby. Pierwszy polegał na zastosowaniu do wszystkich trzech zbiorów danych sztucznych sieci neuronowych o identycznej strukturze _0_. Taka struktura sieci, o LPS = 8, zapewniła zachowanie dla poszczególnych testów i badanych sieci stosunku k = L/LPS [Kuźniar, 007] nie mniejszego od 0, co arbitralnie uznano za graniczną wielkość zapewniającą odpowiedni poziom generalizacji sieci. Strukturę sieci przedstawiono na Rys... Rys... SSN o strukturze _0_

9 8 Drugi sposób polegał na doświadczalnym wyborze z SSN spełniających powyższy warunek ( k = L/LPS nie mniejsze od 0) struktur sieci, które dla poszczególnych zbiorów danych dadzą najlepsze dopasowanie krzywej aproksymacyjnej. SSN podlegające procedurze ustalania struktury dla poszczególnych zbiorów danych przedstawiono w Tabeli.. Tabela.. SSN podlegające procedurze ustalenia struktury dla poszczególnych danych σ Liczba w Dane Dane LP wzorców komorze wejściowe wyjściowe L [kpa] Liczba warstw ukrytych Liczba neuronów w warstwie ukrytej minim. L/LPS ε σ, σ ,9,7,5 00 ε σ, σ ,8 5, 6,7 50 ε σ, σ ,7,5 5,8 W wyniku przeprowadzenia tej procedury wybrano dla poszczególnych zbiorów danych SSN o strukturach przedstawionych kolejno na Rys..,.4 i.5. Rys... SSN o strukturze _9_ dla danych z badania przy σ = 50 kpa

10 Rys..4. SSN o strukturze _4_ dla danych z badania przy σ = 00 kpa Rys..5. SSN o strukturze _40_ dla danych z badania przy σ = 50 kpa 9

11 .4. 0 Modelowanie powierzchni: modele wielomianowe i modele uzyskane SSN Regresja liniowa wielu zmiennych, wykorzystywana podczas interpretacji rozszerzonej wyników badania trójosiowego do modelowania zależności ε (σ, σ) przedstawiona jest przy pomocy równania obrazującego liniowe zależności między niekoniecznie liniowymi funkcjami [Demuth i inni, 004]: N N N i= i< j i= y (x)=a0 + ai x i+ aij x i x j + aii x i +... (.5) gdzie: N liczba zmiennych niezależnych xi, wykorzystywanych w tworzonym modelu W zależności od wykorzystania całej zależności lub pewnych jej części, uzyskiwane są określone modele budowanej zależności.. Model linear: N y (x)=a0 + ai x i (.6) i= Model pozwala na uzyskanie zależności, które są hiperpłaszczyznami, tj. dla przestrzeni n - wymiarowej tworzy zależności stopnia n -. W przypadku przestrzeni trójwymiarowej pozwala utworzyć płaszczyznę, stanowiąca liniowe przybliżenie zmiennych niezależnych.. Model interaction: N N i= i< j y (x)=a0 + ai x i+ aij x i x j (.7) Model pozwala na zwichrowanie płaszczyzny uzyskanej w przypadku stosowania modelu linear.. Model quadratic: N N N i= i< j i= y (x)=a0 + ai x i+ aij x i x j + aii x i (.8) Najprostszy model pozwalający na uzyskanie powierzchni posiadającej ekstrema (maksimum i minimum) oraz optymalizowany kształt powierzchni między ekstremami.

12 4. Model purequadratic: N N i= i= y (x)=a0 + ai x i+ aii x i (.9) Model podobny do modelu quadratic, jednak nie uwzględniający wpływu oddziaływań kwadratowych. Do określenia współczynników ai równań regresji wykorzystano polecenie Matlaba regstats. Do modelowania zależności łączącej odkształcenie względne próbki ε oraz naprężenia σ, σ, wykorzystano również sztuczną sieć neuronową o strukturze _5_ (Rys..6). Dwa węzły wejściowe SSN odpowiadają dwóm parametrom wejściowym danych doświadczalnych (σ, σ), jeden neuron wyjściowy odpowiada jednemu parametrowi wyjściowemu (ε). Rys..6. Model SSN _5_ 4. Wyniki badań 4.. Fizyczne badanie trójosiowego ściskania gruntu Badania w aparacie trójosiowego ściskania gruntu uważane są za jedną z najlepszych metod wyznaczania wartości kąta tarcia wewnętrznego φ i spójności c badanego gruntu, ponieważ konstrukcja aparatu umożliwia takie zaprojektowanie przebiegu badania, aby charakter przyrostu naprężenia w badanej próbce gruntu był jak najbardziej zbliżony do rzeczywistego przebiegu przyrostu naprężenia w gruncie pod fundamentami wznoszonej budowli. Badanie przeprowadzono w zmodernizowanym aparacie trójosiowego ściskania

