Problemy optymalizacji. Problem matematycznie definiuje tzw. funkcja kosztu [celu] f( 1, 2,... N), której minimum poszukujemy
|
|
- Bronisława Smolińska
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Problemy optymalizacji przykłady problemów do optymalizacji Przykład 1 układ połączeń na płytce drukowanej Do optymalizacji 1) Rozmiar płytki 2) Długość połączeń 3) Czas wytwarzania Przykład 2 Najbardziej efektywny rozkład jazdy Problem matematycznie definiuje tzw. funkcja kosztu [celu] f( 1, 2,... N), której minimum poszukujemy
2 Przykład 3 Matematyczny opis zjawiska, które jak się wydaje podlega zależności liniowej y= + x Regresja liniowa Przykład 4: tor ruchu ciała jako zagadnienie optymalizacyjne zasada najmniejszego działania: P(t=t1)=P1 P(t=t0)=P0 Fizycznie realizowana trajektoria to ta na której S = min. Zamiast argumentu liczbowego funkcja. Wektor położeń jako argument po dyskretyzacji toru.
3 Optymalizacja: 1) funkcja kosztu [funkcja celu] : dana w postaci analitycznej (wzoru) lub nie przykłady na nie: funkcja kosztu szacowana w doświadczeniu regulacja anteny tv, optymalizacja lekarstw, funkcja kosztu wyliczana przy pomocy symulacji (np. aerodynamicznych do optymalizacji kształtu) 2) 3) 4) 5) ilość zmiennych (1, więcej, nieskończona) zmienne: ciągłe/dyskretne (nieskończenie lub skończenie wiele możliwych argumentów) statyczna (trasa najkrótsza) / dynamiczna [zależna od czasu najszybsza trasa dojazdu] funkcja gładka lub nie (możemy korzystać z pochodnej lub nie) zależnie od problemu możemy wybrać algorytm deterministyczny lub probabilistyczny dokładny lub heurystyczny
4 Zadanie jest najłatwiejsze gdy funkcja kosztu jest kwadratowa i dana wzorem analitycznym problem liniowy
5 1D: Jeśli funkcja f(x) nie jest kwadratowa, ale jej pochodna f (x) istnieje i jest znana można poszukać jej zer i wyznaczyć, w którym f minimalna Jeśli funkcja gładka, lecz pochodna nieznana można ją wyliczyć numerycznie lub pracować na samej funkcji Np. Metoda parabol 0.8 f (x ) f(x)=sin(x)/x x f' (x ) f (x)=cos(x)/x-sin(x)/x rysunek z rozdziału o metodzie Brenta z Numerical Recipes x rozwiązywanie RNL w 2 i więcej D : problem trudny W 1D: można nawet przeszukać całą dziedzinę funkcji gładkiej i skoncentrować się na lokalnych minimach.
6 W wielu wymiarach: funkcja gładka zmiennej ciągłej 1) można minimalizować funkcję po każdej ze zmiennych po kolei 2) metoda największego spadku (wymaga znajomości pochodnych)
7 metoda downhill simplex, amoeba (Melder-Nead) - gdy pochodne nieznane lub nie do wykorzystania (np. oscylacje małej amplitudy) N+1 wierzchołków w N wymiarach pojedyncza iteracja: 1) ABC simpleks w i-tej iteracji (powiedzmy A-najgorszy, B-najlepszy 2) D odbicie przez BC (linia najgorszy / średnia pozostałych). 3)Jeśli f(d)<f(a) ekspansja do E. 4) Jeśli f(d) > f(a) ściągnięcie punkty F i G 5) Jeśli f(f)>f(a) i f(g)>f(a) simpleks się kurczy do najlepszego punktu H,I
8 Optymalizacja funkcji kosztu f bywa zadaniem trudnym gdy dziedzina f wielowymiarowa powierzchnia funkcji kosztu skomplikowana wiele minimów lokalnych, Wszystkie metody tradycyjne : znajdują lokalne (najbliższe) minimum funkcji gładkiej globalnego nie znajdą chyba, że przypadkiem niezastąpione: do znalezienia dokładnego położenia minimum, gdy znane jego otoczenie
9 optymalizacja kombinatoryczna: zmienna dyskretna Przykład: najkrótsza sieć (kanalizacyjna, energetyczna, światłowodowa) dla miast powiatowych województwa małopolskiego:
10 W realnych zastosowaniach nie tylko funkcja nieciągła (nie ma mowy o pochodnych): ale i zmienna dyskretna Przykład: najkrótsza sieć (kanalizacyjna, energetyczna, światłowodowa) dla miast powiatowych województwa małopolskiego: Województwo zakodowane w postaci grafu poszukiwane najkrótsze drzewo spinające. C K 31 M W S NT B 32 L T NS 36 G
11 W realnych zastosowaniach nie tylko funkcja nieciągła (nie ma mowy o pochodnych): ale i zmienna dyskretna Przykład: najkrótsza sieć (kanalizacyjna, energetyczna, światłowodowa) dla miast powiatowych województwa małopolskiego: Województwo zakodowane w postaci grafu poszukiwane najkrótsze drzewo spinające. C K 31 M W S B NT Rozwiązanie: 32 L T NS 36 G
12 W realnych zastosowaniach nie tylko funkcja nieciągła (nie ma mowy o pochodnych): ale i zmienna dyskretna Przykład: najkrótsza sieć (kanalizacyjna, energetyczna, światłowodowa) dla miast powiatowych województwa małopolskiego: Województwo zakodowane w postaci grafu poszukiwane najkrótsze drzewo spinające. C K 31 M W S NT Problem równie łatwy jak regresja liniowa Rozwiązanie: rozwiązanie dane przez algorytm zachłanny Kruskula : tworzymy las dodając po kolei najkrótsze krawędzie tak aby nie utworzyć pętli dostaniemy najlepsze rozwiązanie B 32 L T NS 36 G
13 Limanowa-Nowy Sącz C 41 T B M W L S 36 G 57 NS K NT
14 Wadowice-Chrzanów C 41 T B M W L S 36 G 57 NS K NT
15 Myślenice-Kraków C 41 T B M W L S 36 G 57 NS K NT
16 Bochnia-Limanowa C 41 T 43 B M W L S 36 G 57 NS K NT
17 Wadowice-Myślenice C 41 T B M W L S 36 G 57 NS K NT
18 Nowy Sącz-Gorlice C 41 T B M W L S 36 G 57 NS K NT
19 bezpośrednie połączenie CK już się nie przyda Kraków-Bochnia C 41 T K B M W L S 36 G 57 NS NT
20 Myślenice-Nowy Targ C 41 T K B M W L S 36 G 57 NS NT
21 C K 31 M W S B L T NS 36 G NT Algorytm zachłanny skuteczny więc - problem najkrótszego drzewa spinającego jest łatwy. Rozwiązanie: Złożoność dla najlepszej implementacji O( V log V ), V liczba wierzchołków
22 Inny ważny problem: najkrótsza trasa z A do B Problem najkrótszej drogi (przeszukiwanie grafu wszerz z oznaczaniem wierzchołków) Wierzchołki mają kolor, wagę i etykietę 0) Oznacz wszystkie wierzchołki kolorem białym. Przypisz wierzchołkowi startowemu wagę 0. 1) 2) Znajdź i zaczerń biały wierzchołek v o najmniejszej wadze Oznacz białych sąsiadów v jego wagą powiększoną o wagę wspólnej krawędzi (o ile nowa waga mniejsza od starej) oraz etykietą wierzchołka v Jeśli są jeszcze białe wierzchołki idź do 1 (złożoność V2) 3)
