Homogenizacja tektury falistej

Transkrypt

1 Homogenizcj tektury flistej Część 2. Homogenizcj numeryczn Homogeniztion of Corrugted Pperord Prt 2. Numericl homogeniztion Tomsz Growski, Mrek Jrmuszczk Artykuł jest kontynucją prcy dotyczącej homogenizcji tektury flistej. Homogenizcj jest procesem, który umożliwi zstąpienie heterogenicznej struktury tektury flistej homogenicznym modelem zstępczym. Poprzez odpowiedni doór prmetrów efektywnych modelu zstępczego możn uzyskć wyniki zliżone do tych, które generuje model strukturlny. W drugiej części rtykułu przedstwiono numeryczne techniki homogenizcji płyt wrstwowych z rdzeniem o periodycznej strukturze. Techniki numerycznej homogenizcji oprte są n metodzie elementów skończonych. W prcy przedstwiono prmetry efektywne uzyskne metodmi nlitycznymi orz numerycznymi. Autorzy zestwili również porównnie wyników uzysknych z modelu strukturlnego orz z modeli uproszczonych. Słow kluczowe: tektur flist, homogenizcj, metod elementów skończonych This rticle is continution of work concerning homogeniztion of corrugted crdord. Homogeniztion is process tht llows to replce the heterogeneous structure of corrugted pperord with homogeneous surrogte model. Through n pproprite choice of effective prmeters in surrogte model one cn otin results similr to those tht re generted y the structurl model. The second prt of the pper presents numericl homogeniztion techniques of sndwich pnels with periodic core structure. Numericl homogeniztion techniques re sed here on the finite element method. The pper summrizes the effective prmeters otined from nlyticl nd numericl methods. The comprison of the results otined from the structurl model nd the simplified models is lso presented. Keywords: corrugted crdord, homogeniztion, finite element methods Krótkie wprowdzenie Metod elementów skończonych (1-3) zstosown w niniejszej prcy w procesie homogenizcji jest jedną z njczęściej wykorzystywnych metod numerycznych n świecie. Jej powodzenie i populrność wynik z rdzo prostego sformułowni mtemtycznego orz wielu ogólnie dostępnych rozwiązń typowych prolemów inżynierskich. Tym smym metod elementów skończonych (MES) znlzł rdzo szerokie zstosownie również w homogenizcji numerycznej lmintów orz płyt i powłok z periodycznym rdzeniem (np. tektur flist). W literturze nukowej możn znleźć prce dotyczące wykorzystni MES w homogenizcji oprtej n wielosklowym modelowniu numerycznym (4), czy klsycznej metodzie symptotycznej ekspnsji (ng. symptotic expnsion) (5-7). W niniejszym rtykule zprezentowno metodę homogenizcji numerycznej (8), w której model numeryczny pełnej struktury tektury flistej wykorzystny jest do wyznczeni zstępczej sztywności poprzez zstosownie twierdzeni Hill-Mndel. Homogenizcj numeryczn Homogenizcj numeryczn jest njrdziej uniwerslną techniką, oprtą, jk już wspomnino, n metodzie elementów skończonych, gdzie w pierwszej kolejności nleży stworzyć model numeryczny reprezenttywnej próki ojętościowej (ng. representtive volume element, RVE). Przykłd tkiej próki przedstwiono n rysunku 1. Dr inż. T. Growski, Politechnik Poznńsk, Centrum Mechtroniki, Biomechniki i Nnoinżynierii, ul. Piotrowo 5, Poznń; mgr inż. M. Jrmuszczk, TFP Sp. z o.o., Dziećmierowo, ul. Ktowick 26, Kórnik 1