13 typu norweskiego (Rys. 4.). Prędkość posuwu stołu aparatu wynosiła v = mm/h. Przeprowadzono trzy kolejne testy przy wartościach ciśnienia w komorze trójosiowej wynoszących kolejno σ = 50, 00 i 50 kpa. Badanie przeprowadzono metodą UU, tj. bez wstępnej konsolidacji i bez odpływu wody podczas ścinania próbki. Rys. 4.. Zmodernizowany aparat trójosiowego ściskania typu norweskiego. Na pierwszym planie: komory trójosiowe aparatu z próbkami przygotowanymi do badań; komora trójosiowa ze ściętą próbką badanego iłu; falownik sterujący silnikiem aparatu trójosiowego W wyniku przeprowadzonego badania uzyskano trzy zbiory danych, których charakterystykę przedstawiono w Tabeli 4.. Kolumna nr tabeli zawiera deklarowane wartości ciśnienia w komorze aparatu trójosiowego (σ) zaś kolumny nr 9 i 0 przedstawiają rzeczywisty zakres zmienności ciśnienia w komorze (σ) w trakcie prowadzonych badań. W kolumnie nr pokazana jest długość każdego z zestawów danych, tj. liczba punktów pomiarowych przedstawiających przebieg badania, zaś w kolumnie nr 4 maksymalne zarejestrowane pionowe odkształcenie względne próbki (ε). Kolumny 5 8 przedstawiają zakres zmienności wartości siły pionowej N, działającej na próbkę i pionowego naprężenia głównego (σ) w trakcie poszczególnych testów. Parametry badanego gruntu zestawiono w Tabeli 4..

14 Tabela 4.. Charakterystyka danych uzyskanych z testów trójosiowego ściskania badanych iłów LP Deklarowane σ [kpa] OdkształDługość cenie danych względne ε [-] [%] Napr. główne σ [kpa] Siła pionowa N [kn] Napr. główne σ [kpa] min max min max min max ,70 64,794,8770 0, ,748 54, ,4890,474,70,996,550,80, ,4550 4,79 50,500 7,700 68,754 5,60 5,785 55,4500 Tabela 4. Parametry gruntu będącego przedmiotem badania LP OPIS ANALIZY LUB PARAMETRU GRUNTU WNIOSEK LUB WARTOŚĆ ANALIZA MAKROSKOPOWA Uwagi ogólne. Po wyschnięciu do stanu powietrzno suchego grunt tworzył zwarte grudki Grunt spoisty. Wałeczki pękały dopiero po osiągnięciu średnicy ok. mm Grunt bardzo spoisty Próba wałeczkowania. Kulka i wałeczek od początku z wyraźnym połyskiem Grunt bardzo spoisty (ił) Ip > 0 % fi > 0 %.4 Liczba wałeczków X = 7 IL = 0,5 Próba rozcierania w wodzie.5 Wyczuwa się jedynie pojedyncze ziarna piasku Grunt bardzo spoisty należący do II grupy gruntów: ił Wilgotność.6 Grudka iłu przy zgniataniu odkształca się plastycznie, lekko brudząc (zawilgocając) dłoń Grunt w stanie naturalnym wilgotny Zawartość CaCO.7 W kontakcie z gruntem 0% roztwór HCl burzy się krótko i niezbyt intensywnie Zawartość CaCO: % Barwa gruntu.8 Określona na przełomie bryły gruntu w stanie wilgotności naturalnej Barwa brązowa z jasnoszarymi i brunatnymi smugami GĘSTOŚĆ OBJĘTOŚCIOWA GRUNTU ρ WILGOTNOŚĆ NATURALNA GRUNTU wn,7 % 4 WSKAŹNIK PLASTYCZNOŚCI IP 9,66 kn/m 0 %

15 Interpretacja klasyczna Wyniki uzyskane metodą Coulomba Mohra Na Rys. 4. przedstawiono wartości kąta tarcia wewnętrznego i spójności badanego iłu uzyskane w procesie interpretacji wyników badania trójosiowego przy pomocy kół Mohra, dla momentu ścięcia próbki każdego testu ustalonego przy zastosowaniu maksymalnej wartości dewiatora naprężenia (σ - σ). Rys. 4.. Interpretacja wyników badań trójosiowych metodą kół Mohra (według kryterium maksymalnej wartości dewiatora naprężenia σ - σ) Na Rys. 4. przedstawiono wartości kąta tarcia wewnętrznego i spójności badanego iłu uzyskane w procesie interpretacji wyników badania trójosiowego przy pomocy kół Mohra, dla momentu ścięcia próbki każdego testu ustalonego przy zastosowaniu maksymalnej wartości siły pionowej N. Rys. 4.. Interpretacja wyników badań trójosiowych metodą kół Mohra (według kryterium maksymalnej wartości siły pionowej N)

