( 1) ( ) e( t) [ V] Rys. 1. Rozwiązanie: 1) Wyłącznik zamknięty (dioda zwarta)

Transkrypt

1 EOELEKA Ogólnopolska Olimpiada Wiedzy Elektrycznej i Elektronicznej ok szkolny 009/00 ozwiązania zadań dla grupy elektrycznej na zawody stopnia (finał) adanie nr (autor dr inŝ. adosław Kłosiński) akładając, Ŝe elementy obwodu przedstawionego na rys. a są idealne, obliczyć wartość średnią napięcia wskazywaną przez woltomierz magnetoelektryczny, przy otwartym oraz przy zamkniętym wyłączniku. Przebieg czasowy siły elektromotorycznej źródła przedstawia rys. b. a) e( t) ozwiązanie: ys. u ( t) V b) ) Wyłącznik zamknięty (dioda zwarta) 4 e( t) [ V] W tym przypadku układ dwóch rezystorów stanowi dzielnik napięcia, napięcie u ( t ) mierzone przez woltomierz stanowi połowę napięcia źródła. Wskazanie woltomierza, czyli wartość średnia dana jest wzorem: Vz sr 0 ( ) u t dt W rozpatrywanym przypadku: Vz ( ) 4 ( ) 4 e t dt dt + dt dt dt ( 4 ( 0) ( ) ) 0,[ V] ) Wyłącznik otwarty W tym przypadku, przy polaryzacji diody w kierunku zaporowym, czyli gdy napięcie źródła przyjmuje ujemne wartości, całe napięcie źródła odkłada się na diodzie. Przy polaryzacji diody w kierunku przewodzenia napięcie doprowadzone do woltomierza jest równe połowie napięcia źródła zasilania. Wskazanie woltomierza określa wyraŝenie: Vz 4dt + ( ) dt dt dt 0 0 ( ( 0) ( ) ) 0,[ V] adanie moŝna rozwiązać bez całkowania na zasadzie zrozumienia pojęcia wartości średniej i intuicyjnego sumowania powierzchni ograniczonej wykresem. t [ s]

2 adanie nr (autor dr inŝ. obert Smoleński) asobnik energii elektrycznej składa się z n 0 szeregowo połączonych, jednakowych superkondensatorów (typu PC700) o pojemności C S 700 F. asobnik ten naładowano do napięcia nominalnego N 0 V. Wyznaczyć pojemność zastępczą C zasobnika oraz energię E zgromadzoną w zasobniku. Wyznaczyć czas w jakim nastąpi rozładowanie zasobnika do połowy napięcia nominalnego, w przypadku obciąŝania go stałą mocą P O 0, kw. ozwiązanie: C 700 C S F, n 0 gdzie: C S pojemność jednego superkondensatora, n liczba superkondensatorów w zasobniku C 00 E N J 6870 J C ( ) ( 00 6) N K, s PO 000 gdzie K jest wartością końcową napięcia w procesie rozładowania. adanie nr (autor dr inŝ. obert Smoleński) Obcowzbudny silnik elektryczny prądu stałego ma następujące dane: P n 9, kw; n 00 V; n 0 A; n n 000 obr/min; 0, Ω. Wyznaczyć naturalną charakterystykę mechaniczną silnika. Wyznaczyć takŝe prędkość obrotową przy momencie obciąŝenia na wale wynoszącym Nm, strumieniu wzbudzenia wynoszącym 0% wartości znamionowej oraz rezystancji dodatkowej w obwodzie twornika d 0,8 Ω. ozwiązanie: 00 0 n n C e φ n 0,60 ωn 4 π gdzie: ω n n n 4 60 s V s Charakterystyka mechaniczna silnika jest liniowa. Wyznaczamy dwa punkty: dla 0: 00 ω 0 n 0, Ce φn 0,60 s dla n : P 900 n n 0, N m; ωn 4 ω n 4 s atem prędkość przy Ce φ 0, C e φn, Nm oraz d 0,8 Ω : Ce φ ω n Ce φ Ce φ + n ω d , C e φn ( 0, C ) 0,09 s e φn

