Matematyka w ekonomii

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Matematyka w ekonomii"

Transkrypt

1 Tadeusz Trzaskalik Matematyka w ekonomii Streszczenie. Rozwój zastosowań matematyki w ekonomii na Górnym Śląsku związany jest z działalnością matematyków, głównie absolwentów matematyki Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach, zatrudnionych w Akademii Ekonomicznej w Katowicach. Dziewięć osób z tej grupy uzyskało stopień naukowy doktora habilitowanego lub tytuł naukowy profesora nauk ekonomicznych. Artykuł przedstawia ich dorobek naukowy, z uwypukleniem jego związków z matematyką. Modelowanie matematyczne w ekonomii Model jest pojęciem bardzo ogólnym, używanym w różnych dziedzinach. Celem tworzenia wszelkich modeli jest dążenie do zrozumienia otaczającej nas rzeczywistości, a także do uzyskania pomocy w uporaniu się z jej niezwykłą złożonością. Modelem matematycznym nazwiemy zbiór symboli i relacji matematycznych oraz ścisłych zasad operowania nimi, przy czym zawarte w modelu symbole i relacje mają interpretację odnoszącą się do konkretnych elementów modelowanego wycinka rzeczywistości. W procesie rozwiązywania zadań za pomocą modelowania matematycznego można rozróżnić kilka podstawowych etapów, a mianowicie: - sformułowanie celów modelowania, - wybór kategorii modelu i określenia jego struktury, - identyfikacja - algorytmizacja obliczeń, - weryfikacja obliczeń. Decyzje gospodarcze należą do tych, których konsekwencje rozpatrujemy w kategoriach zysków i strat, dlatego zanim je podejmiemy dokonujemy analizy sytuacji, ustalamy kryteria wyboru decyzji i poszukujemy rozwiązań optymalnych. Pomocne wówczas okazują się metody badań ilościowych prawidłowości występujących w zjawiskach ekonomicznych, które można byłoby najogólniej nazwać ekonometrią. W badaniach ekonomicznych wykorzystywane są różnorodne metody, wypracowane przez wiele dyscyplin matematyki, przede wszystkim analizę matematyczna, algebrę liniową, rachunek prawdopodobieństwa, statystykę matematyczną, programowanie matematyczne, badania 1

2 operacyjne, teorię procesów stochastycznych, równania różniczkowe i różnicowe, stochastyczne równania różniczkowe, analizę funkcjonalną, teorię grafów. Można przeprowadzić klasyfikację modeli, którymi posługujemy się w analizach ekonomicznych: 1. z punktu widzenia celu prowadzonej analizy wyróżniamy: - modele opisowe, które wyjaśniają istniejące zależności między zjawiskami gospodarczymi, - modele optymalizacyjne, pozwalające na dokonanie wyboru optymalnej decyzji; 2. z punktu widzenia zakresu prowadzonych badań wymieńmy: - modele w skali mikro (mikroekonomiczne) dotyczące np. działalności firm, - modele w skali mezo obejmujące np. gałąź przemysłu czy sektor gospodarki, - modele w skali makro (makroekonomiczne) dotyczące np. gospodarki narodowej, światowej itp.; 3. ze względu na rolę czasu w prowadzonych analizach mówimy o: - modelach statycznych, w których pominięto czynnik czasu, - modelach dynamicznych, w których czynnik czasu odgrywa aktywną rolę i uwzględnione są zmiany w czasie rozpatrywanego zjawiska; 4. Z punktu widzenia analitycznej postaci związku występującego miedzy zmiennymi wyróżniamy: - modele liniowe, kiedy opisując proces czy zjawisko ekonomiczne posługujemy się funkcją liniową, - modele nieliniowe w pozostałych przypadkach.; 5. biorąc pod uwagę rodzaj zmiennych i parametrów występujących w modelu mówimy o: - modelach deterministycznych, jeżeli wszystkie zmienne i parametry są nielosowe, - modelach stochastycznych, kiedy w zbiorze zmiennych lub parametrów modelu występuje przynajmniej jedna zmienna losowa. Modelowanie matematyczne obecne jest w makro i mikroekonomii, zarządzaniu przedsiębiorstwem, marketingu, logistyce ekonomicznej, ekonomice transportu, zarządzaniu regionalnym, finansach, bankowości i ubezpieczeniach. Listę szczegółowych dziedzin można byłoby znacznie wydłużyć. Powyższe uwagi uzasadniają istnienie ścisłego związku między wieloma dziedzinami matematyki a ekonomią. 2

3 Rozwój zastosowań matematyki w ekonomii na Akademii Ekonomicznej w Katowicach Rozwój zastosowań matematyki w ekonomii na Śląsku związany jest z działalnością grupy matematyków, głównie absolwentów matematyki Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach, zatrudnionych na Akademii Ekonomicznej w Katowicach (nazywanej dalej w skrócie AE w Katowicach). Osoby te po uzyskaniu dyplomu magistra matematyki, w swej dalszej karierze zawodowej zajmowały się pracą naukową, związaną z zastosowaniem różnych narzędzi matematycznych w ekonomii i zarządzaniu, jak również dydaktyka matematyki oraz przedmiotów, nazywanych umownie metodami ilościowymi. Na początku lat siedemdziesiątych w Instytucie Ekonometrii powstał Zakład Matematyki, z którego w roku 1975 wyodrębnił się Zakład Programowania Matematycznego. W obu tych zespołach na początku lat osiemdziesiątych pracowało około 20 osób z wykształceniem matematycznym. W skład tej grupy wchodzili między innymi: Piotr Chrzan, Donata Kopańska-Bródka, Jerzy Mika, Zygmunt Przybycin, Elżbieta Stolarska, Włodzimierz Szkutnik, Tadeusz Trzaskalik, Grażyna Trzpiot, Henryk Zawadzki, Wymienione powyżej osoby uzyskiwały kolejne stopnie naukowe doktora i doktora habilitowanego w zakresie nauk ekonomicznych. Kilka z nich uzyskało tytuł profesora nauk ekonomicznych. W dalszej części tej pracy przedstawiony zostanie ich dorobek naukowy z uwypukleniem jego związków z matematyką. Przedstawione zostaną wybrane problemy, których rozwiązanie stanowiło podstawy awansu naukowego tych osób, a także noty biograficzne, ukazujące ich działalność naukową, dydaktyczną i organizacyjną. Stopień szczegółowości opisu uzależniony jest od merytorycznej zawartości materiałów, dostarczonych przez te osoby autorowi niniejszego opracowania. Wraz z upływem czasu jednostki organizacyjne AE w Katowicach, zatrudniające matematyków ulegały kolejnym przekształceniom. Aktualnie matematycy zatrudnieni są w Katedrze Matematyki na Wydziale Zarządzania, której kierownikiem jest prof. dr hab. J.Mika, w Katedrze Matematyki Stosowanej na Wydziale Finansów i Ubezpieczeń, którą kieruje prof. AE dr hab. P.Chrzan oraz w Katedrze Badań Operacyjnych, kierowanej przez prof. dr hab. T.Trzaskalika. Ponadto matematycy zatrudnieni są również w Katedrze Ekonometrii, Katedrze Statystyki oraz Katedrze Informatyki. 3

4 Omówienie wybranych zastosowań Dynamiczne modelowanie ekonometryczne Spośród wielu podejść do badania zjawisk i procesów społeczno-gospodarczych na uwagę zasługuje podejście ekonometryczne. Klasyczne podejście ekonometryczne bazuje na cechach mierzalnych. podstawowym zadaniem ekonometrii jest badanie prawidłowości przejawiających się w powiązaniu wyróżnionych cech. Specyficznym narzędziem badawczym jest model ekonometryczny, a metody badawcze są kompilacją metod ekonomii i matematyki. Dzięki nim ekonometria odkrywa takie własności zjawisk i procesów zachodzących w otaczającym świecie, które bez niej nie byłyby poznane. Rozwój ekonometrii przejawia się w dwóch zasadniczych płaszczyznach i polega na rozszerzaniu pola badań na coraz szerszy krąg zjawisk i procesów oraz rozwoju podstaw teoretycznych rozumianych jako ogół stosowanych modeli i metod ich konstrukcji, estymacji, a także szeroko pojętego wnioskowania. Obie płaszczyzny rozwoju ekonometrii wzajemnie na siebie oddziaływają. Ponadto dotychczasowe wyniki badań pozwalają na pewne uogólnienia formułowanie twierdzeń teorii ekonometrii oraz praw i zasad jej stosowania. Tak rozumiane uogólnienia odnosi się do monografii E.Stolarskiej 1. Sposób prezentacji badanego, liniowego modelu zgodny jest z ogólnie przyjętą zasadą, a więc w pierwszej kolejności znajdujemy uzasadnienie dynamicznej postaci modelu i jego specyfikację, następnie wyczerpującą dyskusję formalnych własności modelu, w końcu szeroko rozumiane wnioskowanie obejmujące interpretację oraz kierunki praktycznego wykorzystania modelu. Dynamiczna postać modelu wynika z samej istoty przedmiotu badań zjawisk i procesów społeczno-ekonomicznych. Dobór zmiennych do modelu powinien następować w wyniku współpracy konstruktora modelu i jego użytkownika. Również w wyniku tej współpracy powinny być ustalone relacje bezpośredniego i pośredniego oddziaływania zmiennych oraz lista zmiennych wyjaśnianych przez model. Następnie, wykorzystując metody teorii grafów konstruktor modelu specyfikuje jego postać analityczną.. Tak powstaje strukturalna postać modelu. Formalnie jest to układ stochastycznych liniowych równań różnicowych. 1 E.Stolarska (1987) Dynamiczne modele ekonometryczne. Własności i zastosowania. PWN, Biblioteka ekonometryczna. 4