16 5 Na Rys. 4.4 przedstawiono wartości kąta tarcia wewnętrznego i spójności badanego iłu uzyskane w procesie interpretacji wyników badania trójosiowego przy pomocy kół Mohra, dla momentu ścięcia próbki każdego testu ustalonego przy zastosowaniu maksymalnej wartości ilorazu naprężeń głównych (σ / σ). Rys Interpretacja wyników badań trójosiowych m. kół Mohra (według kryterium maksymalnej wartości ilorazu σ / σ) 4... Wyniki uzyskane metodą ścieżek naprężenia Na Rys. 4.5 przedstawiono ścieżki naprężenia z trzech przeprowadzonych testów, uzyskaną obwiednię zmodyfikowaną i wartości rzeczywistych wytrzymałościowych badanego iłu. Rys Interpretacja wyników badań trójosiowych metodą ścieżek naprężeń. parametrów

17 6 Zbiorcze zestawienie wartości parametrów wytrzymałościowych badanego iłu uzyskanych w procesie klasycznej interpretacji wyników badania trójosiowego ściskania przedstawiono w Tabelach 5.. i 5.. w Rozdziale Interpretacja metodą ścieżek naprężenia na podstawie danych aproksymowanych tradycyjnymi metodami numerycznymi 4... Regresja metodą ruchomej średniej Jakość dopasowania krzywej aproksymacyjnej uzyskanej metodą ruchomej średniej do danych pomiarowych dla każdego testu trójosiowego oceniono, analizując wartość zmodyfikowanej normy reszt (nores) oraz przebieg wektora reszt (Rys. 4.6). Na Rys. 4.6 przedstawiono wyniki aproksymacji danych z badań trójosiowego ściskania gruntu dla ciśnienia w komorze trójosiowej σ = 50 kpa. Osiągnięta wartość zmodyfikowanej normy reszt nores = 0,0487 kpa określa średnią odległość każdego punktu danych wygładzonych od punktu danych pomiarowych. Wartości elementów wektora reszt są podobne w całym zakresie odkształcenia względnego ε, co świadczy o jednakowym stopniu dopasowania krzywej aproksymującej do punktów pomiarowych w całym obszarze danych. Dopasowanie krzywej aproksymacyjnej do danych pomiarowych jest szczególnie dobrze widoczne na trójwymiarowym wykresie uzyskanej podczas testu trójosiowego ścinania zależności ε=f(σ,σ) na Rys Na Rys. 4.7 przedstawiono wartości parametrów wytrzymałościowych gruntów uzyskane z danych wygładzanych metodą ruchomej średniej, określonych jako Model numeryczny. Wartość kąta tarcia wewnętrznego uzyskana z danych aproksymowanych metodą ruchomej średniej wyniosła (φ = 5,686º), zaś wartość spójności wyniosła (c = 6,4 kpa).

18 7 Rys Regresja metodą ruchomej średniej. σ=50 kpa Rys Wartości parametrów wytrzymałościowych badanych gruntów uzyskane z danych wygładzanych metodą regresji ruchomą średnią

19 Regresja metodą wielomianową Jakość dopasowania krzywej aproksymacyjnej uzyskanej metodą wielomianową do danych pomiarowych dla każdego testu trójosiowego oceniono, analizując wartość zmodyfikowanej normy reszt (nores) oraz przebieg wektora reszt (Rys. 4.8). Na Rys. 4.8 przedstawiono wyniki aproksymacji danych z badań trójosiowego ściskania gruntu dla ciśnienia w komorze trójosiowej σ = 50 kpa. Osiągnięta wartość zmodyfikowanej normy reszt nores = 0,40890 kpa określa średnią odległość każdego punktu danych wygładzonych od punktu danych pomiarowych. Wartości elementów wektora reszt są wyraźnie wyższe w początkowym zakresie odkształcenia względnego ε, co świadczy o gorszym dopasowaniu krzywej aproksymującej do punktów pomiarowych w początkowym obszarze danych. W pozostałym obszarze danych dopasowanie również nie przebiega równomiernie, choć wartości wektora reszt są niższe niż w początkowym obszarze danych. Dopasowanie krzywej aproksymacyjnej do danych pomiarowych jest szczególnie dobrze widoczne na trójwymiarowym wykresie uzyskanej podczas testu trójosiowego ścinania zależności ε=f(σ,σ) na Rys Rys Regresja metodą wielomianową, σ=50 kpa