3 60 n ω π 70 obr min adanie nr 4 (autor dr inŝ. irosław iszewski) Na rys. pokazano schemat blokowy regulowanego napędu asynchronicznego, wykorzystujący falownik napięcia z modulacją szerokości impulsu do zasilania silnika indukcyjnego o danych: N 0 V; P N 0 kw; f N 0 Hz; n N 470 obr/min; maxn / N,4. Napęd przeznaczony jest do pracy ciągłej, a silnik jest przewietrzany niezaleŝnym wentylatorem (chłodzenie wymuszone obce). Na rys. pokazano charakterystyki maksymalnej mocy i maksymalnego momentu, które przy danej prędkości mogą być rozwijane przez taki napęd. Są one dwustrefowe. W miarę wzrostu prędkości silnika od zera mamy strefę stałego strumienia magnetycznego (stałego momentu). W strefie tej maksymalny prąd nie przekracza prądu znamionowego silnika, natomiast napięcie wzrasta wraz z prędkością obrotową, zachowując w przybliŝeniu warunek /f const. oment rozwijany przez napęd moŝe zmieniać się od zera do momentu znamionowego. Po osiągnięciu przez silnik punktu pracy znamionowej rozpoczyna się strefa odwzbudzania (stałej mocy). Prąd i napięcie stojana, oraz moc silnika nie przekraczają wartości znamionowych. Napęd moŝe rozwijać moc od zera do mocy znamionowej, natomiast maksymalny moment, który moŝe być rozwijany przez silnik, jest w tej strefie odwrotnie proporcjonalny do prędkości obrotowej silnika. oment maksymalny (utyku) silnika indukcyjnego wyraŝa się przybliŝoną zaleŝnością (przy pominięciu rezystancji stojana) fn max maxn ω X, σ N f gdzie: napięcie stojana (międzyprzewodowe); ω prędkość kątowa synchroniczna; X σ reaktancja rozproszenia silnika. PoniewaŜ w strefie stałej mocy moment utyku silnika zmniejsza się ze wzrostem prędkości szybciej niŝ maksymalny moment obrotowy, który moŝe być rozwijany przez napęd (rys. 4), przyjmuje się, Ŝe graniczną górną wartością częstotliwości strefy stałej mocy jest punkt, w którym moment utyku silnika zrówna się z maksymalną wartością momentu obrotowego, który moŝe być rozwijany przez napęd (punkt na rys. ). Oczywiście w praktyce trzeba zachować pewną przeciąŝalność silnika (linia graniczna G rys. ). L L L f const const P, P N N C L DC const P P N N f var var strefa const n N strefa P const ys. ys.

4 ys. 4 ys. Wyznacz tę teoretyczną, maksymalną częstotliwość napięcia zasilania silnika f max i odpowiadającą jej prędkość obrotową silnika, przy załoŝeniu Ŝe silnik jest obciąŝony momentem oporowym, wynikającym z warunku stałej mocy. W rozwaŝaniach pomiń rezystancję stojana i opory tarcia i przyjmij, Ŝe silnik moŝe wirować z dowolnie duŝą prędkością. ozwiązanie: Wychodząc z następujących zaleŝności ω π n /60 π f 60 f, skąd n p 0f, p w którym: p liczba par biegunów (p ); n synchroniczna prędkość silnika. eaktancja rozproszenia stojana jest równa X σ π f L σ. W strefie stałej mocy (P ω const) napięcie stojana jest stałe, zatem moment maksymalny silnika będzie odwrotnie proporcjonalny do kwadratu prędkości (rys. 4) fn max maxn. f oment maksymalny (utyku) silnika zmniejsza się zatem szybciej niŝ maksymalny moment, który moŝe rozwijać napęd, pokazany na rysunku. Jest on odwrotnie proporcjonalny do prędkości napędu n (rys. ) n N N. n eoretyczna granica pracy napędu jest w punkcie, w którym moment maksymalny (utyku) silnika zrówna się maksymalnym momentem rozwijanym przez napęd (punkt na rysunku ), ale w praktyce trzeba pamiętać o zachowaniu pewnej przeciąŝalności silnika (linia G na rysunku ). A zatem, wpierw określimy poślizg znamionowy silnika n n s N N 0,0. nn potem zaś poślizg krytyczny w warunkach znamionowych N N skn sn + 0,08. maxn maxn PoniewaŜ s kn, X σ to przy dowolnej częstotliwości stojana f poślizg krytyczny będzie równy f s N k skn. f