23 przykład: najkrótsze trasy z Gorlic do pozostałych miast 1) Gorlice malujemy na czarno, miastom sąsiednim nadajemy wagi odległości od Gorlic i indeks G. C K M W S NT B 32 L T 45 G NS 36 G 36 G 3) Liczymy odległości do Gorlic sąsiadów Nowego Sącza C 41 T K 45 G 42 B M W L59 NS S 36 G 57 NS 36 G NT 93 N S 2) Szukamy białego miasta o najmniejszej wadze i malujemy je na czarno (Nowy Sącz), wagę czarnego miasta ustalamy (mniejszej nie będzie) C 41 T K 45 G 42 B M W L S 36 G 57 NS 36 G NT
24 4) Najmniejszą wagę ma teraz Tarnów, 5) Następnie Limanowa C C T T45 G 42 B do Bochni z Gorlic 91 L? 36 M bliżej przez Tarnów niż W L59 NS 101 L przez Limanową S 36 G 57 NS 36 G NT 93 NS T T K 45 G 42 B M L59 N S G 57 NS 36 G NT 93 N S 31 W S 6) Bochnia C 7) Po Nowy Targu Myślenice, z nich bliżej do Wadowic K1 B 31 W S K 36 M T 42 B 43 C T 45 G L59 NS 101 L G 57 N S 36 G NT 93 NS 131B? do Myślenic jednak bliżej przez Limanową K1 B 89 T T 45 G 42 B M W L59 N S 101 L 158 N T M! 36 G 57 N S 36 G N T 93 N S
25 C 168 W ostatecznie 31 W 137 M Np.: z Chrzanowa do Gorlic trafimy po etykietach K1 B 89 T T 45 G B M L59 N S 101 L G 57 NS 36 G NT 93 N S C 168 W 31 W 137 M Zamiast stosować algorytmu można zrobić model z nitek i koralików, potem naciągnąć koraliki oznaczające Chrzanów i Gorlice K1 B 89 T T 45 G 42 B M L59 N S 101 L G 57 NS 36 G NT 93 N S
26 Widzieliśmy, że dwa ważne problemy mają efektywne, deterministyczne, dokładne rozwiązanie Niektóre problemy są jednak obiektywnie trudne (nie istnieje algorytm o złożoności wielomianowej): wybór najkrótszej zamkniętej trasy przez wszystkie miasta (problem komiwojażera): Odwiedzić wszystkie miasta w cyklu zamkniętym w takiej kolejności aby pokonana trasa była najkrótsza. -algorytm deterministyczny rozwiązujący problem dokładny z wielomianową złożonością nie istnieje, gdy problem o dużym rozmiarze należy rozwiązać stosuje się heurystyki. Algorytm zachłanny dla komiwojażera: Klasyczny problem testowy dla algorytmów optymalizacyjnych ruszaj do najbliższego miasta, którego jeszcze nie odwiedziłeś. - rozsądny: wyeliminuje przynajmniej długie przejazdy bez zatrzymywania się
27 Zachłanne rozwiązanie nie jest optymalne (choć nie najgorsze) Rozwiązanie zachłanne: start ze Szczecina: PL: 46 miast Najlepsze 153. Szukana jest permutacja - przejrzeć wszystkie N! - niewykonalne = ! najlepszy algorytm dokładny O(2N) lepiej niż n!, ale wciąż zbyt wiele 246= Gdy problem zbyt trudny by go rozwiązać dokładnie przy pomocy algorytmu deterministycznego można zadowolić się przybliżonym (heurystycznym) lub próbować je poprawić przy pomocy MC
28 Problem obiektywnie trudny = gdy najlepszy deterministyczny algorytm nie zakończy swojego działania w skończonym czasie klasy złożoności obliczeniowej Problemy decyzyjne: z odpowiedzią tak/nie Problemy NP P NP-zupełne Schemat obowiązuje pod warunkiem że P NP NP można sprawdzić odpowiedź w czasie wielomianowym zadanie rozkładu na czynniki liczby nieznany jest wielomianowy algorytm (na komputer klasyczny) ale jeśli ktoś nam poda odpowiedź szybko sprawdzimy. P problemy, w których istnieje algorytm o wielomianowej złożoności ( nie ma dowodu, że P NP.) NP zupełne (najtrudniejsze) można do nich sprowadzić dowolny problem z NP z nadkładem wielomianowym. Jeśli jeden z problemów NP.-zupełnych zostanie rozwiązany w czasie wielomianowym, to P=NP.
29 Problemy NP P NP-zupełne F Faktoryzacja jest na pewno NP, wydaje się, że nie jest P i że nie jest NP-zupełna. [ Wydaje się, że nie P na tyle, że standardowy w zakupach elektronicznych protokół klucza publicznego RSA] NP.-zupełne: problem spełnialności binarnego układu logicznego, problem komiwojażera, izomorfizmu grafów, kliki, kolorowania wierzchołków grafu i inne. W praktyce problemy, które nie są P stają się niemożliwe do dokładnego rozwiązania dla dużych rozmiarów zadania
30 najkrótsza trasa z A do B łatwy (bo wielomianowy algorytm znany) najkrótsza zamknięta trasa po wszystkich miastach trudny (bo algorytm wielomianowy nieznany i wydaje się, że nie istnieje) Inna znana para pozornie podobnych problemów o skrajnie różnej złożoności obliczeniowej: problem istnienia cyklu Eulera i cyklu Hamiltona w grafie Cykl (zamknięta ścieżka) Eulera Zadanie: zaplanować trasę spaceru :przejść po każdym moście dokładnie raz i wrócić do punktu wyjścia (przejść po wszystkich krawędziach grafu dokładnie raz i wrócić do punktu wyjścia)
31 3 stopień wierzchołka = liczba przyległych krawędzi 3 5 3
32 Cykl Eulera w grafie istnieje wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie jego wierzchołki są stopnia parzystego 3 stopień wierzchołka = liczba przyległych krawędzi przy każdym przejściu przez wierzchołek używamy 2 krawędzi zaczynamy spacer od dowolnego wierzchołka usuwając z grafu przebyte krawędzie, wrócimy do wierzchołka startowego bez rozspójniania grafu
33 Cykl Hamiltona (przejść po wszystkich wierzchołkach grafu dokładnie raz i wrócić do punktu wyjścia) problem NP-zupełny graf planarny (rzut środkowy dwunastościanu)
34 cykl Hamiltona dla dwunastościanu
35 Jeśli wiemy, że problem NP-zupełny, a rozmiar problemu duży poszukajmy rozwiązania przybliżonego Metoda dokładna nie zadziała w skończonym czasie. Jeśli nie wiemy jak - poszukajmy losowo. Lecz: Całkiem ślepe przeszukiwanie losowe nie różni się od przeglądania wszystkich rozwiązań: prawdopodobieństwo znalezienia najlepszego jest żadne, a i rozsądnego znikome. Problem komiwojażera dla 20 miast w pd-wsch Polsce Wszystkich permutacji jest 20!= Najlepsza trasa znaleziona po prób (długość [j.umowne] ) Widać, że kiepska: 1) skrzyżowane trasy 2) krócej będzie Tarnów-Nowy Sącz-Kraków Katowice
36 Najlepsza trasa znaleziona po losowaniach (długość [j.umowne] ) Algorytm zachłanny start z Częstochowy Wniosek: do przeszukiwania losowego potrzebny nam jest przewodnik.