20 9 Na Rys. 4.9 przedstawiono wartości parametrów wytrzymałościowych gruntów uzyskane z danych wygładzonych metodą wielomianową, określonych jako Model numeryczny. Wartość kąta tarcia wewnętrznego wyniosła (φ = 5,749º), zaś wartość spójności wyniosła (c = 6,94 kpa). Rys Wartości parametrów wytrzymałościowych badanych gruntów uzyskane z danych wygładzanych metodą wielomianową Interpretacja metodą ścieżek naprężenia na podstawie danych 4.4. aproksymowanych sztucznymi sieciami neuronowymi (SSN) Regresja sztucznymi sieciami neuronowymi _0_ Jakość dopasowania krzywej aproksymacyjnej uzyskanej sztucznymi sieciami neuronowymi o strukturze _0_ do danych pomiarowych dla każdego testu trójosiowego oceniono, analizując wartość zmodyfikowanej normy reszt (nores) oraz przebieg wektora reszt (Rys. 4.0). Na Rys. 4.0 przedstawiono wyniki aproksymacji danych z badań trójosiowego ściskania gruntu dla ciśnienia w komorze trójosiowej σ = 50 kpa. Osiągnięta wartość błędu średniokwadratowego MSE = 0,0060 kpa określa średnią

21 0 odległość każdego punktu danych wygładzonych od punktu danych pomiarowych. Wartości elementów wektora reszt są wyraźnie wyższe w ściśle początkowym zakresie odkształcenia względnego ε, co świadczy o gorszym dopasowaniu krzywej aproksymującej do punktów pomiarowych w początkowym obszarze danych. W pozostałym obszarze danych dopasowanie przebiega równomiernie, a wartości wektora reszt są niższe niż w początkowym obszarze danych. Dopasowanie krzywej aproksymacyjnej do danych pomiarowych jest szczególnie dobrze widoczne na trójwymiarowym wykresie uzyskanej podczas testu trójosiowego ścinania zależności ε=f(σ,σ) na Rys Na Rys. 4. przedstawiono wartości parametrów wytrzymałościowych gruntów uzyskane z danych wygładzanych sztucznymi sieciami neuronowymi o strukturze _0_, określonych jako Model numeryczny. Wartość kąta tarcia wewnętrznego wyniosła (φ = 5,777º), zaś wartość spójności wyniosła (c = 6,885 kpa). Rys Aproksymacja SSN o strukturze _0_, σ = 50 kpa

22 Rys. 4.. Wartości parametrów wytrzymałościowych badanych gruntów uzyskane z danych niewygładzanych i wygładzanych metodą SSN o nieoptymalizowanej strukturze Regresja sztucznymi sieciami neuronowymi o stukturach _9_, _4_ i _40_ Jakość dopasowania krzywej aproksymacyjnej uzyskanej sztucznymi sieciami neuronowymi o strukturach _9_, _4_ i _40_ do danych pomiarowych dla każdego testu trójosiowego oceniono, analizując wartość zmodyfikowanej normy reszt (nores) oraz przebieg wektora reszt (Rys. 4.). Na Rys. 4. przedstawiono wyniki aproksymacji danych z badań trójosiowego ściskania gruntu dla ciśnienia w komorze trójosiowej σ = 50 kpa. Osiągnięta wartość błędu średniokwadratowego MSE = 0,0960 kpa określa średnią odległość każdego punktu danych wygładzonych od punktu danych pomiarowych. Wartości elementów wektora reszt są wyraźnie wyższe w ściśle początkowym zakresie odkształcenia względnego ε, co świadczy o gorszym dopasowaniu krzywej aproksymującej do punktów pomiarowych w początkowym obszarze danych. W pozostałym obszarze danych dopasowanie przebiega równomiernie, a wartości wektora reszt są niższe niż w początkowym obszarze danych. Dopasowanie krzywej aproksymacyjnej do danych pomiarowych jest szczególnie dobrze widoczne na trójwymiarowym wykresie uzyskanej podczas testu trójosiowego ścinania zależności ε=f(σ,σ) na Rys. 4..