5 Istotną część monografii stanowią rozważania o formalnych własnościach dynamicznych modeli ekonometrycznych. Rozważa się cztery postacie modeli (postać strukturalną, postać zredukowaną, formę końcową, równanie końcowe), przy czym nie są one traktowane w oderwaniu, ale wszystkie składają się na całość modelu. Wszystkie te postaci są ze sobą ściśle powiązane. Również pomiędzy ich parametrami zachodzą ustalone zależności. Oryginalne podejście Autorki polega właśnie na wskazaniu konieczności posługiwania się wszystkimi postaciami w stosowanym zakresie. Jej zasługą jest przede wszystkim sformułowanie twierdzeń o warunkach istnienia poszczególnych postaci oraz wprowadzenie związków między parametrami różnych postaci modelu. Wykorzystano tutaj metody algebry liniowej i teorii rozwiązywania równań różnicowych. Uzyskane wyniki pozwalają na uchylenie klasycznych już twierdzeń ekonometrii dotyczących istnienia postaci zredukowanej i identyfikacji modelu. Na szczególną uwagę zasługują twierdzenia traktujące o istnieniu postaci zredukowanej, istnieniu formy końcowej i istnieniu równania końcowego, a także opis powiązań pomiędzy parametrami poszczególnych postaci modelu. W rozwiązaniu równań różnicowych zastosowano podejście pierwiastków charakterystycznych. Z tego punktu widzenia istotna jest macierz zbudowana z parametrów stojących przy opóźnionych zmiennych endogenicznych w postaci zredukowanej. Wartości własne i wektory własne tej macierzy wprowadzono do zapisu analitycznego formy końcowej i równania końcowego uzyskując tym samym możliwość analizy ich rozwiązań, zwłaszcza rozwiązania równania końcowego. Takie podejście dało podstawy interpretacji równania końcowego jako równania ruchu. Ponadto pojęcie stabilności w rozumieniu własności rozwiązania równania różnicowego mogło być w uzasadniony sposób przeniesione do ekonometrii jako pojęcie stabilności układu. Z punktu widzenia praktycznego wykorzystania prezentowanych modeli ważna jest ich interpretacja, a szczególnie interpretacja parametrów. W tym zakresie starano się uporządkować i ujednolicić między innymi pojęcia mnożników bezpośrednich, pośrednich i całkowitych. Traktowanie równania końcowego jako równania ruchu pociąga za sobą odpowiednią interpretację parametrów tego równania i jego rozwiązania. Zbudowany i oszacowany model ekonometryczny jest podstawą do wnioskowania o przewidywanym kształtowaniu się zjawisk i procesów w przyszłości. Stosując podejście klasyczne uwypuklono w nim predyktywne własności formy końcowej przedstawiając dyskusję na temat założeń klasycznej teorii predykcji ekonometrycznej, a następnie przedstawiono rozwiązanie predykcji nieobciążonej na podstawie formy końcowej i równania końcowego. 5

6 W pracy zaproponowano postać zadania sterowania, którego zmienne odpowiadają zmiennym modelu ekonometrycznego. Ponadto na uwagę w zasługuje oryginalny prosty sposób konstrukcji postaci zredukowanej, który jest przydatny szczególnie w przypadku dużych modeli. Wykorzystując wyniki własnych badań empirycznych głównie w zakresie budowania ekonometrycznych modeli gospodarki narodowej Polski Autorka pokazała przykłady praktycznych zastosowań prezentowanych modeli. Należy do nich konstrukcja postaci zredukowanej do 14-równaniowego modelu gospodarki Polski oraz model inwestycji produkcyjnych w postaci końcowej. Równania końcowe tego modelu są zinterpretowane jako równania ruchu. Modele optymalizacyjne problemów decyzyjnych w warunkach niepewności Modele optymalizacyjne problemów decyzyjnych w warunkach niepewności rozpatrywane ą przez W.Szkutnika 2 Autor rozwija szczegółowo problematykę niepewności w rozdziale pierwszym książki, rozróżniając warunki niepewności i warunki ryzyka. W rozdziale drugim omawia modele podejmowania decyzji. Wykazano m.in. szczególną własność teorii decyzji statystycznych Walda w odniesieniu do zadań programowania stochastycznego, a mianowicie, że jeśli decyzja zostanie podjęta bez dokonania obserwacji, co odpowiada przypadkowi, gdy zadanie programowania stochastycznego ma charakter perspektywiczny, to decyzja bayesowska względem rozkładu a priori odpowiedniego parametru będącego symptomem stanu otoczenia będzie optymalna. Ma to swoje praktyczne i teoretyczne interesujące konsekwencje względem indywidualnych obserwacji pewnej zmiennej losowej, które w pośredni sposób mają znaczenie dla problemu decyzyjnego, nie powodując jego zmiany, a umożliwiając wyznaczenie strategii bayesowskiej zależnej od tej indywidualnej obserwacji bez konieczności poznawania strategii, gdyby zaobserwowano jakąś inną indywidualną obserwację. 2 W.Szkutnik (1993). Optymalizacja w warunkach niepewności. Podejście statystyczne w programowaniu stochastycznym i zastosowania ekonomiczne Prace Naukowe AE w Katowicach. 6

7 Zasadniczym tematem rozważań prowadzonych w omawianej pracy są zadania programowania stochastycznego z klasy E modeli ze statystycznymi ograniczeniami. które w ogólnej postaci można zapisać następująco: l( E( ). E( A), E( b)) max E przy ograniczeniach E [ f ( x, )] A, b [ g i x 0 ( x, A, b) 0 (1) gdzie n R jest wektorem losowym, A mn n R, b R także są losowymi wielkościami odpowiednio macierzą i wektorem. Podstawowym kryterium stosowanym przy wyznaczaniu (, ) - rozwiązania zadania (1) jest relacja: P l( E( ), EA), E( b)) l(, A, b (2) gdzie, A,b są oszacowaniami odpowiadających im wartości oczekiwanych na podstawie prób losowych o zawierających odpowiednią liczbę obserwacji. Wektor utworzony z tych liczb obserwacji tworzy (, ) -ufny zbiór rozwiązalności zadania (1). Z uwagi na fakt, że odpowiednie wartości oczekiwane parametrów losowych zadania (1) nie są znane, oszacowania na podstawie próby stanowią wielkości losowe, co czyni relację (2) uzasadnioną ze względów probabilistycznych. W rozdziale trzecim rozważania dotyczą właśnie klasy liniowych E modeli ze statystycznymi ograniczeniami i wyznacza się tu analityczne opisy złożoności informacyjnej różnych podklas zadań liniowego programowania stochastycznego (ZLPS). Rozpatrywane są zadania: - z niezależnymi parametrami losowymi o dowolnym rozkładzie prawdopodobieństwa, - z niezależnymi parametrami losowymi o rozkładzie normalnym, - o parametrach tworzących układ zmiennych zależnych, - z wektorem parametrów o rozkładzie normalnym, - z losowym wektorem wyrazów wolnych. Prezentowany jest oryginalny algorytm wyznaczania rozwiązania (, ) - ufnego zadania ZLPS. Dla celów wyznaczenia (, ) - ufnego zbioru rozwiązalności zadania ZLPS będącego podstawą przy konstrukcji wyznaczania suboptymalnego rozwiązania zadania ZLPS wykazano istotne własności funkcji kryterium l z zadania (1). W szczególności wykazano 7

8 twierdzenie, znajdujące bezpośrednie zastosowanie przy wyznaczaniu analitycznej postaci zbiorów (, ) -ufnych rozwiązalności ZLPS. W twierdzeniu tym scharakteryzowana jest szczególna własność funkcji kryterium l. Zależy ona od wartości optymalnej następującego zadania programowania matematyczne przy ograniczeniach Postać tego twierdzenia jest następująca: Z min 1 s k 1, X l( ) l(, ) 1 2, Twierdzenie.Jeśli wektory 1, 2 X oraz k k Z, to spełniona jest nierówność s k1 2 k 2 k l ( ) l( ) W rozdziale czwartym przedstawiane są metody pośrednie i częściowo pośrednie wyprowadzone z metod rozwiązywania zadań ZLPS do rozwiązywania zadań nieliniowych. Ma to miejsce wówczas, gdy postać funkcjonałów funkcji celu i ograniczeń zadania jest nieliniowa i obserwowane wartości tych funkcjonałów lub one same są określone niejednoznacznie. Niejednoznaczność może być jednocześnie spowodowana przez dwa czynniki: niejawną postać zadanych funkcjonałów oraz zależność obserwowanych wartości funkcjonałów od pewnej grupy parametrów mających stochastyczny charakter. Oba czynniki determinują niepewność warunków optymalizacji. Istotnym problemem rozpatrywanym w rozdziale piątym jest wybór podejścia statystycznego w modelowaniu optymalizacyjnym. Zadania programowania stochastycznego formułowane w postaci E- modeli ze statystycznymi ograniczeniami lub modele z uśrednionymi ograniczeniami, nie zawsze są najbardziej adekwatne do zagadnień optymalizacyjnych, którego są opisem modelowym. To, że w większości przypadków decydujemy się na taką postać modelu wynika często z przesłanek pragmatycznych. Należy jednak pamiętać o powszechności tego typu modeli w rozwiązywaniu praktycznych zagadnień optymalizacji. Najczęściej opisy z uśrednionymi parametrami są stosowane w zadaniach formułowanych w postaci zdeterminowanej, w której uśrednione parametry przyjmowane są jako znane skądinąd wielkości. Tymczasem w większości przepadków uśrednione parametry są tylko ocenami statystycznymi nieznanych wartości oczekiwanych odpowiednich wielkości losowych. W takiej sytuacji pojawia się problem rozstrzygnięcia 8

9 kwestii dotyczącej relacji między wartością optymalną zadania z uśrednionymi parametrami, czyli zadań rozpatrywanych w pracy a wartością oczekiwaną losowej funkcji parametrów losowych funkcji kryterium zadań stochastycznych. Kwestia ta jest ważna i jej rozstrzygnięcie jest przydatne w wielu zagadnieniach praktycznych, szczególnie wtedy, gdy zachodzi potrzeba uzasadnienia podejścia statystycznego w modelowaniu optymalizacyjnym. Okazuje się to także ważne w analizie rozwiązań optymalnych zadań programowania stochastycznego oraz przy rozwiązywaniu wieloetapowych zdań programowania stochastycznego. W związku z naszkicowaną tu kwestią wykazano w pracy, że spełniona jest następująca relacja: E( ) l(( E( ), E( )) E( l(, ) E( ) E(max ) l( E( ), E( )) E(max ) gdzie, są parametrami w zadaniu programowania stochastycznego. W rozdziale szóstym prezentowana jest dziedzina aplikacji w sferze ekonomicznej. Szczególnie ważny wynik uzyskany w tym rozdziale dotyczy zmodyfikowanego zagadnienia regresji. Ten aspekt analizy łączy się z merytoryczną kwestią związaną z zasadnością faktu jednoczesnego występowania stacjonarnego związku między pewnymi zmiennymi losowymi przy jednoczesnym zróżnicowaniu charakterystyk rozkładu prawdopodobieństwa tych zmiennych w okresie istnienia tego stacjonarnego związku. Jest to problem co najmniej równoważny z tym, który można dostrzec w podejściu klasycznym w większości modelowanych zjawisk ekonomiczno - społecznych. W proponowanym tu podejściu zakłada się, że macierz obserwacji zmiennych objaśniających X jest próbą pochodzącą ze stacjonarnego wielowymiarowego procesu stochastycznego. W tym przypadku sposób dokonywania obserwacji powinien mieścić się w granicach schematu rozkładu k+1 wymiarowego stabilnego w czasie, co możliwe jest w klasycznej koncepcji funkcji regresji. Rozstrzygnięcia teoretyczne i aplikacyjne zamieszczone w omawianej pracy są próbą częściowego rozwiązania trudnych problemów programowania stochastycznego. Możliwe jest, co należy podkreślić, gdyż ostatnio zauważa się tendencję odchodzenia od rozstrzygnięć proponowanych w programowaniu stochastycznym, prowadzenie dalszych badań nad efektywnością uzyskanych w pracy wyników. Interesujące wydają się badania, nie tylko teoretyczne, dotyczące związków łączących różne podejścia w programowaniu stochastycznym z podejściem statystycznym oraz formalne opisy zagadnień nie w pełni określonych, np. w rozpoznawaniu obrazów w kontekście podejścia programowania stochastycznego. 9