37 Przewodnik do przeszukiwania losowego - inspiracje przyrodnicze Przyrodnicze (naturalne) algorytmy optymalizacji 1) Dobór naturalny algorytmy genetycze 2) Wygrzewanie próbek dla usunięcia defektów algorytm symulowanego wyżarzania Deterministyczne: najlepsze rozwiązanie w ściśle określonym czasie Probabilistyczne: używają generatora liczb losowych tak zaplanowane, aby prawdopodobieństwo znalezienia ściśle najlepszego duże. Metody MC: starają się poprawić przybliżone rozwiązanie. Mogą doprowadzić do optymalnego rozwiązania, ale nie mamy ścisłej gwarancji, że osiągnięte rozwiązanie jest najlepsze. w praktyce akceptujemy: najlepsze rozwiązania jakie znamy. Liczby losowe: wykonanie kroku poszukiwania oraz wprowadzenie innowacji w przeszukiwaniu.
38 Algorytmy genetyczne Powstające przypadkowo (mutacje) cechy zwiększające szanse na sukces ewolucyjny są zachowywane w genach gatunku i wzmacniane przez naturalną selekcję. Ewolucja = wielki proces optymalizacyjny Funkcja przystosowania cecha nr Y cecha nr X
39 DNA Informacja genetyczna zapisana w sekwencji zasad w łańcuchu polinukleotydowym język czteroliterowy A, G, T, C (odpowiednio adenina, guanina, tymina i cytozyna). Słowa: trójliterowe (każde słowo jeden z 20 aminokwasów) Zdania ze słów: program produkcji białek (każde złożone z aminokwasów) Każda pojedyncza helisa zawiera pełną informację (Zasady wiążą się ściśle parami A-T, G-C) replikacja (w nowej helisie DNA, jest pół starej, szansa na błędy mutacje)
40 Typowy algorytm genetyczny: Definicja problemu: kodowanie zmiennych (genotyp), i rozkodowanie (fenotyp) + funkcja kosztu Populacja początkowa Każdy osobnik z populacji niesie pewien kod genetyczny = argument funkcji kosztu Selekcja naturalna Osobniki najgorzej przystosowane (o największym koszcie) wymierają Osobniki przystosowane na tyle dobrze by żyć - łączą się w pary Wydają na świat potomstwo o genach odziedziczonych po rodzicach Pewna liczba osobników poddana jest przypadkowej mutacji Wymiana genów losowa. korzystne cechy rodziców będą wzmacniane a słabsze eliminowane przez selekcję naturalną. Mutacje mają wprowadzać cechy których nie mają rodzice. Krzyżowanie genów i mutacje z użyciem Dopóki zbieżność nie została osiągnięta liczb losowych.
41 Funkcja kosztu Dowolna: Ciągła, dyskretna, analityczna, dana na siatce, dana przez doświadczenie Algorytmy genetyczne można zastosować do każdego problemu optymalizacyjnego (choć nie zawsze będą optymalne). Kodowanie zmiennych: Jeśli np. f(x,y) - funkcja parametrów rzeczywistych: x i y mogą być liczbami zmiennoprzecinkowymi (zmiennoprzecinkowy kod genetyczny) - można też x i y poddać kwantyzacji i pracować na bajtach W problemie komiwojażera: zmienne kodowane jako permutacje liczb całkowitych (1,6,3,4,5,7,2) Naturalna selekcja: sortujemy osobniki wg funkcji kosztu: usuwamy najgorsze
42 Łączenie w pary Mnóstwo możliwości tu jest miejsce na optymalizację 1) kolejno ) losowo wg. rankingu kolejności np rodzic 50% potomstwa % % % 3) losowo wg. kosztu np.. zgodnie z rozkładem: (nr) f(nr) p(nr) (1) 5.29 (2) 5.8 (3) 5.8 (4) % 27% 27% 11% (5) 7.51 (6) 8 (7) 9 (8) pstwo wylosowania osobnika i na rodzica: proporcjonalne do jego odległości od najlepszego spośród wymarłych najlepszy spośród wyeliminowanych w naszym przykładzie d=5
43 Stworzyć dyskretny generator losowy o zadanym rozkładzie dysponując generatorem o rozkładzie równomiernym z przedziału [0,1] i f p % 27% 27% 11% Tworzymy dystrybuantę: rozkład pstwa, że wylosowany będzie osobnik o numerze i lub niższym 1 P(0)=0 P(1)=0.35 P(2)=0.62 P(3)=0.89 P(4)= Losujemy liczbę l z przedziału [0,1] z rozkładem równomiernym. Uznajemy, że wylosowany został osobnik i+1 (słownie i plus pierwszy), jeśli
44 Wymiana genów: 1) Binarna jeden lub więcej, w ciągu lub osobno 2) Zmiennoprzecinkowe R1, R2: P=(1- )R1+ R2 : losowe z [0,1] R2 R1 P gdzieś na odcinku Losując inne dla każdej współrzędnej: R2 R1 P gdzieś na prostokącie
45 Mutacje: 1) Binarna 2) Zmiennoprzecinkowa Losowe przesunięcie Np. odwrócenie bitu na losowo wybranej pozycji 3) Permutacja: przestawienie losowo wybranej pary [ ]
46 Przykład: minimum funkcji (de Jonga) danej przepisem analitycznym (x,y) [0,10] [0,10] f(9.0385, 8.666)= y x
47 Wylosowana populacja początkowa N=12 10 Pop. początkowa y x 6 8 nr x y f(x,y) fioletowe odrzucamy jako najgorzej przystosowane zielone będą przekazywać swoje geny dalej
48 Dobór w pary i potomstwo krzyżyki: rodzice dobór kolejnych par y x 6 potomstwo (kropki) wylosowane w prostokącie, którego wierzchołki przeciwległe do rodzice 8 nr x y f(x,y) xp = x xt+(1- x)xm gdzie x, y losowe z [0,1] yp = y yt+(1- y)ym
49 Dajmy się rozwijać populacji bez wprowadzania mutacji trzecie pokolenie y y x pokolenie piąte y 10 pokolenie czwarte x x Wybrany sposób wymiany genów: terytorium populacji kurczy się do jednego z minimów. globalne minimum nie zostało znalezione - populacja obsadza jedno z minimów lokalnych - szansa na zajęcie optymalnej niszy utracona w trzecim pokoleniu pokolenie
50 Mutacje Po wydaniu na świat potomstwa p=25% generacji ulega mutacjom. Mutacji unika najlepiej przystosowany organizm, bo go szkoda. Mutacja polega na przesunięciu punktu o wektor (dx,dy), przy czym dx i dy są losowe z przedziału [-2,2]. 30 pokolenie: y Tak skonstruowany algorytm znajduje raczej okolice globalnego minimum dokładne położenie wyszukamy metodą tradycyjną x
51 Liczebność populacji a optymalne prawdopodobieństwo mutacji
52 Algorytm genetyczny do rozwiązywania problemu komiwojażera Problem komiwojażera dla 20 miast w pd-wsch Polsce. Odległości: metryka euklidesowa nie drogowa (tak jak w przykładach poniżej) Rozwiązanie: permutacja miast np. (Opole,Katowice,Kraków,...,Opole)
53 Algorytm dla komiwojażera Jedno pokolenie: 1) populacja 96 osobników (tras): 48 najgorzej przystosowanych (najdłuższych) zastąpionych 48 potomstwem najlepiej przystosowanych (najkrótszych). 2) Wprowadzenie mutacji do 20% osobników Mutacji unika najlepiej przystosowany. W potomstwie mogą pojawić się duplikaty już istniejących osobników. Duplikaty nie wnoszą nic do bazy genów. Wszystkie zostają poddane przymusowej mutacji.