23 nores = 0,0960 Na Rys. 4. przedstawiono wartości parametrów wytrzymałościowych gruntów uzyskane z danych wygładzanych sztucznymi sieciami neuronowymi o strukturach _9_ (dla danych z testów prowadzonych przy σ = 50 kpa), _4_ (dla danych z testów prowadzonych przy σ = 00 kpa) i _40_ (dla danych z testów prowadzonych przy σ = 50 kpa), określonych jako Model numeryczny 4. Wartość kąta tarcia wewnętrznego wyniosła (φ = 5,6909º), zaś wartość spójności wyniosła (c = 6,587 kpa). Rys. 4.. Aproksymacja SSN o strukturze _9_, σ = 50 kpa

24 Rys. 4.. Wartości parametrów wytrzymałościowych badanych gruntów uzyskane z danych wygładzonych metodą SSN o optymalizowanej strukturze 4.5. Interpretacja zaawansowana Z uwagi na obszerność materiału graficznego ilustrującego uzyskane numeryczne modele regresyjne iłu, w niniejszej pracy zamieszczono jedynie wybrane przykłady otrzymanych zależności ε(σ,σ), uzyskane z testu trójosiowego wykonanego przy ciśnieniu w komorze trójosiowej σ = 50 kpa. Zamieszczona niżej legenda odnosi się do wszystkich wykresów ilustrujących modele numeryczne, zamieszczonych w niniejszym rozdziale.

25 4 Na Rys. 4.4 przedstawiono numeryczny model regresyjny należący do pierwszej grupy modeli w całości uzyskanych tradycyjnymi metodami tradycyjnymi. Model oparty na danych aproksymowanych metodą regresji wielomianowej zbudowano wykorzystując model quadratic regresji liniowej dwóch zmiennych, uwzględniający maksimum zależności nieliniowych między stanowiącymi go zmiennymi. Na Rys. 4.5 przedstawiono numeryczny model regresyjny należący do drugiej grupy modeli w całości uzyskanych sztucznymi sieciami neuronowymi. Model oparty na danych aproksymowanych metodą SSN o stałej dla wszystkich prezentowanych danych strukturze _0_ zbudowano wykorzystując sztuczne sieci neuronowe o strukturze _5_. M. num. quadratic, σ = 50 kpa, noresd_s: 0,5570 ε ( σ, σ )= σ +447 σ +8 σ σ σ noresd_ok: 0,7 Rys Graficzna interpretacja Modelu numerycznego - quadratic, naprężenie σ = 50 kpa

26 5 Dane źródłowe: Model numeryczny SSN _5_, σ = 50 kpa noresd_s: 0,96 noresd_ok: 0,0684 Rys Graficzna interpretacja Modelu numerycznego - SSN _5_, naprężenie σ = 50 kpa Na Rys. 4.6 przedstawiono numeryczny model regresyjny należący do trzeciej grupy modeli opartych na danych aproksymowanych tradycyjnymi metodami tradycyjnymi, ale utworzonych sztucznymi sieciami neuronowymi o strukturze _5_. Modele tej grupy mają stanowić w porównaniu do modeli grupy pierwszej materiał umożliwiający porównanie skuteczności modelowania zależności ε(σ,σ) opartej o dane uzyskane tradycyjnymi metodami numerycznymi przez metodę regresji liniowej dwóch zmiennych i sztuczne sieci neuronowe. Na Rys. 4.7 przedstawiono numeryczny model regresyjny należący do czwartej grupy modeli opartych na danych aproksymowanych sztucznymi sieciami neuronowymi, ale utworzonych tradycyjnymi metodami numerycznymi. Modele tej grupy mają stanowić w porównaniu do modeli grupy drugiej materiał umożliwiający porównanie skuteczności modelowania zależności ε(σ,σ) opartej o dane uzyskane sztucznymi sieciami neuronowymi przez metodę regresji liniowej dwóch zmiennych i sztuczne sieci neuronowe.

27 Dane źródłowe: Model numeryczny SSN _5_, σ = 50 kpa noresd_s: 0,44 noresd_ok: 0,0007 Rys Graficzna interpretacja Modelu numerycznego - SSN _5_, naprężenie σ = 50 kpa Model numeryczny quadratic, σ = 50 kpa, noresd_s:,06 ε ( σ, σ )= 047 σ +778 σ 7 σ noresd_ok:,00 Rys Graficzna interpretacja Modelu numerycznego quadratic, σ = 50 kpa 6