10 Ujęcie wielokryterialne w dyskretnym programowaniu dynamicznym Za twórcę programowania dynamicznego uważa się amerykańskiego matematyka R Bellmana. Sformułował on zasadę optymalności, która pozwala na specyficzny sposób rozwiązania zadań metodą konstrukcji równań optymalności i wykorzystanie związków rekurencyjnych. Zadania programowania dynamicznego można klasyfikować w różnorodny sposób. W omawianych dalej pracach T.Trzaskalika 3 rozpatrzono wielokryterialne zadania deterministyczne ze skończoną, ustaloną liczbą etapów, w których zbiory stanów i decyzji w każdym etapie są zbiorami skończonymi. Zakładamy, że w każdym etapie uwzględniamy cele etapowe i odpowiadające im kryteria etapowe, natomiast dla całego procesu rozpatrujemy zbiór celów wieloetapowych, z których każdy jest złożeniem celów etapowych. Miarami stopnia realizacji celów wieloetapowych są kryteria wieloetapowe. Załóżmy, że interesujące nas zagadnienie zostało sformułowane w taki sposób, że uzasadnione staje się przyjęcie postulatu maksymalizacji każdego z rozpatrywanych celów wieloetapowych, które traktowane są równorzędnie. Odpowiadające im kryteria wieloetapowe traktujemy jako składowe wektorowej funkcji kryterium. Dążymy wówczas do jednoczesnej maksymalizacji wszystkich składowych tej funkcji. Zazwyczaj nie istnieje taka decyzja, dla której wszystkie składowe przyjmują jednocześnie wartości największe z możliwych. Dlatego też, wykorzystując koncepcję optymalności Pareto, decyzję uznamy za optymalną wektorowo, jeżeli przez wybór innej decyzji nie można zwiększyć wartości żadnej składowej wektorowej funkcji kryterium bez zmniejszenia wartości przynajmniej jednej z pozostałych składowych. Odpowiadające opisanemu powyżej sposobowi porównywania wektorów ocen struktury preferencji opisane są przez relację dominacji. Przyjmuje się, że rozwiązanie zadania wektorowej maksymalizacji polega na znalezieniu zbioru wszystkich rozwiązań sprawnych w przestrzeni decyzyjnej oraz odpowiadającego mu zbioru wektorów niezdominowanych w przestrzeni kryterialnej. Pokazano, że jeżeli spełnione są zaproponowane w omawianych pracach warunki etapowej separowalności i monotoniczności, wtedy możliwe jest zastosowanie dekompozycji zadania z wykorzystaniem wektorowej zasady optymalności Bellmana. Zdefiniowano multifunkcje wartości optymalnych, które poszczególnym stanom procesu przyporządkowują 3 T.Trzaskalik (1998) Multiobjective Analysis in Dynamic Environment. Prace naukowe AE w Katowicach. 10

11 niezdominowane wektory ocen dla procesów skróconych, odpowiednio rozpoczynających się lub kończących w tych stanach. Wykorzystując zaproponowany przez Autora algorytm oparty na metodzie podziału i oszacowań możemy dla każdego wektora ocen z przestrzeni kryterialnej znaleźć odpowiadającą mu realizację sprawną (lub zbiór takich realizacji) w przestrzeni decyzyjnej. Powtarzając tę procedurę dla wszystkich wyznaczonych uprzednio wektorów niezdominowanych otrzymamy pełny zbiór realizacji sprawnych. Trudności natury obliczeniowej sprawiają, że nie zawsze udaje się efektywnie wyznaczyć zbiory wszystkich rozwiązań w obu przestrzeniach. Są one ponadto zbyt liczne, by mogły być efektywnie wykorzystany przez decydenta. Tak więc istotnym zagadnieniem staje się problem znajdowania pewnych podzbiorów zbioru rozwiązań sprawnych, użytecznych dla decydenta w procesie podejmowania decyzji. Autor przedstawił możliwości znajdowania takich rozwiązań, do których należy: wykorzystanie kolejnych składowych wektorowej funkcji kryterium, poszukiwanie rozwiązań satysfakcjonujących (ε constraint method), wykorzystanie nieujemnej kombinacji składowych wektorowej funkcji kryterium. Punktem wyjścia generowania szczególnego podzbioru realizacji sprawnych może być ustalona realizacja procesu, wybrana przez decydenta. Pytamy wówczas, czy wybrana realizacja jest sprawna, a jeżeli nie jest, chcemy określić podzbiór realizacji sprawnych, które są lepsze od wybranej. Odpowiedź na te pytania daje zaproponowana procedura testowania sprawności wybranego rozwiązania i generowania zbioru rozwiązań dominujących je (o ile istnieją). Sformułowanie problemu wielokryterialnego jako zadania wektorowej maksymalizacji może nie odzwierciedlać w pełni preferencji decydenta. W pewnych przypadkach ujawnienie przez niego dodatkowych preferencji pozwala na takie ukierunkowanie poszukiwań, które daje w rezultacie rozwiązanie o własnościach postulowanych dla rozwiązania końcowego bez konieczności analizowania pełnego zbioru rozwiązań sprawnych. W pewnych sytuacjach decydent uznaje, że jedne cele wieloetapowe są ważniejsze od innych, przy czym możliwe jest ich uszeregowanie pod względem ważności. Tego rodzaju zadania hierarchiczne można rozwiązywać uwzględniając ścisłą hierarchię kryteriów. Chcąc uwzględnić wpływ wszystkich kryteriów wieloetapowych na wybór rozwiązania końcowego, decydent może sformułować swoje preferencje również w postaci quasi-hierarchii celów. Podaje wówczas dla poszczególnych kryteriów wieloetapowych wartości współczynników lub przedziałów tolerancji. Zaproponowane przez Autora procedury pozwalają na T.Trzaskalik Wielokryterialne dyskretne programowanie dynamiczne. Teoria i zastosowania w praktyce gospodarczej. Prace naukowe AE w Katowicach. 11

12 wyznaczenie rozwiązań zadań zarówno ze ścisłą, jak i quasi-hierarchią celów, uwzględniając konieczność testowania sprawności otrzymanych rozwiązań i ewentualną konieczność ich poprawienia. Innym proponowanym często sposobem podejścia do wyboru rozwiązania końcowego jest odwołanie się decydenta do pewnego punktu odniesienia. Decydent dąży wówczas do określenia takiego rozwiązania, dla którego odpowiadający mu wektor ocen leży w przestrzeni kryterialnej najbliżej tego punktu. Wymaga to dodatkowo zdefiniowania funkcji dystansowej, pozwalającej na mierzenie tych odległości. Funkcje dystansowe konstruowane są tak, że w określony sposób ważą odchylenia poszczególnych składowych wektora ocen rozpatrywanej realizacji od składowych wektora będącego punktem odniesienia. Jeżeli decydent wybrał jako punkt odniesienia idealny wektor ocen oraz za funkcję dystansową przyjął jedną z metryk L(p), to otrzymane zadanie jest problemem programowania kompromisowego. Innym podejściem jest sformułowanie zadania programowania celowego. Punktem odniesienia może być tutaj dowolny wektor z przestrzeni kryterialnej. Poszczególne odchylenia wektora ocen odpowiadających badanemu rozwiązaniu od składowych punktu odniesienia mogą mieć różne znaczenie dla decydenta, co zostaje uwzględnione w postaci funkcji dystansowej przez ustalenie odpowiednich współczynników wagowych. Wyznaczenie tych współczynników może nastręczyć pewnych trudności. W niektórych przypadkach może się okazać, że łatwiej jest określić hierarchię ważności postulowanych poziomów ocen, określonych przez przyjęty punkt odniesienia. Możemy wówczas rozpatrywać odchylenia wektorów ocen dla poszczególnych rozwiązań od składowych punktu odniesienia i sformułować odpowiednie zadanie programowania leksykograficznego, uwzględniające hierarchię tych odchyleń. Otrzymane zadania należą do klasy zadań hierarchicznego (leksykograficznego) programowania celowego. W omawianych pracach zaproponowano szereg procedur numerycznych, pozwalających na rozwiązanie zadań, opisanych powyżej. Również i w tym przypadku wykorzystywana jest niejednokrotnie procedura testowania sprawności otrzymanych rozwiązań. Oprócz wartości kryteriów wieloetapowych istotną rolę dla decydenta odgrywa struktura etapowa rozwiązania, przez którą rozumiemy wartości kryteriów etapowych dla rozpatrywanego rozwiązania. Decydent może mieć pewne wyobrażenie o pożądanej strukturze etapowej rozwiązania końcowego, co może się okazać trudne do formalnego opisania. Rozważania, dotyczące struktury etapowej rozwiązania końcowego połączono z omawianym uprzednio podejściem hierarchicznym oraz podejściem, wykorzystującym 12

