ZASTOSOWANIE MODYFIKACJI METODY K-ŚREDNICH W ANALIZIE PORTFELOWEJ. WSTĘP METODA K-ŚREDNICH.

Transkrypt

1 Robert Petrzyows, Paweł Kobus Katedra Eonometr Informaty,GGW e-mal: ZATOOWANIE MODYFIKACJI METODY K-ŚREDNICH W ANALIZIE PORTFELOWEJ. treszczene: W pracy przedstawono modyfacje metody - średnch oraz jej zastosowane do analzy spółe gełdowych notowanych na Warszawsej Gełdze Paperów Wartoścowych w rou 004. W podzale na grupy uwzględnono 06 spółe, tóre grupowano ze względu na najczęścej wyorzystywane wsaźn fnansowo - eonomczne. łowa luczowe: analza portfelowa, analza supeń, metoda średnch, WTĘP Prognozowane w analze fnansowej spółe odbywa sę zwyle na podstawe danych hstorycznych. Zwyle wyorzystuje sę ceny poszczególnych acj aby wnosować o ch zaupe bądź sprzedaŝy. Jedna oprócz tych danych wyorzystuje sę równeŝ nne wsaźn, tóre oreślają ondycję fnansową spół. W podejmowanu trudnych dla nwestora decyzj wyorzystuje sę róŝne metody statystyczne. Ze względu na złoŝoność problemu brane pod uwagę welu wsaźnów, rozwaŝa sę welowymarowe metody statystyczne ta do lat osemdzesątych najbardzej popularną metodą była analza dysrymnacyjna. W latach dzewęćdzesątych zaczęto stosować metody regresj logstycznej oraz sec neuronowych. Natomast w ostatnch latach wyorzystuje sę metody tasonomczne tae ja: analza supeń, analzy -średnch nne. W pracy zaprezentowano modyfację metody -średnch, tórą zastosowano do podzału spółe gełdowych ze względu na najczęścej wyorzystywane wsaźn w analze fundamentalnej. METODA K-ŚREDNICH. Metoda średnch naleŝy do metod podzałowych analzy supeń. Metody podzałowe polegają na dzelenu całego zboru obetów zgodne z ogólną zasadą masymalzacj warancj pomędzy poszczególnym grupam, przy jednoczesnej mnmalzacj warancj wewnątrz badanych grup. Idea metody -średnch została opracowana w latach pęćdzesątych przez T. Dalenusa, tóry przedstawł teracyjną procedurę podzału populacj na grup, ta by zmnmalzować welość wewnątrzgrupowej warancj. D.R.Cox [Cox, 957]