28 5. 7 Omówienie wyników badań W Tabeli 5. zestawiono wartości kąta tarcia wewnętrznego (φ) uzyskane z badania trójosiowego ściskania iłów. Wartości referencyjne kąta tarcia wewnętrznego zostały wyróżnione kolorem czerwonym i pogrubioną czcionką. Tabela 5.. Zestawienie uzyskanych wartości kąta tarcia wewnętrznego (φ) LP Dane źródłowe metoda interpretacji Kąt tarcia wewnętrznego (φ) [º] Różnica wartości [º] Różnica wartości [%] 4 5 Interpretacja klasyczna oparta o dane referencyjne (pomiarowe) Metoda kół Mohra, maksimum siły pionowej N 5,7805 0,06,8 Metoda kół Mohra, maksimum (σ / σ) 5,676-0,004-0,08 Metoda kół Mohra, maksimum (σ - σ) 5,6699-0,0070-0, 4 Metoda ścieżek naprężenia 5,6769 Interpretacje w oparciu o modele numeryczne uzyskane tradycyjnymi metodami numerycznymi 5 Model numeryczny regresja ruchomą średnią 5,686 0,009 0,6 0 Model numeryczny regresja wielomianowa 5,749 0,07,7 Interpretacje w oparciu o modele numeryczne uzyskane sztucznymi sieciami neuronowymi 5 Model numeryczny SSN _0_ 5,777 0,0408 0,7 0 Model num. 4 SSN _9_, _4_, _40_ 5,6909 0,04 0,5 Analiza danych z Tabeli 5. wskazuje, że rozrzut wartości kąta tarcia wewnętrznego badanego iłu uzyskanych z danych wygładzanych tradycyjnymi metodami numerycznymi jest mniejszy od rozrzutu wartości tych parametrów uzyskanych z danych niewygładzonych, natomiast rozrzut wartości kąta tarcia wewnętrznego badanego iłu uzyskanych z danych wygładzanych sztucznymi sieciami neuronowymi jest mniejszy od rozrzutu wartości tych parametrów uzyskanych z danych wygładzanych tradycyjnymi metodami numerycznymi. Ponieważ źródłem wszystkich interpretacji są dane uzyskane z tego samego fizycznego badania trójosiowego ściskania, zwiększająca się zbieżność uzyskiwanych wartości kąta tarcia wewnętrznego gruntu oznacza coraz większą wiarygodność tego parametru. Najbardziej wiarygodne wartości kąta tarcia wewnętrznego gruntu uzyskano zatem na podstawie danych aproksymowanych sztucznymi sieciami neuronowymi, niezależnie od sposobu ich zastosowania do wygładzania danych pomiarowych (Rys. 5.).

29 8 Rys. 5.. Porównanie uzyskanych wartości kąta tarcia wewnętrznego W Tabeli 5. zestawiono wartości spójności (c) uzyskane z badania trójosiowego ściskania iłów. Wartości referencyjne spójności zostały wyróżnione kolorem czerwonym i pogrubioną czcionką. Tabela 5.. Zestawienie uzyskanych wartości spójności (c) LP Dane źródłowe metoda interpretacji Spójność (c) [kpa] Różnica wartości [kpa] Różnica wartości [%] 4 5 Interpretacja klasyczna oparta o dane referencyjne (pomiarowe) Metoda kół Mohra, maksimum siły pionowej N 6,070-0,4096 -, Metoda kół Mohra, maksimum (σ / σ) 6,48-0,04-0, Metoda kół Mohra, maksimum (σ - σ) 6,467-0,044-0,04 4 Metoda ścieżek naprężenia 6,486 Interpretacje w oparciu o modele numeryczne uzyskane tradycyjnymi metodami numerycznymi 5 Model numeryczny regresja ruchomą średnią 6,4-0,0694-0,9 0 Model numeryczny regresja wielomianowa 6,94-0,6-0,7 Interpretacje w oparciu o modele numeryczne uzyskane sztucznymi sieciami neuronowymi 5 Model numeryczny SSN _0_ 6,885-0,9-0,5 0 Model num. 4 SSN _9_, _4_, _40_ 6,587-0,9-0,4

30 9 Analiza danych z Tabeli 5. wskazuje, że rozrzut wartości spójności badanego iłu uzyskanych z danych wygładzanych tradycyjnymi metodami numerycznymi jest mniejszy od rozrzutu wartości spójności uzyskanych z danych niewygładzonych, natomiast rozrzut wartości spójności badanego iłu uzyskanych z danych wygładzanych sztucznymi sieciami neuronowymi jest mniejszy od rozrzutu wartości spójności uzyskanych z danych wygładzanych tradycyjnymi metodami numerycznymi. Ponieważ źródłem wszystkich interpretacji są dane uzyskane z tego samego fizycznego badania trójosiowego ściskania, zwiększająca się zbieżność uzyskiwanych wartości spójności gruntu oznacza coraz większą wiarygodność tych wartości. Najbardziej wiarygodne wartości spójności badanego gruntu uzyskano zatem na podstawie danych aproksymowanych sztucznymi sieciami neuronowymi, niezależnie od sposobu ich zastosowania do wygładzania danych pomiarowych (Rys. 5.). Rys. 5.. Porównanie uzyskanych wartości spójności W Tabeli 5. zestawiono informacje o dopasowaniu uzyskanych numerycznych modeli regresyjnych badanego iłu do danych otrzymanych z badania trójosiowego ściskania. Kolorem niebieskim wyróżniono modele regresyjne oparte o Modele numeryczne 4,