13 funkcje dystansowe. Zagadnienia te analizowano w zależności od rodzaju separowalności i monotoniczności wektorowej funkcji kryterium. Szczegółowo opisanym w omawianych pracach przykładem zastosowania metod wielokryterialnego programowania dynamicznego w ekonomii jest problem planowania wielookresowego w obiekcie wytwórczym. W każdym z rozpatrywanych okresów wytwarzane są pewne asortymenty produkcji, produkty sprzedawane są zewnętrznym odbiorcom oraz może mieć miejsce rozwój obiektu poprzez uruchamianie nowych technologii. W kolejnych okresach muszą być spełnione ograniczenia związane z aktualnymi możliwościami produkcyjnymi, możliwościami zakupu materiałów, i sprzedaży produktów oraz możliwościami uruchomienia nowych technologii. Jako kryteria wieloetapowe przyjęto maksymalizację zysku, maksymalizację rozmiarów produkcji oraz minimalizację wykorzystania materiałów deficytowych. Do rozwiązania sformułowanych zadań wykorzystano głównie metody oparte na podejściu hierarchicznym. Noty biograficzne Piotr Chrzan ukończył studia matematyczne na Uniwersytecie Śląskim w Katowicach w roku Doktor nauk ekonomicznych (1979), doktor habilitowany nauk ekonomicznych (1990). Jest autorem lub współautorem około 60 opublikowanych prac naukowych z zakresu zastosowań matematyki w ekonomii, finansach i ubezpieczeniach (programowanie stochastyczne, ekonometryczne modele gospodarki, procesy decyzyjne markowa, sieci neuronowe, matematyka finansowa, analiza aktuarialna). Obecnie swoje zainteresowania naukowe koncentruje wokół zagadnień, związanych z zarządzaniem ryzykiem w instytucjach finansowych i ubezpieczeniowych. W latach pełnił funkcję prorektora AE w Katowicach, w latach był kierownikiem Zakładu Matematyki Stosowanej Katedry Ekonometrii, natomiast od roku 2000 jest kierownikiem Katedry Matematyki Stosowanej. Ważniejsze publikacje Książki Łańcuchy decyzyjne Markowa i ich zastosowania w ekonomii. Prace naukowe AE w Katowicach, Ubezpieczenia na życie. Analiza aktuarialna, AE w Katowicach,

14 Matematyka finansowa. Podstawy teorii procentu. Wydanie I Giga-Net, Sp.zo.o. Katowice, Wydanie II Wydawnictwo Oikonomus Katowice 2001 Artykuły Wykorzystanie rozkładów z próby dla poszukiwania rozwiązań optymalnych zadań programowania probabilistycznego. Przegląd Statystyczny, Tom 28, nr 1-2, 1981, s Model Howarda dla niejednorodnego okresowego łańcucha Markowa. Część I. Zadanie optymalizacji jednorodnego łańcucha Markowa. Przegląd Statystyczny, Tom 35, nr 2, s Część 2. Dekompozycja zadania optymalizacji niejednorodnego okresowego łańcucha Markowa. Przegląd Statystyczny, Tom 35m., nr 3, 1988, s Wybrane metody doboru współczynnika uczenia w sieciach neuronowych. Studia Ekonomiczne Badania Operacyjne, AE w Katowicach nr 12/2000, s współautor G.Timofiejczuk). Donata Kopańska-Bródka ukończyła studia matematyczne na Uniwersytecie Śląskim w Katowicach w roku Odbyła dwa długoterminowe staże naukowe: w Institut fur Okonometrie w Technische Universitat w Wiedniu oraz w Business School of Texax Christian University w Fort Worth (USA). Doktor nauk ekonomicznych (1982), doktor habilitowany ekonomii (1991), profesor nauk ekonomicznych (2002).W swoich pracach naukowych zajmuje się problemami optymalizacyjnymi i ich zastosowaniami w zagadnieniach ekonomicznych, głównie programowaniem stochastycznym, prognozami dyskryminacyjnymi i teorią portfela. Od roku 1993 jest kierownikiem Zakładu Badań Operacyjnych, początkowo w katedrze Ekonometrii, a obecnie w Katedrze Badań Operacyjnych. Ważniejsze publikacje Książki Metody stochastycznego programowania liniowego i ich praktyczne zastosowania w badaniach ekonomicznych, Prace Naukowe AE w Katowicach, 1991 Wprowadzenie do badań operacyjnych, AE w Katowicach, 1996 Optymalne decyzje inwestycyjne, Prace Naukowe AE w Katowicach, Artykuły Ekwiwalentność pewnych zadań stochastycznego programowania liniowego i jej ekonomiczne znaczenie. W: Modele decyzyjne w warunkach niepełnej informacji. Prace Naukowe AE we Wrocławiu 1988 nr 413, s Probabilistyczne podejście do problemu stochastycznego programowania liniowego, Badania Operacyjne i Decyzje 1992 nr 3, Model wyboru portfela z warunkami minimalnych udziałów, Studia Ekonomiczne Badania Operacyjne, AE w Katowicach 2000, nr 12, s

15 Jerzy Mika ukończył studia matematyczne na Uniwersytecie Śląskim w Katowicach w roku Doktor nauk ekonomicznych (1980), doktor habilitowany nauk ekonomicznych (1990), profesor nauk ekonomicznych (1999). W swych pracach naukowych zajmował się metodologią badań operacyjnych i ekonomicznymi zastosowaniami programowania matematycznego, metodologia analiz porównawczych procesów gospodarczych i społecznych transformowanej gospodarki polskiej z gospodarkami krajów Unii Europejskiej. Jest autorem i współautorem 11 skryptów uczelnianych z zakresu programowania matematycznego, badań operacyjnych, matematyki oraz zastosowań rachunku macierzowego, rachunku różniczkowego i rachunku całkowego w ekonomii. W latach pełnił funkcje prodziekana, a w latach dziekana Wydziału Zarządzania. Od roku 1993 jest kierownikiem Zakładu Zastosowań Matematyki, najpierw w Katedrze Ekonometrii, a następnie o od roku 1999 w Katedrze Matematyki. pełniąc jednocześnie funkcję kierownika tej katedry. Ważniejsze publikacje: Książki Elementy teorii metod macierzy pseudoodwrotnych w programowaniu liniowym, AE w Katowicach, Uogólnione rozwiązania i korekcja sprzecznych modeli optymalizacyjnych we wspomaganiu procesów podejmowania optymalnych decyzji ekonomicznych. Prace Naukowe AE w Katowicach, Perspektywy integracji Polski z Unią Europejską, Prace Naukowe AE w Katowicach, Elementy matematyki dla studentów ekonomii i zarządzania podręcznik akademicki, AE w Katowicach, Artykuły O pewnej wersji metody macierzy pseudoodwrotnych w programowaniu liniowym. Przegląd Statystyczny nr 1-2, 1982, s O optymalizacji wielookresowej na podstawie ekonometryczno-symulacyjnego modelu gospodarki Polski, W: Makromodele gospodarki i ich zastosowania, Prace Naukowe AE w Katowicach, 1988, s Optymalne uogólnione rozwiązania zadań programowania matematycznego z liniowym układem warunków ograniczających w procesach wspomagania podejmowania decyzji. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej w Gliwicach, Seria: Zarządzanie, Nr 32, 2000, s Zygmunt Przybycin ukończył studia matematyczne w Wyższej Szkole Pedagogicznej w Katowicach w roku Doktor nauk ekonomicznych (1975), doktor habilitowany nauk ekonomicznych. W swoich pracach naukowych zajmował się początkowo systemami masowej obsługi w aspekcie osłabienia niektórych założeń co do strumienia zgłoszeń, czasu obsługi oraz niezawodności urządzeń obsługi, następnie zaś estymatorami (oraz ich 15

16 własnościami) podstawowych charakterystyk pola losowego funkcji wartości oczekiwanej oraz funkcji korelacyjnej. Równolegle prowadzi badania w obszarze ryzyka finansowego w kontekście zarządzania ryzykiem. Od roku 1993 pełni funkcję kierownika Zakładu Matematyki, początkowo w Katedrze Ekonometrii, a od roku 2000 w Katedrze Matematyki. Ważniejsze publikacje Książki Zastosowanie pól losowych w ekonomicznych modelach przestrzennych. Prace naukowe AE w Katowicach, Statystyka przestrzenna wybrane zagadnienia, AE w Katowicach, Metody reprezentacyjne w badaniu sprawozdań finansowych, Stowarzyszenie Księgowych w Polsce, Warszawa Artykuły Estymatory klasy f współczynników regresji liniowej stacjonarnego pola losowego. Zeszyty Naukowe AE w Katowicach 1995, s Przestrzenne modele regresji liniowej.. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej 1999 nr.6. Metody reprezentacyjne w badaniach ekonomicznych pól losowych. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej 2000, nr.2 Elżbieta Stolarska w roku 1965 ukończyła studia matematyczne w Wyższej Szkole Pedagogicznej w Opolu. Doktor nauk ekonomicznych (1973), doktor habilitowany nauk ekonomicznych (1988). W swoich pracach naukowych zajmowała się ekonometrycznymi metodami predykcji wykonania wieloletnich planów gospodarczych oraz dynamicznymi modelami ekonometrycznymi. W latach pełniła funkcję kierownika Zakładu Programowania Matematycznego, w latach była kierownikiem Zakładu Badań Operacyjnych w Katedrze Ekonometrii. W latach pełniła funkcję prorektora AE w Katowicach. Była członkiem PTM. Zmarła 28 kwietnia Ważniejsze publikacje Książki Algebra liniowa dla ekonometryków. Praca zbiorowa pod red. E.Stolarskiej, PWN Warszawa Zbiór zadań z algebry liniowej dla ekonometryków. Praca zbiorowa pod red. E.Stolarskiej, PWN, Warszawa Ekonometryczny model gospodarki Polski MESI. Praca zbiorowa pod red. E.Stolarskiej. Prace naukowe AE w Katowicach, Dynamiczne modele ekonometryczne. Własności i zastosowania. PWN Warszawa

17 Włodzimierz Szkutnik ukończył studia matematyczne w roku 1974 na Uniwersytecie Śląskim w Katowicach. Doktor nauk ekonomicznych (1982), doktor habilitowany nauk ekonomicznych (1993). W swoich pracach naukowych zajmował się programowaniem stochastycznym, statystyka i ryzykiem ubezpieczeniowym. Od roku 2002 jest kierownikiem Zakładu Matematyki Aktuarialnej w Katedrze Matematyki. Ważniejsze publikacje: Książki Optymalizacja w warunkach niepewności. Prace naukowe AE w Katowicach, Wybrane modele zarządzania ryzykiem ubezpieczeniowym w ujęciu probabilistycznym. Prace naukowe AE w Katowicach, Artykuły O rozwiązaniu zadań stochastycznego programowania liniowego jako liniowych E-modeli ze statystycznymi ograniczeniami. Przegląd Statystyczny 1985, t.32, nr 22, Statystyczny wariant wyboru strategii tworzenia portfela akcji. W: Systemy wspomagania decyzji grupowych. Prace naukowe AE we Wrocławiu, 1996, nr 417, s Klasa nieliniowych zagadnień wypukłych programowania stochastycznego. W: Modelowanie preferencji a ryzyko 99, pod red. T.Trzaskalika, AE w Katowicach 1999, s Tadeusz Trzaskalik ukończył studia matematyczne na Uniwersytecie Śląskim w roku Doktor nauk ekonomicznych (1980), doktor habilitowany nauk ekonomicznych (1991), profesor nauk ekonomicznych (1999). W swoich pracach naukowych zajmował się zastosowaniem programowania matematycznego i badań operacyjnych (w tym głównie programowania dynamicznego i wielokryterialnego) w ekonomii i zarządzaniu. Autor i redaktor licznych pozycji dydaktycznych z zakresu matematyki, programowania matematycznego i badań operacyjnych. Inicjator i kierownik naukowy ogólnopolskiej konferencji naukowej Modelowanie preferencji a ryzyko, organizowanej od roku 1998, integrującej środowisko matematyków zajmujących się zastosowaniami matematyki w ekonomii i ekonometryków. W latach pełnił funkcje prorektora od roku 1999 jest kierownikiem uczelnianego studium doktoranckiego. Od roku 1991 pełni funkcję kierownika Zakładu Zastosowań Informatyki w Badaniach Operacyjnych, a od roku 1999 jest kierownikiem Katedry Badań Operacyjnych. Członek PTM od roku 1987, a latach obecnie członek Zarządu Oddziału Górnośląskiego PTM, od roku przewodniczący Komisji Matematyki dla Studiów Ekonomicznych Zarządu Głównego PTM. 17