54 Lista długości tras: Nad kreską łączone w pary Pod kreską wymierają Krzyżowanie genów przy reprodukcji (krzyżowanie cykliczne): każdy osobnik: permutacja Rodzic 1: [ ] Rodzic 2: [ ] Losujemy pierwszy gen do wymiany: wylosowaliśmy pierwszy Rodzic 1: [ ] Rodzic 2: [ ] Rodzic 1 ma dwie 4. Wymieniamy starą. Rodzic 1: [ ] Rodzic 2: [ ] Rodzic 1 ma dwie 1. Wymieniamy starą. Rodzic 1: [ ] Rodzic 2: [ ] Rodzic 1 ma dwie 2. Wymieniamy starą. Rodzic 1: [ ] geny potomstwa Rodzic 2: [ ] Brak powtórzeń: wymiana zakończona
55 Dziedziczenie genów przykład: Dwa najlepsze osobniki w 50 pokoleniu dziedziczy zalety Nieoptymalny: okolice Rzeszowa potomstwo dziedziczy wady Nieoptymalna: Częstochowa
56 Mutacja: wymiana pary losowo wybranych elementów w permutacji [ ]
57 Rozwiązanie przy użyciu algorytmu genetycznego długość 64.1.
58 Algorytmy genetyczne-podsumowanie Optymalizują funkcje zmiennej ciągłej lub dyskretnej Funkcje wygenerowane numerycznie, eksperymentalnie lub dane analitycznie Stosowalne do skrajnie skomplikowanych powierzchni Nie wymagają znajomości ani istnienia pochodnych funkcji kosztu Jednocześnie przeszukują szeroki zakres zmiennych Radzą sobie z dużą ilością zmiennych Mogą wyprodukować całą listę lokalnych minimów, nie tylko globalne Nieźle się nadają do przetwarzania równoległego (gdy optymalizowana funkcja kosztowna numerycznie)
59 Przewodnik do przeszukiwania losowego - inspiracje przyrodnicze Przyrodnicze (naturalne) algorytmy optymalizacji MC 1) teoria doboru naturalnego algorytmy genetycze wygląd owada zoptymalizowany na drodze przypadkowego krzyżowania genów oraz mutacji z mechanizmem selekcji naturalnej 2) wzrost i hodowla kryształów, metalurgia algorytm symulowanego wygrzewania
60 atom węgla: węgiel -tworzy kierunkowe wiązania kowalencyjne Stabilne formy węgla: każda lokalne minimum energii diament E wiązania ( funkcja struktury układu)=e wiązania ( położeń atomów) grafit E grafit diament
61 Wzrost kryształów jako proces optymalizacji E wiązania ( funkcja struktury układu)=e wiązania ( położeń atomów) metoda Czochralskiego hodowli kryształów zarodek krystaliczny niska T roztopiony materiał ciut powyżej temperatury topnienia wysoka T
62 Wzrost kryształów jako proces optymalizacji E wiązania ( funkcja struktury układu)=e wiązania ( położeń atomów) metoda Czochralskiego wzrostu kryształów zarodek roztopiony materiał nieco powyżej temperatury topnienia zarodek wolno wyciągany roztopiony materiał stygnie i powoli krystalizuje jeśli odpowiednio wolno schładzany materiał krystalizuje w idealnej strukturze (o optymalnej energii wiązania) jeśli zarodek zbyt szybko wyciągnięty: kryształ będzie złej jakości defekty [układ osiąga najbliższe minimum lokalne]
63 położenie atomu Struktura krystaliczna i defekty: wakansja dyslokacja krawędziowa Defekty powodują naprężenia wewnętrzne. Kryształ z defektami jest twardy. położenie międzywęzłowe energia kryształu przywrócenie idealnej struktury: wymaga pokonania bariery energetycznej W metalurgii: dla usunięcia defektów (usunięcia naprężeń i zmiany twardości metalu) kryształ nagrzewa się do wysokiej temperatury, potem powoli schładza. Bariera energetyczna pokonana dzięki energii dostarczonej w formie ciepła. [proces odwrotny do hartowania stali]
64 Symulowane wygrzewanie (simulated annealing) Kirkpatrick, Science praca wykonana w IBM przy optymalizacji fizycznego projektowania układów scalonych) Krystalizacja optymalizacja energii wiązania w funkcji położeń wielkiej liczby atomów. Idealne optimum osiągane, gdy układ powoli schładzany (tak aby zachowana chwilowo równowaga termiczna). Pomysł: optymalizacja funkcji wielu zmiennych naśladująca proces krystalizacji. Teoria z mechaniki statystycznej: zachowanie układów o bardzo wielu stopniach swobody w równowadze termicznej z otoczeniem algorytm Metropolisa. Kirkpatrick algorytm Metropolisa do symulacji własności układów w równowadze termicznej z otoczeniem
65 Symulowane wygrzewanie optymalizowana funkcja traktowana jak energia pewnego układu. Dostarczyć energii, potem powoli [równowaga] ją odebrać liczymy, że układ szczęśliwie znajdzie drogę do minimum globalnego Układ ugrzązł w lokalnym minimum Symululacja zachowania układu o dużej liczbie s.swobody w równowadze termicznej
66 Kirkpatrick symulowane wyżarzanie w(e)=cexp(-e/kt) - Metropolis z modyfikacją rozkładu pstwa w miarę działania algorytmu - zamiast grupy wędrowców - jeden Algorytm symulowanego wyżarzania dla optymalizacji E(P) Wystartuj w punkcie P, ustaw wysoką temperaturę T Przesuń P losowo P =P+dP P ' ' Nowy punkt akceptowany (P:=P ) zawsze gdy lepszy E(P )<E(P) (lepszy=bardziej prawdopodobny wg.r.b) gdy E(P )>E(P) prawdopodobieństwo zaakceptowania punktu zmniejszyć T Koniec jeśli T=0 gorszego P dane przez np. exp(-(e(p )-E(P)) / kt) (rozkład Boltzmana) p e x p ( - E / k T ) k T = 1 k T = 0. 1 E k T = 1 0 Losujemy liczbę losową q wg rozkładu równomiernego, jeśli q < exp (-(E(P )-E(P)) / kt) P:=P Im niższe T, tym mniej chętnie akceptujemy przesunięcia w górę na skali energii P P '
67 Przykład 1: f(x)=sin(x)+x2/1000 Sposób zmiany temperatury: T=0.001 i2 gdzie i spada od 100 do 1 w każdej T wykonywana pewna liczba losowań (przesunięcia z przedziału [-2,2]) 2 T = 0.9 T = 0.1 Wysokie T punkt P wędruje między minimami Niskie T P uwięziony wokół jednego minimum 1 W wysokiej T przeszukiwany szeroki zakres zmiennych. W niższej algorytm bada dokładnie minimum, które może być globalne, jeśli schładzanie zostało odpowiednio wykonane Techniczna uwaga: gdy zmieniamy T: najlepiej startować od najlepszego rozwiązania uzyskanego do tej pory.
68 Przykład Zastosowanie S.A. Dla funkcji testowej de Jonga: y x Położenia P w kolejnych iteracjach: T>5 T< T<
69 zawężanie zakresu przeszukiwań z temperaturą: generowane ścieżki ścieżka (100 kroków) dla T= y x ścieżka (50 kroków) dla T=2 ścieżka (25 kroków) dla T=
70 Przykład 3: Problem komiwojażera Generowanie P z P: P=[ ] Losujemy pierwsze i ostatnie miasto Losowo zmieniamy kolejność P = [ ] Strategia schładzania a wynik końcowy długość P d lu g o s c tr a s y T Sposób zmiany T zbyt szybkie schłodzenie [do najbliższego minimum lokalnego] Najlepsze rozwiązanie n u m e r ite r a c ji / n u m e r ite r a c ji / 1 0 0
71 Przykład 4: klaster jonowy najprostsze przybliżenie: naładowane kule bilardowe (nie mogą się przenikać) d r dodatnio naładowane współrzędne r 1,r 2,... ujemnie naładowane współrzędne d 1,d 2,...