31 0 zbudowane przy pomocy jednego mechanizmu (np. SSN _5_), o najniższej wśród tych modeli wartości noresd_s. Kolorem czerwonym wyróżniono modele regresyjne oparte o Modele numeryczne 4, zbudowane przy pomocy jednego mechanizmu (np. SSN _5_), o najwyższej wśród tych modeli wartości noresd_s. Tabela 5.. Zestawienie uzyskanych wartości błędów dopasowania numerycznych modeli regresyjnych iłu do danych z pomiarów (noresd_s) LP MODEL NUMERYCZNY IŁU noresd_s [kpa] σ = 50 kpa σ = 00 kpa σ = 50 kpa 4 5 Model numeryczny linear,0595 0,8809,0 Model numeryczny - interaction,0555 0,880,080 Model numeryczny - quadratic,040 0,7469 0, Model numeryczny - purequadratic,04 0,7675 0,848 5 Model numeryczny SSN _5_ 0,55 0,55 0,697 6 Model numeryczny linear 0,954 0,975, Model numeryczny - interaction 0,9466 0,964, Model numeryczny - quadratic 0,5570 0,94, Model numeryczny - purequadratic 0,849 0,947,576 0 Model numeryczny SSN _5_ 0,44 0,8909,55 Model numeryczny linear,070 0,7969,049 Model numeryczny - interaction,055 0,7600 0,9447 Model numeryczny - quadratic,06 0,709 0,755 4 Model numeryczny - purequadratic,07 0,794 0, Model numeryczny SSN _5_ 0,96 0,87 0,80 6 Model numeryczny 4 linear,00 0,85,78 7 Model numeryczny 4 - interaction,094 0,7977,08 8 Model numeryczny 4 - quadratic 0,9979 0,79 0,80 9 Model numeryczny 4 - purequadratic 0,9999 0,76 0,864 0 Model numeryczny 4 SSN _5_ 0,65 0,55 0,45 Jak wynika z przedstawionych w Tabeli 5. wyników, jakość dopasowania uzyskanych modeli regresyjnych do danych pomiarowych wzrasta (spada wartość miary błędu dopasowania noresd_s) wraz ze zwiększaniem się stopnia nieliniowości metody bądź modelu służącego do budowy modelu regresyjnego.

32 6. Wnioski. Porównanie wartości kąta tarcia wewnętrznego uzyskanych kolejno w drodze interpretacji klasycznej (wartość referencyjna uzyskana metodą ścieżek naprężenia φ = 5,6769 ), interpretacji opartej o dane wygładzone tradycyjnymi metodami numerycznymi (regresją ruchomą średnią φ = 5,686 i regresją wielomianową φ = 5,749 ), oraz interpretacji opartej o dane wygładzone sztucznymi sieciami neuronowymi (SSN _0_ φ = 5,777 i SSN o zróżnicowanych strukturach φ = 5,6909 ), pozwala na stwierdzenie, że różnica wartości między tymi parametrami jest mniejsza niż % wartości referencyjnej kąta tarcia wewnętrznego.. Porównanie wartości spójności uzyskanych kolejno w drodze interpretacji klasycznej (wartość referencyjna uzyskana metodą ścieżek naprężenia c = 6,486 kpa), interpretacji opartej o dane wygładzone tradycyjnymi metodami numerycznymi (regresją ruchomą średnią c = 6,4 kpa i regresją wielomianową c = 6,94 kpa), oraz interpretacji opartej o dane wygładzone sztucznymi sieciami neuronowymi (SSN _0_ c = 6,885 kpa i SSN o zróżnicowanych strukturach c = 6,587 kpa), pozwala na stwierdzenie, że różnica wartości między tymi parametrami jest mniejsza niż % wartości referencyjnej spójności.. Porównanie rozrzutu wartości kąta tarcia wewnętrznego uzyskanych podczas interpretacji klasycznej, opartej o dane pomiarowe Δφ =,9% wartości referencyjnej, uzyskanych podczas interpretacji opartej o dane wygładzone tradycyjnymi metodami numerycznymi Δφ =,% wartości referencyjnej, oraz uzyskanych podczas interpretacji opartej o dane wygładzone sztucznymi sieciami neuronowymi Δφ = 0,5% wartości referencyjnej, pozwala na stwierdzenie, że rozrzut wartości kąta tarcia wewnętrznego jest największy w interpretacji klasycznej, maleje przy zastosowaniu tradycyjnych metod numerycznych, a najmniejszy jest przy zastosowaniu w procesie interpretacji wyników badania trójosiowego sztucznych sieci neuronowych.