2 30 w swojej pracy podał funcję merzącą welość strat zwązanych z podzałem obetów na grup według jednowymarowej zmennej o rozładze normalnym. Uogólnene dla przypadu welowymarowego przedstawł G.. ebestyen [ebestyen, 96]. Autorstwo metody -średnch, przypsuje sę jedna J. McQueen ow [McQueen, 967], tóry rozpatrywał efetywność tejŝe metody z puntu wdzena losowego doboru obetów do wyróŝnonych grup. [Grabńs, 99]. Metoda -średnch naleŝy do metod optymalzacyjno-teracyjnych. Istota tej grupy metod polega na tym, Ŝ optymalzowana jest pewna funcja jaośc podzału obetów. Funcję ryterum moŝna zapsać w postac formuły mnmalzującej ślad macerzy warancj wewnątrzgrupowej lub masymalzującej ślad macerzy warancj mędzygrupowej [Gatnar, 998]. Metodę -średnch wyorzystuje sę do analzy duŝych lośc danych, a jej stota polega na zreduowanu duŝej lośc nagromadzonych nformacj do lu podstawowych ategor, co pozwala na łatwe zorentowane sę w danym zjawsu, wycągnęce wnosów uogólnających. Zastosowane metody -średnch daje moŝlwość ustalena typolog w zarese badanych obetów oraz oreślene jednorodnych przedmotów analzy, w tórej łatwej jest wyodrębnć czynn systematyczne oraz ewentualne zwąz przyczynowo-sutowe. Jej zastosowane moŝe prowadzć do zmnejszena naładów czasu osztów badań przez ogranczene rozwaŝań do najbardzej typowych fatów, zjaws czy obetów przy stosunowo newelch stratach nformacj. Dzałane metody -średnch moŝna zawrzeć w następujących puntach. Puntem wyjśca jest wstępny podzał zboru na supeń, arbtralne wrzucając obety do tych grup. Poszuuje sę taego przypsana obetów do grup, by w ch obrębe osągnąć masymalne podobeństwo przy zachowanu masymalnych róŝnc mędzygrupowych. Algorytm stosuje sę do momentu otrzymana taego podzału jednoste, aby uzysać ja najbardzej stotne wyn analzy warancj. Problem z jam spotya sę badacz w analze -średnch to ustalene wstępnego podzału na lczbę supeń. Podzału tego moŝna doonać w sposób losowy lub operając sę na ocene espertów, tóra wyna z ntucj lub znajomośc przedmotu badań. MoŜna równeŝ wyorzystać nne metody tasonomczne. Ogólna dea tych procedur polega na poprawanu danego podzału obetów z puntu wdzena odpowedno zdefnowanego ryterum optymalnośc podzału. Załadamy, Ŝ (, n-), gdze n jest lczbą obetów. Warant metody -średnch moŝna opsać następująco. Nech X, X, X 3,..., X n będą obetam p cechowym. (to znaczy X [x,..., x m ]). Na początu ustala sę wyjścową macerz środów cęŝośc grup B [ x lj ] (l,, p; j,, m) () gdze m lczba zmennych Dla aŝdej z grup oblczamy średną (połoŝene centrodu). Wyznacza sę odległośc perwszej neprzydzelonej jednost od środów cęŝośc

3 303 poszczególnych grup walfuje ją do grupy najblŝej połoŝonej. Następne wyznacza sę wartość wyjścowego błędu podzału obetów mędzy grup e n d l gdze: d l odległość Euldesa mędzy -tym obetem a najblŝszym l-tym środem cęŝośc: m j dl ( xj xlj ) (,..., n) Zestaw odległośc euldesowych oblczany jest pomędzy poszczególnym elementam zboru a olejnym centrodam. Dla perwszego obetu oreśla sę zmany błędu podzału wynające z przyporządowana go olejno do wszystch atualne występujących grup: () nd n d e l (4) n + n gdze: n lczebność - tej grupy, d odległość perwszego obetu od środa cęŝośc - tej grupy, n - lczebność grupy zawerającej perwszy obet, d odległość perwszego obetu od najblŝszego środa cęŝośc. () JeŜel mnmalna wartość wyraŝena dla wszystch l l jest ujemna, to e l () perwszy obet przypsuje sę do grupy, dla tórej e l mn. Następne powtarza sę oblczena to znaczy od nowa oblcza sę środ cęŝośc grup B uwzględnając doonaną transformację obetu oraz wyznacza atualną wartość błędu podzału. JeŜel mnmalna wartość wyŝej przedstawonego wyraŝena jest dodatna lub równa zero, to ne doonujemy juŝ Ŝadnych zman. Operacje opsane powyŝej powtarza sę dla aŝdego następnego obetu. Gdy ne obserwujemy juŝ Ŝadnych przesunęć obetów z grupy do grupy, czyl gdy aŝdy element jest w grupe, w tórej centrod jest mu najblŝszy, wówczas postępowane sę ończy w perwszej wersj podzału. W przecwnym wypadu rozpoczyna sę następną terację, aŝ do momentu, w tórym ch lczba ne przeroczy zadanej wartośc [Zelaś n., 989, Wtowsa, 00]. Istneje wele modyfacj tej metody netóre z nch moŝna znaleźć u Grabńsego, Zelasa nnych. [Grabńs, 99, Zelaś n., 989] MODYFIKACJA METODY K - ŚREDNICH. Obserwowane obety X, X,,X n są obetam p cechowym, to znaczy X (X,,X p ), gdze,,n. PonewaŜ lczba supeń jest z góry ustalona, szuamy najlepszego podzału J() {G, G,, G }, tórym będze podzał zboru {,, N} na rozłącznych podzborów. Wyberamy najlepszy spośród wszystch uzysanych podzałów, to znaczy ta, dla tórego zróŝncowane () (3)