2 Wektor stłych uogólnionych odksztłceń powiązny jest z przemieszczenimi i-tego węzł n krwędzich RVE poprzez podmcierz : [4] gdzie: Rys. 1. Prók reprezenttywn wykorzystn do homogenizcji numerycznej Nstępnie nleży wyznczyć mcierz sztywności cłego modelu, gdzie jest liczą stopni swoody (ng. degrees of freedom), zdefiniowną jko iloczyn liczy wszystkich węzłów i stopni swoody w pojedynczym węźle. W implementcji utorów przyjęto, że zestw ktywnych stopni swoody w kżdym węźle zdefiniowny jest nstępującym wektorem: Nstępnie mcierz sztywności skondensown (sprowdzon) jest do zewnętrznych krwędzi RVE (zznczonych kolorem czerwonym n rys. 2). Skondensown mcierz sztywności, oznczon jko m wymir, gdzie równ się sumie iloczynów liczy węzłów n krwędzich RVE i stopni swoody w kżdym węźle. Jeżeli mcierz [1] zostnie podzielon n loki tk, y zgrupowć sztywności przypdjące n węzły wewnętrzne i zewnętrzne (n krwędzich RVE), to skondensowną mcierz sztywności możn zpisć w nstępujący sposó: [2] [5] Wykorzystując definicję energii odksztłceń sprężystych (8) możn w łtwy sposó wyznczyć mcierz sztywności lmintu: [6] Z tk wyznczonej mcierzy, podonie jk w przypdku homogenizcji nlitycznej, przedstwionej w pierwszej części rtykułu (9), możn w pierwszym kroku oliczyć zstępczą gruość efektywną (10) z równni: [7] nstępnie efektywne prmetry zstępcze z równni: [8] Zgrupowne loki skondensownej mcierzy mją postć: [3] lu efektywne wrtości średnie z równni: [8] [9] [9] Przykłdy oliczeniowe i wnioski Rys. 2. Stopnie swoody w pojedynczym węźle n krwędzi elementu reprezenttywnego W celu porównni wyników homogenizcji przeprowdzonej różnymi metodmi, wykorzystny zostł test sztywności zginni (rys. 3) próek tektury flistej (rys. 4), wykonnej z wrstw o włściwościch mechnicznych i gruościch przedstwionych 2

3 w teli 1. Konstrukcj jest symetryczn z uwgi n wykorzystnie zewnętrznych wrstw płskich wykonnych z tego smego mteriłu. W przypdku niesymetrycznych konstrukcji nleży wziąć pod uwgę wpływ prmetrów zginni n rozciągnie orz prmetrów rozciągni n zginnie, co wymg uwzględnieni w procesie homogenizcji również podmcierzy. Tel 1. Prmetry geometryczne i mteriłowe skłdowych ppierów tektury flistej Wrstwy tektury gruość [mm] [MP] [MP] [-] [MP] wrstw zewnętrzn 0, , wrstw poflown 0, , wrstw wewnętrzn 0, , Wrtości pozostłych prmetrów mteriłowych, z uwgi n ich mrginlne znczenie, przyjęto priori równe dl wszystkich wrstw tektury, odpowiednio: MP,, MP. Do oliczeń numerycznych zostł wyrny komercyjny progrm Aqus w wersji 6.13 firmy 3DS Simuli (11). W oliczenich wykorzystno linowe elementy powłokowe, 4-węzłowe z pełnym cłkowniem (6 stopni swoody w kżdym węźle). Licz elementów skończonych w modelu strukturlnym wynosi 20 tysięcy, ntomist w modelu zhomogenizownym Schemt oliczeniowy dl próki zginnej metodą czteropunktową przedstwiono n rysunku 3, ntomist wymiry próki orz geometrię wrstwy poflownej n rysunku 4. Tel 2. Wrtości sztywności rozciągni i zginni uzyskne różnymi metodmi homogenizcji Komponent sztywności W telch 3 i 4 pokzno wrtości efektywne: () gruości, () moduły sztywności podłużnej, (c) poprzecznej orz (d) współczynnik Poisson. Wrtości wyznczono z podmcierzy (równnie [8]), podmcierzy podstwie wzoru [9]. (równnie [8]) orz n Tel 3 zwier wrtości zhomogenizowne do jednej wrstwy uzyskne metodą nlityczną (CLPT) przedstwioną w prcy (9), ntomist tel 4 metodą numeryczną (NumH). Tel 3. Prmetry efektywne uzyskne metodą homogenizcji nlitycznej Efektywne prmetry CLPT typ-1 wzoru [9] NumH typ-1 CLPT typ-2 wzoru [8] NumH typ-2 A(1,1) 2116, ,50 67,22 74,80 A(1,2) 367,21 381,77 12,26 21,31 A(2,2) 1654, ,90 610,90 614,22 A(3,3) 785,81 665,50 287,64 167,13 D(1,1) 6498, ,20 170,95 98,11 D(1,2) 1127, ,30 31,35 22,93 D(2,2) 3935, ,40 712,81 693,26 D(3,3) 1872, ,50 334,14 155,89 wzoru [8] gruość 5,69 5,69 5,69 379,67 357,56 