33 4. Porównanie rozrzutu wartości spójności uzyskanych podczas interpretacji klasycznej, opartej o dane pomiarowe Δc =,% wartości referencyjnej, uzyskanych podczas interpretacji opartej o dane wygładzone tradycyjnymi metodami numerycznymi Δφ = 0,5% wartości referencyjnej, oraz uzyskanych podczas interpretacji opartej o dane wygładzone sztucznymi sieciami neuronowymi Δφ = 0,% wartości referencyjnej, pozwala na stwierdzenie, że rozrzut wartości spójności jest największy w interpretacji klasycznej, maleje przy zastosowaniu tradycyjnych metod numerycznych, a najmniejszy jest przy zastosowaniu w procesie interpretacji wyników badania trójosiowego sztucznych sieci neuronowych. 5. Zmniejszenie rozrzutu uzyskanych wartości parametrów wytrzymałościowych gruntu oznacza zmniejszenie poziomu błędów i zwiększenie wiarygodności uzyskanych wyników badania trójosiowego ściskania; największą redukcję błędów i zwiększenie wiarygodności uzyskano przy zastosowaniu w procesie interpretacji wyników badania trójosiowego ściskania sztucznych sieci neuronowych. 6. Podczas budowy numerycznych modeli regresyjnych badanego iłu najlepsze dopasowania do danych pomiarowych dla każdego ze źródłowych modeli numerycznych i dla każdego testu trójosiowego ściskania uzyskano, stosując metodę sztucznych sieci neuronowych _5_. 7. Podczas budowy numerycznych modeli regresyjnych badanego iłu metodą regresji liniowej dwóch zmiennych coraz lepsze dopasowania do danych pomiarowych (coraz mniejsze wartości nores_d) dla każdego ze źródłowych modeli numerycznych i dla każdego testu trójosiowego ściskania uzyskano, stosując kolejno modele regresji liniowej uwzględniające w coraz większym stopniu zależności nieliniowe między ε, σ i σ: linear, interaction, purequadratic i quadratic. 8. Analiza dopasowania numerycznych modeli regresyjnych do danych pomiarowych wykazała, że niezależnie od stosowanej metody modelowania (regresja liniowa dwóch zmiennych lub SSN _5_) najlepsze dopasowania uzyskano dla numerycznych modeli regresyjnych opartych o model numeryczny (utworzony

34 SSN _0_) lub model numeryczny 4 (utworzony SSN _9_, _0_ i _40_). Należy zatem uznać sztuczne sieci neuronowe za najlepsze z wykorzystanych w niniejszych badaniach narzędzie do wygładzania danych pomiarowych w badaniu trójosowego ściskania. 9. Interesujące są konsekwencje równoległego stosowania do interpretacji wyników badań kilku metod numerycznych o różnych mechanizmach aproksymacji danych. O prawidłowości wykonania badania i wysokiej wiarygodności uzyskanych wyników może świadczyć zbieżność uzyskanych wartości parametrów (w niniejszej pracy parametrów wytrzymałościowych gruntu). Brak zbieżności uzyskanych wyników powinien być przesłanką do ponownej, szczegółowej analizy całego przeprowadzonego doświadczenia, w celu wykrycia źródła problemów, korekty założeń i ponownego przeprowadzenia pomiaru.

35 7. 4 Literatura Kuźniar, K.: Sztuczne sieci neuronowe, Konspekt, nr 4 / 007, Petrozolin-Skowrońska, B. (Red): Nowa encyklopedia powszechna PWN, PWN, Warszawa 996 Pyle, D., Data Preparation for Data Mining, Morgan Kaufmann Publishers, Los Altos, California, 999 Strzałkowski, A., Śliżyński, A., Matematyczne metody opracowywania wyników pomiarów, PWN, Warszawa, 978 Sulewska, M., J., Sztuczne sieci neuronowe w ocenie parametrów zagęszczenia gruntów niespoistych, Oficyna Wydawnicza Politechniki Białostockiej, 009 Tadeusiewicz, R., Sieci neuronowe, Akademicka Oficyna Wydawnicza RM, Warszawa 99 Tadeusiewicz, R., Gąciarz, T., Borowik, B., Leper, B.: Odkrywanie właściwości sieci neuronowych przy użyciu programów w języku C#, Polska Akademia Umiejętności, Kraków 007