4 304 wewnątrzgrupowe było najmnejsze oraz zmenność pomędzy grupam była ja najwęsza czyl oznaczając ta podzał przez J*() (to ta podzał na grup, Ŝe zróŝncowane mędzygrupowe w stosunu do zróŝncowana wewnątrzgrupowego jest najwęsze.) Jao mern zróŝncowana mędzygrupowego przyjęto: gdze: xj ( ) x G A( J ( )) x G x x J ( ) - środe cęŝośc proponowanego podzału J() - środe cęŝośc -tej grupy. - oznacza normę euldesową wetora X (x,,x p ) to X p znaczy X X Jao mern zróŝncowana wewnątrzgrupowego zaproponowano: E( J ( )) N j x j x Wtedy J*() będze tam podzałem na grup, Ŝe: oraz nech A( J*( )) E( J*( )) G max J( ) f ( ) A( J*( )) E( J*( )) d N A( J ( )) E( J ( )) j Funcja ryterum to ogólna suma odległośc wewnątrzgrupowych lczonych od środa grup, tórych współrzędne wyznaczono jao średne arytmetyczne wartośc cech obetów naleŝących do danej podgrupy. Jao optymalny podzał J*() obetów na supena wybera sę ten, dla tórego funcja oreślona wzoram 7, 8 osąga masmum [Petrzyows n., 005]. DANE DOŚWIADCZALNE. W analze wyorzystano spół notowane na Gełdze Paperów Wartoścowych od styczna do grudna 004. Pomnęto spół, tóre w badanym orese zostały wycofane z notowań, oraz tae, dla tórych d j (5) (6) (7) (8)

5 305 dane eonomczno fnansowe były neompletne. W rezultace analzę przeprowadzono na 06 spółach gełdowych. Jao zestaw zmennych charateryzujących decyzje nwestycyjne oraz ryzyo ch podejmowana wyorzystuje sę pęć grup wsaźnów opsujących ondycję eonomczno fnansową frmy. Jao zmenne grupujące do analzy wybrano sedem wsaźnów eonomcznofnansowych. Powodem wybrana taej ombnacj jest ch duŝe zróŝncowane ja stosunowo doładne odzwercedlene ondycj fnansowej frmy. Wybrane wsaźn fnansowe to mary lasyczne, powszechne stosowane do oreślena ondycj fnansowej frmy. Dzę nm moŝna zdentyfować mocne słabe strony dzałalnośc gospodarczej frmy. ą one równeŝ źródłem nformacj o zagroŝenach szansach rozwoju strategcznego frmy. Najwęszą wadą jest fat, Ŝ mają znaczene hstoryczne. Z reguły wyznacza sę je na onec rou obrachunowego lub wartalne, a w przyszłośc ch znaczene z mesąca na mesąc spada. W dalszej analze wyorzystano następujące wsaźn eonomczno fnansowe (w nawase podano przyjęte oznaczena wsaźnów): ROI (W); ROE (W); ROA (W3); wsaźn rentownośc sprzedaŝy (W4); wsaźn zysownośc netto (W5); wsaźn aptałowy (W6); obrotowość (produtywność) atywów ogółem (W7). Wsaźn W W4 naleŝą do grupy wsaźnów zwrotu z nwestycj. Wsaźn W, W3 W5 zalcza sę do grupy wsaźnów zysownośc. Wsaźn W6 to wsaźn zalczany do grupy wsaźnów aptałowych, a wsaźn oznaczony jao W7 naleŝy do grupy wsaźnów atywnośc gospodarczej. WYNIKI Na wyrese przedstawono wartośc funcj f(), gdze na os pozomej znajdują sę lczby supeń. Ja wdać na wyrese funcja osągnęła masmum dla pęcu supeń. Z badań przeprowadzonych dla polsego rynu aptałowego wyna, Ŝe dobrze zdywersyfowany portfel otrzymuje sę dla acj z przedzału od pęcu do pętnastu spółe dlatego masmum funcj szuano w tam zarese.