5 Przecięcie obu krzywych nastąpi w przybliŝeniu przy poślizgu krytycznym silnika przy zasilaniu stojana napięciem o częstotliwości f max. A zatem przy częstotliwości maksymalnej f max wartość poślizgu krytycznego, odpowiadająca prędkości obrotowej n max, będzie mniejsza od znamionowego poślizgu krytycznego i wyniesie f s kmax s N kn, f max natomiast prędkość obrotowa odpowiadająca tej częstotliwości przy poślizgu krytycznym n max n max ( s kmax ) 0 f max ( s kmax ). Współrzędne przecięcia się obu krzywych momentu muszą spełnić równanie f N max maxn n N N n N N. fmax n f N 0 fmax skn fmax W mianowniku ostatniego ułamka zachodzi nierówność f s N kn <<, f max zatem pierwszy element nierówności moŝna pominąć w poprzednim równaniu (wynosi on w przybliŝeniu 0,04). ównanie upraszcza się do postaci f N max maxn n N f N, max 0 fmax co oznacza, Ŝe w strefie osłabiania mocy prędkość silnika jest proporcjonalna do częstotliwości. Nie jest błędem, jeŝeli ktoś napisze to równanie w ten sposób od razu, gdyŝ poślizgi silnika w strefie osłabiania mocy, szczególnie w jej górnym zakresie, są bardzo małe i moŝna je zaniedbać. ostatniego równania mamy ostatecznie maxn 0 f f N max 4 Hz. N nn Odpowiada to prędkości (obliczonej z przybliŝonego wzoru) n max n max 0 f max 40 obr/min. adanie nr (autor dr inŝ. irosław iszewski) Na rys. 6 przedstawiono cztery przebiegi okresowe prądu. Wiadomo o nich, Ŝe wszystkie one mają taką samą wartość okresu ms oraz taką samą wartość średnią AV 0 A. Oblicz, jaką moc będą wydzielać prądy o poszczególnych przebiegach na rezystorze o rezystancji Ω. a) c) m / / t m / / t b) d) m t m t / / / / 4/ ys. 6 ozwiązanie:

6 namy wartości średnie prądów, ale do obliczenia mocy musimy wyznaczyć wartości skuteczne tych prądów. Wartość okresu przebiegów nie ma w tym przypadku Ŝadnego znaczenia, bo jest znacznie mniejsza od wartości cieplnej stałej czasowej rezystorów spotykanych w praktyce. a) Jest to przebieg sinusoidalny, wyprostowany dwupołówkowo. Dla takiego przebiegu od razu mamy, na podstawie wartości średniej półokresowej dla przebiegu sinusoidalnego, a zarazem wartości średniej za cały okres dla przebiegu wyprostowanego dwupołówkowo: AV π m. drugiej strony wiadomo, Ŝe wartość skuteczna takiego przebiegu nawet po wyprostowaniu (szukamy średniej z kwadratu przebiegu, więc znak nie ma tu znaczenia wartości całek w obu półokresach są takie same) wynosi / S + i dt i d t 0 / porównania mamy π S AV. atem moc wydzielana na rezystorze będzie równa P S W. m. b) Jest to przebieg sinusoidalny, wyprostowany jednopołówkowo. W tym przypadku wartość maksymalna musi być dwukrotnie większa, aby dać taką samą wartość średnią AV π m. Wartość skuteczną prądu przedstawimy jako sumę całek w kaŝdej połówce okresu, przy czym wartość całki w drugim półokresie równa jest zeru / / S + π i d t 0 d t i d t m AV. / 0 / 0 atem moc wydzielana na rezystorze będzie równa P S 47 W. c) utaj sprawa jest prostsza, gdyŝ całkowanie moŝemy zastąpić zwykłym mnoŝeniem / mdt + 0 dt m AV 0 / m, S i dt m m 0 AV, P 00 W. d) amy podobną sytuację, co w poprzednim przypadku AV m, P 00 W. S m AV,

7 adanie nr 6 (autor dr inŝ. Eugeniusz oŝnowski) Stosując przekształcenie trójkąta w gwiazdę wyznacz wszystkie prądy w niezrównowaŝonym mostku (schemat na rys. 7). Napięcie zasilające 0 V. mpedancje gałęzi wynoszą: 0 Ω, j,0 Ω, j0 Ω, 4,0 Ω oraz -j0 Ω. Wyznacz moc czynną, bierną i pozorną obwodu. B A 4 4 D C ys. 7 ozwiązanie: - przekształcamy trójkąt ABC w gwiazdę B B A A A E B C ED 4 4 D C 0( j0) A j0 Ω gdzie j0 j0 0 Ω B + + 0( j0) j0 Ω 0 C + + j0( j0) 0 Ω 0 B + j0 + j j Ω C Ω + ( j)() j j7 (, j4,) Ω j W A + j0 +, j4, (, + j,) Ω

8 - wyznaczamy prąd W 0 (6, + j, j) A - wyznaczamy napięcie między zaciskami ED ED ( 6 j)(, j4,) ( 90 j60) V - wyznaczamy prąd oraz 4 90 j60 ( j ED 90 + j60 (6 4 ED + j8) A j4) A -wyznaczamy prąd A A ( 6 j)(j0) (0 + j60) V B B ( j8)( j0) ( 80 j0) V A + B (40 40 j60 (4 0 j60) V j6) A - prąd moŝna wyznaczyć z pierwszego prawa Kirchhoffa dla węzła A (6 j) (4 j6) ( - prąd wyznaczamy z węzła B 0 j6) A (4 j6) ( j8) ( wyznaczamy moce występujące w obwodzie * S P + jq 0(6 + j) ( moc czynna P780 W - moc bierna Q860 var j) A j860) VA