72 Przykład 4: klaster jonowy potencjał oddziaływania: załóżmy że promienie jonowe są równe 1 oddziaływanie jonów o różnym znaku o tym samym znaku najprostsze przybliżenie: naładowane kule bilardowe (nie mogą się przenikać) d r dodatnio naładowane współrzędne r 1,r 2,... ujemnie naładowane współrzędne d 1,d 2,...
73 Weźmy 5 jonów dodatnich, pięc ujemnych, dwa wymiary fcja 20 zmiennych konfiguracje z symulacji, strzałki pokazują wyniki dla obniżanej temperatury d r
74 minimum globalne ominięte minima lokalne
Optymalizacja Monte-Carlo - algorytmy inspirowane przyrodniczo (algorytmy genetyczne, symulowane wyżarzanie, stadne strategie obliczeniowe)
Optymalizacja Monte-Carlo - algorytmy inspirowane przyrodniczo (algorytmy genetyczne, symulowane wyżarzanie, stadne strategie obliczeniowe) przykłady problemów do optymalizacji Przykład 1 układ połączeń
Bardziej szczegółowo2) wzrost i hodowla kryształów, metalurgia algorytm symulowanego wygrzewania
Przewodnik do przeszukiwania losowego inspiracje przyrodnicze Przyrodnicze (naturalne) algorytmy optymalizacji MC 1) teoria doboru naturalnego algorytmy genetycze wygląd owada zoptymalizowany na drodze
Bardziej szczegółowoWybrane podstawowe rodzaje algorytmów
Wybrane podstawowe rodzaje algorytmów Tomasz Głowacki tglowacki@cs.put.poznan.pl Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych
Bardziej szczegółowoAlgorytmy genetyczne
Algorytmy genetyczne Motto: Zamiast pracowicie poszukiwać najlepszego rozwiązania problemu informatycznego lepiej pozwolić, żeby komputer sam sobie to rozwiązanie wyhodował! Algorytmy genetyczne służą
Bardziej szczegółowoAlgorytm genetyczny (genetic algorithm)-
Optymalizacja W praktyce inżynierskiej często zachodzi potrzeba znalezienia parametrów, dla których system/urządzenie będzie działać w sposób optymalny. Klasyczne podejście do optymalizacji: sformułowanie
Bardziej szczegółowoAlgorytm Genetyczny. zastosowanie do procesów rozmieszczenia stacji raportujących w sieciach komórkowych
Algorytm Genetyczny zastosowanie do procesów rozmieszczenia stacji raportujących w sieciach komórkowych Dlaczego Algorytmy Inspirowane Naturą? Rozwój nowych technologii: złożone problemy obliczeniowe w
Bardziej szczegółowoMetody przeszukiwania
Metody przeszukiwania Co to jest przeszukiwanie Przeszukiwanie polega na odnajdywaniu rozwiązania w dyskretnej przestrzeni rozwiązao. Zwykle przeszukiwanie polega na znalezieniu określonego rozwiązania
Bardziej szczegółowoAlgorytmy genetyczne
9 listopada 2010 y ewolucyjne - zbiór metod optymalizacji inspirowanych analogiami biologicznymi (ewolucja naturalna). Pojęcia odwzorowujące naturalne zjawiska: Osobnik Populacja Genotyp Fenotyp Gen Chromosom
Bardziej szczegółowoPLAN WYKŁADU OPTYMALIZACJA GLOBALNA OPERATOR KRZYŻOWANIA ETAPY KRZYŻOWANIA
PLAN WYKŁADU Operator krzyżowania Operator mutacji Operator inwersji Sukcesja Przykłady symulacji AG Kodowanie - rodzaje OPTYMALIZACJA GLOBALNA Wykład 3 dr inż. Agnieszka Bołtuć OPERATOR KRZYŻOWANIA Wymiana
Bardziej szczegółowoSCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO
SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO. Rzeczywistość (istniejąca lub projektowana).. Model fizyczny. 3. Model matematyczny (optymalizacyjny): a. Zmienne projektowania
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca
Bardziej szczegółowoAlgorytmy ewolucyjne NAZEWNICTWO
Algorytmy ewolucyjne http://zajecia.jakubw.pl/nai NAZEWNICTWO Algorytmy ewolucyjne nazwa ogólna, obejmująca metody szczegółowe, jak np.: algorytmy genetyczne programowanie genetyczne strategie ewolucyjne
Bardziej szczegółowoAproksymacja funkcji a regresja symboliczna
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(x), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(x), zwaną funkcją aproksymującą
Bardziej szczegółowo6. Klasyczny algorytm genetyczny. 1
6. Klasyczny algorytm genetyczny. 1 Idea algorytmu genetycznego została zaczerpnięta z nauk przyrodniczych opisujących zjawiska doboru naturalnego i dziedziczenia. Mechanizmy te polegają na przetrwaniu
Bardziej szczegółowoOptymalizacja. Wybrane algorytmy
dr hab. inż. Instytut Informatyki Politechnika Poznańska www.cs.put.poznan.pl/mkomosinski, Andrzej Jaszkiewicz Problem optymalizacji kombinatorycznej Problem optymalizacji kombinatorycznej jest problemem
Bardziej szczegółowoAlgorytmy ewolucyjne - algorytmy genetyczne. I. Karcz-Dulęba
Algorytmy ewolucyjne - algorytmy genetyczne I. Karcz-Dulęba Algorytmy klasyczne a algorytmy ewolucyjne Przeszukiwanie przestrzeni przez jeden punkt bazowy Przeszukiwanie przestrzeni przez zbiór punktów
Bardziej szczegółowoAlgorytmy ewolucyjne 1
Algorytmy ewolucyjne 1 2 Zasady zaliczenia przedmiotu Prowadzący (wykład i pracownie specjalistyczną): Wojciech Kwedlo, pokój 205. Konsultacje dla studentów studiów dziennych: poniedziałek,środa, godz
Bardziej szczegółowoObliczenia ewolucyjne - plan wykładu
Obliczenia ewolucyjne - plan wykładu Wprowadzenie Algorytmy genetyczne Programowanie genetyczne Programowanie ewolucyjne Strategie ewolucyjne Inne modele obliczeń ewolucyjnych Podsumowanie Ewolucja Ewolucja
Bardziej szczegółowoTechniki optymalizacji
Techniki optymalizacji Algorytm kolonii mrówek Idea Smuga feromonowa 1 Sztuczne mrówki w TSP Sztuczna mrówka agent, który porusza się z miasta do miasta Mrówki preferują miasta połączone łukami z dużą
Bardziej szczegółowoAlgorytmy mrówkowe (optymalizacja kolonii mrówek, Ant Colony optimisation)
Algorytmy mrówkowe (optymalizacja kolonii mrówek, Ant Colony optimisation) Jest to technika probabilistyczna rozwiązywania problemów obliczeniowych, które mogą zostać sprowadzone do problemu znalezienie
Bardziej szczegółowoTeoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska
Teoria grafów dla małolatów Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka to wiele różnych dyscyplin Bowiem świat jest bardzo skomplikowany wymaga rozważenia
Bardziej szczegółowoAlgorytmy ewolucyjne (3)
Algorytmy ewolucyjne (3) http://zajecia.jakubw.pl/nai KODOWANIE PERMUTACJI W pewnych zastosowaniach kodowanie binarne jest mniej naturalne, niż inne sposoby kodowania. Na przykład, w problemie komiwojażera
Bardziej szczegółowoStrategie ewolucyjne (ang. evolu4on strategies)
Strategie ewolucyjne (ang. evolu4on strategies) Strategia ewolucyjna (1+1) W Strategii Ewolucyjnej(1 + 1), populacja złożona z jednego osobnika generuje jednego potomka. Kolejne (jednoelementowe) populacje
Bardziej szczegółowoAlgorytmy genetyczne w optymalizacji
Algorytmy genetyczne w optymalizacji Literatura 1. David E. Goldberg, Algorytmy genetyczne i ich zastosowania, WNT, Warszawa 1998; 2. Zbigniew Michalewicz, Algorytmy genetyczne + struktury danych = programy
Bardziej szczegółowoGenerowanie i optymalizacja harmonogramu za pomoca
Generowanie i optymalizacja harmonogramu za pomoca na przykładzie generatora planu zajęć Matematyka Stosowana i Informatyka Stosowana Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Politechnika Gdańska
Bardziej szczegółowoMetody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne
mgr inż. Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Podstawowe operatory genetyczne Plan wykładu Przypomnienie 1 Przypomnienie Metody generacji liczb
Bardziej szczegółowow analizie wyników badań eksperymentalnych, w problemach modelowania zjawisk fizycznych, w analizie obserwacji statystycznych.