6 Wyres. Wartośc funcj f() 3,5,5 0,5 0-0, upene upene upene 4 Wyres. Średne dla trzech supeń. Powstaje problem ja wybrać spół z poszczególnych supeń do naszego portfela acj. Ja wspomnano wcześnej pomjamy te supena, w tórych jest jedna bądź dwe spół. Pozostaje wec wybór spółe z trzech supeń. Problemem jest jedna, tóre spół wybrać. Na wyrese przedstawono, wpływ poszczególnych wsaźnów na przydzelene spółe do odpowednch supeń. Ja moŝna zauwaŝyć wsaźn tóry najbardzej róŝncował otrzymane podzały to obrotowość (produtywność) atywów ogółem (W7), chocaŝ moŝna powedzeć, Ŝe podobne dzałał wsaźn aptałowy (W6).

7 307 W tabel przedstawono spół, tóre zostały przydzelone do poszczególnych supeń. Najmnej lczne supena to supene trzece pąte. W supenu trzecm znalazły sę dwe spół, a w supenu pątym tylo jedna. pół, tóre znalazły sę w tych supenach są spółam albo bardzo dobrym lub bardzo słabym ze względu na badane wsaźn eonomczne. W supenu perwszym, drugm czwartym znalazły sę pozostałe spół. W poszczególnych supenach znalazły sę spół, tóre były podobne ze względu na wsaźn fnansowoeonomczne, a ne oneczne podobne ze względu na prowadzona dzałalność gospodarczą lub oddzaływane na rynu gospodarczym. Z tych supeń najbardzej lczne jest supene czwarte. Tabela. pół przydzelone do poszczególnych supeń przy podzale 5. Numer supena Nazwa pół upene perwsze PRÓCHNIK; AMRET; BICK; BYTOM; ELEKTROEX; IBYTEM; MOTALZAB; PEMUG; WARZĘDZ; WIMED; WFM OBORNIKI; upene druge ATLANTI; BUDOPOL; TELL; TIM; PGF; AMPLI; KAREN NOTEBOOK; NEONET; JAGO; INDYKPOL; ZREW; ORFE; ODLEWNIE; PROVIMI-ROLIMPEX; FARMACOL; ALMA MARKET; TALPRODUKT; C; INTERIA; OKOŁÓW; ŚRUBEX; MCI; POLMO BIA.; MEDIATEL; TORFARM; ELDORADO; EUROCAH; ROPCZYCE; WAWEL; PROPER; IGROUP; OPTIMU; MACROOFT; DECORA; LENA; TALPROFIL; CAPITAL P.; PROJPRZEM; upene trzece ŁDA INVET; FON upene czwarte EKODROB; TUP; AL PRA; PPWK; REBUD; IDMAPL; FAMEG; EUROFAKTOR; TVN; PEP; POLNORD; PROCHEM; NKT CABLE; TRZELEC; TALEXPORT; ELMONTWAR; ECHO; PKN ORLEN; POLNA; GANT; ZETKAMA; TRAVELPLANET; RMF FM; HOOP; MOTALWAR; PROKOM; TRA-INTUR; BUDIMEX; KOPEX; BEEF AN; EFEKT; BARLINEK; NAFTOBUDOWA; REDAN; VARIANT; MIEZKO; OFTBANK; TP A; BAUMA; 7BULL.COM; POLIGRAFIA; NOVITA; KOGENERACJA; TECHMEX; PBG; GRAAL; FERRUM; BETACOM (); INTERCAR; RELPOL; KRUK; CERANIT; EMAX; ELBUDOWA; COMARCH; PRATERM; MUZA; AMICA; KOELNER; WÓLCZANKA; FAING; CENTALGD; KRONO; BĘDZIN; RAFAKO; KOZIENICE; śywiec; MEWA; LPP; KGHM; WANDALEX; KRUZWICA; HYGIENIKA; ZT_ERG; CIECH; WITIL; COMPUTERLAND; AQUA; IRENA; PEPEE; KOMPAP; MNI; IMPEXMETAL; PAGED; WP; BIOTON; POLLENA; ARTMAN; MATER; IMPLE; GROCLIN; ELTAR OIL; PLATBOX; ELZAB; POLMO LUB.; APATOR; FORTE; HOGA; BET; BORYZEW; HUTMEN; CCC; ORBI; ODRATRAN; BOLEŁAWIEC; IMPEL; GRUPA ONET; LUBAWA; DWORY; JUTRZENKA; REMAK; AGORA; ANOK; GRAJEWO; KĘTY; ŚNIEśKA; PIN; DUDA; ZEG; ATM GRUPA; FAM; WILBO; VITULA; MILMET; DĘBICA; ATM; ANWIL; COMP; OZC; KOTAN; PONARFEH; JELFA; LZP PROTEKTOR; MPEC; ZELMER; UWARY; POLICE; LOTO; JCAUTO; MONDI; LENTEX; TALEX; NETIA; PUŁAWY; DGA; HYDROTOR; POLCOLORIT; PERMEDIA; ABG TER-PROJEKT; OPOCZNO; MENNICA; PEKAE; NOWAGALA; UNIMIL;. upene pąte ELEKTRIM Do portfela przyjęto te spół, tóre najmnej róŝnły sę od średnch odległośc oreślających poszczególne wsaźn eonomczno - fnansowe ze szczególnym uwzględnenem wsaźna obrotowość (produtywność) atywów ogółem. W efece uzysano portfel sładający sę z pęcu spółe: Próchn, Amrest, PGF, Mond, Budmex.