18 Ważniejsze publikacje Książki Wielokryterialne dyskretne programowanie dynamiczne. Teoria i zastosowania w praktyce gospodarczej. AE w Katowicach 1990 Multiobjective Analysis in Dynamic Environment, AE w Katowicach 1999 Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem podręcznik akademicki. PWE Artykuły Wielookresowe planowanie produkcji w przedsiębiorstwie jako deterministyczne zadania programowania liniowego, Przegląd Statystyczny 1980, 7.27, nr 1-2, s Hierarchical Approach to Multi-Criteria Dynamic Programming. Information Systems and Operational Research INFOR, 1992, vol.20 no 2, s Odwrotne dominacje stochastyczne i ich zastosowanie w sterowaniu procesem produkcyjnym. Przegląd Statystyczny nr ¾, s (współautorzy: M.Nowak, G.Trzpiot, K.Zaraś). Grażyna Trzpiot ukończyła studia matematyczne na Uniwersytecie Śląskim w roku Doktor nauk ekonomicznych (1991), doktor habilitowany nauk ekonomicznych (2000). Jej zainteresowania badawcze dotyczą komputerowych implementacji metod analizy danych, wykorzystania multifunkcji w modelowaniu procesów ekonomicznych, ryzyka na rynkach kapitałowych, zastosowania metod ilościowych w opisie efektywności specjalizacji Polski w handlu międzynarodowym, wielowartościowych zmiennych losowych ich własności i zastosowań w ekonomii, w tym na rynkach kapitałowych, modelowania wielowartościowego w aspekcie wielowymiarowym. Jest czlonikiem PTM (w latach była członkiem Zarządu Oddziału Górnośląskiego). Ważniejsze publikacje Książki Modelowanie preferencji z wykorzystaniem dominacji stochastycznych. AE w Katowicach, 1998 (wspołautorzy: T.Trzaskalik, K.Zaraś) Wielowartościowe zmienne losowe w badaniach ekonomicznych, Prace Naukowe AE Katowice, Przykłady analiz statystycznych z wykorzystaniem arkusza kalkulacyjnego Microsoft Excel, AE Katowice Artykuły Multivalued limit laws applied to stochastic optimization. Random Operators and Stochastic Equations, vol. 3, no 4, 1995, Algorytm wyznaczania dominacji stochastycznych stopnia trzeciego. Badania Operacyjne i Decyzje nr 2, 1999, (współautor K.Zaraś) 18

19 Wielowartościowe dominacje probabilistyczne i stochastyczne w podejmowaniu decyzji inwestycyjnych. W: Rynek kapitałowy. Wydawnictwo naukowe Uniwersytetu Szczecińskiego, Henryk Zawadzki ukończył studia matematyczne na Uniwersytecie Śląskim w Katowicach w roku Doktor nauk ekonomicznych (1983) doktor habilitowany nauk ekonomicznych (1997). W latach pełnił funkcję prodziekana na Wydziale Zarządzania. Jego zainteresowania badawcze dotyczą dynamiki ekonomicznej, chaosu deterministycznego, zastosowania systemów algebry komputerowej (zwłaszcza programu Mathematica ) w rozwiązywaniu problemów obliczeniowych ekonomii matematycznej i matematyki finansowej. Jest członkiem PTM. Ważniejsze publikacje Książki Chaotyczne systemy dynamiczne. Elementy teorii i wybrane przykłady ekonomiczne. Prace Naukowe AE w Katowicach, Zbiór zadań z matematyki dla studentów ekonomii (współautor G.Trzpiot), GWSH, Katowice

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl

Bardziej szczegółowo

MATEMATYCZNE METODY WSPOMAGANIA PROCESÓW DECYZYJNYCH

MATEMATYCZNE METODY WSPOMAGANIA PROCESÓW DECYZYJNYCH MATEMATYCZNE METODY WSPOMAGANIA PROCESÓW DECYZYJNYCH 1. Przedmiot nie wymaga przedmiotów poprzedzających 2. Treść przedmiotu Proces i cykl decyzyjny. Rola modelowania matematycznego w procesach decyzyjnych.

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i bazy danych (wykład obowiązkowy dla wszystkich)

Algorytmy i bazy danych (wykład obowiązkowy dla wszystkich) MATEMATYKA I EKONOMIA PROGRAM STUDIÓW DLA II STOPNIA Data: 2010-11-07 Opracowali: Krzysztof Rykaczewski Paweł Umiński Streszczenie: Poniższe opracowanie przedstawia projekt planu studiów II stopnia na

Bardziej szczegółowo

KIERUNKOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA

KIERUNKOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA KIERUNKOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA Wydział: Matematyki Kierunek studiów: Matematyka i Statystyka (MiS) Studia w j. polskim Stopień studiów: Pierwszy (1) Profil: Ogólnoakademicki (A) Umiejscowienie kierunku

Bardziej szczegółowo

Etapy modelowania ekonometrycznego

Etapy modelowania ekonometrycznego Etapy modelowania ekonometrycznego jest podstawowym narzędziem badawczym, jakim posługuje się ekonometria. Stanowi on matematyczno-statystyczną formę zapisu prawidłowości statystycznej w zakresie rozkładu,

Bardziej szczegółowo

STRESZCZENIE. rozprawy doktorskiej pt. Zmienne jakościowe w procesie wyceny wartości rynkowej nieruchomości. Ujęcie statystyczne.

STRESZCZENIE. rozprawy doktorskiej pt. Zmienne jakościowe w procesie wyceny wartości rynkowej nieruchomości. Ujęcie statystyczne. STRESZCZENIE rozprawy doktorskiej pt. Zmienne jakościowe w procesie wyceny wartości rynkowej nieruchomości. Ujęcie statystyczne. Zasadniczym czynnikiem stanowiącym motywację dla podjętych w pracy rozważań

Bardziej szczegółowo

Opis efektów kształcenia dla programu kształcenia (kierunkowe efekty kształcenia) WIEDZA. rozumie cywilizacyjne znaczenie matematyki i jej zastosowań

Opis efektów kształcenia dla programu kształcenia (kierunkowe efekty kształcenia) WIEDZA. rozumie cywilizacyjne znaczenie matematyki i jej zastosowań TABELA ODNIESIEŃ EFEKTÓW KSZTAŁCENIA OKREŚLONYCH DLA PROGRAMU KSZTAŁCENIA DO EFEKTÓW KSZTAŁCENIA OKREŚLONYCH DLA OBSZARU KSZTAŁCENIA I PROFILU STUDIÓW PROGRAM KSZTAŁCENIA: POZIOM KSZTAŁCENIA: PROFIL KSZTAŁCENIA:

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA EKONOMICZNA

STATYSTYKA EKONOMICZNA STATYSTYKA EKONOMICZNA Analiza statystyczna w ocenie działalności przedsiębiorstwa Opracowano na podstawie : E. Nowak, Metody statystyczne w analizie działalności przedsiębiorstwa, PWN, Warszawa 2001 Dr

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Politechnika Częstochowska, Wydział Zarządzania PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu Kierunek Forma studiów Poziom kwalifikacji Rok Semestr Jednostka prowadząca Osoba sporządzająca Profil Rodzaj

Bardziej szczegółowo

Jacek Skorupski pok. 251 tel konsultacje: poniedziałek , sobota zjazdowa

Jacek Skorupski pok. 251 tel konsultacje: poniedziałek , sobota zjazdowa Jacek Skorupski pok. 251 tel. 234-7339 jsk@wt.pw.edu.pl http://skorupski.waw.pl/mmt prezentacje ogłoszenia konsultacje: poniedziałek 16 15-18, sobota zjazdowa 9 40-10 25 Udział w zajęciach Kontrola wyników

Bardziej szczegółowo

PLAN STUDIÓW STACJONARNYCH PIERWSZEGO STOPNIA DLA KIERUNKU MATEMATYKA NA WYDZIALE MATEMATYKI, INFORMATYKI I EKONOMETRII UNIWERSYTETU ZIELONOGÓRSKIEGO

PLAN STUDIÓW STACJONARNYCH PIERWSZEGO STOPNIA DLA KIERUNKU MATEMATYKA NA WYDZIALE MATEMATYKI, INFORMATYKI I EKONOMETRII UNIWERSYTETU ZIELONOGÓRSKIEGO PLAN STUDIÓW STACJONARNYCH PIERWSZEGO STOPNIA DLA KIERUNKU MATEMATYKA NA WYDZIALE MATEMATYKI, INFORMATYKI I EKONOMETRII UNIWERSYTETU ZIELONOGÓRSKIEGO rekrutacja w roku akademickim 2011/2012 Zatwierdzono:

Bardziej szczegółowo

METODY WSPOMAGANIA DECYZJI MENEDŻERSKICH

METODY WSPOMAGANIA DECYZJI MENEDŻERSKICH PREZENTACJA SEPCJALNOŚCI: METODY WSPOMAGANIA DECYZJI MENEDŻERSKICH WYDZIAŁ INFORMATYKI I KOMUNIKACJI KIERUNEK INFORMATYKA I EKONOMETRIA SEKRETARIAT KATEDRY BADAŃ OPERACYJNYCH Budynek D, pok. 621 e-mail

Bardziej szczegółowo

Katedra Demografii i Statystki Ekonomicznej

Katedra Demografii i Statystki Ekonomicznej Katedra Demografii i Statystki Ekonomicznej Wydział Informatyki i Komunikacji http://www.ue.katowice.pl/jednostki/katedry/katedry-wiik/ Skład osobowy Katedry Pracownicy: prof. zw. dr hab. Grażyna Trzpiot

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI. Do Czytelnika... 7

SPIS TREŚCI. Do Czytelnika... 7 SPIS TREŚCI Do Czytelnika.................................................. 7 Rozdział I. Wprowadzenie do analizy statystycznej.............. 11 1.1. Informacje ogólne..........................................