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(), zwaną funkcją aproksymującą
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska Wydział Elektroniki INFORMATYKA SYSTEMÓW AUTONOMICZNYCH. Heurystyka, co to jest, potencjalne zastosowania
Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki INFORMATYKA SYSTEMÓW AUTONOMICZNYCH Autor: Łukasz Patyra indeks: 133325 Prowadzący zajęcia: dr inż. Marek Piasecki Ocena pracy: Wrocław 2007 Spis treści 1 Wstęp
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 5. Metoda stochastycznego spadku wzdłuż gradientu Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 04.04.2019 1 / 20 Wprowadzenie Minimalizacja różniczkowalnej
Bardziej szczegółowoStrefa pokrycia radiowego wokół stacji bazowych. Zasięg stacji bazowych Zazębianie się komórek
Problem zapożyczania kanałów z wykorzystaniem narzędzi optymalizacji Wprowadzenie Rozwiązanie problemu przydziału częstotliwości prowadzi do stanu, w którym każdej stacji bazowej przydzielono żądaną liczbę
Bardziej szczegółowoDobór parametrów algorytmu ewolucyjnego
Dobór parametrów algorytmu ewolucyjnego 1 2 Wstęp Algorytm ewolucyjny posiada wiele parametrów. Przykładowo dla algorytmu genetycznego są to: prawdopodobieństwa stosowania operatorów mutacji i krzyżowania.
Bardziej szczegółowoOSTASZEWSKI Paweł (55566) PAWLICKI Piotr (55567) Algorytmy i Struktury Danych PIŁA
OSTASZEWSKI Paweł (55566) PAWLICKI Piotr (55567) 16.01.2003 Algorytmy i Struktury Danych PIŁA ALGORYTMY ZACHŁANNE czas [ms] Porównanie Algorytmów Rozwiązyjących problem TSP 100 000 000 000,000 10 000 000
Bardziej szczegółowoAlgorytmy memetyczne (hybrydowe algorytmy ewolucyjne)
Algorytmy memetyczne (hybrydowe algorytmy ewolucyjne) 1 2 Wstęp Termin zaproponowany przez Pablo Moscato (1989). Kombinacja algorytmu ewolucyjnego z algorytmem poszukiwań lokalnych, tak że algorytm poszukiwań
Bardziej szczegółowoALGORYTMY GENETYCZNE ćwiczenia
ćwiczenia Wykorzystaj algorytmy genetyczne do wyznaczenia minimum globalnego funkcji testowej: 1. Wylosuj dwuwymiarową tablicę 100x2 liczb 8-bitowych z zakresu [-100; +100] reprezentujących inicjalną populację
Bardziej szczegółowoZadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik
Zadanie transportowe i problem komiwojażera Tadeusz Trzaskalik 3.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zbilansowane zadanie transportowe Rozwiązanie początkowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda
Bardziej szczegółowoOdkrywanie algorytmów kwantowych za pomocą programowania genetycznego
Odkrywanie algorytmów kwantowych za pomocą programowania genetycznego Piotr Rybak Koło naukowe fizyków Migacz, Uniwersytet Wrocławski Piotr Rybak (Migacz UWr) Odkrywanie algorytmów kwantowych 1 / 17 Spis
Bardziej szczegółowoAlgorytmy genetyczne. Paweł Cieśla. 8 stycznia 2009
Algorytmy genetyczne Paweł Cieśla 8 stycznia 2009 Genetyka - nauka o dziedziczeniu cech pomiędzy pokoleniami. Geny są czynnikami, które decydują o wyglądzie, zachowaniu, rozmnażaniu każdego żywego organizmu.
Bardziej szczegółowoEGZAMIN - Wersja A. ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH Lisek89 opracowanie kartki od Pani dr E. Koszelew
1. ( pkt) Dany jest algorytm, który dla dowolnej liczby naturalnej n, powinien wyznaczyd sumę kolejnych liczb naturalnych mniejszych od n. Wynik algorytmu jest zapisany w zmiennej suma. Algorytm i=1; suma=0;
Bardziej szczegółowoAlgorytmy genetyczne. Materiały do laboratorium PSI. Studia niestacjonarne
Algorytmy genetyczne Materiały do laboratorium PSI Studia niestacjonarne Podstawowy algorytm genetyczny (PAG) Schemat blokowy algorytmu genetycznego Znaczenia, pochodzących z biologii i genetyki, pojęć
Bardziej szczegółowoMetody Programowania
POLITECHNIKA KRAKOWSKA - WIEiK KATEDRA AUTOMATYKI i TECHNIK INFORMACYJNYCH Metody Programowania www.pk.edu.pl/~zk/mp_hp.html Wykładowca: dr inż. Zbigniew Kokosiński zk@pk.edu.pl Wykład 8: Wyszukiwanie
Bardziej szczegółowoinżynierskie metody numeryczne konsultacje: środy 8:30 10:00
inżynierskie metody numeryczne D11/106, bszafran@agh.edu.pl @g konsultacje: środy 8:30 10:00 http://galaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/imn10 cel przedmiotu: przygotowanie do pracy w zakresie numerycznego
Bardziej szczegółowoMetody Optymalizacji: Przeszukiwanie z listą tabu
Metody Optymalizacji: Przeszukiwanie z listą tabu Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: wtorek
Bardziej szczegółowoTechniki optymalizacji
Techniki optymalizacji Dokładne algorytmy optymalizacji Maciej Hapke maciej.hapke at put.poznan.pl Problem optymalizacji kombinatorycznej Problem optymalizacji kombinatorycznej jest problemem minimalizacji
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne II
Metody numeryczne II Poszukiwanie ekstremów funkcji Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/2003 14:40 p.1/55 Poszukiwanie ekstremów funkcji
Bardziej szczegółowoALGORYTMY GENETYCZNE (wykład + ćwiczenia)
ALGORYTMY GENETYCZNE (wykład + ćwiczenia) Prof. dr hab. Krzysztof Dems Treści programowe: 1. Metody rozwiązywania problemów matematycznych i informatycznych.. Elementarny algorytm genetyczny: definicja
Bardziej szczegółowoAlgorytmy ewolucyjne. Łukasz Przybyłek Studenckie Koło Naukowe BRAINS
Algorytmy ewolucyjne Łukasz Przybyłek Studenckie Koło Naukowe BRAINS 1 Wprowadzenie Algorytmy ewolucyjne ogólne algorytmy optymalizacji operujące na populacji rozwiązań, inspirowane biologicznymi zjawiskami,
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5 Prof. dr hab. inż. Jan Magott DMT rozwiązuje problem decyzyjny π przy kodowaniu e w co najwyżej wielomianowym czasie, jeśli dla wszystkich łańcuchów wejściowych