8 308 PODUMOWANIE. Metoda -średnch jest pomocna w tworzenu portfela acj. Ze względu na pomnęce spółe ze supeń jedno dwuelementowych, powstaje jedna problem wyboru acj ta by zdywersyfować portfel. NaleŜy wec stwerdzć, Ŝe metoda -średnch ne jest metodą tóra oreśla, tóre spół pownny znaleźć sę w portfelu. MoŜna powedzeć, Ŝe jest ona prostym narzędzem dzę tóremu moŝna przeprowadzać szybe analzy welowymarowe. Zastosowane modyfacj tej metody pozwolło oreślć na le supeń podzelć badane obety. W standardowej metodze -średnch lczbę supeń przyjmujemy arbtralne, a tym samym ne jesteśmy do ońca pewn czy nasz podzał moŝna uznać za najlepszy. Dzę tej metodze udało sę dobrać spół, z róŝnym gałęz gospodar w oparcu o wsaźn fnansowo-eonomczne czyl oprócz dywersyfacj pozomej uwzględnono równeŝ dywersyfację ponową. Wybrane spół wydają sę być podobne ze względu na badane wsaźn co moŝna wpływać na dywersyfację ryzya portfela. LITERATURA Cox D.R. Note of groupng, Journal of The Amercan tatstcal Assocaton, 957. McQueen J. ome methods for classfcaton and analyss of multvarate observatons, 5 th Beraley ymposum on Mathematcs, tatstcs and Probablty, 967. Gatnar E. ymbolczne metody lasyfacj danych PWN, Warszawa, 998 Grabńs T. Metody tasonometr wyd. Aadem Eonomcznej w Kraowe, 99 Petrzyows R., Zelńs W., Kozoł D. Wyorzystane metody -średnch w tasonom portfela acj wyd. WyŜszej zoły Eonomczno Informatycznej, Warszawa, 005, s. 3, ebestyen G.. Decson mang process n pattern recognton, John Wley and ons, New Yor, 96. Wtowsa D. ztuczne sec neuronowe metody statystyczne. C. H. Bec, Warszawa 00 Zelaś A, Grabńs T, Wydmus., Metody tasonom numerycznej w modelowanu zjaws społeczno gospodarczych PWN Warszawa, 989 Applcaton of modfy -means method to portofolo analyss. ummary: In the paper propose some modfcaton method of -means to portofolo analyss. As an example, consder parttons nto clusters of 06 stocs for Warsow toc Exchange n 004 year. Key words: portofolo analyss, method -means, cluster analyss.