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE. stacjonarne. II stopnia. ogólnoakademicki. podstawowy WYKŁAD ĆWICZENIA LABORATORIUM PROJEKT SEMINARIUM

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE. stacjonarne. II stopnia. ogólnoakademicki. podstawowy WYKŁAD ĆWICZENIA LABORATORIUM PROJEKT SEMINARIUM Politechnika Częstochowska, Wydział Zarządzania PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu Kierunek Forma studiów Poziom kwalifikacji Rok Semestr Jednostka prowadząca Osoba sporządzająca Profil Rodzaj

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE. Statystyka opisowa. Zarządzanie. niestacjonarne. I stopnia. dr Agnieszka Strzelecka. ogólnoakademicki.

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE. Statystyka opisowa. Zarządzanie. niestacjonarne. I stopnia. dr Agnieszka Strzelecka. ogólnoakademicki. Politechnika Częstochowska, Wydział Zarządzania PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu Kierunek Forma studiów Poziom kwalifikacji Rok Semestr Jednostka prowadząca Osoba sporządzająca Profil Rodzaj

Bardziej szczegółowo

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa Wielokryteriowa optymalizacja liniowa 1. Przy decyzjach złożonych kierujemy się zwykle więcej niż jednym kryterium. Postępowanie w takich sytuacjach nie jest jednoznaczne. Pojawiło się wiele sposobów dochodzenia

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu: Badania operacyjne

Opis przedmiotu: Badania operacyjne Opis : Badania operacyjne Kod Nazwa Wersja TR.SIK306 Badania operacyjne 2013/14 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów Specjalność Jednostka

Bardziej szczegółowo

Metody Ilościowe w Socjologii

Metody Ilościowe w Socjologii Metody Ilościowe w Socjologii wykład 2 i 3 EKONOMETRIA dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Ekonometria podstawowe definicje II. Etapy budowy modelu ekonometrycznego III. Wybrane metody doboru zmiennych do modelu

Bardziej szczegółowo

PROPOZYCJA ZAGADNIEŃ NA EGZAMIN LICENCJACKI NA KIERUNKU ANALITYKA GOSPODARCZA. 1.Modele wielorównaniowe. Ich rodzaje i zalecane metody estymacji

PROPOZYCJA ZAGADNIEŃ NA EGZAMIN LICENCJACKI NA KIERUNKU ANALITYKA GOSPODARCZA. 1.Modele wielorównaniowe. Ich rodzaje i zalecane metody estymacji PROPOZYCJA ZAGADNIEŃ NA EGZAMIN LICENCJACKI NA KIERUNKU ANALITYKA GOSPODARCZA 1.Modele wielorównaniowe. Ich rodzaje i zalecane metody estymacji 2.Problem niesferyczności składnika losowego w modelach ekonometrycznych.

Bardziej szczegółowo

Z-LOGN Ekonometria Econometrics. Przedmiot wspólny dla kierunku Obowiązkowy polski Semestr IV

Z-LOGN Ekonometria Econometrics. Przedmiot wspólny dla kierunku Obowiązkowy polski Semestr IV bbbbkarta MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Z-LOGN1-0184 Ekonometria Econometrics Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE

Bardziej szczegółowo

Kierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne

Kierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne Wydział: Matematyki Stosowanej Kierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne Specjalność: Matematyka finansowa Rocznik: 2014/2015 Język wykładowy: Polski Semestr

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim BADANIA OPERACYJNE Nazwa w języku angielskim Operational research Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka

Bardziej szczegółowo

Modele DSGE. Jerzy Mycielski. Maj Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj / 11

Modele DSGE. Jerzy Mycielski. Maj Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj / 11 Modele DSGE Jerzy Mycielski Maj 2008 Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj 2008 1 / 11 Modele DSGE DSGE - Dynamiczne, stochastyczne modele równowagi ogólnej (Dynamic Stochastic General Equilibrium Model)

Bardziej szczegółowo

Podsumowanie wyników ankiety

Podsumowanie wyników ankiety SPRAWOZDANIE Kierunkowego Zespołu ds. Programów Kształcenia dla kierunku Informatyka dotyczące ankiet samooceny osiągnięcia przez absolwentów kierunkowych efektów kształcenia po ukończeniu studiów w roku

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu. Karta przedmiotu - Badania operacyjne Katalog ECTS Politechniki Warszawskiej

Opis przedmiotu. Karta przedmiotu - Badania operacyjne Katalog ECTS Politechniki Warszawskiej Kod przedmiotu TR.SIK306 Nazwa przedmiotu Badania operacyjne Wersja przedmiotu 2015/16 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów

Bardziej szczegółowo

Modelowanie jako sposób opisu rzeczywistości. Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych Politechnika Łódzka

Modelowanie jako sposób opisu rzeczywistości. Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych Politechnika Łódzka Modelowanie jako sposób opisu rzeczywistości Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych Politechnika Łódzka 2015 Wprowadzenie: Modelowanie i symulacja PROBLEM: Podstawowy problem z opisem otaczającej

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 1: Terminologia badań statystycznych dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka (1) Statystyka to nauka zajmująca się zbieraniem, badaniem

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Śląski w Katowicach WYDZIAŁ MATEMATYKI, FIZYKI I CHEMII. Kierunek Matematyka. Studia stacjonarne i niestacjonarne I i II stopnia

Uniwersytet Śląski w Katowicach WYDZIAŁ MATEMATYKI, FIZYKI I CHEMII. Kierunek Matematyka. Studia stacjonarne i niestacjonarne I i II stopnia Uniwersytet Śląski w Katowicach WYDZIAŁ MATEMATYKI, FIZYKI I CHEMII Kierunek Matematyka Studia stacjonarne i niestacjonarne I i II stopnia Organizacja roku akademickiego 2016/2017 Studia stacjonarne I

Bardziej szczegółowo

Poziom przedmiotu: II stopnia. Liczba godzin/tydzień: 2W, 2L, 1C PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Poziom przedmiotu: II stopnia. Liczba godzin/tydzień: 2W, 2L, 1C PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: przedmiot obowiązkowy dla specjalności matematyka finansowa i ubezpieczeniowa Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium Metody optymalizacji w ekonomii

Bardziej szczegółowo

UCHWAŁA NR 71/2017 SENATU UNIWERSYTETU WROCŁAWSKIEGO z dnia 31 maja 2017 r.

UCHWAŁA NR 71/2017 SENATU UNIWERSYTETU WROCŁAWSKIEGO z dnia 31 maja 2017 r. UCHWAŁA NR 71/2017 SENATU UNIWERSYTETU WROCŁAWSKIEGO z dnia 31 maja 2017 r. zmieniająca uchwałę w sprawie efektów kształcenia dla kierunków studiów prowadzonych w Uniwersytecie Wrocławskim Na podstawie

Bardziej szczegółowo

Systemy wspomagania decyzji Kod przedmiotu

Systemy wspomagania decyzji Kod przedmiotu Systemy wspomagania decyzji - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Systemy wspomagania decyzji Kod przedmiotu 06.9-WM-ZIP-D-06_15W_pNadGenG0LFU Wydział Kierunek Wydział Mechaniczny Zarządzanie

Bardziej szczegółowo

Kierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne

Kierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne Wydział: Matematyki Stosowanej Kierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne Specjalność: Matematyka w informatyce Rocznik: 2013/2014 Język wykładowy: Polski

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Śląski w Katowicach WYDZIAŁ MATEMATYKI, FIZYKI I CHEMII. Kierunek Matematyka. Studia stacjonarne i niestacjonarne I i II stopnia

Uniwersytet Śląski w Katowicach WYDZIAŁ MATEMATYKI, FIZYKI I CHEMII. Kierunek Matematyka. Studia stacjonarne i niestacjonarne I i II stopnia Uniwersytet Śląski w Katowicach WYDZIAŁ MATEMATYKI, FIZYKI I CHEMII Kierunek Matematyka Studia stacjonarne i niestacjonarne I i II stopnia Organizacja roku akademickiego 2017/2018 Studia stacjonarne I

Bardziej szczegółowo

Kierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne

Kierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne Wydział: Matematyki Stosowanej Kierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne Specjalność: Matematyka ubezpieczeniowa Rocznik: 2013/2014 Język wykładowy: Polski

Bardziej szczegółowo

Kierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne

Kierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne Wydział: Matematyki Stosowanej Kierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne Specjalność: Matematyka finansowa Rocznik: 2013/2014 Język wykładowy: Polski Semestr

Bardziej szczegółowo

Krakowska Akademia im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów, którzy rozpoczęli studia w roku akademickim 2014/2015

Krakowska Akademia im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów, którzy rozpoczęli studia w roku akademickim 2014/2015 Krakowska Akademia im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego Karta przedmiotu obowiązuje studentów, którzy rozpoczęli studia w roku akademickim 201/2015 WydziałZarządzania i Komunikacji Społecznej Kierunek studiów:

Bardziej szczegółowo

WIEDZA. Ma podstawową wiedzę niezbędną do rozumienia ekonomicznych i innych pozatechnicznych uwarunkowań działalności inżynierskiej.

WIEDZA. Ma podstawową wiedzę niezbędną do rozumienia ekonomicznych i innych pozatechnicznych uwarunkowań działalności inżynierskiej. Efekty kształcenia dla kierunku: LOGISTYKA Wydział: ORGANIZACJI I ZARZĄDZANIA nazwa kierunku studiów: Logistyka poziom kształcenia: studia I stopnia profil kształcenia: ogólnoakademicki symbol K1A_W01

Bardziej szczegółowo

Kierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne

Kierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne Wydział: Matematyki Stosowanej Kierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne Specjalność: Matematyka ubezpieczeniowa Rocznik: 2016/2017 Język wykładowy: Polski

Bardziej szczegółowo

I. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU

I. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU I. KARTA PRZEDMIOTU 1. Nazwa przedmiotu: SYSTEMY WSPOMAGANIA DECYZJI. Kod przedmiotu: Ecs 3. Jednostka prowadząca: Wydział Mechaniczno-Elektryczny. Kierunek: Mechatronika 5. Specjalność: Techniki Komputerowe

Bardziej szczegółowo

Matematyka - Statystyka matematyczna Mathematical statistics 2, 2, 0, 0, 0

Matematyka - Statystyka matematyczna Mathematical statistics 2, 2, 0, 0, 0 Nazwa przedmiotu: Kierunek: Matematyka - Statystyka matematyczna Mathematical statistics Inżynieria materiałowa Materials Engineering Rodzaj przedmiotu: Poziom studiów: forma studiów: obowiązkowy studia

Bardziej szczegółowo

UCHWAŁA NR 50 Senatu Zachodniopomorskiego Uniwersytetu Technologicznego w Szczecinie z dnia 28 maja 2012 r.