Bardziej szczegółowoTechniki optymalizacji
Techniki optymalizacji Symulowane wyżarzanie Maciej Hapke maciej.hapke at put.poznan.pl Wyżarzanie wzrost temperatury gorącej kąpieli do takiej wartości, w której ciało stałe topnieje powolne zmniejszanie
Bardziej szczegółowoRównoważność algorytmów optymalizacji
Równoważność algorytmów optymalizacji Reguła nie ma nic za darmo (ang. no free lunch theory): efektywność różnych typowych algorytmów szukania uśredniona po wszystkich możliwych problemach optymalizacyjnych
Bardziej szczegółowoALHE. prof. Jarosław Arabas semestr 15Z
ALHE prof. Jarosław Arabas semestr 15Z Wykład 5 Błądzenie przypadkowe, Algorytm wspinaczkowy, Przeszukiwanie ze zmiennym sąsiedztwem, Tabu, Symulowane wyżarzanie 1. Błądzenie przypadkowe: Pierwszym krokiem
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczna teoria grafów
Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)
Bardziej szczegółowoa) 7 b) 19 c) 21 d) 34
Zadanie 1. Pytania testowe dotyczące podstawowych własności grafów. Zadanie 2. Przy każdym z zadań może się pojawić polecenie krótkiej charakterystyki algorytmu. Zadanie 3. W zadanym grafie sprawdzenie
Bardziej szczegółowoBŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH
BŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH błędy zaokrągleń skończona liczba cyfr (bitów) w reprezentacji numerycznej błędy obcięcia rozwinięcia w szeregi i procesy iteracyjne - w praktyce muszą być skończone błędy metody
Bardziej szczegółowoDrzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew
Drzewa Las - graf, który nie zawiera cykli Drzewo - las spójny Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Niech T graf o n wierzchołkach będący
Bardziej szczegółowoAlgorytmy zrandomizowane
Algorytmy zrandomizowane http://zajecia.jakubw.pl/nai ALGORYTMY ZRANDOMIZOWANE Algorytmy, których działanie uzależnione jest od czynników losowych. Algorytmy typu Monte Carlo: dają (po pewnym czasie) wynik
Bardziej szczegółowoAlgorytmy metaheurystyczne podsumowanie
dr hab. inż. Instytut Informatyki Politechnika Poznańska www.cs.put.poznan.pl/mkomosinski, Andrzej Jaszkiewicz Problem optymalizacji kombinatorycznej Problem optymalizacji kombinatorycznej jest problemem
Bardziej szczegółowoAlgorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność
Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.kaims.pl/ kuszner/ kuszner@eti.pg.gda.pl Oficjalna strona wykładu http://www.kaims.pl/
Bardziej szczegółowoAlgorytmy genetyczne
Politechnika Łódzka Katedra Informatyki Stosowanej Algorytmy genetyczne Wykład 2 Przygotował i prowadzi: Dr inż. Piotr Urbanek Powtórzenie Pytania: Jaki mechanizm jest stosowany w naturze do takiego modyfikowania
Bardziej szczegółowoKodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 11,
1 Kwantyzacja skalarna Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 11, 10.05.005 Kwantyzacja polega na reprezentowaniu dużego zbioru wartości (być może nieskończonego) za pomocą wartości
Bardziej szczegółowoSpacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Bardziej szczegółowoHeurystyki. Strategie poszukiwań
Sztuczna inteligencja Heurystyki. Strategie poszukiwań Jacek Bartman Zakład Elektrotechniki i Informatyki Instytut Techniki Uniwersytet Rzeszowski DLACZEGO METODY PRZESZUKIWANIA? Sztuczna Inteligencja
Bardziej szczegółowoAlgorytmy genetyczne. Materiały do laboratorium PSI. Studia stacjonarne i niestacjonarne
Algorytmy genetyczne Materiały do laboratorium PSI Studia stacjonarne i niestacjonarne Podstawowy algorytm genetyczny (PAG) Schemat blokowy algorytmu genetycznego Znaczenia, pochodzących z biologii i genetyki,
Bardziej szczegółowoAlgorytmy genetyczne. Dariusz Banasiak. Katedra Informatyki Technicznej Wydział Elektroniki
Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej Wydział Elektroniki Obliczenia ewolucyjne (EC evolutionary computing) lub algorytmy ewolucyjne (EA evolutionary algorithms) to ogólne określenia używane
Bardziej szczegółowoTesty De Jonga. Problemy. 1 Optymalizacja dyskretna i ciągła
Problemy 1 Optymalizacja dyskretna i ciągła Problemy 1 Optymalizacja dyskretna i ciągła 2 Środowisko pomiarowe De Jonga Problemy 1 Optymalizacja dyskretna i ciągła 2 Środowisko pomiarowe De Jonga 3 Ocena
Bardziej szczegółowoMETODY OPTYMALIZACJI. Tomasz M. Gwizdałła 2018/19
METODY OPTYMALIZACJI Tomasz M. Gwizdałła 2018/19 Informacje wstępne Tomasz Gwizdałła Katedra Fizyki Ciała Stałego UŁ Pomorska 149/153, p.524b tel. 6355709 tomgwizd@uni.lodz.pl http://www.wfis.uni.lodz.pl/staff/tgwizdalla
Bardziej szczegółowoZadanie 5 - Algorytmy genetyczne (optymalizacja)
Zadanie 5 - Algorytmy genetyczne (optymalizacja) Marcin Pietrzykowski mpietrzykowski@wi.zut.edu.pl wersja 1.0 1 Cel Celem zadania jest zapoznanie się z Algorytmami Genetycznymi w celu rozwiązywanie zadania
Bardziej szczegółowoModyfikacje i ulepszenia standardowego algorytmu genetycznego
Modyfikacje i ulepszenia standardowego algorytmu genetycznego 1 2 Przypomnienie: pseudokod SGA t=0; initialize(p 0 ); while(!termination_condition(p t )) { evaluate(p t ); T t =selection(p t ); O t =crossover(t
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze
Bardziej szczegółowoAlgorytmy genetyczne
Politechnika Łódzka Katedra Informatyki Stosowanej Algorytmy genetyczne Wykład 2 Przygotował i prowadzi: Dr inż. Piotr Urbanek Powtórzenie Pytania: Jaki mechanizm jest stosowany w naturze do takiego modyfikowania
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las
Bardziej szczegółowoMIO - LABORATORIUM. Imię i nazwisko Rok ak. Gr. Sem. Komputer Data ... 20 / EC3 VIII LAB...