401,78 261,42 279, ,92 138,05 121,80 0,25 0,22 0,29 Rys. 3. Schemt sttyczny testu czteropunktowego zginni Tel 4. Prmetry efektywne uzyskne metodą homogenizcji numerycznej Rys. 4. Prók o wymirch: L=200 mm, =100 mm, t=3,8 mm, podziłk P=8 mm W teli 2 zestwiono główne wrtości mcierzy w przypdku homogenizcji struktury tektury flistej do jednej wrstwy orz do lmintu (typ-2) metodą nlityczną, oprtą n klsycznej teorii lmintów (CLPT) przedstwioną w prcy (9) orz metodą numeryczną (NumH). Efektywne prmetry wzoru [9] wzoru [8] wzoru [8] gruość 5,69 5,69 5,69 379,57 360,79 398,35 260,88 279,65 242,12 113,71 116,91 110,51 0,26 0,23 0,29 3

4 Tele 5 i 6 zwierją wrtości wyznczone nlogicznie jk w poprzednim przypdku, jednkże homogenizcj dotyczy tylko wrstwy poflownej. Wrto zuwżyć, że sztywność flutingu w kierunku podłużnym (MD) jest ok. 20-krotnie niższ niż w kierunku poprzecznym (CD). W przypdku homogenizcji tektury do lmintu (typ-2) gruość zstępczą przyjmuje się równą wysokości wrstwy poflownej, pomimo większych rozieżności pomiędzy prmetrmi efektywnymi wyznczonymi ze wzorów n sztywność zginni [8] i sztywność rozciągni [8]. Uśrednienie prmetrów efektywnych uzysknych dl gruości równej wysokości flutingu (wrtości pogruione w telch 5 i 6) dje wyniki njliższe otrzymnym z modelu strukturlnego. Poprzez przyjęcie zstępczej gruości wrstwy poflownej, innej niż początkow wysokość tej wrstwy, wprowdz się zminę sztywności wrstw zewnętrznych (linerów) z uwgi n zwiększnie (zmniejsznie) ich odległości od osi oojętnej, co prowdzi do zwiększeni (zmniejszeni) momentu ezwłdności tych wrstw i dlszej rozieżności w wynikch. (rys. 5) orz z modelu zhomogenizownego do lmintu (typ-2) metodą nlityczną (rys. 6). Wszystkie wyniki oprcowno z wykorzystniem nieliniowej metody elementów skończonych. Rys. 4. Ugięcie w kierunku osi z [mm] modelu strukturlnego w wyniku zginni próki () w kierunku MD orz () w kierunku CD Tel 5. Prmetry efektywne uzyskne metodą homogenizcji nlitycznej (typ-2) Efektywne ze wzoru ze wzoru ze wzoru ze wzoru ze wzoru ze wzoru prmetry [9] [8] [8] [9] [8] [8] gruość 3,89 3,89 3,89 3,22 3,22 3,22 25,89 17,22 34,57 40,87 20,80 60,95 150,29 156,46 144,13 221,59 189,03 254,14 71,02 73,94 68,11 104,71 89,32 120,10 0,03 0,02 0,04 0,03 0,02 0,04 Rys. 5. Ugięcie w kierunku osi z [mm] modelu homogenizownego do jednej wrstwy w wyniku zginni próki () w kierunku MD orz () w kierunku CD Tel 6. Prmetry efektywne uzyskne metodą homogenizcji numerycznej Efektywne ze wzoru ze wzoru ze wzoru ze wzoru ze wzoru ze wzoru prmetry [9] [8] [8] [9] [8] [8] gruość 3,64 3,64 3,64 3,22 3,22 3,22 22,23 20,32 24,15 28,99 23,00 34,99 168,76 166,90 170,63 218,05 188,86 247,25 42,27 45,87 38,67 53,96 51,90 56,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 Rysunki przedstwiją mpy przemieszczeń próki w teście zginni czteropunktowego. Mksymlne wrtości przemieszczeń uzyskne z symulcji testu zginni w kierunku MD (rys. 4) orz CD (rys. 4), wykorzystującej model strukturlny, są rdzo zliżone do wrtości ugięć uzysknych z modelu zhomogenizownego do jednej wrstwy metodą numeryczną Rys. 6. Ugięcie w kierunku osi z [mm] modelu homogenizownego do lmintu w wyniku zginni próki () w kierunku MD orz () w kierunku CD Rysunki 7 i 8 przedstwiją wykresy nieliniowej zleżności pomiędzy momentem zginjącym w kierunku MD (rys. 7 i 8) orz w kierunku CD (rys. 7 i 8) wrtością mksymlnego ugięci próki w środku rozpiętości. N rysunku 7 przedstwiono porównnie wyników uzysknych z modelu strukturlnego orz modeli zhomogenizownych do jednej wrstwy i lmintu metodą nlityczną, ntomist n rysunku 8 metodą numeryczną. 4