UCHWAŁA NR 50 Senatu Zachodniopomorskiego Uniwersytetu Technologicznego w Szczecinie z dnia 28 maja 2012 r. UCHWAŁA NR 50 Senatu Zachodniopomorskiego Uniwersytetu Technologicznego w Szczecinie z dnia 28 maja 2012 r. w sprawie określenia opisu efektów kształcenia dla kierunku studiów ekonomia pierwszego i drugiego

Bardziej szczegółowo

Metody ilościowe w badaniach ekonomicznych

Metody ilościowe w badaniach ekonomicznych prof. dr hab. Tadeusz Trzaskalik dr hab. Maciej Nowak, prof. UE Wybór portfela projektów z wykorzystaniem wielokryterialnego programowania dynamicznego Metody ilościowe w badaniach ekonomicznych 19-06-2017

Bardziej szczegółowo

Programowanie dynamiczne. Tadeusz Trzaskalik

Programowanie dynamiczne. Tadeusz Trzaskalik Programowanie dynamiczne Tadeusz Trzaskalik 9.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Wieloetapowe procesy decyzyjne Zmienne stanu Zmienne decyzyjne Funkcje przejścia Korzyści (straty etapowe) Funkcja kryterium

Bardziej szczegółowo

zna metody matematyczne w zakresie niezbędnym do formalnego i ilościowego opisu, zrozumienia i modelowania problemów z różnych

zna metody matematyczne w zakresie niezbędnym do formalnego i ilościowego opisu, zrozumienia i modelowania problemów z różnych Grupa efektów kierunkowych: Matematyka stosowana I stopnia - profil praktyczny (od 17 października 2014) Matematyka Stosowana I stopień spec. Matematyka nowoczesnych technologii stacjonarne 2015/2016Z

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu. Karta przedmiotu - Badania operacyjne Katalog ECTS Politechniki Warszawskiej

Opis przedmiotu. Karta przedmiotu - Badania operacyjne Katalog ECTS Politechniki Warszawskiej Kod przedmiotu TR.NIK405 Nazwa przedmiotu Badania operacyjne Wersja przedmiotu 2015/2016 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów

Bardziej szczegółowo

INFORMATYKA i FINANSE KATEDRA INFORMATYKI TEORETYCZNEJ

INFORMATYKA i FINANSE KATEDRA INFORMATYKI TEORETYCZNEJ INFORMATYKA i FINANSE KATEDRA INFORMATYKI TEORETYCZNEJ dr hab. Czesław Bagiński, prof. PB Kierownik KIT dr hab. Wiktor Dańko, prof. PB dr hab. Piotr Grzeszczuk, prof. PB dr Ryszard Mazurek dr Jolanta Koszelew

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: PROGNOZOWANIE Z WYKORZYSTANIEM SYSTEMÓW INFORMATYCZNYCH Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy w ramach treści kierunkowych Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium I KARTA PRZEDMIOTU

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne Operation research. Transport I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)

Badania operacyjne Operation research. Transport I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny) Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../12 z dnia.... 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014 Badania

Bardziej szczegółowo

Schemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming)

Schemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming) Schemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming) Jest jedną z metod rozwiązywania problemów optymalizacyjnych. Jej twórcą (1957) był amerykański matematyk Richard Ernest Bellman. Schemat ten

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Analiza i modelowanie_nowicki, Chomiak_Księga1.indb :03:08

Spis treści. Analiza i modelowanie_nowicki, Chomiak_Księga1.indb :03:08 Spis treści Wstęp.............................................................. 7 Część I Podstawy analizy i modelowania systemów 1. Charakterystyka systemów informacyjnych....................... 13 1.1.

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 10

Ekonometria - ćwiczenia 10 Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na

Bardziej szczegółowo

Minima programowe - WYDZIAŁ NAUK EKONOMICZNYCH UW

Minima programowe - WYDZIAŁ NAUK EKONOMICZNYCH UW Minima programowe - WYDZIAŁ NAUK EKONOMICZNYCH UW Minimum programowe dla studentów MISH od roku akad. 2007/08 Zajęcia dla wszystkich specjalizacji Mikroekonomia I 30 4 I 1 Makroekonomia I 60 6 I 2 Mikroekonomia

Bardziej szczegółowo

Spis treści 377 379 WSTĘP... 9

Spis treści 377 379 WSTĘP... 9 Spis treści 377 379 Spis treści WSTĘP... 9 ZADANIE OPTYMALIZACJI... 9 PRZYKŁAD 1... 9 Założenia... 10 Model matematyczny zadania... 10 PRZYKŁAD 2... 10 PRZYKŁAD 3... 11 OPTYMALIZACJA A POLIOPTYMALIZACJA...

Bardziej szczegółowo

ANALITYKA GOSPODARCZA, STUDIA MAGISTERSKIE WIEDZA

ANALITYKA GOSPODARCZA, STUDIA MAGISTERSKIE WIEDZA ANALITYKA GOSPODARCZA, STUDIA MAGISTERSKIE WIEDZA Ma rozszerzoną wiedzę o charakterze nauk ekonomicznych oraz ich miejscu w AG2_W01 systemie nauk społecznych i w relacjach do innych nauk. AG2_W02 Ma rozszerzoną

Bardziej szczegółowo

2. Metody podejmowania decyzji w warunkach pewności... 37

2. Metody podejmowania decyzji w warunkach pewności... 37 Spis treści Wstęp... 7 1. Problemy i procesy decyzyjne w organizacji... 11 1.1. Istota decyzji menedżerskich w organizacji... 11 1.2. Sytuacje decyzyjne, problemy decyzyjne i decyzje w organizacji.. 15

Bardziej szczegółowo

Ekonometria_FIRJK Arkusz1

Ekonometria_FIRJK Arkusz1 Rok akademicki: Grupa przedmiotów Numer katalogowy: Nazwa przedmiotu 1) : łumaczenie nazwy na jęz. angielski 3) : Kierunek studiów 4) : Ekonometria Econometrics Ekonomia ECS 2) Koordynator przedmiotu 5)

Bardziej szczegółowo

Uczelnia Łazarskiego. Sylabus. 1. Nazwa przedmiotu EKONOMETRIA 2. Kod przedmiotu

Uczelnia Łazarskiego. Sylabus. 1. Nazwa przedmiotu EKONOMETRIA 2. Kod przedmiotu Uczelnia Łazarskiego Sylabus 1. Nazwa przedmiotu EKONOMETRIA 2. Kod przedmiotu 3. Język wykładowy Język polski 4. Status przedmiotu podstawowy do wyboru Języki X kierunkowy specjalistyczny Inne 5. Cel

Bardziej szczegółowo

przedmiotu Nazwa Pierwsza studia drugiego stopnia

przedmiotu Nazwa Pierwsza studia drugiego stopnia Nazwa przedmiotu K A R T A P R Z E D M I O T U ( S Y L L A B U S ) O p i s p r z e d m i o t u Kod przedmiotu EKONOMETRIA UTH/I/O/MT/zmi/ /C 1/ST/2(m)/1Z/C1.1.5 Język wykładowy ECONOMETRICS JĘZYK POLSKI

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU. 12. PRZEDMIOTOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA Odniesienie do kierunkowych efektów kształcenia (symbol)

KARTA PRZEDMIOTU. 12. PRZEDMIOTOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA Odniesienie do kierunkowych efektów kształcenia (symbol) KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Ekonometria 2. KIERUNEK: MATEMATYKA 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: III/6 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 5 6. LICZBA GODZIN: 30 / 30 7. TYP PRZEDMIOTU

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na egzamin dyplomowy na kierunku Informatyka i Ekonometria (1 stopień studiów)

Zagadnienia na egzamin dyplomowy na kierunku Informatyka i Ekonometria (1 stopień studiów) Zagadnienia na egzamin dyplomowy na kierunku Informatyka i Ekonometria (1 stopień studiów) 1. Systemowe i niesystemowe metody estymacji parametrów. Wady i zalety tych podejść b. 06IE 1A_W07 - opanował

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

Efekty kształcenia dla kierunku EKONOMIA

Efekty kształcenia dla kierunku EKONOMIA Efekty kształcenia dla kierunku EKONOMIA studia pierwszego stopnia profil ogólnoakademicki Forma studiów: stacjonarne i niestacjonarne Wydział Ekonomii Uniwersytetu Ekonomicznego w Poznaniu Umiejscowienie

Bardziej szczegółowo

Odniesienie do opisu efektów kształcenia dla obszaru nauk społecznych WIEDZA K_W01

Odniesienie do opisu efektów kształcenia dla obszaru nauk społecznych WIEDZA K_W01 Efekty kształcenia dla kierunku EKONOMIA studia pierwszego stopnia profil ogólnoakademicki Forma studiów: stacjonarne i niestacjonarne Wydział Ekonomii Uniwersytetu Ekonomicznego w Poznaniu Umiejscowienie

Bardziej szczegółowo

Wydział Nauk Ekonomicznych i Technicznych KIERUNEK FINANSE I RACHUNKOWOŚĆ studia stacjonarne i niestacjonarne licencjackie (I stopnia)

Wydział Nauk Ekonomicznych i Technicznych KIERUNEK FINANSE I RACHUNKOWOŚĆ studia stacjonarne i niestacjonarne licencjackie (I stopnia) Wydział Nauk Ekonomicznych i Technicznych KIERUNEK FINANSE I RACHUNKOWOŚĆ studia stacjonarne i niestacjonarne licencjackie (I stopnia) Specjalności: finanse przedsiębiorstw informatyka w finansach Ulotka

Bardziej szczegółowo

Budowa sztucznych sieci neuronowych do prognozowania. Przykład jednostek uczestnictwa otwartego funduszu inwestycyjnego

Budowa sztucznych sieci neuronowych do prognozowania. Przykład jednostek uczestnictwa otwartego funduszu inwestycyjnego Budowa sztucznych sieci neuronowych do prognozowania. Przykład jednostek uczestnictwa otwartego funduszu inwestycyjnego Dorota Witkowska Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie Wprowadzenie Sztuczne

Bardziej szczegółowo

Program kształcenia na Studiach Doktoranckich Wydziału Zarządzania Uniwersytetu Warszawskiego w roku 2014/2015

Program kształcenia na Studiach Doktoranckich Wydziału Zarządzania Uniwersytetu Warszawskiego w roku 2014/2015 Program kształcenia na Studiach Doktoranckich Wydziału Zarządzania Uniwersytetu Warszawskiego w roku 201/2015 Wydział Zarządzania UW posiada uprawnienia do nadawania stopnia doktora w dwóch dyscyplinach:

Bardziej szczegółowo

Ekonometria i prognozowanie Econometrics and prediction

Ekonometria i prognozowanie Econometrics and prediction KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014 Ekonometria i prognozowanie Econometrics and prediction A. USYTUOWANIE

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania

Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym

Bardziej szczegółowo

Wydział Nauk Ekonomicznych i Technicznych KIERUNEK EKONOMIA studia stacjonarne i niestacjonarne licencjackie (I stopnia)

Wydział Nauk Ekonomicznych i Technicznych KIERUNEK EKONOMIA studia stacjonarne i niestacjonarne licencjackie (I stopnia) Wydział Nauk Ekonomicznych i Technicznych KIERUNEK EKONOMIA studia stacjonarne i niestacjonarne licencjackie (I stopnia) Specjalności: transport, spedycja i przewozy NOWOŚĆ! międzynarodowe - gospodarka

Bardziej szczegółowo

Nazwa przedmiotu: Współczesne koncepcje raportowania finansowego spółek w warunkach rynku kapitałowego. Obowiązkowy

Nazwa przedmiotu: Współczesne koncepcje raportowania finansowego spółek w warunkach rynku kapitałowego. Obowiązkowy Karta przedmiotu Seminarium doktorskie Nazwa przedmiotu: Stopień studiów: Doktoranckie Współczesne koncepcje raportowania finansowego spółek w warunkach rynku kapitałowego Tryb studiów: stacjonarne Obowiązkowy

Bardziej szczegółowo

TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu

TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu Wykład dla studentów II roku studiów II stopnia na kierunku Zarządzanie Semestr zimowy 2009/2010 Wykładowca: prof. dr hab. inż. Michał Inkielman Wykład 2 Optymalizacja

Bardziej szczegółowo

ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI

ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI STUDIA PIERWSZEGO STOPNIA PROFIL OGÓLNOAKADEMICKI Załącznik nr 2 Odniesienie efektów kierunkowych do efektów obszarowych i odwrotnie Załącznik nr 2a - Tabela odniesienia

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na egzamin magisterski na kierunku Informatyka i Ekonometria (2 stopień studiów)

Zagadnienia na egzamin magisterski na kierunku Informatyka i Ekonometria (2 stopień studiów) Zagadnienia na egzamin magisterski na kierunku Informatyka i Ekonometria (2 stopień studiów) 1. Topologie sieci komputerowych a. 06IE_2A_W02 - jest w stanie zdefiniować problem decyzyjny, analizować źródła

Bardziej szczegółowo

Metody symulacji komputerowych Modelowanie systemów technicznych

Metody symulacji komputerowych Modelowanie systemów technicznych Metody symulacji komputerowych Modelowanie systemów technicznych dr inż. Ryszard Myhan Katedra Inżynierii Procesów Rolniczych Program przedmiotu Lp. Temat Zakres 1. Wprowadzenie do teorii systemów Definicje

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. Kod Punktacja ECTS* 1

KARTA KURSU. Kod Punktacja ECTS* 1 KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Wprowadzenie do statystyki Introduction to statistics Kod Punktacja ECTS* 1 Koordynator Prof. dr hab. Jerzy Wołek Zespół dydaktyczny Prof. dr hab. Jerzy Wołek doktoranci

Bardziej szczegółowo

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa cz.2

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa cz.2 Wielokryteriowa optymalizacja liniowa cz.2 Metody poszukiwania końcowych rozwiązań sprawnych: 1. Metoda satysfakcjonujących poziomów kryteriów dokonuje się wyboru jednego z kryteriów zadania wielokryterialnego

Bardziej szczegółowo

Wielokryterialne wspomaganie decyzji Redakcja naukowa Tadeusz Trzaskalik

Wielokryterialne wspomaganie decyzji Redakcja naukowa Tadeusz Trzaskalik Wielokryterialne wspomaganie decyzji Redakcja naukowa Tadeusz Trzaskalik W książce autorzy przedstawiają dyskretne problemy wielokryterialne, w których liczba rozpatrywanych przez decydenta wariantów decyzyjnych

Bardziej szczegółowo

Metody Prognozowania

Metody Prognozowania Wprowadzenie Ewa Bielińska 3 października 2007 Plan 1 Wprowadzenie Czym jest prognozowanie Historia 2 Ciągi czasowe Postępowanie prognostyczne i prognozowanie Predykcja długo- i krótko-terminowa Rodzaje

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Karta przedmiotu. Obowiązkowy. Kod przedmiotu: Rok studiów: Semestr: Język:

Karta przedmiotu. Obowiązkowy. Kod przedmiotu: Rok studiów: Semestr: Język: Karta przedmiotu Nazwa przedmiotu: Stopień studiów: Doktoranckie Seminarium doktorskie Marketing i jego rola we współczesnym biznesie Tryb studiów: niestacjonarne Obowiązkowy Kod przedmiotu: Rok studiów:

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

KIERUNKOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA

KIERUNKOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA Załącznik do Uchwały Senatu Politechniki Krakowskiej z dnia 28 czerwca 2017 r. nr 58/d/06/2017 Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki w Krakowie Nazwa wydziału Wydział Inżynierii Środowiska Dziedzina

Bardziej szczegółowo

Efekty uczenia się na kierunku. Logistyka (studia pierwszego stopnia o profilu praktycznym)

Efekty uczenia się na kierunku. Logistyka (studia pierwszego stopnia o profilu praktycznym) Efekty uczenia się na kierunku Załącznik nr 2 do uchwały nr 412 Senatu Uniwersytetu Zielonogórskiego z dnia 29 maja 2019 r. Logistyka (studia pierwszego stopnia o profilu praktycznym) Tabela 1. Kierunkowe

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA Załącznik nr 4 do Uchwały Senatu nr 430/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2015-2017 (skrajne daty) 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu Zarządzanie finansami

Bardziej szczegółowo

Wielowymiarowa analiza regionalnego zróżnicowania rolnictwa w Polsce

Wielowymiarowa analiza regionalnego zróżnicowania rolnictwa w Polsce Wielowymiarowa analiza regionalnego zróżnicowania rolnictwa w Polsce Mgr inż. Agata Binderman Dzienne Studia Doktoranckie przy Wydziale Ekonomiczno-Rolniczym Katedra Ekonometrii i Informatyki SGGW Opiekun

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego Estymator KMNK. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej

Ekonometria. Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego Estymator KMNK. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej Ekonometria Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego Estymator Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 1 Estymator 1 / 16 Agenda 1 Literatura Zaliczenie przedmiotu 2 Model

Bardziej szczegółowo

Statystyka opisowa. Wykład V. Regresja liniowa wieloraka

Statystyka opisowa. Wykład V. Regresja liniowa wieloraka Statystyka opisowa. Wykład V. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Prosta regresji cechy Y względem cech X 1,..., X k. 2 3 Wyznaczamy zależność cechy Y od cech X 1, X 2,..., X k postaci Y = α 0 +

Bardziej szczegółowo

Ekonometria dynamiczna i finansowa Kod przedmiotu

Ekonometria dynamiczna i finansowa Kod przedmiotu Ekonometria dynamiczna i finansowa - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Ekonometria dynamiczna i finansowa Kod przedmiotu 11.5-WK-IiED-EDF-W-S14_pNadGenMOT56 Wydział Kierunek Wydział Matematyki,

Bardziej szczegółowo

MATRYCA EFEKTÓW KSZTAŁCENIA (Przedmioty podstawowe)

MATRYCA EFEKTÓW KSZTAŁCENIA (Przedmioty podstawowe) MATRYCA EFEKTÓW KSZTAŁCENIA (Przedmioty podstawowe) NAZWA PRZEDMIOTU SYMBOL KIERUNKOWYCH EFEKTÓW KSZTAŁCENIA EFEKTY KSZTAŁCENIA Mikroekonomia 1 Mikroekonomia 2 Makroekonomia 1 Makroekonomia 2 Matematyka

Bardziej szczegółowo

Metody wielokryterialne. Tadeusz Trzaskalik

Metody wielokryterialne. Tadeusz Trzaskalik Metody wielokryterialne Tadeusz Trzaskalik 4.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zadanie wielokryterialne Zadanie wielokryterialne programowania liniowego Przestrzeń decyzyjna Zbiór rozwiązań za dopuszczalnych

Bardziej szczegółowo

KIERUNKOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA

KIERUNKOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA Załącznik nr 4 do uchwały Senatu PK nr 104/d/11/2017 z dnia 22 listopada 2017 r. Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki w Krakowie Nazwa wydziału lub wydziałów: Wydział Fizyki, Matematyki i Informatyki

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE i teoria optymalizacji. Prowadzący: dr Tomasz Pisula Katedra Metod Ilościowych

BADANIA OPERACYJNE i teoria optymalizacji. Prowadzący: dr Tomasz Pisula Katedra Metod Ilościowych BADANIA OPERACYJNE i teoria optymalizacji Prowadzący: dr Tomasz Pisula Katedra Metod Ilościowych e-mail: tpisula@prz.edu.pl 1 Literatura podstawowa wykorzystywana podczas zajęć wykładowych: 1. Gajda J.,

Bardziej szczegółowo

KIERUNKOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA

KIERUNKOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA Zał. nr 1 do Programu kształcenia KIERUNKOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA Kierunek studiów: INŻYNIERIA SYSTEMÓW Stopień studiów: STUDIA II STOPNIA Obszar Wiedzy/Kształcenia: OBSZAR

Bardziej szczegółowo

Ekonomia II stopień ogólnoakademicki. stacjonarne wszystkie Katedra Matematyki Dr hab. Artur Maciąg. podstawowy. obowiązkowy polski.

Ekonomia II stopień ogólnoakademicki. stacjonarne wszystkie Katedra Matematyki Dr hab. Artur Maciąg. podstawowy. obowiązkowy polski. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Z-EKO2-500 Nazwa modułu Ekonometria i prognozowanie procesów ekonomicznych Nazwa modułu w języku angielskim Econometrics and forecasting economics proceses Obowiązuje

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Śląski. Wydział Informatyki i Nauki o Materiałach PROGRAM KSZTAŁCENIA. Studia III stopnia (doktoranckie) kierunek Informatyka

Uniwersytet Śląski. Wydział Informatyki i Nauki o Materiałach PROGRAM KSZTAŁCENIA. Studia III stopnia (doktoranckie) kierunek Informatyka Uniwersytet Śląski Wydział Informatyki i Nauki o Materiałach PROGRAM KSZTAŁCENIA Studia III stopnia (doktoranckie) kierunek Informatyka (przyjęty przez Radę Wydziału Informatyki i Nauki o Materiałach w

Bardziej szczegółowo