MIO - LABORATORIUM Temat ćwiczenia: TSP - Problem komiwojażera Imię i nazwisko Rok ak. Gr. Sem. Komputer Data Podpis prowadzącego... 20 / EC3 VIII LAB...... Zadanie Zapoznać się z problemem komiwojażera
Bardziej szczegółowoOpracowanie prof. J. Domsta 1
Opracowanie prof. J. Domsta 1 Algorytm FLEURY'ego: Twierdzenie 6.5 G-graf eulerowski. Wtedy cykl Eulera otrzymujemy nastepująco: a) Start w dowolnym wierzchołku b) Krawędzie w dowolnej kolejności po przebyciu
Bardziej szczegółowoOptymalizacja optymalizacji
7 maja 2008 Wstęp Optymalizacja lokalna Optymalizacja globalna Algorytmy genetyczne Badane czasteczki Wykorzystane oprogramowanie (Algorytm genetyczny) 2 Sieć neuronowa Pochodne met-enkefaliny Optymalizacja
Bardziej szczegółowoAlgorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II
Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.sphere.pl/ kuszner/ kuszner@sphere.pl Oficjalna strona wykładu http://www.sphere.pl/ kuszner/arir/ 2005/06
Bardziej szczegółowoTomasz M. Gwizdałła 2012/13
METODY METODY OPTYMALIZACJI OPTYMALIZACJI Tomasz M. Gwizdałła 2012/13 Informacje wstępne Tomasz Gwizdałła Katedra Fizyki Ciała Stałego UŁ Pomorska 149/153, p.523b tel. 6355709 tomgwizd@uni.lodz.pl http://www.wfis.uni.lodz.pl/staff/tgwizdalla
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Metody optymalizacji Metody bezgradientowe optymalizacji bez ograniczeń Materiały pomocnicze do ćwiczeń
Bardziej szczegółowoOptymalizacja. Symulowane wyżarzanie
dr hab. inż. Instytut Informatyki Politechnika Poznańska www.cs.put.poznan.pl/mkomosinski, Maciej Hapke Wyżarzanie wzrost temperatury gorącej kąpieli do takiej wartości, w której ciało stałe topnieje powolne
Bardziej szczegółowoALGORYTMY EWOLUCYJNE W OPTYMALIZACJI JEDNOKRYTERIALNEJ
ALGORYTMY EWOLUCYJNE W OPTYMALIZACJI JEDNOKRYTERIALNEJ Zalety: nie wprowadzają żadnych ograniczeń na sformułowanie problemu optymalizacyjnego. Funkcja celu może być wielowartościowa i nieciągła, obszar
Bardziej szczegółowoSZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 13. PROBLEMY OPTYMALIZACYJNE Częstochowa 2014 Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska PROBLEMY OPTYMALIZACYJNE Optymalizacja poszukiwanie
Bardziej szczegółowoSuma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów
Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie
Bardziej szczegółowoAlgorytmy Równoległe i Rozproszone Część X - Algorytmy samostabilizujące.
Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część X - Algorytmy samostabilizujące. Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.sphere.pl/ kuszner/ kuszner@sphere.pl Oficjalna strona wykładu http://www.sphere.pl/
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne II
Metody numeryczne II Poszukiwanie ekstremów funkcji Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/55 Poszukiwanie ekstremów funkcji 1. Funkcje jednej zmiennej
Bardziej szczegółowoWyznaczanie optymalnej trasy problem komiwojażera
Wyznaczanie optymalnej trasy problem komiwojażera Optymalizacja w podejmowaniu decyzji Opracowała: mgr inż. Natalia Malinowska Wrocław, dn. 28.03.2017 Wydział Elektroniki Politechnika Wrocławska Plan prezentacji
Bardziej szczegółowooperacje porównania, a jeśli jest to konieczne ze względu na złe uporządkowanie porównywanych liczb zmieniamy ich kolejność, czyli przestawiamy je.
Problem porządkowania zwanego również sortowaniem jest jednym z najważniejszych i najpopularniejszych zagadnień informatycznych. Dane: Liczba naturalna n i ciąg n liczb x 1, x 2,, x n. Wynik: Uporządkowanie
Bardziej szczegółowoDrzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II
Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem
Bardziej szczegółowoSZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 12. PRZESZUKIWANIE Częstochowa 2014 Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska ROZWIĄZYWANIE PROBLEMÓW JAKO PRZESZUKIWANIE Istotną rolę podczas
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 03/0 Przeszukiwanie w głąb i wszerz I Przeszukiwanie metodą
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna - zadania
zad. 1. Chcemy zdefiniować rekurencyjnie zbiór Z wszystkich trójkątów równoramiennych ABC, gdzie współrzędne wierzchołków będą liczbami całkowitymi, wierzchołek A zawsze będzie leżeć w początku układu
Bardziej szczegółowoRój cząsteczek. Particle Swarm Optimization. Adam Grycner. 18 maja Instytut Informatyki Uniwersytetu Wrocławskiego
Rój cząsteczek Particle Swarm Optimization Adam Grycner Instytut Informatyki Uniwersytetu Wrocławskiego 18 maja 2011 Adam Grycner Rój cząsteczek 1 / 38 Praca Kennedy ego i Eberhart a Praca Kennedy ego
Bardziej szczegółowoDziałanie algorytmu oparte jest na minimalizacji funkcji celu jako suma funkcji kosztu ( ) oraz funkcji heurystycznej ( ).
Algorytm A* Opracowanie: Joanna Raczyńska 1.Wstęp Algorytm A* jest heurystycznym algorytmem służącym do znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie. Jest to algorytm zupełny i optymalny, co oznacza, że zawsze
Bardziej szczegółowoZłożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych
Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Oznaczenia: G graf, V liczba wierzchołków, E liczba krawędzi 1. Spójność grafu Graf jest spójny jeżeli istnieje ścieżka łącząca każdą parę jego wierzchołków.
Bardziej szczegółowoPrzykłady problemów optymalizacyjnych
Przykłady problemów optymalizacyjnych NAJKRÓTSZA ŚCIEŻKA W zadanym grafie G = (V, A) wyznacz najkrótsza ścieżkę od wierzchołka s do wierzchołka t. 2 7 5 5 3 9 5 s 8 3 1 t 2 2 5 5 1 5 4 Przykłady problemów
Bardziej szczegółowoSztuczne sieci neuronowe. Krzysztof A. Cyran POLITECHNIKA ŚLĄSKA Instytut Informatyki, p. 311
Sztuczne sieci neuronowe Krzysztof A. Cyran POLITECHNIKA ŚLĄSKA Instytut Informatyki, p. 311 Wykład 7 PLAN: - Repetitio (brevis) -Algorytmy miękkiej selekcji: algorytmy ewolucyjne symulowane wyżarzanie
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle
Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Paweł Szołtysek 12 czerwca 2008 Streszczenie Planowanie produkcji jest jednym z problemów optymalizacji dyskretnej,
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i str ruktury danych. Metody algorytmiczne. Bartman Jacek
Algorytmy i str ruktury danych Metody algorytmiczne Bartman Jacek jbartman@univ.rzeszow.pl Metody algorytmiczne - wprowadzenia Znamy strukturę algorytmów Trudność tkwi natomiast w podaniu metod służących
Bardziej szczegółowoMetody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne
mgr inż. Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Podstawy optymalizacji Plan prezentacji 1 Podstawy matematyczne 2 3 Eliminacja ograniczeń Metody
Bardziej szczegółowoPrzeszukiwanie lokalne
Przeszukiwanie lokalne 1. Klasyfikacja algorytmów 2. Przeszukiwanie lokalne 1. Klasyfikacja algorytmów Algorytmy dokładne znajdują rozwiązanie optymalne, 1. Klasyfikacja algorytmów Algorytmy dokładne znajdują
Bardziej szczegółowoAlgorytmy ewolucyjne. wprowadzenie
Algorytmy ewolucyjne wprowadzenie Gracjan Wilczewski, www.mat.uni.torun.pl/~gracjan Toruń, 2005 Historia Podstawowy algorytm genetyczny został wprowadzony przez Johna Hollanda (Uniwersytet Michigan) i
Bardziej szczegółowoKatedra Informatyki Stosowanej. Algorytmy ewolucyjne. Inteligencja obliczeniowa
Wydział Zarządzania AGH Katedra Informatyki Stosowanej Algorytmy ewolucyjne Treść wykładu Wprowadzenie Zasada działania Podział EA Cechy EA Algorytm genetyczny 2 EA - wprowadzenie Algorytmy ewolucyjne
Bardziej szczegółowo