5 Rys. 7. Zleżność ugięci w kierunku osi z od momentu zginjącego wszystkich trzech modeli, przy zginniu próki () w kierunku MD orz () w kierunku CD. Homogenizcj nlityczn Odpowiednie zstosownie technik homogenizcji tektury flistej umożliwi stworzenie uproszczonego modelu numerycznego, dzięki któremu możn wirygodnie oszcowć np. wytrzymłość pudł n ścisknie (12, 13). Celem homogenizcji, jk już wielokrotnie podkreślno w tekście, jest skrócenie czsu nlizy orz możliwie wierne odzwierciedlenie zchowni pełnego modelu strukturlnego. W prcy udowodniono, że model oliczeniowy poddny procedurze homogenizcji pozwl zncznie zredukowć ilość stopni swoody (nwet 1000-krotnie), tkże uzyskć wyniki jkościowo i ilościowo zgodne z wynikmi otrzymnymi z nlizy wykorzystującej pełny model strukturlny. Bdni finnsowne przez projekt Stże i szkoleni drogą do komercjlizcji wiedzy zrelizowny w rmch Progrmu Opercyjnego Kpitł Ludzki LITERATURA Rys. 8. Zleżność ugięci w kierunku osi z od momentu zginjącego wszystkich trzech modeli, przy zginniu próki () w kierunku MD orz () w kierunku CD. Homogenizcj numeryczn Podsumownie W prcy zprezentowno wyrne metody homogenizcji nlitycznej orz numerycznej modelu strukturlnego tektury flistej. Wyniki jednozncznie potwierdzją możliwość zstosowni zrówno metody nlitycznej oprtej n klsycznej teorii lmintów, jk i metody numerycznej homogenizcji modeli sprowdzonych do jednej wrstwy orz do lmintu. Wżnym elementem homogenizcji jest poprwne wyznczenie zstępczej gruości. W przypdku homogenizcji do jednej wrstwy, zstępcz gruość jest wyznczn tk, y uzyskć njlepszą zgodność pomiędzy efektywną sztywnością zginni orz sztywnością rozciągni z odpowidjącymi sztywnościmi modelu strukturlnego. W tym przypdku gruość zstępcz zzwyczj jest większ niż wyjściow wysokość tektury flistej. Homogenizcj do lmintu wiąże się z przyjęciem zstępczej gruości równej wysokości wrstwy poflownej, co pozwl n modyfikcję tylko tej wrstwy (pozostłe wrstwy zewnętrzne pozostją ez zmin). 1. Zienkiewicz O.C., Tylor R.L.: The Finite Element Method for Solid nd Structurl Mechnics, Butterworth-Heinemnn, Crisfield M. A.: Non-Liner Finite Element Anlysis of Solids nd Structures, Wiley, Bthe K.-J.: Finite element procedures, Englewood Cliffs: Prentice- Hll, Miehe C., Koch A.: Computtionl micro-to-mcro trnsitions of discretized microstructures undergoing smll strins, Archive of Applied Mechnics 72, (2002). 5. Cheng G.-D., Ci Y.-W., Xu L.: Novel implementtion of homogeniztion method to predict effective properties of periodic mterils, Act Mechnic Sinic 29, 4, (2013) 6. Quesnel T., Bunnic N., Crtrud P.: Homogeniztion of corrugted core sndwich pnels, Composite Structures 59, (2003). 7. Lewiński T., Teleg J.J.: Pltes, Lmintes nd Shells. Asymptotic Anlysis nd Homogeniztion, World Scientific, Singpore, Bincolini M.E.: Evlution of equivlent stiffness properties of corrugted ord, Composite Structures 69, (2005). 9. Growski T., Jrmuszczk M.: Homogeniztion of corrugted pperord. Prt 1. Anlyticl homogeniztion, Przegl. Ppiern. 70, 6, (2014). 10. Aqus Anlysis User s Guide Shell section ehvior overview/ 12. Growski T., Jrmuszczk M.: Numericl Strength Estimte of Corrugted Bord Pckges Prt 1. Theoreticl Assumptions in Numericl Modeling of Pperord Pckges, Przegl. Ppiern. 70, 4, (2014). 13. Growski T., Jrmuszczk M.: Numericl Strength Estimte of Corrugted Bord Pckges Prt 2. Experimentl Tests nd Numericl Anlysis of Pperord Pckges, Przegl. Ppiern. 70, 5, (2014). 5